Primo compitino - 26 febbraio 2016

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1 Corso di laurea in Ingegneria civile - ambientale - edile Compitini di Analisi Primo compitino - 6 febbraio 6 Esercizio Si consideri la successione g n x, y) = n, x, y. e nx y) + nx i) Determinare l insieme dei punti x, y) nei quali la successione {g n } converge puntualmente, e trovarne il limite puntuale gx, y). ii) Individuare i sottoinsiemi D di [, [ ) tali che g n g uniformemente in D. Esercizio Dato l insieme E = {x, y) R : x y x y) = }, si consideri la funzione fx, y) = x 3y). i) Si provi che lim x +y x,y) E fx, y) = +. ii) Si calcoli il valore minimo di f su E. Esercizio 3 Si consideri la curva Γ data da x = sin t sin t y = sin t cos t z = t, t [, π]. i) Si calcoli l integrale 5 + 3x + y ) ds. Γ ii) Si calcoli il lavoro compiuto lungo Γ, orientata nel verso delle t crescenti, dal campo y Vx, y, z) = x + y, x ) x + y,.

2 Risoluzione Esercizio i) Per x e y le g n sono ben definite. Analizziamo la convergenza puntuale: conviene scrivere g n x, y) = + x ed osservare che e nx y) n { e nt + se t > lim n n = se t ; si vede subito allora che per ogni x, y) con x e y si ha lim g nx, y) = n se x y, x > x se x < y + se = x = y. ii) La funzione g è discontinua in tutti i punti x, x ) con x > : tuttavia, g è discontinua solo quando x, y) x, x ) dall alto, ossia mantenendo y > x, perché in tal caso gx, y) = mentre gx, x ) = x. E allora, se per δ > consideriamo gli insiemi D δ = {x, y) [, [ ) : x y δ}, si può dimostrare che g n g uniformemente in D δ E δ. Infatti: E δ = {x, y) [, [ ) : x max{y, δ}, sup g n x, y) gx, y) = sup g n x, y) = x,y) D δ x,y) D δ sup x y δ e nx y) n e similmente [ sup g n x, y) gx, y) x,y) E δ = sup x max{y,δ} x e nx y) n = sup x max{y,δ} x e nx y) n e nx y) n sup x y δ = sup x y δ + x ] = + x n e n ny x) e nδ e nx y) n ) sup + x x max{y,δ} nx = nδ,

3 e dunque lim n sup g n x, y) gx, y) =, x,y) D δ lim n sup g n x, y) gx, y) =, x,y) E δ da cui Esercizio i) modo seguente: lim n sup g n x, y) gx, y) =. x,y) D δ E δ Possiamo riscrivere la condizione di appartenenza al vincolo E nel Allora, utilizzando l equazione del vincolo, = x y x y) = y + xy. fx, y) = x 3y) = x + 9y 6xy = x + 3y 3. Da qui segue che E non è limitato: infatti x, y) E x = = + y y, Dalla scrittura di f precedente si deduce anche, imme- da cui x se y. diatamente, lim x +y x,y) E fx, y) = +. ii) Utilizziamo il metodo dei moltiplicatori. Cerchiamo quindi i punti stazionari x, y, λ) della funzione Lx, y, λ) = x 3y) λ y + xy ).

4 Si ottiene il sistema ovvero x 3y) λy = 6x 3y) + 4λy λx = y + xy =. x 3 + λ)y = 3 + λ)x λ)y = y + xy =. Poiché l origine non appartiene al vincolo, dobbiamo imporre che λ sia un autovalore della matrice dei coefficienti, ossia che ) 3 λ det = 8 + λ) 3 + λ) = λ 4λ =, 3 λ 9 + λ e le radici sono chiaramente λ =, λ = 4. Per λ = λ = il sistema fornisce x 3y =, ossia x = 3y, e inserendo nella terza equazione si ha 4y = : troviamo quindi i due punti x, y) = 3, ), x, y) = I valori di f in questi due punti sono uguali: 3 f, ) =, f 3, 3 ), =. Per λ = λ = 4 il sistema dà x + y =, ossia x = y: questa uguaglianza, inserita nella terza equazione, porta a = 4y, che non ha soluzione. I due punti trovati sono necessariamente punti di minimo assoluto di f in E; invece f non ha massimo in E, essendo, come abbiamo visto, illimitata in E. Esercizio 3 i) Si ha x t) = cos t sin t + sin t cos t, y t) = cos t cos t sin t sin t, z t) =, quindi si ottiene facilmente ds = cos t + 4 sin t + 4 dt = sin t dt. Perciò Γ 5 + 3x + y ) ds = π ). π sin t) dt = π + 3 sin t dt = 3π.

