II. SISTEMI E MODELLI II-1-1

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1 INDICE II. SISTEMI E MODELLI II-- II. CONCETTO DI SISTEMA II- II. MODELLO DI UN SISTEMA II-- II.. Sisemi saici e sisemi dinamici II-3II-3 II.3 MODELLI INGRESSO-STATO-USCITA I-S-U DI SISTEMI DINAMICI II-5II-5 II.3. Il conceo di sao II-5II-5 II.3. Definizione formale di sisema e modello implicio i-s- II-6II-6 II.3.3 Il processo di cosrzione di n modello e la scela delle variabili di sao II-8 II.3.4 Modello esplicio i-s- II-9 II.4 CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI II- II.4. Sisemi a empo conino e a empo discreo II- II.4. Sisemi invariani e variani nel empo II-4 II.4.3 Sisemi lineari e non lineari II-5 II.4.4 Aomi II- II.5 L ANALISI DEL COMPORTAMENTO DEI SISTEMI DINAMICI II-4

2 II SISTEMI E MODELLI II. Conceo di sisema Sebbene il conceo di sisema possa considerarsi n conceo primiivo come qello di elemeno o di insieme è opporno far riferimeno ad na sa definizione per evidenziarne alcni pni essenziali. La segene definizione è raa dal dizionario sandard dell'ieee Insie of Elecrical and Elecronics Engineers. "Un sisema è na aggregazione di componeni che operano insieme per svolgere na fnzione non realizzabile con nessno di essi presi individalmene". Gli aspei essenziali da evidenziare sono: - n sisema consise di componeni inerageni; - ad n sisema è associaa na fnzione che esso deve svolgere; - i componeni di n sisema non sono necessariamene oggei fisici. Con ali specificazioni si pò inire come il ermine sisema possa essere ilizzao in n'accezione esremamene ampia così da consenire di parlare indifferenemene di sisemi fisici come ad esempio "sisema meccanico" "sisema elerico" "sisema ermico"... di "sisemi economici" di "sisemi comporamenali" ec. II. Modello di n sisema Negli sdi ingegnerisici si è ineressai a sdiare gli aspei qaniaivi dei sisemi per ci la definizione qaliaiva di sisema daa nel paragrafo precedene è inadegaa. Per l'analisi qaniaiva più che al sisema reale in sé si è ineressai a cosrire n so modello maemaico che dia na descrizione maemaica del comporameno del sisema reale o meglio dei legami fnzionali che sssisono ra le grandezze d'ineresse. La Teoria dei Sisemi sdia i cosiddei sisemi orienai nei qali è possibile effeare na divisione delle grandezze di ineresse in de insiemi: i grandezze che possono variare nel empo in maniera indipendene dalle alre dee grandezze d'ingresso o semplicemene ingressi; ii grandezze di ci si è ineressai a sdiare l'evolzione nel empo per le qali è possibile adoare no schema inerpreaivo casa-effeo in ci esse appaiono come dipendeni dagli ingressi; esse sono dee grandezze d'scia o semplicemene scie. Esempio. Un sisema elasico elemenare. Nel sisema cosiio dall'elemeno elasico mosrao in Fig.. avene n esremo collegao ad na paree ed n alro sooposo ad na forza f variane nel empo e di ci si vole sdiare l'andameno emporale della posizione s dell'esremo libero si assmerà come ingresso la forza f e come scia la posizione s. II-

3 s f Figra. Elemeno elasico Esempio. Un sisema idralico elemenare. Nel sisema cosiio dal serbaoio mosrao in Fig.. alimenao per mezzo di na pompa e di ci si vole sdiare l'andameno emporale del livello si assmerà come ingresso la poraa volmerica q della pompa e come scia il livello h del pelo libero. h Pompa q Figra. Serbaoio E' facile rendersi cono che ad no sesso sisema fisico possono essere associae diverse grandezze di ingresso e di scia. Ad esempio nel caso del serbaoio si porebbe essere ineressai a sdiare l'andameno nel empo del volme di liqido nel serbaoio anziché del livello. Oppre porebbero ineressare enrambe. In generale n sisema reale porà avere più ingressi e più scie. Nel segio indicheremo con: [... r ] T. il veore degli ingressi e con [... m ] T. il veore delle scie. L apice T indica l operazione di rasposizione. Una vola individae le grandezze di ingresso e scia per la scrira del modello bisogna individare i legami fnzionali di ipo maemaico ra gli ingressi e le scie. Tali legami fnzionali saranno individai slla base di leggi relazioni cosiive che descrivono il fenomeno in sdio e/o slla base di relazioni di ipo logico. II-

4 Ingressi Sisema reale Uscie Modello maemaico Figra.3 Sisema e modello Nella misra in ci il modello oeno è in grado di fornirci l'andameno delle variabili di scia così come nel sisema reale il modello che è n oggeo asrao e il sisema si confondono e i de ermini possono essere sai in maniera inercambiabile vedi Fig..3. II.. Sisemi saici e sisemi dinamici Ineressiamoci ora di invesigare le ipologie di legami fnzionali che si possono avere per i vari sisemi di ineresse. Cominciamo col ricavare i legami fnzionali ra ingresso e scia per gli esempi. e.. Per l'elemeno elasico dell'esempio. poso =f e =s il legame fnzionale è: dove è la cosane elasica della molla..3 Per il serbaoio dell'esempio. poso =q e =h dea S la sperficie di base del serbaoio spposo cilindrico nell ipoesi di flido incompressibile il legame fnzionale è:.4 S Il confrono ra qesi de modelli mee in evidenza no degli aspei principali secondo ci vengono classificai i sisemi. Nel caso dell'elemeno elasico il legame fnzionale è n legame pramene algebrico: l'scia in n generico isane dipende solo dal valore dell'ingresso nello sesso isane e il sisema non ha memoria dei valori dell'ingresso negli isani precedeni. Sisemi di qeso ipo sono dei sisemi saici o algebrici; in alni casi come si vedrà meglio in segio vengono anche dei sisemi combinaori. Nel caso del serbaoio il legame fnzionale è n'eqazione differenziale: in al caso ci si convince facilmene che l'scia in n generico isane dipende anche dai valori passai dell'ingresso. Infai: d.5 S II-3

