scelti all interno di un settore che viene determinato a partire dalle specifiche di progetto che vengono assegnate come segue:

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1 . Sitesi per tetativi el doiio di s Il etodo di sitesi per tetativi el doiio di s preseta difficoltà rispetto a quella el doiio di ω, per i segueti otivi: a) o esistoo, i geerale, legai globali fra gradezze della risposta idiciale e gradezze della f.d.t. a catea chiusa W ( s ) ; b) o esistoo, legai o relazioi eriche che perettoo di tradurre le specifiche sulla f.d.t. a catea chiusa W ( s ) i specifiche sulla f.d.t. a catea aperta F( s ). Il problea di cui al puto a) viee risolto aettedo che la W ( s ) abbia ua copa di poli coplessi coiugati doiate p = ± jω = ζω ± jω ζ. Tali poli vegoo, scelti all itero di u settore che viee deteriato a partire dalle specifiche di progetto che vegoo assegate coe segue: t S S, (..) t t, (..) r r t a, ε% a, (..3) tipo ρ, (..4) Κ Κ. (..) La procedura per la deteriazioe del succitato settore è costituita dai segueti passi. F ) A partire dalla assia sovraelogazioe aissibile, si deteria il valore iio aissibile per ζ, deotato co ζ. Poiché deve risultare ζ ζ, i poli doiati devoo giacere all itero delle seirette che forao co i seiassi positivo e egativo dell asse iagiario, u agolo pari a β = si ( ζ ) (cfr. Fig...). F β jω Fig... Settore aissibile: copreso fra le seirette. ) A partire dalla specifica sul tepo di assestaeto (..3), osservado che per sistei co poli doiati a catea chiusa si ha: ta, ε% l( ε ), (..6)

2 dove ε assue, usualete, valori pari a. o., si deteria la retta parallela all asse iagiario che deliita la regioe aissibile, data da: Ovviaete, dovrà risultare siistra della verticale passate per (cfr Fig...). l( ε ) =. (..7) t a e, quidi, il settore aissibile è quello situato alla jω Fig... Settore aissibile alla siistra della retta. 3) A partire dalla specifica sulla protezza di risposta (..) si sceglie il valore di ω. Ovviaete, dovrà risultare ω ω e, quidi, il settore aissibile è quello situato alla siistra della circofereza di raggio ω (cfr. Fig...3). jω ω Fig...3 Settore aissibile alla siistra del seicerchio. Ovviaete, se due o tre specifiche sul coportaeto trasitorio debboo essere coteporaeaete soddisfatte, il settore risultate sarà dato dalla coposizioe dei corrispodeti settori illustrati elle figure Il problea di cui al puto b) viee risolto progettado il dispositivo di cotrollo i odo tale da otteere i poli doiati desiderati a catea chiusa, idipedeteete dalla posizioe degli altri poli... Azioi eleetari di correzioe Le azioi eleetari di correzioe soo le stesse di quelle utilizzate ell abito della sitesi per tetativi el doiio di ω. Azioe atteuatrice. E caratterizzata dalla f.d.t. data da: s z r Gecr ( s) =, z =, p = s p τ τ. (..8) r r r

3 3 Azioe aticipatrice. E caratterizzata dalla f.d.t. data da: Azioe cobiata. E descritta dalla f.d.t. che segue: eca ( ) s z,, a G s = z = p =. (..9) s p T T a a s zr s za Gecra ( s) =, z r =, pr =, za =, pa =. s p s p τ τ T T r a r r a a (..).. Scelta dell azioe correttrice L azioe correttrice può essere scelta i accordo ai segueti passi. a) Si traccia il luogo delle radici della equazioe: al variare di p p p ( s z ) + G ( s) = + K =, (..) ( s p ) K da a + se il fattore di trasferieto della G ( s ) è positivo, o da a se il fattore di trasferieto della Gp ( s ) è egativo, essedo Gp ( s ) la f.d.t. del processo. Il luogo i questioe viee deoiato luogo origiario delle radici. b) A partire della specifiche di progetto, si deteria il settore all itero del quale debboo giacere i poli della f.d.t a catea chiusa. c) Se il luogo origiario delle radici giace alla destra del settore desiderato, corrispodete alle specifiche di progetto assegate, occorre iegare u azioe aticipatrice che attrae i rai del luogo verso siistra, grazie alla preseza dello zero. c.) Se è possibile posizioare i poli doiati sul uovo luogo delle radici e il guadago corrispodete a tali poli soddisfa le specifiche l azioe aticipatrice può risultare sufficiete. c.) Se è possibile posizioare i poli doiati sul uovo luogo delle radici a il guadago corrispodete a tali poli o soddisfa le specifiche occorre iegare ache u azioe atteuatrice. d) Se è possibile posizioare i poli doiati su due dei rai del luogo origiario e tutti i riaeti rai giaccioo, aleo i parte, all itero del settore desiderato, il che iplica che è possibile fare i odo che i poli della f.d.t. a catea chiusa posizioati su tali rai abbiao parte reale egativa, a il guadago relativo ai poli doiati è iferiore a quello previsto dalle specifiche di progetto, si iega u azioe atteuatrice. p

