Capitolo 2 TEORIA DEL PORTAFOGLIO

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1 Capitolo 2 TEORIA DEL PORTAFOGLIO La teoria del portafoglio si propone di studiare il modo ottimale di distribuire la ricchezza fra più titoli disponibili tenendo conto del rischio e del rendimento dei singoli titoli. È necessario definire prima tali grandezze in termini finanziari. 2.1 Rendimenti incerti Consideriamo un solo titolo e la variabile rendimento di un titolo in un intervallo di tempo che assumiamo unitario. Un titolo di puro sconto, acquistato al prezzo P oggi, in t=0, che vale M in t = 1, è considerato un titolo certo, o investimento certo, non rischioso ed è l unico tipo di titoli che viene considerato tale. Per esso la varianza (o rischiosità) è nulla ed il rendimento (certo) è noto: P M 0 1 t P(1+i)=M i= M M P 1= P P Nella teoria del portafoglio il tasso effettivo di rendimento, nel periodo considerato, viene anche indicato con r o R: e chiamato rendimento. R= M P P

2 2 Teoria del portafoglio Se consideriamo invece un titolo con cedole intermedie (nell intervallo considerato) allora il rendimento effettivo non è noto se non ex post, una volta che si siano reinvestite le cedole e ritirato alla scadenza il capitale, pur essendo noto il prezzo di acquisto P pagato in t=0. Per esempio: P ic ic+c _ t=0 t=1 Il montante M in t=1 (che include anche eventuali premi e reinvestimenti di cedole) non è noto con certezza, ed ha il carattere di una variabile casuale, per esempio M k = ic(1+j k )+(ic+c) con probabilità p k e possiamo, quindi, considerare la v.c. rendimento del titolo, avente le uscite R k = M k P P con probabilità p k. Definiamo rendimento atteso µ=e(r k,p k ) il valore atteso di tale v.c., µ= k R k p k (2.1) e assumiamo come misura della rischiosità del titolo, la varianza σ 2 (R k )= k (R k µ) 2 p k = E R 2 µ 2 (2.2) (la varianza è una misura di quanto il rendimento effettivo, R k, che si realizza possa discostarsi, in media, dal valore atteso). Nel caso di titoli azionari anch essi appartenenti alla classe di attività finanziarie rischiose il rendimento del titolo, dato il prezzo P t al tempo iniziale t, ed il prezzo P t+1 al tempo t+1, viene calcolato da: R t = P t+1 P t +D t+1 P t (2.3) dove D t+1 sono i dividendi pagati tra il tempo t ed il tempo t+1. Esempio 1. Molto spesso per semplicità si assume che le realizzazioni possibili, R k,sianotutteequiprobabili, nonavendosufficientiinformazionisull effettiva probabilità p k associata a ciascuna realizzazione. I rendimenti di un titolo

3 Rendimenti come variabili casuali normali 3 vengono determinati utilizzando i prezzi del titolo a diverse scadenze. Per e- sempio, supponiamo di conoscere i prezzi di un titolo ai tempi t=0,1,...,12 mesi P 0 P 1 P 2 P 12 _ _ N =12 possiamo quindi calcolare il rendimento mensile, assumendo che abbia le realizzazioni R 1 = P 1 P 0 P 0 con probabilità pari a p 1 = 1 = 1, e in generale la realizzazione N 12 R k = P k P k 1 P k 1 con probabilità p k = 1 12, k=1,...,12. Il rendimento atteso (mensile) del titolo è, quindi, 12 µ=e(r)= 1 12 k=1 R k Se vogliamo calcolare i rendimenti annui equivalenti: i k =(1+R k ) 12 1 k 2.2 Rendimenti come variabili casuali normali Il rendimento di un titolo rischioso può, quindi, essere trattato come una variabile casuale con valore atteso µ e varianza σ 2. Tali parametri ci permettono di elaborare una teoria del portafoglio per la determinazione della combinazione ottimale dei titoli da inserire in un portafoglio di titoli rischiosi. Un ipotesi semplificatrice che viene frequentemente adottata nello sviluppo della teoria del portafoglio è l ipotesi che i rendimenti costituiscano una variabile casuale normale o gaussiana. Le variabili casuali normali sono descritte in modo completo dalle loro medie e varianze. Pertanto per ottenere un quadro completo dei possibili rendimenti di un attività finanziaria è sufficiente conoscere i valori di µ e σ 2.

4 4 Teoria del portafoglio La media e la varianza di un titolo non sono le uniche misure adottate per misurare rispettivamente il rendimento atteso e il rischio di un titolo, non sempre infatti rappresentano misure adeguate per tali grandezze. Tuttavia se il rendimento del titolo considerato ha una distribuzione normale allora la media e la varianza racchiudono in forma sintetica tutte le informazioni possibili su quel titolo. 2.3 Portafoglio di due titoli rischiosi Supponiamo ora che un investitore scelga di investire in due titoli rischiosi A 1 eda 2, monoperiodali (delladuratadi unannoperfissarele idee). Facciamopoi l ipotesi che i titoli siano infinitamente divisibili ossia che si possa acquistare un titolo anche solo parzialmente e quanto si realizza in t=1 è proporzionale a quanto si è investito in t=0. Consideriamo allora il portafoglio che consiste nell investire: x 1 nel titolo A 1 con x 2 nel titolo A 2 x 1 +x 2 =1, x i 0 (2.4) dove x i è la frazione del capitale unitario che vogliamo investire nel titolo A i (se W è il capitale totale da investire e W i le quote da investire nel titolo i,allora x i = W i ). W Note le caratteristiche rischio/rendimento dei singoli titoli A 1 ed A 2, la composizione del portafoglio dipende da x 1 e x 2. Cambiando la composizione l investitore può cambiare il rendimento ed il rischio del portafoglio. Come vedremo rischio e rendimento del portafoglio (di composizione x 1 ed x 2 ) si possono esprimere in funzione delle caratteristiche di rischio e rendimento dei singoli titoli. Indichiamo con R i la v.c. rendimento dei titoli: R 1 = R (1)k,p (1),k k=1,...,n 1 R 2 = R (2)k,p (2),k k=1,...,n 2 dove R (1)k = M (1)k P 1 P 1

5 Portafoglio di due titoli rischiosi 5 si realizza con probabilità p (1)k. Essendo P 1 il prezzo in t=0del titolo A 1 ed M (1)k le realizzazioni in t=1 con probabilità p (1)k. Analogamente per R 2. Indichiamo con R il rendimento del portafoglio, che sarà una v.c, le cui realizzazioni dipendono da quelle dei titoli componenti. Se per il rendimento del titolo A 1 si ha la realizzazione R (1)i e per il titolo A 2,R (2)j, ; allora il rendimento del portafoglio di composizione(x 1,x 2 ) è da cui x1 1+R(1)i +x2 1+R(2) j (x 1 +x 2 ) R ij = (x 1 +x 2 ) = x 1 1+R(1)i +x2 1+R(2) j 1 = x 1 R (1)i +x 2 R (2) j+x 1 +x 2 1 R ij = x 1 R (1) i+x 2 R (2)j osserviamo che si poteva ottenere lo stesso risultato direttamente, considerando di investire il capitale W in quantità W 1 nel titolo A 1 e quantità W 2 nel titolo A 2 ottenendo (W 1 +W 2 ) M(1)i +M (2)j t=0 t=1 M 1,i = W 1 1+R(1)i M 2,j = W 2 1+R(2)j R ij = M(1)i +M (2)j (W1 +W 2 ) (W 1 +W 2 ) = W 1+W 1 R (1)i +W 2 +W 2 R (2)j (W 1 +W 2 ) (W 1 +W 2 ) = W 1 W R (1)i+ W 2 W R (2)j= x 1 R (1)i +x 2 R (2)j quindi la v.c. rendimento del portafoglio è una combinazione lineare della v.c. rendimento dei singoli titoli ed avremo un totale di N= N 1 N 2 possibili uscite, dal valorer ij (i=1,,n 1 ;j=1, N 2 ) con associata probabilitàp ij avendo

