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1 Dipartiento di Strutture T. ALBANESI C. NUTI ANALISI STATICA NON LINEARE (PUSHOVER) Taglio alla base [kn] Spostaento in soità [] D t V b Dispensa Maggio 2007 Toaso Albanesi e Caillo Nuti 1

2 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TRE Dipartiento di Strutture Via Corrado Segre n Roa - Italia Dispensa su ANALISI STATICA NON LINEARE (PUSHOVER) Toaso Albanesi * e Caillo Nuti Maggio, 2007 * Ricercatore, Dipartiento di Strutture, Università di Roa Tre, Via Corrado Segre n. 6, Roa, Italia, t.albanesi@uniroa3.it Professore ordinario, Dipartiento di Strutture, Università di Roa Tre, Corrado Segre n. 6, Roa, Italia, c.nuti@uniroa3.it 2 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

3 Indice: 1 PREMESSA INTRODUZIONE ANALISI DI SPINTA (PUSHOVER) CHE COS È ED IN COSA CONSISTE CURVA DI CAPACITÀ LINEARIZZAZIONE DELLA CURVA DI CAPACITÀ CONVERSIONE DI MDOF IN SDOF EQUIVALENTE PROFILO DI CARICO FISSO Profili di carico uni-odale Profili di carico ulti-odale CASI PARTICOLARI DELLA ANALISI DI SPINTA VALUTAZIONE DEL PUNTO DI FUNZIONAMENTO PRINCIPIO DI UGUALE ENERGIA ED UGUALE SPOSTAMENTO METODO CSM Generalità Procedura METODO CSM SEMPLIFICATO Procedura ANALISI DI SPINTA MODALE ANALISI STATICA NON LINEARE SECONDO OPCM N GENERALITÀ PROCEDURA ANALISI DI PUSHOVER CON IL SAP CARATTERISTICHE DEL TELAIO MODELLO GLOBALE Creazione di un nuovo odello Scelta del odello tipo Definizione delle caratteristiche globali del odello VINCOLI A TERRA MATERIALI SEZIONI Definizione delle sezioni degli eleenti Assegnazione delle sezioni degli eleenti CARICHI Definizione dei tipi di carico Assegnazione dei carichi MASSE CERNIERE PLASTICHE Definizione delle cerniere plastiche Assegnazione delle cerniere plastiche DEFINIZIONE DEL TIPO DI ANALISI Analisi statica lineare Analisi odale Analisi statica non lineare (pushover) Analisi di pushover per carichi verticali Analisi di pushover per carichi orizzontali RISULTATI DELL ANALISI DI PUSHOVER Curva di pushover Deforata globale Caratteristiche della sollecitazione RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 3

4 1 PREMESSA Questa dispensa riguarda aspetti teorici ed applicativi dei etodi di analisi statici non lineari. Non intende essere un testo esaustivo sull argoento a una guida introduttiva all uso di tali etodi. Vengono richiai alcuni concetti di dinaica e di eccanica delle strutture necessari per la coprensione di tali etodi entre si rianda a testi specializzati per eventuali approfondienti. Il problea viene affrontato partendo dai più seplici sistei ad un grado di libertà per poi passare a quelli più coplessi a più gradi di libertà tipicaente utilizzati nell analisi strutturale. Due sono i principali argoenti che stanno alla base della analisi statica non lineare e che vengono discussi: l analisi di spinta o analisi di pushover (capitolo 3); valutazione del punto di funzionaento (capitolo 4). Si presenta inoltre il etodo di analisi statica non lineare indicato nella recente OPCM n (capitolo 5). Al terine della trattazione degli aspetti teorici, con riferiento ad un seplice esepio di telaio piano in c.a., si descrive coe ipostare tale tipo di analisi nel codice di calcolo SAP 2000 (capitolo 6) al fine di fornire uno struento di pratico utilizzo. Per analizzare la risposta sisica di una struttura reale è necessario innanzitutto costruire un odello ateatico in grado di cogliere adeguataente le caratteristiche geoetriche e eccaniche della struttura in esae includendo sia gli effetti delle non linearità del ateriale sia gli effetti del secondo ordine qualora essi assuano un valore non trascurabile. Il problea della odellazione strutturale è fondaentale per una corretta analisi strutturale a esula dalle finalità di questo docuento per cui si rianda ad altri testi per una sua esaustiva trattazione. 4 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

5 2 INTRODUZIONE Per ottenere una previsione accurata e realistica della risposta sisica di una struttura è necessario disporre di struenti di analisi che perettano di coglierne il coportaento non lineare e la sua evoluzione nel tepo. L analisi dinaica non lineare al passo è indubbiaente lo struento più copleto ed efficace (assuendo ovviaente che il odello strutturale riproduca con accuratezza il sistea reale): la risposta della struttura viene deterinata ediante integrazione al passo delle equazioni del oto di un sistea a olti gradi di libertè (MDOF) non lineare. Questa presenta però alcuni aspetti che ne ipediscono un diffuso ipiego nella pratica professionale: la scelta dei paraetri che intervengono è delicata ed influenza sensibilente i risultati dell analisi stessa; sono necessarie nuerose analisi ipiegando differenti accelerograi opportunaente selezionati per ottenere un risultato rappresentativo della risposta attesa; l accuratezza dell analisi va a scapito della seplicità e della rapidità di esecuzione; l interpretazione dei risultati è coplessa ed onerosa. I codici sisici consentono infatti di utilizzare analisi elastiche lineari (statiche e dinaiche) che conseguenteente, pur con i relativi liiti, risultano ancora procedure largaente diffuse. Un alternativa attraente, recenteente introdotta anche in norativa, è l uso di procedure di analisi statiche non lineari che, pur conservando la notevole seplicità d uso e di interpretazione dei risultati tipica delle analisi statiche lineari, consentono stie più realistiche ed affidabili della risposta strutturale anche in capo non lineare. In effetti, è sepre più frequente la loro applicazione sia nella progettazione che nella verifica strutturale. Questo tipo di analisi coprende essenzialente due aspetti: 1. la deterinazione di un legae forza-spostaento (curva di capacità o curva di pushover), rappresentativo del reale coportaento onotono della struttura, per la cui definizione si richiede un analisi di spinta o di pushover (capitolo 3); 2. la valutazione dello spostaento assio o punto di funzionaento (perforance point) raggiunto dalla struttura a fronte di un evento sisico definito traite uno spettro di risposta elastico in accelerazione (capitolo 4). L analisi di spinta consente quindi di descrivere il coportaento della struttura traite un seplice legae onodiensionale forza-spostaento detto curva di capacità. In tal odo l analisi della risposta della struttura viene ricondotta a quella di un sistea ad un solo grado di libertà (SDOF) equivalente alla struttura di partenza. I etodi statici non lineari perettono di individuare lo spostaento assio di tale sistea SDOF equivalente e quindi la risposta della struttura (punto prestazionale) soggetta ad un evento sisico descritto dal relativo spettro di risposta in accelerazione. In letteratura sono presenti vari approcci all analisi statica non lineare a i caratteri essenziali sono sepre quelli sintetizzati in Tabella 2.1. Doand a Capacità Risposta Verifica definizione di uno spettro di risposta copatibile con l azione sisica attesa nel sito definizione del odello ateatico MDOF della struttura e delle relative non linearità esecuzione di una analisi di pushover definizione dei un sistea SDOF equivalente definizione di un criterio per considerare gli effetti del coportaento ciclico della struttura deterinazione della risposta del sistea SDOF equivalente conversione delle risposta del sistea SDOF equivalente in quella del sistea MDOF definizione dell obiettivo prestazionale: stati liite corrispondenti ad un evento sisico di data intensità verifica della accettabilità della risposta globale e locale Tabella 2.1. Aspetti significativi dell analisi statica non lineare. Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 5

