II Prova - Matematica Classe V Sez. Unica

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1 Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, /6/7 II Prova - Matematica Classe V Sez. Unica Soluzione Problemi. Risolvi uno dei due problemi: Problema. Si può pedalare agevolmente su una bicicletta a ruote quadrate? A New York, al MoMath- Museum of Mathematics si può fare, in uno dei padiglioni dedicati al divertimento matematico (Figura ). È però necessario che il profilo della pedana su cui il lato della ruota può scorrere soddisfi alcuni requisiti. In Figura è riportata una rappresentazione della situazione nel piano cartesiano Oy: il quadrato di lato DE (in opportune unità di misura) e di centro C rappresenta la ruota della bicicletta, il grafico della funzione f ( ) rappresenta il profilo della pedana. Figura. Figura. i. Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in Figura, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione: f ( ) e + e,! rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per a; a ; determina inoltre il valore degli estremi a e a dell intervallo. di 5

2 Per visualizzare il profilo completo della pedana sulla quale la bicicletta potrà muoversi, si affiancano varie copie del grafico della funzione f ( ) relativo all intervallo a; a, come mostrato in Figura 3. Figura 3. ii. Perché la bicicletta possa procedere agevolmente sulla pedana è necessario che: a sinistra e a destra dei punti di non derivabilità i tratti del grafico siano ortogonali; la lunghezza del lato della ruota quadrata risulti pari alla lunghezza di una gobba, cioè dell arco di curva di equazione f ( ) per a; a. Stabilisci se tali condizioni sono verificate. * iii. Considerando la similitudine dei triangoli rettangoli ACL e ALM in Figura 4, e ricordando il significato geometrico della derivata, verifica che il valore dell ordinata d del centro della ruota si mantiene costante durante il moto. Pertanto, al ciclista sembra di muoversi su una superficie piana.! Figura 4. * In generale, la lunghezza dell arco di curva avente equazione y ϕ( ) compreso tra le ascisse e è ( ( )) d data da + ϕ. di 5

3 Anche il grafico della funzione: f ( ) 3 e + e, per ln 3 ; ln 3 se replicato varie volte, può rappresentare il profilo di una pedana adatta a essere percorsa da una bicicletta con ruote molto particolari, aventi la forma di un poligono regolare. iv. Individua tale poligono regolare, motivando la risposta. Risoluzione. i. Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in Figura, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione: f ( ) e + e,! rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per inoltre il valore degli estremi a e a dell intervallo. a; a ; determina Noto dal grafico che la funzione rappresentata è definita e continua in a; a, il suo grafico è simmetrico rispetto all asse y, interseca l asse y in un punto di ordinata circa uguale a,4, è crescente in a; ed è concava in a; a. La funzione f ( ) possiede tutte queste caratteristiche: il suo dominio è!, è pari ( f ( ) f ( ),! ), interseca l asse y in un punto di ordinata!,4, è crescente in a; ( f ( ) e e e e ) ed è concava in ( f ( ) e + e <! ). a; a Resta da determinare gli zeri della funzione: f ( ) e + e e + e e e + e e + e ( ) e ± e ± a ln( )!,88 a ln( +)!,88. ii. Perché la bicicletta possa procedere agevolmente sulla pedana è necessario che: a sinistra e a destra dei punti di non derivabilità i tratti del grafico siano ortogonali; la lunghezza del lato della ruota quadrata risulti pari alla lunghezza di una gobba, cioè dell arco di curva di equazione f ( ) per a; a. Stabilisci se tali condizioni sono verificate. 3 di 5

4 Verifico le due condizioni. Basta verificare che f + ( ln( ) ) f ( ln( +) ) (condizione di perpendicolarità): f + ( ln( ) ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f ( ln( +) ) ( ) ( ). + + ( ) + + ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( +) + + ( ) ln( +) Basta verificare che + e e d : ln( ) ln( +) + e e d ln( +) e + + e d ln( ). ln( ) Pongo t e : lnt, d t ln( +) allora t +. L integrale diventa + t + d t + +. dt ; se ln( ) allora t, se + ( +t )d t t + iii. Considerando la similitudine dei triangoli rettangoli ACL e ALM in Figura 4, e ricordando il significato geometrico della derivata, verifica che il valore dell ordinata d del centro della ruota si mantiene costante durante il moto. Pertanto, al ciclista sembra di muoversi su una superficie piana. Per praticità riporto il disegno di Figura 4. 4 di 5