6 6 Teoria del portafoglio indicato con p ij = p R (1) i,r (2)j la probabilità che si realizzi l evento R (1)i per la v.c. R 1 e l evento R (2)j per la v.c. R 2, detta anche probabilità composta. Si parla della distribuzione di probabilità composta perchè un evento è definito dal verificarsi di una coppia di sottoeventi. Poichè almeno 1 (ed 1 solo) delle N 1 N 2 possibili coppie si realizza, dovrà essere N 1 N 2 i p ij =1 j Osserviamo che se fissiamo l uscita R (1)k per il primo titolo A 1, allora ponendo si ha N 2 p (1)k = p kj k=1,...,n 1 j=1 N 1 k=1 p (1)k =1 quindi qualunque sia l uscita del secondo titolo, p (1)k è la probabilità che il primo titolo esca con realizzazione R (1)k. Allo stesso modo N 1 p (2)k = p ik k=1,...,n 2 i=1 rappresenta la probabilità che il secondo titolo esca con realizzazione R (2)k (qualunque sia l uscita del primo titolo). Quindi se sono note le probabilità composte, allora la probabilità delle realizzazioni dei singoli titoli si ottengono da questa, sommando per riga o per colonna, avendo posto i valori p ij in una tabella R (2)1 R (2)2... R (2)N2 R (1)1 p 11 p 12 p (1)1 R (1)2 p 21 p 22 p (1)2... R (1)j p 1j p (1)j... R (1)N1 p 1N1 p (1)N1 p (2)1 p (2)2 p (2)N2

7 Portafoglio di due titoli rischiosi 7 Purtroppo peròle probabilità composte p ij non si conoscono, mentre si possono ottenere generalmente le probabilità dei singoli titoli, ossia i valori p (1)k k = 1,...,N 1 p (2)k k = 1,...,N 2 Fortunatamente per calcolare il rendimento atteso del portafoglio è sufficiente conoscereleprobabilitàmarginalip (1)k ep (2)k deititolicomponentiilportafoglio. Infatti, considerando il rendimento atteso, E(R), che indicheremo anche con µ, del portafoglio (con R v.c. di valori R ij con probabilità p ij ) si ha: N 1 N 2 µ = E(R)= R ij p ij = = N 1 N 2 i=1 i=1 i=1 j=1 x1 R (1)i +x 2 R (2)j pij j=1 N 1 N 2 N 1 N 2 x 1 R (1)i p ij + x 2 R (2)j p ij j=1 i=1 j=1 = N 1 i=1 N 2 N 2 N 1 x 1 R (1)i p ij + x 2 R (2)j j=1 j=1 i=1 p ij p (1)i = x 1 R (1)i p (1)i +x 2 R (2)j p (2)j i j p (2)j = x 1 µ 1 +x 2 µ 2 (2.5) l equazione ottenuta: E(R)=x 1 E(R 1 )+x 2 E(R 2 ) ossia µ=x 1 µ 1 +x 2 µ 2 (2.6)

8 8 Teoria del portafoglio mostra come, noti i rendimenti attesi dei singoli titoli componenti il portafoglio, il rendimento atteso del portafoglio (di composizione x 1,x 2 ) sia una combinazione lineare dei due rendimenti, con coefficienti pari alla composizione (x 1,x 2 ) del portafoglio. Il rischio del portafoglio, misurato dalla varianza σ 2 (R) del portafoglio, dipende dalle varianze dei singoli titoli e dalle correlazioni esistenti fra i vari titoli. La correlazione fra due variabili casuali R 1 ed R 2 : R 1 = R (1)k,p (1)k ; k=1,...,n 1, R 2 = R (2)k,p (2)k ; k=1,...,n 2 viene misurata mediante la covarianza fra le v.c. Vediamo intuitivamente perchè il rischio di portafoglio è sensibile alla covarianza (o correlazione) fra i vari titoli. Se le coppie di possibili realizzazioni R (1)i,R (2)j, aventi tutte uguale probabilità di verificarsi, sono disposte come in figura 6.1. allora diciamo che vi è una relazione inversa fra il rendimento di R 1 e quello di R 2 (se R 1 è alto, R 2 è probabile che sia basso, e viceversa). Considerando un portafoglio composto da questi due titoli avremo che il rendimento atteso di portafoglio sarà relativamente stabile perchè si recupera su un attività (titolo 1) quello che si perde sull altra (titolo 2). Se esiste, invece, una relazione positiva fra i due rendimenti del tipo riportato in figura 6.2, per cui a rendimenti elevati del primo titolo corrispondono rendimenti elevati del secondo titolo, avremo che un portafoglio costituito da questi due titoli potrà avere un rendimento atteso molto alto (in presenza di un andamento positivo di entrambi) o molto basso (in presenza di un andamento sfavorevole di entrambi).

9 Portafoglio di due titoli rischiosi 9 Figura 6.1 Titoli negativamente correlati. Figura 6.2. Titoli positivamente correlati. La relazione fra due variabili casuali viene misurata mediante un indice statistico: la covarianza. Fra due v.c. (per noi i rendimenti R 1 ed R 2 ) la covarianza è definita da N 1 N 2 cov(r 1,R 2 )= R(1)i µ 1 R(2)j µ 2 pij (2.7) i=1 j=1

10 10 Teoria del portafoglio È immediato verificare la simmetria cov(r 1,R 2 )=cov(r 2,R 1 ) mentre cov(r i,r i )=σ 2 i (2.8) infatti, dimostrandolo per i=1, si ha: Cov(R 1,R 1 ) = i 2pij R(1)i µ 1 = j i R(1)i µ 1 2p(1)j R(1)i µ 1 2 j p ij = i = σ 2 (R 1 ) = σ 2 1 Dalla definizione di covarianza si vede che se vi è la probabilità che in entrambi i titoli la realizzazione di R 1 sia maggiore del suo valor atteso µ 1 e quella di R 2 sia maggiore di µ 2, allora la covarianza sarà positiva (analogamente se vi è la probabilità che entrambe le realizzazioni siano minori del loro valore atteso). Al contrario, in presenza di movimenti discordanti del rendimento di ciascun titolo rispetto al corrispondente valore medio (ad esempio è probabile che R 1 sia superiore aµ 1 e, contemporaneamente, R 2 inferiore a µ 2, o viceversa), allora la covarianza è negativa. Nel caso illustrato in figura 6.1 la covarianza è <0; mentre nel caso illustrato in figura 6.2 la covarianza è >0. La covarianza, quindi, è una misura sintetica delle correlazioni esistenti fra le coppie di rendimenti R (1)i,R (2)j. Si dice che le v.c sono non correlate cov=0. Per esempio, ciò succede quando le due variabili casuali sono statisticamente indipendenti fra loro: p ij = p (1)i p (2)j Condizione sufficiente - ma non necessaria - perchè due v.c. abbiano covarianza nulla è l indipendenza fra le due variabili. Può comunque accadere che la covarianza sia nulla senza che siano statisticamente indipendenti, ed in tal caso le variabili si dicono non correlate.

