τ α Lezione numero Dicembre 2000

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1 Lezone nuero 3 Dcebre Cene cnece. Cene cnece. Vedo or un esepo prco dell eodc vs nell scors lezone per l rsoluzone de proble; consdero dunque l cso del rullo ncosrore rppreseno n fgur. η P v B ξ M,, l u r r γ C P r x gur Un proble d queso genere s può ffronre ovvene con l eodo dell polgonle e qund fcendo rfereno ll bell. v C v B v CB? BO? Modul CP BO CB Drezon Tbell Con l eodo dell polgonle s possono rcvre odul delle velocà v C e v CB. S può po osservre ce vrrnno le due seguen relzon: vc γ r β CP vcb β CB vb β BP Srà po possble ulzzre l seguene blnco d poenze, per rovre, un vol clcol l velocà del puno C, l oeno oore rceso: M r vc Ovvene srà nce possble esprere l poszone sull sse x n funzone dell ngolo e qund: x x( ) dll qule s rcv ce: dx x d S ndvdu così l rpporo d rsssone, esprble coe: dx 53 τ d Per quno rgurd nvece l ccelerzone s vrà: dτ x τ γ τ d Ovvene se l velocà ngolre del ovene è cosne, l ul relzone scr s rdurrà nel odo seguene: x γ D un puno d vs veorle, per l ccelerzone del puno C s può sfrure l eore d Corols osservndo ce l ccelerzone d Corols srà null, coe srà null nce l coponene ngenzle dell ccelerzone del puno B,

2 l oo del puno C, nolre, è relneo e qund non c srà un ccelerzone norle relv queso puno; s può sfrure nce n queso cso un bell: l bell. n C C n B B n BC BC Co - x BO - β CB β CB - Modul - //x //BO - //CB CB - Drezon Tbell D un puno d vs grfco l eodo dell polgonle orgn l polgono osro n fgur. BC B n BC n gur D un puno d vs nlco vlgono ovvene le due seguen relzon: vc γ r dr C γr γ d Se corp ce cosuscono l oggeo sono consder rgd sreo n presenz d un oo roorsloro e per un noo eore dell eccnc rzonle s vrà l seguene espressone per l rsulne: R o G dove G è l ccelerzone del brcenro. L rsulne non è un veore pplco e s può qund pplcre dove eglo s crede, fcendolo slre sul suo sse. Qundo s decde d pplcrlo d un puno prcolre s deve nrodurre nce un oeno: M β G J G. Ovvene queso puno rsul ed l vluzone delle crersce lege d un puno qulunque Q pprenene ll novell. 54

3 Lezone nuero 4 3 Dcebre Meccnso ce. Cenro delle ccelerzon. Teor delle vbrzon. Meccnso ce. Consdero or un eccnso ce coe quello osro n fgur, ce, sccoe le dsnze O C ed O C devono neners cosne, porà essere scezzo coe osro n fgur. R C C O R C C O O O gur gur Ovvene dovrà vlere l relzone: C C R R Dunque d un eccnso ce s può rslre d un qudrlero rcolo enre d un qudrlero rcolo s può rslre l proflo d un eccnso ce, coe osro n fgur 3. C Treor d C b r C rspeo ll ppoggo C O O O O gur 3 gur 4 Consdero or l eccnso osro n fgur 4, l cu scezzzone è osr n fgur 5. η ξ O β br C, O gur 5 In ques suzone l scezzzone vvene re un glfo; consderndo llor un ern d rfereno (η,ξ) s porà cosrure l bell. v C v v r β C O ξ Modul C O C O //ξ Drezon Tbell 55

4 Con l eodo dell polgonle s rrv dunque rcvre β e ξ. Per quno rgurd le ccelerzon s sfru nvece l bell : n n n C C r r Cor C O - β C O β C O - ξ β ξ Modul //C O - //C O C O - //ξ ξ Drezon Tbell Il eodo dell polgonle peree dunque d rcvre β e ξ. Cenro delle ccelerzon. Dopo ver sfruo, nell rsoluzone grfc degl esercz, l essenz del cenro d snne rozone, è or leco ceders se essno nce un cenro relvo lle ccelerzon. Per quno rgurd le velocà s può fre rfereno l dgr d fgur 6. P v v P v P v P v Po v O gur 6 S s dunque ce vle l relzone: v P v vop Ovvene, per u pun (coe d esepo P ) ce poggno sull re perpendcolre v, l so veorle ppen espress non srà lro ce un so lgebrc. Qundo, ed è ppuno l cso del puno P, s : v P e qund: v v P Sceglendo llor un sse d rfereno cenro nel puno P così rovo, s osserverà ce l velocà del generco puno P rspeo queso sse d rfereno rsulerà essere ngene d un crconferenz. Per quno rgurd dunque le ccelerzon srà necessro fre rfereno l dgr d fgur 7. Po Ko Po γ P Po n K O γ K gur 7 56

