DIPARTIMENTO DI MATEMATICA

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1 ISTITUTO STATALE D ISTRUZIONE SUPERIORE Francesco De Sarlo Via Sant Antuono / C.F PZIS LAGONEGRO PZ PZPM00101P IST. MAG. LAGONEGRO - PZPS00101N LIC. SC. LAGONEGRO - PZPS00102P LIC. SC. LATRONICO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA PROGRAMMAZIONE GENERALE DI MATEMATICA TRIENNIO PNI A.S. 2009/2010

2 Programmazione didattica di matematica per il triennio Nella stesura degli obiettivi e dei programmi di matematica per il triennio del liceo scientifico i saperi sono stati articolati in conoscenze, abilità/capacità e competenze, tenendo presente le seguenti definizioni: Conoscenze: indicano il risultato dell assimilazione di informazioni attraverso l apprendimento. Le conoscenze sono l insieme di fatti, principi, teorie e pratiche, relative a un settore di studio o di lavoro; le conoscenze sono descritte come teoriche e/o pratiche. Abilità: indicano le capacità di applicare conoscenze e di usare know-how per portare a termine compiti e risolvere problemi; le abilità sono descritte come cognitive (uso del pensiero logico, intuitivo e creativo) e pratiche (che implicano l abilità manuale e l uso di metodi, materiali, strumenti). Competenze: indicano la comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e capacità personali,sociali e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le competenze sono descritte in termine di responsabilità e autonomia. OBIETTIVI SPECIFICI DEL TRIENNIO La matematica è una disciplina rigorosa, sviluppa nell'allievo la capacità logica, astrattiva e deduttiva, strutturando nel giovane una mentalità scientifica. In particolare, poi, essa costituisce un indispensabile strumento per la comprensione della fisica in quanto consente di interpretare, descrivere e rappresentare i fenomeni osservati in natura. Nel triennio l'insegnamento della matematica deve ampliare e rafforzare progressivamente gli obiettivi raggiunti a conclusione del biennio, recuperando le conoscenze acquisite inserendole in un processo di maggiore astrazione e formalizzazione. Si elencano di seguito i principali obiettivi specifici disciplinari relativi al Triennio PNI: Acquisire strumenti fondamentali atti a costruire modelli di descrizione e indagine della realtà (relazioni, formule, corrispondenze, grafici, piano cartesiano) Formalizzare e rappresentare relazioni e dipendenze Convertire informazioni da ed in linguaggi simbolici Codificare algoritmi in uno o più linguaggi artificiali Analizzare un problema ed individuare il modello matematico più adeguato per la sua risoluzione Comprendere i passi di un ragionamento e saperlo ripercorrere Utilizzare pacchetti e strumenti informatici Elaborare informazioni utilizzando al meglio metodi e strumenti di calcolo Stabilire criteri per la valutazione di elaborazioni affidate a esecutori automatici 2

3 METODI I contenuti saranno trattati in modo non schematico, ma procedendo con un metodo a strati, per approfondimenti successivi, sottolineando relazioni e connessioni. I tradizionali temi di algebra e di geometria saranno integrati con quelli più innovativi di logica, di informatica, di probabilità e statistica e di analisi numerica. Sarà privilegiato un approccio agli argomenti per problem solving, scegliendo le situazioni più idonee ad individuare congetture, ipotesi e soluzioni. Per la sistematizzazione dei contenuti, per il potenziamento e per tutti quegli argomenti che lo rendano necessario, sarà utilizzato il metodo frontale. Alcuni argomenti saranno trattati evidenziando le connessioni interdisciplinari relative a temi di fisica. L attività di laboratorio, distribuita lungo l arco dei cinque anni, consisterà in: - Utilizzo di programmi e software applicativi; - Analisi e risoluzione informatica di problemi, attraverso la codifica, il controllo e l esecuzione di un programma; VERIFICA Ai fini delle verifiche formative, si ritengono valide, tra le varie forme, sia la somministrazione di test, anche a risposta multipla, sia la semplice verifica orale. Ai fini della valutazione, le verifiche scritte potranno essere articolate sia sotto forma di problemi ed esercizi di tipo tradizionale, sia sotto forma di "test"; potranno anche consistere in brevi relazioni su argomenti specifici proposti dal docente o nella stesura (individuale o a piccoli gruppi) di semplici programmi costruiti nell'ambito del "laboratorio di informatica". Le interrogazioni orali saranno volte soprattutto a valutare le capacità di ragionamento e i progressi raggiunti nella chiarezza e nella proprietà di espressione degli allievi. Si stabilisce che per ogni quadrimestre si effettuino tre prove scritte e due prove orali. L insegnante sceglierà, per la prova scritta, fra le seguenti tipologie: a) Esercizi strutturati e semistrutturati; b) Trattazione sintetica; c) Problemi di tipo tradizionale. 3