5 per ci l'scia all'isane dipende dal livello iniziale e dai valori assni dalla poraa nell'inervallo e qindi il sisema ha memoria della soria passaa. Sisemi di qeso ipo vengono dei sisemi dinamici. In qeso corso l'aenzione sarà posa principalmene si sisemi dinamici. Si riiene avia opporno prima di passare a ale classe di sisemi fare alcni esempi di sisemi algebrici. Esempio.3 Ree di parià. Si consideri na ree binaria che riceve in ingresso sringhe... di ed e la ci scia vale se il nmero di simboli nella sringa è pari in caso conrario. E facile convincersi che il legame ingresso-scia è di ipo algebrico ed è qello rappresenao in Tabella. per il caso di n=3. Tale ree è dea ree di parià. n 3 Tabella. Legame I/O della ree di parià per n=3 I sisemi algebrici in ci il nmero di possibili valori di ingresso e scia è finio come nel caso in esame vengono salmene dei combinaori. Per essi il legame ingresso-scia è del ipo: dove per semplicià di noazione si è sao il pedice per indicare il empo. Tale sisema è rappresenao schemaicamene come in Figra.4. n Figra.4 Schema della ree combinaoria Esempio.4 Un mlipleer elemenare. Si consideri il mlipleer indirizzabile binario mosrao in Fig..5. L I L L Figra.5 Mlipleer binario II-4

6 Se I= è l indirizzo della linea L e I= è l indirizzo della linea L deve aversi: L L L se I se I Perano il legame ingresso-scia è qello rappresenao in Tabella.. I L L L Tabella. Legame I/O del mlipleer Poso [ 3] [ I L L ] e L anche per ale sisema vale na rappresenazione ingresso-scia del ipo: II. Modelli ingresso-sao-scia i-s- di sisemi dinamici II.. Il conceo di sao Poiché in n sisema dinamico l'scia in n generico isane dipende anche dai valori passai dell'ingresso è evidene che se si è ineressai a calcolare l'scia in n inervallo di empo non è sfficiene conoscere i valori dell'ingresso in ale inervallo. Ci chiediamo allora qal è l'informazione che manca per risolvere il problema. Torniamo al problema del serbaoio discsso nell'esempio. e descrio dal modello.4. Prima di ricorrere alla maemaica facciamo qalche considerazione praica. Risla evidene che per calcolare in maniera nivoca il livello del serbaoio in n dao inervallo di empo non è sfficiene assegnare la poraa d'ingresso in ale inervallo. L'informazione mancane è rappresenaa dal livello iniziale all'isane. Da n pno di visa maemaico qeso è confermao dal fao che essendo la.4 n'eqazione differenziale del primo ordine per avere na solzione nica abbiamo bisogno di assegnare la condizione iniziale dell'scia. Ovviamene essendo noi ineressai a sdiare sisemi anche diversi da qelli rappresenai da eqazioni differenziali del ipo.4 è necessario inrodrre n conceo di "informazione slla siazione iniziale del sisema" più ampio di qello rappresenao dalle condizioni iniziali di n'eqazione differenziale. Qeso ci pora a inrodrre il conceo di "sao" di n sisema. II-5

7 Definizione. Lo sao di n sisema in n generico isane è l'informazione all'isane necessaria per poer deerminare nivocamene l'scia per ogni na vola assegnao l'ingresso. Anche lo sao così come l'ingresso e l'scia è in generale n veore che denoeremo con. Le componeni di ale veore n sono chiamae variabili di sao. II.. Definizione formale di sisema e modello implicio i-s- Avendo inrodoo il conceo di sao vediamo se slla base di ale conceo è possibile definire na srra di modello maemaico che sia sfficienemene generale da consenirci di rappresenare in n coneso nico i o almeno la maggior pare dei sisemi di ineresse. L'idea di base nella definizione di ale srra è qella di descrivere n sisema araverso de eqazioni in generale di ipo veoriale: - la prima dea eqazione di sao specifica in maniera implicia l'evolzione dello sao na vola dao lo sao iniziale e l'ingresso ; - la seconda dea rasformazione d'scia specifica il valore assno dall'scia in n generico isane na vola dai il valore dello sao e dell'ingresso nello sesso isane. Prima di definire ali fnzioni allo scopo di esendere al maggior nmero possibile di sisemi reali la srra di modello in qesione generalizziamo la ipologia di segnali di ingresso scia e sao rispeo a qella finora consideraa manenendo avia inalerao il loro significao. Definizioni. - Le grandezze di ingresso sao e scia di n sisema sono in generale dei segnali o fnzioni s di ipo scalare o veoriale di na variabile dea empo. - La variabile empo assme valori in n sooinsieme ordinao T R deo insieme dei empi. Tale insieme pò essere cosiio da valori conini ad esempio T R oppre da valori discrei ad esempio f T Un segnale s è deo a empo conino se T è n insieme conino. In caso conrario è deo a empo discreo. - I valori assni dai segnali s in n generico isane poranno essere nmeri reali o veori di nmeri reali livelli logici o elemeni di n qalsiasi insieme nmerabile. - Un segnale a empo discreo i ci valori nei vari isani sono qanizzai è anche deo nmerico oppre digiale. - Un segnale s è deo deerminisico qando il so valore in n generico isane è noo con cerezza; in caso conrario è deo socasico o aleaorio. Inrodciamo ora le segeni noazioni. II-6