4 4..3 Diesioaeto dei dispositivi di correzioe ad azioe atteuatrice e aticipatrice. Diesioaeto dell azioe atteuatrice I dati di parteza soo: a) i poli doiati possoo essere posizioati sul luogo delle radici (origiario o su quello risultate dall iserieto dell azioe aticipatrice); b) il guadago corrispodete a tali poli o soddisfa le specifiche di progetto. La procedura per il diesioaeto del dispositivo di correzioe ad azioe atteuatrice si basa sulle segueti cosiderazioi: ) l iserieto del dispositivo di correzioe ad azioe atteuatrice o deve odificare sesibilete il luogo delle radici ell itoro dei vecchi poli doiati, al fie di potere posizioare sul uovo luogo delle radici ua uova copa di poli doiate prossia a quella vecchia; ) la uova copa di poli doiate è caratterizzata dallo stesso valore del coefficiete di sorzaeto ζ della vecchia copa. Co riferieto al puto ), idicado co s = ± jω = ζω ± jω ζ, per, evitare che il luogo delle radici si odifichi sesibilete ell itoro dei vecchi poli doiati a seguito dell iserieto dell azioe atteuatrice, si ipoe la codizioe che il ritardo di fase itrodotto dalla copa polo-zero per s = s, sia o superiore a : ( s z) ( s p). (..) Tale codizioe iplica che il polo e lo zero debboo essere posizioati olto vicii fra loro. I tali codizioi, idicado co K F il fattore di trasferieto valutato sul luogo origiario per s = s, dato da: K F = ( s p ) ( s z ), (..3) il corrispodete valore del guadago, K gf, risulta: K gf = KF ( z ) ( p ). (..4) dove la produttoria al deoiatore va estesa ai poli diversi da zero. Il valore del fattore di trasferieto co il correttore iserito, valutato per s = s, essedo s il uovo polo doiate a catea chiusa prossio coe detto a s (cfr. Fig...4), risulta:

5 K F = ( s p) ( s p ) ( s z) ( s z ). (..) s x x s jω si ( ζ ) Fig...4 Poli doiati co e seza correzioe. Poiché p e z soo vicii fra loro, si ha ( s p) ( s z). Ioltre, poiché ache s soo vicii fra loro, si ha: K F = K F ( s p ) ( s z ) Tuttavia, il uovo guadago corrispodete a K F, K gf, è dato da:. (..6) ( z ) ( z ) z z z KgF = KF K F = K gf. (..7) p p p ( p ) ( p ) La (..7) ostra che, a parità di fattore di trasferieto, il guadago della f.d.t. a catea aperta co il dispositivo di correzioe iserito aueta del rapporto z p =. Ne cosegue che, dovedo risultare z e p olto vicii fra loro, se si desidera otteere valori di ecessario posizioare z e p sufficieteete vicii all origie. Eseo..3. Per il sistea descritto dalla f.d.t. G ( s ) data da: K p Gp( s) =, K p.84 s( s + 6.3)( s + 7.) = p r r elevati, è

6 6 progettare u dispositivo di correzioe i cascata i odo da soddisfare le segueti specifiche di progetto: S S = %, t t =. s, K K =. a,% a F F Il settore all itero del quale debboo giacere i poli doiati viee otteuto osservado che: t 3 = 3 ζω. 3. =. a,% Ioltre, utilizzado la relazioe fra sovraelogazioe e coefficiete di sorzaeto valida per u sistea seplice del secodo ordie il cui adaeto è illustrato i Fig..., dalla specifica sulla sovraelogazioe stessa, si ha: S S = % ζ ζ =.4. S zita Fig... S vs. ζ per u sistea del secodo ordie Dall adaeto del luogo origiario delle radici, illustrato ella Fig...6, eerge che il luogo giace parzialete all itero del settore cosiderato. I particolare, scegliedo i poli doiati, = s = ζω ± ω ζ al liite del settore desiderato, i cui paraetri soo ζ =. e ω, riportati ella Fig...7, sul terzo rao del luogo si ottiee il terzo polo s 3 = 8.. Poiché s 3 ζω = 7.4, i poli coplessi e coiugati soo effettivaete doiati. La verifica delle prestazioi otteute può essere effettuata ediate siulazioe o ediate le relazioi di Mullige. Il fattore di trasferieto è pari a K F = 464. Dalle relazioi di Mullige si ottiee t p.9 s e S =.4%. Mediate siulazioe si ottiee la risposta

7 7 idiciale riportata i Fig...8. Il guadago a catea aperta corrispodete al succitato valore di K risulta: F K = K = 3.9 < K gf F F Root Locus Iagiary Axis -.98 Syste: Gp Gai: 48 Pole: -.99 Dag: Overshoot (%): Frequecy (rad/sec): Real Axis Fig...6 Luogo origiario delle radici Root Locus Iagiary Axis Syste: Gp Gai: 46 Pole: -8. Dag: Overshoot (%): Frequecy (rad/sec): 8. Real Axis Syste: Gp Gai: 464 Pole: i Dag:.49 Overshoot (%): 7. Frequecy (rad/sec): Fig...7 Poli doiati posizioati sul luogo origiario delle radici