6 3 ANALISI DI SPINTA (PUSHOVER) L analisi di pushover, originariaente forulata per sistei ad un grado di libertà (e.g. Freean et al., 1975; Shibata and Sozen, 1976; Saiidi and Sozen, 1981; Fajfar and Fischinger, 1989 e olti altri), è attualente estensivaente utilizzata per il displaceent-based assessent di edifici ultipiano regolari ed irregolari nonché per strutture di ponti (e.g. Kappos et al., 2004; Aydinoglu, 2004; Kappos et al., 2005). Per questo tipo di analisi sono state suggerite differenti forulazioni; un riepilogo esaustivo anche con indicazione dei pro e dei contro di ciascuna forulazione è presentata nel FEMA 440 (ATC, 2005). 3.1 Che cos è ed in cosa consiste L analisi di pushover o analisi di spinta (letteralente pushover significa spingere oltre ) è una procedura statica non lineare ipiegata per deterinare il coportaento di una struttura a fronte di una deterinata azione (forza o spostaento) applicata. Essa consiste nello spingere la struttura fino a che questa collassa o un paraetro di controllo di deforazione non raggiunge un valore liite prefissato; la spinta si ottiene applicando in odo increentale onotono un profilo di forze o di spostaenti prestabilito. In sostanza l analisi di spinta è una tecnica di soluzione increentale-iterativa delle equazioni di equilibrio statico della struttura in cui la forzante è rappresentata dal sistea di spostaenti o forze applicato. L analisi di spinta consente di definire un legae scalare forza-spostaento caratteristico del sistea studiato, detto curva di capacità (capitolo 3.2), che perette di ricondurre la ricerca dello spostaento assio di un sistea soggetto ad una certa azione esterna a quella di un sistea SDOF equivalente. Nel caso di sistei SDOF l analisi di spinta è particolarente intuitiva. Un sistea SDOF può essere idealizzato coe una assa concentrata sorretta da un eleento privo di assa con rigidezza laterale k e collegato ad un eleento (privo di assa e rigidezza) responsabile dello sorzaento. La configurazione deforata (o capo di spostaento) del sistea è definita quindi da un unico paraetro che può identificarsi con lo spostaento relativo della assa rispetto al suolo (spostaento orizzontale D t in Figura 3.1). F o D D t k V b Figura 3.1. Scheatizzazione di sistea ad un grado di libertà (SDOF). Un caso evidente di struttura riconducibile ad un sistea SDOF è quello delle pile da ponte che possono considerarsi, con buona approssiazione, pendoli rovesci ossia oscillatori seplici in cui la totalità della assa (ipalcato, pulvino e fusto della pila) è concentrata in testa entre la rigidezza del sistea può attribuirsi ad un eleento di assa nulla (il fusto della pila stessa). In questi seplici casi, l analisi di spinta consiste nell applicare alla assa del sistea uno spostaento D o una forza F la cui intensità viene gradualente increentata nella direzione dell unico grado di libertà disponibile. Il valore iniziale della forza o dello spostaento non ha ovviaente iportanza. Le espressioni che definiscono la forzante (intesa in senso generalizzato coe forza o spostaento) possono espriersi coe: D = αd (3.1) F = βf (3.2) Dunque, fissato arbitrariaente il valore di d o f, il fattore oltiplicativo α o β viene gradualente increentato da zero fino ad un valore finale che peretta di investigare il capo di risposta di interesse per il sistea in esae. Ad ogni valore di α o β corrisponde quindi un valore di D o F che rappresenta lo spostaento o la forza applicati alla assa del sistea. 6 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

7 Il coportaento del sistea è definito da un legae forza-spostaento in cui la forza coincide con il taglio alla base V b e lo spostaento con quello della assa D t : nel caso di analisi a forze iposte (F è la forza applicata ad ): V b =F e D t =D essendo D lo spostaento di prodotto da F; nel caso di analisi a spostaenti iposti (D è lo spostaento applicato ad ): D t =D e V b =F essendo F la reazione vincolare risultante; Nel caso di sistei MDOF, l approccio è siile con la differenza che la struttura viene spinta applicando un profilo di forze o di spostaenti orizzontali in corrispondenza di ciascun piano (Figura 3.2) e che, per descrivere il coportaento dell intero sistea in terini di legae forza-spostaento, è necessario scegliere un solo paraetro di forza ed un solo paraetro di spostaento. La scelta di tali paraetri non è univoca e può dar luogo a differenti legai forza-spostaento ossia a differenti legai costitutivi del sistea SDOF equivalente detti curva di capacità. Solitaente, coe paraetri di forza e di deforazione, si selezionano il taglio alla base e lo spostaento del baricentro dell ultio piano dell edificio anche se, in realtà, questa scelta non ha un preciso fondaento teorico a è più probabilente un retaggio delle originarie applicazioni di questa tecnica alle pile da ponte delle quali si onitorava, per ovvie ragioni, lo spostaento in soità. In effetti lo spostaento in soità non sebra essere sepre un paraetro affidabile. D t V b Figura 3.2. Applicazione dell analisi di spinta ad un telaio. In una analisi di spinta basata sugli spostaenti o sulle forze si ipone alla struttura, in odo increentale, un profilo di spostaenti D=(D 1 D 2 D j D n ) T o di forze F=(F 1 F 2 F j F n ) T a livello di piano che possono essere definite da un vettore di fora d o f oltiplicato per un fattore di scala α o β: D = αd (3.3) F = βf (3.4) dove d=(d 1 d 2 d i.. d n ) T e D i =αd i è lo spostaento del piano i-esio oppure f=(f 1 f 2 f i... f n ) T e F i =βf i è la forza di piano i-esia. Per descrivere il coportaento del sistea attraverso una legae scalare forza-spostaento P-U (detto curva di capacità) si scelgono couneente il taglio alla base ed lo spostaento D j del piano j-esio coe ad esepio quello in soità D t : U = P = 1 F D j T (3.5) Considerando che l obiettivo è di siulare la risposta dinaica della struttura, sorge la questione se l analisi di spinta debba essere condotta applicando una sistea di spostaenti o di forze. Se la struttura avesse un coportaento elastico lineare i due approcci condurrebbero agli stessi risultati a la presenza di effetti anelastici coporta una sensibile differenza tra le due alternative. Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 7

