RILEVAZIONE DELLA MORTALITÀ IN AMBITO ATTUARIALE

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1 RILEVAZIONE DELLA MORTALITÀ IN AMBITO ATTUARIALE Rlevazon trasversal (cross-sectonal studes) S ndvdua l gruppo d studo, coè un gruppo d ndvdu per ual nteressa studare la sopravvvenza (tpcamente gl asscurat d una compagna d asscurazone, gl scrtt ad un fondo pensone, ). S fssa un perodo d osservazone durante l uale è osservato l gruppo d studo; d solto s osserva la collettvtà per 3-5 ann. All nzo dell osservazone c saranno ndvdu gà present, a ual se ne aggungeranno altr durante l perodo d osservazone; alcun ndvdu possono uscre per causa dversa dal decesso durante l osservazone, per esempo perché è scaduto l contratto d asscurazone, oppure perché è stata rscattata la polzza; c saranno ndvdu ancora n vta al termne dell osservazone. S può consderare come stante nzale l età mnma d ngresso n asscurazone, oppure un età mnma a partre dalla uale s dspone d osservazon. 2

2 Generalmente s ha a che fare con dat ncomplet: se non è osservato l stante nzale, l osservazone è detta troncata a snstra se non è osservato l decesso, l osservazone è detta censurata a destra Obettvo: Osservazone: stmare o m per =,+1,, 1, essendo a l età mnma. Ne modell d sopravvvenza non parametrc la stma del modello avvene separatamente per cascuna classe d età Supponamo d dsporre d dat ndvdual esatt, coè per ogn ndvduo osservato sono not: data d nascta data d ngresso n osservazone data d uscta dall osservazone causa d uscta, che può essere: fne osservazone (survval) decesso (death) altra causa (wthdrawal) 3

3 Per ogn ndvduo osservato s determna l vettore delle età: essendo ( y, θ, φ,), z y l età esatta (anno ntero + frazone d anno) d ngresso n osservazone z l età esatta che l ndvduo avrà alla data n cu termnerà la sua osservazone (può essere la data d fne rlevazone della collettvtà, oppure la data d scadenza della polzza); è detta età d uscta panfcata θ l età esatta d uscta per morte ( θ = 0 se l ndvduo non è uscto per morte) φ l età esatta d uscta per altra causa ( φ = 0 se l ndvduo non è uscto per altra causa) ( y, z ] è detto ntervallo d osservazone panfcata per l ndvduo 4

4 Per ogn ndvduo osservato s determnano le class d età ], +1] contrbusce all osservazone Con rfermento alla classe d età ], +1] età ( y, θ, φ,), z per le ual l ndvduo ed all ndvduo, caratterzzato dal vettore delle l ndvduo non contrbusce alla osservazone per la classe d età ], +1] y + 1 z 0 < θ oppure 0 < φ se: Se l ndvduo contrbusce alla osservazone per la classe d età ], +1] tale osservazone, relatva alla classe d ], +1] delle durate, è rassunta da un vettore detto vettore 5

5 Per ogn classe d età ], +1] e per ogn ndvduo che contrbusce alla osservazone per tale classe d età s determna l vettore delle durate essendo r ( r s, t, k,), + l età esatta d ngresso n osservazone nella classe d età ], +1] s r 0 = y se y se < y < + 1 con 0 r < 1 e + l età esatta d uscta panfcata dalla osservazone per la classe d età ], +1] 0 < s 1 e con s = 1 z se se z + 1 < z < t l età esatta d uscta per morte se = + t θ, altrment t = 0 + k l età esatta d uscta per altra causa se = + k φ, altrment k = 0 6

6 Esposzone attuarale e freuenze d decesso Per stmare ESPOSIZIONE ATTUARIALE E FREQUENZE DI DECESSO ovvero m, per =,+1,, 1,sono state ntrodotte, n ambto attuarale, le stme ottenute rapportando l numero d decess osservat ad una ualche msura d esposzone. Con rfermento alla classe d età ], +1] e con rfermento agl ndvdu che contrbuscono alla osservazone per tale classe d età s defnscono { ndvduo è n vta all'età } S = l' + survval { ndvduo esce per morte all'età } D = l' + death { ndvduo esce per altra causa all'età } W = l' + wthdrawal s t k Sa θ l numero d ndvdu che decedono nella classe d età ], +1] = # D 7

7 Esposzone attuarale e freuenze d decesso Stme per Def. essendo Stme per Def. essendo d = per =,+1,, 1 l Freuenza (grezza) d decesso o θ = E E l esposzone attuarale o numero nzale d espost al rscho ( 1 r ) ( 1 s ) ( k ) E = 1 S D W S W d m = per =,+1,, 1 L Freuenza (grezza) centrale d decesso o m = θ E C C E l numero centrale d espost al rscho C ( 1 r ) ( 1 s ) ( 1 k ) ( t ) E = 1 S D W S W D 8

8 Esposzone attuarale e freuenze d decesso Osservazone Rcordando la relazone L = l d( 1 t) s nota che s ha C Gustfcazone d Cantell Sa ( t ) E = E 1 D D l n.a. de decess nella classe d età ], +1] moment, ponendo Poché E ( D ) = θ ( D ) = E 1 r + r 1 s + s 1 k S D W S W nell potes d nterpolazone perbolca s ha 1 r + r = (1 E = S D W S W ; s stma con l metodo de r) ( D ) = ( 1 r ) (1 s ) (1 k ) E Da cu s ottene la stma con l metodo de moment: + k, und o θ = E 9

9 Esposzone attuarale e freuenze d decesso Osservazon Nella valutazone s potzza uguale mortaltà per soggett che rmangono nella collettvtà, per nuov ngress e per coloro che escono per altra causa La gustfcazone d Cantell è errata n uanto le valutazon relatve ad uno stesso ndvduo sono fatte n stat d nformazone dvers θ è l numero d decess osservat con età esatta nella classe d età ], +1]. Poché s contano decess nell anno che nza con l età esatta e termna con l età esatta + 1 s dce che s prende come rfermento l anno d vta compreso tra due compleann. Per coerenza, anche nella valutazone dell esposzone s prende come rfermento l anno d vta. Infatt, dsponendo d dat ndvdual esatt s determna per cascun ndvduo la sua esposzone nell anno d vta, nfatt s ha ( s r ) + ( k r ) + ( r ) E = 1 S W Nota: per gl ndvdu che decedono l contrbuto all esposzone è ( 1 ) D D r 10