11 Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi Vediamo ora come si calcola la varianza di un portafoglio: σ 2 (R) = N 1 N 2 i=1 (R ij µ) 2 p ij j=1 2pij x1 R (1)i +x 2 R (2)j x 1 µ 1 x 2 µ 2 = i = i = i j 2 x1 R(1)i µ 1 +x2 R(2)j µ 2 p ij j j x 2 1 R(1)i µ 1 2 +x 2 2 R(2)j µ x 1 x 2 R(1)i µ 1 R(2)j µ 2 pij = x 2 2pij 1 R(1)i µ 1 +x 2 2pij 2 R(2)j µ 2 + i j σ 2 1 σ 2 2 2x 1 x 2 R(1)i µ 1 R(2)j µ 2 pij i j σ 12 i j da cui: σ 2 (R)=x 2 1 σ2 1 +x2 2 σ2 2 +2x 1x 2 σ 12 (2.9) dove σ 12 = cov(r 1,R 2 ). Molto spesso per tenere conto della relazione esistente fra i due titoli, si fa riferimento al coefficiente di correlazione, ρ 12, indice relativo non dipendente dall unità di misura delle variabili su cui è calcolato grazie alla relazione esistente tra questo e la covarianza σ 12, il coefficiente di correlazione è definito come il rapporto fra la covarianza, σ 12 e il prodotto delle due deviazioni standard σ 1 = σ 2 1 e σ 2 = σ 2 2.: ρ 12 = σ 12 σ 1 σ 2 σ 12 = ρ 12 σ 1 σ 2 (2.10)

12 12 Teoria del portafoglio Il nuovo indice introdotto (il coefficiente di correlazione) è una sorta di covarianza normalizzata e varia fra 1 e1, ρ 12 [ 1,1] Riassumendo, dati due titoli R 1 ed R 2 caratterizzati ciascuno da rendimenti medi µ 1 e µ 2, con rischi σ 2 1 e σ2 2 e coefficiente di correlazione noto ρ 12, il rendimento µ, e la varianza σ 2 del portafoglio di composizione x 1 ed x 2 sono dati da µ = E(R)=x 1 µ 1 +x 2 µ 2 (2.11) σ 2 (R) = x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x 1 x 2 ρ 12 σ 1 σ 2 (2.12) Visto che cov(r i,r i )=σ 2 i, si usa introdurre la matrice di varianza-covarianza (simmetrica): σ 2 1 ρ 12 σ 1 σ 2 V = ρ 12 σ 1 σ 2 σ 2 2 così che, posto x=[x 1,x 2 ] T, la varianza di un portafoglio con composizione x è data dalla forma quadratica associata a V: σ 2 (R)=x T Vx Definiamo in dettaglio il luogo dei portafogli ammissibili nel piano M V ossia (σ 2, µ). In corrispondenza di ogni fissato valore della composizione (x 1,x 2 ) abbiamo una coppia di valori µ=x 1 µ 1 +x 2 µ 2 σ 2 = x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x 1 x 2 ρ 12 σ 1 σ 2 (2.13) e, quindi, un punto P(σ 2,µ) del piano M V. Poichè deve valere il vincolo di bilancio x 1 +x 2 =1 (2.14) (tutta la ricchezza disponibile viene investita nei due titoli), e assumiamo anche che si possa investire solo la ricchezza disponibile, (non è possibile investire soldi presi in prestito - vendite allo scoperto non ammesse) x i 0

13 Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi 13 abbiamo un solo parametro effettivo da stimare, per esempio x 2, dato che dalla (2.14) segue x 1 =1 x 2 quindi l insieme che otteniamo nel piano M V è un insieme unidimensionale, ossia, le(2.13) sono le equazioni parametriche di una curva: µ=(1 x 2 )µ 1 +x 2 µ 2 σ 2 =(1 x 2 ) 2 σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2(1 x 2 )x 2 ρ 12 σ 1 σ 2 (2.15) con x 2 [0,1] Eliminando il parametro x 2 troviamo l equazione cartesiana della curva (ossia il luogo dei portafogli ammissibili nel piano M V). Dalla(2.15) osserviamo che x 2 =0 µ=µ 1, σ 2 = σ 2 1 x 2 =1 µ=µ 2 σ 2 = σ 2 2 quindi i due punti estremi sono i punti P 1 e P 2 relativi ai singoli titoli A 1 ed A 2 (i.e. si investe tutto nel titolo A 1 per x 2 =0 e tutto nel titolo A 2 per x 2 =1). Figura 6.3. Estremi del portafoglio descritto dalla Al variare di x 2 fra0e1otteniamo una curva che congiunge P 1 con P 2. Chiamiamo A 1 il titolo con varianza inferiore, ossia σ 2 1 < σ 2 2 ed assumiamo quindi

14 14 Teoria del portafoglio che sia µ 1 < µ 2 (in quanto l altro caso, µ 1 µ 2 non sarebbe realistico, o meglio, per il criterio M V verrebbe A 1 sempre preferito ad A 2, e quindi non si porrebbe il problema di una distribuzione del capitale fra i due titoli). I due punti P 1 e P 2 sono disposti come in figura 6.3. Discutiamo separatamente i casi particolari che si ottengono assumendo specifiche relazioni riscontrate fra i due titoli: caso ρ=1, ρ= 1, e ρ= Caso di perfetta correlazione positiva: ρ = 1 In questo caso si ha µ=(1 x 2 )µ 1 +x 2 µ 2 σ 2 =(1 x 2 ) 2 σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2(1 x 2 )x 2 σ 1 σ 2 =[(1 x 2 )σ 1 +x 2 σ 2 ] 2 (2.16) Dobbiamo rappresentare il luogo dei portafogli nel piano (σ 2,µ), occorre quindi esplicitare µ=f(σ 2 ). Dalla seconda equazione otteniamo: esplicitando x 2 : e sostituendo nella prima equazione otteniamo: σ=(1 x 2 )σ 1 +x 2 σ 2 (2.17) µ = µ 1 + σ σ 1 σ 2 σ 1 (µ 2 µ 1 ) x 2 = σ σ 1 σ 2 σ 1 (2.18) = µ 1σ 2 µ 1 σ 1 +σµ 2 σ 1 µ 2 σµ 1 +µ 1 σ 1 σ 2 σ 1 = µ 1σ 2 σ 1 µ 2 +σ µ 2 µ 1 (2.19) σ 2 σ 1 σ 2 σ 1 a b che è l equazione di una rettacon coefficiente angolareb >0, (date le ipotesi sui punti P 1 e P 2 ) che dipende dalla relazione tra i rendimenti attesi e le varianze dei due titoli, ed intercetta pari ad a. La frontiera efficiente in questo caso è rappresentata dal segmento di retta congiungente i due punti P 1 e P 2, ed è anche il luogo dei portafogli ammissibili,

15 Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi 15 Figura 6.4. Caso di correlazione positiva tra i due titoli. (ρ=+1) Caso di perfetta correlazione negativa(ρ = 1). Si ha da cui µ=(1 x 2 )µ 1 +x 2 µ 2 σ 2 =(1 x 2 ) 2 σ 2 1+x 2 2σ 2 2 2(1 x 2 )x 2 σ 1 σ 2 =[(1 x 2 )σ 1 x 2 σ 2 ] 2 ossia, essendo per si ha σ= (1 x 2 )σ 1 x 2 σ 2 (1 x 2 )σ 1 x 2 σ 2 0 x 2 σ 1 σ 1 +σ 2 (1 x 2 )σ 1 x 2 σ 2 σ= (1 x 2 )σ 1 +x 2 σ 2 Per0<x 2 σ 1 σ 1 +σ 2 abbiamo: per 0 < x 2 σ 1 σ 1 +σ 2 per x 2 = σ 1 σ σ 1 +σ 2 σ 1 σ 1 +σ 2 x 2 <1 (2.20) (2.21)

16 16 Teoria del portafoglio e sostituendo nelle prima equazione della(2.20) otteniamo: µ = 1 σ 1 σ µ σ 1 +σ 1 + σ 1 σ µ 2 σ 1 +σ 2 2 = σ 2µ 1 +σ 1 µ 2 σ µ 2 µ 1 σ 1 +σ 2 σ 1 +σ 2 a 1 b 1 che descrive l equazione di una rettanel pianocon coefficiente angolare( b 1 ) < 0, (essendo b 1 >0). In corrispondenza di x 2 = σ 1 σ 1 +σ 2 il rischio di portafoglio è nullo, σ =0, ed il rendimento µ= σ 2µ 1 +σ 1 µ 2 (2.22) σ 1 +σ 2 Per σ 1 σ 1 +σ 2 < x 2 <1 si ha, dalla seconda in(2.21): x 2 = σ+σ 1 σ 1 +σ 2 (2.23) e sostituendo nella prima equazione della(2.20): µ = 1 σ+σ 1 µ σ 1 +σ 1 + σ+σ 1 µ 2 σ 1 +σ 2 2 = σ 2µ 1 +σ 1 µ 2 µ2 µ + 1 σ σ 1 +σ 2 σ 1 +σ 2 a 1 b 1 otteniamo l equazione di una retta con coefficiente angolare b 1 >0. Il portafoglio a rischio nullo ha composizione x=(x 1,x 2 ), con x 2 = σ 1 σ 1 +σ 2 (2.24) x 1 =1 x 2 = σ 2 σ 1 +σ 2 (2.25)