4 Tema 1: Geometria Classe III PNI 1.1 Argomento Sistema di riferimento cartesiano Conoscenze/contenuti disciplinari Sistema di ascisse su una retta Distanza fra due punti su una retta Punto medio di un segmento Punti e coppie di numeri reali Abilità Fissare un sistema di riferimento cartesiano Calcolare la misura di un segmento Calcolare le coordinate del punto medio di un segmento. 1.2 La retta nel piano cartesiano Equazione generale della retta Coefficiente angolare Parallelismo e perpendicolarità fra rette Metodi per determinare l equazione di una retta Distanza di un punto da una retta Fasci di rette Associare ad una retta un equazione lineare Scrivere l equazione di una retta a partire da due condizioni note Stabilire la posizione reciproca di due rette Riconoscere i fasci di rette e saper operare con essi. 1.3 La parabola nel piano cartesiano La parabola come luogo geometrico Elementi caratteristici del grafico di una parabola Condizioni per determinare l equazione di una parabola Posizioni reciproche di una retta e una parabola Rette tangenti Fasci di parabole Riconoscere l equazione di una parabola e tracciarne il grafico Scrivere l equazione di una parabola a partire da tre condizioni note Determinare la posizione di una retta rispetto ad una parabola Individuare le rette tangenti Riconoscere i fasci di parabole e saper operare con essi. 1.4 La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza come luogo geometrico Condizioni per determinare l equazione di una circonferenza Posizioni reciproche di una retta e una circonferenza Rette tangenti Posizioni reciproche di due circonferenze Fasci di circonferenze Riconoscere l equazione di una circonferenza e tracciarne il grafico Scrivere l equazione di una circonferenza a partire da tre condizioni note Determinare la posizione di una retta rispetto ad una circonferenza Individuare le rette tangenti Riconoscere i fasci di circonferenze e saper operare con essi. 1.5 L ellisse nel piano cartesiano L ellisse come luogo geometrico Condizioni per determinare l equazione di un ellisse Posizioni reciproche di una retta e di un ellisse Rette tangenti Fasci di ellissi Riconoscere l equazione di un ellisse e tracciarne il grafico Scrivere l equazione di un ellisse a partire da due condizioni note Determinare la posizione di una retta rispetto ad un ellisse Individuare le rette tangenti Riconoscere i fasci di ellissi e saper operare con essi. 1.6 L iperbole nel piano cartesiano L iperbole come luogo geometrico Condizioni per determinare l equazione di un iperbole Posizioni reciproche di una retta e Riconoscere l equazione di un iperbole e tracciarne il grafico Scrivere l equazione di un iperbole a partire da due condizioni note Determinare la 4

5 di un iperbole Rette tangenti L iperbole equilatera La funzione omografica Fasci di iperboli posizione di una retta rispetto ad un iperbole Individuare le rette tangenti Individuare l equazione di un iperbole traslata e tracciarne il grafico - Riconoscere i fasci di iperboli e saper operare con essi. Tema 2: Insiemi numerici e strutture 2.1 Argomento Insieme dei numeri naturali Conoscenze/contenuti disciplinari Divisibilità Algoritmo euclideo Numeri primi Classi di resto Abilità Saper operare in modo opportuno in un insieme numerico dato Individuare i successivi ampliamenti di ciascun insieme numerico. 2.2 L insieme dei numeri reali Definizione di numero reale Proprietà ed operazioni con i numeri reali Corrispondenza fra numeri reali e punti di una retta Tema 3: Funzioni ed equazioni 3.1 Argomento Equazioni e disequazioni irrazionali Conoscenze/contenuti disciplinari Elevamento a potenza ed equivalenza Equazioni e disequazioni con uno o più radicali Abilità Risolvere equazioni e disequazioni irrazionali con vari metodi. 3.2 Equazioni e disequazioni con i moduli Concetto di valore assoluto Equazioni e disequazioni con uno o più moduli Risolvere equazioni e disequazioni con i moduli. 3.3 Funzioni circolari Tema 4: Logica Angoli e funzioni goniometriche La circonferenza goniometrica Risoluzione dei triangoli rettangoli Operazioni con i vettori Conoscenze/contenuti Argomento disciplinari 4.1 Logica formale Proposizioni atomiche e molecolari Operazioni elementari nell insieme delle proposizioni e tavole di verità Tautologie e contraddizioni La deduzione logica Metodi per dimostrare un teorema Doppia deduzione logica Definire le funzioni goniometriche fondamentali in riferimento ai triangoli rettangoli e alla circonferenza goniometrica - Risolvere triangoli rettangoli - Applicare le precedenti conoscenze allo studio della fisica. Abilità Saper operare con le proposizioni ed i connettivi logici Saper costruire una tavola di verità - Saper utilizzare il metodo diretto e quello indiretto per dimostrare un teorema. 5

