Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa Università degli Studi di Milano Lezione n Il tensore degli stress Energia e quantità di moto dell'onda Propagazione nella materia iflessione e rifrazione. Incidenza normale Anno Accademico 8/9

2 Quantità di moto Il secondo esempio è presentato sotto forma di paradosso Consideriamo due sistemi di riferimento Σ e Σ Σ si muove da destra verso sinistra con velocita v Supponiamo che nel sistema Σ due cariche q e q si muovano con velocità opposte con lo stesso modulo v Naturalmente nel sistema Σ la carica q è ferma mentre la carica q si muove con una velocità v Osserviamo innanzitutto che in entrambi i sistemi l'interazione fra le due cariche è solo elettrica Σ Infatti il campo magnetico nella posizione delle cariche è nullo B v E se v ed E sono paralleli segue che B c Il campo elettrico generato dalle due cariche è q, β q E, β 4πε ( ) 3 r β sin θ 4πε r Nel sistema Σ su ciascuna carica agisce la forza qq F ( β ) ˆ, ± e x 4πε r Le due forze soddisfano la terza legge di Newton ( ), y y v q v Σ sin θ r q v v x x β v c Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 48

3 Quantità di moto Analizziamo adesso il fenomeno nel sistema Σ y y Nella posizione della carica q il campo elettrico è r v v q qq ( ) ˆ E β e x F ( ) ˆ β e 4πε x q q r 4πε r r Nella posizione della carica q il campo è elettrico è v q v qq ˆ E e Σ x F ˆe x 4πε x r 4πε r x Osserviamo che le due forze agiscono sulla congiungente Σ ma hanno moduli diversi La terza legge di Newton non è soddisfatta Ancora una volta la soluzione si trova attribuendo quantità di moto al campo Si dimostra che la quantità di moto del campo è μ qv qv pem qa ( ) ˆ A x,,, t ex ˆ 4π r + vt x 4πεc r + vt e Vedremo che l'equilibrio delle forze è t dp dp EM EM da qqv qq F + F q ˆ β e dt dt dt x ˆe x 4πεc ( r + vt) 4πε r Sommiamo F e F qq β F + F ˆe 4 x πε r Jefimenko O. European Journal of Physics (999) p. 39 Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 49

4 Quantità di moto Troviamo adesso un'espressione per la quantità di moto del campo elettromagnetico simile a quella dell'energia p Per l'energia avevamo trovato mech Vogliamo trovare t dw dt ( p ) U EM S d a t flusso p mech. EM i qmoto i t i È una relazione più complicata: ci sono tre componenti i x, y, z La quantità di moto è un vettore Il flusso attraverso una superficie deve essere un vettore La grandezza corrispondente a S non può essere un vettore È un tensore: il tensore degli stress di Maxwell Pensiamo al flusso di quantità di moto attraverso una superficie Ad esempio una superficie attraversata da particelle z Il flusso attraverso la superficie (x y) produce quantità di moto nelle tre direzioni Lo stesso attraverso superfici x z e y z x S ( ) ( p ) i qmoto. materia qmoto. campo EM i i y p i Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

5 Quantità di moto dw dt U S d a t V EM Il termine a primo membro rappresenta la variazione di quantità di moto all'interno di un volume V nell'unita di tempo La variazione di quantità di moto è la forza che agisce sulla materia p t mech F icordiamo l'espressione della forza di Lorentz Introduciamo la forza per unità di volume f E + v B ρ ( ) mech flusso p pem t qmoto. t ρe + J B Si potrebbe procedere in modo analogo a quanto fatto per il teorema di Poynting pmech F dv ( ρ + ) dv t f V E J B V Si introducono ρ e J nell'espressione utilizzando le equazioni Maxwell Si elabora l'espressione utilizzando le altre equazioni e opportune identità vettoriali Il calcolo è lungo e non particolarmente illuminante Si può consultare Griffiths 8.. i F q ( E + v B) i ρ v J i Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

6 Quantità di moto Si giunge al risultato p mech T n da dv ij j t S i V t c j V i Il primo membro è la componente i di un vettore La quantità fra parentesi del secondo termine del secondo membro è la componente i di un vettore che rappresenta la quantità di moto del campo Introduciamo la densità di quantità di moto Notiamo che g è proporzionale g S p EM gdv c al vettore di Poynting V Il primo termine nel secondo membro rappresenta il flusso di quantità di moto al secondo attraverso la superficie che delimita il volume E B Tnda T ε EE δ + BB δ ij j ij i j ij i j ij μ V j La grandezza T ij è il Tensore degli Stress di Maxwell L'integrale di superficie (un flusso) deve produrre un vettore D'altro canto il flusso è il prodotto di un vettore e la normale alla superficie Per questo motivo nell'integrando compare un tensore Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