8 Concettualente l analisi dinaica viene condotta con le forze inerziali per cui l analisi di spinta a forze iposte sebrerebbe più appropriata a, in un analisi dinaica, perfino quando un odo è doinante, l andaento delle forze di piano non riane inalterata (ossia non variano proporzionalente ad un fattore costante), per cui applicare una distribuzione di forze constante non è counque esatto; inoltre possono sorgere difficoltà nel condurre analisi anelastiche stabili con controllo in forze, poiché queste non sono in grado di cogliere un eventuale coportaento softening della struttura né di seguire accurataente risposte associate a rigidezze olto piccole, per cui può essere preferibile eseguire analisi a spostaenti controllati. Di contro, lavorando a spostaenti iposti, si vincola la deforata della struttura, per cui si rischia di conseguire capi di forze copletaente errati rispetto a quelli attesi in una struttura libera di deforarsi a fronte dell evento sisico e quindi a risultati seriaente fuorvianti. Counque, l approccio basato sulle forze è quello che ha attirato aggiorente l interesse tra ricercatori ed ingegneri professionisti anche perché di facile ipleentazione su tutti i più couni prograi di calcolo. 3.2 Curva di capacità Il risultato più iediato di un analisi di pushover è la definizione della curva di capacità (o curva di pushover) della struttura ossia della curva forza-spostaento espressa, solitaente, in terini di taglio alla base (V b ) e spostaento in soità (D t ) (Figura 3.3) che rappresenta appunto la capacità esibita dal sistea a fronteggiare una certa azione esterna. Considerando un sistea SDOF, l andaento della curva di capacità dipende dalla rigidezza k o dalla flessibilità k -1 del sistea che a loro volta dipendono essenzialente dalle caratteristiche geoetriche e eccaniche del sistea e sono funzioni non lineari rispettivaente dello spostaento e della forza applicata al sistea: D F = k( D) oppure k( ) V = (3.6) b D t 1 1 = k ( F) oppure D k ( ) = (3.7) t V b In Figura 3.3 sono diagraati i legai forza-spostaento ossia le curve di capacità rappresentativi di tre coportaenti ebleatici caratterizzati da un iniziale coportaento elastico lineare fino alla soglia di snervaento (rappresentato da un rao sostanzialente lineare) seguito da un coportaento post-elastico non lineare incrudente (i), perfetto (p) o degradante (d). F F=k(D) i p d D Figura 3.3. Curva di capacità di un sistea reale. Nel caso più coplesso, a di aggiore interesse, di sistei MDOF la curva di capacità ostra andaenti analoghi caratterizzati ancora da un tratto inizialente rettilineo, corrispondente al coportaento lineare della struttura, che si incurva quando inizia la plasticizzazione e la risposta progredisce in capo non lineare. La capacità di una struttura dipende dalle capacità di resistenza e di deforazione dei suoi singoli coponenti. La curva di capacità definisce la capacità della struttura indipendenteente da qualsiasi specifica richiesta sisica (infatti non si fa riferiento alcuno all azione sisica) e quindi descrive le caratteristiche intrinseche del sistea resistente; in altre parole è una sorta di legae costitutivo seplificato della struttura. Trattandosi di un legae scalare forza-spostaento il coportaento del sistea MDOF viene così ricondotto sostanzialente a quello di un sistea SDOF che può ragionevolente definirsi equivalente dato che la curva di capacità è stata costruita tenendo conto del coportaento dell intero sistea MDOF. 8 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

9 Quando un terreoto induce uno spostaento laterale sulla struttura la sua risposta è rappresentata da un punto su tale curva e, poiché la deforazione di tutti i suoi coponenti è correlata allo spostaento globale della struttura stessa, ogni punto di questa curva definisce anche uno specifico stato di danno strutturale. 3.3 Linearizzazione della curva di capacità Quando si intende analizzare la risposta di strutture reali, si può ulteriorente seplificare il problea linearizzando a tratti la risposta del sistea, e quindi la sua curva di capacità, adottando approssiazioni bilineari o trilineari coe ostrato a titolo di esepio in Figura 3.4. F F D D Figura 3.4. Linearizzazioni (a) bilineari e (b) trilineari della curva di capacità di un sistea reale. Si osservi che le linearizzazioni ostrate in Figura 3.4 presentano lo stesso tratto elastico lineare e lo stesso punto di prio snervaento. Questo è solo un odo scelto per presentare alcune possibili linearizzazioni e non una condizione necessariaente da rispettare. Infatti non esiste un unico criterio per linearizzare la curva di capacità. Per esepio, coe verrà ostrato nel seguito, etodi differenti di analisi statica non lineare ipiegano differenti criteri. In linea di principio l approssiazione è tanto più accurata quanto più il tratto lineare segue da vicino il reale andaento curvilineo nell intorno del punto che rappresenta la risposta attesa. A titolo eseplificativo in Figura 3.5 sono ostrate alcune differenti linearizzazioni della stessa curva di capacità. F D Figura 3.5. Linearizzazioni differenti della curva di capacità di un sistea reale. Il coportaento del sistea può quindi essere idealente scheatizzato con un rao elastico lineare fino allo snervaento e con un rao post-elastico incrudente (i), perfetto (p) o degradante (d). Le curve diagraate in Figura 3.6 rappresentano i relativi legai forza-spostaento ossia le rispettive curve di capacità. Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 9

