Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa Uniersità degli Studi di Milano Leione n Propagaione nella materia iflessione e rifraione. ncidena obliqua Poteniali elettrodinamici. rasformaioni e inariana di gauge Anno Accademico 7/8

2 l tensore degli stress di Maxwell La fora è pertanto ρq π F dr d r cos r sin d 3 4πε ρq 4 π cosθdcosθ 3 4πε 4 6ε n definitia, la fora sull'emisfero superiore è F 3Q 64πε ipetiamo adesso il calcolo utiliando il tensore degli stress Bisogna calcolare il flusso di ij attraerso la superficie dell'emisfero Attraerso la superficie della calotta Attraerso la base della calotta Per breità calcoliamo solo la componente delle fora Sappiamo già che le altre componenti sono nulle Si potrebbe trarre la stessa conclusione con argomenti di simmetria π φ θ θ θ ˆe ρq ρ 3Q 4π 3 Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 39

3 l tensore degli stress di Maxwell Le componenti cartesiane del campo sono E kr E kr sin θcosφ x Q E kr sin θsin φ k y 3 4πε E kr cos θ Scriiamo le componenti necessarie del tensore / ε E E kr sin θcos θcos φ x x E E E y y / ε kr cos θ kr L'elemento di superficie sulla calotta sferica è Le componenti sono da sin θdφd θrˆ sin θcosφdφd θ x da sin θdφd θrˆ sin θcos θdφd θ l contributo alla fora della calotta F c è pertanto Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 39 x / y r sin θcos φ r r sin θsin φ cos θ ε E E kr sin θcos θsin φ kr(cos θ sin θ) da sin θdφdθˆr da sin θdφd θrˆ sin θsin φd φd θ y π π c + + x x y y dφ dθε k (, θ φ) 3 3 F da da da ( θφ, ) sin θcos θcos φ+ sin θcos θsin φ+ sin θcos θcos θ sin θcos θsin θ

4 l tensore degli stress di Maxwell 3 3 ( θφ, ) sin θcos θcos φ+ sin θcos θsin φ+ sin θcos θcos θ sin θcos θsin θ 3 sin cos + sin cos cos sin cos sin θ θ θ θ θ θ θ θ sin θcos θ( sin θ + cos θ sin θ) sin θcos θ π π ε ε F k d sin cos d c φ θ θ θ k Q π 4 3πε F d rdrdφ e ˆ da rdrdφ ε (cos sin ) ε k r θ θ k r π 4 ε 3 Q F k d r dr b φ επk 4 64πε La fora totale è 3Q F F + F c b 64πε Pertanto imane da calcolare il contributo della superficie inferiore L'elemento di superficie sulla base equatoriale è a Sulla superficie inferiore (θ π/) Q 4πε Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 39 k 3 da b n accordo con il risultato della diapositia 389 4

5 l tensore degli stress di Maxwell Non è obbligatorio utiliare la superficie dell'emisfero È sufficiente utiliare una superficie che contiene la carica sulla quale ogliamo effettuare il calcolo Eentualmente anche nel caso magnetico Una superficie chiusa che contiene tutte le cariche e le correnti di interesse Possiamo utiliare una superficie differente Ad esempio una calotta più grande Al crescere del raggio della semisfera il contributo Q F della superficie sferica tende a ero c 4 3πε Bisogna tuttaia aggiungere il contributo della superficie piana da r a r Per r > il campo elettrico E giace sulla superficie e ha modulo E La componente di ij di interesse è 4 ε ε E E E F da e Q 3πε r 4 Q π dφ 3πε 4 L'elemento di superficie è lo stesso di prima rdr r Q π 3πε Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 393 F da e Q πε r rdrdφ Q 3πε

6 l tensore degli stress di Maxwell iassumendo l contributo del piano per r < è l contributo restante del piano ( ) Complessiamente la fora è F F + F b e n accordo con il risultato precedente l risultato troato è molto importante e utile Si può' calcolare la fora su un sistema complicato di cariche (e correnti) ignorandone i dettagli calcolando il flusso del tensore degli stress su una superficie chiusa arbitraria (coneniente) che racchiude tutto il sistema di interesse Eserciio iprodurre la fora di Coulomb fra due cariche utiliando il tensore degli stress di Maxwell F F b e Q Q + 64πε 3πε Q 64πε Q 3πε 3Q 64πε Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 394