6 Tema 5: Informatica 5.1 Argomento Hardware e software Conoscenze/contenuti disciplinari Componenti fisiche di un PC Software di base e software applicativo Abilità Riconoscere le varie componenti del PC e il loro funzionamento Conoscere il funzionamento di un sistema operativo e il ciclo macchina. 5.2 Il linguaggio del computer Codice binario Linguaggi di programmazione Saper distinguere un linguaggio evoluto dal linguaggio macchina. 5.3 MS-DOS Principali comandi DOS Operare in ambiente DOS. 5.4 Gli algoritmi Strutture sequenziali Strutture di selezione Strutture iterative Costruire un algoritmo per risolvere un dato problema, utilizzando la struttura adeguata. 5.5 Il linguaggio Pascal Comandi e sintassi del linguaggio Pascal Tipi di dato Struttura sequenziale Struttura di selezione (binaria e multipla) Operare in ambiente Pascal Utilizzare le variabili opportune per rappresentare i dati di un problema - Scrivere un programma in Pascal utilizzando la struttura sequenziale - Scrivere un programma in Pascal utilizzando le strutture IF.THEN ELSE e CASE OF END. COMPETENZE IN USCITA AL TERZO ANNO - (*) Saper rappresentare graficamente le funzioni studiate; - (*) Saper applicare le tecniche risolutive fondamentali nei problemi di geometria analitica; - (*) Saper applicare le tecniche risolutive delle disequazioni; - (*) Saper esporre con semplicità e correttezza; - Saper affrontare diverse situazioni problematiche scegliendo in modo consapevole e critico la strategia risolutiva; - Saper elaborare informazioni e utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e/o strumenti informatici; - Sviluppare dimostrazioni di teoremi e proposizioni. (*) Standard minimi 6

7 Tema 1 : Goniometria Classe IV PNI 1.1 Circonferenza goniometrica: relazioni fondamentali. Funzioni goniometriche. Archi particolari. Archi associati Formule di addizione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi, Werner Grafici delle funzioni goniometriche e grafici deducibili Funzioni goniometriche inverse e grafici Funzioni goniometriche e formule di trasformazione Definire il radiante come unità di misura degli angoli e convertire le misure degli angoli da gradi a radianti e viceversa. Definire le funzioni goniometriche. Determinare il valore delle funzioni goniometriche per angoli particolari Applicare le formule goniometriche per la semplificazione di espressioni. Determinare il valore delle funzioni goniometriche di un angolo, nota una di esse. Tracciare il grafico di funzioni goniometriche a partire da quelli elementari applicando le relative formule. 1.2 Identità ed equazioni goniometriche Identità goniometriche Equazioni goniometriche elementari Equazioni riconducibili ad equazioni elementari Equazioni lineari in seno e coseno: risoluzione con le formule parametriche, il metodo grafico e metodo dell arco associato Equazioni omogenee e riconducibili ad omogenee. Altri tipi di equazioni goniometriche Sistemi di equazioni goniometriche Applicare le formule goniometriche per la verifica di identità. Risolvere equazioni goniometriche in un intervallo assegnato. Risolvere graficamente particolari equazioni goniometriche. Risolvere sistemi di equazioni goniometriche. 1.3 Disequazioni goniometriche Disequazioni goniometriche elementari Disequazioni omogenee ( risoluzione con metodo algebrico e metodo grafico) Disequazioni goniometriche frazionarie Disequazioni goniometriche risolvibili con metodi grafici Risolvere disequazioni goniometriche in un intervallo assegnato. Risolvere graficamente particolari disequazioni goniometriche, intere e fratte. 7