5 Dll fgur s può nore coe s: PO gγ cosne PO Se ne rcv ce u pun pprenen d un re presenno un ccelerzone ce uen con l uenre dell dsnz con un ngolo γ cosne. Sceglendo llor un re ncln d un edeso ngolo γ rspeo d s roverà l puno K, n corrspondenz del qule l ccelerzone è null. S è dunque n presenz del cenro delle ccelerzon. Consderndo dunque un sse d rfereno cenro nel puno K s oerrà: P PK Il cenro delle ccelerzon è generlene vrble e solo qundo s è n presenz d un cerner fss corrsponde con l CIR. Teor delle vbrzon. S consder or un eccnso nel qule G rppresen l rsulne delle forze d nerz e s fcc rfereno l seguene blnco: ( v v ) dove sno le forze eserne enre ern engono cono delle nerze (nel cso d vncol del le rezon vncolr non ppono). Esprendo or le velocà ne pun -es con de coeffcen d velocà τ, ovvero coe segue: v τ s oerrà: [( ) τ ] ce è de equzone fondenle dell dnc per sse d un unco grdo d lberà. Un pro cso prcolre l qule bsogn fre rfereno è l funzoneno rege, nel qule le velocà sono cosn e s vrà qund: τ [ ( ) ( )] Tle equzone prende l noe d equzone dell equlbro, dll qule s può oenere l confgurzone prre dlle forze o, pù couneene, vcevers. L condzone d equlbro con un confgurzone defn d un ngolo s oerrà dunque fcendo rfereno ll relzone seguene: τ [ ( ) ( )] 57 S pss or ll suzone pù cople n cu l equzone dell dnc s l seguene: γ τ τ () [( ) ] È possble conoscere l funzone () e dover rcvre l forz orce ce peree d oenere l oo ssegno (proble cneosco); qundo nvece () è ncogn enre sono noe le forze gen sul sse s prl d proble dnco (puoso rro nell eccnc); ques ulo po d proble non è dreene rsolvble percé bsogn conoscere ue le forze ce, loro vol, sono funzon n generle non lner dell poszone. È però sepre possble rsolvere l equzone rspeo ll derv d ordne sso, rcvndo: [ ( γ ) τ ] L eccnc pplc s occup d cs prcolrss ne qul rppor d rsssone sono u cosn, n queso odo u ern γ rsulno null e qund, se le forze sono loro vol cosn, l ccelerzone rsul un cosne su vol. Ovvene dovrnno essere noe le condzon l conorno per vere un soluzone prcolre puoso ce un seplce negrle generle. Qulor τ non fossero cosn, l ccelerzone dven nvece un funzone d. È po possble lnerzzre le equzon nell norno d un puno d equlbro sco, sudndo coè l suzone n cu: τ () n un norno dove s: d cu s rcv ce: τ εϕ

6 58 εϕ Se dunque gl scosen sono pccol, nce le velocà relve gl scosen sono pccole; s nolre ce: εϕ L presenz d un nfneso superore ε peree d rscrvere l relzone () senz l secondo ebro; s vrà po ce: ( ) ( ) ( )......! εϕ γ τ τ τ τ τ d d d d Dunque l espressone () s rsfor nel odo seguene: ( ) ϕ ε τ τ È po possble porre:... εϕ d d e qund, cobnndo le ule due relzon scre, s rcv: ( ) d d ϕ ε τ εϕ τ γ Seplfcndo ern ε s oene l seguene equzone dfferenzle lnere coeffcen cosn: d d ϕ τ γ ϕ τ ovvero: * * ϕ ϕ S è qund rov un equzone del uo nlog quell ce descrve l coporeno d un ss * sospes d un oll d cosne elsc *.

