1 FONDAMENTI SULLE ONDE E.M. OTTICHE

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1 FONDAMNTI SULL OND.M. OTTICH I fenomeni ottici possono essere diisi in quattro aree: ottica geometrica, ottica fisica (ondulatoria), ottica quantistica e ottica statistica. Attraerso l ottica geometrica engono affrontati in particolare i fenomeni legati alla formazione delle immagini nei quali è possibile trascurare i fenomeni di diffrazione. Inoltre sempre attraerso l ottica geometrica possono essere studiate le caratteristiche e dei sistemi e degli strumenti ottici, nonché i limiti dell approssimazione gaussiana (sistemi ottici non centrati e policromia della luce. Le leggi più importanti che engono utilizzate sono le leggi delle riflessione rifrazione Mediante l ottica fisica possono essere descritti i fenomeni della diffrazione, interferenza e polarizzazione e si fonda sulle equazioni di Mawell. Secondo questa teoria la luce è descriibile come sorapposizione di onda elettromagnetiche trasersali di differente frequenza. La regione ottica copre uno stretta gamma di frequenze e.m. attorno ai 4-5 Hz. L ottica fisica è alla base di interessanti aree di applicazioni come l olografia, l ottica di Fourier, le fibre ottiche, tutte le arie tecniche interferometriche. Attraerso l ottica quantistica engono studiati i fenomeni di assorbimento ed emissione. Questi fenomeni non possono essere interpretati attraerso le equazioni di Mawell, ma rientrano nel campo più generale dell elettrodinamica quantistica e della teoria dei campi. L idea di fondo è che l interazione tra radiazione e materia aenga solo attraerso scambi di quanti di campo elettromagnetico, cioè i fotoni, di energia =hν o multipli interi e che tali differenze di energia, rispetto all energia dello stato fondamentale in un atomo, enga emessa come radiazione elettromagnetica. Dal punto di ista quantistico, l energia associata ad una radiazione può essere interpretata in termini di numero di fotoni. siste un limite per l energia associata alla radiazione al di sotto del quale (basso numero di fotoni) sono predominanti gli aspetti quantistici. Il più importante strumento ottico quantistico è il laser. L ottica statistica costituisce in settore più nuoo dell ottica e ha auto uno siluppo noteole proprio grazie laser, alla possibilità di utilizzare elettronica estremamente eloce e l impiego di tecniche di digitalizzazione dei segnali. Per esempio attraerso l ottica statistica è possibile risalire a proprietà di sistemi in eoluzione mediante misure di correlazione. In questo corso ci occuperemo prealentemente di ottica fisica. Analizzeremo fenomeni legati alla propagazione della radiazione luminosa in un mezzo omogeneo, che per semplicità possiamo assimilare al uoto, e delle interazioni con la materia, utilizzando il modello classico ondulatorio.

2 Pertanto tratteremo la luce come un onda elettromagnetica classica, cioè una perturbazione di natura elettromagnetica che si propaga secondo un modello ondulatorio., quazione delle Onde In generale la propagazione della radiazione elettromagnetica in un mezzo è descritta dalle equazioni di Mawell che per il campo elettrico ed il campo di induzione magnetica B, in un mezzo omogeneo e isotropo di costante dielettrica, permeabilità magnetica µ e conducibilità σ, si scriono: ( σ = ρ di = Legge di Coulomb di B = Non esistenza del monopolo magnetico B rot = - t Legge di Faraday rot B = µσ + µ t Legge di Ampere con la Corrente di spostamento di Mawell In assenza di cariche spaziali (ρ = ), di correnti ( j = ) e per un mezzo non conduttore ), dientano semplicemente: di =, di B = B rot = -, t rot B = µ t Queste equazioni legano i ettori campo attraerso simultanee equazioni differenziali. Operando opportunamente è possibile scriere nuoe equazioni differenziali a cui ciascuno dei due ettori dee soddisfare separatamente, che possono essere scritte nella forma: µ - c t = ; B µ B - = c t (,) doe è l' operatore Laplaciano : = + y + z