8 Tema 2 : Trigonometria 2.1 Misura dei cateti sapendo l ipotenusa e gli angoli adiacenti Misura di un cateto conoscendo l altro e gli angoli adiacenti Teoremi sui triangoli rettangoli Conoscere in un triangolo rettangolo, le relazioni tra ipotenusa, cateti, seno, coseno e tangente degli angoli acuti. Risolvere problemi relativi ai triangoli rettangoli. 2.2 Teoremi sui triangoli qualsiasi Teorema della corda Teorema dei seni Teorema delle proiezioni Teorema del coseno (o di Carnot) Area di un triangolo qualsiasi, note le misure di due lati e dell angolo compreso Stabilire se esiste un triangolo di assegnate caratteristiche e determinarne gli elementi incogniti. Risolvere problemi numerici applicando i teoremi della corda, dei seni, del coseno e dell'area. 2.3 Problemi di geometria piana e di trigonometria Risoluzione di semplici problemi nell ambito della geometria piana Impostare e risolvere problemi formalizzandoli con equazioni o disequazioni o studio di funzioni elementari o deducibili 2.4 Discussione del problema geometrico (metodo grafico) Sistemi misti e sistemi parametrici Impostare e discutere sistemi misti e parametrici Tema 3 : Numeri Complessi C come ampliamento di R e sua rappresentazione nel piano: numeri immaginari e complessi Forma algebrica e trigonometrica dei numeri complessi Operazioni tra numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale Radici n-esime dell unità Radici n-esime dei numeri complessi 3.1 Definizioni dei numeri complessi e operazioni fra essi Definire l'insieme dei numeri complessi. Risolvere un'equazione di secondo grado in C. Rappresentare nel piano un numero complesso. Eseguire le quattro operazioni sui numeri complessi in forma algebrica. Calcolare espressioni con numeri complessi. Scrivere e rappresentare un numero complesso in forma goniometrica. Eseguire moltiplicazione e divisione di numeri complessi in forma goniometrica. Calcolare e rappresentare le radici di un numero complesso. 8

9 Tema 4 : L algebra delle trasformazioni 4.1 Argomento Vettori e matrici Conoscenze/contenuti disciplinari Definizione di vettore e operazioni con i vettori geometrici Definizioni fondamentali e proprietà delle matrici Determinante di matrici quadrate e relativi teoremi Inversa di una matrice Caratteristica o Rango di una matrice Abilità Eseguire operazioni con i vettori. Conoscere la terminologia relativa alle matrici. Eseguire operazioni tra matrici. Comporre trasformazioni geometriche utilizzando le matrici. Calcolare il determinante di una matrice. Interpretare geometricamente il determinante di una matrice di ordine 2. Determinare l inversa di una matrice. Determinare il rango di una matrice Discutere il rango di una matrice dipendente da uno o due parametri. 4.2 Le affinità Affinità e matrici Le isometrie nel piano cartesiano La rotazione Il prodotto di trasformazioni Affinità e determinanti La similitudine Elementi uniti di un affinità Utilizzare la terminologia delle trasformazioni geometriche. Definire un affinità come corrispondenza biunivoca di un piano in sé. Studiare un affinità di assegnate equazioni. Associare ad una affinità una matrice quadrata. Definire affinità dirette e affinità inverse in relazione anche alle matrici loro associate. Determinare e riconoscere l'equazione di una rotazione. Determinare il corrispondente di un punto o di una curva in una data affinità o nella composizione di più affinità Determinare le equazioni di una affinità date due terne di punti corrispondenti Determinare, se esiste, una trasformazione che muta una nell altra due curve assegnate Riconoscere la similitudine come una particolare affinità e individuare le equazioni delle trasformazioni componenti. Definire punti uniti, invarianti, trasformazione inversa. 9

10 Tema 5 : Sistemi lineari Argomento Conoscenze/contenuti disciplinari 5.1 I sistemi lineari Definizioni e forma matriciale Metodo della matrice inversa La regola di Cramer Il metodo di riduzione Teorema di Rouche Capelli Sistemi omogenei Abilità Stabilire se un sistema assegnato e determinato, indeterminato o impossibile Risolvere i sistemi lineari utilizzando le matrici Risolvere sistemi lineari n n con il metodo di Cramer. Risolvere un sistema lineare n n per riduzione Discutere e risolvere sistemi lineari dipendenti da uno o due parametri Interpretare geometricamente sistemi lineari in due incognite Individuare minori e valutare il rango di una matrice. Conoscere il significato del teorema di Rouché-Capelli. Applicare il teorema nel caso di sistemi di m equazioni in n incognite. Risolvere sistemi omogenei Tema 6 : Funzioni esponenziali e logaritmiche 6.1 Argomento Potenze ad esponente reale Conoscenze/contenuti disciplinari Ampliamento del concetto di potenza Abilità Definire una potenza ad esponente reale. 6.2 La funzione esponenziale Funzione esponenziale, sue caratteristiche e relativo grafico Enunciare le caratteristiche della funzione esponenziale (a seconda del valore della base) Disegnare il grafico di una funzione esponenziale 6.3 Definizione di logaritmo Il logaritmo in base a di un numero Definire la funzione logaritmica e analizzarne le caratteristiche Definire il logaritmo di un numero reale positivo Calcolare il logaritmo di un numero esprimibile come potenza della base 6.4 La funzione logaritmica La funzione logaritmica, il suo grafico e relative caratteristiche le proprietà dei logaritmi cambiamento di base per un logaritmo Ricavare, a partire dalle proprietà delle potenze, le proprietà dei logaritmi Applicare le proprietà dei logaritmi per il calcolo di espressioni Disegnare il grafico di una funzione logaritmica 10

