La struttura stellare (II)

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1 La struttura stellare (II)

2 Il trasporto dell energia La produzione di energia nucleare avviene nel nucleo della stella e l energia prodotta deve essere trasportata verso l esterno. In genere il trasporto dell energia avviene attraverso i fotoni ovvero si ha un trasporto radiativo. In certe condizioni si instaura la convezione e si passa al trasporto convettivo, ovvero il plasma caldo fluisce dalle regioni interne alle regioni esterne, e quello freddo viceversa (vedi corso Termodinamica). Si può facilmente dimostrare (vedi più avanti) che questo avviene quando dt (r) > 1 T P dp (r) in tal caso, questa diventa proprio l equazione del trasporto radiativo Per M > 1.2 M la produzione di energia è col ciclo CNO, il nucleo è convettivo ed il mantello radiativo. Per M < 1.2 M la produzione di energia è col ciclo pp, il nucleo è radiativo ed il mantello convettivo. Al diminuire della massa il mantello convettivo cresce in dimensioni fino ad interessare tutta la stella per M < 0.5 M 2

3 Il trasporto dell energia Zon interna convettiva, zona esterna radiativa Zona interna radiativa, zona esterna convettiva Interamente convettiva Dominate dal ciclo CNO Dominate dalla catena p-p 3

4 Il trasporto radiativo: opacità I fotoni all interno della stella possono essere assorbiti o diffusi (scattered) per l interazione con atomi, ioni, molecole, ed elettroni. L interazione tra un fotone ed una particella (atomo, ione, elettrone) si può parametrizzare tramite la sezione d urto σ, parametro legato alla probabilità dell interazione (dimensionalmente è una superficie): se il fotone incide sulla superficie virtuale σ posta alla posizione della particella si ha l interazione (diffusione e/o assorbimento). σ dl ds ds Visto dal fotone Consideriamo un elemento di volume cilinico attorno alla direzione di propagazione di un fotone. 4

5 Il trasporto radiativo: opacità La probabilità di interazione è data dal rapporto tra l area coperta dalla sezione d urto delle particelle e la superficie del volumetto su cui incide il fotone dp = dn ds dn = ndsdl dp = n dl con dn numero particelle nel volumetto n densità di particelle nel volumetto cf. con la profondità ottica la distanza tipica che il fotone percorrerà tra una interazione e l altra (cammino libero medio) si avrà per una probabilità p=1 (τ=1) ovvero l = 1 n = 1 k k = m opacità In generale se la materia stellare è composta da vari assorbitori e diffusori di densità ni e sezione d urto σi si avrà l = 1 P i n = 1 i i k = X i n i m i k = P P i n i i i m in i = d = dl = n dl P i ( i/m i ) i P i i 5

6 Il trasporto radiativo: opacità k è l opacità che compare nell equazione del trasporto radiativo. Il meccanismo più semplice di opacità è la diffusione della luce da parte di elettroni liberi (scattering Thomson) caratterizzata da e 2 2 = cm 2 T = 8 3 m e c 2 σt è la sezione d urto Thomson; è la minima sezione d urto per l interazione tra materia e radiazione. Nell interno delle stelle il gas è completamente ionizzato, è costituito quasi di solo H, l interazione avviene con i soli elettroni (σt ~ 1/m 2 ) per cui n e n H = M 3 mh 4/3 r3 ' 1.4 g cm l = 1 n e T m H T g 1.4 g cm cm 2 ' 2 cm si è usata la densità media del Sole ma se ρ è più grande, come al centro, l è ancora più piccolo. In effetti una stima più accurata al centro è l~0.1 cm. 6

7 Il trasporto radiativo: opacità In pratica i fotoni percorrono solo tratti molto piccoli prima di essere deviati. Lo spostamento vettoriale totale è D = l 1 + l l i + + l n l i l 3 la distanza percorsa è il modulo dello spostamento l 1 l 2 D 2 = l l l i l n 2 + X ij l i l j se considero una gran numero di processi di diffusione allora poiché gli spostamenti li hanno direzioni casuali nello spazio X ij l i l j =0 D 2 = X i l i 2 = X i l 2 = Nl 2 ovvero D = l p N 7

