Laboratorio di Stima e Filtraggio: Applicazioni della teoria di Wiener

Transcript

1 Laboratorio di Stima e Filtraggio: Applicazioni della teoria di Wiener Gian Antonio Susto (Original work by Chiara Masiero) DEI - UniPD 28 Aprile 2016 G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

2 Informazioni Slides e funzioni disponibili al link Calendario: teaching.html 1 14 Aprile Matlab, Filtraggio, Applicazioni al ltraggio alla Wiener 2 28 Aprile Metodo dei Residui, Calcolo parte causale 3 19 Maggio Filtro di Kalman e Filtro di Kalman Esteso Per generare una password temporanea utilizzare il link G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

3 Sommario 1 Recap Lezione Precedente 2 Metodo dei Residui 3 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale 4 Interpolatore G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

4 Recap Lezione Precedente

5 Recap Lezione Precedente Lez. 1 - Esercizio 1 Creare una funzione in MATLAB Scrivere un programma Matlab sommatorepq.m che 1 Calcoli la somma dei polinomi p = x 3 2x + 8 e q = 17x 2 5 (attenzione alla corrispondenza tra coecienti e grado dei monomi) 2 Rappresenti sullo stesso graco p, q e p + q sull'intervallo [ 30, 30]; Estensione: scrivere una funzione sommatorepolinomi.m che sommi e rappresenti polinomi generici. G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

6 Recap Lezione Precedente Comandi utili per il ltraggio Costruzione ltro: num = [1 0.8] den = [1 0.3] F = tf(num,den,-1) Calcolare y(t) = F (z)e(t), ovvero la soluzione a valore iniziale nullo dell'equazione alle dierenze y(t) = 0.3y(t 1) + e(t) + 0.8e(t 1) y = filter(num,den,e) Per valutare un polinomio p su un vettore di punti X : polyval(p,x) Recuperare numeratore e denominatore: [n,d]=tfdata(f,'v') G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

7 Metodo dei Residui

8 Metodo dei Residui Scomposizione in fratti semplici Possiamo scomporre una funzione razionale F (z) in fratti semplici: dove F (z) = N(z) D(z) = n p µ i i=1 j=1 n p è il numero di poli distinti µ i è la molteplicità del polo p i R ij (z p i ) j + k n z n + + k 1 z + k 0 R ij è il coeciente relativo al termine di molteplicità j del polo p i n è pari alla dierenza tra grado del numeratore e grado del denominatore di F (z). La parte polinomiale c'è se e solo se n 0 (funzione non strettamente propria). G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

9 Metodo dei Residui Scomposizione in fratti semplici: Esempi Esempio 1 Esempio 2 F 1 (z) = z (z + 0.3)z = A z B z { { A + B = 1 0.3B = 0.8 F 2 (z) = z 0.8 (z 0.3) 2 z = A z + B z C (z 0.3) 2 A = 5/3 B = 8/3 A(z 0.3) 2 + B(z 2 0.3z) + Cz = z 0.8 A + B = 0 A = 0.8/ A = 0.8 B = 0.8/ A 0.3B + C = 1 C = 5/3 G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

10 Metodo dei Residui Metodo dei Residui Poli Semplici I coecienti R i1 vengono detti residui ed hanno un ruolo fondamentale nel calcolo di alcuni integrali complessi Supponiamo µ i = 1, i = 1,..., n p (f.d.t. con soli poli semplici) Il residuo di una funzione in p i si calcola R i1 = lim z pi F (z)(z p i ) Esempio: F 1 (z) = p 1 = 0 : z+0.8 (z+0.3)z R 11 = lim z 0 F (z)z = lim z 0 z z = 8 3 p 2 = 0.3 : R 21 = lim F (z)(z + 0.3) = z 0.3 lim z 0.3 z z = 5 3 G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

11 Metodo dei Residui Metodo dei Residui Poli Multipli Supponiamo µ i > 1 (funzione con almeno un polo multiplo, p i ) Il residuo in p i si calcola come [ ] 1 d (µ i 1) R i 1 = lim (µ i 1)! z p i dz (µ i 1) (F (z)(z p i ) µ i ) Esempio: F 2 (z) = [ R i 1 = 1 d lim 1! z 0.3 dz [ d = lim z 0.3 dz z 0.8 (z 0.3) 2 z, p i = 0.3, µ i = 2 ( F2 (z)(z 0.3) 2)] = lim z 0.3 ( )] 1 0.8z = lim z 0.3 z = [ d ( )] 1 0.8z 1 dz G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