11 Determinare la funzione inversa di una funzione esponenziale o logaritmica e tracciarne il grafico 6.5 Equazioni e disequazioni esponenziali Definizione di equazione esponenziale Risoluzione delle equazioni elementari Le equazioni non elementari I sistemi di equazioni Disequazioni esponenziali Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali Risolvere graficamente particolari equazioni o disequazioni esponenziali 6.6 Equazioni e disequazioni logaritmiche Equazioni e disequazioni logaritmiche Risoluzione grafica di equazioni e disequazioni Risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche Risolvere graficamente particolari equazioni o disequazioni logaritmiche Tema 7 : Statistica descrittiva 7.1 Valori medi statistici (media aritmetica, geometrica, armonica, quadratica, moda, mediana) Misure di variabilità (scarti, deviazione standard) Introduzione alla statistica descrittiva Conoscere e calcolare i valori medi statistici e le misure di variabilità 7.2 Statistica descrittiva bivariata Tabelle a doppia entrata, distribuzioni statistiche congiunte,condizionate, marginali Indipendenza o dipendenza di due variabili statistiche, coefficiente di correlazione, retta di regressione. Conoscere e calcolare il coefficiente di correlazione, la retta di regressione di una serie di dati Tema 8 : Il calcolo combinatorio 8.1 Le disposizioni Le disposizioni semplici Riconoscere e calcolare le Il caso particolare delle permutazioni disposizioni semplici e con Le disposizioni con ripetizione ripetizione, le permutazioni 8.2 Le combinazioni Le combinazioni semplici Le combinazioni con ripetizione Il coefficiente binomiale Potenza di binomio Binomio di Newton Riconoscere e calcolare le combinazioni. Risolvere problemi applicando le formule del calcolo combinatorio Calcolare lo sviluppo della potenza di un binomio 11

12 Tema 9 : La probabilità 9.1 La probabilità La probabilità: definizione classica, Definire uno spazio degli eventi, frequentista e soggettiva riconoscendo gli eventi elementari Definizione assiomatica di probabilità Definire e calcolare la probabilità secondo la definizione classica Effettuare una stima della probabilità di un evento sulla base della frequenza I teoremi sulla probabilità Le variabili aleatorie Probabilità totale e probabilità composta Probabilità condizionata Il teorema di Bayes Prove ripetute e teorema di Bernoulli Che cos è una variabile aleatoria Il valore atteso La varianza e lo scarto quadratico medio Calcolare la probabilità di eventi definiti con i connettivi e, o, non Calcolare la probabilità di un evento, condizionata al verificarsi di un altro Stabilire se due eventi sono stocasticamente dipendenti Calcolare la probabilità di un evento utilizzando il calcolo combinatorio, gli assiomi della probabilità o i grafi ad albero. Applicare il teorema di Bayes per stabilire la probabilità che un evento sia causa di un altro Determinare la probabilità che in n prove indipendenti si abbiano k successi. Definire una variabile aleatoria e determinare il valore atteso, la varianza e lo scarto quadratico medio Tema 10 : Insiemi numerici e funzioni 10.1 Insiemi limitati e illimitati Estremo inferiore ed estremo superiore Intervalli e intorni Punti di accumulazione e punti isolati Gli insiemi di numeri reali Rappresentare e operare con intervalli in R. Riconoscere insiemi numerici limitati. Stabilire l estremo superiore (l estremo inferiore) di un insieme numerico limitato. Individuare massimo (minimo) di un insieme numerico limitato Funzioni reali di una variabile reale Applicazioni o funzioni Le funzioni reali di una variabile reale Estremo superiore e Inferiore Massimo e minimo di una funzione. Funzioni monotone, pari o dispari Funzioni periodiche. Il dominio di una funzione Funzioni composte Funzioni inverse Riconoscere una funzione reale. Fornire la definizione di dominio e di codominio di una funzione. Rappresentare il grafico di una funzione numerica Individuare nel grafico di una funzione gli zeri della funzione. Stabilire il campo di esistenza di semplici funzioni. 12