7 Lezone nuero 5 8 Dcebre Teor delle vbrzon. L rsonnz. Teor delle vbrzon. Nell precedene lezone s er gun ll seguene equzone: * ϕ * ϕ l cu soluzone srà del po: ϕ Qundo * è ggore d zero s vrnno rdc λ, rel e l sse srà nsble, qundo nvece * rsul essere nore d zero s oerrnno rdc gnre e le soluzon srnno del po: ϕ Asn ω δ Ae λ ( ) dove s: * ω * enre A e δ sono rcvbl dlle condzon nzl; queso po d soluzone è nvece sble. Il erne * dpende ovvene dlle vre e γ, l cu prodoo sclre rsul posvo o negvo second d γ. Un oo esepo pplcvo è l pendolo: n fgur è osr un suzone nell qule l prodoo sclre r p (l peso ce n queso cso è l unc forz esern) e γ è posvo e qund l sse rsul nsble. p γ γ p gur gur gur 3 In fgur, nvece, l prodoo sclre rsul negvo è s è qund n presenz d un suzone sble. Ance n fgur 3 è osro un sse ce non è lro ce l equvlene d un pendolo e, n prcolre, d un pendolo cpovolo: nc esso è dunque un sse nsble. Olre ce d e γ, l erne * dpende nce dll derv d rspeo d x vlu nell orgne; nelle fgure 4 e 5 s no nf coe, second dell poszone, vr l forz svlupp dll oll. gur 4 gur 5 gur 6 In fgur 6 è osro un sse olo seplce l cu equzone del oo è l seguene: x x Un suzone un po pù coplc è quell osr n fgur 7, per l qule l equzone del oo è l seguene: x gβ ovvero nce: 59

8 x x l dove l è ovvene l lungezz dell oll. S no ce, se l oll è scrc, per pccol sposen l oll non s llung e non c sono forze; se nvece l oll è n precrco s presenerà un forz d rco dovu l seplce oreneno dell oll (e non no ll nensà del precrco). β l gur 7 gur 8 l Un dscorso nlogo può essere fo per l sse osro n fgur 8; n fgur 9 è nf osr l confgurzone d equlbro, nell qule sono soolnee solo le forze, dove s: x e d cu s rcv ce: cos β g In fgur è nvece osr un suzone nell qule l confgurzone vene odfc leggerene. H snβ cosβ g H γ snβ cosβ g gur 9 gur L poszone delle forze H ed snβ cre l seguene oeno ce ccenu l suzone d nsblà: M lγ sn β L oll, d pre su, s llung d un ro: x lγ cos β In corrspondenz d le llungeno s svlupperà l seguene forz d rco: d x lγ cos β S vene così crere un ulerore oeno: M l γ cos β L vrzone nell drezone dell oll è espress dll relzone seguene: lγ sn β dβ e qund l forz ce s orgn srà del po: ce por l seguene oeno: M 3 6 l d dβ l L rsonnz. Dopo ver defno sse sbl e sse nsbl s può fre rfereno d un sse sble e supporre ce queso s perurbo d un forz esern ce lo por fuor dll loro poszone d equlbro; essendo un sse sble s osserverà coe queso orn nell su poszone d equlbro con delle oscllzon ce prendono l noe d sn l β γ