17 Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi 17 e rendimento atteso µ= µ 2σ 1 +µ 1 σ 2 σ 1 +σ 2 = µ 1 + σ 1 σ 1 +σ 2 (µ 2 µ 1 ) In questo caso il luogo dei portafogli ammissibili è rappresentato nella figura 6.5. Figura 6.5 Luogo delle opportunità nel caso di ρ= Rendimenti non correlati ρ = 0. Nel caso in cui i rendimenti dei due titoli non siano correlati la media e la varianza del portafoglio assume la forma: µ = (1 x 2 )µ 1 +x 2 µ 2 (2.26) σ 2 = (1 x 2 ) 2 σ 2 1+x 2 2σ 2 2 esplicitando x 2 dalla prima equazione otteniamo x 2 = µ µ 1 µ 2 µ 1 1 x 2 = µ 2 µ µ 2 µ 1 e sostituendo nella seconda si ha σ 2 µ2 µ 2 2 = σ 2 µ µ1 µ 2 µ 1+ σ µ 2 µ 1 σ 2 (µ 2 µ 1 ) 2 = (µ 2 µ) 2 σ 2 1 +(µ µ 1) 2 σ 2 2 (2.27) = µ 2 σ 2 1 +σ2 2 2µ µ2 σ 2 1 +µ 1σ 2 2 +µ 2 2 σ 2 1 +µ2 1 σ2 2 che nel piano (σ,µ) è l equazione di una conica, mentre nel piano (µ,σ 2 ) è l equazione di una parabola, fig. 6.6 riporta il grafico nel piano più usuale (σ 2,µ).

18 18 Teoria del portafoglio Figura 6.6. Luogo delle opportunità per ρ=0 Cerchiamo il portafoglio di rischio minimo. Possiamo seguire due approcci diversi: 1. Possiamo risolvere per il minimo della funzione σ 2 (x 2 ) data in(2.26); 2. Risolvere per il minimo della funzione σ 2 (µ) data in(2.27)(vertice della parabola). Vediamo la 1, da σ 2 =(1 x 2 ) 2 σ 2 1 +x2 2 σ2 2 la(2.28) si annulla per valori di x 2 pari: dσ 2 dx 2 = 2(1 x 2 )σ 2 1+2x 2 σ 2 2=0 (2.28) e dal vincolo di bilancio(2.14): x 2= σ2 1 σ 2 1+σ 2 ; (2.29) 2 x 1= σ2 2 σ 2 1+σ 2 2

19 Varianza di un portafoglio di due titoli rischiosi 19 essendo d 2 dx 2 2 σ 2 =2 σ 2 1+σ 2 2 >0 si ha che(x 1,x 2 ) minimizzano σ2 (e quindi σ) e rappresentano la composizione del portafoglio a rischio minimo, σ 2 che fornisce un rendimento, µ : σ σ = 2 σ σ σ 1+ σ σ 2 2 σ 2 1+σ 2 2 (2.30) 2 µ = µ 1 + σ2 1 (µ σ 2 2 µ 1 )= µ 2σ 2 1+µ 1 σ σ2 2 σ 2 1 +σ2 2 (2.31) Seguendo il secondo approccio, da σ 2 = µ 2 σ 2 1 +σ2 2 (µ 2 µ 1 ) 2 2µµ 2σ 2 1 +µ 1σ 2 2 (µ 2 µ 1 ) 2 + µ2 2 σ2 1 +µ2 1 σ2 2 (µ 2 µ 1 ) 2 d dµ σ2 =2µ σ2 1+σ 2 2 (µ 2 µ 1 ) 2 2µ 2σ 2 1+µ 1 σ 2 2 (µ 2 µ 1 ) 2 e si verifica immediatamente che d dµ σ2 =0per µ=µ, con µ definito nella (2.31), ed è punto di minimo essendo: d 2 dµ 2σ2 =2 σ2 1+σ 2 2 (µ 2 µ 1 ) 2 >0 La composizione del portafoglio a rischio minimo si ottiene da x 2= µ µ 1 (µ 2 µ 1 ) = σ2 1 σ 2 1+σ 2, x 1=1 x Caso generico con ρ ( 1,1) Le equazioni descritte nella(2.15) sono sempre le equazioni parametriche di una conica nel piano(σ,µ) (e di una parabola nel piano(σ 2,µ)) (la cui equazione cartesiana si ottiene eliminando il parametro x 2 ).

20 20 Teoria del portafoglio Figura 6.7. Caso generico. Il portafoglio di rischio minimo (quando esiste) si determina come illustrato nel par minimizzando σ 2 (x 2 ) oppure minimizzando σ 2 (µ) che si ottiene dall equazione cartesiana, eliminando x 2 dalle equazioni parametriche. Proseguendo come si è fatto nel caso ρ=0 si ha: σ 2 = = 1 (µ 2 µ 1 ) 2 (µ µ2 ) 2 σ 2 1 +(µ µ 1) 2 σ (µ µ 1)(µ 2 µ)ρσ 1 σ 2 1 µ 2 (µ 2 µ 1 ) 2 σ 2 1 +σ2 2 2ρσ 1σ 2 2µ µ 2 σ 2 1 +µ 1σ 2 2 +ρσ 1σ 2 (µ 1 +µ 2 ) +µ 2 2 σ 1+µ 2 1 σ2 2 2ρσ 1σ 2 µ 1 µ 2 Determiniamo il portafoglio a rischio minimo calcolando la derivata di σ 2 (x 2 )=(1 x 2 ) 2 σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2(1 x 2 )x 2 ρσ 1 σ 2 otteniamo: d dx 2 σ 2 = 2(1 x 2 )σ 2 1+2x 2 σ 2 2+2(1 2x 2 )ρσ 1 σ 2 e dσ2 dx 2 =0 è soddisfatta per x=x 2 con x 2= σ 1(σ 1 ρσ 2 ) σ 2 1+σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 (2.32)

21 Vendite allo scoperto 21 se consideriamo la derivata seconda di σ 2 otteniamo: d 2 dx 2σ2 =2 σ 2 1+σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 >0 (2.33) Infatti osserviamo che è sempre σ 2 1 +σ 2 2 2ρσ 1 σ 2 >0 per ρ <1 in quanto σ 2 1+σ 2 2 >2ρσ 1 σ 2 per ρ < σ2 1+σ 2 2 2σ 1 σ 2 =ρ (2.34) doveρ > 1 quindi ρ <ρ (quantità maggiore di 1) è sempre soddisfatta per ρ ( 1,1) che è il caso che ci interessa,quindi il punto descritto dalla 2.32 è un punto di minimo e vediamo che si ha x 2 > 0 per σ 1 ρσ 2 > 0, ossia ρ < σ 1 σ 2 (<1). Un portafoglio con rischio minimo σ < σ 1 esiste per valori di ρ tali che 1 < ρ < σ 1 σ 2. In questi casi, la composizione del portafoglio è data da ((1 x 2),x 2), ed il rendimento atteso da µ = µ 1 +x 2(µ 2 µ 1 ). Per valori di x 2 (0,x 2) si hanno portafogli non preferiti; per valori di x 2 (x 2,1) si hanno i punti della frontiera efficiente. 2.5 Vendite allo scoperto Fino ad ora ci siamo limitati a considerare portafogli con composizione(x 1,x 2 ) ed x i 0. Possiamo eliminare questa limitazione, pur mantenendo il vincolo di bilancio: x 1 +x 2 =1 (2.35) ed assumere x i R. È chiaro che se è, per esempio, x 1 < 0 allora x 2 = 1 x 1 > 1. Ma cosa significa una composizione x 1 negativa? Se x 1 è negativo vuol dire che il titolo A 1 è venduto allo scoperto, il che significa che l operatore vende titoli che in realtà non possiede, deve prenderli in prestito per poterli vendere e si impegna a restituirli ad una data futura, concordata. Sostanzialmente si indebita per poter acquistare di più (x 2 > 1) del titolo A 2. Per comprendere il meccanismo associato alle vendite allo scoperto ragioniamo su un semplice esempio. Consideriamo un investitore che possiede la

