Capitolo 2. Linee di trasmissione e circuiti

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1 Captolo nee d trasmssone e crcut. Introduone In questo captolo vene nalmente presentata la teora delle lnee d trasmssone fnalata allo studo della propagaone de mod TEM nelle strutture gudant. D seguto è valutato l'effetto che ha, sulla propagaone, la chusura della lnea su dvers tp d carch. Il captolo s conclude con l'ntroduone d alcune rappresentaon matrcal per crcut a mcroonde e con la descrone della tecnca de graf d flusso per lo studo d ret a mcroonde.. Teora delle lnee d trasmssone..a Modo TEM nelle strutture gudant Una lnea d trasmssone è una struttura n grado d gudare l'energa elettromagnetca. Un tpco esempo è costtuto dal cavo coassale la cu seone è rportata n Fg... Nella fgura, r e θ sono le coordnate trasverse e (non ndcata) è la coordnata longtudnale (coordnate clndrche). P n l a l n l P r θ θ r P(r, θ) b Fg.. 7

2 Nel cavo coassale può propagare un modo trasverso elettromagnetco (TEM) per l quale sono dverse da ero le sole component trasversal del campo. Queste component possono essere espresse come (*) : k k ( ) ( )( r, θ, r, θ P e P ) E (.) t t e t e K K ( r, θ,) h ( r, θ)( P e P e ) H (.) t e t (r,θ) e h t (r, θ) sono delle funon vettoral delle coordnate trasverse e sono de vettor compless coè rappresentatv d quanttà vettoral varabl snusodalmente nel tempo. Queste due quanttà non sono ndpendent nfatt s ha: e t η w h t x (.3) η w rappresenta l'mpedena d'onda del modo TEM defnta come: µ µ η W ηwr jηwj (.4) ε ε' jε' ' µ µ µ r (H/m) rappresenta la permeabltà del meo nterposto tra due conduttor con µ 4π -7 (H/m) e µ r. ε c ε' - jε'' ε ε r ' jε ε r '' (F/m) rappresenta la permttvtà del meo con ε (/36π) -9 (F/m). K α jβ è la costante d propagaone del modo TEM. P e P sono delle costant complesse l cu valore può essere determnato n base alle condon d chusura e d ecctaone della lnea. Per l'onda TEM nel cavo coassale la componente e t (r,θ) del campo elettromagnetco può essere rcavata a partre dalla dstrbuone d potenale nella seone: C ( r θ) e Φ, (.5) t a dstrbuone d potenale s ottene a sua volta rsolvendo l'equaone d aplace: t Φ (r, θ) (.6) t con le condon al contorno Φ Φ sul conduttore e Φ Φ sul conduttore. Essendo l cavo coassale una struttura a due conduttor, essterà n esso un'unca possble dstrbuone d potenale Φ (r,θ) defnta a meno d una costante addtva. (*) R. E. Colln: Foundaton for mcrowave engneerng, Mcraw-Hll, 99. 8

3 Rsolvendo l'equaone d aplace n coordnate clndrche (r,θ) s trova che l potenale non dpende dalla coordnata θ e vale: Φ r () r Φ Φ ln (.7) a b ln b dove a e b rappresentano rspettvamente ragg del conduttore nterno ed esterno (Fg..). I camp e t (r, θ) ed h t (r, θ) possono essere qund ottenut come: h t e t Φ Φ r θ t (.8) b ln r a ( r, ) Φ( r) Φ Φ θ θ t (.9) η b w ηw r ln a ( r, ) e ( r, θ) Come s evdena dalle (.8)-(.9) l campo elettrco è puramente radale mentre quello magnetco è puramente crconferenale. S defnsce mpedena caratterstca del modo TEM (o del cavo coassale) l rapporto tra la tensone () e la corrente I() nel caso che sa presente solo l'onda progressva (P ), per cu utlando le (.8)-(.9) s ha: I P P h e t ( r, θ) I dl ηw b ln ( r, θ) I dl π a l t (.) dove rappresenta la tensone tra due conduttor ed I la corrente che scorre sul conduttore nterno (opposta a quella che scorre sul conduttore esterno). S vuole ora assocare al modo TEM nel cavo coassale una lnea d trasmssone equvalente con la quale s possa studare la propagaone del campo lungo l cavo attraverso la propagaone della tensone e della corrente lungo la lnea equvalente. A tale scopo s devono nalmente determnare parametr prmar della lnea equvalente...b Defnone d lnea d trasmssone equvalente A partre dal campo elettrco trasversale è possble valutare la carca per untà d lunghea sul conduttore nterno ntegrando la denstà d carca lungo l permetro del conduttore: 9

4 ( r, θ) Q' ε' n dl ' l e t πε (.) b ln a a capactà per untà d lunghea del cavo coassale è, pertanto, data da: Q' C' πε' b ln a (.) Analogamente, a partre dal campo magnetco trasversale, è possble defnre l flusso magnetco tra due conduttor per untà d lunghea come: P µ ψ ' µ h ( ) P t r, θ n dl (.3) η e qund l'nduttana per untà d lunghea del cavo coassale è data da: w ψ' µ ' ln I π b a (.4) Poché l delettrco tra due conduttor è n generale con perdte, essterà n esso, oltre alla corrente d spostamento I s, anche una corrente d conduone I c per cu la corrente che va dal conduttore al conduttore per untà d lunghea sarà: ( r, θ) n dl ωε' ' e ( r, θ) I ' I' S I' C jωε' e t t ndl (.5) l l Qund la conducbltà per untà d lunghea del cavo coassale rsulta data da: ' I' c I' CI' I' S S ωε'' πωε'' jωc' ωc' tanδ jωε' b ln a (.6) dove tan δ ε''/ε'. e perdte dovute alla conducbltà fnta de conduttor possono essere tenute n conto tramte una resstena per untà d lunghea defnta secondo la relaone:

