Prova Scritta di Robotica I

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1 Prova Scritta di Robotica I Febbraio Si consideri un anipolatore R planare con lunghezze dei bracci l.6, l.5 [. Gli angoli di giunto θ, θ sono deiti secondo la convenzione di DH. I giunti hanno corsa illiitata. La base del anipolatore è posta nell origine della terna x, y assegnata.!"#$%#%! /, -!&$%#%!"&'#$%#%!&'.$%#%!&'.$%&'*%!#$%#%!"#$%&'#%!"&'#$%&'#%! +, -!"&'.$%&%!#$%&%!&'*$%&% Figura : Spazio di lavoro per il copito assegnato Con riferiento alla Fig., pianificare un caino paraetrico continuo che trasferisca l organo terinale del anipolatore tra i punti cartesiani.3 p in p [, e tale che siano soddisfatte le seguenti condizioni: il caino sia costituito da funzioni polinoiali del più basso grado possibile; la tangente al caino sia continua rispetto al paraetro; il anipolatore eviti collisioni con i due ostacoli ostrati in arancione. Fornire una soluzione e verificare graficaente l assenza di collisioni ad es., usando Matlab. Nel caso la soluzione proposta incontri una singolarità cineatica, indicare coe viene gestita tale situazione. Illustrare ine coe deve essere assegnata una legge oraria in odo che la traiettoria risultante abbia un coportaento soddisfacente. [5 inuti; libri aperti

2 Soluzione Febbraio Lo spazio di lavoro del anipolatore è una corona circolare con raggio interno pari a l l. e raggio esterno pari a l + l.. I due punti cartesiani assegnati sono quindi entrabi raggiungibili. Usando la funzione cineatica inversa del robot R si ottengono le due soluzioni θ left in θ right in [rad per il punto cartesiano iniziale p in, e le due soluzioni θ left.966 θ right [rad per il punto cartesiano ale p. Per evitare la collisione in questi due punti, occorre scegliere rispettivaente θ left in e θ right. Dato che queste soluzioni inverse sono di tipo differente, ne segue che il anipolatore dovrà attraversare una singolarità braccio steso o ripiegato nel suo oto. Pertanto il odo più seplice per risolvere il problea è quello di deire un caino nello spazio dei giunti, eventualente utilizzando una o più configurazione interedia. Il caino potrà attraversare configurazioni singolari senza creare problei di controllo in fase di esecuzione non è necessario invertire lo Jacobiano. Ovviaente, il problea di evitare le collisioni riane. Un approccio diretto, che prevede l interpolazione della configurazione iniziale e ale con un singolo caino lineare polinoio di grado più basso possibile, non è però aissibile. Si introduca il paraetro s [, per descrivere il caino θ qs q s q s T. Il caino lineare interpolante qs è qs θ right θ left in s + θ left in, s [,. Il anipolatore si troverà nella singolarità a braccio steso per s s tale che θ q s. Ciò avviene per s.75 θ q s.359 [rad. E facile vedere che si ha collisione con l ostacolo sulla destra, ad esepio con il anipolatore posto in θ.359 T. Una confera grafica si ha da un seplice prograa Matlab che ipleenta la generazione del caino e la cineatica diretta del robot, e traccia i risultati coe in Fig. con configurazione iniziale verde e ale rosso e caino dell organo terinale Figura : Moto stroboscopico del robot su un caino lineare nei giunti, con conseguente collisione

