Corsi di Laurea in Ingegneria per l ambiente ed il Territorio e Chimica. Esercizi 2 FISICA GENERALE L-A. Prof. Antonio Zoccoli

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1 1) Un capo di forza è dato da espressione F = Kyz i + Kxz j + Kxyzk con K costante positiva. Deterinare e diensioni di K. Verificare se i capo è conservativo, e deterinarne in ta caso energia potenziae iponendo che si annui ne punto (1,1,1). ) Sia dato i sistea ostrato in figura coposto da un disco oogeneo di assa e raggio r e da due punti ateriai di assa e assa, posti ai vertici di un triangoo rettangoo isoscee con cateti pari a r. Cacoare: a) a posizione de centro di assa de sistea e a sua distanza da punto ateriae di assa ; b) i oento di inerzia I de sistea rispetto ad un asse perpendicoare a piano passante per i punto ateriae di assa. r r 3) Tre punti ateriai di assa 1 =M, =M, 3 =3M, si uovono su di un piano orizzontae iscio rispettivaente con veocità v 1 = v 0 i, v = v 0j e v3 = v0k. Supponendo che ad un certo istante essi si urtino in odo perfettaente aneastico, deterinare: a) a veocità finae de sistea; b) energia E riasciata ne urto. 4) Enunciare e discutere i Teorea di Koenig 5) Definire i avoro di una forza e discutere i caso dee forza conservative. 6) Un asta rigida oogenea di sezione trascurabie, di assa e unghezza giace su di un piano iscio iniziaente fera ed incernierata in uno dei sui estrei O. Ad un certo istante un punto ateriae di assa che 3 4 si uove con veocità v 0, su piano perpendicoarente a asta, urta asta ad una distanza 3 da O in odo 4 copetaente aneastico. Cacoare e espressioni: a) de oento angoare de sistea pria de urto; b) dea veocità angoare de sistea dopo urto; c) dea reazione vincoare che agisce su sistea dopo urto. O v 0 pag. 1

2 7) Un capo di forza è dato da espressione F = Ky zi + 4Kxyzj + Kxy k con K costante positiva. Deterinare e diensioni di K. Verificare se i capo è conservativo, e deterinarne in ta caso energia potenziae iponendo che si annui ne punto (0,0,1). 8) Sia dato i sistea ostrato in figura coposto da un asta oogenea di assa e unghezza e da due punti ateriai di assa, posti su agi estrei di un triangoo rettangoo isoscee con cateti pari a. Cacoare: a) a posizione de centro di assa de sistea e a sua distanza da centro de asta; b) i oento di inerzia I de sistea rispetto ad un asse perpendicoare a piano passante i centro de asta. 9) Un punto ateriae di assa pari a 3M si uove su di un piano orizzontae iscio con veocità v1 = v0i. Ad un certo istante i punto espode e si suddivide in due parti rispettivaente di assa 1 =M, =M. Supponendo che dopo urto i punto 1 si uova con veocità v 1 = v 0 j, deterinare: a) a veocità de punto dopo urto; b) energia E riasciata ne esposione. 10) Enunciare e discutere a pria equazione cardinae dea eccanica unitaente a II teorea de centro di assa. 11) Enunciare e discutere i teorea dee forza vive. 1) Un asta rigida di sezione trascurabie, di densità ρ=kr (dove r è a distanza da estreo O), di assa M e unghezza L giace su di un piano iscio ed è iniziaente fera, incernierata in uno dei suoi estrei O. Ad un certo istante un punto ateriae di assa =M, che si uove con veocità V 0 su piano perpendicoarente a asta, urta asta ne atro estreo (ad una distanza L da O) in odo copetaente aneastico. Cacoare e espressioni: a) de oento di inerzia de asta in funzione di M ed L; b) dea veocità angoare de sistea dopo urto; c) dea reazione vincoare che agisce su sistea dopo urto. O L V 0 pag.