8 Noazioni. - s indica l'inero segnale s definio s o l'insieme dei empi; - se s è n segnale empo conino s indica il so valore all'isane ; - se s è n segnale empo conino ed inolre è derivabile s indica il valore della sa derivaa prima all'isane ; - se s è n segnale empo discreo s o semplicemene s indica il valore assno all'isane menre s o s ' indica il valore prossimo; - s i f indica la resrizione del segnale o segmeno del segnale s all'inervallo apero a desra [ i f. Possiamo ora dare la definizione formale di sisema asrao orienao. Definizione di Sisema. Dao n sooinsieme T di R n insieme U deo insieme delle fnzioni di ingresso di fnzioni definie in T e a valori in n insieme U deo insieme dei valori di ingresso n insieme Y di valori di deo insieme dei valori di scia n insieme X di valori di deo insieme dei valori di sao viene deo sisema la coppia di eqazioni: f.6a.6b se l'insieme dei empi è conino; f se l'insieme dei empi è discreo..7a.7b Come già accennao in precedenza i sisemi in ci l'insieme dei empi T è n insieme conino sono dei sisemi a empo conino; qelli in ci l'insieme T è discreo sono dei sisemi a empo discreo. Le eqazioni.6 risp..7 prendono il nome di modello implicio ingresso-sao-scia di n sisema a empo conino risp. a empo discreo. L'eqazione.6a risp..7a è dea eqazione di sao e la fnzione f è dea fnzione generarice risp. fnzione sao prossimo; l'eqazione.6b risp..7b è dea eqazione d'scia e la fnzione è dea rasformazione d'scia. Un modello implicio i-s- viene anche sineicamene indicao con la ripla X f. Come si pò facilmene consaare effeivamene così come ci eravamo riproposi di fare l'eqazione differenziale.6a se il sisema è a empo conino oppre l'eqazione alle ricorrenze.7a se il sisema è a empo discreo specifica in maniera implicia l'evolzione dello sao na vola dao lo sao iniziale e l'ingresso. La rasformazione d'scia viceversa specifica il valore assno dall'scia in n generico isane slla base dei valori assni nello sesso isane dallo sao e dall'ingresso. E' imporane osservare che nel caso in ci lo sao è n veore di dimensione n anche la fnzione generarice f è cosiia da n veore di n fnzioni scalari. Allo sesso II-7

9 modo se l'scia è n veore di dimensione m anche la rasformazione d scia è cosiia da n veore di m fnzioni scalari. Perano assmendo che anche l'ingresso sia n veore di dimensione r la scrira esesa del modello.6 è la segene: f... n... r... n f... n... r i i i... n... n... r... m m... n... r Tipi paricolari di sisemi dinamici. Nello sdio dei sisemi di conrollo si fa spesso riferimeno ai segeni ipi paricolari di sisemi dinamici. - Sisemi con n solo ingresso e na sola scia dei anche sisemi SISO Single Inp Single Op. - Sisemi con più ingressi e più scie dei anche sisemi MIMO Mli Inp Mli Op. - Sisemi in ci la rasformazione d'scia non dipende da ossia: ; ali sisemi sono dei sisemi pramene dinamici o sreamene propri o macchine di Moore sisemi propri o macchine di Meal in caso conrario. - Sisemi in ci la rasformazione d'scia non dipende da ossia: ; ali sisemi sono i sisemi saici o algebrici o privi di memoria già precedenemene definii. II..3 Il processo di cosrzione di n modello e la scela delle variabili di sao La cosrzione di n modello i-s- viene effeaa in qaro passi sccessivi:. Individazione delle variabili di ingresso e scia;. Scela delle variabili di sao; 3. Scrira delle relazioni cosiive; 4. Elaborazione delle relazioni cosiive per pervenire alla scrira dell'eqazione di sao e della rasformazione di scia. Di ali operazioni qella da effeare con na cera aenzione è la scela delle variabili di sao. Essa è in genere n'operazione abbasanza delicaa per i segeni moivi: a la scela delle variabili di sao è foremene legaa alla ipologia del sisema in sdio e alvola richiede na maraa esperienza operaiva s di esso; b la scela delle variabili di sao II-8

10 non è nica per ci esisono più modelli associai ad no sesso sisema; c il nmero delle variabili di sao dipende dalla maggiore o minore accraezza con ci si vole descrivere il comporameno del sisema in sdio; d il nmero delle variabili di sao non sempre pò essere fissao a priori per ci si possono anche porre qesioni di ridondanza. Se avia si fa riferimeno al significao generale di "sao" si possono individare delle linee gida da segire nella scela delle variabili di sao almeno nel caso di sisemi salmene ricorreni nella praica ingegnerisica. Lo sao come deo in precedenza rappresena l'informazione necessaria in n generico isane per poer deerminare l'evolzione fra dell'scia na vola assegnao l'ingresso. Esso perano deve descrivere la "siazione inerna" del sisema in n generico isane deerminaa dalla soria passaa del sisema sesso. Nella scela delle variabili di sao del sisema qindi bisogna orienarsi verso qelle variabili il ci valore pò essere considerao come descriivo della "memoria" del sisema. Nel caso di sisemi fisici la siazione inerna di n sisema è ipicamene descria dall'energia in esso immagazzinaa nelle varie forme. Ovviamene noi dovremo porare in cono solo qelle forme di energia le qali sbiscono variazioni nel empo in consegenza degli ingressi che agiscono sl sisema. Così ad esempio nel caso di sisemi meccanici orieneremo la nosra scela verso le variabili di posizione legae all'energia poenziale graviazionale degli elemeni di massa e all'energia poenziale elasica degli elemeni elasici e di velocià di elemeni di massa legae all'energia cineica. Nel caso di sisemi elerici considereremo le ensioni ai capi di condensaori legae all'energia elerosaica in essi immagazzinaa e le correni negli indori legae all'energia magneica in essi immagazzinaa. Nel caso di n serbaoio conenene n liqido e nel qale si hanno come ingressi porae enrani e/o sceni di liqido nel serbaoio considereremo come variabile di sao il livello di liqido legao all'energia poenziale graviazionale del liqido sesso. Nel caso di sisemi ermici considereremo le emperare dei corpi legae all'energia ermica in essi immagazzinaa. Nel caso di sisemi non descrii da leggi fisiche ad esempio calcolaori sisemi di comnicazione sisemi di prodzione ec. per la scela delle variabili di sao non si hanno regole generali per ci olre all'esperienza e alla conoscenza del sisema in sdio divena imporane disporre di meodologie che consenano di verificare se n insieme di variabili possa essere assno come sao e nello sesso empo che ale insieme non sia ridondane. Nel paragrafo.4 illsreremo ali concei con na serie di esempi. II..4 Modello esplicio i-s- Assmendo così come si dimosra essere vero in mole siazioni di ineresse praico che la solzione della.6a o della.7a esisa e sia nica è facile convincersi che essa pò essere messa nella forma: [.8 nel caso empo conino e nella forma: [.9 II-9