5 ii) Dobbiamo calcolare Γ V, τ ds, ove τ è il versore tangente a Γ, orientato nel verso delle t crescenti. Si ha dunque, per la cancellazione del fattore di normalizzazione sin t con il fattore contenuto in ds, π [ cos t V, τ ds = cos t sin t + sin t cos t) Γ sin t ] sin t cos t cos t sin t sin t) + 4 dt = sin t π [ = cos t cos t + cos t sin t cos t + cos t + 4 ] d = = π 6 dt = π. Secondo compitino - 4 maggio 6 Esercizio Si trovi, se esiste, il valore del limite e nx+y) n x +y +) dxdy, lim n ove E = {x, y) R : x y}. Esercizio Si calcoli l integrale E D z x + y ) dxdydz, ove D = {x, y, z) R 3 : x + y z x + y }. Esercizio 3 Si determini il lavoro compiuto dal campo vettoriale Fx, y, z) = x yz + x, xy z 3y, xyz + 4z)

6 lungo la curva bs, bordo della superficie S = {x, y, z) R 3 : x + z ) + y z ) = z, z, x + y }; l orientazione di bs è quella coerente con l orientazione di S per la quale la terza componente di n è positiva. Risoluzione Esercizio da cui segue che La funzione integranda può essere scritta nella forma e n x +y + x+y)/n), x lim +y +) n enx+y) n = x, y) E. Vediamo se c è convergenza dominata. Dato che ab a + b ) per ogni a, b R, si ha e dunque nx + y) n x + y + ) n + x ) + n + y ) n x + y + ) = ) = n x + y ) x + y ) n, x, y) E, e nx+y) n x +y +) e x +y ) n +, x, y) E. Pertanto, per il teorema di Lebesgue, e nx+y) n x +y +) dxdy =. lim n E Esercizio Utilizzando le coordinate cilindriche, l insieme D è descritto dalle relazioni x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, r z r, ϑ π; la prima condizione implica r r, ossia r + r, il che significa r ; ma r è sempre non negativo, quindi si ha r. Pertanto D z x + y ) dxdydz = = π cos ϑ π r r r r z dzdrdϑ + r z r cos ϑ + r sin ϑ) r dzdrdϑ = π Il primo integrale all ultimo membro è nullo. e segue D z x + y ) dxdydz = π sin ϑ r 3 r sin ϑ r z dzdrdϑ = π 3 r r 3 z dzdrdϑ. r r 3 r) 3 r 9) dr.

7 Possiamo sviluppare il cubo, oppure integrare per parti. Scegliendo la seconda opzione si ha { π [ r 3 r) 3 r 9) dr = π 3 3 r ] 4 r3 r) } r r) 4 dr = 4 { [ = π 3 r 4 r3 r) 4 3 ] r r) } r r) 5 dr = = π [ 3 r 4 r3 r) 4 3 r r) 5 r r)6 ] r)7 = 5π 4 4. Esercizio 3 Dobbiazmo calcolare l integrale curvilineo F, τ 3 ds, bs con τ vettore tangente convenientemente orientato. La superficie S è cartesiana: infatti si ha x + z ) + y z ) = z z + y x ) = x y, e ricordando che deve essere x + y si trova Inoltre x + z ) + y z ) = z z = bs = {x, y, z) : z =, x + y = }, x y + x y. ossia bs è la circonferenza unitaria del piano xy. Poiché su S la normale che ha terza componente positiva è quella esterna, l orientazione coerente di bs è quella antioraria del piano xy. Allora per il nostro calcolo possiamo utilizzare il teorema di Stokes, scegliendo come superfiucie Σ una qualsiasi superficie regolare che abbia come bordo la circonferenza unitaria del piano xy: ad esempio, il disco D = {x, y, ) : x + y }. Con questa scelta si ottiene F, τ 3 ds = rotf, n 3 dσ. otiamo ora che, con facili calcoli, bs rot Fx, y, z) = xz y ), yx z ), zy x ) ) ; inoltre risulta n =,, ) su D. Dunque si conclude, essendo z = su D, che F, τ 3 ds = rot F, n 3 dσ =. bs D D