9 vbrzon. Solene gl scosen dovu lle deforzon elsce sono d qulce ordne d grndezz nferor rspeo gl sposen rces dll sruur del eccnso. S ruove d or, dunque, l poes ce corp sno rgd e suppono, n pr pprosszone, ce un eccnso s foro d pr rgde e d pr deforbl (per esepo le cnge frnno pre d queso secondo gruppo); un ccn può llor essere odellzz coe osro n fgur, nell qule sono evdenze le pr rgd e le pr deforbl. x x x p x gur gur gur 3 x δ A p/ T In fgur è osro lo sce delle forze ce peree d rslre ll equzone d equlbro seguene: x x p Dll oogene ssoc d ques equzone s rcv: x Asn( ω δ ) con: L negrle prcolre è nvece l seguene: ω x p e, coe s no, è un cosne ce prende l noe d llungeno sco (ovvero l llungeno dovuo ll zone del solo peso). L negrle generle srà llor: p ( ω ) x g Asn δ l cu ndeno è quello grfco n fgur 3. Invece d fre rfereno d un sse d rfereno x qulunque è possble e olo spesso uspcble fre rfereno d un orgne (per l sse x, ce or vene co y) ce concd con l poszone d equlbro sble del peso; n queso odo l procedeno logco è l edeso ppen vso, l equzone ce ne rsul è l seguene: y y p x L soluzone relv d y srà dunque rcvble dll sol oogene ssoc e qund s vrà: y Asn ( ω δ ) l cu grfco è quello osro n fgur 4. p C d y x gur 4 gur 5 gur 6 Pur d prre dll confgurzone d equlbro sble s porebbero nce rscurre le forze cosn ( eno ce, ovvene, quese non rppresenno l cuore del proble). S suppong or ce, coe osro n fgur 5, sull ss gsc un forzne espress nel odo seguene: sn Ω 6 ( )

10 S vrà llor l seguene equzone d equlbro: y y sn( Ω) S cerc un soluzone del po: y p C sn ( Ω) per l negrle prcolre. Sosuendo qund nell relzone precedene s rcv: CΩ sn( Ω) C sn( Ω) sn( Ω) ovvero: ( Ω ) C e qund: C Ω ω Ponendo po: δ s Ω ω s rcv: y p δ s sn( Ω) S defnsce po: C d deo coeffcene d plfczone dnc l cu odulo dell ndeno è quello osro n fgur 6, dove vene evdenzo un pcco d rsonnz. Qundo s è n condzon d rsonnz, l odellzzzone corpo rgdo non è pù cceble. 6

11 Lezone nuero 6 9 Dcebre L rsonnz. Effeo degl orzzor. L rsonnz. Nell scors lezone s er gun ll ese dell suzone osr n fgur nell qule un peso collego d un oll subv un forzne espress dll seguene relzone: sn Ω ( ) xp gur gur S er nolre defn l condzone d rsonnz coe quell condzone nell qule vle l relzone seguene: Ω ω dove con ω s nende l frequenz propr del sse n ssenz d lcun forzne. In un suzone d queso po l negrle generle srebbe del po seguene: xg x x p Asn( ω δ ) C sn( ω) Sccoe un negrle generle d queso po non è cceble s può provre con un soluzone coe l seguene: λ x Ae λ Be Provndo llor consderre un negrle prcolre del po: C cos ω x p ( ) s osserv ce le sue derve sono le seguen: x p C cos ( ω ) Cω sn ( ω ) x Cω sn( ω) Cω sn( ω) Cω cos( ω) p Coplessvene, dunque, l equzone dfferenzle ce descrve l sse srà l seguene: C{ [ ω sn( ω) ω cos( ω) ]} cos( ω) sn( ω) d cu s rcv: C ω L negrle prcolre srà llor, nfne: x p ω cos L ndeno grfco srà quello osro n fgur, dll qule s coprende coe, n suzone d rsonnz, le pezze dell oscllzone endono effevene ll nfno, nce se è per queso necessro un epo nfno. Effeo degl orzzor. Proseguendo con l coplczone del odello s può or nzre consderre l effeo delle forze vscose. Il odello d fgur s coplc dunque con l ggun d un orzzore e ssue così l confgurzone osr n fgur 3. In fgur 4 è osro l relvo sce delle forze e qund l equzone ce ne rsul è l seguene: x cx x sn Ω ( ω) ( ) 63

12 c x x c x gur 3 gur 4 64

13 Lezone nuero 7 8 Genno Effeo degl orzzor. orze eccrc snusodl. Effeo degl orzzor. Nell lezone precedene s er gun ll defnzone dell seguene relzone: x cx x () () ce dervv dll ggun l sse ss-oll d un orzzore ce pereev d oenere l sse osro n fgur. c gur gur Ponendo ce l forzne s null s oene l equzone oogene ssoc, l cu negrle generle vrà l seguene for: λ x g Ae dove s: c c λ 4 S devono dunque dsnguere due cs: ) Nel cso n cu l rdcndo s posvo, ovvero nel cso n cu s: c ω > 4 l soluzone vrà un ndeno coe quello osro nel dgr d fgur. ) Nel cso nvece n cu s bb: c ω < 4 s può porre: c cr ω ed nrodurre n queso odo l seguene prero densonle, deo sorzeno: c L uovlore vrà llor l seguene for: λ ω ± ω d cu s rcv ce l negrle generle srà: λ λ xg Ae Be Ae Be e Ponendo po: ω ω e rcordndo ce: ω e cos( ω) sn( ω) ω e cos( ω) sn( ω) s rcv l seguene espressone dell negrle generle: ω ω x e ( A B) cos( ω) ( A B) sn( ω) e A cos ω B sn 65 c cr ω ω ( Ae Be ) ω ω ω ω ω [ ] [ ( ) ( ) ] g ω

