INFERRE COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA

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1 INFERRE COLLANA DI PROBABILITÀ E STATISTICA MATEMATICA 2

2 Direttore Corrado TANASI Università degli Studi di Palermo Comitato scientifico Giuseppe RAO Università degli Studi di Palermo Francesco RUSSO University of Cape Town Francesco TULONE Università degli Studi di Palermo

3 Melania Papalia Calcolo integrale

4 Copyright MMXV Aracne editrice int.le S.r.l. via Quarto Negroni, Ariccia (RM) (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: aprile 205

5 A Michele, Chiara, Gabriele, Raffaele

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7 Indice Metodi di integrazione. Integrali immediati Integrali quasi immediati Esercizi di riepilogo sugli integrali immediati e quasi immediati Integrali di funzioni razionali Esercizi di riepilogo Integrazione per parti Esercizi di riepilogo Integrazione per sostituzione Esercizi di riepilogo Calcolo di una primitiva Integrali definiti 5 2. Le proprietà dell integrale definito Esercizi di riepilogo Calcolo di aree Esercizi di riepilogo Integrali impropri 4. Funzione integranda illimitata Intervallo di integrazione illimitato Calcolo di aree Esercizi di riepilogo La funzione integrale Note conclusive 55 7

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9 2 Prefazione Questo eserciziario si rivolge a studenti di scuola superiore o laurea che si trovino ad affrontare compiti o esami di Matematica e si presenta come un breve viaggio nel mondo del Calcolo Integrale per funzioni definite nel campo reale e a valori reali. Ogni capitolo propone qualche richiamo teorico sui concetti fondamentali utilizzati, per approfondimenti dei quali si rinvia a un testo di Analisi Matematica, e indica uno schema guida per affrontare gli esercizi. Numerosi esempi descrivono i procedimenti da applicare e sono corredati da esercizi specifici e di riepilogo con gradi diversi di difficoltà e approfondimento. Il primo capitolo contiene un gruppo di esercizi sui principali Metodi di integrazione, successivamente applicati al calcolo di una particolare primitiva, alla risoluzione di integrali definiti e generalizzati al calcolo di integrali impropri. Particolare attenzione è rivolta agli aspetti geometrici del concetto di integrale. Concludo ringraziando il Prof. Angelo Guerraggio per aver letto la bozza del lavoro, per i preziosi suggerimenti che hanno permesso la realizzazione del testo definitivo e soprattutto per la passione e il coraggio che mi ha trasmesso. Melania Papalia 9

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11 Capitolo Metodi di integrazione In questo capitolo affrontiamo esercizi di calcolo di integrali indefiniti, focalizzando la nostra attenzione su alcuni metodi di integrazione: quando e come si applicano, le principali difficoltà e le possibili alternative. Una sezione è dunque dedicata a ognuno dei seguenti argomenti: integrali immediati, ovvero integrali la cui risoluzione si basa sull applicazione di semplici regole nonchè sulle proprietà di linearità dell integrale; integrali quasi immediati; integrali di funzioni razionali; integrazione per parti; integrazione per sostituzione. Poichè l obiettivo principale consiste nel fornire numerosi esercizi nonchè spunti di riflessione, dopo ogni metodo di integrazione si inserisce una sezione di esercizi di riepilogo sui casi visti per facilitare l individuazione di un procedimento da applicare tra più strade percorribili. La conclusione del capitolo è una sezione dedicata a un applicazione di quanto precedentemente discusso, ovvero calcolare la primitiva di una funzione f(x) data, che soddisfa una certa condizione. Per comodità del lettore si riportano alcuni Teoremi e proprietà fondamentali, senza dilungarsi sulle ipotesi e le dimostrazioni per le quali si rimanda a un testo di riferimento.. Integrali immediati Definiamo integrali immediati quelli che si possono risolvere ricorrendo esclusivamente alle proprietà di additività e omogeneità dell integrale (proprietà distributiva), ovvero portando le costanti moltiplicative al di fuori del segno di integrale e

12 2 Calcolo integrale 6 Metodi di integrazione calcolando anzichè l integrale di una somma, la somma degli integrali delle funzioni coinvolte: (kf(x)+cg(x)) = k f(x) +c g(x), k,c R. Faremo ricorso alle proprietà delle funzioni elementari quali potenze, logaritmi, esponenziali,... e alla seguente tabella: = x + c x a = xa+ a+ + c, (a ) e x = e x + c a x = ax ln a + c = ax log a e + c, (a >0, a ) x = ln x + c x log a e = log a x + c, (a >0, a ) sin x = cos x + c cos x = sin x + c sin x = ln tan x 2 + c sin 2 = cotan x + c x = arcsin x + c x 2 cos x = ln tan ( x2 + π 4 ) + c cos 2 = tan x + c x +x 2 = arctan x + c Consideriamo qualche esempio. a e c sono delle costanti. Esempio. Calcolare l integrale indefinito ( x +9x ). La funzione integranda è definita come la somma algebrica di funzioni potenza, dunque possiamo applicare la proprietà distributiva e scomporre l integrale nella somma di integrali immediati. ( x +9x ) = x + 9 =x x x4 + c. x