8 Primo compitino - novembre 7 Esercizio Data la funzione si analizzi l insieme F x, y) = x y + y 3 + y, Z = {x, y) R : F x, y) = } verificando che in ogni punto x, y ) Z è applicabile il teorema delle funzioni implicite. Scelto x, y ) = 3, ), scrivere inoltre: i) l equazione della retta tangente a Z nel punto 3, ); ii) il polinomio di Taylor di centro 3 e grado della funzione implicita. Esercizio Trovare il massimo ed il minimo della funzione nell insieme fx, y) = y x ) E = {x, y) R : x + y 4 x }. Esercizio 3 Si consideri la successione di funzioni f n x) = xn + x 5n, x [, ]. + xn i) Determinare il limite puntuale fx) della successione {f n } per n, nei punti di [, ] in cui esso esiste; ii) Stabilire in quali sottointervalli di [, ] la convergenza delle f n verso f è uniforme. Risoluzione Esercizio La F è di classe C e si ha F x, y) = xy, x y + 3y + ); se in un punto x, y) il gradiente di F si annulla, allora dal sistema { Fx x, y) = xy = F y x, y) = x y + 3y + = segue subito che x, oppure y, è nulla. Ma da x = segue 3y + =, assurdo, mentre da y = ricaviamo =, assurdo. Dunque F x, y) x.y) R. In particolare, in ogni punto x, y ) Z vale il teorema del Dini, ossia esiste un intorno U di x, y ), tale che Z U è grafico di una funzione di classe C.

9 i) Scelto x, y ) = 3, ), si ha F 3, ) = 3, ); quindi esiste una funzione g di classe C, invertibile, definita in un intorno V di 5, a valori in un intorno W di, tale che x, y) Z W V ) se e solo se y = gx). La retta tangente a Z in 3, ) ha equazione F x 3, )x 3) + F y 3, )y + ) =, ossia 3x 3) y + ) =. ii) Poiché si richiede di scrivere un polinomio di Taylor che ha centro in 3, la funzione implicita da considerare è proprio gx) e non g y)). Dalla relazione segue, derivando due volte, F x, gx)) = x gx) + gx) 3 + gx) = xgx) + x gx)g x) + 3gx) g x) + g x) =, gx) + 8xgx)g x) + x g x) + 6gx)g x) + [x gx) + 3gx) + ]g x) = ; Calcolando in x = 3, essendo g 3) =, la prima equazione fornisce 3 6g 3) + 3g 3) + g 3) =, ossia g 3) = 3, mentre dalla seconda si ricava )g 3) =, ossia g 3) = 46. Pertanto il polinomio cercato è px) = + 3x 3) 3x 3). Esercizio L insieme E è disegnato in figura. Cerchiamo i punti stazionari interni ad E: il sistema { 4xy x ) = y x ) = ha come soluzioni i punti della parabola di equazione y = x che giacciono all interno di E: si tratta dei punti x, x ) tali che x + < x < 4 x, ossia tali che < x <. In questi punti comunque la f vale, e questo è sicuramente il valore minimo di f in

10 E. Inoltre i punti del bordo 7 7,,, ) sono certamente punti stazionari vincolati con moltiplicatore λ =, nei quali il valore di f è nullo. Sul bordo vi sono poi due punti singolari in cui non vi è retta tangente), cioè i vertici, ) e, ) ove f, ) = 6, f, ) = 4. Vediamo cosa succede sul segmento y = x +, < x < : si ha fx, x + ) = x + x ), la derivata vale x + x ) x) e nell intervallo ], [ il secondo fattore non si annulla mai, mentre il primo è nullo per x x =, ossia per x =, da cui y =, e per x =, esterno all intervallo. Dunque su questo segmento troviamo solo il punto stazionario vincolato, ) già individuato in precedenza. Infine vediamo cosa accade lungo l arco di circonferenza x, 4 x ), < x <. Scrivendo x = cos t, y = sin t, π < t < π, otteniamo f cos t, sin t) = sin t 4 cos t), min E f = fx, x ) = x e] la derivata vale sin t 4 cos t) cos t + 8 cos t sin t). Tale derivata nell intervallo π, π[ si annulla solo quando sin t = cos t; scrivendo cos t = sin t, si ottiene il punto di ordinata y = sin t = 7 già trovato in precedenza. Pertanto su E non ci sono altri punti stazionari vincolati oltre a quelli già identificati. Confrontando tutti i valori trovati si conclude che 7,, max f = f, ) = 6. E Esercizio 3 Analizziamo la convergenza puntuale: si ha se x = lim f nx) = se < x < n non esiste se x =. Dunque la funzione limite fx) è definita per x ], ] e vale { se x ], [ fx) = se x =. La convergenza non può essere uniforme in ], ], a causa della discontinuità della f nel punto, e nemmeno in ], δ], con δ >, a causa della non convergenza puntuale in. Invece in [ + δ, δ] la convergenza è uniforme in quanto f n x) x n + x 5n + x n x n + x 5n δ) n + δ) 5n x [ + δ, δ],