10 F βf F y βf F=k(D) i p d D y αd D u D Figura 3.6. Sistea ad un grado di libertà: coportaento elasto plastico incrudente (i), degradante(d) e perfetto (p). Questa rappresentazione consente di identificare la resistenza e lo spostaento globali noinali della struttura: in particolare la resistenza di snervaento F y, la rigidezza elastica efficace k e e la rigidezza post-elastica k p =pk e (il rapporto di incrudiento p risulta positivo, negativo o nullo rispettivaente nel caso incrudente, degradante o perfetto. Coe accennato, sono disponibili nuerosi criteri per definire linearizzare la curva di capacità. Nel CSM (ATC-40, descritto dettagliataente nel paragrafo 4.2) la rappresentazione bilineare è relativa ad un punto di presunto funzionaento PP del sistea e si fonda su un criterio di equivalenza energetica (principio di uguale energia): il prio tratto della bilineare è una linea passante per l origine con pendenza definita dalla rigidezza iniziale del sistea ed il secondo è una linea passante per PP e pendenza tale che l area sottesa dalla bilineare sia equivalente a quella sottesa dalla curva di capacità (A 1 =A 2 in Figura 3.7). La curva di capacità bilineare, per un certo spostaento D, risulta copletaente definita da tre paraetri: la rigidezza elastica iniziale k e che risulta proporzionale alla tangente all origine alla curva di capacità; la forza di snervaento F y ; il fattore d incrudiento p pari al rapporto tra la rigidezza post-elastica e quella elastica; ediante la seguente relazione: ked F = Fy + pk e ( D D ) = F ( 1+ pµ p) y y D D D > D y y (3.8) k e pk e F PP PP CC CC bilineare A 1 =A 2 A 2 F y A 1 D y D PP Figura 3.7. Rappresentazione bilineare della curva di capacità (usata nel CSM). 10 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

11 3.4 Conversione di MDOF in SDOF equivalente L analisi statica di pushover non ha un fondaento teorico rigoroso cosicché procedure differenti, che pur conducono a risultati abbastanza diversi tra loro, sono largaente usate ed accettate. L assunto di base sul quale poggia l analisi di spinta è che la risposta della struttura sia doinata da un solo odo e che la fora di questo odo resti costante durante la storia teporale della risposta stessa. Entrabe le assunzioni non sono esatte, a nuerosi studi in erito hanno ostrato che queste supposizioni conducono a stie abbastanza buone della risposta sisica assia di sistei MDOF, purché la loro risposta sia doinata dal prio odo. La forulazione del sistea SDOF equivalente al sistea MDOF non è unica, a le assunzioni couni a tutti gli approcci sono le seguenti: il profilo di spostaenti della struttura ossia l andaento della deforata del sistea MDOF u viene descritto con un vettore di fora φ la cui apiezza varia nel tepo traite una coordinata generalizzata q(t) (etodi uniodali) oppure con una cobinazione lineare di vettori di fora φ (tra loro ortogonali) la cui apiezza varia nel tepo traite le corrispondenti coordinate generalizzate q (t) (etodi ulti-odali). I vettori di fora adottati nei etodi uni-odali o nei etodi ulti-odali possono rianere invarianti e cioè costanti durante l intera storia teporale indipendenteente dal livello di deforazione (etodi non adattivi) o possono essere odificati in funzione delle caratteristiche correnti del sistea (etodi adattivi); il legae forza-spostaento caratteristico del sistea SDOF equivalente viene deterinato attraverso una analisi di pushover condotta sul sistea MDOF: il profilo di carico applicato (etodi uni-odali) o i profili di carico applicati (etodi ulti-odali) sono proporzionali, attraverso la atrice delle asse M, rispettivaente al vettore di fora φ o ai vettori di fora φ solitaente noralizzati ad uno spostaento unitario in soità dell edificio. Tabella 3.1. Metodi Non adattivi Adattivi Uni-odali φ=costante t φ(t) variabile con t q(t) q(t) Multi-odali φ =costante t φ (t) variabile con t q (t) q (t) Approcci per la conversione di sistei MDOF in sistei SDOF equivalenti. Si osserva che si può scegliere una qualunque fora ragionevole per φ o φ a solitaente si adottano le fore odali del sistea MDOF. In particolare nei etodi uni-odali φ=φ 1 rappresenta la pria fora odale. Nei etodi adattivi è necessario ridefinire i vettori di fora quando si verifica un cabiaento significativo delle caratteristiche del sistea resistente a seguito del progresso della plasticizzazione del sistea stesso. Il sistea di equazioni differenziali accoppiate che governa il oto di un sistea MDOF non lineare si può scrivere in fora atriciale coe segue: ( u u& ) = MIu& & g Mu& + Cu& + F, (3.9) dove M, C ed F sono rispettivaente la atrice delle asse, la atrice di sorzaento ed il vettore delle forze resistenti interne del sistea, I è il vettore d influenza del oto del terreno e u& & g è l accelerazione del terreno. Si osserva che F dipende sia dagli spostaenti u che dalla storia degli spostaenti traite u&. Inoltre: eff ( t) = u ( t) F MI&& (3.10) definisce le forze sisiche efficaci ossia il vettore delle forze indotte dal terreoto. La distribuzione spaziale delle forze sisiche inerziali è descritta dal vettore di fora: g Ψ = MI (3.11) Nel seguito si ostra coe l analisi del sistea MDOF possa essere ricondotta a quella di un sistea SDOF equivalente trattando il caso di approccio ulti-odale. Si osserva che l approccio ulti-odale è una estensione dell approccio uni-odale: le relazioni presentate nell approccio ulti-odale per il singolo odo -esio coincidono con quelle dell approccio uni-odale. Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 11