22 22 Teoria del portafoglio quantità di denaro W e vuole investire in un mercato di due soli titoli, A e B. Per poter investire di più nel titolo B l investitore vende allo scoperto dei titoli A che non possiede ma prende in prestito con l impegno di restituirli ad una data prefissata. In questo modo l investitore si rivolge al detentore del titolo A e prende in prestito una quantità di titoli pari ad un ammontare Y che rivende subito sul mercato procurandosi così la quantità di denaro Y che gli permette di investire complessivamente nel titolo B l ammontare(w+y). Il prestito è denominato in unità del titolo A e non in ammontare di denaro (Y), l investitore per poter vendere allo scoperto i titoli A dovrà fornire delle garanzie al detentore dei titoli A, garanzie rappresentate, solitamente, dal versamento di una somma precauzionale pari ad una percentuale α del valore dei titoli presi in prestito (ad esempio per i mercati azionari statunitensi α è pari al 50%), somma che viene comunque restituita al momento della restituzione del prestito. A questo punto l investitore dispone di una ricchezza iniziale pari a W = W A + W B dove la ricchezza investita nel primo titolo è W A = Y mentre la ricchezza investita nel secondo titolo è W B = W+Y. Dopoun unitàditempol investitoresitrovainpossessodellaquantità(1+r B )W B derivante dal possesso del titolo B (ipotizzando che il rendimento realizzato dal titolo B nel periodo sia misurato da r B ) ma deve restituire i titoli A che compra sul mercato al prezzo (1+r A )Y. Complessivamente si trova a disporre della quantità W = (1+r A )Y +(1+r B )(W+Y) ed il rendimento dell operazione è dato da = W r A Y +r B (W+Y) (2.36) r p = W W W = r A Y W +r B W+Y W = r B +(r B r A ) Y W (2.37) Si noti tuttavia che il prestito ottenuto si dovrà rimborsare non solo restituendo i titoli, e quindi spendendo (1+r A )Y, bensì anche pagando il vantaggio di poter fare questa operazione, e si dovrà quindi stare attenti che ciò non comporti un costo superiore al vantaggio(r B r A ) Y ottenuto. Si nota così che se W r B > r A questa operazione è favorevole, in quanto il rendimento del portafoglio

23 Vendite allo scoperto 23 r p è maggiore del rendimento r B che si sarebbe ottenuto investendo la ricchezza iniziale W nel solo titolo B. E chiaro che se r B < r A questa operazione è svantaggiosa (in tal caso converrebbe vendere allo scoperto il titolo B ed investire di più in A). Si noti anche la rischiosità dell operazione in quanto il rendimento r A può non rimanere costante. Notiamo che da un punto di vista formale possiamo pensare che la ricchezza iniziale W sia così decomposta: W = W A +W B (2.38) e in termini di capitale unitario a frazioni di esso investite: W W = W A W + W B W 1 = Y W + W+Y W = x A +x B con x A <0 ed x B =1 x A >1. Il capitale a fine periodo è così dato da gli interessi con rendimento W =(1+r A )W A +(1+r B )W B W W = r A W A +r B W B r p = W W W = r Ax A +r B x B (2.39) come già si è trovato nella(2.37). L unica differenza con l equazione che descrive il rendimento di un portafoglio composto da due titoli è data dal fatto che nella (2.39) x A < 0 ed x B >1. Il vincolo di bilancio, x A +x B =1 è comunque soddisfatto. Per quanto riguarda il luogo dei punti ammissibili nel piano rischiorendimento, osserviamo che le curve ottenute prima, con il vincolo 2.35 vanno ancora bene, ed eliminando il vincolo x 2 [0,1], non dobbiamo limitarci a considerare solo la porzione di curva compresa fra i punti P 1 e P 2, ma tutta la curva la cui equazione parametrica è data nelle (2.15), e rappresentate per i vari casi nelle figg. 6.8, 6.9 e 6.10.

24 24 Teoria del portafoglio Quello che abbiamo fatto fino ad ora è stato applicare il criterio M-V e determinare, in corrispondenza di ogni possibile scelta di portafoglio(x 1,x 2 ), qual è la rischiosità ed il rendimento atteso del portafoglio, così da determinare nel piano(σ,µ) o(σ 2,µ) il luogo dei portafogli efficienti (ed in particolare il portafoglio di rischio minimo). Fino ad ora non abbiamo ancora tenuto conto delle preferenze individuali. Figura 6.8. Caso ρ=1 Figura 6.9. Caso ρ= 1 Figura Frontiera di portafoglio nel caso di ρ 1, σ 1 σ 2 Fissatalacomposizione(x 1,x 2 ), lamediaelavarianzadel portafogliosonoquei determinati valori per tutti gli operatori, e dipendono solo dalle caratteristiche

25 Selezione di un portafoglio ottimale 25 dei titoli componenti, A 1 ed A 2, che si considerano (per i quali i rendimenti µ 1,µ 2, le varianze σ 2 1, σ 2 2 e ρ sono delle opportune costanti). Determinata la frontiera efficiente (qui il luogo efficiente), per determinare il portafoglio ottimale bisogna tener conto delle preferenze dei singoli investitori (per esempio facendo uso delle curve di utilità). 2.6 Selezione di un portafoglio ottimale Il problema dell investitore è quello di scegliere l allocazione di portafoglio che conduce alla combinazione (per lui) ottimale di rischio-rendimento. Quindi occorrono informazioni precise sulle preferenze degli operatori, che supponiamo siano rappresentate da curve di preferenza, o curve di isoutilità, nel piano (σ,µ), e che possiamo pensare come le curve di livello di una funzione di utilità individuale G(σ, µ), o funzione di soddisfazione. Ogni operatore sceglierà quindi la composizione che massimizza la propria soddisfazione, restringendo l analisi ai soli punti della frontiera efficiente. Abbiamo già visto un criterio per determinare una funzione di utilità. Nota una utilità del danaro u(x), la funzione oppure G(σ,µ)=βu(µ) ασ G(σ,µ)=u(µ) σ α,β >0; β (0,1) può essere assunta come funzione di utilità nel piano(σ, µ). Ma non è necessario partire sempre da una funzione u(x). È sufficiente che una funzione G(σ,µ), o G(σ 2,µ) soddisfi alcuni criteri generali che richiediamo debbano valere per una funzione di utilità. In particolare, le curve di isoutilità G(σ,µ)=C (costante), pensando di esplicitarle nella forma µ=f(σ,c), devono essere crescenti e convesse, df > dσ d 0; 2 F > 0, in quanto al crescere di σ, cioè aumentando il rischio, la soddisfazione resta la stessa solo se si ottiene un rendimento maggiore (da cui dσ 2 F > 0). Inoltre, se il rischio non è elevato, allora un piccolo aumento di rischio sarà compensato, per l indifferenza, da un piccolo aumento di rendimento, ma se il rischio è elevato, un aumento anche piccolo del rischio sarà compensato, per l indifferenza, da un maggior incremento del rendimento (da cui F >0). Quindi le curve sono del tipo riportato in fig. 6.11, crescenti e convesse.