5 RS R' I ht ( r, θ) dl (.7) l l ωµ dove R S rappresenta la resstena superfcale e l'espressone a g secondo membro rappresenta la potena dsspata per untà d lunghea ne due conduttor espressa n funone del campo magnetco valutato n assena d perdte (metodo perturbaonale). Qund la resstena R' per untà d lunghea rsulta data da: R' R s hh l l t ( r, θ) dl R b a s ( (r, θ)dl ) π ab l t (.8) S not che a rgore la presena delle perdte nel conduttore è ncompatble con l'esstena d un modo TEM. Infatt, per effetto della g, all'nterno del conduttore sarà presente una denstà d corrente d volume e qund un campo elettrco assale. Per contnutà, questo campo sarà presente anche nel delettrco all'nterno del cavo e qund l'onda che s propaga non è pù un'onda TEM. a defnone d R' è valda con buona approssmaone nell'potes d basse perdte. Infne s not che l'onda TEM che propaga nel cavo può accoppars con altre font d energa elettromagnetca. Per tener conto d quest accoppament s ntroduce un generatore d corrente per untà d lunghea I p '() e un generatore d tensone per untà d lunghea s '(). Tutte le quanttà sopra defnte possono essere mostrate n un crcuto valdo per un tratto nfntesmo d lunghea d (Fg..). Nella fgura s è posto ' R'jω' (mpedena sere per untà d lunghea) e Y' ' jωc' (ammettena parallelo per untà d lunghea). I() d I( d ) s () d () I p () d Y d ( d ) d Fg..

6 In defntva, per una generca lnea d trasmssone possono defnrs seguent "parametr prmar" ed "ecctaon dstrbute": C' Capactà parallela per untà d lunghea (F/m) ' Induttana sere per untà d lunghea (H/m) ' Conduttana parallela per untà d lunghea (S/m) R' Resstena sere per untà d lunghea (Ω/m) I p '() eneratore d Corrente per untà d lunghea (A/m) s '() eneratore d Tensone per untà d lunghea (/m)..c Studo della propagaone attraverso la lnea d trasmssone equvalente Applcando le equaon d Krchhoff alla magla d ngresso ed al nodo d uscta d Fg.. s ha: ( ) ' S ( ) d I( ) ' d ( ) d( ) (.9) ( ) I' P ( ) d I( ) di( ) [ ( ) d( ) ] Y' d I (.) dove s è posto (d) () d() e I(d) I() di(). Dalle relaon (.9)-(.), elmnando gl nfntesm del secondo ordne, s ottengono le note equaon de telegrafst generalate: ( ) d d ( ) di d ( ) ' ( ) ' I (.) S ( ) I' ( ) Y' (.) p Dervando la (.) rspetto a e sosttuendo nell'equaone trovata l'espressone (.) s ottene: d d ( ) ( ) d' S ' Y' ( ) ' I' p ( ) (.3) d Dualmente dervando la (.) rspetto a e sosttuendo nell'equaone trovata l'espressone (.) s ottene: d d ( ) ( ) d ' p ' Y' I( ) Y' ' S ( ) (.4) d I I

7 'anals delle lnee d trasmssone s completa ntroducendo parametr secondar della lnea. a costante d propagaone complessa (*) è data da: ( R' jω' )( ' jωc' ) γ α jβ ' Y' (.5) mentre l'mpedena caratterstca complessa è data da: ' R' jω' r jj (.6) Y' ' jωc' Con queste poson le (.3) e (.4) dventano: d d d d ( ) ( ) ( ) d' s γ ( ) γi' p ( ) (.7) d ( ) d ' γ p γ I( ) ' s ( ) (.8) d I I e equaon dfferenal del secondo ordne ottenute sono non omogenee per la presena de termn I p '() e s '(). a soluone generale delle Eq. (.7)-(.8) verrà studata n seguto (par..4.b); ora s vuole cercare la soluone n assena d ecctaon dstrbute (I p '() e s '() ). Con rfermento alla (.7) n questo caso s ha: d ( ) d γ ( ) (.9) la cu soluone è: γ γ ( ) e e (.3) Sosttuendo la (.3) nella (.) (con S '()) s ottene la corrspondente soluone per la corrente: γ γ γ γ I ( ) ( e e ) e e I I (.3) Qund tensone e corrente lungo la lnea sono date dalla sovrapposone d due onde: una progressva (costante d propagaone -γ) e l'altra regressva (costante d propagaone γ). (*) Nel caso del cavo coassale s è usato l smbolo K. I due smbol s ncontrano ndfferentemente n letteratura. 3