5 Considero il triangolo ACL: AC d f ( ) ( d > f ( ), ln ( ); ln( + ) ) e CL (metà lato). Considero il triangolo ALM: AM d, ML df ( ) f ( )d e quindi, applicando il Teorema di Pitagora, AL ( d) + df ( ( )) + ( f ( ) ) d. Considerando la similitudine dei triangoli ACL e ALM: AC : CL AL : AM CL AL AC AM + f + f ( ( )) d f ( ) d f ( )+ + f ( ( )) d d f ( ) ( ( )). ( ) d Sostituisco nella relazione appena trovata le relative espressioni analitiche: d e + e + + e e d e + e + e + + e 4 d e + e ( + e + e ) 4 d. iv. Individua tale poligono regolare, motivando la risposta. Per individuare il poligono regolare, basta analizzare le due condizioni date nel punto ii. Osservo che la derivata prima della funzione qui data coincide con la derivata prima della funzione data all inizio del problema. f + ln 3 3 f + ( ln 3 3 ) 3 ln 3 e f 3 f ( ln ) 3 3, quindi l angolo che si forma in un intorno dei punti di non derivabilità è α arctan 3 3 arctan 3 3 arctan 3. Il poligono regolare deve avere 3 quindi gli angoli interni di tale misura: il poligono con queste caratteristiche è l esagono regolare. Per quanto anticipato all inizio di questo punto sulla derivata prima, l esagono regolare ha lato di lunghezza ln 3 ln 3 ( e + e )d e e ln 3 + e e d ln 3 e + + e d ln 3 ln 3 ln 3 ( ) ln 3 3 3!,5. 5 di 5

6 Problema. Consideriamo la funzione f :!!, periodica di periodo T 4 il cui grafico, nell'intervallo ; 4, è il seguente: Figura. Come si evince dalla Figura, i tratti OB, BD, DE del grafico sono segmenti i cui estremi hanno coordinate: O( ; ), B( ; ), D( 3; ), E( 4; ). i. Stabilisci in quali punti del suo insieme di definizione la funzione f è continua e in quali è derivabile e verifica l esistenza dei limiti: lim f ( ) e lim f ( ) ; qualora + + esistano, determinane il valore. Rappresenta inoltre, per ; 4, i grafici delle funzioni: g( ) f ( ) h( ) f ( t)dt. ii. Considera la funzione: s( ) sin( b), ( ) abbia lo stesso periodo con b costante reale positiva. determina b in modo che s di f ( ). Dimostra che la porzione quadrata di piano OABC in Figura viene suddivisa dai grafici di f ( ) e s( ) in 3 parti distinte e determina le probabilità che un punto preso a caso all interno del quadrato OABC ricada in ciascuna delle 3 parti individuate. iii. Considerando ora le funzioni: f ( ) e s ( ). discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuzione) dei 3 valori di probabilità determinati al punto precedente.! iv. Determina infine il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse y della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione h per ; 3 e l asse 6 di 5

7 delle. Risoluzione. i. Stabilisci in quali punti del suo insieme di definizione la funzione f è continua e in quali è derivabile e verifica l esistenza dei limiti: lim f ( ) e lim f ( ) ; qualora + + esistano, determinane il valore. Rappresenta inoltre, per ; 4, i grafici delle funzioni: g( ) f ( ) h( ) f ( t)dt. La funzione data ha la seguente espressione analitica: k se k k + k pari f ( ) k ( ) se k k + k dispari, k!. Essendo polinomiale è continua in!. La funzione è derivabile in!\ k + poiché lim f ( ) lim f ( ). Il lim f + k+ k+ + { }, k!. infatti in k + ammette punti angolosi ( ) non esiste perché la funzione data è periodica. ( ) in quanto la funzione data è limitata ( f ( ) ) e un limitato diviso un Il lim f + illimitato dà un infinitesimo (applico il Teorema dei due carabinieri alle funzioni a( ), ϕ( ) f ( ) e b grafico di g( ) f ( ) ( ), notando che f ( ). per > ). g( ) se k k + k pari se k k + k dispari, k!. Quindi, per ; 4, si ha il seguente grafico: 7 di 5

8 grafico di h( ) f ( t)dt. h( ) k se k k + k pari k + se k k + k dispari, k!. In effetti, se f ( t) t k allora h( ) t k ( ) k ( ) k. Essendo k pari, per garantire la continuità, pongo la costante additiva uguale a ( h( ) ). Se f ( t) ( t k) allora h ( ) t k ( ) k ( ) + k. Essendo k dispari, per garantire la continuità pongo la costante additiva uguale a ( h( ) ). Quindi, per ; 4, si ha il seguente grafico: ii. Considera la funzione: s( ) sin( b), ( ) abbia lo stesso periodo con b costante reale positiva. determina b in modo che s di f ( ). Dimostra che la porzione quadrata di piano OABC in Figura viene suddivisa dai grafici di f ( ) e s( ) in 3 parti distinte e determina le probabilità che un punto preso a caso all interno del quadrato OABC ricada in ciascuna delle 3 parti individuate. Ricordo che una funzione ϕ( ) ha periodo T! quando,!, ϕ( +T) ϕ( ). 8 di 5