13 . Integrali immediati 7 Esempio 2. Calcolare l integrale indefinito ( ) x 2 + 2x 2 sin x. Applichiamo la proprietà distributiva, così da affrontare separatamente il calcolo dell integrale per le funzioni potenza, esponenziale e trigonometrica. ( ) x 2 + 2x 2 sin x = x x sin x 2 = x + 2x + cos x + c. 2ln2 Esempio. Calcolare l integrale indefinito ( e x+ ) +x 2 ln x. Per ricondurci alle formule riportate in tabella, teniamo presenti la proprietà distributiva e il teorema delle potenze a x a y = a x+y. ( ) e x+ +x 2 ln = e e x ln x +x2 x =e x+ arctan x ln ln x + c. Esercizi proposti Calcolare i seguenti integrali immediati. I. Metodi di integrazione x 2x 2 + x 2 ( x x x +6) 4 2 x+ x x x ( x 7 +4x 5 ) 5 ( x + x ) 2 6 ( 2+ x ) 2 7 e x+2 e x 8 ( ) e x+5 + e x + e7 7 9 ( x+ + ln ) 0 ( 4 x+ e 5) 2 x log 2 e 2 x (log e +) (2 sin x +) 4 ( 2 cos 2 x +sinπ 2 cos x ) Svolgimento degli esercizi proposti

14 4 Calcolo integrale 8 Metodi di integrazione Esercizio. Teniamo presente la relazione xm x n = x m n. x 2x 2 + x = 2 x + x = x 2ln x 2 x 2 + c. Esercizio 2. Raccogliamo il fattor comune al fine di semplificare. 2 x + x ( x 2+ x x = ) ( x ) ( 2+ ) = ( ) ( 2+ ) = ( )x + c. Esercizio. ( ) x x x +6 = Esercizio 4. ( x ) 7 +4x 5 = x x x + 6 = 5 9 x ln x +6x + c. 2x2 x x 5 = 7 0 x x + c. 5+ Esercizio 5. Sviluppiamo il quadrato del binomio ricordando che (x ± y) 2 = x 2 + y 2 ± 2xy. ( x + x) 2 = (x 2 + x ) 2 +2 = x 2 + x = x +2x + c. x Esercizio 6. ( 2+ ) 2 ( = 4+ x x + 4 ) x =4 + x + 4 =4x +ln x +8 x + c. x

15 I. Metodi di integrazione. Integrali immediati 9 5 Esercizio 7. e x+2 e x e x ( e 2 ) ( e 2 ) = = e x ( = ex e 2 ) + c = ex+2 e x + c. Esercizio 8. Ricordiamo la proprietà delle potenze con esponente negativo ( ) n = a n. a ( e x+5 + ) e x + e7 = e 5 7 e x + e x + e7 7 =(e 5 +)e x + e7 7 x + c. Esercizio 9. Esercizio 0. ( x+ + ) = ln ( 4 x+ e 5) = 4 x + ln = x+ ln + x ln + c = x+ + x + c. ln 4 x e 5 =4 4x ln 4 e5 x + c = 4x+ ln 4 e5 x + c. Esercizio. Risolviamo questo integrale in due modi, tenendo presente la formula per il cambiamento di base dei logaritmi log c b = log a b log a c. Primo modo: utilizziamo la formula dell integrale immediato x log a e = log a x + c, ovvero

16 6 Calcolo integrale 0 Metodi di integrazione 2 x log 2 2 e = 2 x log 2 e = log 2 x + c 2 = ln x 2ln2 + c poichè log b x k = k log b x e log 2 x = ln x ln 2. Secondo modo: utilizziamo la formula dell integrale immediato x = ln x + c, ovvero 2 x log 2 2 e = 2 log 2 e x = log 2 e +ln x + c 2 = ln x 2ln2 + c poichè log 2 e = ln ln 2 e = ln 2. Esercizio 2. Risolviamo anche questo esercizio, come il precedente, in due modi. Primo modo: utilizziamo la formula dell integrale immediato x log a e = log a x + c, ovvero ( log e + ) = x x log e + x = log x +ln x + c = ln x +ln x + c ln ( ) =ln x ln + + c. Secondo modo: utilizziamo la formula dell integrale immediato x = ln x + c, ovvero ( log e + ) = ( log x e + ) x ( ) = log e + ln x + c ( ) =ln x ln + + c.