3 Per evitare tale situazione, si può pensare di sostituire nella la seconda coponente di θ right con il suo valore odulo π, ossia θ right π.8.4 [rad. Il caino lineare del secondo giunto passerà ora necessariaente per il valore θ π, ovvero nella singolarità a braccio ripiegato. Purtroppo questo non basta ad evitare collisioni si veda la Fig. 3. Per esepio, l organo terinale sarà in collisione per s.75, quando il anipolatore si trova nella configurazione θ T ossia, θ and θ Figura 3: Moto stroboscopico del robot su un altro caino lineare nei giunti, ancora con collisione A seguito di questa analisi, risulta necessario introdurre in fase di pianificazione una configurazione interedia, associata ad esepio a s.5. E conveniente scegliere tale configurazione coe quella singolare a braccio ripiegato in corrispondenza al punto cartesiano dove inizia il canale tra i due ostacoli, ossia θ id π [rad p id. La scelta di un valore negativo θ id, π anziché π segue la stessa logica precedente: data la continuità del oto, il secondo braccio ruoterà sepre in senso orario, raggiungendo la singolarità desiderata nel punto p id e riaprendosi nel odo utile ad evitare l ostacolo posto sulla destra. Le condizioni al contorno per il caino interpolante nello spazio dei giunti sono allora q θ left in , q θ id π [., q θ right.8.4, alle quali va aggiunta la condizione di continuità della tangente al caino nel punto interedio, ossia dqs dqs. 3 ds ds s s + Possiao quindi scegliere per ciascun giunto una funzione quadratica ed una lineare di s o viceversa sui due tratti del caino, avendo così a disposizione cinque coefficienti in totale per soddisfare le cinque condizioni al contorno. Tale caino polinoiale di grado isto qs è deito coe as + bs + c, per s [, qs ds + e, per s [,, 3

4 dove a,..., e sono vettori bi-diensionali di coefficienti. Iponendo le condizioni 3, e eliinando gli apici left e right per copattezza, si ottiene: 4θ 8θ id + 4θ in s + 6θ id 4θ in θ s + θ in, for s [, qs 4 θ θ id s + θ id θ, for s [,. Il caino di giunto così pianificato e la relativa tangente sono ostrati rispettivaente nelle Fig. 4 e 5, entre il oto risultante per il anipolatore è riportato in Fig. 6. Coe si può vedere, non avvengono collisioni. joint path positions rad paraeter s Figura 4: Caino quadratico/lineare nello spazio dei giunti: q s continuo, blu, q s tratteggiato, verde 8 joint path tangents 6 4 rad/length paraeter s Figura 5: Tangente al caino: dq s/ds continuo, blu, dq s/ds tratteggiato, verde Figura 6: Moto stroboscopico del robot sul caino quadratico/lineare nei giunti Per trasforare tale caino in una traiettoria occorre associare una legge oraria s st con t [, T. La scelta è qui arbitraria oto bang-bang in accelerazione, profilo di velocità 4

5 trapezoidale, polinoio cubico nel tepo,... e dipenderà dalle specifiche aggiuntive sul copito e dai liiti di prestazione del robot. Occorre però scegliere un unica legge oraria per entrabi i giunti. In caso contrario, il oto dei giunti non è coordinato nel tepo e il caino cartesiano effettivaente eseguito dal robot non sarà quello pianificato, con possibile rischio di collisione. Considerazioni aggiuntive. Viene presentato qui di seguito del ateriale suppleentare alla soluzione richiesta, fornendo una soluzione alternativa al problea di pianificazione nella quale si usano due tratti di funzioni quadratiche in s, per un totale di sei coefficienti per ciascun giunto. Tale grado di libertà aggiuntivo può perettere un aggiore controllo sulla fora del caino soluzione. Occorre una condizione aggiuntiva per quadrare il problea di interpolazione, che si ottiene iponendo un valore θ id alla tangente al caino nel punto interedio: dqs ds s Si possono ovviaente fare diverse scelte per tale valore vettoriale. quadratico qs è deito coe as + bs + c, per s [, qs ds + es + f, per s [,, θ id. 5 Il caino totalente dove a,..., f sono vettori bi-diensionali. Iponendo le condizioni al contorno 5, si ha: 4θin θ id + θ id s + 4θ id θ in θ id s + θin, per s [, qs 4θ θ id θ id s + 4θ id θ + 3θ id s + θ θ id, per s [,. 6 La derivata pria rispetto a s la tangente al caino nello spazio dei giunti è: dqs 8θin θ id + 4θ id s + 4θid θ in θ id, for s [, ds 8θ θ id 4θ id s + 4θid θ + 3θ id, for s [,. Una pria scelta possibile per il vettore θ id si ha iponendo coe tangente al caino cartesiano nel punto p id un vettore nella direzione di y e a nora unitaria, ossia dps dp dq Jθ id θ id, 7 ds dθ ds s θθid s dove p kinθ è la cineatica diretta del anipolatore. Questa scelta è certaente aissibile, nonostante il anipolatore si trovi nella singolarità a braccio steso. Infatti lo Jacobiano del robot l sin θ Jθ l sinθ + θ l sinθ + θ l cos θ + l cosθ + θ l cosθ + θ assue il valore Jθ id l l l..5 RJθ id. La soluzione θ id a nora inia si ottiene ediante pseudoinversione della 7 o, in odo equivalente, usando la pseudoinversa della sola seconda riga/equazione: θ id J # θ id..5 #