26 26 Teoria del portafoglio Figura Funzioni di utilità crescente. Osserviamo che non è possibile pensare di assumere curve di isoutilità decrescenti, del tipo riportato in fig. 6.12, in quanto si avrebbe che l investitore stima della stessa soddisfazione portafogli aventi basso rischio e alto rendimento e portafogli aventi alto rischio e basso rendimento contraddicendo il criterio M V. Figura Curve di isoutilità non ammissibili. Esempi di possibili funzioni di utilità G sono i seguenti: 1. G(σ,µ)=µ aσ, (a >0costante), in questo caso le rette di isouti-

27 Selezione di un portafoglio ottimale 27 lità (luogo dei punti in cui il livello di utilità rimane invariato) hanno equazione G=c (costante), ossia µ aσ= c e sono rette di pendenza a ed intercetta c (fig ). 2. G(σ,µ)= µ σ le curve di isoutilità µ = c ossia µ=cσ sono rette passanti σ per l origine con coefficiente angolare c, vedi fig Figura Curve di isoutilità. µ aσ= c. Figura Curve di isoutilità,. µ/σ=c. 3. G(σ,µ)=µ aσ 2, a >0

28 28 Teoria del portafoglio le curve di isoutilità sono date da µ aσ 2 = c ossia µ = aσ 2 + c che individuano delle parabole con intercetta c, fig Figura Curve di isoutilità µ aσ 2 = c. 4. G(σ,µ)=µ 1 (b σ) (per σ < b) b rappresenta il livello massimo di rischiosità individuale. Le curve di isoutilità in questo caso sono determinate da: µ 1 b σ = c, µ= 1 b σ +c che definiscono dei rami di iperbole con asintoto orizzontale c ed asintoto verticale b.

29 Selezione di un portafoglio ottimale 29 Figura Curve di isoutilità G=µ 1 b σ. Determinato il luogo dei portafogli ammissibili, per un investitore che è fortemente avverso al rischio, la scelta ottimale sarà prossima al portafoglio di rischio minimo (fig. 6.17). Figura Portafogli ammisibili per investitori fortemente avversi al rischio. Per un investitore mediamente avverso al rischio il portafoglio la scelta ottimale sarà del tipo riportato in fig

30 30 Teoria del portafoglio Figura Caso investitore mediamente avverso al rischio. Per un investitore poco avverso al rischio il punto scelto cadrà lontano dal portafoglio di rischio minimo, potrebbe anche superare il punto P 2 e, se fossero consentite vendite allo scoperto, la scelta ottimale potrebbe consistere nell investire più di quanto si ha nel solo titolo A 2, come in figura 6.19b. Figura 6.19(a) Investitore propenso al rischio. Figura 6.19(b).Investitore fortemente propenso al r Facciamo ancora alcune osservazioni sul problema della scelta ottimale, individuale, del portafoglio. Supponiamo che sia nota la funzione di preferenza G(σ,µ) oppure G σ 2,µ

31 Selezione di un portafoglio ottimale 31 Per determinare il punto della frontiera efficiente che fornisce la massima utilità non è necessario determinare prima il luogo geometrico effettivo delle frontiera efficiente, possiamo risolvere direttamente il problema di ottimizzazione. Sappiamo che la regione ammissibile è definita dalle equazioni parametriche µ=x1 µ 1 +x 2 µ 2 = x T r σ 2 = x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x 1 x 2 ρσ 1 σ 2 = x T (2.40) Vx soggette al vincolo x 1 +x 2 =1 Quindi per ogni fissata composizione, x=(x 1,x 2 ), possiamo calcolare direttamente il valore di soddisfazione corrispondente: F(x)=F(x 1,x 2 )=G(σ(x 1,x 2 ),µ(x 1,x 2 )) s.a. x 1 +x 2 =1 dove il vincolo x 1 +x 2 =1 si può scrivere anche u T x=1 dove u è il vettore di componenti tutte uguali a uno. Si può quindi impostare direttamente il problema di ottimo maxf(x) s.a. u T x=1 (2.41) e determinare direttamente il portafoglio ottimo risolvendo il problema vincolato. In questo caso il vincolo è lineare, e può essere anche subito eliminato, riconducendo il problema ad uno di ottimizzazione libera sostituendo ovunque, per esempio x 1 =1 x 2, si ha µ=(1 x2 )µ 1 +x 2 µ 2 σ 2 =(1 x 2 ) 2 σ 2 1 +x2 2 σ2 2 +2(1 x 2)x 2 ρσ 1 σ 2 (2.42) e, quindi, considerare f(x 2 )=G(σ(x 2 ),µ(x 2 ))

32 32 Teoria del portafoglio e risolverlo come un problema libero: maxf(x 2 ) (x 2 R) (si noti che è f(x 2 )=F((1 x 2 ),x 2 )). Osserviamo che se la funzione di utilità G soddisfa le proprietà richieste (curve di isoutilità crescenti e convesse) e la frontiera efficiente è rappresentata da un ramo crescente e concavo, allora il problema di ottimo ha un unica soluzione. I due problemi, vincolato e libero, forniscono la stessa soluzione ottima. Una volta risolto il problema di ottimo e determinata la composizione ottima (x 1,x 2 ) che rende massima la funzione di utilità, il valore corrispondente del rischio, σ 2, ed il valore atteso del rendimento, µ, si calcolano dalle usuali epressioni nella(2.40) o(2.42). Questo modo di procedere è certamente individuale (un operatore, convinto della propria utilità, fa il proprio conto), mentre il riportare la frontiera efficiente nel piano(σ,µ) o(σ 2,µ), parte comune a tutti gli operatori, è utile per effettuare confronti (fra operatori diversi). 2.7 Portafoglio con n titoli rischiosi (Modello di Markowitz) Nel caso di un portafoglio con n titoli rischiosi, A 1,A 2,...,A n, si complicano formalmente le espressioni analitiche ma concettualmente non vi è differenza dal caso di un portafoglio di due titoli. Supponiamo che siano assegnati n titoli rischiosi A k, k = 1,2,...,n per ciascuno dei quali sono noti i rendimenti con relative probabilità R (k)ik i k =1,2,...,N k R(k)1,R (k)2,...,r (k)nk p (k)ik i k =1,2,...,N k p(k)1,p (k)2,...,p (k)nk N k i k =1 p (k)ik =1 e, quindi, anche il rendimento atteso N k µ k = R (k)ik p (k)ik i k =1

33 Portafoglio con n titoli rischiosi 33 e la varianza N k σ 2 k= i k =1 2p(k)ik R(k)ik µ k = E Rk 2 µ 2 k o la deviazione standard σ k = σ 2 k (2.43) che viene usata come stima della rischiosità. Dovremo analizzare il portafoglio (generico) che si ottiene investendo x 1 lire in A 1,..., x n lire in A n tenendo conto del vincolo di bilancio x 1 +x x n =1 (2.44) In forma compatta, il portafoglio di composizione x=(x 1,...,x n ) con il vincolo u T x=1dove u=(1,...,1). Osserviamo che se non mettiamo il vincolo di non negatività x 0, significa che sono consentite vendite allo scoperto. Per semplicità ora lo omettiamo, quindi una composizione x j <0significa che il titolo A j è venduto allo scoperto (ci impegniamo a pagarlo ad una data futura concordata). Ricordiamo anche le ipotesi che stanno alla base del problema in esame: tutti i titoli hanno la medesima durata (modello uniperiodale); i titoli sono infinitamente divisibili (si può così ragionare nell investimento di 1 lira diversificata fra i vari titoli); sono consentite vendite allo scoperto; nonsitienecontodeicostiditransazioneogravamifiscali(chemodificano eventualmente il rendimento); non esistono rischi di insolvenza (il solo rischio è misurato dalla varianza o dalla deviazione standard); gli agenti sono massimizzatori di profitto (o massimizzatori dell utilità attesa o della soddisfazione personale); gli agenti sono price taker: non influenzano il prezzo dei titoli ed il mercato (esiste una base oggettiva per tutti che è la frontiera efficiente);