3 3 Queste espressioni rappresentano equazioni differenziali alle deriate parziali del secondo ordine, lineare ed omogenee (quando si escludono le sorgenti della perturbazione) di tipo parabolico del tipo: V V = (,) t che è dette equazione delle onde e descrie la propagazione, in un mezzo opportuno, di una perturbazione generica, descritta da una funzione scalare arbitraria V = V( r,t ), che si propaga con elocità. Una tale equazione compare in diersi settori della fisica; per esempio in acustica doe descrie la propagazione di un onda sonora di bassa intensità; in meccanica doe descrie la propagazione di una perturbazione meccanica lungo una corda tesa pizzicata oppure le ibrazioni longitudinali e trasersali di una sbarra; in termodinamica doe descrie la conduzione del calore in un solido. Le equazioni (,) rappresentano un sistema di 6 equazioni scalari. Ciascuna componente del campo elettromagnetico (, y, z, B, B y, B z ) obbedisce ad una equazione del tipo (,) doe la elocità di propagazione, che rappresenta la elocità della luce nel mezzo, è data da: = c / µ Nel uoto ( = = s c / m 3 Kg; µ = µ = 4π. -7 m Kg/c ), la elocità di propagazione della luce ale c 3. 8 m/s ed è definita da : c = / µ Si possono introdurre delle grandezze che caratterizzano i mezzi dal punto di ista ottico. Si definisce indice di rifrazione assoluto n di un mezzo la quantità: n = µ ; allora c = n. Si definisce indice di rifrazione del mezzo relatio al mezzo, la quantità: n, = / doe e sono le elocità di propagazione dell onda nei due mezzi rispettiamente, quando la luce passa da un mezzo trasparente ad un altro (Legge delle rifrazione) Uno degli obiettii dell ottica è risolere l equazione delle onde sotto dierse condizioni al contorno date da aperture od ostacoli sul cammino di propagazione della radiazione luminosa., Onda uni-dimensionale Per richiamare alcune proprietà fondamentali delle onde, analizziamo per semplicità formale il caso di onda scalare che si propaga nel uoto,in assenza di cariche e di correnti, nella direzione con ettore campo elettrico, associato all onda luminosa, che ibra nel piano (y,z). Il campo elettrico (,t), associato alla radiazione, dee soddisfare l equazione omogenea delle onde del tipo 3

4 4 t = (,3) che se scritta nella forma: + t t (, t) = ci dice che sia una (,t) = f( t) che una (,t) = g( + t) possono essere soluzione dell equazione d onda uni-dimensionale (,3) e, per la linearità dell equazione delle onde, anche una qualunque loro combinazione lineare: (,t) = a f( t) + b g( + t) con a e b costanti e f e g funzioni arbitrarie. La f rappresenta una perturbazione che si propaga nella direzione delle positie, mentre la g rappresenta una perturbazione, anche di profilo dierso, che si propaga nella direzione delle negatie. il principio di sorapposizione per le onde luminose Assumendo che la radiazione si propaghi nella direzione positia delle, una soluzione particolarmente semplice dell equazione delle onde è quella detta onda sinusoidale o onda armonica. La più semplice onda armonica è data da una funzione sinusoidale, quindi periodica, di e t della forma: ( t) = A cos (ω t - k + δ ) (,4) doe A è l ampiezza dell onda e (ω t - k ) è la fase. La costante k è nota come numero d onda. δ è una fase iniziale che con una opportuna scelta dei tempi può essere posta =. Si indica con il periodo spaziale, noto come lunghezza d onda; ponendo che per un incremento di pari a, il alore di (,t) rimanga inalterato, ale le relazioni: Si indica con T (periodo) il periodo temporale; k e T sono legato dalla relazione: k c T = π k = π + f t ( t ) = t [ f ( t )] + [ f ( t )] = f ( t ) + ( ) f ( t ) = g( + t ) = t c t [ g( + t )] [ g( + t )] = g( + t ) ( )g( + t ) = 4

5 5 Se si introduce la frequenza ν, numero di ibrazioni al secondo (ν = T ), e la frequenza angolare ω = π ν, possiamo anche scriere le relazioni: = c π / ω = c T e c = ν La (,4) scritta esplicitamente in termini della lunghezza d onda e del periodo, con δ =, dienta: π π (,t) = A cos t - T che possiamo rappresentare in due grafici rispetto a (a) ed a t ( b) separatamente: (,) (,t ) t > (,t) > (,t ) t T a) b) ω Un punto di fase costante si muoe con la elocità dell onda: c = = ν = T k ed è detta elocità di fase dell onda. Coincide con la elocità di propagazione dell onda nel mezzo.,3 Onda Piana Tra le arie soluzioni dell equazione delle onde, assume una rileanza fondamentale l onda piana che è quell onda la cui fase ad un tempo fissato t è costante in ogni piano perpendicolare alla direzione di propagazione.vogliamo troare l espressione dell onda piana che si propaga in una direzione indiiduata dal ersore s( s, s, s ). Se indichiamo con r (, y,z ) il ettore posizione y z che indiidua un punto generico P e definiamo ettore d onda k (o ettore propagazione) in un mezzo come k = k s di modulo π/. Osseriamo che l equazione: k r = cos t rappresenta piani paralleli e perpendicolari a k e alla direzione di propagazione s. 5

6 6 Si definisce onda piana (armonica) l onda che si propaga nella direzione k, rappresentata da una funzione armonica rispetto al tempo di fase costante, ad ogni t fissato, su piani k r = cost, ortogonali al ettore k cioè: r s ( r,t ) = A cos ( ω t - k r) = A cos ω t - (,5) Il ettore A, il cui modulo rappresenta l ampiezza dell onda, rappresenta anche la polarizzazione dell onda, cioè la direzione lungo cui ibra il campo elettrico associato alla perturbazione luminosa. Il ettore A giace interamente su piani perpendicolari al ettore k. Il luogo geometrico dei punti dello spazio caratterizzati da uguale alore delle fase ad ogni istante t fissato, si dicono superfici d onda (o fronti d onda) della (,5) e sono piani ortogonali alla direzione di propagazione s e quindi a k. Nel caso di onde sferiche le superfici a fase costante (fronti d onda) saranno delle superfici sferiche. Il ettore k sarà punto per punto ortogonale a queste superfici. Ci possono essere casi assai più complessi (campi speckle) come per esempio la radiazione laser uscente da una fibra ottica il cui fronte d onda ha fase costante su superfici nello spazio assai complesse In figura è mostrata un onda piana che si propaga nello spazio nella direzione s z y k La periodicità spaziale di questi fronti d onda è data da s k n. k Se indichiamo con α, β e γ sono i coseni direttori del ettore k, si ha: k = α k; k y = β k; k z = γ k. 6