6 Il caino di giunto risultante, la sua tangente e la sua curvatura sono ostrati nelle Fig Si noti che la curvatura ha una discontinuità nel punto interedio. Il oto del anipolatore è illustrato in Fig. 9. Anche in questo caso non si hanno collisioni. joint path positions rad paraeter s Figura 7: Caino quadratico nei giunti: q s continuo, blu, q s tratteggiato, verde joint path tangents joint path curvatures rad/length rad/length paraeter s paraeter s Figura 8: [Sin Tangente al caino: dq s/ds continuo, blu, dq s/ds tratteggiato, verde. [Dex Curvatura: d q s/ds continuo, blu, d q s/ds tratteggiato, verde Figura 9: Moto stroboscopico del robot sul caino quadratico nei giunti Si riportano anche i risultati per altre possibili scelte di θ id. Si può ad esepio risolvere il problea iponendo anche la continuità della curvatura del caino nei giunti in corrispondenza del punto interedio. La derivata seconda rispetto a s della funzione interpolante 6 è d qs 8θ in θ id + 4θ id, per s [, ds 8θ θ id 4θ id per s [,, 6

7 ossia costante a tratti. Uguagliando i valori in s.5, si ottiene: θ id θ θ in..87 Il caino di giunto risultante, la sua tangente e la sua curvatura sono ostrate nelle Fig., dove si ha ora curvatura continua costante. Tuttavia, il oto del robot non è aissibile a causa della collisione con l ostacolo di sinistra che avviene poco pria del punto ale Fig.. Questa è una conseguenza della richiesta continuità aleno per la classe di funzioni interpolanti scelta. joint path positions rad paraeter s Figura : Caino quadratico nei giunti con curvatura continua: q s continuo, blu, q s tratteggiato, verde 6 joint path tangents 3.5 joint path curvatures 4.5 rad/length rad/length paraeter s paraeter s Figura : [Sin Tangente al caino: dq s/ds continuo, blu, dq s/ds tratteggiato, verde. [Dex Curvatura: d q s/ds continuo, blu, d q s/ds tratteggiato, verde Figura : Moto stroboscopico del robot sul caino quadratico nei giunti con curvatura continua, con conseguente collisione 7

8 Tale problea insorge a causa dell elevato slancio iposto al robot nel passaggio per il punto interedio. Il fatto che la scelta di θ id risulti olto critica per la classe scelta di funzioni interpolanti si può essere illustrare in odo piuttosto draatico ponendo per esepio θ id.,.6.5 ossia un valore cento volte più grande della soluzione a nora inia data dalla 8. Il oto del robot è forteente oscillatorio in questo caso, coe ostrato in Fig. 3. Viceversa, la soluzione ottenuta per θ id è olto siile a quella della Fig Figura 3: Moto stroboscopico del robot su un caino quadratico nei giunti, con elevato θ id 8