11 nel caso empo discreo. La fnzione o più precisamene il fnzionale dal momeno che esso dipende da n segmeno di fnzione è dea fnzione di ransizione dello sao. Le.8.6b risp. le.9.7b prendono il nome di modello o rappresenazione esplicio ingresso-sao-scia del sisema a empo conino risp. a empo discreo. Un modello esplicio i-s- viene anche sineicamene indicao con la ripla X. II.3 Classificazione dei sisemi I sisemi dinamici vengono classificai slla base delle proprieà delle fnzioni rappresenaive del modello f ed oppre ed le qali a loro vola vengono diversificae in base al ipo di ecniche ilizzae per risolvere i problemi di analisi del comporameno. II.3. Sisemi a empo conino e a empo discreo Una prima classificazione viene faa come già deo in precedenza slla base della nara dell'insieme dei empi T. I sisemi in ci l'insieme dei empi T è n insieme conino sono dei sisemi a empo conino; qelli in ci l'insieme T è discreo sono dei sisemi a empo discreo. Prima di fare alcni esempi si richiama l'aenzione sl fao che i fenomeni fisici evolvono i nel empo conino per ci le leggi fisiche che li descrivono e di consegenza i modelli maemaici sono formlae nel empo conino. I modelli a empo discreo viceversa vengono ilizzai per descrivere le segeni caegorie di sisemi: - sisemi che effeivamene evolvono in maniera empo discrea come i calcolaori in ci i coneni dei regisri inerni delle locazioni di memoria variano solo in corrispondenza di ceri isani alvola scandii da n cloc inerno; - sisemi che pr evolvendo nel empo conino vengono in genere descrii con delle leggi di evolzione che prevedono variazioni delle grandezze solo alla "fine" di periodi di empo di lnghezza finia mini ore giorni anni come ad esempio sisemi di ipo economico gesionale ambienale sociologico; - sisemi che pr essendo per loro nara di ipo conino vengono comandai con segnali di ingresso che cambiano valore solo in corrispondenza di fissai isani di empo come ad esempio i sisemi comandai da n calcolaore. Nei sisemi appareneni all lima caegoria l insieme dei empi T pò essere pensao come sddiviso in na seqenza di inervalli definii da na seqenza di isani < < < < i qali divenano gli isani significaivi per la valazione delle variabili di scia. L'inervallo di empo [ + è deo inervallo di campionameno menre la sa ampiezza T= + - spesso cosane è dea periodo di campionameno. Esempio.5 Serbaoio con valvola di prelievo. Si consideri il serbaoio cilindrico con sperficie di base S mosrao in Fig..6 in ci è presene na valvola di prelievo sl fondo. Si vole sdiare l'andameno del volme V di liqido in esso coneno al variare della poraa volmerica di liqido in ingresso q i nell'ipoesi di aperra cosane della valvola di prelievo. Anzio si pone =q i e =V. II-

12 Per qano rigarda la scela delle variabili di sao in accordo con qano deo nel paragrafo II.3.3 possiamo scegliere come variabile di sao il livello del liqido e qindi porre = h. Ovviamene na possibilià alernaiva è qella di scegliere come variabile di sao direamene il volme V; infai essendo noa la geomeria del serbaoio ale variabile ha lo sesso coneno d'informazione del livello. Le relazioni cosiive sono fornie dall'eqazione di coninià: dv d q q i e dalla relazione che fornisce la poraa d'scia araverso la valvola di prelievo; ale poraa dipende dall'alezza del liqido nel serbaoio secondo n legame del ipo: q h nel caso di moo rboleno del flido araverso la valvola di prelievo oppre q h nel caso di moo laminare ove è na cosane che dipende dalla geomeria e dalla lce di aperra della valvola di prelievo. h Pompa q i q Figra.6 Serbaoio con valvola di prelievo Facendo l'ipoesi di moo rboleno con semplici manipolazioni delle relazioni cosiive possiamo oenere n modello implicio i-s- nella forma: S S S Qeso sisema come si vede è empo conino. Inolre esso è di ipo SISO ed è sreamene proprio o pramene dinamico. Esempio.6 Sisema molla-smorzaore. Si consideri il sisema molla-smorzaore mosrao in Fig..7. Sia il coefficiene elasico della molla e b il coefficiene di ario viscoso dello smorzaore. Si vole sdiare l'andameno dello sposameno s dell'esremo libero dei de elemeni al variare della forza applicaa f. Si pone =f e =s. In accordo con qano deo nel paragrafo II.3.3 possiamo scegliere come variabile di sao la posizione dell'elemeno libero della molla e qindi porre = s. II-