13 Il segno di una funzione Delimitare le regioni del piano cartesiano Riconoscere funzioni invertibili e costruire la funzione inversa. Tracciare il grafico della funzione Inversa. Determinare la funzione composta mediante due o più funzioni assegnate. Stabilire il dominio di funzioni composte mediante semplici funzioni. Distinguere le funzioni pari e dispari. Studiare il segno di una funzione. Tema 11 : Il concetto di limite ed i limiti delle funzioni 11.1 Definizioni di limite di una funzione Limite destro e limite sinistro Verifica del limite di funzioni razionali intere e fratte,irrazionali, logaritmiche ed esponenziali Il concetto di limite di una funzione Definizione di limite e interpretazione grafica. Verificare in base alla definizione, limiti di funzioni reali di una variabile reale Teoremi sui limiti Teoremi fondamentali sui limiti Teorema di unicità del limite Teorema della permanenza del segno Teorema del confronto Conoscere e dimostrare i teoremi sui limiti 11.3 I calcoli dei limiti Operazioni sui limiti: teorema della somma, della differenza, del prodotto, della funzione reciproca, del quoziente, del valore assoluto, della potenza Limiti che si presentano in forma indeterminata e tecniche per la loro risoluzione Effettuare il calcolo dei limiti precisando i riferimenti teorici e risolvendo le forme Indeterminate. Applicare i teoremi sui limiti Tema 12 : Successioni, progressioni e strutture algebriche 12.1 Le successioni Le successioni reali Definire una successione reale, Successioni limitate una successione limitata Successioni monotone superiormente; crescente; non decrescente; monotona Le progressioni Le progressioni aritmetiche e geometriche Relazione tra il primo elemento e l ultimo elemento Relazione tra due elementi qualsiasi Definire le progressioni aritmetiche e geometriche e individuare le rispettive proprietà 13

14 12.3 Le strutture algebriche Somma dei termini equidistanti dagli estremi in una progressione aritmetica Prodotto dei termini equidistanti dagli estremi in una progressione geometrica Somma dei termini di una progressione geometrica Calcoli delle somme quando il numero dei termini è infinito Definizione di struttura algebrica Le strutture algebriche con una sola operazione Le strutture algebriche con due operazioni Definire una struttura algebrica con una o due operazioni 12.4 Gli spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale Dipendenza ed indipendenza lineare Base di uno spazio vettoriale Definire uno spazio vettoriale e determinare una sua base Tema 13 : Limite di una successione 13.1 Le successioni convergenti Le successioni divergenti Le successioni irregolari Il comportamento delle successioni Definire una successione convergente. Definire una successione divergente Riconoscere successioni indeterminate Il calcolo del limite di una successione Le proprietà delle successioni Il calcolo dei limiti Verificare il limite di una successione numerica. Dimostrare e applicare i teoremi fondamentali sui limiti di successione. Operare con limiti di successioni numeriche. Tema 14 : Rette e piani nello spazio 14.1 Assiomi di incidenza tra punti, rette e piani Rette e piani nello spazio Esprimere attraverso una rappresentazione grafica l'intuizione geometrica nello spazio 14.2 Incidenza e parallelismo nello spazio Posizioni reciproche di due rette, di una retta e un piano e di due piani Conoscere le posizioni reciproche di una retta e di un piano nello spazio Conoscere le posizioni reciproche di due piani nello spazio 14.3 Perpendicolarità tra rette e piani Perpendicolarità tra retta e piano Teorema delle tre perpendicolari Distanza punto piano Definire la relazione di perpendicolarità tra retta e piano Conoscere il teorema delle tre perpendicolari 14