11 da cui lim sup n x [ +δ, δ] f n x) lim n [ δ) n + δ) 5n] =. Secondo compitino - 7 marzo 8 Esercizio piano xz si calcoli l integrale Sia E il dominio che si ottiene ruotando intorno all asse z l insieme del Esercizio Sia Γ la curva definita da D = {x, z) : x, z x}; E z 4 x y dxdydz. y = cosh x, x ln 3. i) Si determini la retta normale a Γ nel punto ln, 5 4). ii) Si calcoli la lunghezza di Γ. Esercizio 3 Si consideri il campo vettoriale [ ] Fx, y) = e x lnx + y ) +, x x + y ) y e x, x, y) R \ {, )}. x + y i) Stablire se F è conservativo e, in tal caso, trovarne un potenziale. ii) Calcolare il lavoro di F lungo la curva descritta in coordinate polari dall equazione Risoluzione r = ϑ + ), ϑ 4π. Esercizio Il dominio E è descritto dalla relazioni x + y, z x + y, e quindi, utilizzando le coordinate cilindriche, r, z r, ϑ π.

12 Pertanto z 4 x y dxdydz = E = π = π = π = π = π Esercizio i) Ricordiamo che π r r z 4 r r dzdrdϑ = z 4 r r dzdr = [ ] z r r 4 r dzdr = r r) dzdr = π 4 r r ) dr = r + [ r + 4r 8 lnr + ) ] r r) + r dzdr = 7 = π 8 ln 3 ). cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x La curva si parametrizza come x R. Quindi il vettore tangente a Γ è e dunque il vettore normale è x = x, y = cosh x, ln 3 x ln 3. T =, sinh x), = ±sinh x, ). La retta normale a Γ nel punto ln, 4) 5 è quindi, in forma parametrica, ) ) ) x ln sinh ln = + t, t R, y 5/4 ossia, essendo sinh ln = / = 3, 4 x = ln t, y = 5 4 t t R; altrimenti, volendo scrivere la retta in forma cartesiana, ) ) ) x ln, =, y 5/4 3/4

13 ossia y = 4 3 x ln ) ii) Essendo Γ una curva cartesiana, la sua lunghezza è data dalla formula ln 3 ) d lγ) = + dx cosh x dx = = ln 3 ln 3 ln 3 + sinh x dx = ln 3 cosh x dx = sinh ln 3 = 8 3. Esercizio 3 i) Vediamo se il campo è conservativo: risulta [ e x lnx + y ) + x ]) [ ] = e x y y x + y x + y 4xy, x + y ) ) ) y e x y = e x x x + y x + y 4xy ; x + y ) dunque le derivate incrociate sono uguali. Però il dominio dove è definito il campo vettoriale non è semplicemente connesso, perché vi è il buco {, )}; dunque occorre verificare che sia nullo il lavoro di F su una fissata curva chiusa C che circondi l origine. Per nostra comodità, scegliamo come C la circonferenza unitaria risulta allora F dx = C π x = cos ϑ, y = sin ϑ, ϑ [, π] : [ e cos ϑ cos ϑ sin ϑ) + sin ϑ cos ϑ ] π dϑ = dx =. Dunque il campo F è conservativo. Un suo potenziale f deve soddisfare [ f x = ex lnx + y ) + x ] x + y f y = y ex x + y. Integrando rispetto a y la seconda equazione si trova fx, y) = e x lnx + y ) + cx). Utilizzando la prima equazione e derivando questa espressione si ottiene [ e x lnx + y ) + x ] = f [ x + y x = ex lnx + y ) + x ] + c x), x + y da cui c x) = e dunque cx) = costante. Quindi un potenziale di F è fx, y) = e x lnx + y ).