8 Una condone spesso verfcata nelle applcaon pratche è quella d basse perdte (R' << ω' e ' << ωc'). In queste condon le (.5) e (.6) dventano: γ R' ' jω 'C' (.3) ' (.33) C' a stuaone è analoga a quella n assena d perdte ( β ω 'C', α ) con l'aggunta d un termne d attenuaone legato alle perdte nel delettrco e ne conduttor...d Parametr caratterstc della lnea 'attenuaone d una lnea lunga l msurata n decbell (db) è data dal rapporto tra la potena entrante e quella uscente dalla lnea: A db P log P IN OUT P log P e IN αl IN 8.686αl db (.34) Altre due quanttà che vengono defnte nella teora delle lnee d trasmssone sono l'mpedena della lnea ed l coeffcente d rflessone. S defnsce mpedena della lnea l rapporto tra la tensone e la corrente alla generca ascssa : ( ) γ γ ( ) e e γ γ ( ) e e I (.35) S defnsce coeffcente d rflessone della lnea l rapporto tra l'onda regressva e l'onda progressva alla generca ascssa : Γ e γ γ ( ) e e γ (.36) Queste due quanttà, come è faclmente verfcable, sono collegate dalle relaon: ( ) ( ) Γ ( ) (.37) ( ) ( ) ( ) Γ (.38) Γ 4

9 .3 nee d trasmssone chuse su carch S vuole ora analare la chusura d una lnea d trasmssone su d un carco d mpedena (Fg..3). - l Fg..3 In corrspondena del carco ( ) le relaon (.37) e (.38) dventano: Γ Γ (.39) Γ In corrspondena della seone -l, utlando le (.35) e (.36), s ha: ( I) γi γi ( I) e e γi γi ( I) e e I (.4) Γ e e γi γi ( I) e γi (.4) e relaon così ottenute nseme alle (.39) danno: che n assena d perdte dventano: ( γi) senh( γi) ( γi) senh( γi) cosh ( I) (.4) cosh ( I γi ) Γ e Γ (.43) ( βi) jsen( βi) ( βi) j sen( βi) cos ( I) (.44) cos jβ I ( I) Γ Γ e (.45) 5

10 Per una lnea prva d perdte s defnsce un ulterore parametro detto rapporto d'onda staonara (ROS o SWR secondo l'acronmo nglese), defnto come l rapporto tra l valore massmo ed l valore mnmo che l modulo della tensone assume lungo la lnea. olendo correlare l ROS al coeffcente d rflessone del carco s rscrve la tensone lungo la lnea come: da cu rsulta: Posto: Γ ρ jβ jβ ( ) ( e Γ e ) (.46) jβ ( ) Γ Re( Γ e ) [ ] (.47) jϕ e s ha: [ ] ( ) ρ ρcos( ϕ β) (.48) Al varare d l'ampea della tensone osclla tra un valore massmo ed uno mnmo sfasat d π/. Infatt l massmo s ha per φ β nπ e vale: l mnmo per φ β (n) π e vale: ( ρ) MAX (.49) ( ρ) MIN (.5) Il rapporto d'onda staonara n base alle (.49) e (.5) è esprmble come: MAX ρ ROS (.5) ρ MIN Come rsulta dalla (.5) l ROS è sempre maggore o uguale ad uno. Equaon sml alle (.49)-(.5) possono essere rcavate anche per la corrente: I MAX (.5) I MIN (.53) A causa del segno meno presente nell'equaone della corrente (.3), s ha che la posone d massmo della tensone è anche quella d mnmo della corrente. In questo punto l'mpedena è puramente resstva e ha l suo valore massmo: 6

11 MAX MAX ROS I MIN (.54) ceversa nel punto d mnmo della tensone la corrente ha un massmo e l'mpedena assume l suo valore mnmo: MIN MIN I ROS MAX (.55) Nel seguto verranno analat alcun cas tpc d chusura d una lnea consderata prva d perdte (par..3.a e par..3.d) o con basse perdte (par..3.e)..3.a nea chusa su carco adattato o schema crcutale d una lnea chusa su d un carco adattato è rportato n Fg..4. In questo caso s ha e qund Γ e ROS ; ad ogn ascssa -l rsulta (-l) R(-l) (Fg..5.a) e Γ(-l) (Eq ). Come s evnce dalla (.46), manca l'onda rflessa per cu modul d () ed I() rsultano costant lungo la lnea (Fg..5.b). - l Fg..4 R() a) () I() b) Fg..5 7

12 .3.b nea chusa su carco resstvo o schema crcutale d una lnea chusa su d un carco resstvo è rportato n Fg..6. R - l Fg..6 In questo caso s ha R e qund Γ ρ (R- ) / (R ) e ROS (ρ) / (-ρ). All'ascssa -l rsulta: Rcosβl jsenβl ( l) (.56) cosβl jrsenβl Γ(-l) ρe -jβ l (.57) In Fg..7 è rportata la parte reale (a) ed mmagnara (b) dell'mpedena della lnea e l'andamento del modulo d tensone e corrente (c) al varare d ottenut grafcando le relaon precedent. l andament rportat n Fg..7 confermano, come detto n precedena, che, ne punt della lnea n cu la tensone è massma, la corrente è mnma e l'mpedena rsulta puramente resstva..3.c nea chusa su corto crcuto o schema crcutale d una lnea d trasmssone chusa n corto crcuto è rportato n Fg..8.In questo caso s ha e qund Γ - e ROS ; ad ogn ascssa -l rsulta (Fg..9.a): (-l) j tanβl Γ (-l) -e -jβl (.58) Inoltre dalla (.46) s rcava per la tensone lungo la lnea l'espressone () -j senβ mentre per la corrente s rcava I() ( / )cosβ (Fg..9.b). 8