13 Figra.7 Sisema molla-smorzaore La relazione cosiiva è fornia dall'eqazione di eqilibrio delle forze: Il modello implicio i-s- è il segene: ds f s b d b b Il sisema è empo conino. Inolre esso è di ipo SISO ed è sreamene proprio. Esempio.7 Filro nmerico. Si consideri il segene semplice algorimo I/O di elaborazione di n segnale discreo:. In al caso l informazione da ricordare per poer calcolare l scia all isane è rappresenaa dal valore dell ingresso nell isane precedene. Ponendo si ha: Per capire l effeo filrane di ale sisema si cominci col noare che l scia del sisema è la media degli limi de valori di ingresso. Se allora spponiamo di inviare in ingresso n segnale sinsoidale di periodo molo grande rispeo al periodo T con ci è campionao l ingresso vedi Fig..8 essendo c si ha ossia l ingresso passa inalerao. Se viceversa il periodo del segnale sinsoidale diminisce e si pora ad n valore circa doppio del periodo di campionameno allora e di consegenza ossia l ingresso risla foremene aenao. Per ale moivo n ale sisema viene chiamao filro nmerico passa-basso. II-

14 Figra.8 Sinsoidi di periodo molo grande qella in alo e prossimo al doppio del periodo di campionameno T c qella in basso Esempio.8 Ammorameno di n capiale. Si consideri il processo di ammorameno di n capiale C mediane rae semesrali. In ale processo si pò considerare come ingresso la raa semesrale r da pagare alla fine del semesre -esimo e come scia il capiale resido C da resiire calcolao all'inizio del - esimo semesre. Si pone =r e =C. Per qano rigarda la scela delle variabili di sao in qeso caso si inisce che l'informazione da porare in cono per poer calcolare il capiale resido da n cero semesre in poi è proprio il capiale da resiire all'inizio del semesre in qesione per ci come sao assmeremo = C. Nella scrira delle relazioni cosiive bisogna anche porare in cono l'ineresse che mara ad ogni semesre sl capiale resido. Deo I il asso di ineresse annale spposo cosane si ha: Perano il modello implicio è: I C C C r I C Il sisema è empo discreo SISO e sreamene proprio. Esempio.9 Dinamica di na popolazione con risorse illimiae. Si consideri il processo di crescia s base annale di na popolazione nell'ipoesi di risorse ambienali illimiae. Spponendo che ogni anno vi sia n flsso migraorio che compora na variazione di m individi si vole calcolare l'evolzione del nmero di individi P calcolai all'inizio di ogni anno nell'ipoesi di avere na asso di naalià N e n asso di moralià M. Si pone =m e =P. Per qano rigarda la scela delle variabili di sao in qeso caso si porà assmere = P. La relazione cosiiva è: Perano il modello implicio è: P P m NP MP II-3

15 II-4 M N Il sisema è empo discreo SISO e sreamene proprio. Esempio. Dinamica di na popolazione con risorse limiae. Il problema è analogo a qello precedene salvo il fao che essendo le risorse limiae il asso di moralià M dipenderà verosimilmene dalla popolazione sessa e qindi varia di anno in anno ossia: M=M. In qes'esempio assmeremo M =m. Con semplici passaggi si vede che il modello implicio avrà la forma segene: m N Il sisema è empo discreo SISO e sreamene proprio. II.3. Sisemi invariani e variani nel empo Definizione. Un sisema è deo empo-invariane o sazionario se raslando nel empo l'ingresso a parià di sao iniziale rasla anche lo sao e l'scia. E' facile verificare che se le fnzioni f ed sono indipendeni dal empo il sisema è sazionario. In al caso il modello implicio i-s- assme la forma: f nel caso empo conino e: f nel caso empo discreo. Slla base della definizione inolre si inisce facilmene che in n sisema sazionario la fnzione di ransizione della rappresenazione esplicia i-s- non dipende separaamene dall'isane aale e da qello iniziale bensì dalla differenza - ossia solo dal empo inercorso ra l'isane iniziale e qello aale. Per i sisemi sazionari si pò perano scrivere:. [ [ I sisemi considerai negli esempi.5 -. sono i sisemi sazionari. Vediamo n esempio di sisema non sazionario. Esempio. Sisema massa-molla-smorzaore con massa empo variane. Si consideri il sisema massamolla-smorzaore mosrao in Fig..9 in ci la massa del carrello spposo pniforme varia nel empo. Si vole sdiare l'andameno nel empo della posizione del carrello. Si pone =f e =s. Per qano rigarda la scela delle variabili di sao in accordo con qano deo nel paragrafo II.3.3 possiamo scegliere come variabili di sao la posizione s e la velocià v del carrello e qindi porre: v s

16 II-5 Figra.9 Sisema massa-molla-smorzaore La relazione cosiiva è fornia dalla legge di conservazione della qanià di moo: f d ds b s d mv d Con semplici manipolazioni si oiene: m m m m b m Come si vede i coefficieni o parameri della fnzione f variano nel empo: il sisema è qindi non sazionario. Esso inolre è empo conino SISO e sreamene proprio. E' da noare infine che in qeso caso la dimensione del sisema nmero delle variabili di sao è pari a. II.3.3 Sisemi lineari e non lineari La definizione di sisema lineare fa riferimeno a proprieà che rigardano combinazioni lineari degli ingressi degli sai e delle scie. Perano essa pò essere daa solo con riferimeno a sisemi in ci gli insiemi dei valori di ingresso U sao X e scia Y sono spazi veoriali. Sisemi che godono di qesa proprieà sono dei sisemi a sao veore. Definizione. Un sisema a sao veore si dice lineare se ad na combinazione lineare di ingressi e sai iniziali secondo gli sessi coefficieni corrisponde la combinazione lineare sempre secondo gli sessi coefficieni degli andameni dello sao e dell'scia. Poiché la definizione fa riferimeno all'andameno dello sao ossia ai valori assni dallo sao nel empo essa va espressa maemaicamene mediane la fnzione di ransizione di sao olre che con la rasformazione di scia. In paricolare la condizione di linearià si esprime come sege:.. [ [ [ [ b a

