Il calcolo integrale. A. Pisani A.S Liceo Classico Dante Alighieri GO

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1 Il calcolo integrale A. Pisani A.S Liceo Classico Dante Alighieri GO

2 Indice " Introduzione " Il conceao di privimieva e le proprietà delle primieve. Integrali indefinie elementari " L integrale definito: proprietà. " Il teorema della media e il teorema fondamentale del calcolo integrale e differenziale (Torricelli- Barrow)

3 Nota " Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato durante le lezioni in classe. In nessun caso sono sostitutivi del libro di testo che rimane uno strumento indispensabile allo studio. A. Pisani

4 MoEvazioni " Supponiamo di conoscere la legge della forza che agisce su un determinato oggeao e che tale forza non sia costante. Ad esempio: F = k v " Dove k è una costante e v è la velocità. " Problema: qual è il moto dell oggeao su cui agisce questa forza? (moto in un fluido)

5 MoEvazioni (cont.) Dato che la forza è proporzionale all accelerazione e questa è la derivata della velocità: F = m a = m v (t) Il problema si riconduce alla determinazione di una funzione (v) posto che sia nota la sua derivata. ( ) v (t) = k m v t

6 La primieva In generale, quindi, dobbiamo affrontare il problema di determinare la funzione quando sia nota la sua derivata. Ad esempio, se: [ ] = D f (x) ( ) = 2x f x Allora, dato che: Una soluzione è: [ ] = 2x D x 2 f (x) = x 2 MA

7 La funzione così trovata (invertendo la derivazione) prende il nome di PRIMITIVA. Ma NON E UNICA! f (x) = x 2 f (x) = x 2 +1 f (x) = 2x f (x) = x 2 7 f (x) = x 2 + c c R

8 [ ] = 2x c R D x 2 + c La derivata di una costante è zero, quindi qualunque sia la funzione, se esiste la sua primieva non è unica. Se una funzione ammeae una primieva, allora ne ha infinite, ciascuna di queste differisce dalle altre per una costante.

9 Teorema 1 In generale, vale la seguente proprietà: [ ] = D f (x) + c D f ( x) [ ] c R Quindi, se la funzione f (x) è derivabile, allora la sua derivata è anche la derivata di tutte le funzioni ottenute aggiungendo a f (x) una qualsiasi costante.

10 L integrale indefinito Definizione: se la funzione f (x) ha una primitiva F(x),allora si dice INTEGRABILE. [ ] f (x) = D F(x) La totalità delle sue primitive si indica con il termine INTEGRALE INDEFINITO. f (x)dx = F(x) + c

11 Teorema 2 Vale il seguente teorema: Se una funzione y = f (x) è continua in un [ intervallo a,b] allora è integrabile, ovvero ammette una funzione primitiva. ATTENZIONE: non tutte le funzioni integrabili hanno una primitiva esprimibile in termini analitici (una formula semplice)!! Es.: e x 2 dx =...

12 Alcuni integrali elementari ( ) = 0 f (x)dx = f x 0dx = c ( ) = 1 f (x)dx = f x 1dx = x + c f ( x) = x f (x)dx = xdx = 1 2 x 2 + c f ( x) = x 2 f (x)dx = x 2 dx = 1 3 x 3 + c

13 Alcuni integrali elementari SE n 1 f ( x) = x n f (x)dx = x n dx = 1 n +1 x n +1 + c SE n = 1 1 f ( x) = x 1 = 1 x f (x)dx = x dx = ln x + c

14 Alcuni integrali elementari f ( x) = cos( x) f (x)dx = cos( x)dx = sin( x) + c f ( x) = sin( x) f (x)dx = sin( x)dx = cos( x) + c f ( x) = tan( x) f (x)dx = tan( x)dx = lncos(x) + c f ( x) = e x f (x)dx = e x dx = e x + c

15 Proprietà degli integrali IndefiniE L integrale indefinito è un operatore lineare. Prende questa proprietà in conseguenza dell analoga proprietà della derivazione. k f (x)dx = k f (x)dx [ f (x) + g(x) ]dx = f (x)dx + g(x)dx

16 Esempi Calcola il seguente integrale indefinito: 5x 3 dx Possiamo portere il fattore 5 fuori dal segno di integrale e applicare la regola vista per l integrale della potenza: 5x 3 dx = 5 x 3 dx = x c = 5 4 x 4 + c

17 Esempi Calcola il seguente integrale indefinito: ( x 2 2x + 5)dx Applichiamo le priprietà di linearità dell integrale indefinito e le regole appena viste sugli integrali elementari: ( x 2 2x + 5)dx = x 2 dx 2 xdx + 51dx = 1 3 x 3 x 2 + 5x + c

18 Esercizi Calcola i seguenti integrali indefiniti: ( x 3 + 4x 2 2)dx xdx 3 x dx

19 Altre regole di integrazione Ricordiamo una delle regole di derivazione: [ D ( f (x)) n ] = n f (x) ( ) n 1 f (x) N.B: n 1 Abbiamo quindi: ( f (x)) n 1 f (x) = 1 n D ( f ( x )) n ( f (x)) α f (x) = 1 α +1 D ( f ( x )) α +1 quindi:

20 Altre regole di integrazione ( f ( x) ) α f ( x)dx = 1 α +1 D ( f ( x )) α +1 dx ( f ( x ) ) α f ( x)dx = 1 α +1 f x ( ( )) α +1 + c α 1

21 Esempio f x Calcola il seguente integrale indefinito: ( x 2 +1) 2x dx ( f ( x ) ) α f ( x)dx = 1 α +1 f x ( ) = x 2 +1 f ( x) = D x 2 +1 ( ( )) α +1 + c ( x 2 +1) 2x dx = 1 2 x 2 +1 [ ] = 2x α = 1 ( ) 2 + c

22 Esercizi: Calcola i seguenti integrali indefiniti: ( x 3 + 4x 2 )( 3x 2 + 8x)dx x x dx 3x 2 ( x 3 5) 2 dx