7 Energia e quantità di moto dell'onda Le leggi che abbiamo isto generaliano la conseraione dell'energia e della quantità di moto tenendo conto anche Dell'energia del campo elettromagnetico Della quantità di moto del campo elettromagnetico Un'onda elettromagnetica è un campo elettromagnetico Consideriamo un'onda piana monocromatica con polariaione lineare ( 367) rasporta energia e quantità di moto Calcoliamo la densità di energia u ε E + B EM E E cos( k r ωt) n E cos( ωt) ˆ μ μ c ε B k r k ˆ n ˆ c ε E cos ωt + E ωt ( k r ) cos ( k r ) μ c ( k r ω ) u ε E cos t EM Osseriamo che i contributi del campo elettrico e del campo magnetico sono uguali L'energia dell'onda è trasportata nello spaio l ettore di Poynting dà il flusso di energia ˆn 47 Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 395

8 Energia e quantità di moto dell'onda Calcoliamo il ettore di Poynting dell'onda piana icordiamo che le sue dimensioni sono energia per secondo per metro quadrato E E cos( k r ωt) n E cos( ωt) n definitia ˆ S E B μ ( ) ( ) B k r k ˆ n ˆ c ce cos ( k r ωt ) nˆ kˆ nˆ μ c La densità di quantità di moto associata con l'onda è data da S k r t ckˆ nˆ kˆ nˆ kˆ nˆ nˆ nˆ kˆ nˆ k ˆ ε E cos ( ω ) S u ckˆ EM u EM g S kˆ c c Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 396

9 Energia e quantità di moto dell'onda Nel caso di un'onda di luce abbiamo isto che le frequene sono molto eleate Frequene dell'ordine di ν 6 H, lunghee d'onda λ 7 m ipiche misure macroscopiche sono medie nel tempo su molti cicli dell'onda Ad esempio, l'occhio umano media nell'ordine di ms Si definiscono pertanto medie temporali u u() t dt icordiamo che πx πx sin dt cos dt π π sin tdt cos tdt a π π π a sin t + cos t dt π π dt π π π nfatti Otteniamo pertanto uem ε E S ˆ ε Eck g E ˆ c ε k Si definisce intensità dell'onda (energia per unità di superficie per secondo) NB: Polariaione lineare S ε E c Jm s a Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 397

10 Energia e quantità di moto dell'onda Supponiamo che un'onda elettromagnetica incida su una superficie perfettamente assorbente La radiaione elettromagnetica assorbita trasferisce quantità di moto alla superficie Calcoliamo la quantità di moto contenuta in un parallelepipedo di area A e spessore cdt dp g Acdt g E ˆ c ε k d p E ˆAcdt c ε k ˆ ε E kadt dp F ε E k ˆ A dt La fora sulla superficie A è B E k y x A La pressione è la fora per unità di superficie F A ε E Pressione di radiaione Se la superficie è perfettamente riflettente la pressione raddoppia cdt Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 398

11 Energia e quantità di moto dell'onda Calcoliamo la pressione di radiaione della luce solare su una superficie perfettamente assorbente La potena della luce solare incidente sulla superficie della terra è circa 3 W/m Questa è l'intensità dell'onda 3 J m s Supponiamo che sia un'onda piana con polariaione lineare F S ε E c ε E A La pressione di radiaione è c F A N/m 8 3 Confrontiamo con la pressione atmosferica F.5 N/m A 5 La pressione di radiaione è pertanto 4.3 atm Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 399

12 Propagaione nella materia n assena di cariche e correnti libere, le equaioni di Maxwell nella materia assumono la forma (edi diapositia ) D Per un meo lineare B D εe ε ε E All'interno di ciascun meo aremo r E B E t H B B μ μ μ με E B t D H t Naturalmente nel passaggio da un meo all'altro bisogna tenere conto delle discontinuità dei campi Da un punto di ista matematico l'unica differena è aere sostituito le costanti μ e ε con μ e ε Le soluioni saranno onde che iaggiano con elocità εμ εεμμ r r c εμ La costante n è l'indice di rifraione della sostana n pratica μ r e l'indice di rifraione è determinato solo da ε r La "costante" ε r dipende molto dalla frequena r r c n r n εμ r r Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