14 Consideriamo infine l integrale curvilineo proposto. La curva ha come primo estremo il punto corrispondente ) a ϑ =, che è, ), mentre il secondo estremo si ottiene per ϑ = 4π, ed è,. Pertanto 4π+) Γ ) F dx = f 4π + ), f, ) = e /4π+) ln 4π + ). 4 Terzo compitino - 9 maggio 8 Esercizio Le targhe delle automobili italiane, come si sa, sono formate da due blocchi di lettere le usuali 6, tranne I, O, Q, U) e da un blocco intermedio di 3 cifre fra e 9). i) Quante targhe distinte, teoricamente, esistono? ii) Scelta a caso una targa, determinare la probabilità: a) che la targa sia simmetrica, ossia non cambi se letta da destra verso sinistra; b) che la targa contenga 3 lettere distinte, delle quali una ripetuta due volte; c) cha la targa abbia le 3 cifre distinte e in ordine crescente. iii) Sapendo che la targa ha 3 lettere distinte, delle quali una ripetuta due volte, qual è la probabilità che le lettere uguali siano entrambe nel primo blocco? Esercizio Sia X una variabile aleatoria con legge gaussiana, ). Posto Y = e X, calcolare la speranza e la varianza di Y, e determinare per quali c R risulta P Y c) 4. Esercizio 3 Sia X una variabile aleatoria con densità a se x > a, f a x) = x se < x a, ove a è un numero compreso fra e. i) Si calcoli P a X ). ii) Sia X,..., X un campione statistico di taglia secondo le P a. Posto { se Xi, Y i = se X i >, si determini la legge di Y i e quella di Y = i= Y i secondo P a.

15 iii) Si provi che Z = Y è uno stimatore corretto del parametro a e se ne calcoli il rischio quadratico. iv) Sia =. In presenza delle osservazioni x,..., x della statistica X,..., X, date da , si stimi esplicitamente il parametro a mediante Z. Risoluzione Esercizio i) Dato che ogni lettera può scegliersi liberamente fra, e ogni numero può scegliersi liberamente fra, le targhe distinte sono 4 3 = ii) a) Affinché la targa sia simmetrica, le prime lettere e i primi numeri sono scelti arbitrariamente, mentre il terzo numero e le altre lettere sono obbligate. Pertanto, esasendo ciascuna scelta equi-probabile, la probabilità di avere una targa simmetrica è = ii) b) I casi favorevoli si ottengono osservando che le 3 lettere si scelgono in 3 modi, i posti dove inserire lettere uguali si scelgono in 4 ) modi, e le lettere si possono permutare in 3! modi; i casi possibili sono 4. Perciò la probabilità ricbiesta è 3 ) 4 ) 3! = 4 6 = = 35 = ii) c) Dobbiamo scegliere tre numeri distinti: ciò si può fare in 9 8 modi su. Per ciascuno di questi modi, la scelta che dà i numeri in ordine crescente è una su 6. Perciò avremo una probabilità pari a iii) Siano = 3 5 =.. B = { lettere uguali nel primo blocco}, L = {3 lettere distinte, delle quali una ripetuta volte}. Dobbiamo calcolare P B L): dalla formula di Bayes si ha ) P B L) = P L B)P B) P L). D altra parte, P B) =, perché avere due lettere uguali significa che la prima è arbitraria mentre la seconda deve essere uguale alla prima; inoltre, P L B) =,

16 perché se vi sono due lettere uguali nel primo blocco, per averne tre distinte occorre che nel secondo blocco ci siano lettere distinte da quella del primo blocco e distinte fra loro dunque possibilità su per la prima e possibilità su per la seconda); infine P L) = 6 3, come abbiamo visto. e segue subito P B L) = 6. Si poteva anche ragionare direttamente così: se vi sono lettere uguali e altre lettere distinte dalle precedenti, le due uguali si possono collocare in 4 ) = 6 posizioni differenti: quella che le vede entrambe nel primo blocco è una su 6. Dunque la probabilità che si verifichi proprio quella collocazione è. 6 Esercizio Calcoliamo la speranza di Y : E[Y ] = E[e X ] = R = e π e x e x π dx = e π Calcoliamo la varianza di Y : Var[Y ] = E[Y ] E[Y ] = R R e t ) dx = e π ma il primo integrale vale e x e x e dx = e x ) dx = e π π R cosicché R R R Var[Y ] = e e. e x ) dx = R e x e x dx e; e s ds = e. e x ) dx = e π R e t dt = e, Infine si ha P Y c) 4 se e solo se P X ln c) 4, ovvero se e solo se ln c φ.5. Dato che il quantile φ.5 è negativo, non lo troviamo sulla tabella: occorre notare che dalla relazione Φ x) = Φx) segue, con x = φ α, che φ α = φ α. Dunque si ha φ.5 = φ.75.68, e pertanto P Y c) 4 ln c.68, vale a dire P Y c) 4 se e solo se c e Esercizio 3 i) Risulta P a X ) = P X ) = f a t) dt = a a [ t dt = a ] = a. t a