8 Il trasporto radiativo: opacità Un fotone che viene prodotto al centro del Sole sarà diffuso N volte prima di uscire con N = r l cm = = cm Il fotone percorre un tratto pari a N l quindi il tempo necessario ad uscire dal Sole sarà = Nl c = l c r l 2 = r 2 lc = ( cm) 2 2 cm cm s 1 ' s= yr 8

9 Il trasporto radiativo Possiamo adesso ricavare l equazione che lega T(r) al flusso di energia radiante attraverso la stella. Dato il piccolo cammino libero medio dei fotoni all interno della stella, ed il numero elevato di processi di diffusione, assorbimento e emissione a cui sono sottoposti i fotoni, si può pensare che ogni elemento di volume della stella sia all equilibrio termodinamico (locale) e che quindi irraggi come un corpo nero. Tuttavia, c è un flusso netto di radiazione verso l esterno, e quindi deve esserci una piccola anisotropia nell emissione (e quindi un piccolo discostamento dall emissione di corpo nero). Il flusso netto di radiazione attraverso un elemento di volume è L(r) u Δr L(r) u +Δu

10 Il trasporto radiativo Questo deve essere pari all eccesso di energia tra r e r+, fratto il tempo necessario ad attraversare la shell ovvero, se u è la densità di energia L(r) 4 r2 r u ( r) 2 /lc = 4 r 2 lc u r ( r) 2 /lc è il tempo necessario ad attraversare la shell a seguito del cammino casuale visto prima Una derivazione più rigorosa aggiunge solo un fattore 1/3, per cui passando alle derivate L(r) 4 r 2 = lc 3 du Questa è a tutti gli effetti una equazione di diffusione, che descrive il flusso netto di energia verso l esterno ( lc/3 è il coefficiente di diffusione). L opacità del mezzo compare in l : per valori piccoli si avranno L grandi, ovviamente a parità di gradienti di u.

11 Il trasporto radiativo Poiché siamo vicini all equilibrio termodinamico ed ogni volumetto si comporta come un corpo nero, si ha u = 4 c B (T ) du = du dt dt sostituendo in L(r) u = 4 c =4aT 3 dt 4 r 2 = lc 3 dt (r) du Z +1 0 B (T )d = 4 c T 4 = at 4 l = 1 n = 1 k si noti che questa è una equazione analoga a si ha l equazione del trasporto radiativo = 3L(r)k(r) (r) 4 r 2 4acT 3 (r) di ds = I + dove si è integrato sulla frequenza e si è fatta l assunzione dell equilibrio termodinamico locale per cui Iν = Bν e quindi si è usata T per descrivere la radiazione. Inoltre il cammino libero medio l corrisponde a profondità ottica unitaria ovvero τν = 1 = αν l pertanto l = 1/αν

12 Il trasporto radiativo Possiamo stimare quindi l ordine di grandezza della luminosità solare da T L(r) 4 r 2 = lc 3 du L 4 r 2 lc 3 u r lc 3 at 4 è la temperatura media del Sole e quindi possiamo usare quella stimata col teorema del viriale T = T vir K con l = 0.1 cm otteniamo quindi r L = cm cm sec cgs ( K) 4 = erg s 1 in ragionevole accordo con la luminosità solare L = erg s 1 Se il sole non fosse composto principalmente di iogeno ma, ad esempio, di carbonio ionizzato, la massa media delle particelle sarebbe m 12 7 m H 2m H invece di m m H 2 La temperatura viriale sarebbe 4 volte più grande, e quindi la luminosità predetta sarebbe sbagliata di 2 ordini di grandezza!

13 Il Trasporto Convettivo Fino ad ora abbiamo visto come l energia viene trasportata verso l esterno grazie al trasporto radiativo, ovvero grazie alla diffusione dei fotoni. In certe condizioni però, il trasporto diviene convettivo. La convezione si instaura quando un elemento di volume, spostato dalla sua posizione di equilibrio, continua a muoversi nella direzione dello spostamento. In sostanza, la convezione è un fenomeno che nasce dall instabilità dell equilibrio. Un volumetto di gas si trova in equilibrio al raggio r dove le condizioni fisiche sono T, P, ρ. Viene spostato al raggio r+ dove l ambiente ha T+dT, P+dP, ρ+dρ; il gas nella stella soddisfa all equazione di stato per cui / P T d = dp P dt T 13