7 Il tensore degli stress di Maxwell Esaminiamo ancora l'integrale Tnda ij j V j Deve produrre tre componenti Consideriamo la componente i Consideriamo inoltre l'elemento di superficie da Attraverso questa superficie il campo contribuisce quantità di moto lungo la direzione i tramite le tre proiezioni di da nelle direzioni x, y, z Proiettiamo la superficie da nelle tre direzioni degli assi da da( nˆ ˆe + nˆ ˆe + nˆ ˆe ) da( nˆˆe + nˆ ˆe + nˆ ˆe ) x x y y z z 3 3 L'integrando della componente i è pertanto T nˆda + T nˆda + T nˆda i i i3 3 Infine scriviamo la legge di conservazione in forma differenziale Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 43 i z y da ˆn ( ) T S ρe + ρv B f i j ij T T t c j ij j ij j ( ) i x nˆ da È la "divergenza" del tensore

8 Il tensore degli stress di Maxwell Per meglio comprendere il significato e l'uso del tensore degli Stress di Maxwell risolviamo il seguente problema 3Q Consideriamo una sfera di raggio e carica Q ρ 3 4π Immaginiamo che la sfera sia divisa in due emisferi Calcolare la forza su ciascun emisfero Il problema si può risolvere con metodi standard Sappiamo che all'interno della sfera il campo è sin θcosφ Q r E r r sin θsin φφ 3 4πε cos θ L'elemento di volume interno alla sfera è La forza esercita sull'elemento di volume dv è La forza totale è F ρq dv r sin θdφd θdr df dqe ρdve π dr dφ rr sin d 3 4πε Si verifica facilmente che l'unico contributo diverso da zero è F z π θ θ Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 44

9 Il tensore degli stress di Maxwell La forza è pertanto ρq π F dr d r cos r sin d z 3 4πε ρq 4 π cosθdcosθ 3 4πε 4 6ε In definitiva, la forza sull'emisfero superiore è F 3Q 64πε ipetiamo adesso il calcolo utilizzando il tensore degli stress Bisogna calcolare il flusso di T ij attraverso la superficie dell'emisfero Attraverso la superficie della calotta Attraverso la base della calotta Per brevità calcoliamo solo la componente z delle forza Sappiamo già che le altre componenti sono nulle Si potrebbe trarre la stessa conclusione con argomenti di simmetria π φ θ θ θ ˆe z ρq ρ 3Q 4π 3 Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 45

10 T Il tensore degli stress di Maxwell Le componenti cartesiane del campo sono E kr E kr sin θcosφ x Q E kr sin θsin φ k y 3 4πε E kr cos θ Scriviamo le componenti necessarie del tensore / ε E E kr sin θcos θcos φ zx z x T E E E z zy z y / ε kr cos θ kr zz z z L'elemento di superficie sulla calotta sferica è Le componenti sono da sin θdφd θrˆ sin θcosφdφd θ x da sin θdφd θrˆ sin θcos θdφd θ z z Il contributo alla forza della calotta F c è pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 46 x T / y r sin θcos φ r r sin θsin φ cos θ ε E E kr sin θcos θsin φ kr(cos θ sin θ) da sin θdφdθˆr da sin θdφd θrˆ sin θsin φd φd θ y π π 4 cz + + zx x zy y zz z dφ dθε k I(, θ φ) 3 3 F T da T da T da I( θφ, ) sin θcos θcos φ+ sin θcos θsin φ+ sin θcos θcos θ sin θcos θsin θ

11 Il tensore degli stress di Maxwell 3 3 I( θφ, ) sin θcos θcos φ+ sin θcos θsin φ+ sin θcos θcos θ sin θcos θsin θ 3 sin cos + sin cos cos sin cos sin θ θ θ θ θ θ θ θ sin θcos θ( sin θ + cos θ sin θ) sin θcos θ π π ε 4 ε 4 F k d sin cos d cz φ θ θ θ k Q π 3πε F d rdrdφ e ˆz da rdrdφ z ε (cos sin ) ε k r θ θ T k r zz π 4 ε 3 Q F k d r dr bz φ επk 4 64πε La forza totale è 3Q F F + F z cz bz 64πε Pertanto imane da calcolare il contributo della superficie inferiore L'elemento di superficie sulla base equatoriale è a Sulla superficie inferiore (θ π/) Tzz Q 4πε Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 47 k 3 T da bz zz z In accordo con il risultato della diapositiva