12 Metodo dei Residui Metodo dei residui Calcolo di integrali Spesso (ad esempio per il calcolo di varianze) dobbiamo valutare integrali del tipo A tal ne: 1 π G(e jϑ )dϑ = 1 G(z) dz = R i1 2π π 2πj z =1 z p i <1 1 Calcolare lo sviluppo in fratti semplici di F (z) = G(z) z 2 Sommare i residui: i coecienti relativi alla molteplicità 1 dei soli poli a modulo minore di 1. G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

13 Metodo dei Residui Scomposizione in fratti semplici / Metodo dei residui Implementazione in Matlab In Matlab: [r,p,k] = residue(num,den) con [ ] r = R 11 R R 1µ1 R [ ] p = p 1 p 1... p 1 p 2..., dove ogni p i è ripetuto µ i volte ] k = [k n... k 1 k 0 Operazione inversa (dall'espansione in fratti alla funzione razionale): [num,den]=residue(r,p,k) G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

14 Metodo dei Residui Esercizio 1 Funzione integrale(num,den) Costruire la funzione integrale(num,den) che calcola l'integrale lungo la circonferenza {z : z = 1} della funzione Suggerimenti: G(z) = num(z) den(z) cercare i poli di F (z) = G(z) z con valore assoluto minore di 1, sfruttando le funzioni abs e find prestare attenzione all'ordine degli output di residue con G 1 (z) = zf 1 (z) = z+0.8 z+0.3 risultato é 1 con G 2 (z) = zf 2 (z) = 0.09]) il risultato é 0 (num = [1 0.8], den = [1 0.3]) il z 0.8 (z 0.3) 2 (num = [1-0.8], den = [1-0.6 G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

15 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale

16 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale (1 di 4) Sia F (z) la trasformata zeta di un segnale f scalare ad energia nita. Supponiamo che F (z) ammetta sviluppo in serie di Laurent, convergente in una corona circolare r < z < R contenente la circonferenza unitaria (r < 1 < R): F (z) = + k= f (k)z k = + f (2)z 2 + f (1)z 1 + f (0) + f ( 1)z 1 + f ( 2)z }{{}}{{} Parte Causale Parte Strettamente Anti-Causale = [F (z)] + + [[F (z)]] La parte causale [F (z)] + è la trasformata zeta della parte causale di f. G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

17 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale (2 di 4) Riprendiamo la formulazione in fratti semplici di F (z) razionale che assumiamo essere priva di poli sulla circonferenza di raggio unitario F (z) = N(z) D(z) = = i: p i <1 n p µ i i=1 j=1 R i (z) + k + 0 } {{ } [F (z)] + R ij (z p i ) j + k n z n + + k 1 z + k 0 + k 0 + i: p i >1 R i (z) + n i=1 k i z i } {{ } [[F (z)]] dove k 0 = k k 0 e R i(z) = µ i R ij j=1 (z p i ) j, con [[F (0)]] = 0. A partire dallo sviluppo in fratti semplici, per determinare la parte causale ci basta considerare i fratti relativi ai poli interni al cerchio unitario. G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

18 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale (3 di 4) Dall'espansione in fratti semplici [F (z)] + = k R i (z) i: p i <1 [[F (z)]] = k + n 0 R i (z) + k i z i i: p i >1 i=1 dove, essendo [[F (z)]] strettamente anticausale, k 0 = R i (0), i: p i >1 k + = k 0 0 k = k R i (0) i: p i >1 G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

19 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale (4 di 4) µ Lo sviluppo di i R ij j=1 (z p i ) j nell'intorno di {z : z = 1} Contiene solo potenze di z negative o nulle se p i < 1; Contiene solo potenze di z positive o nulle se p i > 1. Considerare il fratto 1 z a, relativo ad un polo semplice a: Se a < 1 allora lo sviluppo di Laurent attorno a z = 1 è z 1 k=0 a k z k convergente per z > a ; Se a > 1 allora lo sviluppo di Laurent attorno a z = 1 è convergente per 0 z < a ; 1 a a k z k G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27 k=0