14 Il Trasporto Convettivo Per semplificare il problema, supponiamo che la trasformazione subita dal volumetto di gas sia adiabatica (ovvero così veloce da non avere il tempo di scambiare energia con l ambiente); il volumetto di gas cambia le sue condizioni fisiche per adattarsi all ambiente T+δT, P+δP, ρ+δρ (notare δ invece di d, perché le variazioni sono diverse). Poichè la trasformazione è adiabatica P / dp P = d = c P c V ricordando il Principio di Archimede, il volumetto di gas continuerà a salire se risulta + < + d < d ovvero < d e ricordando quanto appena trovato e che δp = dp (equilibrio pressione) 1 dp P < dp P dt T 14

15 Il Trasporto Convettivo ovvero dt T < 1 dp P dt < 1 T P dp poichè i gradienti di P e T sono entrambi negativi possiamo infine scrivere dt > 1 T P dp questa è la condizione per cui avviene la convezione, ovvero il gradiente di temperatura deve essere grande. Se il gas è monoatomico γ=5/3 (iogeno neutro o ionizzato) ma all aumento del numero di gradi di libertà (es. gas che si raffredda e comincia ad avere molecole) gamma aumenta e dt/ può essere più piccolo. Questo avviene per esempio nelle atmosfere delle stelle più fredde come le nane rosse. Una volta che la convezione è innescata la situazione di equilibrio si raggiunge con l uguaglianza nella relazione sopra, che quindi diventa l equazione del trasporto da utilizzare dt = 1 T (r) P (r) dp 15

16 Il trasporto dell energia Zon interna convettiva, zona esterna radiativa Zona interna radiativa, zona esterna convettiva Interamente convettiva Dominate dal ciclo CNO Dominate dalla catena p-p 16

17 L equazione di stato Fino ad ora abbiamo utilizzato come equazione di stato l equazione del gas perfetto, ovvero abbiamo assunto che la pressione sia dovuta soltanto alla pressione termica del gas. Tuttavia abbiamo appena visto che, in alcune regioni, avviene un trasporto radiativo di energia e quindi la densità di energia (e quindi la pressione) associate al campo e.m. possono essere non trascurabili. In pratica, Dobbiamo tener conto sia della pressione del gas ma anche della pressione di radiazione. Per il gas abbiamo già visto che PV = nrt si può trasformare in P gas = nrt V = N V R N A T = M mv R N A T = m kt 17

18 Equazione di stato Riguardo alla pressione di radiazione, ricordiamo la definizione di intensità de = I cos da dt d d se invece dell energia passo al numero di fotoni dn ( )= de h = I h cos da dt d d ciascun fotone ha una quantità di moto (diretta lungo il raggio di propagazione) pari a normale P da θ dω q = h c ovvero la quantità di moto trasportata nella direzione Ω è dq ( )=q dn ( )= de h P rad ( )= df? da = dq ( ) dt h c = de c la pressione di radiazione in P sulla superficie da e dovuta ai fotoni che si muovono nella direzione Ω è quindi cos da = I cos2 d d c 18

19 Equazione di stato per ottenere la pressione totale occorre integrare su frequenza e angolo solido (supponiamo Iν isotropa) P rad = 1 c Z 1 0 I d Z 2 0 d Z 0 cos 2 sin d se il sistema è all equilibrio termodinamico locale (cioè posso definire T punto per punto) Iν = Bν Z 1 0 Z 0 F [BB]d = Z 1 0 cos 2 sin d = 2 3 B d = T 4 Z 1 0 B d = T 4 P rad = 1 T c 3 = c T 4 = 1 3 at4 P rad = 1 3 u si noti come la pressione di radiazione corrisponde dimensionalmente ad una densità di energia (u = at 4 è la densità di energia della radiazione) In conclusione, l equazione di stato è P = P gas + P rad = kt m at 4

20 Equazioni della struttura stellare Le equazioni che descrivono la struttura stellare sono: dp (r) dm(r) = GM(r) (r) r 2 equilibrio iostatico =4 r 2 (r) conservazione della massa dt (r) = 3L(r)k(r) (r) 4 r 2 4acT 3 (r) dt = 1 T (r) P (r) dp trasporto radiativo/convettivo (trasporto energia all interno della stella, k(r)~σ/m è l opacità) dl(r) =4 r 2 (r) (r) conservazione dell energia (ε(r) è l energia prodotta per unità di tempo e di massa) 20