12 Il tensore degli stress di Maxwell Non è obbligatorio utilizzare la superficie dell'emisfero È sufficiente utilizzare una superficie che contiene la carica sulla quale vogliamo effettuare il calcolo Eventualmente anche nel caso magnetico Una superficie chiusa che contiene tutte le cariche e le correnti di interesse Possiamo utilizzare una superficie differente Ad esempio una calotta più grande Al crescere del raggio della semisfera il contributo Q della superficie sferica tende a zero F cz Bisogna tuttavia aggiungere il contributo della superficie piana da r a r Per r > il campo elettrico E giace sulla superficie e ha modulo E La componente di T ij di interesse è T zz 4 ε T ε E E E zz z z F T da ez zz z Q 3πε r 4 Q π dφ 3πε rdr r 4 L'elemento di superficie è lo stesso di prima Q π 3πε Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 48 F daz ez Q πε r rdrdφ Q 3πε

13 Il tensore degli stress di Maxwell iassumendo Il contributo del piano per r < è Il contributo restante del piano ( ) Complessivamente la forza è F F + F z bz ez In accordo con il risultato precedente Il risultato trovato è molto importante e utile Si può' calcolare la forza su un sistema complicato di cariche (e correnti) ignorandone i dettagli calcolando il flusso del tensore degli stress su una superficie chiusa arbitraria (conveniente) che racchiude tutto il sistema di interesse Esercizio iprodurre la forza di Coulomb fra due cariche utilizzando il tensore degli stress di Maxwell F F bz ez Q Q + 64πε 3πε Q 64πε Q 3πε 3Q 64πε Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 49

14 Energia e quantità di moto dell'onda Le leggi che abbiamo visto generalizzano la conservazione dell'energia e della quantità di moto tenendo conto anche Dell'energia del campo elettromagnetico Della quantità di moto del campo elettromagnetico Un'onda elettromagnetica è un campo elettromagnetico Consideriamo un'onda piana monocromatica con polarizzazione lineare ( 39) Trasporta energia e quantità di moto Calcoliamo la densità di energia u ε E + B EM E E cos( k r ωt) n E cos( ωt) ˆ μ μ c ε B k r k ˆ n ˆ c ε E cos ωt + E ωt ( k r ) cos ( k r ) μ c ( k r ω ) u ε E cos t EM Osserviamo che i contributi del campo elettrico e del campo magnetico sono uguali L'energia dell'onda è trasportata nello spazio Il vettore di Poynting dà il flusso di energia ˆn 47 Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

15 Energia e quantità di moto dell'onda Calcoliamo il vettore di Poynting dell'onda piana icordiamo che le sue dimensioni sono energia per secondo per metro quadrato E E cos( k r ωt) n E cos( ωt) In definitiva ˆ S E B μ ( ) ( ) B k r k ˆ n ˆ c ce cos ( k r ωt ) nˆ kˆ nˆ μ c La densità di quantità di moto associata con l'onda è data da S k r t ckˆ nˆ kˆ nˆ kˆ nˆ nˆ nˆ kˆ nˆ k ˆ ε E cos ( ω ) S u ckˆ EM u EM g S kˆ c c Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

16 Energia e quantità di moto dell'onda Nel caso di un'onda di luce abbiamo visto che le frequenze sono molto elevate Frequenze dell'ordine di ν 6 Hz, lunghezze d'onda λ 7 m Tipiche misure macroscopiche sono medie nel tempo su molti cicli dell'onda Ad esempio, l'occhio umano fa medie in tempi dell'ordine di ms T Si definiscono pertanto medie temporali u icordiamo che T T T πx πx sin dt cos dt T T T T π π sin tdt cos tdt a π π π a sin t + cos t dt π π dt π π π Infatti Otteniamo pertanto uem ε E S ˆ ε Eck g E ˆ c ε k Si definisce intensità dell'onda (energia per unità di superficie per secondo) NB: Polarizzazione lineare I S ε E c I Jm s a u() t dt Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

17 Energia e quantità di moto dell'onda Supponiamo che un'onda elettromagnetica incida su una superficie perfettamente assorbente La radiazione elettromagnetica assorbita trasferisce quantità di moto alla superficie Calcoliamo la quantità di moto contenuta in un parallelepipedo di area A e spessore cdt dp g Acdt g E ˆ c ε k d p E ˆAcdt c ε k ˆ ε E kadt dp F ε E k ˆ A dt La forza sulla superficie A è B I E I k y x z A La pressione è la forza per unità di superficie F A ε E Pressione di radiazione Se la superficie è perfettamente riflettente la pressione raddoppia cdt Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 43