3 13) Un capo di forza è dato da espressione F = 6Kxyzi + 3Kx zj + 3Kx yk con K costante positiva. Deterinare e diensioni di K. Verificare se i capo è conservativo, e deterinarne in ta caso energia potenziae iponendo che si annui ne punto (1,1,1). 14) Sia dato i sistea ostrato in figura coposto da un disco oogeneo di assa M e raggio R e da due punti ateriai di assa M e assa M, posti su ai vertici di un triangoo equiatero di ato pari a R. Cacoare: R M a) a posizione de centro di assa de sistea e a sua distanza D CM da centro de disco; b) i oento di inerzia I de sistea rispetto ad un asse perpendicoare a piano passante per i centro di assa de sistea. R M R 15) Due punti ateriai di assa 1 =M, =M, si uovono su di un piano orizzontae iscio rispettivaente con veocità v 1 = v 0 i, v = v0i. Supponendo che ad un certo istante essi si urtino in odo perfettaente eastico e che dopo urto continuino a uoversi ungo asse x, deterinare: a) a quantità di oto finae de sistea; b) e quantità di oto de punto 1 dopo urto. 16) Enunciare e discutere a seconda equazione cardinae dea eccanica unitaente a teorea de oento angoare. 17) Enunciare e discutere i principio di conservazione de energia eccanica. 18) Un asta rigida oogenea di sezione trascurabie, di assa e unghezza giace su di un piano iscio iniziaente fera ed incernierata in uno dei sui estrei O. Ad un certo istante un punto ateriae di assa che si uove con veocità v 0, su piano perpendicoarente a asta, urta asta ne suo centro (ad una distanza da O v 0 O) in odo copetaente aneastico. Cacoare e espressioni: a) de oento angoare de sistea pria de urto; b) dea veocità angoare de sistea dopo urto; c) dea reazione vincoare che agisce su sistea dopo urto. pag. 3

4 19) Un capo di forza è dato da espressione F = 4Kyzi + 4Kxzj + 4Kxyk con K costante positiva. Deterinare e diensioni di K. Verificare se i capo è conservativo, e deterinarne in ta caso energia potenziae iponendo che si annui ne punto (1,0,0). 0) Sia dato i sistea ostrato in figura coposto da un disco oogeneo di assa e raggio r e da due punti ateriai di assa, posti su bordo de disco coe ostrato in figura. Cacoare: a) a posizione de centro di assa de sistea e a sua distanza da centro de disco; b) i oento di inerzia I de sistea rispetto ad un asse perpendicoare a piano passante i centro di assa de sistea. 1) Due punti ateriai di assa 1 =M, =M, si trovano su di un piano orizzontae iscio i punto 1 si uove con veocità v 1 = v 0 i, entre i punto è fero. Supponendo che ad un certo istante essi si urtino in odo perfettaente eastico e che dopo urto entrabi si uovano ungo asse x, deterinare: a) a quantità di oto finae de sistea; b) e quantità di oto de punto 1 dopo urto. ) Enunciare e discutere i tre teorei de centro di assa. 3) Definire energia potenziae, discuterne e proprietà e e reazioni che egano tae grandezza aa forza. 4) Un asta rigida di sezione trascurabie e di densità ρ=kr (dove r è a distanza da estreo O) di assa e unghezza giace su di un piano iscio ed è iniziaente fera, incernierata in uno dei suoi estrei O. Ad un certo istante un punto ateriae di assa, che si uove con veocità v 0 su piano perpendicoarente a asta, urta asta ne suo centro (ad una distanza da O) in odo O v 0 copetaente aneastico. Cacoare e espressioni: a) de oento di inerzia de asta in funzione di M ed L; b) dea veocità angoare de sistea dopo urto; c) dea reazione vincoare che agisce su sistea dopo urto. pag. 4