13 Propagaione nella materia l ettore di Poynting dienta S E B μ Nelle onde piane monocromatiche la frequena ω e il ettore d'onda k sono legate tramite la elocità dell'onda nel meo: ω k campi E e B sono legati anch'essi tramite B Per finire l'intensità dell'onda è data da (polariaione lineare) E Studiamo adesso la propagaione di un'onda piana che attraersa il confine fra due mei lineari caratteriati da costanti ε,μ e ε, μ Vedremo che si formano un'onda trasmessa e un'onda riflessa Studieremo il fenomeno per incidena normale e incidena obliqua dettagli dipendono dalle condiioni al contorno (edi diapositia ) ε εe E εe E E B B B B μ μ Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

14 ncidena normale Supponiamo che l'interfaccia fra il meo e il meo sia il piano Le elocità di propagaione nei due mei sono e ( t, ) ˆe e x ( ωt) ik E E B x E B ( t, ) ˆe e y ( ωt) ik B k k y B k Un'onda piana iaggia nel senso positio dell'asse incide sul piano Sono generate un'onda riflessa e un'onda trasmessa i( k ωt) E ( t, ) ˆe E e ( ) B k ˆ E i( k ωt) B t, ˆe e x y edi e ik ( ωt) E ( t, ) ˆe E e ( ) i ( k ) ωt B t, ˆe x y Abbiamo utiliato la stessa frequena per le tre onde Vedremo che l'uguagliana è conseguena delle condiioni al contorno Abbiamo isto che i moduli dei ettori k sono legati alle frequene: ω k Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

15 ncidena normale Nella regione il campo elettromagnetico totale è dato da E E + E Nella regione il campo B elettromagnetico è dato da E e B B mponiamo le condiioni al contorno per y Le condiioni sulle componenti normali sono banali dato che queste sono nulle Esaminiamo la condiione su E e consideriamo le frequene dierse E (, t) E (, t) Esiste una soluione solo se le tre frequene sono uguali: ω ω ω La condiione su B è B B + B Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 43 E k k E B x ˆe E e + ˆe E e ˆe E e ( ω ) ( ω ) ( ω ) ik t ik t ik t x x x e + e e iωt iω t iω t + μ μ E k

16 ncidena normale μ μ μ μ isoliamo il sistema + β ( ) + β + β β + β β μ μ Per la maggior parte delle sostane μ/μ è praticamente uguale a n tal caso n β n n + n + n c n n n + n + n Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 44

17 ncidena normale Calcoliamo adesso le intensità icordiamo la relaione che lega l'intensità all'ampiea ε ε E E ε n n ε n + n ε n ε n + n E E Definiamo i coefficienti di riflessione e trasmissione ε n n E n + n ε E ε n ε n n + n n n + n n n n n + n Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 45 4n n ( n + n ) εe n ε +

18 ncidena obliqua rattiamo adesso il problema della riflessione di un'onda nel caso in cui il ettore d'onda formi un angolo con la normale alla superficie L'onda incidente i( k ω r t) ( r, t) e B ( r, t ) k L'onda riflessa L'onda trasmessa ˆ i( k ω r t) ( r, t) e B ( r, t ) k ˆ i( k ω r t) ( r, t) e B ( r, t ) k Come abbiamo isto nel caso precedente tutte e tre le onde hanno la stessa frequena angolare ω tre ettori d'onda sono legati alle frequene e alle elocità di propagaione campi totali nella regione E + E e B +B deono adesso essere raccordati ai campi E e B nella regione tramite le condiioni al contorno ˆ k k k ω k k k k θ θ n k k n θ k y Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 46