13 R() a) λ/ λ/4 X() b) () () c) I() I () Fg..7 - l Fg..8 9

14 X() a) λ/ λ/4 () b) I() λ/ λ/4 Fg..9 Come s evnce dalla Fg..9.a l'mpedena della lnea (-l) jx(-l) rsulta n corrspondena d alcun valor d d tpo nduttvo (X(-l) > ) ed n altr d tpo capactvo (X(-l) < ). In partcolare, per l < λ/4 la reattana X(-l) è postva per cu possamo porre X(-l) ω eq e qund: eq X(-l) / ω ( / ω) tan β l (.59) Se è verfcata l'ulterore potes l < λ/ s può utlare l'approssmaone tanβl βl da cu segue: eq βl / ω l / c 'l (.6) Qund una lnea d trasmssone chusa su un corto crcuto, con valor d l pccol rspetto a λ, s comporta come un'nduttana; questo rsultato s comprende ntutvamente se s pensa alla lnea cortocrcutata come ad un'nduttana formata da una sola spra. Il comportamento della lnea cortocrcutata n funone della frequena è smle a quello rportato n Fg..9a. In partcolare, alle frequene per cu ω (n-)πc/l (l (n-)λ/4) una lnea chusa n corto crcuto s comporta come un crcuto rsonante parallelo, mentre alle frequene per cu ω nπc/l (l nλ/) la lnea chusa su un cortocrcuto s comporta come un crcuto rsonante sere. A ttolo d confronto, e per meglo evdenare quanto detto, n

15 Fg.. sono rportat n funone della frequena gl andament della reattana per un crcuto rsonante sere e per uno rsonante parallelo. Nella fgura ω / C è la frequena d rsonana del crcuto. X(ω) C ω ω C Fg...3.d nea chusa su crcuto aperto o schema crcutale d una lnea d trasmssone aperta è rportato n Fg... In questo caso s ha e qund Γ e ROS ; ad ogn ascssa -l rsulta (Fg...a): (-l) -j cotanβl (.6) Γ (-l) e -jβl. (.6) - l Fg..

16 Inoltre, dalla (.45) s rcava per la tensone lungo la lnea l'espressone () cosβ (Fg...b) mentre per la corrente s rcava I() -j( / )senβ (Fg...b). X() a) λ/ λ/4 () b) λ/ λ/4 I() Fg.. Come s vede dalla fgura, per l < λ/4 la reattana X(-l) è negatva per cu possamo porre B(-l) -/X(-l) ωc eq da cu: C eq ( / ω ) tanβl (.63) In partcolare se rsulta l < λ/ vale l'approssmaone tanβl βl da cu segue: C eq l / c C'l (.64) Qund una lnea d trasmssone aperta, per pccol valor d l, s comporta come una capactà; questo rsultato s comprende ntutvamente se s pensa alla lnea aperta come ad un condensatore. Passando a consderare l comportamento della lnea aperta n funone della frequena s possono fare delle consderaon analoghe a quelle fatte nel caso d chusura con un corto crcuto. In partcolare, alle frequene per cu rsulta ω (n-)πc/l la lnea aperta s comporta come un crcuto rsonante

17 sere, mentre alle frequene per cu rsulta ω nπc/l la lnea aperta s comporta come un crcuto rsonante parallelo..3.e nea con basse perdte Nell'potes d lnea con basse perdte, l'mpedena alla generca ascssa può essere valutata consderando l'equaone (.4). Come vsto n precedena, [Eq. (.33)] n presena d basse perdte l'mpedena caratterstca della lnea s può ancora consderare reale. Nel caso d una lnea chusa su d un carco con mpedena par a, rsulta sempre (-l). Se la lnea con basse perdte è chusa su un corto crcuto, la (.4) dventa: ( I) ( I) ( I) tanh( γi) I tanh jtanh ( αi) jtan( βi) ( αi) tan( βi) (.65) per l n(λ/) s ha: mentre per l (n-)( λ/4) s ha: (-l) tanhαl αl (.66) (-l) / tanhαl /αl (.67) dove le approssmaon valgono per αl <.. Spesso, nello studo delle lnee chuse su un corto crcuto o aperte, s è nteressat all'andamento dell'mpedena d ngresso n funone della frequena per frequene nell'ntorno d quelle della rsonana sere o parallelo (Fg..). Nell'potes d basse perdte e per pccol valor d l (αl <.) s ha: ( I) [ tan ( βi) ] j tan( βi) [ αitan( βi) ] αi (.68) Per frequene nell'ntorno d quelle della prma rsonana sere (βl π) s ha tan βl << e qund: ( I) αi j tan( I) β (.69) Il fattore d merto (Q) d un crcuto rsonante s può esprmere (*) come: ωr dxin Q (.7) R dω IN ωωr (*) a (.7) è equvalente alla defnone d S F (v. par..3, ol. ) 3

18 dove ω R è la frequena d rsonana del crcuto supposto prvo d perdte e IN R IN jx IN è l'mpedena d ngresso. Pertanto nel caso n esame s ottene: ωr d Q αi ( tan( βi) ) dω β α ω ω R (.7) Alla quanttà Q vene dato l nome d fattore d merto della lnea n quanto consente d valutarne la bontà (Q grand basse perdte) e d confrontare tra d loro dverse strutture gudant..4 Ecctaone d una lnea d trasmssone o schema d ecctaone d una lnea d trasmssone è mostrato n Fg..3. I IN Γ IN Γ IN l Fg..3 a sorgente è schematata tramte la sua tensone a vuoto e l'mpedena nterna. Se s ha: IN I IN (.7) In assena d rflesson, e ponendo l'orgne delle ascsse n corrspondena del generatore, rsulta IN ed I IN /. Pertanto, note le caratterstche del generatore e l mpedena della lnea, è possble conoscere l'andamento della tensone e della corrente lungo la lnea stessa. Se è dverso da, lungo la lnea s genera un'onda rflessa per cu le ampee - e devono essere valutate tenendo conto delle condon d chusura sul carco. In partcolare, n base alla legge d Krchhoff scrtta n s ha: IN I IN (.73) 4