9 Ora, sin ( b ), b!, ha periodo T π b, infatti sin b + π b sin ( b + π) sin( b). Ma tale periodo dev essere uguale a 4, quindi b π. Per dimostrare che la porzione quadrata di piano OABC in Figura viene suddivisa dai grafici di f ( ) e s( ) in 3 parti distinte basta mostrare che, ;, s( )> f ( ) (o s( )< f ( )): sin( π )>? sin π ( ) >? sin ( π ) >? SÌ! Perché, passando al limite π π per che tende a + la disuguaglianza è verificata nell intorno ;. Poiché l area del quadrato OABC ha valore unitario, le probabilità richieste coincidono con il valore delle aree. In riferimento alla figura sottostante, calcolo le probabilità richieste. p A p A! 3,66%. p 3 A 3 s( )d π π sin π d + π cos π ( s( ) f ( ) )d π π sin π d d π cos π f ( )d 5%. π! 36,34%. π! iii. Considerando ora le funzioni: f ( ) ed s ( ). discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuzione) dei 3 valori di probabilità determinati al punto precedente.! 9 di 5

10 Per ; f le funzioni f ( ) ed s ( ) assumono valori in ;. Questo significa che ( ) ed s ( ) assumeranno dei valori minori a parità di. Ne consegue che A aumenterà e A 3 diminuirà, mentre A dovrebbe rimanere pressoché invariata. Precisamente: p A s π ( )d sin d + π π cos( π)d + π sin ( π ) 5%. p A s ( ) f π ( ( ) )d sin d d p 3 A 3 f ( )d 3 3 3! 33,33%. ( cos( π) )d ! 6,67%. iv. Determina infine il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse y della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione h per ; 3 e l asse delle. Conviene considerare i singoli tratti. ; : il volume si determina per differenza tra il volume del cilindro di raggio 3 e altezza, 9π, e il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all asse y della regione di piano compresa tra l asse y, la retta y e il grafico di h( ), ( ) dy π y π 4 ; Quindi 7π 4. ; 3 : il volume si determina per differenza tra il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all asse y della regione di piano compresa tra le rette y, ( ) per ; 3 y e la parte di grafico di h, π + y, e il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all asse y della regione di piano compresa tra le rette y, y e la parte di grafico di h ( ) dy ( ) dy di 5 ( ) dy ( ) per ; ( ) dy, π y : π + y π y π + y dy 8π y dy. ( ) ( y) Ponendo t y, trovo che y t, quindi dy tdt ; inoltre, se y allora t, se y allora t. Dunque: 8π y dy 8π t ( t)dt 8π t dt 8π 3. Finalmente V 7 4 π π 83 π.

11 Questionario. Risolvi cinque dei dieci quesiti:. Definito il numero E come: E e d, dimostra che risulta ed esprimere e d e E, in funzione di e ed E. 3 e d Risposta. Integrando per parti con fattore differenziale e e d e e d e e d e E. Idem per il secondo integrale: 3 e d 3 e 3 e d e 3 e d ottengo quanto richiesto: e 3( e E) 6E e.. Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica. Dimostrare!che la torta occupa meno dei 3 5 del volume della semisfera.! Risposta. Il problema richiede di verificare che il cilindro di volume massimo inscrivibile nella semisfera di raggio r!, avente base in comune con essa, sia minore di 3 5 Vsfera 5 πr3. Chiamo! il raggio di base del cilindro, < < r. Devo determinare l altezza del cilindro iscritto in funzione di. In riferimento alla figura, applicando il Teorema di Pitagora, trovo che h r. Determino quindi il volume del cilindro inscritto in funzione della : V( ) π r. Ora, V ( ) π r + π r ( ) π ( r ) π 3 π( r 3 ) e ricavo il valore massimo di V( ), studiando il segno della derivata r r prima: di 5

12 N N 6 3 r 6 3 r D > r < < r Il volume è massimo quando 6 3 V MAX π 6 3 r r 6 3 r 3 9 πr3. r e tale volume è Verifico che la condizione di minimo sia verificata, ovvero mi chiedo se 3 9 πr3 < 5 πr3 : 3 9 πr3 <? 5 πr3 3 9 <? <? 9 75<? 8 SÌ! 3. Sapendo che lim a + b 6, determina i valori dei parametri reali a e b. a + b 6 b 6 Risposta. Poiché lim, il limite assume un valore finito quando b 6, ovvero quando b 8. a Poiché lim lim a, il limite assume valore quando a a. ( ) a 4. Per sorteggiare numeri reali nell intervallo ; viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti, in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione: f ( ) i. Quale sarà il valore medio dei numeri generati?! ii. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 4 3?! iii. Qual è la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di? di 5