19 ncidena obliqua La forma generica delle condiioni al contorno è ( ) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ωt i e ωt e i + ωt k r k r k r Perché questa condiione possa alere su tutti i punti del piano x y a le fasi degli esponeniali deono essere uguali Aremo pertanto (per ) Esplicitamente Queste relaioni deono alere per qualunque alore di x e di y n particolare per y E per x k r k r k r xk + yk xk + yk xk + yk xk xk xk k k k x x x x x x yk yk yk x y x y x y y y y k k k y y y l significato di queste relaioni è che le componenti trasersali (rispetto a e ) dei tre ettori d'onda sono uguali ˆ tre ettori giacciono sullo stesso piano k k θ θ x θ k y y Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 47

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21 ncidena obliqua Abbiamo troato le tre leggi fondamentali dell'ottica geometrica Non abbiamo ancora utiliato le condiioni al contorno Le condiioni che abbiamo troato assicurano che gli esponeniali si semplificano Sena ledere la generalità della trattaione possiamo orientare il piano di incidena nel piano y x Dobbiamo definire la polariaione dell'onda rispetto al piano di incidena E può giacere sul piano di incidena E può essere perpendicolare al piano di incidena Una polariaione arbitraria può essere ottenuta come una combinaione delle due indicate rattiamo solo il caso in cui il campo E giace nel piano di incidena Si può dimostrare che anche E e E giacciono sul piano di incidena Notiamo che nel caso dell'incidena obliqua i campi hanno una componente normale alla superficie campi B sono perpendicolari al piano di incidena Hanno solo componente lungo l'asse x. B B y k k θ θ θ k y y Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 49

22 ncidena obliqua Scriiamo le condiioni al contorno icordiamo che nell'onda piana niiamo con le componenti normali ε B k ˆ E ( ) E + E εe B + B B Per le componenti tangeniali E + E E Queste ultime equaioni sono in realtà quattro (in generale) Due componenti (x, y) per ogni campo Proiettiamo sull'asse i campi E. La prima equaione dienta La tera equaione Per finire la quarta equaione E B + B B μ μ ( ) B ( ) banale. B ε E sin θ E sin θ εe sin θ Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4 k k E cos θ + E cos θ E cos θ ( E E ) E μ μ θ θ θ k y

23 ncidena obliqua iassumendo ( ) ε E sin θ E sin θ εe sin θ E cos θ E cos θ E cos θ + ( ) La prima equaione è equialente all'ultima nfatti per le leggi della riflessione sin θ sin θ ε E E E ε sin sin sin sin θ θ n definitia abbiamo due equaioni θ E E E μ μ θ ε μ μ μ μ E E E E μ μ cos θ E E βe E + E E αe cos θ β μ μ ε α cos θ cos θ Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

24 ncidena obliqua isoliamo il sistema ( α β) cos θ E + E E + E αe α cos θ E E βe μ E E β α + β Sostituiamo nella seconda μ α β E E βe E E α + β Le due soluioni troate sono note come equaioni di Fresnel per la polariaione nel piano di incidena Notiamo che per θ anche θ e α itroiamo le leggi della incidena normale Notiamo inoltre che l'ampiea delle onde riflessa e trasmessa dipende dall'angolo di incidena α cos θ cos θ sin θ cos θ Per θ π/ abbiamo α e l'onda iene completamente riflessa ( n / n sinθ ) ( ) cos θ f θ Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 4

25 ncidena obliqua α cos θ cos θ β μ μ E E E α + β α β E α + β Osseriamo che per α β l'onda riflessa ha ampiea nulla Non c'è onda riflessa, tutta l'onda iene trasmessa L'angolo di incidena per il quale questo accade si chiama angolo di Brewster Dalle formule precedenti si ricaa facilmente sin θ B β ( n / n ) Per la luce con polariaione perpendicolare al piano di incidena non esiste un fenomeno analogo Supponiamo che un fascio di luce con polariaione arbitraria incida su una superficie con angolo di incidena uguale (o prossimo) all'angolo di Brewster La componente con polariaione parallela al piano di incidena non è riflessa: è trasmessa, in pratica assorbita utta la luce riflessa ha polariaione perpendicolare al piano di incidena Su questo fenomeno si basa l'utilio di filtri polaroid negli occhiali per ridurre i riflessi: filtri che assorbono la polariaione oluta β Elettromagnetismo Prof. Francesco agusa 43