21 Equazioni della struttura stellare Queste equazioni vanno risolte con le opportune condizioni al contorno M(r = 0) = 0 M(r = r? )=M? L(r = 0) = 0 L(r = r? )=L? P (r = r? )=0 L dipende dalle altre proprietà della stella, questa si usa in alternativa a M a queste vanno poi aggiunte le equazioni che descrivono lo stato del gas, l opacità ed i meccanismi di produzione dell energia P = P [ (r),t(r), (X, Y, Z)] k = k[ (r),t(r), (X, Y, Z)] = [ (r),t(r), (X, Y, Z)] X = H ; Y = He ; Z = Metalli composizione chimica del gas (metalli, elementi più pesanti di He) 21

22 Esempio: modello struttura del Sole 22

25 Equazioni della struttura stellare Ci sono 7 equazioni accoppiate per 7 incognite P (r), M(r), (r), T(r), k(r), L(r), (r) con 4 condizioni al contorno per le 4 equazioni differenziali del primo ordine; se c è una soluzione, questa è unica. Ricordiamo che, utilizzando il teorema del viriale, avevano trovato dei valori medi di pressione e temperatura del Sole che possiamo ora confrontare con il modello solare standard che si ottiene dalla soluzione delle equazioni appena presentate: P = Pa = 10 9 atm T vir K 25

26 Esempio: modello struttura del Sole Valore Medio con Teorema del Viriale 26

27 Esempio: modello struttura del Sole Valore Medio con Teorema del Viriale 27

28 Relazioni di scala dal diagramma HR Siamo ora in grado di spiegare le relazioni di scala per le stelle che sono state trovate osservativamente nel diagramma HR L M 3 L T 8 e (per stelle con M >M ) (con Te temperatura superficiale) Determiniamo la quantità di energia immagazzinata nella stella sotto forma di radiazione. La pressione di radiazione è P rad T 4 è dimensionalmente (ma anche realmente Prad = 1/3 u) una densità di energia per cui E T 4 R 3 Il tempo impiegato a far uscire questa energia dalla stella è il tempo che i fotoni impiegano ad andare dal centro alla superficie della stella ovvero = R2 lc = R2 T m H c R 2 28

29 Relazioni di scala dal diagramma HR ovvero L E T 4 R 3 R 2 T 4 R una relazione analoga si sarebbe scritta partendo dall equazione del trasporto radiativo: P GM 2 4 R 4 T GMm H 6k B R dt (r) = 3L(r)k(r) (r) 4 r 2 4acT 3 (r) σ è stato lasciato per far vedere il suo effetto. Considerandolo costante si ricava la relazione L-M per stelle tipo Sole o più massicce; considerando altri processi σ non è costante e si ricava la relazione per stelle meno massicce del Sole. Consideriamo il caso in cui sia costante. Applicando il teorema del viriale abbiamo trovato P M 2 R 4 T M R 29

30 Relazioni di scala dal diagramma HR Combinando le relazioni per L, P e T otteniamo L R T 4 R M R 4 M 4 R 3 M 3 dato che R 3 M cioè la relazione osservata. La diversa pendenza per le stelle di bassa massa ( L~M 5 ) deriva da una dipendenza dell opacità da T, ovvero da un diverso processo di scattering che domina in quelle stelle. Vediamo adesso di capire perché L~Te 8 L M 3 per stelle con M>M L M 5 per stelle con M<M L T 8 e si riferisce a tutta la sequenza principale, per cui consideriamo una relazione L-M intermedia ovvero L M 4 per tutte le stelle 30

31 Relazioni di scala dal diagramma HR ricordiamo che L =4 R 2 T 4 e T M R Te superficiale, T media della stella T 4 e L R 2 M 4 R 2 M 4 T 2 M 2 M 2 T 2 L 1/2 T 2 come abbiamo visto l equilibrio delle stelle sulla sequenza principale è mantenuto dal bruciamento dell H nel nucleo che avviene a temperature ben definite. In pratica T~costante per tutte le stelle di sequenza principale, allora T 4 e L 1/2 ovvero L T 8 e 31