18 Energia e quantità di moto dell'onda Calcoliamo la pressione di radiazione della luce solare su una superficie perfettamente assorbente La potenza della luce solare incidente sulla superficie della terra è circa 3 W/m Questa è l'intensità dell'onda I 3 J m s Supponiamo che sia un'onda piana con polarizzazione lineare F I S ε E c ε E A La pressione di radiazione è I c F A N/m 8 3 Confrontiamo con la pressione atmosferica F.5 N/m A 5 La pressione di radiazione è pertanto 4.3 atm Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 44

19 Propagazione nella materia In assenza di cariche e correnti libere, le equazioni di Maxwell nella materia assumono la forma (vedi diapositiva ) D Per un mezzo lineare B D εe ε ε E All'interno di ciascun mezzo avremo r E B E t H B B μ μ μ με E B t D H t Naturalmente nel passaggio da un mezzo all'altro bisogna tenere conto delle discontinuità dei campi Da un punto di vista matematico l'unica differenza è avere sostituito le costanti μ e ε con μ e ε Le soluzioni saranno onde che viaggiano con velocità v v εμ εεμμ r r c εμ La costante n è l'indice di rifrazione della sostanza In pratica μ r e l'indice di rifrazione è determinato solo da ε r La "costante" ε r dipende molto dalla frequenza r r c n r n εμ r r Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 45

20 Propagazione nella materia Il vettore di Poynting diventa S E B μ Nelle onde piane monocromatiche la frequenza ω e il vettore d'onda k sono legate tramite la velocità dell'onda nel mezzo: ω kv I campi E e B sono legati anch'essi tramite v B v Per finire l'intensità dell'onda è data da (polarizzazione lineare) I E Studiamo adesso la propagazione di un'onda piana che attraversa il confine fra due mezzi lineari caratterizzati da costanti ε,μ e ε, μ Vedremo che si formano un'onda trasmessa e un'onda riflessa Studieremo il fenomeno per incidenza normale e incidenza obliqua I dettagli dipendono dalle condizioni al contorno (vedi diapositiva ) ε εve E ε E E E B B μ μ Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 46 B B

21 Incidenza normale Supponiamo che l'interfaccia fra il mezzo e il mezzo sia il piano z Le velocità di propagazione nei due mezzi sono v e v ( zt, ) ˆe I x I e ω ( ) i t k z E I E B x E T B ( zt, ) ˆe e I y I v ( ω ) i t k z B I k k y B T k z Un'onda piana I viaggia nel senso positivo dell'asse z incide sul piano z Sono generate un'onda riflessa e un'onda trasmessa T i( t kz) E ( zt, ) ˆe E e ω + ( ) B k ˆ E i( ω t+ kz) B zt, ˆe v e x y vedi v e v i( t kz) E ( zt, ) ˆe E e ω ( ) i ( ωt k ) z B zt, ˆe T x T T y T Abbiamo utilizzato la stessa frequenza per le tre onde Vedremo che l'uguaglianza è conseguenza delle condizioni al contorno Abbiamo visto che i moduli dei vettori k sono legati alle frequenze: ω kv Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 47

22 Incidenza normale Nella regione il campo elettromagnetico totale è dato da E E + E I Nella regione il campo B elettromagnetico è dato da E T e B I B T T Imponiamo le condizioni al contorno per z y Le condizioni sulle componenti normali sono banali dato che queste sono nulle Esaminiamo la condizione su E e consideriamo le frequenze diverse E (, t) E (, t) Esiste una soluzione solo se le tre frequenze sono uguali: ω ω ω La condizione su B è B B + B I Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 48 E I k k E B x ˆe E e + ˆe E e ˆe E e ( ω ) ( ω + ) ( ω ) i t kz i t kz i t kz x I x x T e + e e iωt iω t iω t I T + I T μ v v μv I T E T k z

23 Incidenza normale v μ v v μ μv μ v I T isolviamo il sistema + β I T I T I T ( ) + β I T T I + β T I β + β β I μ v μ v Per la maggior parte delle sostanze μ/μ è praticamente uguale a In tal caso v n β E E T I v n v v + v n T n + n I v c n v v n n + n + n I v v I Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 49

24 Incidenza normale Calcoliamo adesso le intensità icordiamo la relazione che lega l'intensità all'ampiezza ε ε I I v E v E I I ε v n n ε v n + n I ε v n ε v T T n + n E E Definiamo i coefficienti di riflessione e trasmissione T I I T I I I I ε n n v E n + n ε ve ε v n ε v n n + n n n + n n n n n + n Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 43 4nn ( n + n ) I εve n ε + T