17 Slla base di qesa definizione si conclde che qando in n sisema lineare si vole calcolare l'andameno dello sao e/o dell'scia corrispondene ad na combinazione lineare di ingressi e di sai iniziali secondo gli sessi coefficieni si possono calcolare separaamene gli andameni di sao e scia corrispondeni alle de coppie sao inizialeingresso e poi combinarle linearmene secondo gli sessi coefficieni. Il principio è illsrao graficamene in Fig... Qesa proprieà va anche soo il nome di Principio di sovrapposizione degli effei. X X + + X = + = + Figra. Illsrazione del principio di sovrapposizione degli effei Con riferimeno alla rappresenazione implicia i-s- è possibile dimosrare che n sisema è lineare se e solo se le fnzioni f e sono combinazioni lineari delle variabili di sao e di ingresso ossia: a... a n n b... b rr... n an... annn bn... bnrr c... c n n d... drr... m cm... cmn n d m... d mrr Perano f e possono anche essere scrie in forma mariciale come sege: A B C D.a.b ove R r R m R n e le marici A B C D hanno dimensioni nn nr mn mr rispeivamene. Se ali marici sono cosani nel empo il sisema è anche sazionario. La dimensione n del veore di sao è dea ordine del sisema. I sisemi degli Esempi.5 e. sono non lineari. I sisemi degli Esempi sono lineari e sazionari. II-6

18 II-7 Esempio. Sisema massa-molla-smorzaore con massa cosane. Si consideri il sisema massa-mollasmorzaore discsso nell'esempio.. Esso è n sisema lineare e non sazionario la ci rappresenazione mariciale è: m m m b m Se la massa del carrello è cosane nel empo il sisema risla anche sazionario e la sa rappresenazione mariciale divena: m m b m Esempio.3 Pendolo. Si consideri il pendolo semplice mosrao in Fig.. cosiio da na sfera di massa m collegaa per mezzo di n'asa rigida di lnghezza e priva di massa ad na cerniera. Spponendo che slla cerniera agisca na coppia morice C si vole sdiare l'andameno nel empo dell'energia cineica E della sfera. mg C Figra. Pendolo Si pone = C e = E. Per qano rigarda la scela delle variabili di sao in accordo con qano deo nel paragrafo II.3.3 possiamo scegliere come variabili di sao la posizione angolare e la velocià angolare del pendolo e qindi porre: Deo J il momeno di inerzia della sfera rispeo alla cerniera cenro di roazione dao da m J e g l'accelerazione di gravià le relazioni cosiive sono fornie dalla legge di Newon che nel caso di moo roazionale si scrive: C sin mg d d J e dalla espressione dell'energia cineica ossia J E Con semplici manipolazioni si oiene:

19 g sin J J Il sisema rislane è a empo conino non lineare del secondo ordine sazionario SISO sreamene proprio. Esempio.4 Termomero. Si consideri il ermomero a mercrio con coneniore in vero soile mosrao in Fig... Spponiamo che ale ermomero inizialmene a emperara ambiene a venga immerso in na vasca conenene n liqido a emperara b variane nel empo. Si vole sdiare l'andameno nel empo della emperara del ermomero. a b Si pone = b e =.. Figra. Termomero a mercrio Per qano rigarda la scela delle variabili di sao in accordo con qano deo nel paragrafo II.3.3 possiamo scegliere come variabili di sao la sessa emperara del ermomero per ci =. Dea C la capacià ermica del ermomero daa dal prodoo del calore specifico del mercrio per la massa di mercrio e K il coefficiene di scambio ermico ra liqido e ermomero dao dal prodoo della condcibilià ermica del vero per la sperficie di scambio ermico e diviso lo spessore del vero le relazioni cosiive sono fornie dall'eqazione di bilancio ermico: d C q d dove q è la qanià di calore che in n'nià di empo dal liqido si rasferisce al ermomero e dall'espressione di q daa da: q K b Con semplici manipolazioni delle relazioni cosiive si oiene n modello implicio i-s- nella forma: K C Il sisema rislane è a empo conino lineare del primo ordine sazionario SISO sreamene proprio. K C Esempio.5 Forno elerico. Si consideri il forno con riscaldameno elerico mosrao in Fig..3. Il flido aria all'inerno del forno riceve dalla resisenza elerica na poenza ermica q ma essendo le parei del forno non perfeamene adiabaiche cede all'eserno na poenza ermica che dipende dal salo ermico ra la emperara del flido e qella dell'ambiene eserno a. Si vole sdiare l'andameno nel empo della emperara del flido nel forno. Si noi che in qeso sisema gli ingressi sono sia la poenza ermica fornia q che è n ingresso manipolabile a piacere sia la emperara eserna dell'ambiene a che non è manipolabile: essa viene dea ingresso di disrbo o semplicemene disrbo. II-8