17 ii) Per cisscun indice i =,...,, la variabile aleatoria Y i è bernoulliana di parametro a, dato che P Y i = ) = P X i ) = a e P Y i = ) = P X i ) = a. Di conseguenza la variabile aleatoria Y ha legge binomiale B, a). iii) Dobbiamo mostrare che la speranza di Z è uguale ad a. E infatti E[Z] = E[ Y/] = E[] E[Y ] = a) = a. Calcoliamo il rischio quadratico di Z: essendo Z uno stimatore corretto, tale rischio coincide con la varianza di Z. Pertanto, posto Y = Y, ed osservato che E[Y ] = a, Var[Y ] = a a) si ha a a) R Z a) = Var[Z] = Var[ Y ] = Var[Y ] =. iv) Sia =. Dobbiamo calcolare Z sulle osservazioni date: poiché Y i = se e solo se X i, per calcolare Y dobbiamo sommare una unità in corrispondenza delle osservazioni non superiori a, trascurando le altre. Si ha dunque, essendovi 3 osservazioni non superiori a, Y = 3, Z = Y = 3 = 7 =.35. Il parametro a è dunque stimato come.35, con un rischio quadratico pari a, a a.35).65) =.375. Compitino di recupero - 8 giugno 8 Esercizio. Si consideri la successione di funzioni {f n } n + definita da f n x) = x n, x R. i) ii) Si calcoli, dove esiste, il limite puntuale della successione. Si determinino gli intervalli dove la convergenza è uniforme. iii) Si stabilisca, al variare di x R, il comportamento della serie n= n f nx). Esercizio. Si trovi la soluzione del sistema differenziale { u t) = vt) + v t R, t) = ut) vt),

18 che verifica la condizione iniziale u) =, v) =. Esercizio.3 Determinare il massimo ed il minimo della funzione nell insieme fx, y) = e x x + y) D = {x, y) R : x y x }. Esercizio. Sia A R 3 l insieme ottenuto dalla rotazione attorno all asse z del chiuso E del piano xz, definito da E = {x, z) : x z x ), x }. Si determini il volume di A e si calcolino le coordinate del baricentro di A. Esercizio. Si consideri il campo vettoriale Fx, y, z) = y 3, z 3, x 3 ), x, y, z) R 3. Si calcoli il flusso del rotore di F attraverso la superficie { } Σ = x, y, z) R 3 x : 4 + y 4 + z =, z, orientata secondo il versore nornale n che ha terza componente n 3. Esercizio 3. Sia X, Y ) un vettore aleatorio con densità congiunta f XY x, y) = 6 x y) se x, y) ], [ ], 4[, 8 altrimenti. i) Si scrivano le densità marginali f X x) e f Y y). ii) Si calcolino la speranza e la varianza di X e di Y. iii) Si stabilisca se le due variabili aleatorie X e Y sono indipendenti. Esercizio 3. Per un determinato canale di trasmissione, il tempo misurato in secondi) necessario a ricevere un impulso è una variabile aleatoria X con densità µ,.5), ove µ non è nota. i) ii) In presenza di osservazioni indipendenti di X, con media empirica x = 3., si calcoli un intervallo di fiducia per µ di livello.99. elle ipotesi precedenti, si stabilisca quante devono essere le osservazioni affinché l intervallo di fiducia abbia ampiezza minore di.