5 5) Dati due punti ateriai di assa 1 =M e =M deterinare espressione dea veocità de centro di assa ne ipotesi che i corpo 1 sia fero ed i corpo si uova con veocità v = v0i. 6) Un punto ateriae di assa possiede un acceerazione data da espressione 1 a = ( B Ayz ) i Axz j Axyzk. Se ne punto P(0;1;1) esso possiede una veocità v P = v i deterinare: ( ) 0 a) e diensioni dee costanti A e B; b) i raggio di curvatura ρ dea traiettoria ne punto P. c) Verificare inotre se a forza cui è soggetto i punto ateriae è conservativa e deterinare eventuaente espressione de energia eccanica totae de corpo ne punto P. 7) Su bordo di un disco oogeneo di assa Kg e raggio 1 è fissato un punto ateriae di assa 1,5Kg. Supponendo che i disco sia disposto orizzontaente e ruoti attorno ad un asse verticae che passa per i suo centro con veocità angoare ω=1rad/s, cacoare energia cinetica de sistea. 8) Due sferette puntifori di asse 1 e ierse ne capo di gravità g sono coegate ad uno stesso punto fisso O attraverso due fii fessibii in estensibii, entrabi di unghezza e assa trascurabie (vincoi ideai). Iniziaente 1 a sferetta è in posizione di equiibrio stabie, entre un fero trattiene a sferetta 1 con un fio teso ad una quota h h rispetto aa posizione di (vedi figura). In seguito, i fero viene riasciato e 1 va a urtare. Ne ipotesi che urto sia istantaneo e copetaente aneastico, cacoare: a) i oduo di v 1 dea veocità con cui 1 urta ; b) a quota assia h raggiunta da sistea dopo urto e a perdita di energia cinetica. 9) Descrivere e coentare e caratteristiche de urto eastico tra due corpi puntifori ) Verificare se i capo di forze F( xyz ; ; ) = 3Axyzi+ Axz j+ Axyzk è conservativo e cacoarne, eventuaente, espressione de energia potenziae. pag. 5

6 31) Un astronauta in fase di preparazione si uove sua superficie di una piattafora orizzontae priva di attrito, soidae ad un sistea di riferiento terrestre da considerarsi inerziae. Egi è egato ad una corda inestensibie e senza peso che passa attraverso un foro praticato ne piano dea piattafora ed è fissata a di sotto di questa. Iniziaente i tratto di corda teso su piano ha unghezza r 1 e astronauta si uove con veocità v 1 su una traiettoria di raggio r 1. Ad un certo istante a corda viene accorciata e i tratto su piano assue una unghezza r < r 1. Trattando astronauta coe un punto ateriae di assa trovare: a) espressione de oduo dea veocità finae de astronauta; b) espressione dea forza necessaria per faro uovere su una circonferenza di raggio r costante, in funzione di, r 1, v 1 ed r; c) espressione de avoro copiuto da tae forza per far passare i raggio da r 1 a r. d) Verificare che questo avoro è uguae aa variazione di energia cinetica. 3) Un disco rigido di assa M, raggio R e di spessore trascurabie ruota attorno a suo centro O con veocità angoare ω. La densità de disco varia secondo a reazione ρ=3kr dove K è una costante positiva ed r a distanza da centro O. Deterinare espressione di K e de energia cinetica de disco. 33) Enunciare e coentare i secondo principio dea dinaica. 34) Enunciare e coentare i teorea di König. 35) Verificare se i capo di forze F( x; y; z) = ( B Ay z) i Axyz j Axy k è conservativo e cacoarne, eventuaente, espressione de energia potenziae. 36) Un asta rigida di assa M, unghezza L e di sezione trascurabie ruota attorno a suo estreo O con veocità angoare ω. La densità de asta varia secondo a reazione ρ=kr dove K è una costante positiva ed r a distanza da estreo O. Deterinare espressione di K e de oento angoare de asta rispetto ad O. 37) Enunciare e coentare i prio principio dea dinaica. 38) Definire i concetto di oento di inerzia e coentarne iportanza. 39) Verificare se i capo di forze F ( x; y; z) = Ayzi + ( By Axz) j Axyk è conservativo e cacoarne, eventuaente, espressione de energia potenziae. pag. 6