14 L ndeno grfco è dunque quello osro nel dgr d fgur 3 xg e -ω T gur 3 Il erne T ndco prende l noe d pseudoperodo, è defno nel odo seguene: π π T ω ω e ssue le noe percé l ndeno non è perodco nel vero senso dell prol. Per vlor d sorzeno nferor l vlore d, lo pseudoperodo è sosnzlene pr l perodo dell suzone non forz e qund non c è nessun sosnzle dfferenz con l suzone prv d sorzeno. Due vlor eseplfcv sono rccol nell bell.,,995,3,954 Tbell Qundo dven pr d l perodo dven nfno e s confgur un sol oscllzone ce uore ll nfno; qundo, nfne, dven ggore d l oo srà copleene perodco. S orn or ll equzone () cople del suo erne noo ce, coe l solo, può essere esplco nel odo seguene: () sn( Ω) Coe osro n fgur 4, l forz () nrodo può essere vs coe l proezone d un veore e qund può essere espress nel odo seguene: ( ) { Ω e sn Ω I } I sn(ω) Ω Re gur 4 L equzone () può dunque essere rscr nel odo seguene: { Ω x cx x I e } ovvero, rscurndo l fo ce s r dell sol pre gnr: Ω x cx x e () 66

15 S pong or un negrle prcolre ce bb l seguene for: Ω x p e e le qund per cu le sue derve pr e second sno le seguen: Ω x p Ωe Ω x p Ω e Sosuendo qund nell equzone () s rcv: Ω Ω cω e Ω e S oene dunque: Ω cω L suzone grfc snezz dll relzone (3) è quell osr n fgur 5. ( ) (3) I Ω cω Cd ϕ Ω Re gur 5 gur 6 Applcndo dunque l seplce eore d Pgor s può gungere ll seguene relzone: ovvero: dll qule s rcv: Rcordndo po ce: s oene: ( Ω ) ( cω ) [( Ω ) ( cω) ] Ω Ω ω ω c Ω 4 ω ( ) 4 S vrà llor ce: cω cω gϕ Ω Ω In ques nuov suzone, dunque, l grfco relvo ll ndeno d C d n funzone d (gà vso nel cso pù seplce nell lezone nuero 5) ssue l for osr n fgur 6. L ss pezz delle oscllzone s vrà dunque qundo è soddsf l seguene relzone: 67

16 ovvero: d d dc d d [( ) ( ) ] d cu s rcv: ( ) 4 Senz ener cono dell pr soluzone ce è quell bnle per null, s vrà nce l seguene relzone: d cu s rcv ce, per: l ern s nnull (l curv n quesone è quell segn n rosso n fgur 6, n blu vengono nvece ndce le curve con ggore d,77 enre n verde quelle con nferore le vlore le). Qundo è ggore del le,77, l condzone peggore s nell orgne, dove s nconrno forze cosn. Un vol sbl l condzone relv d ce por ll ggore elongzone s può vedere qule è l sso vlore del odulo dell x, sfrundo qund l seguene relzone: x [ ( )] ( ) S può llor nore ce, qund nce vlg solene,, l sovrelongzone dell oll vle ncor 5, ce è counque roppo (nce se s è leno rrv d un rsulo fno conro l sovrelongzone nfn ce s oenev n precedenz). In fgur 7 è osro l eodo prco per conre l nuero d oscllzon necessre l sse uno d orzzore per dezzre l pezz delle oscllzon. x g A Cd A/ e -ω,77 x Ovvene srà necessro porre ce: gur 7 gur 8 nt e ω dll qule s rcv ce: nt e ω e qund: ω nt ln dll qule po s oene ce: ln ω ln, n ωπ π Qundo è pr, l nuero d onde rceso percé l pezz s dezz è enre qundo è pr, l nuero d onde necessro l edeso scopo dven, ce è un nuero cceble, nce se bsogn ener cono ce c srà un sovrelongzone pr 5. In fgur 8 vene soolneo coe l ro verene percoloso fn delle sovrelongzon dovue lle rsonnze s n relà bbsnz sreo orno l pcco sesso d rsonnz e suo confn sono ndvdubl dll seguene relzone. 68