20 II-9 p q a Figra.3 Forno elerico Si pone: q a Per qano rigarda la scela delle variabili di sao in accordo con qano deo nel paragrafo II.3.3 possiamo scegliere come variabili di sao le emperare di i gli elemeni in grado di immagazzinare calore. Qesi sono il flido inerno e le parei del forno. Perano dea p la emperara della paree spposa niforme porremo: p E' da noare che se ci acconenassimo di na minore accraezza nella descrizione del fenomeno in sdio poremmo rienere rascrabile la qanià di calore che si accmla nelle parei rispeo a qella accmlaa nel flido e considerare na sola variabile di sao. Per qano rigarda la scrira delle relazioni cosiive con la scela di modellizzazione effeaa dobbiamo considerare sia lo scambio ermico ra flido e paree che qello ra paree e ambiene. Dea C la capacià ermica del flido C p la capacià ermica della paree K fp il coefficiene di scambio ermico ra flido e paree K pa il coefficiene di scambio ermico ra paree e ambiene eserno le relazioni cosiive sono fornie dalle de eqazioni di bilancio ermico: a p pa p fp p p p fp K K d d C q K d d C Come già si vede le relazioni cosiive sono e espresse in ermini di combinazioni lineari delle variabili in gioco. Qeso ci fa già inire che il sisema è lineare per ci possiamo dare direamene la sa rappresenazione in forma mariciale. Con manipolazioni sandard delle relazioni cosiive si oiene: C K C C K K C K C K C K p pa p pa fp p fp fp fp Il sisema rislane è a empo conino lineare del secondo ordine sazionario con più ingressi sreamene proprio. I sisemi lineari e sazionari nel segio indicai come "sisemi LTI" che sa per sisemi Lineari e Tempo Invariani cosiiscono na classe molo imporane di sisemi per le segeni ragioni: - Moli sisemi reali si possono modellare come sisemi lineari e sazionari; - La eoria dei sisemi lineari e sazionari è sfficienemene assesaa;

21 - La eoria dei sisemi lineari consene di sdiare in modo approssimao anche sisemi non lineari a sao veore soo paricolari segnali di ingresso. II.3.4 Aomi Un alro modo di classificare i sisemi è basao slla nara degli insiemi di valori di ingresso U di scia Y e di sao X. Negli esempi considerai finora ali insiemi sono sempre sai cosiii da veori di variabili reali e gli insiemi U Y e X sono spazi veoriali. Come già deo ali sisemi vengono dei Sisemi a sao veore. In essi le eqazioni di sao sono normalmene eqazioni differenziali o eqazioni alle differenze. In mole applicazioni viceversa si ha a che fare con sisemi in ci gli insiemi U e Y sono cosiii da n nmero finio di elemeni dei rispeivamene insieme dei simboli di ingresso e di scia e l'insieme X deo insieme dei simboli di sao è al più cosiio da na qanià nmerabile di elemeni ossia: U... Y... X In ali sisemi lo sao varierà isananeamene da n valore all'alro nell'isane in ci si manifesa n novo simbolo di ingresso. Definizione. Un sisema è deo Aoma se è sazionario gli insiemi di valori di ingresso U di scia Y sono insiemi di cardinalià finia e se l insieme di sao X è nmerabile. Nel caso in ci l'insieme X è anch'esso cosiio da n nmero finio di elemeni il sisema è deo aoma a sai finii o sisema a sai finii. In qeso paragrafo noi considereremo sisemi a sai finii a empo discreo ossia qelli in ci l insieme dei empi è discreo e gli elemeni di ale insieme sono noi a priori in genere scandii da n cloc. In n sisema a sai finii a empo discreo la fnzione generarice f fornisce lo sao prossimo a parire dallo sao correne e dall'ingresso correne; per ale ragione essa è anche dea fnzione sao prossimo. La rasformazione d'scia definisce l'scia aale a parire dallo sao correne e dall'ingresso correne. Poiché nei sisemi a sai finii i pedici vengono ilizzai per individare i simboli degli insiemi di sao ingresso e scia per semplificare le noazioni indicheremo con lo sao correne del sisema con e l'ingresso e l'scia correne con ' lo sao prossimo. Perano la rappresenazione sandard sarà del ipo: ' f.3 Poiché gli insiemi di ingresso scia e sao non sono srrai algebricamene anche le fnzioni f e non sono di ipo algebrico. Essendo ali insiemi cosiii da n nmero finio di elemeni n modo freqenemene ilizzao per rappresenare ali fnzioni è qello che fa so di grafi orienai o abelle. II-

22 Nella rappresenazione con grafi la fnzione generarice viene rappresenaa mediane n grafo orienao deo grafo di ransizione che si cosrisce nel segene modo: ad ogni simbolo i di sao si associa n nodo del grafo rappresenao da n cerchieo; se poi esise almeno n simbolo d'ingresso r che pora il sisema dallo sao i allo sao j si raccia n arco orienao che pare dal nodo i e ermina sl nodo j e lo si conraddisinge con il simbolo r vedi Fig..4. i r j Figra.4 Paricolare di grafo di ransizione Per qano rigarda la rasformazione d'scia ra le varie possibilià di rappresenazione na delle più ilizzae è qella consisene nello scrivere il valore dell'scia in corrispondenza di ciascn simbolo di ingresso riporao s n arco vedi Fig..5. Se invece il sisema è pramene dinamico ossia l'scia dipende solo dal valore dello sao il valore dell'scia va indicao nel cerchieo associao a ciascn simbolo di sao. r / i r i j Figra.5 Paricolare di grafo di ransizione e rasformazione d'scia per na macchina di Meal Un modo alernaivo per rappresenare le fnzioni f e è qello che fa so di abelle. Un ipo di abella molo ilizzaa è la cosiddea abella sao presene - ingresso presene. Essa è cosiia da righe ane qani sono i simboli di sao e da colonne ane qani sono i simboli d'ingresso. Ogni casella della abella ripora la coppia sao prossimo/scia presene. Così se ad esempio alla coppia i r corrisponde l'scia presene m e lo sao prossimo j la abella si presenerà come in Fig..6. Se invece il sisema è pramene dinamico il valore dell'scia va indicao in n apposia colonna. Ovviamene il grafo di ransizione ha il vanaggio di dare na visalizzazione più chiara del comporameno del sisema. Per qeso moivo esso è più ilizzao nella fase di scrira del modello. Nell'implemenazione al calcolaore invece si sa qasi sempre la rappresenazione per mezzo di abelle. r i j / m Figra.6 Paricolare di abella sao presene - ingresso presene II-