12 La seguente trattazione resta valida anche nel caso di etodi adattivi purché si consideri riferita ad un intervallo di tepo in cui le caratteristiche del sistea non subiscono variazioni significative. L andaento della deforata del sistea MDOF u(t) viene descritto coe cobinazione lineare di vettori di fora φ (tra loro ortogonali) la cui apiezza varia nel tepo traite le corrispondenti coordinate generalizzate q (t): N () t = Φq() t = φ q () t u (3.12) = 1 I vettori di fora φ possono rianere costanti durante l intera storia teporale indipendenteente dal livello di deforazione (etodi non adattivi) o possono essere odificati in funzione delle caratteristiche correnti del sistea (etodi adattivi). Sostituendo la (3.12) nella (3.9) si ricava l -esia equazione del sistea MDOF in coordinate generalizzate: N N (, &) φ q&& + φ q& + = u&& (3.13) M C F u u MI g = 1 = 1 Preoltiplicando abo i terini per φ T e ricordando la proprietà di ortogonalità, si ricava: (, &) φ φ && φ φ & φ φ && (3.14) T T T T M q + C q + F u u = MIug Posto: la (3.14) diventa: L T = φ MI M φ Mφ M q& T T = C = φcφ Γ = (3.15) M T ( u &) = Γ M u& g + C q& + φ F, u (3.16) L Dalla (3.16) si deduce che, quando la struttura oscilla in capo inelastico, anche se classicaente sorzata, la forza resistente interna F riane ancora funzione dell intero vettore di spostaento u=φq per cui le equazione del oto non sono disaccoppiate. Dato che per sistei elastici lineari risulta q r (t)=0 per r, appare ragionevole assuere che, anche in capo non lineare, quando l eccitazione è proporzionale al odo -esio, la risposta sia ancora prevalenteente fornita dallo stesso odo (u(t) φ q (t)). Trascurare l accoppiaento tra le coordinali odali dovuto alla plasticizzazione del sistea iplica che le equazioni odali siano disaccoppiate: Posto: M q& la (3.17) può riscriversi coe: dove: ω = K M ν T ( φq q& ) = Γ M u& g + C q& + φ F, φ (3.17) q D = (3.18) Γ (, ) F% D D& D&& + 2νωD& + = u&& g() t (3.19) L C 2M ω ~ T = F ( D, D& ) φ F( Γ D φ, Γ D& φ ) = (3.20) La (3.19) è l equazione del oto di un SDOF non lineare le cui caratteristiche dinaiche (frequenza naturale ω (T =2π/ω ) e rapporto di sorzaento ν ) sono quelle dell -esio odo del sistea MDOF lineare ed il legae costitutivo forza-spostaento è dato dalla relazione F ~ /L -D tra la forza resistente e la coordinata odale D. 12 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

13 La relazione non lineare forza-spostaento F ~ /L -D dovrebbe deterinarsi attraverso una analisi di pushover della struttura a spostaenti iposti crescenti u=γ D φ. Dato che la aggior parte dei prograi di calcolo disponibili in coercio lavora a forze iposte, è preferibile individuare una opportuna distribuzione di forze per eseguire la necessaria analisi di pushover. Per sistei non lineari non esiste però una distribuzione di forze invariante capace di produrre spostaenti proporzionali a φ per qualunque entità delle forze in gioco. Una scelta razionale è counque quella di adottare la distribuzione di forze che produrrebbe spostaenti proporzionali a φ aleno in capo elastico lineare. ( ) = = Γ D = ω 2 Γ D = λ( D ) = λ( D ) F u Ku K φ M φ Mφ Ψ (3.21) Si esegue quindi una analisi di pushover con una distribuzione di carico proporzionale, attraverso la atrice delle asse M, alla fora -esia φ : ( D ) = λ ( D ) F Mφ (3.22) e si ricava la curva di capacità della struttura u t -V b diagraando le forze di richiao non lineari del sistea in funzione degli spostaenti orizzontali del punto di controllo (Figura 3.8a). Essendo: T T T T ( ) I F( ) ( I M ) λ( ) Γ M λ( ) Γ F ( ) Γ % ( ) V = V D = D = φ D = φ φ D = φ D = F D (3.23) b b il legae costitutivo del sistea SDOF equivalente risulta (Figura 3.8b): D ut = Γ φ t ( ) F% D Vb = L Γ L (3.24) V b F ~ /L ω 2 u t D t Figura 3.8. Definizione del legae costitutivo del sistea SDOF a partire dalla curva di capacità della sistea MDOF. Il legae costitutivo bilineare del sistea SDOF presenta un punto di snervaento: D La pendenza iniziale risulta quindi: y ty = u Γ φ t ( ) F% y D Vby = L Γ L T T 2 ( ) I F I ω F % y D Vby 1 1 MΓDy 1 = = = φ = ω L D Γ L D Γ L D Γ L D y y y y 2 (3.25) (3.26) Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 13

14 3.5 Profilo di carico fisso I profili di carico intendono rappresentare e deliitare la distribuzione di forze inerziali, indotte da un terreoto, che varia con la severità del sisa (estensione delle deforazioni plastiche) e con il tepo durante il sisa stesso. Quindi, il grado di accuratezza dell analisi è sensibile al profilo di carico applicato. Si possono distinguere essenzialente due tipi di profili di carico: quelli fissi o invarianti e quelli adattivi. Quando una struttura plasticizza, l ipiego di profili di carico invarianti conduce a valutazioni della risposta della struttura ancor più approssiate sebbene tale approssiazione sia ancora buona per strutture basse o edioalte in cui gli effetti dei odi alti sono probabilente inii e la plasticizzazione ben distribuita in altezza [Saiidi and Sozen 1981, Miranda 1991, Lawson et al. 1994, Fajfar and Gašperšic 1996, Maison and Bonowitz 1999, Gupta and Krawinkler 1999, Gupta and Krawinkler 2000, Skokan and Hart 2000, Krawinkler and Seneviratna 1998]. Counque nessun profilo di carico fisso è in grado di tenere conto della ridistribuzione delle forze inerziali dovuta alla plasticizzazione e di seguire le variazioni delle proprietà vibrazionali della struttura. Per superare tali liiti, nuerosi ricercatori hanno proposto distribuzioni di carico adattive che cercano di seguire eglio le distribuzioni di forze inerziali che variano nel tepo [Fajfar and Gašperšic 1996, Bracci et al. 1997, Gupta and Kunnath 2000]. Dato che in strutture alte ed irregolari, la deforata della struttura e la distribuzione di forze inerziali possono discostarsi dalla fora del prio odo, sono stati fatti tentativi per considerare nell analisi di spinta anche i odi di vibrare superiori [Gupta and Kunnath 2000, Paret et al. 1996, Sasaki et al. 1998, Kunnath and Gupta 2000, Matsuori et al. 1999]. Molti ricercatori hanno discusso le ipotesi base e le liitazioni delle analisi di spinta tra cui Albanesi (2001), Albanesi et al. (2001, 2002, 2004), Elnashai (2001), Fajfar e Gašperšic (1996), Gupta e Krawinkler (1999), Maison e Bonowitz (1999), Reinhorn (1997), Skokan e Hart (2000). L uso di un profilo di carico fisso o invariante nel tepo iplica l assunzione che la distribuzione di forze inerziali rianga sostanzialente costante durante l evento sisico e che le deforazioni assie ottenute con tale profilo siano confrontabili con quelle attese durante il terreoto. Queste ipotesi sono ragionevoli se la risposta strutturale non è significativaente influenzata dagli effetti dei odi superiori e se la struttura ha un unico eccaniso di snervaento. In questi casi, l uso di profili di carico costanti conduce a stie adeguate delle richieste di deforazione. Il generico profilo di carico fisso può descriversi coe segue: ( t) F =Ψλ (3.27) dove Ψ è un vettore di fora costante che definisce l andaento in altezza delle forze inerziali e λ è un fattore oltiplicativo che definisce l apiezza delle forze applicate in funzione del passo t dell analisi. Nel seguito si presentano alcune delle nuerose proposte presenti in letteratura per la definizione dei profili di carico fissi e quindi per la definizione del vettore di fora Ψ. L ipiego di profili di carico fissi deterina counque risultati approssiati e, in particolare per strutture con periodi lunghi e con eccanisi di snervaento localizzati, può addirittura portare a previsioni fuorvianti. Per tale otivo si raccoanda (Krawinkler, 1998; FEMA-273, 1997, FEMA-356, 2000) l uso di aleno due profili di carico che ci si aspetta possano inviluppare la distribuzione di forze inerziali. Quindi, si applicano dappria i carichi verticali e poi aleno due profili di carico laterale. Uno dovrebbe essere un profilo di carico unifore, ossia con forze di piano proporzionali alle asse di piano, che esalta le richieste nei piani più bassi rispetto a quelle nei piani più alti ed accresce l iportanza delle forze di taglio di piano rispetto ai oenti ribaltanti: ( M) Ψ = diag ossia i = i Ψ (3.28) Questa distribuzione di forze è ovviaente unifore solo se tutte le asse di piano sono uguali. L altro dovrebbe essere un profilo di carico uni-odale o ulti-odale (che considera gli effetti dei odi superiori) coe uno di quelli descritti nel seguito Profili di carico uni-odale Per edifici bassi e regolari, la cui risposta è doinata dal prio odo di vibrare, si può usare una distribuzione di carichi laterali statici equivalenti lineare (triangolare invertita se le asse di piano sono tutte uguali) coe quella proposta nei Codici: Ψ = MH ossia Ψ i = ihi (3.29) 14 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