34 34 Teoria del portafoglio il mercato è coerente (assenza di arbitraggio, nel calcolare i rendimenti); la distribuzione dei rendimenti di ogni titolo è di tipo Normale con media µ e varianza σ 2 ; si è in presenza di investitori avversi al rischio (u (x) <0). Vediamo quanto vale il rendimento atteso di un portafoglio di composizione x = (x 1,x 2,...,x n ). Analogamente al caso con due soli titoli, si trova che il rendimento atteso di portafoglio µ(x), è una combinazione lineare dei rendimenti attesi dei singoli titoli: µ(x) = x 1 µ 1 +x 2 µ x n µ n = r T x (2.45) dove r=(µ 1,...,µ n ). Per quanto riguarda la varianza σ 2 (x), del portafoglio di composizione x ci aspettiamo che, analogamente al caso con due titoli, intervengano le covarianze dei titoli a due a due. Supponendo che siano note le probabilità congiunte per i titoli a due a due, (A r,a s ), ossia p R (r)ir,r (s)is i r =1,...,N r ; i s =1,...,N s per cui si ha N r N s cov(a r,a s )= i r=1i s=1 µ R(r)irk r R(s)is µ s p R(r)ir R (s)is = σr,s potremo disporre le varianze e le covarianze degli n titoli in una matrice V, detta matrice di varianza-covarianza, con V (i,i) = cov(a i,a i )=σ 2 i V (i,j) = V (j,i)=cov(a i,a j )=σ i,j potremmo, anche, introdurre i coefficienti di correlazione a 2 a 2: ρ i,j = cov(a i,a j ) σ i σ j (2.46)

35 Portafoglio ottimo 35 così che si possa scrivere anche σ ij = cov(a i,a j )=ρ ij σ i σ j (2.47) La matrice V (quadrata di ordine n) è ovviamente simmetrica, e noi assumeremo che sia anche definita positiva. La varianza del portafoglio di composizione x=(x 1,x 2,...,x n ), analogamente al caso di due titoli, risulta essere la forma quadratica associata alla matrice di varianza-covarianza V: σ 2 (x) = x T Vx n = V ij x i x j (2.48) i,j=1 e la deviazione standard del portafoglio è σ(x)= σ 2 (x) (2.49) Riassumendo, note le caratteristiche dei singoli titoli A 1, A 2,...,A n per il portafoglio di composizione x=(x 1,x 2,...,x n ) si ha: σ 2 (x)=x T Vx µ(x)=r T x s.a. u T x=1 dove r=(µ 1,µ 2,...,µ n ), V ij = cov(a i,a j )=σ ij ; u=(1,...,1). 2.8 Portafoglio ottimo (2.50) Se supponiamo che un investitore abbia una data funzione di preferenza individuale G(σ,µ) o G(σ 2,µ) da massimizzare, potremo risolvere direttamente il problema di ottimo, per determinare il portafoglio di massima soddisfazione: maxf(x 1,...,x n )=G(σ(x 1,...,x n ),µ(x 1,...,x n )) s.a. i x i=1 oppure eliminare il vincolo di uguaglianza e risolvere un problema libero in (n 1) variabili.

36 36 Teoria del portafoglio Esempio 2. Se l operatore assume G(σ,µ)=µ aσ 2 si avrà maxf(x 1,...,x n )=r T x ax T Vx s.a. u T x=1 ed essendo V definita positiva, V è definita negativa, ed il problema di massimo ha un unica soluzione che definisce il portafoglio ottimo. Inoltre, essendo la funzione obiettivo concava ed il vincolo lineare, il problema è di ottimizzazione convessa così che le condizioni del I ordine sono necessarie e sufficienti per risolvere il problema. Consideriamo la lagrangiana L(x,λ)=r T x ax T Vx λ u T x 1 (2.51) per le condizioni del I ordine, L=0 fornisce x L=0 r 2aVx λu=0 λ L=0 ; u T x=1 dalla prima equazione ricaviamo e sostituendo nella seconda: 2aVx = r λu x = 1 2a V 1 (r λu) 1 2a ut λv 1 u+v 1 r = 1 λu T V 1 u+u T V 1 r = 2a e, quindi, λ = ut V 1 r 2a u T V 1 u x = 1 2a λ V 1 u+ 1 2a V 1 r (2.52) = 1 2a u T V 1 r 2a V 1 u+ 1 u T V 1 u 2a V 1 r (2.53)

37 Portafoglio ottimo 37 Come già si è visto nel caso di due titoli, conviene a volte risolvere la parte tecnica comune a tutti gli investitori, e determinare nel piano (σ,µ) o (σ 2,µ) la regione dei portafogli ammissibili e la frontiera efficiente (luogo dei portafogli efficienti). Nell ipotesi che siano ammesse le vendite allo scoperto, x i qualsiasi, per determinare il luogo dei portafogli ammissibili si procede nel modo seguente: per ogni fissato livello di rendimento µ = Π (costante fissata), cerchiamo il portafoglio di rischio minimo, ossia il vettore x (Π) che minimizza la varianza, soluzione del problema di ottimo minσ 2 (x)=x T Vx s.a. r T x=π u T x=1 (2.54) Anche questo è un problema di ottimizzazione vincolata convessa, la cui soluzione x (Π) è già stata calcolata esplicitamente (nel paragrafo 4.7). Un punto (σ 2 (x (Π)),µ(x (Π))) è, quindi, un punto della frontiera della regione D dei portafogli ammissibili, alla cui destra stanno i portafogli di D. Al variare diπsi ottiene tutta la frontiera di D, e si è già visto che nel piano (σ 2,µ) tale frontiera è una parabola di vertice σ 2 m = 1;µ β m= γ, fig. β Figura Frontiera efficiente.

38 38 Teoria del portafoglio dove posto α = r T V 1 r β = u T V 1 u γ = r T V 1 u=u T V 1 r δ = αβ γ 2 >0 i valori di ottimo x (Π)= 1 (Πβ γ)v 1 r+(α γπ)v 1 u (2.55) δ σ 2 (x (Π))= 1 Π 2 β 2γΠ+α (2.56) δ sono già stati calcolati precedentemente alla fine del paragrafo 4.6). Come vedremo, interessa anche riportare la frontiera efficiente nel piano(σ, µ) con σ = σ 2 deviazione standard. In tal caso le equazioni date sopra forniscono, per frontiera della regione D nel piano(σ,µ), un arco di iperbole (fig. 6.21), dove σ m = σ 2 m = 1 β, µ m= γ β (2.57) Figura Frontiera efficiente nel piano ( σ, µ).

39 Proprietà della frontiera efficiente Proprietà della frontiera efficiente È immediato vedere che nel problema di ottimizzazione risolto prima, la soluzione ottima x (Π) è una funzione affine diπ. Infatti è! " # $ βv x 1 r γv 1 u αv 1 u γv 1 r (Π) = Π + δ δ y z ossia quindi, se x (Π)=Πy+z (2.58) x 1 =Π 1 y+z è soluzione ottima corrispondente al rendimentoπ 1 (con varianza σ 2 1 ) e x 2 =Π 2 y+z è soluzione ottima corrispondente al rendimentoπ 2 (con varianza σ 2 2), allora la soluzione ottima corrispondente al rendimento (combinazione lineare convessa) Π=aΠ 1 +(1 a)π 2 (2.59) è data da Infatti è x = ax 1 +(1 a)x 2 (2.60) ax 1 = aπ 1 y+az (1 a)x 2 = (1 a)π 2 y+(1 a)z e, quindi ax 1 +(1 a)x 2 = (aπ 1 +(1 a)π 2 )y+z Si è con ciò dimostrato il seguente = Πy+z = x