19 Risoluzione Esercizio. i) Per calcolare il limite della successione è necessario distinguere i casi x >, x = e x >. Per x < si ha, essendo x n, lim f nx) = lim x n = ; n n per x = risulta direttamente f n ±) = = per ogni n + ; infine per x > otteniamo, essendo x n, In definitiva lim f nx) = lim x n x n = +. n n lim f nx) = fx) := n se x < se x = + se x >. ii) La convergenza non può essere uniforme in [, ], perché la funzione limite f è discontinua in ±. Fuori da [, ], la f vale + e dunque la convergenza uniforme è fuori discussione. In ], [ non vi è convergenza uniforme, visto che sup f n x) fx) lim f nx) = lim x n = =. x < x x Tuttavia in ogni intervallo della forma [ + δ, δ], con < δ <, la convergenza è uniforme, poiché sup f n x) fx) = sup [ ] x n = [ ] δ n, x δ x δ e d altra parte lim [ ] [ δ n = ] =. n iii) La serie data converge totalmente per x : infatti sup x n f nx) = n f n) = n ; ne segue immediatamente la tesi per confronto con la serie convergente Σ. Invece per n x > la serie diverge a +, visto che, essendo x n +, risulta n n= In definitiva n f nx) = n= n= x n n x n = + x ], [ ], + [. n f nx) { converge totalmente in [, ] diverge positivamente in ], [ ], + [.

20 Esercizio. Consideriamo dapprima ) il sistema omogeneo. Gli autovalori della matrice dei coefficienti A = si trovano risolvendo l equazione deta λ I) = λ + λ) = λ + λ = : le soluzioni sono λ = e λ =. Gli autovettori corrispondenti si trovano facilmente e sono u ) v = ), u ) v = ). Si ha quindi la matrice ) e t e Wt) = t e t e t, le cui colonne costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni. soluzioni del sistema omogeneo è dunque { ) } c e t + c e t V =, c c e t + c e t, c C. L insieme delle Cerchiamo adesso una soluzione particolare del sistema non omogeneo: il termine noto è ft) = ), e possiamo scegliere la soluzione vf t) = Wt)ct) con ct) = t Ws) fs) ds. Si ha, con calcoli facili, Wt) = ) e t e t 3 e t e t, Wt) ft) = ) e t, 3 e t e dunque ct) = 3 t e s e s ) ds = ) 6 et ), Wt)ct) = 3 e t ) ) e t ) + e t. e t ) + e t Pertanto l insieme delle soluzioni del sistema non omogeneo è { c e t + c e t + V f = ) } e t ) + e t, c c e t + c e t e t ) + e t, c C. Imponamo infine le condizioni di Cauchy: si trova { c + c = c + c =, da cui, immediatamente, c = e c =. Dunque la soluzione richiesta è ) ut) e t + yt) = = ) e t ) + e t ) = e t + e t. vt) e t e t ) + e t e t + e t

21 Esercizio.3 La funzione f è di classe C in D, cerchiamo i punti stazionari interni di f annullandone il gradiente: si ha f = se e solo se { e x x + y) + x e x = e questo sistema non ha soluzioni. e x =, Vediamo la situazione sul bordo D: ci sono due punti dove non esiste la retta tangente, e sono i punti ove x = x, vale a dire x = ±, y =. In questi punti si ha f, ) = e, f, ) = e. Sulla parte inferiore del bordo, cioè la curva y = x, x <, si ha fx, x ) = x e x, e la sua derivata è 4x e x x e x : essa si annulla per x = e per x =, ma quest ultimo punto è fuori dall intervallo che ci interessa. Risulta f, ) =. Sulla parte superiore del bordo, cioè la curva y = x, x <, si ha fx, x ) = e x, quindi la derivata non si annulla mai. In conclusione, confrontando i valori di f nei punti trovati, concludiamo che max f = f, ) = e, min f = f, ) =. D D Esercizio. Calcoliamo il volume di A: trattandosi di un insieme di rotazione intorno all asse z, possiamo integrare per circonferenze, usando la ben nota formula m 3 A) = π x dxdz. E

22 Dunque m 3 A) = π = π x ) x dzdx = π x x x) dx = 4π x x ) x + ) dx = x x ) dx = 4π ) = 3 3 π. Calcoliamo il baricentro x, y, z) di A. Per ragioni di simmetria, si ha x = y =. Quanto a z, si ha z = z dxdydz; m 3 A) A descrivendo A in coordinate cilindriche x = r cos ϑ y = r sin ϑ z = z, r, ϑ π, r z r ), otteniamo z = 3 π π r ) r zr dzdϑdr = 3 [ z r ] r ) r dr = = 3 r r ) 4 r ) ) dr = 3 4r 4 + 6r 3 4r ) dr = = ) = 3 3 ) = In definitiva, il baricentro di A è il punto,, 5). Esercizio. Dobbiamo calcolare rotf, n 3 dσ, Σ