13 Risposta. i. Chiede di determinare il valore medio di una VA X continua con funzione densità di probabilità f ( ) : 3 µ ( X) f ( )d d ii. P( X 3 4) P( 3 4 X 3 4) f ( )d. 3 iii. P( X <) f ( )d d ,5%. 5. Dati i punti A( ; 3; ), B( 3; ; ), C( ; ; 3), determinare l equazione della retta r passante per A e per B e l equazione del piano " perpendicolare ad r e passante per C.! Risposta. Per determinare l equazione della retta r determino il vettore direzione r! :! ""! r AB ( 3 ( ); 3; )( 5; 3; ). Sapendo che A r : + 5t r : y 3 3t. z t Poiché il piano " è perpendicolare alla retta r, il vettore normale al piano coincide con! r, quindi π : 5 3y z + d, d!. Per determinare il valore del parametro d impongo il passaggio per C: 5 3 ( 3) + d d. In definitiva π : 5 3y z. 6. Determinare il numero reale a in modo che il valore di sia un numero reale non nullo. Risposta. Sia l lim sin a sin lim a. Se a allora l lim sin I possibili valori di a vanno quindi ricercati in! >. Se < a allora l lim sin a lim sin sin Sia a >: lim a :H a lim cos. a Se < a allora l a lim cos a. a a. lim a ( sin ). 3 di 5

14 Se < a < 3 allora l a lim cos 3 a. Se a 3 allora l 3 lim è ben defi- Se a > 3 allora l a lim nito). cos 6. cos a 3 a lim ± (se <, a non a 3 In definitiva, se a < 3 allora l, mentre se a > 3 allora l ±. Esiste quindi un unico valore che soddisfi la richiesta: a 3.! 7. Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio 6 tangenti al piano " di equazione + y z + nel suo punto P di coordinate ; ; ( ). Risposta. Sia C α; β; γ ( ) il centro della generica sfera che soddisfi il quesito. Tale punto gia- ( ) e ce sulla retta r perpendicolare a " passante per P. Quindi! r ; ; +t r : y t. z t α +t C r β t. γ t Sapendo che il raggio della sfera vale 6, ottengo: α+ β γ + CP dist( C,π) 6 α+ β γ + 6 +t + 4t +t t t t. Posso ora determinare le coordinate dei centri richiesti: α + ( ) α α + α C : β ( ) β ; C : β β. γ ( ) γ 3 γ γ Quindi C ( ; ; 3) e C ( ; ; ), come confermato nella seguente rappresentazione: 4 di 5

15 ! 8. Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da a. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità p doppia rispetto a ciascun altra faccia. Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno volte.! Risposta. Posso immaginare di avere un dado a forma di triscaidecaedro con le facce numerate da a e dove il numero 3 compare due volte. Quindi la probabilità che esca la faccia contrassegnata dal numero 3 è p 3. Si tratta di una VA X bernoulliana con n 5 e : P( X ) P( X < ) P( X ) P X ! 7,9%. ( ) Dimostrare che l equazione arctan e ha una e una sola soluzione reale. Risposta. Applico il Teorema di esistenza degli zeri alla funzione f ( ) arctan e, continua in!, nell intervallo ; assicurata l esistenza di uno zero. : poiché f ( ) f ( ) π 4 + e π 4 ++ e <, è ivi Tale zero è inoltre unico visto che la funzione è crescente in! : f ( ) e >! (somma di quantità non negative e non contemporaneamente nulle). Ne consegue che l equazione data ammette un unica soluzione.. Data la funzione: f ( ) 4, verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del Teorema di Rolle nell intervallo 3; 3 e che comunque esiste almeno un punto dell'intervallo 3; 3 in cui la derivata prima di f ( ) si annulla. Questo esempio contraddice il Teorema di Rolle? Motivare la risposta in maniera esauriente. ( ) e Risposta. La funzione data non è derivabile in, infatti f ( ) sgn 4 4 lim f ( ) lim f ( ) 4. Quindi l ipotesi che la funzione sia derivabile in 3; 3 + viene meno. Noto che f ( ). Tale esempio non è assolutamente in contraddizione con il Teorema di Rolle visto che la derivabilità è una condizione di sufficienza per l esistenza di un punto stazionario. Tale esempio mostra che la condizione di derivabilità non è anche necessaria. Contraddire il Teorema di Rolle significa trovare un esempio nel quale siano verificate tutte le ipotesi e giungere alla negazione della tesi, appunto l esistenza di un punto stazionario. 5 di 5