15 od una rappresentativa delle forze associate alla pria fora odale (distribuzione odale fondaentale): Ψ = Mφ 1 ossia Ψ i = iφ 1 i (3.30) dove M=atrice diagonale delle asse sisiche di piano ( i =assa sisica del piano i-esio), H=vettore delle altezze h i di i rispetto alla base, φ 1 =pria fora odale (φ 1i =coponente di φ 1 al piano i-esio). Questa distribuzione corrisponde alle forze inerziali che si sviluppano nella struttura in capo elastico. Per edifici alti, l influenza dei odi di vibrare superiori può non essere più trascurabile ed il odo di vibrare fondaentale cade approssiativaente tra una linea retta ed una parabola con vertice alla base; perciò, per strutture con periodo lungo, si deve adottare un profilo di carico laterale non lineare. Nel FEMA-273 (1997) e FEMA-356 (2000) si adotta una distribuzione di forze di piano così definita (distribuzione di forze laterali equivalenti): k Ψ = MH r k ossia Ψ i = ihi (3.31) dove k è un coefficiente, funzione del periodo proprio T e, della struttura definito coe segue: 1.0 Te 0.5 k = ( Te 0.5) 0.5 < Te < Te 2.5 (3.32) Per T e 0.5s (k=1.0) la distribuzione di forze è triangolare invertita; per 0.5 s<t e <2.5 s, k varia linearente tra 1 e 2 coe ostrato in Figura Coefficiente, k Periodo, T [s] Figura 3.9. Andaento del coefficiente k(t) Altezze di piano [] T=0.50 s T=1.00 s T=1.50 s T=2.00 s T=2.50 s Forze di piano noralizzate Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 15

16 Figura Distribuzione di forze di piano in funzione del periodo proprio della struttura. I profili di carico dati dalla (3.31), al variare del periodo della struttura tra 0.5 s e 2.5 s con passo 0.5 s, e quindi del paraetro k tra 1 e 2, sono rappresentati, in fora noralizzata, in Figura 3.10 per una struttura con sette elevazioni e con pesi sisici di piano uguali. In Figura 3.11 è ostrata l influenza del profilo di carico applicato sulla curva di capacità e sugli stati liite di collasso per un dato edificio. Si osserva che la curva forza-spostaento descrive la risposta globale dell edificio ed è funzione del punto di applicazione della risultante delle forze applicate. Alla distribuzione unifore corrisponde il punto di applicazione più basso e quindi la assia resistenza ed i inori spostaenti allo snervaento ed allo stato liite di collasso. La risultante della distribuzione triangolare è applicata nel punto più alto e presenta di contro la inore resistenza ed i aggiori spostaenti allo snervaento ed allo stato liite di collasso. Figura Differenze nelle curva di capacità dovute a differenti profili di carico (triangolare, odale, unifore) Profili di carico ulti-odale Per investigare il coportaento strutturale anche quando i odi superiori sono significativi sono state forulate olte varianti delle tradizionali procedure di spinta che utilizzano profili di carico invarianti derivati dalle fore odali ed utilizzando le regole di cobinazione odale elastica. La distribuzione di Freean (distribuzione SRSS) si fonda sull analisi spettrale ed include l effetto dei odi superiori nella distribuzione dei carichi laterali cobinando i contributi di ciascun odo con la regola di sovrapposizione odale della radice quadrata della soa dei quadrati (SRSS). In questa forulazione, la () distribuzione di carichi laterali dipende dalla pseudo-accelerazione spettrale di ciascun odo S a secondo la seguente relazione: N 2 N i = 1 = 1 ( ) ( Γ φiisa ) Ψ = F = (3.33) i dove N =nuero di odi tale da eccitare aleno il 90% della assa totale, F i =taglio al piano i-esio nel odo - esio deterinato dall analisi lineare con spettro di risposta, i =assa del piano i-esio, φ i =fora odale - esia al piano i-esio, S a () =pseudo-accelerazione spettrale del odo -esio (S a () =S a (T )) e Γ =fattore di partecipazione del odo -esio: 2 Γ T φ MI = (3.34) T φ Mφ in cui I=[1, 1,,1] T è il vettore unitario. 16 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