8 8,4.,..9,8 y,6,4, t [s] Fig...8 Risposta idiciale del sistea a catea chiusa origiario, per K F = 464. La risposta alla rapa lieare è ostrata i Fig...9. La liea tracciata per y = 7.7 ostra che l errore fiale è pari a y t [s] Fig...9 Risposta alla rapa lieare. Dall aalisi effettuata i precedeza, eerge che occorre utilizzare l azioe atteuatrice. I dati di parteza soo quelli relativi all icreeto di guadago desiderato, pari a K = K K =. Occorre, quidi, risolvere l equazioe: gf,i F gf.6 ( s z) ( s p) =.873 rad

9 9 co il vicolo = z p.6. Scegliedo, ad eseo p =., si ottiee z =.6 e il r cotributo di fase dell eleeto di correzioe per s = s risulta: ( s z) ( s p) =.746 rad. Il luogo delle radici del sistea corretto è illustrato ella Fig.... I poli doiati soo dati da s, =. ± j4., il terzo polo è dato da s 3 = 8., e il quarto polo si trova sul quarto rao, ostrato i dettaglio i Fig..., el puto s 4 =.73 e cioè i prossiità dello zero z =.6. La f.d.t. a catea aperta è data da: s +.6 F( s) = 464. s ( s + 7.)( s + 6.3)( s +.) Root Locus Iagiary Axis Syste: F Gai: 47 Pole: -8. Dag: Overshoot (%): Frequecy (rad/sec): 8. Syste: F Gai: 464 Pole: i Dag:.477 Overshoot (%): 8. Frequecy (rad/sec): Il guadago è pari a: Real Axis.34.6 Fig... Luogo delle radici del sistea corretto K gf = =

10 Root Locus Iagiary Axis Syste: F Gai: 4 Pole: -.73 Dag: Overshoot (%): Frequecy (rad/sec): Real Axis Fig... Particolare del luogo delle radici di Fig.... La verifica delle prestazioi del sistea a catea chiusa progettato può essere effettuata direttaete i siulazioe. I Fig... è illustrata la risposta al gradio il cui adaeto ostra che la sovraelogazioe è pari a circa il 8% etre il tepo di assestaeto è iferiore a. s.,4.,..9,8 y,6,4, t [s] Fig... Risposta idiciale del sistea a catea chiusa

11 La risposta alla rapa lieare è ostrata i Fig...3. Dalla liea tracciata per y = 7.9, si rileva che l errore fiale per igresso a rapa lieare è pari a circa y t [s] Fig...3 Risposta alla rapa lieare. Diesioaeto dell azioe aticipatrice I dati di parteza soo: a) i poli doiati o possoo essere posizioati sul luogo origiario delle radici (origiario o su quello risultate dall iserieto dell azioe atteuatrice). E possibile utilizzare la seguete procedura per passi.. Si calcola l aticipo di fase φ ecessario affiché il uovo luogo delle radici, co il dispositivo di correzioe iserito, passi per i poli doiati scelti all itero del settore otteuto a partire dalle specifiche di progetto.. Si posizioa la copa zero-polo i odo da otteere l aticipo di fase φ richiesto i corrispodeza a uo dei poli doiati. La seguete procedura perette di posizioare la copa zero-polo i odo da redere assio il valore del guadago a catea aperta, corrispodete al fattore di trasferieto relativo ai poli doiati..) Dal puto P corrispodete a u polo doiate, si traccio ua seiretta parallela all asse reale i direzioe del seiasse reale egativo, e ua seiretta che cogiuge il puto P co l origie del ao s..) Si traccia la bisettrice dell agolo forato dalle due seirette, e si tracciao due ulteriori seirette che forao co la bisettrice stessa u agolo pari a φ (cfr. Fig...4). 3. Si traccia il luogo delle radici della equazioe: + G ( s) G ( s) =, (..8) eca e dopo avere posizioato i poli doiati, si calcola il fattore di trasferieto i corrispodeza a uo dei poli doiati stessi, utilizzado la codizioe di odulo. p

12 Successivaete, si calcola il guadago da associare alla f.d.t. a catea aperta G ( s) G ( s ) al fie di otteere i poli doiati desiderati. eca p 4. Se le specifiche di progetto soo tutte soddisfatte, si valuta il guadago del dispositivo di correzioe i odo tale che il sistea progettato e il sistea da realizzare siao idetici coe e, cioè, abbiao poli, zeri e guadago delle f.d.t catea aperta idetici. P jω φ x o φ Fig...4 Deteriazioe della copa zero-polo che forisce l aticipo di fase φ el puto P assiizzado il guadago a catea aperta.