17 dll qule s rcv: S vrà llor: χ ( ) ( ) x ( ) ( ) 8 ( ) S rov così ce: 4 ovvero: ( ) ( ) 4 Essendo però: s rcv: ( ) 4 e qund: Per pr, l zon d rsco s esende dunque per un 5% orno ll condzone d rsonnz. In conclusone, se n un ccn sono presen corp deforbl (nell relà cò è sepre verfco), l suzone dven percolos qundo è nferore ll sogl d, e c è un forz eccrce consder n rsonnz (ovvero enro l fdco 5%) con l frequenz propr del sse. orze eccrc snusodl. Nell rzone dell eor delle vbrzon s è spesso fo rfereno d un forz eccrce snusodle, s vede or coe queso po d forzne s può orgnre n un sse rele. S fcc dunque rfereno d un ccnro coe quello osro n fgur 9, collego err d un sse d olle ed orzzore e uno l suo nerno d un lbero rone con un cer eccenrcà e. x M e O Ω c gur 9 L equzone d equlbro sco srà, n queso cso: M x cx x eω sn Ω ovvero: ( M ) x cx x eω sn( Ω) L pulszone propr del sse srà dunque: ω M e l soluzone dell equzone srà: ( ) ( ) 69

18 7 ( ) ( ) ( ) ( ) M e e Ω Ω ω e qund: ( ) 4 M e L ndeno d C d n funzone d è dunque or leggerene dfferene e bsogn fre rfereno l grfco d fgur. Cd Ω M c y O gur gur S osserv counque ce s è rov un soluzone sosnzlene denc quell ce s oene n presenz d un forzne snusodle e qund s può fferre ce l sse ppen vso nduce un forzne d le po. Ques suzone non è po così dffcle d rovre n quno, per quno l relzzzone dell ccn s ccur, l brcenro dell lbero rsulerà sepre leggerene sposo dl cenro d rozone O, crendo ppuno un eccenrcà e. Ovvene l suzone può essere coplc n dvers od; s può per esepo consderre l suzone d fgur nell qule nce l elo è lbero d oscllre; nolre l elo può essere collego qulce lro eleeno ce rsee l vbrzone d un lro eccnso e così v.

19 Lezone nuero 8 Genno Anls veorle. Trsssblà. Anls veorle. S orn or d nlzzre l dgr osro n fgur. Cd gur gur Qundo l rpporo è olo nore dell unà ue le curve s rovno nell norno d n quno s vrà: x e qund: x d cu s deduce ce: ϕ Dl puno d vs veorle ques suzone è rppresen n fgur. Qundo nvece l rpporo dven olo ggore dell unà, è l forz d nerz d essere prevlene e qund s vrà: Ω x e qund: x Ω d cu s deduce ce: ϕ 8 Dl puno d vs veorle l rppresenzone d queso secondo cso srà quell osr n fgur 3. Ω cω gur 3 gur 4 Qundo, dunque, è olo ggore oppure olo nore dell unà, ue le curve endono sovrppors e non c è dpendenz dllo sorzeno. Qundo nvece l rpporo è pr d s vrà l suzone osr n fgur 4 e s vrà: cωx ϕ 9 7