15 14.4 Diedri, angoloidi e triedri Il diedro Piani perpendicolari e angoli di due piani Angolo tra una retta e un piano Individuare l'angolo tra due piani incidenti e tra una retta e un piano 14.5 I poliedri Poliedri regolari Altri poliedri:prismi, piramidi. Misure di superfici Misure di volumi Conoscere e saper classificare i poliedri regolari e altri poliedri 14.6 I solidi di rotazione Cono Cilindro Sfera Misure di superfici Misure di volumi Conoscere e classificare i solidi di rotazione Risolvere problemi metrici riguardanti aree e volumi di solidi geometrici. Tema 15 : Informatica 15.1 Ripasso e approfondimento di strutture selettive ed iterative Strutture selettive ed iterative Utilizzo di ambienti di calcolo automatico e di programmazione per risolvere problemi di natura matematica e fisica 15.2 Algoritmi numerici iterativi Sviluppo di semplici algoritmi iterativi Sviluppare algoritmi iterativi con l uso di variabili vettore. Utilizzare ambienti di calcolo automatico, per risolvere problemi di natura matematica e fisica COMPETENZE IN USCITA AL QUARTO ANNO (*) Saper risolvere un triangolo qualunque; (*) Saper risolvere equazioni e disequazioni trascendenti; (*) Saper affrontare il calcolo dei limiti di una funzione e di una successione; (*) Conoscere i concetti fondamentali di probabilità e statistica; Saper applicare i concetti fondamentali di probabilità e statistica; (*) Saper esporre con semplicità e correttezza. Saper affrontare diverse situazioni problematiche scegliendo in modo consapevole e critico la strategia risolutiva. Saper elaborare informazioni e utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e/o strumenti informatici. Individuare la procedura più idonea per la risoluzione di un problema. Saper sviluppare le dimostrazioni di teoremi e proposizioni (*) Standard minimi 15

16 Classe V PNI Tema 1 : Le funzioni continue 1.1 Funzioni continue Concetto intuitivo di continuità di una funzione Definizione di continuità delle funzioni numeriche reali Operazioni tra funzioni continue La continuità delle funzioni elementari Le proprietà delle funzioni continue Teorema sulla continuità delle funzioni composte Il teorema di Weierstrass, il teorema degli zeri, il teorema di Bolzano La continuità delle funzioni invertibili Limiti notevoli Punti di discontinuità per una funzione Asintoti del diagramma di una funzione Tecniche per il calcolo degli asintoti e loro rappresentazione grafica Verificare, in base alla definizione, la continuità di funzioni semplici e composte Individuare e classificare i punti di discontinuità di una funzione senx Dimostrare il limite notevole lim = 1 x 0 x Riconoscere e utilizzare il limite notevole x 1 lim 1+ = e x x Conoscere le proprietà delle funzioni continue (permanenza del segno, somma algebrica, prodotto, ecc.) e delle funzioni composte. Applicare e conoscere il significato dei teoremi sulle funzioni continue: teoremi di Weiestrass, dei valori intermedi, di esistenza degli zeri. Continuità della funzione inversa. Determinare l esistenza di asintoti per il grafico di una funzione 1.2 La risoluzione approssimata delle equazioni Metodi per la determinazione delle radici di un equazione (o zeri di una funzione) Separazione delle radici di un equazione con metodi analitici Esempi di determinazione dei valori approssimati delle radici di un equazione con i vari metodi Utilizzare i metodi di bisezione, delle secanti o delle tangenti per individuare l intervallo al quale appartiene lo zero di una funzione Utilizzare metodi analitici per attuare la separazione delle radici di un equazione Infinitesimi ed infiniti Grafico di una funzione Infinitesimi e loro confronto Infiniti e loro confronto Il grafico probabile di una funzione Stabilire se una Stabilire se unafunzione è infinitesima [infinita] per x x 0 (per x + ) Confrontare infinitesimi [infiniti] Stabilire l ordine di infinito [infinitesimo] di una funzione rispetto ad un infinito campione [rispetto ad un infinitesimo campione]. Fare la previsione di grafico di una funzione dopo averne impostato lo studio 16

17 Tema 2 : Il calcolo differenziale e sue applicazioni 2.1 Il concetto di derivata Rapporto incrementale e definizione di derivata in un punto Esempi di funzioni continue ma non derivabili Significato geometrico della derivata Equazione della retta tangente ad una curva in un suo punto Derivata destra e sinistra di una funzione in un punto x 0 Relazione tra continuità e derivabilità Punti angolosi, cuspidi, punti a tangente parallela all asse y Calcolare, mediante la definizione, la derivata di funzioni semplici Associare al rapporto incrementale il suo significato geometrico Determinare l equazione della retta tangente e della normale ad una curva in un suo punto Definire la derivata destra e sinistra di una funzione in un punto x 0 Studiare l andamento grafico nell intorno di un punto di una funzione ivi continua ma non derivabile Individuare e classificare i punti di non derivabilità di una funzione 2.2 Derivata di una funzione La funzione derivata Derivate delle funzioni elementari e regole di derivazione Derivate delle principali funzioni Derivate della funzione composta e della funzione inversa Derivate di ordine superiore Il differenziale e il suo significato geometrico Determinare la funzione derivata prima Determinare la derivata della somma algebrica, del prodotto, del quoziente di funzioni Determinare la derivata delle funzioni composte e la derivata della funzione inversa Determinare la derivata delle funzioni elementari Determinare la derivata delle principali funzioni Calcolare le derivate successive di una funzione data Calcolare il differenziale di una funzione e interpretare geometricamente il suo significato 2.3 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale I teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e De L Hopital Le formule di Taylor e di Mac-Laurin Conoscere il significato dei teoremi di Rolle, di Cauchy e di Lagrange e saperli applicare Enunciare e applicare il teorema di De L Hôpital Risolvere forme indeterminate di limiti utilizzando il teorema di De l Hopital Approssimare funzioni per mezzo di polinomi: formule di Taylor e di MacLaurin 2.4 Esame di funzioni analitiche con il calcolo differenziale Funzioni crescenti e decrescenti Punti di massimo e minimo relativi e assoluti Concavità e convessità di una curva Punti di flesso Rappresentazione grafica di una funzione Determinare gli intervalli in cui una funzione è crescente o decrescente Determinare i punti di massimo e di minimo relativi per una funzione Stabilire condizioni necessarie e condizioni sufficienti per 17