7 7 Ricordando che k π k = possiamo scriere: α β γ = π = π f ; k y = π = π f y ; k z = π = π f z doe f, f y e f z sono dette frequenze spaziali Dalla teoria elettromagnetica, attraerso le equazioni di Mawell, è possibile ricaare delle relazioni che legano i ettori elettromagnetici, B e k : k =, k B = (,6) * k B = - ω µ, k = ω B (,7) Le (,6) mostrano che nelle onde elettromagnetiche i campi e B sono perpendicolari al ettore k e poiché i campi ibrano in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione possiamo dire che la luce è rappresentata da un onda trasersale. Le (,7) ci mostrano che i ettori e B sono perpendicolari tra di loro e oscillano in fase. Per i moduli ale la relazione: = B (,8) I tre ettori, B e k formano una terna cartesiana destrorsa. I ettori e B sono polarizzati linearmente nella direzione in cui sono confinate le oscillazioni. Nella figura iene mostrata la distribuzione di campo, ad un fissato istante, nel caso di onda piana (funzioni di tipo armonico). k B Quella mostrata è un onda piana monocromatica polarizzata linearmente. 7

8 8 Quando si studiano problemi legati alla propagazione delle onde in mezzi lineari e si eseguono operazioni lineari (diffrazione, interferenza ecc.) sui ettori d onda, può essere più coneniente utilizzare una notazione complessa per esprimere la funzione d onda, del tipo ( r,t ) = A e = Ae i (k r ω t δ ) -i ( ω t - k r + δ ) (,) Al termine dei calcoli, il risultato a conertito in forma reale aggiungendo il complesso coniugato e diidendo per due. Qualche attenzione dee essere presa quando si eseguono operazioni non lineari sulle funzioni armoniche. Le onde del tipo (,5), cioè puramente sinusoidale, sono caratterizzate da una sola frequenza e sono dette monocromatihe. Va osserato che tali onde hanno estensione spaziale e temporale infinite e quindi sono pure astrazioni matematiche. Tuttaia queste funzioni armoniche hanno una noteole importanza per il fatto che una qualsiasi forma d onda, alla luce del principio di sorapposizione, può essere espressa come opportuna combinazione di opportune onde armoniche.,4 nergia e intensità della luce Quando una regione dello spazio iene illuminata, in ogni punto r si ha un campo elettrico (t) (non elettrostatico) ed un campo di induzione magnetica B (t) che ibrano nel tempo. Dalla teoria elettromagnetica sappiamo che se in una certa regione di spazio, che per semplicità supponiamo uoto, siamo in presenza di un campo elettrico (t) e un campo di induzione magnetica B (t), in quella regione di spazio siamo in presenza di una densità di energia : W = W + W B = + µ B e tenendo conto della (,8) nel uoto = c B e della relazione c = / µ si ottiene : W µ = + = + = (,) µ c µ da cui si ossera in ogni punto dello spazio la densità di energia elettrica e magnetica è uguale. 8

9 9 L onda che si propaga trasporta energia; l energia si trasmette nella direzione in cui si propaga l onda, cioè nella direzione del ettore k * che coincide con la direzione di B. Consideriamo la quantità di energia che nell unità di tempo attraersa l unità di superficie (posta nel uoto) perpendicolare alla direzione di propagazione. Coinciderà con l energia che nell unità di tempo attraersa la base di un cilindro di lunghezza ct (t = sec) e sezione unitaria. Quindi il flusso di energia che accompagna la propagazione dell onda, dato da ctw (W densità di energia; t = sec) coincide con il ettore di Poynting definito da: S * B = = c µ * B (,) Poiché, B * e S oscillano nelle frequenze ottiche con ν = -4-5 Hz non è possibile alutarne i alori istantanei ma solo il loro alore mediato sui tempi di osserazione τ di parecchi ordini di grandezza superiori al periodo T. Definiamo intensità di radiazione I il alore medio di S nell interallo di tempo τ. Nel caso di onde piane di tipo armonico, polarizzate linearmente, cioè con ettori e B * con direzione costante nel tempo, che si propagano nel uoto in direzione k, possiamo scriere: I = < S c > = A Si può notare come la I, a meno del fattore costante c, è uguale a (,3), cioè l intensità dell onda è proporzionale al quadrato dell ampiezza del campo elettrico ad essa associata. 9