19 S osserv prelmnarmente che dalle (.3)-(.3)-(.36) s ottene: Essendo: IN () e I IN I() s ha: () e -γ ( Γ()) (.74) I() ( / ) e -γ ( - Γ ()) (.75) ( Γ IN ) ( / )( - Γ IN ) Rsolvendo rspetto a I e ponendo: Γ e Γ IN Γ e γ s trova: (.76) ( )( Γ Γ ) IN ( Γ ) ( Γ Γ ) Anche n questo caso qund not, e è possble tramte le (.74)- (.75) valutare l andamento della tensone e della corrente lungo la lnea. IN.4.a Potena lungo la lnea Noto l'andamento della tensone e della corrente lungo la lnea è possble calcolare la potena meda che transta lungo la lnea stessa alla generca ascssa. Nell'potes d basse perdte ( reale) s ha: P { } ( ) Re ( ) I( ) Re α e [ Γ( ) Γ( ) Γ( ) ] (.77) ( Γ( ) ) P P P dove P e P - rappresentano le potene mede trasportate rspettvamente dall'onda progressva e regressva. Inserendo nella (.77) la (.76) s ottene: P ( ) α ( ) e Γ( ) 8 Γ Γ Γ IN (.78) Qund la potena meda P() P IN effettvamente erogata dal generatore sarà: 5

20 P Γ IN 8 ΓΓ IN ( ΓIN ) (.79) mentre la potena meda P(l) P fornta al carco è: P Γ αi e 8 ΓΓIN ( Γ ) (.8) Se la lnea è prva d perdte Γ IN Γ, α e rsulta P IN P. Come caso partcolare s consder quello per cu (Γ ). In questo caso rsulta: P αi e 8 ( Γ ) (.8) Altro caso partcolare è quello per cu e qund Γ (qund anche Γ IN ). In questo caso rsulta: P αi e 8 Γ (.8) Γ Come ultmo caso partcolare s consder quello per cu Γ IN. In questo caso rsulta: P Γ αi e 8 Γ ( Γ ) e qund IN (.83) Γ ( Γ ) PA Γ P IN 8 Γ 8 Γ (.84) dove P A rappresenta la potena dsponble (avalable) del generatore ovvero la massma potena che l generatore può erogare. Come sottocaso d quest'ultma stuaone s consder la condone e qund Γ Γ, n questo caso s ha: P αi e (.85) 8 P IN PA (.86) 8 6

21 .4.b Ecctaon dstrbute Nel caso che lungo la lnea sano present delle ecctaon dstrbute s deve rcercare la soluone non omogenea delle equaon (.3)-(.4). Questa soluone può essere ottenuta utlando la funone d reen. In partcolare, ed è quello che s llustrerà tra breve, s può studare la rsposta mpulsva della struttura e rsalre alla soluone partcolare tramte un processo d ntegraone. Dat due generator deal d corrente e tensone post n ': I p '() I M δ(-') e s '() M δ(-') dove δ(-') è la funone d Drac [m - ], sano II (,'), I (,'), I (,') e (,') le funon d reen n tensone o corrente ( o I a secondo pedce) relatve all'ecctaone n tensone o corrente ( o I a prmo pedce). Ad esempo, I (,') ndca la tensone generata nel punto lungo la lnea per effetto del generatore deale d corrente posto n '. a corrente e la tensone ndotte da una generca dstrbuone d corrente I P '() e d tensone S '() saranno allora date da: I p ( ) (,' ) I' ( ' ) d' (,' ) ' ( ' ) d' (.87) S II p ( ) (,' ) I' ( ' ) d' (,' ) ' ( ' ) d' I (.88) I S S consder ad esempo l caso d una lnea d trasmssone chusa su due carch dvers e. S vuole valutare la funone d reen I (,) ecctando la lnea con un generatore d corrente posto n ' (Fg..4): Indcando con la tensone a cap del generatore d corrente s avrà -I M ( S D )/( S D ); dove S e D sono le mpedene, che all'ascssa del generatore, s vedono a snstra e a destra rspettvamente. Con le convenon ndcate n Fg..4 s ha: I - / S e I / D. I I, β, β I M -l / l / Fg..4 7