18 Tema 3 : Gli integrali Problemi di massimo e di minimo l esistenza di punti di minimo o di massimo relativi Utilizzare il metodo delle derivate successive nella ricerca dei punti estremanti Ricercare i punti di massimo e di minimo assoluti Studiare la concavità di una funzione Determinare i punti di flesso Individuare e studiare le principali caratteristiche di una funzione e del suo diagramma nel piano cartesiano Ricavare da un contesto problematico, le informazioni necessarie a costruire una funzione e a studiarla 3.1 L integrale indefinito Primitiva di una funzione Integrale Determinare l integrale indefinito di indefinito e sue proprietà funzioni elementari Integrali indefiniti immediati Calcolare la classe di primitive di una Integrazione per decomposizione funzione utilizzando i dovuti metodi di Integrazione di funzioni razionali integrazione fratte Integrazione per sostituzione Integrazione per parti 3.2 L integrale definito e il problema delle aree Area del trapezoide Integrale definito e sue proprietà Teorema della media Funzione integrale e teorema di Torricelli Calcolo di aree e di volumi di solidi di rotazione e lunghezza di archi di curve Applicazioni di tipo fisico degli integrali Integrali generalizzati Eseguire il calcolo di integrali definiti Conoscere e applicare il teorema della media Costruire e studiare la funzione integrale Conoscere e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale Calcolare aree di superfici piane integrando sia rispetto a x che rispetto a y Calcolare volumi di solidi di rotazione e lunghezze di archi Dedurre dal grafico di una funzione quello della sua funzione integrale Effettuare applicazioni degli integrali in ambito fisico Conoscere il significato di integrazione in senso improprio e calcolare semplici integrali impropri 3.3 L integrazione numerica Calcolo approssimato di aree piane Il metodo dei rettangoli Il metodo dei trapezi Il metodo delle parabole La valutazione dell errore Calcolare approssimazioni di aree piane delimitate da archi di curva Utilizzare il metodo dei rettangoli, il metodo dei trapezi e il metodo di Cavalieri Simpson 18

19 Tema 4 : Le distribuzioni di probabilità Le prove ripetute e la distribuzione binomiale La distribuzione di Poisson La distribuzione normale La distribuzione normale come limite della binomiale La legge dei grandi numeri 4.1 Le distribuzioni di probabilità Tema 5 : Geometrie non euclidee Studiare e risolvere problemi relativi alle prove ripetute applicando la formula di Bernoulli Utilizzare particolari distribuzioni di probabilità per risolvere problemi Gli Elementi di Euclide I postulati Il V postulato di Euclide e la nascita delle geometrie non euclidee dal punto di vista elementare Modelli di geometria iperbolica nel piano: il modello di Poincaré e il modello di Klein 5.1 Le geometrie non euclidee Conoscere i modelli di Poincarè e il modello di Klein COMPETENZE IN USCITA AL QUINTO ANNO (*) Saper esporre con semplicità e correttezza; (*) Saper effettuare lo studio di funzioni; Risolvere problemi geometrici per via analitica e sintetica; (*) Saper sviluppare le dimostrazioni di teoremi e proposizioni relativi, in particolare, al calcolo differenziale e integrale; (*) Saper applicare i principali metodi di integrazione; Saper affrontare diverse situazioni problematiche scegliendo in modo consapevole e critico la strategia risolutiva; Saper elaborare informazioni e utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e/o strumenti informatici; Comprendere il valore strumentale della matematica per lo studio di altre scienze; (*) Standard minimi 19