40 40 Teoria del portafoglio Teorema 6.1. Portafoglio di frontiera con vendite allo scoperto consentite. Se sono consentite vendite allo scoperto, qualunque combinazione lineare convessa di portafogli di frontiera è ancora un portafolgio di frontiera. O, più esplicitamente se sono consentite vendite allo scoperto, dati x 1 e x 2, due portafogli di frontiera con rendimenti attesiπ 1 eπ 2, per ogni a R x = ax 1 +(1 a)x 2 (2.61) è il portafoglio di frontiera corrispondente al rendimento atteso Π=aΠ 1 +(1 a)π 2 Da questa proprietà segue immediatamente la seguente proposizione: Tutti i portafogli di frontiera si possono ottenere a partire da due qualunque di essi. Infatti, noti due portafogli di frontiera x 1 ed x 2 corrispondenti ai rendimenti attesiπ 1 eπ 2, per determinare la soluzione ottima corrispondente al rendimento atteso di livello µ è sufficiente determinare il valore a tale che µ=aπ 1 +(1 a)π 2 (2.62) ossia a= µ Π 2 Π 1 Π 2 1 a= Π 1 µ Π 1 Π 2 e si ha immediatamente x = ax 1 +(1 a)x 2 Si noti, tuttavia, che la relazione intercorrente fra i corrispondenti valori di varianza, σ 2 (x ) e σ 2 1 = σ2 (x 1 ),σ 2 2 = σ2 (x 2 ), non è lineare. Infatti si ha: σ 2 (x ) = x T Vx = (ax 1 +(1 a)x 2 ) T V (ax 1 +(1 a)x 2 ) = a 2 x T 1Vx 1 +2a(1 a)x T 1Vx 2 +(1 a) 2 x T 2Vx 2 = a 2 σ 2 1+2a(1 a)x T 1Vx 2 +(1 a) 2 σ 2 2

41 Portafogli che includono un attività non rischiosa Portafogli che includono un attività non rischiosa Osserviamo subito che insieme ai titoli rischiosi (n 1 come vedremo) consideriamo solo un titolo non rischioso. Questo perchè nel caso monoperiodale in cui ci siamo messi non ha senso considerare più titoli non rischiosi (da attivare oggi e scadenti fra un periodo), in quanto, valutati quelli oggi disponibili, la nostra preferenza cadrà sicuramente su quel titolo certo che ha il massimo rendimento (tasso effettivo di rendimento). Sia questo il titolo non rischioso N che consideriamo, la cui varianza è quindi nulla, σ f =0, ed il cui rendimento certo è un determinato valore R f Portafogli con un titolo rischioso ed un titolo certo Supponiamo che nel mercato sia possibile effettuare operazioni di debito o credito esenti da rischio ad un tasso effettivo di rendimento (nel periodo fissato) R f. Investendo un capitale C in tale titolo non rischioso N, a fine periodo si avrà il montante C(1+R f ). Supponiamo che sia disponibile anche un titolo rischioso A, con varianza σ 2 A e rendimento atteso µ A. Figura Presenza di un titolo non rischioso. Si indica solitamente il rendimento ed il rischio del titolo privo di rischio con il pedice f, in conformita alla notazione anglosassone in cui il titolo privo di rischio viene indicato con risk free asset. Di quir f eσ f.

42 42 Teoria del portafoglio È naturale richiedere µ A > R f altrimenti opteremmo per il titolo non rischioso, per il criterio M V e non vi sarebbe il problema della diversificazione del portafoglio (per aumentare il rendimento atteso). Consideriamo allora il portafoglio ottenuto investendo x f lire nel titolo N e (1 x f ) nel titolo A, otteniamo un portafoglio(x f,1 x f ) avente rendimento atteso µ=x f R f +(1 x f )µ A (2.63) e varianza σ 2 = x 2 fσ 2 f+(1 x f ) 2 σ 2 A+2x f (1 x f )σ f σ a ρ Af = (1 x f ) 2 σ 2 A (2.64) in quanto la varianza del titolo certo è nulla. Inoltre, anche la covarianza tra un titolocertoeduntitolorischiosoèsemprenulla ij (R i µ A )(R f R f )p ij =0. Dalla 2.64 si deduce la deviazione standard σ=(1 x f )σ A (2.65) Eliminando il parametro x f dalle equazioni(2.63) e(2.65) otteniamo il luogo, nel piano(σ, µ), dei portafogli ammissibili. Essendo (1 x f )= σ e x f =1 σ σ A σ A si ottiene ossia µ = 1 σ R f + σ µ σ A σ A A = R f R f µ A σ A σ µ=r f + µ A R f σ A σ (2.66) che è l equazione di una retta nel piano(σ,µ), la retta congiungente i due punti rappresentantivi di N ed A (ed è anche frontiera efficiente).

43 Portafogli con un titolo rischioso ed un titolo certo 43 Figura 6.23 Frontiera efficiente in presenza di un titolo privo di rischio. La(2.66) è l equazione della frontiera efficiente di un portafoglio composto da un titolo privo di rischio ed un titolo rischioso (fig. 6.23). La quantità R f viene chiamata premio per il tempo (investendo in un titolo privo di rischioadesempiounbot-si èpremiati perl attesa)mentreil coefficientem= µ A R f σ A rappresenta il premio per il rischio e misura l incremento di rendimento µ corrispondente ad un incremento unitario di rischiosotà( σ = 1). A seconda delle curve di isoutilità si avrà la scelta del portafoglio ottimo (che massimizza l utilità G(σ,µ)). La soluzione ottima è, geometricamente, un punto (σ,µ ) di tangenza, e, dovendo appartenere alla retta, soddisfa µ µa R f = σ +R f (2.67) allora è la quantità investita nel titolo N, e è la quantità investita in A. σ A x f =1 σ σ A (2.68) 1 x f = σ σ A

44 44 Teoria del portafoglio Se il punto di tangenza è sopra A, ossia σ > σ A, allora x f <0: è più conveniente vendere allo scoperto il titolo certo ed investire di più nel titolo rischioso A che fornisce un rendimento maggiore Portafogli con n titoli rischiosi ed 1 non rischioso (CAPM, Capital Asset Pricing Model) Come si è visto, nel piano(σ, µ) il luogo dei portafogli efficienti corrispondenti ad un titolo non rischioso N ed un titolo rischioso A, è costituito da una retta, congiungente i punti rappresentativi dei due titoli. A questo semplice risultato, e anche molto rilevante, si perviene anche quando dobbiamo diversificare il capitale fra un titolo N e diversi(n) titoli rischiosi. In tal caso il ruolo del titolo A viene svolto da un particolare portafoglio degli n titoli rischiosi, detto portafoglio di mercato, M, che è lo stesso per tutti gli operatori razionali. Consideriamo n titoli rischiosi A 1,A 2,...,A n e supponiamo note le caratteristiche dei singoli titoli, r=(µ 1,µ 2,...µ n ) i rendimenti attesi e V la matrice (n n) di varianze-covarianze. Per un portafoglio p di composizione y = (y 1,y 2,...,y n ), n i=1 y i=1, si ha quindi rendimento atteso µ p = r T y (2.69) e varianza σ 2 p= y T Vy (2.70) e l analisi oggettiva che ogni operatore può fare porta alla determinazione della frontiera (efficente) della regione ammissibile che già abbiamo visto. Per e- sempio, nel piano(σ,µ) si ottiene un ramo di iperbole del tipo di fig

45 Portafogli con n titoli rischiosi ed 1 non rischioso(capm, Capital Asset Pricing Model) 45 Figura Frontiera efficiente nel piano ( σ, µ). Con i soli titoli rischiosi non è possibile comporre un portafoglio che abbia un livello di rischiosità inferiore al valore minimo σ m (in termini di deviazione standard, o di σ 2 m in termini di varianza) (perchè tutti i punti della regione ammissibile hanno varianza maggiore). Se invece è disponibile un attività non rischiosa N con tasso effettivo di rendimento R f, e varianza nulla, allora combinando gli (n+1) titoli è possibile ampliare la regione ammissibile ed avere dei portafogli con rischisità inferiore a σ m. Per motivi analoghi a quelli visti prima nel caso di due titoli, è lecito assumere che sia R f < µ m (altrimenti optiamo sicuramente per investire tutto nel titolo certo e non si pone il problema di diversificare il portafoglio per aumentare il rendimento). Consideriamo il portafoglio costituito dagli(n+1) titoli in cui investiamo x f nel titolo certo N, ed x i nei titoli A i, con il vincolo x f +x 1 +x x n =1 (2.71) il rendimento atteso è dato da µ=x f R f + n x i µ i (2.72) i=1