22 Rsolvendo la (.9) n assena d perdte e con le condon al contorno () ed I() I per > e I() I per <, la tensone lungo la lnea può essere scrtta come: I () { cosβ - j I senβ}/i M per > I () { cosβ - j I senβ}/i M per < (.89) In generale per una sorgente posta n ', generalando l rsultato trovato, s ha: I (,') { (')cos[β(-')] - j I (')sen[β (-')]}/I M per >' (.9) I (,') { (')cos[β(-')] - j I (')sen[β (-')]}/I M per <' Nelle (.89-.9) la dvsone per la corrente I M è stata ntrodotta per tener conto del fatto che la funone d reen va valutata applcando un mpulso d Drac d area untara. In questo modo la funone d reen I ha correttamente le dmenson d ohm come s evnce anche dalle (.87)-(.88). In conclusone, n presena d una ecctaone dstrbuta n corrente (ad jβ esempo del tpo: I ' P ( ) Ie ) è possble calcolare l'andamento della tensone lungo la lnea utlando le (.87) (.89) o (.9). Come ultma consderaone s osserv che, n base alla relaone esstente tra la tensone e la corrente a cap del generatore d corrente parallelo: -I M ( S D )/( S D ), se rsulta: S D (.9) la tensone e la corrente lungo la lnea d trasmssone tendono all'nfnto pur avendo applcato una corrente fnta I M. Questa condone vene detta d rsonana. Infatt, s possono avere tensone e corrente dverse da ero lungo la lnea anche n assena d generator. S not che questa condone s verfca normalmente n un crcuto C a costant concentrate alla pulsaone d rsonana (ω ). Infatt, a questa pulsaone rsulta, come noto, ω C e, ndcando con e C l'mpedena assocata rspettvamente all'nduttana e alla capactà, rsulta: C. 8

23 .5 Rappresentaone matrcale de crcut a rappresentaone matrcale d una rete lneare rsulta partcolarmente utle nell'anals de sstem a mcroonde. Quest sstem, nfatt, sono generalmente costtut dall'unone d pù sottosstem cascuno de qual è caratterable, da un punto d vsta esterno, tramte una matrce. Tecnche d anals matrcale consentono po d rsalre dal comportamento del sngolo componente a quello dell'ntero sstema. Per rcavare la matrce d un componente a mcroonde occorre fssare prelmnarmente le ''bocche'' d ngresso alle qual afferscono le lnee d trasmssone con cu s accede al componente stesso. S fa l'potes che lungo le lnee d trasmssone propagh l solo modo fondamentale coscché s possano defnre, n manera unvoca, tenson e corrent alle vare bocche. In Fg..5 è rportata a ttolo d esempo una rete a tre bocche. I I Rete lneare 3 I 3 Fg..5.5.a Matrce delle mpedene In una rete lneare la tensone ad una porta è esprmble come combnaone lneare delle corrent alle altre porte e alla porta n esame. Qund, con rfermento ad una struttura ad N bocche, s ha: I I... ni n I I... nin.. (.9) I I... I n n n nn n 9

24 Utlando la notaone matrcale, la (.9) dventa: [] [] [I] (.93) dove [] è detta ''matrce delle mpedene a vuoto'' e [] ed [I] sono vettor colonna delle tenson e delle corrent. Il generco parametro j della matrce può essere espresso come l rapporto tra la tensone alla -esma porta e la corrente alla j-esma porta nell'potes che tutte le altre porte rsultno aperte, ovvero: j Ij Ik con k j (.94) a matrce [] è caratterata da NxN parametr compless; tuttava, l numero de parametr ndpendent s rduce se s consderano partcolar class d component. Un componente s dce ''recproco'' se soddsfa l teorema d recproctà d orent (v. Colln opera ctata). Per quest component rsulta: j j, qund la matrce [] concde con la sua trasposta. Un componente s dce prvo d perdte se non presenta al suo nterno element n grado d dsspare potena. Per quest component, se la rete è recproca, parametr della matrce delle mpedene rsultano puramente mmagnar..5.b Matrce delle ammettene In questa rappresentaone, valda per ret lnear, s lega la corrente ad una bocca con le tenson alle altre bocche: In forma matrcale la (.95) dventa: I Y Y... Yn n I Y Y... Ynn.. (.95) I Y Y... Y Il generco parametro Y j è esprmble come: n n n nn [I] [Y] [] (.96) n Y j I j k con k j (.97) algono le seguent propretà; per component recproc: Y j Y j ; n assena d perdte, e per ret recproche, parametr della matrce rsultano puramente mmagnar. 3

25 .5.c Matrce d dffusone a matrce d dffusone (scatterng) carattera le ret n termn d onde ncdent (a ) e rflesse (b ) valutate alle bocche. Tal onde sono defnte a partre dalla tensone ncdente e rflessa -, valutate alle bocche, n base alle relaon: a I (.98) b I (.99) Qund, la tensone e la corrente alle bocche possono essere espresse come: a b (.) I I I a b (.) Invertendo le (.)-(.), le onde ncdent e rflesse possono essere espresse come (*) : I a (.) b I (.3) (*) e onde così defnte hanno la dmensone d volt e sono qund dette onde d tensone. Esstono altre possbl defnon, una molto utlata è la seguente: a I b I In questo caso a e b sono dmensonalmente par alla radce quadrata d una potena e s parla qund d onde d potena. In questo caso s ottene: ( a ) I I I ( a b ) b e qund, le onde ncdent e rflesse possono essere espresse come: a I b I 3