7 40) Un disco rigido di assa 3M, raggio 3R e di spessore trascurabie ruota attorno a suo centro O con veocità angoare ω. La densità de disco varia secondo a reazione ρ=kr dove K è una costante positiva ed r a distanza da centro O. Deterinare espressione di K e de oento angoare de disco rispetto ad O. 41) Un asta rigida di assa M, unghezza 3L e di sezione trascurabie ruota attorno a suo estreo O con veocità angoare ω. La densità de asta varia secondo a reazione ρ=4kr dove K è una costante positiva ed r a distanza da estreo O. Deterinare espressione di K e energia cinetica de asta. 4) Enunciare e coentare i terzo principio dea dinaica. 43) Enunciare e discutere i teorea di Huyghens- Steiner. 44) Verificare se i capo di forze F( x; y; z) = Ay i+ Axy j+ Bk è conservativo e cacoarne, eventuaente, espressione de energia potenziae. 45) Due corpi puntifori A e B entrabi di assa rispettivaente M, occupano due posizioni fisse deo A spazio distanti L una da atra. Deterinare: B P P L x a) a forza gravitazionae cui è sottoposta una sferetta di assa, considerata puntifore, che si trova ne punto P indicato in figura, a distanza x P da A; b) a veocità acquistata daa sferetta dopo che, essendo partita da P in quiete, sotto effetto de capo gravitazionae si è spostata di un tratto S < xp L raggiungendo i punto P di coordinata x P ; c) a veocità de baricentro de sistea costituito dae tre asse (M, M, ) quando a sferetta ha raggiunto i punto P. 46) Siano dati due corpi puntifori A e B di assa rispettivaente 4M e M, fissati a distanza d uno d da atro, ed un corpo di prova puntifore di assa ibero di uoversi (vedi figura). Deterinare: 4M M a) a coordinata de punto in cui e attrazioni esercitate dai due corpi A e B su si copensano reciprocaente; d 1 d x b) a veocità con cui a assa deve essere anciata ungo AB da un punto interedio ad A e B, affinché passi ne punto di ezzo dee due asse attraenti con veocità nua (siano d 1 e d con d1 < d e distanze iniziai de punto ateriae dae due asse attraenti); c) acceerazione de corpo di prova ne punto di ezzo tra A e B. pag. 7

8 47) Un astronave si uove in una regione di spazio in cui agisce i capo di forze F( r) = α r r, dove r è i vettore posizione rispetto ad un centro di forza O e α una costante. L astronave, assiiabie ad un corpo puntifore di assa, si sposta ungo una traiettoria rettiinea da punto A(;0;0) a punto B(0;0;1) rispetto ad O. Diostrare che i capo F è conservativo e cacoare in funzione di α i avoro da esso copiuto su astronave. 48) Dati due punti ateriai di assa 1 =M e =M deterinare espressione dea veocità de centro di assa ne ipotesi che i corpo 1 sia fero ed i corpo si uova con veocità v = v i+ v j ) Un punto ateriae di assa possiede un acceerazione data da espressione 1 a ( Bx Axyz) i Ax z j Ax = yk. Se ne punto P(1;0;1) esso possiede una veocità v P = v i deterinare: ( ) 0 a) e diensioni dee costanti A e B; b) i raggio di curvatura ρ dea traiettoria ne punto P. c) Verificare inotre se a forza cui è soggetto i punto ateriae è conservativa e deterinare eventuaente espressione de energia eccanica totae de corpo ne punto P. 50) Un disco di assa Kg, di raggio 1 e spessore trascurabie ha densità superficiae σ=kr. Supponendo che i disco sia disposto orizzontaente e ruoti attorno ad un asse verticae che passa per i suo centro con veocità angoare ω=rad/s, cacoare energia cinetica de sistea. pag. 8