17 Nell approccio di Valles (Valles et al., 1996) il contributo dei odi alti viene incluso definendo un odo fondaentale equivalente φ eq che risulta dalla cobinazione dei odi di vibrazione, pesati con i rispettivi fattori di partecipazione, secondo la regola SRSS: N 2 φ eq, i = ( φi Γ ) (3.35) = 1 Il vettore di fora che definisce questa distribuzione di carichi laterali risulta: Ψ = Mφ eq ossia Ψ i = iφeq, i (3.36) 3.6 Casi particolari della analisi di spinta L analisi statica lineare e l analisi odale con spettro di risposta possono interpretarsi coe casi particolari dell analisi statica non lineare basata sull analisi di spinta. L analisi statica lineare è la procedura più seplice e fino ad oggi couneente utilizzata nella pratica professionale per valutare la risposta di un sistea strutturale; essa consiste nel valutare la risposta della struttura soggetta ad un sistea di forze laterali, rappresentative delle azioni indotte dal sisa, la cui entità e distribuzione altietrica è definita da relazioni prescritte nei Codici. Per esepio, per edifici non troppo alti la cui risposta sia doinata dal prio odo, le forze di piano considerate sono: F i wihi = N w h j=1 j j V b (3.37) dove w i è il peso sisico del piano i-esio, h i l altezza di w i dalla base, V b il taglio alla base per il prio odo ed N il nuero di piani della struttura. Le sollecitazioni sisiche calcolate applicando la distribuzione (3.37) vanno appropriataente cobinate con quelle dovute ai carichi gravitativi per valutare lo stato di sollecitazione di ciascun coponente strutturale. Dalla stessa analisi si ricava anche una stia degli spostaenti laterali. Se le forze ipiegate sono state calcolate assuendo una certa duttilità strutturale, µ, gli spostaenti realente raggiunti, D, possono essere aggiori di quelli elastici, D e, ricavati dall analisi. Un approssiazione ragionevole degli spostaenti anelastici è: D = µd e (3.38) Il etodo è giudicato adeguato per edifici di edia e odesta altezza con distribuzione plano-altietrica delle asse e delle rigidezze regolare. Il etodo in questione può essere interpretato coe una analisi di spinta a forze iposte in cui il profilo di carico applicato viene gradualente increentato da zero fino al valore espresso dalla (3.37). Ovviaente, affinché l analisi risulti elastica lineare è necessario che il odello ateatico della struttura ipiegato in tale analisi di spinta sia elastico lineare. L analisi odale con spettro di risposta valuta la risposta strutturale coe cobinazione di un nuero sufficiente di risposte odali ciascuna delle quali si ricava attraverso una analisi statica applicando un sistea di forze laterali del tipo: F = Γ Mφ S ossia ( ) a F = Γ φ S (3.39) ( ) i i i a dove i =assa del piano i-esio, φ i =fora odale -esia al piano i-esio, S a () =pseudo-accelerazione spettrale del odo -esio (S a () =S a (T )) e Γ =fattore di partecipazione del odo -esio. Allo stesso risultato si perviene ediante una analisi di spinta odale in cui la struttura viene spinta applicando il seguente profilo di carico: Ψ = Mφ ossia Ψi iφi = (3.40) fino a che lo spostaento in soità non risulta pari al picco di spostaento associato al odo -esio: D = Γ φ S (3.41) ( ) i d Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 17

18 essendo S d () lo spostaento spettrale valutato dallo spettro di risposta elastico o di progetto. 18 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

19 4 VALUTAZIONE DEL PUNTO DI FUNZIONAMENTO Coe ostrato nel capitolo 3, l analisi di spinta perette di ricondurre lo studio di un sistea a più gradi di libertà (MDOF) a quella di un ben più seplice sistea ad un solo grado di libertà (SDOF) equivalente. Pertanto, i etodi di analisi per deterinare la assia risposta attesa di sistei SDOF non lineari possono essere adottati anche nel caso di sistei MDOF non lineari. In questo capitolo si trattano in particolare i classici principi di uguale energia ed uguale spostaento (paragrafo 4.1), il Metodo dello Spettro di Capacità (paragrafo 4.2) ed una versione seplificata di quest ultio (paragrafo 4.3). La richiesta sisica per sistei MDOF può però differire da quella di sistei SDOF equivalenti a causa degli effetti dei odi superiori e di olte altre caratteristiche strutturali coe il odo globale di deforazione, gli effetti torsionali, la distribuzione di resistenza e rigidezza lungo l altezza della struttura, la ridondanza del sistea strutturale ed il odo di collasso sia a livello di eleento che globale. Il coportaento dinaico delle strutture reali è governato da una coplessa interazione di olti di questi fattori e può essere deterinato accurataente solo attraverso analisi dinaiche non lineari. La necessità di una coprensione globale delle caratteristiche della risposta non lineare di sistei MDOF e di struenti approssiati che agevolino la progettazione, rendono counque attraente l uso di analisi statiche non lineari che pur conservando la seplicità delle classiche analisi statiche perettono di investigare la risposta di tali sistei anche oltre la soglia elastica. 4.1 Principio di uguale energia ed uguale spostaento Analisi non lineari tie-history condotte su oscillatori seplici con resistenza ridotta, secondo un fattore R, rispetto a quella corrispondente ad una risposta elastica e con coportaento isteretico elasto-plastico perfetto, hanno diostrato un coportaento dipendente dal periodo proprio del sistea (Gulkan and Sozen, 1977). In particolare si osserva che, per strutture con periodo proprio aggiore di quello corrispondente al picco dello spettro di risposta elastico del terreoto considerato, T g, gli spostaenti assii raggiunti dal sistea anelastico, D, sono olto siili a quelli ottenuti per un sistea indefinitaente elastico, D e, con rigidezza pari a quella elastica iniziale del sistea anelastico (D D e ). a ax capo ad uguale energia, T<T g capo ad uguale spostaento, T>T g F e elastico F e elastico variazione di T per degrado di rigidezza uguale accelerazione T=0 F e R duttile F e R duttile 0 0 T e T t T e T t T g D y D=D e D y D e D Figura 4.1. (a) Influenza del periodo sulla riduzione della forza sisica (b) uguale spostaento (c) uguale energia. Considerazioni geoetriche sulla Figura 4.1(b) iplicano che la duttilità, µ=d/d y, raggiunta dal sistea anelastico sia pari al fattore di riduzione delle forze: µ = R (4.1) Questa conclusione viene solitaente indicata coe principio di uguale spostaento (ED) sebbene non goda di una base teorica o di un applicabilità generale che gli valga il titolo di principio. Per strutture con periodo inore o uguale al periodo di picco dello spettro di risposta, la (4.1) non è conservativa, cioè la duttilità in spostaento richiesta è aggiore del fattore di riduzione delle forze. In particolare, per nuerosi sistei di questo tipo, si ottiene una stia ragionevole del valore di picco della duttilità in spostaento uguagliando l area sottesa dalla curva forza-spostaento del sistea anelastico a quella sottesa dalla Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 19