26 Per una rete lneare N porte, le onde ncdent e quelle rflesse sono correlate tra d loro dalle seguent relaon: ovvero, n forma matrcale: b Sa Sa... Sn an b Sa Sa... Snan.. (.4) b S a S a... S a n n n nn [b] [S] [a] (.5) I parametr della matrce d dffusone possono essere valutat utlando la relaone: n S j b a j ak con k j (.6) Qund, la msura d un parametro d scatterng comporta l'annullamento delle onde ncdent a vare bocche. Questa condone, che corrsponde ad adattare una bocca, è faclmente realable nella tecnca delle mcroonde anche su amp ntervall d frequene. Nell potes che tutte le mpedene caratterstche delle lnee d accesso sano ugual, valgono le seguent propretà: per component recproc S j S j che, n forma matrcale dventa: [ S ] [ S] T ; per component prv d perdte [ S ] T * [ S] [] I, con [I] matrce untara e [S]* conugata della matrce [S] (*)..5.d Matrce d trasfermento a matrce d trasfermento vene utlata per caratterare ret due porte; essa correla la tensone e la corrente alla porta d ngresso (bocca ) con la tensone e la corrente alla porta d uscta (bocca ): A BI C DI I (.7) In forma matrcale la (.7) dventa: (*) Se s utla la defnone delle onde ncdent e rflesse rportata nella nota d pag. 3 (onde d potena) queste stesse propretà valgono anche nel caso n cu le mpedene delle lnee d accesso sano dverse. 3

27 I I [ T] (.8) dove la corrente I è entrante alla bocca mentre la I è uscente alla bocca. e defnon de var parametr s deducono mmedatamente dalla (.7). Per component recproc s ha: AD - BC ; per component smmetrc s ha: AD - BC e A D; ed nfne n assena d perdte parametr A e D sono puramente real mentre B e C rsultano puramente mmagnar. Infne, la matrce d trasfermento d una cascata d ret è ottenble come l prodotto delle matrc d trasfermento delle sngole ret component..5.e Parametr mmagne I parametr mmagne costtuscono una rappresentaone orentata verso la sntes d una rete due porte. Ess sono: l'mpedena mmagne d'ngresso e d uscta, e l'esponente d trasduone su base mmagne ngresso uscta e uscta ngresso. 'mpedena mmagne d'ngresso (uscta ) vene defnta come quella partcolare mpedena che s vede alla bocca (bocca ) della rete due porte quando la bocca (bocca ) è chusa sulla sua mpedena mmagne ( ). In Fg..6 è rappresentato lo schema per la msura dell'mpedena mmagne. Una stuaone duale s ha per la defnone d. I I Fg..6 'esponente d trasduone su base mmagne ngresso uscta γ (uscta ngresso γ ) è defnto come l logartmo naturale della radce quadrata del rapporto de prodott tensone corrente alla bocca e alla bocca (bocca su bocca ), con quest'ultmo prodotto cambato d segno, quando la bocca (bocca ) è chusa sulla sua mpedena mmagne ( ). S ha coè: γ γ ln ln I I I I (.9) 33

28 Per component recproc rsulta γ γ ; la smmetra del componente comporta γ γ e ; n assena d perdte le mpedene mmagn rsultano puramente mmagnare. Se s consdera una cascata d ret due porte, (ad es. ret come n Fg..7) cascuna chusa a destra sulla sua mpedena mmagne d uscta e a snstra sulla sua mpedena mmagne d'ngresso, s ha che l'mpedena mmagne d'ngresso della rete complessva è par all'mpedena mmagne d'ngresso della prma rete componente la cascata, mentre l'mpedena mmagne d uscta è par all'mpedena mmagne d uscta dell'ultma rete. l esponent d trasduone su base mmagne sono dat dalla somma degl esponent d trasduone su base mmagne delle ret component la cascata. IN OUT γ 4 γ γ 34 Fg..7 I parametr mmagne possono essere correlat a parametr della matrce d trasfermento. Infatt, con rfermento alla Fg..6, s ha: I A C I BI DI D C A C B A B D (.) Da cu s rcava: ed noltre: AB CD BD AC (.) 34

29 [ BC AD] I γ ln ln I (.) γ ln I I ln BC AD AD BC Per component recproc la (.) dventa: γ γ cosh AD (.3).6 nee d trasmssone corte e artfcal Per lnea d trasmssone corta s ntende una lnea la cu lunghea l sa pccola rspetto alla lunghea d'onda del segnale (ad es. l < λ/). Per lnea d trasmssone artfcale s ntende, nvece, una lnea costtuta da uno o pù quadrpol dspost n cascata ognuno formato da mpedene concentrate d valore tale che l comportamento della cascata è dentco a quello d una lnea a costant dstrbute..6.a nea corta 'anals d una lnea corta vene svolta osservando che esste una forte analoga tra tale lnea (Fg..8.a) ed una rete a π (Fg..8.b). Infatt, la matrce d trasfermento per una lnea corta con ϑ βl è del tpo: [ ] ϑ j ϑ j ϑ T ϑ (.4) Mentre per la rete a π s ha: [ ] T (.5) 35

30 a) - l b) C / C / c) Fg..8 Imponendo l'uguaglana delle due matrc s rcava: ω jω jϑ jβi j I c C ϑ βi ωi jω jy jy jy c (.6) Qund, se l'mpedena è un'nduttana e la una capactà con valor dat dalle (.6), la rete a π ha la stessa matrce d trasfermento della lnea corta. a rete a π che s ottene è quella mostrata n Fg..8.c nella quale sa l'nduttana sere che la capactà n parallelo sono collegate a parametr del tratto d lnea secondo le relaon: 36