20 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale Calcolo in MATLAB: procedura Vogliamo calcolare la parte causale e strettamente anti-causale di F = tf(num,den,-1). 1 Calcolare lo sviluppo in fratti semplici di F (z) utilizzando residue(num, den) 2 Ottenere il vettore dei poli causali p c = {p i : p i < 1} e i relativi coecienti, r c 3 Ottenere il vettore dei poli anti-causali p ac = {p i : p i > 1} e i relativi coecienti, r ac 4 Calcolare k 0 e k+ 0 5 Ricostruire la parte causale e quella strettamente anti-causale con residue() G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

21 Calcolo Parte Causale e Parte Strettamente Anti-Causale Esercizio 2 Funzione parte_causale(num,den) Costruire la funzione parte_causale(num,den) [n c, d c, n ac, d ac ] = parte_causale(num, den) la quale calcola numeratore n c e denominatore d C della parte causale e della parte strettamente anti-causale (n ac, d ac ) della funzione razionale F (z) = num(z) den(z) Con (num = [2-1 -5], den = [2-7 3]) (un polo in 1/2 ed uno in 3) otteniamo (n c, d c ) = ([1/3 5/6], [1-1/2]) (n ac, d ac ) = ([2/3 0], [1-3]) G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

22 Interpolatore

23 Interpolatore Interpolazione - 1 Per ottenere l'interpolazione in Matlab, dobbiamo ricondurla a sottoproblemi in cui è richiesta un'elaborazione causale dei dati. Consideriamo il ltro interpolatore H. Possiamo agire in due modi: 1) Scomposizione moltiplicativa di H in cui H(z) = H (z) H + (z) = N (z) D (z) N+(z) D + (z) = N(z) D(z) 1 H (z) è anticausale. I suoi poli sono a modulo maggiore di uno (scelta opportuna di D (z)). 2 H + (z) è causale. I suoi poli sono a modulo minore di uno (D + (z)) e la funzione è propria (deg N + (z) deg D + (z)). G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

24 Interpolatore Interpolazione - 2 2) Scomposizione additiva di H H(z) = K (z) + K + (z) = M(z) D(z) = M (z) D (z) + M +(z) D + (z) Per calcolare K (z), anticausale, e K + (z), causale, possiamo 1 Utilizzare il metodo dei residui; 2 Risolvere l'equazione diofantea: D + (z)m (z) + D (z)m + (z) = M(z) che si riconduce alla soluzione di un sistema di equazioni lineari. G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

25 Interpolatore Esempio: Interpolatore di Mayne-Fraser Sia H(z) il ltro interpolatore: ˆx(t Z) = H(z)y(t) K + (z) y(t) ˆx(t Z) + K (z) (4) Realizzazione bilanciata: (1) Decomporre H(z) in parte causale K + (z) e anticausale K (z): H(z) = K + (z) + K (z). (2) Calcolare la parte causale K + (z) (3) K (z) = H(z) K + (z) k + (0) = K + ( ) = k (0) = K (0) = 1 2 h(0) G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

26 Interpolatore Filtraggio anticausale in Matlab Implementiamo il ltraggio all'indietro per l'interpolatore di Mayne-Fraser: 1 Ribaltare il processo di ingresso: 2 Rendere il ltro causale: y_rev = wrev(y); - aggiungere zeri in testa al vettore più corto fra numeratore e denominatore di H (z) - ribaltare numeratore e denominatore di H (z), ottenendo num_rev e den_rev 3 Filtrare: x_rev = filter(num_rev,den_rev,y_rev) 4 Recuperare il segnale interpolato: x = wrev(x_rev); G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27

27 Interpolatore Un altro metodo per il calcolo della parte causale Predittore di Wiener per modelli ARMA y(t) ε(t) ŷ(t + k t) L 1 (z) [z k L(z)] + L(z) = C(z) A(z), [zk L(z)] + = C k(z) A(z), ŷ(t + k t) = C k(z) C(z) y(t) Poiché z k C(z) = zq(z)a(z) + C k (z), in Matlab: [q,c_k] = deconv([ C 0 }.{{.. 0} ], [ A 0 ]) k zeri G.A. Susto (DEI - UniPD) SeF Lab.2 28 Aprile / 27