20 curva del sistea elastico di pari rigidezza iniziale (Figura 4.1(c)). Poiché queste aree rappresentano l energia totale assorbita dai due sistei sottoposti ad una spinta onotona fino allo spostaento assio, questa osservazione viene solitaente noinata principio di uguale energia (EE) (sebbene, anche in questo caso, lo status di principio non sia giustificato). Dalla Figura 4.1(c) si evince la seguente relazione tra la duttilità in spostaento ed il fattore di riduzione delle forze: µ = R (4.2) 2 Per strutture con periodo olto basso (T e <0.2 s) la (4.2) non è più conservativa. Questa inadeguatezza del principio di uguale energia deriva dalla tendenza del periodo proprio, T e, di allungarsi verso regioni ad accelerazione spettrale aggiore, T t, a seguito del degrado di rigidezza della struttura in capo plastico, coe ostrato in Figura 4.1(a). Per strutture con periodi edio-lunghi, invece, l allungaento del periodo prodotto dalle azioni anelastiche coporta un allontanaento dalle regioni di assia risposta. Tendendo alla condizione liite T=0, perfino a piccoli fattori di riduzione delle forze corrispondono duttilità elevate, poiché le deforazioni strutturali diventano insignificanti rispetto alle deforazioni del terreno per cui la struttura sperienta le effettive accelerazioni del terreno indipendenteente dagli spostaenti relativi e quindi dalla duttilità. Se la struttura non è in grado di sopportare il picco di accelerazione del terreno, collassa; ne consegue che strutture con periodi propri olto piccoli non dovrebbero essere progettate per azioni inferiori a quelle corrispondenti al picco di accelerazione del terreno. Questo coportaento viene indicato coe principio di uguale accelerazione. Si osserva infine che, nella realtà, gli eleenti strutturali in c.a. presentano cicli isteretici olto diversi da quello elasto-plastico ideale adottato per le analisi dinaiche non lineari. Per strutture con periodo lungo, il livello di duttilità stiato con l approssiazione di uguale spostaento non risente della fora del ciclo isteretico; per strutture con periodo corto (T e <T g ), per le quali l approssiazione di uguale energia è più realistica, la riduzione di energia dissipata, legata a cicli isteretici sottili, iplica un auento della richiesta di duttilità per cui gli spettri anelastici generati con la (4.2) risultano probabilente non conservativi. Per sistei SDOF bilineari incrudenti il cui legae costitutivo è definito da tre paraetri: il periodo proprio T e, il rapporto α y tra l accelerazione di snervaento e l accelerazione elastica assia ed il rapporto tra la rigidezza postelastica e quella elastica iniziale p. Pertanto, può essere utile espriere le relazioni di cui sopra in funzione di queste grandezze. In particolare, osservando che α y è l inverso del fattore di riduzione R, il assio spostaento del sistea non lineare D, si ricava da quello di un sistea elastico D e, avente la stessa rigidezza iniziale, ediante le seguenti espressioni: 2 1+ α y De per p = 0 2α y D = 1 2 (1 p) αy p (1 p) α + y De per p 0 p principio EE (T e T g ) (4.3) D = D e principio ED (T e >T g ) (4.4) La (4.3) per p 0 rappresenta il criterio di uguale energia per un sistea elasto-plastico incrudente entre per p=0 coincide con la (4.2). 4.2 Metodo CSM Generalità Il Metodo dello Spettro di Capacità (Capacity Spectru Method=CSM), originariaente proposto da Freean (1975, 1978), è una procedura di analisi statica non lineare per valutare lo spostaento assio atteso in una struttura per effetto di un evento sisico assegnato. L azione sisica (detta richiesta sisica) viene definita ediante uno spettro di risposta elastico entre il coportaento della struttura viene rappresentato da una curva forza-spostaento (detta curva di capacità) che definisce il coportaento del sistea SDOF equivalente alla struttura stessa (il problea della conversione di un sistea MDOF in un sistea SDOF è discusso nel capitolo 3.4). 20 Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre

21 Lo spostaento atteso viene deterinato individuando sulla curva di capacità lo spostaento copatibile con la richiesta sisica. L individuazione di questo spostaento viene perseguita operando nello spazio ADRS (Acceleration Displaceent Response Spectru) e quindi descrivendo la curva di capacità e lo spettro di risposta in terini di accelerazioni e spostaento spettrali. Nello spazio ADRS lo spettro di risposta e la curva di capacità prendono rispettivaente il noe di spettro di doanda (Deand Spectru=DS) e di spettro di capacità (Capacity Spectru=CS). Grazie a questa trasforazione di coordinate, il CSM fornisce una rappresentazione grafica della prestazione sisica del sistea SDOF equivalente soggetto ad un dato terreoto che viene individuata dall intersezione dello spettro di capacità con lo spettro di risposta rappresentativo della richiesta indotta dal terreoto. Le coordinate di tale punto di intersezione, detto punto di funzionaento (Perforance Point=PP) della struttura, definiscono l accelerazione e lo spostaento assii attesi nel sistea SDOF. Il PP deve quindi soddisfare due condizioni: appartenenza al CS per essere rappresentativo del coportaento della struttura ad un certo spostaento; appartenenza al DS opportunaente ridotto rispetto allo spettro di risposta elastico al 5% di sorzaento, che rappresenta la doanda non lineare in corrispondenza dello stesso spostaento strutturale. In generale, l individuazione del PP richiede una procedura iterativa che cicla intorno allo sorzaento efficace del sistea SDOF equivalente e che si rende necessaria poiché la capacità di una struttura e la richiesta iposta a questa da un dato terreoto non sono tra loro indipendenti; infatti: quando una struttura plasticizza per effetto dello spostaento indotto dal sisa, la sua rigidezza decresce e il suo periodo si allunga e quindi, poiché le accelerazioni spettrali dipendono dal periodo, anche la doanda cabia allo snervarsi della struttura; quando una struttura plasticizza, in risposta alla richiesta sisica, dissipa energia per sorzaento isteretico (in isura aggiore o inore a seconda che i cicli isteretici siano api e stabili o con pinching) e, poiché l energia dissipata non viene iagazzinata dalla struttura, lo sorzaento produce una riduzione di spostaento Procedura L individuazione del punto di funzionaento richiede una procedura iterativa che si articola nei seguenti passi: 1. Definizione della richiesta sisica: si definisce lo spettro di risposta elastico al 5% di sorzaento (Figura 4.2) rappresentativo della azione sisica attesa nel sito; dove a g =picco di accelerazione al suolo. (,5%, ) S = S T a (4.5) a a g Accelerazione spettrale, Sa Taglio alla base, Vb D t V b Periodo, T Spostaento in soità, D t Figura 4.2. Definizione dell azione sisica con il suo spettro di risposta elastico (ζ=5%) Figura 4.3. Costruzione della curva di capacità traite analisi di spinta Dipartiento di Strutture Università di Roa Tre 21