31 C I 'I (.7) c YI C'I (.8) c con ' e C' nduttana e capactà per untà d lunghea della lnea.6.b nea artfcale o schema d una lnea d trasmssone artfcale s presenta come n Fg..9. S tratta d una cascata d ret a T formate da nduttane sere d valore / e capactà n parallelo d valore C. / / / / / / C C C C Fg..9 Per comprendere l'analoga tra la lnea d trasmssone artfcale e una lnea a costant dstrbute, convene calcolare prelmnarmente parametr mmagne sa per un tratto d lnea d lunghea l che per la rete a T. S consdera qund una rete due porte costtuta da un tratto d lnea lungo l d mpedena caratterstca e costante d propagaone γ (Fg..). - l Fg.. Utlando le (.3)-(.3) e la (.7) s trova: 37

32 [ T] cosh γi senhγi senhγi cosh γi (.9) Applcando le (.) - (.) s ottene: γ γ γl (.) Qund l'mpedena mmagne per una lnea d trasmssone concde con la sua mpedena caratterstca e gl esponent d trasduone su base mmagne concdono con l prodotto della costante d propagaone per la lunghea della lnea. S consder ora la rete a T rportata n Fg...a. Per questa rete rsulta: T (.) [ ] / / C a) b) Fg.. Utlando le (.)-(.) s ottene: γ γ cosh (.) Se s consdera l caso n cu l'mpedena è puramente nduttva d valore / e l'mpedena puramente capactva d valore C s ha la stuaone rportata n Fg...b. 38

33 In questo caso rsulta: γ C γ cosh ω ω C ω ω C (.3) dove s è posto ω C. C a pulsaone ω c è detta pulsaone d cut-off: nfatt per ω<<ω c s ha: C γ γ jβ jω C (.4) mentre per ω>>ω c s ha: j γ γ α j β cosh C ω ω C ω ω C j ( nπ) j π ( n ) (.5) Per frequene nferor a quella d cut-off l'mpedena mmagne è puramente reale e l coeffcente d trasduone su base mmagne è mmagnaro puro. ceversa a frequene superor a quella d cut-off l'mpedena mmagne dventa puramente mmagnara e l'esponente d trasduone dventa complesso. In conclusone, s può dre che per ω < ω c la rete d Fg..9 costtuta da una cascata d 'n' ret a T (v. Fg..) s comporta come una lnea d trasmssone lunga l con mpedena caratterstca e costante d fase C nω C β. l 39

34 .7 Teora de graf d flusso a teora de graf d flusso, svluppata da S. J. Mason (*), permette d valutare faclmente la funone d trasfermento tra due punt d una rete comunque complessa. Data una rete con fssate varabl (onde ncdent e rflesse) defnte n var punt (bocche), s assoca a cascuna d queste varabl un nodo (smbolo ). I nod sono conness tra loro da lnee orentate secondo la dreone del flusso d potena (ram)( -->-- ). Ad ogn ramo è assocato un valore l quale rappresenta l fattore moltplcatvo che correla le due varabl alle estremtà del ramo (nod). S consder ad esempo un generatore d segnale chuso su d un carco ed l corrspondente grafo d flusso (Fg..). b b b a b Γ Γ a a a b Fg.. a tensone può essere espressa come: (.6) ( a b ) ( Γ ) b dove s è posto Γ a /b. Esplctando rspetto a b s ottene: ( Γ ) ( Γ ) ( Γ Γ ) b (.7) Analando ora l grafo d flusso s ha: e qund nvertendo: b b Γ a b Γ Γ b (.8) ( ΓΓ ) b b (.9) sosttuendo la (.7) nella (.9) s ottene: b ( Γ ) (.3) (*) S.J. Mason: Proc. IRE, vol. 4, 44-56,

35 a (.3) correla la tensone del generatore all onda b. a funone d trasfermento tra due punt qualsas d un grafo può essere valutata utlando una formula proposta da Mason. Prma d enuncarla occorre dare alcune defnon. S dce sentero (path) una successone d ram tutt ugualmente orentat che toccano sngol nod una sola volta. Il valore del sentero è par al prodotto de valor de sngol ram. S dcono anell (loops) del ordne percors chus format da ram tutt orentat nello stesso verso che toccano nod una sola volta. Il valore dell'anello è par al prodotto de valor de sngol ram. S dcono anell del ordne quell format da due anell del ordne sena nod n comune; l valore dell'anello del ordne è par al prodotto de valor de due anell del ordne. S dcono anell del 3 ordne quell format da tre anell del ordne sena nod n comune; l valore dell'anello del 3 ordne è par al prodotto de valor de tre anell del ordne. Analogamente per gl ordn successv. a funone d trasfermento che lega tra d loro due nod (n ed n) d un grafo d flusso, secondo la teora d Mason, è la seguente: T P () () () ( ) ( ) [ Σ () Σ ( ) Σ ( 3)...] P Σ ( ) Σ ( ) Σ() Σ( ) Σ( 3)... [... ] P [...] 3 (.3) con P valore dell'-esmo sentero possble tra due nod n esame. Σ() somma d tutt possbl anell d ordne -esmo Σ (k) () somma d tutt possbl anell d ordne -esmo sena punt n comune con l k-esmo sentero. Ad esempo, con rfermento allo schema d Fg.., la potena fornta al carco dal generatore è data da: P ( b ) ( Γ ) a a (.3) dove a T b con T funone d trasfermento tra a e b. In base alla formula d Mason s ha: T Γ Γ (.33) e qund, utlando anche la.3, s ottene: P Γ 8 ΓΓ ( Γ ) (.34) Questa formula concde con quella della potena meda ceduta da un generatore ad un carco (Eq..8) applcata nel caso d lnea prva d perdte. 4