23 ove n è il versore normale a Σ che ha n 3. Dato che il bordo bσ di Σ è la circonferenza di equazione x + y = 4 del piano z =, conviene utilizzare la formula di Stokes: rotf, n 3 dσ = F, t 3 ds, Σ ove t è il versore tangente a bσ orientato in modo coerente a n: dunque, in verso orario rispetto al piano z =. Possiamo comunque utilizzare per la circonferenza bσ la consueta parametrizzazione x = cos ϑ, y = sin ϑ, ϑ π, a condizione di cambiare il segno dell integrale curvilineo. In definitiva, con tale parametrizzazione si ha t = sin ϑ, cos ϑ, ) e quindi, essendo F = y 3, z 3, x 3 ), troviamo Σ rotf, n 3 dσ = = 6 = 6 pi π π bσ [ sin ϑ) 3 sin ϑ) + cos ϑ) + cos ϑ) 3 ] dϑ = π sin 4 ϑ dϑ = 6 sin ϑdϑ 4 π sin ϑ cos ϑ) dϑ = sin ϑ dϑ = π. Esercizio 3. Le densità marginali si calcolano mediante le formule h X x) = h XY x, y) dy, h Y y) = h XY x, y) dx. R el nostro caso, essendo h XY concentrata nel quadrato ], [ ], 4[, si ha: 4 6 x y) dy se x ], [, h X x) = 8 altrimenti; R

24 poiché si ricava Similmente, x y) dy = 3 x 4 [ y 6 ] 4 3 x se x ], [, h X x) = 4 altrimenti. = 3 x, 4 6 x y) dx se y ], 4[, h Y y) = 8 altrimenti; essendo si ottiene Calcoliamo E[X] ed E[Y ]: si ha E[X] = E[Y ] = 4 x h X x) dx = 4 y h Y y) dy = x y) dx = 3 y 4 [ x 6 ] 5 y se y ], 4[, h Y y) = 4 altrimenti. 4 Calcoliamo Var[X] e Var[Y ]: si ha E[X ] = e dunque analogamente E[Y ] = e pertanto 4 x h X x) dx = 4 y h Y y) dy = 4 x3 x) dx = 3 4 y5 y) dy = 5 4 [ y [ x x 3 x) dx = 3 4 ] 4 ] = 5 y 4, [ x [ y 3 4 [ x 3 3 ] 3 4 Var[X] = E[X ] E[X] = 5 36 = 36 ; 4 y 5 y) dy = 5 4 [ y 3 3 ] 4 4 ] 4 [ y 4 4 ] [ x 4 = 3 3 = 5 6, = = ] 4 ] = 7 3 = =, 5 = 5 3, Var[Y ] = E[Y ] E[Y ] = = 36. Stabiliamo infine se X e Y sono indipendenti o no: si ha, per x, y) ], [ ], 4[, h XY x, y) = 6 x y), 8 h Xx)h Y y) = 6 3 x)5 y) = 5 5x 3y + xy), 6

25 e queste funzioni sono diverse fra loro, essendo polinomi di grado differente. Se X e Y fossero indipendenti, esse dovrebbero coincidere: pertanto le variabili aleatorie X e Y non sono indipendenti. Esercizio 3. i) Come si sa, la media empirica X è uno stimatore corretto della media sconosciuta µ. Cerchiamo allora δ > tale che P X µ δ) α, ove nel nostro caso α =., ossia α =.99. Poiché X ha densità µ,.5/), la variabile aleatoria Z = X µ.5 ha densità, ). Osservato che.5 =.5, risulta P X µ δ) = P Z δ.5 ) = Φ Dunque P X µ δ) α =.99 se e solo se δ ) Φ α.5 =.995, δ ) ) Φ δ δ ) = Φ, cioè se e solo se δ φ = Un intervallo di fiducia di livello.99 per la media µ sarà dunque, sostituendo a X la media x = 3. del campione e scegliendo δ = 3.87, ii) L ampiezza dell intervallo di fiducia è [ , ]. 3.87, cioè 7.74 ; affinché tale ampiezza sia minore di, occorre che 7.74 <, ossia > Pertanto dobbiamo scegliere 6.