20 S er nolre gà vso ce l nuero d oscllzon necessre per dezzre l pezz er do dll seguene relzone:, n Il pcco d rsonnz vvene per un vlore d do dll seguene relzone: Trsssblà. Dopo ver sblo coe s creno le forzn snusodl n un sse s può vedere coe l forze s propgno r un sse e l lro. S orn dunque consderre l sse osro n fgur 5 per l qule vlev l seguene equzone d equlbro: x cx x sn( Ω) e l cu soluzone er l seguene: x sn( Ω ϕ ) ( ) ( ) x Tr sn(ω) c gur 5 gur 6 L forz rsess l erreno srà d dll seguene espressone: Ω r x cx x sn( Ω ϕ) cωx cos( Ω ϕ) ( x cxω) e dove s: Ω x x e Il odulo dell forz rsess srà dunque: r c Ω c Ω C d d cu s rcv: r ( ) Tr ( ) ( ) dove Tr prende l noe d rsssblà. Coe s può vedere dl grfco d fgur 6, rsssblà unr s per e per le per cu s: ( ) ( ) ( ) ovvero per: Indpendeneene d uo l reso vrrnno po le seguen relzon: Tr > < Tr < > Per quno rgurd l rppresenzone veorle dell forz rsess s può fre rfereno re dgr rppresen nelle fgure 7, 8 e 9 rspevene nel cso n cu Tr s ggore, nore o ugule d. 7

21 Ω cω Tr> Tr< Tr Tr gur 7 gur 8 M Tr Tr S consder or l relzone seguene: gur 9 gur ω S può defnre coe segue lo sccceno dell oll dovuo l solo peso (solene non superore l cenero): g δ sco S porà llor scrvere: g d cu s rcv: ω δ δ sco Molo spesso le forze non s lno rseers l pveno del sse, essendo nce queso elsco, vggno fno rggungere un lro sse; un esepo pco è l sruur osr n fgur, n le cso l equzone d equlbro srà l seguene: M x c x y x y d cu s rcv: L soluzone srà llor: dll qule s rcv: sco g ω g g ( ) ( ) Mx cx x cy y x x y c Ω y Ω ( cω) Ye ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dll qule è possble rcvre l edeso grfco vso n precedenz. Tr 73

22 S può or concludere con un po d esep pplcv; fcendo dunque rfereno l sse d fgur s vd ll rcerc dell frequenz nurle del sse. S nz qund con lo scoporre l sse ne due coponen osr nelle fgure e 3 e osservndo l vldà delle seguen relzon: ϕ r x ϕr x y x y x x M,J G y CIR R r x ϕ x x Mg J G ϕ gur gur gur 3 T T y g Iponendo l equlbro ll rozone orno l CIR dell ruo d fgur e l equlbro ll rslzone vercle del peso d fgur 3 s oene l seguene sse: x xr Mxr J G Mgr Tr r T g y D le sse (e rcordndo l lege r x ed y esplco n precedenz) s rcv l seguene relzone: J G Mr 4 r x xr ( Mg g)r r Sccoe due pes sono delle forzn cosn, possono essere enrb rscur, oenendo qund: J G Mr 4 r x xr r dll qule ppre evdene coe s: r ω J G ( M 4)r r Un lro eodo per rsolvere l edeso eserczo prevede d sfrure l seguene relzone: E To T U cosne Nel sse n nls s vrà: J G T x ( J Gϕ. Mx y ) M 4 x r Per quno rgurd l energ poenzle s vrà nvece: U x S vrà dunque: deto d J G ( T U ) M 4 xx xx d d r grze ll qule s rrov l edeso rsulo vso n precedenz. 74

23 Un erzo eodo è nfne quello d Reyleg, ce prevede d conoscere gà ce l soluzone srà del po: x Asn( ω) dll qule s rcverà: x Aω cos( ω) S porrà po ce: T x U x ovvero, nel cso n nls: J G A A ω M 4 r D ques ul relzone s oerrà po ω. Il eodo d Reyleg può per esepo essere ulzzo per coprendere l ruolo dell ss dell oll n un seplce sse ss-oll coe quello osro n fgur 4. l z ξ x l z M x xasn(ω) gur 4 In queso cso, nf, s vrà: l T Mx dzξ M x l 3 U x dlle qul, sosuendo l espressone per l derv d x s rcv: ω M 3 Un ulerore esepo è quello osro n fgur 5, per l qule s vrà: β τ T ( J β J l ) U g( l l cos ) gl( cos) Svluppndo l coseno nell norno d nullo s oene S oerrà così l seguene soluzone: ω U gl ( J τ J l ) gl 75

24 β J J l gur 5 In queso cso, l eodo ce prevede l scoposzone del sse, pur rrvndo ovvene l edeso rsulo, srebbe so olo pù lungo e ccnoso. 76