17 I. Metodi di integrazione.2 Integrali quasi immediati 7 Esercizio. (2 sin x +) =2 sin x + = 2 cos x + x + c. Esercizio 4. Ricorda sin π 2 =. ( ) 2 cos 2 x +sinπ 2 cos x = 2 cos 2 x + = 2 tan x +sinx + c. cos x.2 Integrali quasi immediati In questa sezione focalizziamo la nostra attenzione sulla generalizzazione delle formule che permettono di risolvere quelli che abbiamo definito integrali immediati, ovvero siamo interessati a comprendere i casi in cui, al posto della variabile indipendente x, incontriamo una generica funzione f(x). [f(x)] n f (x) = [f(x)]n+ n+ + c, (n ) e f(x) f (x) =e f(x) + c a f(x) f (x) = af(x) ln a + c = af(x) log a e + c, (a >0, a ) f (x) = ln f(x) + c f(x) f (x)sinf(x) = cos f(x)+c f (x) cos f(x) =sinf(x)+c f (x) sin 2 = cotan f(x)+c f(x)

18 8 Calcolo integrale 2 Metodi di integrazione f (x) cos 2 = tan f(x)+c f(x) f (x) = arcsin f(x)+c f 2 (x) f (x) = arccos f(x)+c f 2 (x) f (x) +f 2 = arctan f(x)+c (x) a e c sono delle costanti. Si osservi che gli integrali immediati si possono dedurre dalle formule sopra elencate, considerando f(x) =x e dunque f (x) =. Questo giustifica l appellativo di integrali quasi immediati. Consideriamo qualche esempio, cercando di individuare la funzione f(x) che caratterizza l integrale quasi immediato. Esempio 4. Calcolare l integrale indefinito 6x +5. Sia [f(x)] n =[6x +5] e dunque f (x) =6. Allora 6x +5 = 6 6x +5 6 = (6x +5) c. Esempio 5. Calcolare l integrale indefinito e arctan x +x 2. Sia f(x) = arctan x e dunque f (x) = +x 2. Allora e arctan x +x 2 = earctan x + c. Esempio 6. Calcolare l integrale indefinito e x +.

19 I. Metodi di integrazione.2 Integrali quasi immediati 9 Sia f(x) =f (x) =e x. Allora +e x e x + = e x e x + ( ex = = e x + ) e x e x + = x ln(e x +)+c. Si osservi che non è necessario considerare il modulo dell argomento del logaritmo poichè (e x +)> 0, x R. Esempio 7. Calcolare l integrale indefinito sin x. Sia f(x) =x e dunque f (x) =. Allora sin x = sin x 9 = cos x + c. 9 Esempio 8. Calcolare l integrale indefinito 9x 2 +. Sia f(x) =x e dunque f (x) =. Allora 9x 2 + = +(x) 2 = arctan(x)+c. Esercizi proposti Calcolare i seguenti integrali quasi immediati. 5 5x 2 (+7x ) 7 6 sin x cos 4 x ln x x 8 +x x 2 xe x 2 x 2 20 e sin x x ( cos x) e x e x 22 5x+ 5x 2 +2x x x 2x 5x 2 ln x

20 20 Calcolo integrale 4 Metodi di integrazione sin(x +5) 26 x cos ln x ln x x sin ln 2 x 28 x sin 2 ln x sin x sin 2 cos x 0 (x+) cos 2 (x+) 2 x 2 x 4 x 2 +4x 6 4 x x ln 2 x +25x 2 6+x 2 7 Verificare che x x 2 ± = ln + x 2 ± + c. Svolgimento degli esercizi proposti Esercizio 5. Sia [f(x)] n =(+7x ) 7 e dunque f (x) =2x 2. Allora 5x 2 (+7x ) 7 = 5 2x 2 (+7x ) 7 2 = ( + 7x ) 8 + c = 5 68 (+7x ) 8 + c. Esercizio 6. Sia [f(x)] n = [cos x] 4 e dunque f (x) = sin x. Allora sin x cos 4 x = 5 cos5 x + c. Esercizio 7. Sia [f(x)] n = [ln x] e dunque f (x) = x. Allora ln x x = 2 ln4 x + c. Esercizio 8. Sia [f(x)] n =(+x ) e dunque f (x) = 2x 2. Allora +x +x x 2 = 2 2x 2 = 2 ( + x ) 4 + c ( + = 2 x ) 4 + c.