23 In mole applicazioni si sisemi a sai finii lo sao iniziale del sisema è fissao na vola per e e prende il nome di sao di rese. In qeso caso nella rappresenazione con grafo di ransizione ale sao sarà indicao espliciamene mediane na freccia che pna sl nodo associao a ale sao; nella rappresenazione con abelle la freccia pnerà alla riga associaa allo sao iniziale. Infine in alcne applicazioni come ad esempio i riconosciori di seqenze di simboli di ingresso in ci l'scia pò assmere solo de valori ad esempio e oppre Falso e Vero e inolre essa dipende solo dal valore assno dallo sao macchina di Moore si sa alvola definire n insieme F deo insieme degli sai finali come l'insieme degli sai in ci l'scia assme il valore che nel caso di riconosciori di seqenze sa a significare "seqenza idenificaa". Tali sai vengono denoai nel grafo di ransizione con na colorazione di grigio dei cerchiei corrispondeni. In conclsione possiamo dare le segene definizione formale: Definizione. Un aoma a sai finii a empo discreo è definio o mediane na sespla U X f Y oppre nel caso in ci sia assegnao l'insieme degli sai finali mediane la qinpla U X f F. Esempio.6 Conaore modlo N. Si vole deerminare il modello di n conaore modlo N degli di na seqenza di e. Per ale sisema si ha: U={} Y={ N-}. Il sisema dovrà avere N sai: il primo diciamolo "ricorderà" che sono arrivai N implsi con = ; il secondo "ricorderà" che sono arrivai N+ implsi; il erzo "ricorderà" che sono arrivai N+ implsi e così via. Perano: X={ N- }. E' ovvio che ale sisema per rispondere alla specifica di fnzionameno dovrà avere come sao iniziale sao di rese. Un modello di ale sisema per il caso N=3 è riporao in Fig..7. / / / / / / Figra.7 Grafo di ransizione del conaore modlo 3 La rappresenazione dello sesso sisema mediane la abella sao presene - ingresso presene è riporaa in Fig..8. / / / / II-

24 / / Figra.8 Tabella sao presene - ingresso presene del conaore modlo 3 Esempio.7 Riconosciore di na sringa. Si vole scrivere il modello di na macchina che ricevendo in ingresso na seqenza di simboli dell'insieme {3} riconosca le seqenze ordinae sringhe del ipo 3. Spponendo che l'scia sia normalmene Falsa e che diveni Vera qando la sringa viene riconoscia per ale sisema avremo: U={3} Y={FalsoVero}. In ale sisema le siazioni da "ricordare" e qindi le siazioni a ci dobbiamo associare n valore dello sao sono le segeni: l'limo simbolo di ingresso arrivao non è significaivo per il riconoscimeno della sringa; l'limo simbolo di ingresso arrivao è ma non è precedo da n ; l'limo simbolo di ingresso arrivao è ed è precedo da n ; 3 gli limi re simboli di ingresso arrivai sono in ordine crescene di empo 3. Perano: X={ 3 }. E' ovvio che ale sisema per rispondere alla specifica di fnzionameno dovrà avere come sao iniziale sao di rese. Per ale sisema inolre possiamo adoare la descrizione mediane la qinpla U X f F con la convenzione di associare agli sai dell'insieme F il valore di scia Vero. Ovviamene risla: F={ 3 }. La rappresenazione mediane grafo di ale sisema è riporaa in Fig Figra.9 Grafo di ransizione del riconosciore di sringa dell'esempio.7 Esempio.8 Riconosciore di più sringhe. Si vole scrivere il modello di na macchina che ricevendo in ingresso na seqenza di simboli dell'insieme { } riconosca sringhe di 3 o 4 caraeri che iniziano e erminano con o e conengano al cenro solo simboli ossia sringhe appareneni al segene insieme L={ }. Spponendo che l'scia sia normalmene Falsa e che diveni Vera qando na delle sringhe assegnae viene riconoscia per ale sisema avremo: U={ } Y={FalsoVero}. Con semplici ragionameni e con ovvio significao dei simboli di sao si vede che na rappresenazione mediane grafo di ale sisema è qella riporaa in Fig... In esso come si pò noare risla X={ } e F={ 3 5 }. II-3

25 5 4 3 Figra. Grafo di ransizione del riconosciore delle sringhe dell'esempio.8 La eoria degli aomi è alla base delle ecniche ilizzae per l'analisi e la progeazione di alcne caegorie di sisemi di noevole ineresse praico qali ad esempio qelle dei circii nmerici e qella dei cosiddei Sisemi a Eveni Discrei. Daa la paricolarià di ali ecniche esse cosiiscono n corpo eorico a sé che verrà raao in maniera esensiva nel Capiolo 5. II.4 L analisi del comporameno dei sisemi dinamici Lo sforzo sia di modellazione che di classificazione dei sisemi effeao nei paragrafi precedeni è gisificao dal fao che esso è desinao a fornire le infrasrre necessarie per la solzione di moli problemi di ineresse ingegnerisico come ad esempio qello della progeazione e realizzazione di sisemi di conrollo. Una vola cosrio n modello maemaico di n sisema n primo passo per la solzione di n qalsiasi problema ingegnerisico consise nel capire come il sisema si compora in differeni condizioni operaive. Tale analisi che va soo il nome di analisi del comporameno è basaa slla possibilià di calcolare l'andameno dell'scia risposa in scia e/o dello sao risposa nello sao soo differeni segnali di ingresso evenalmene in presenza di variazioni di alcni parameri del sisema. Tale calcolo pò essere effeao in linea di principio in re modi diversi:. calcolo analiico esao della risposa;. valazione approssimaa o andameno qaliaivo della risposa basaa s parameri sineici del modello; 3. deerminazione nmerica della risposa araverso simlazione al calcolaore. Nella praica il calcolo analiico esao e l'andameno qaliaivo della risposa possono essere effeai solo per la classe dei sisemi lineari e sazionari sisemi LTI. In i gli alri casi la ecnica di analisi più ilizzaa è qella basaa slla deerminazione della risposa mediane simlazione al calcolaore. II-4

26 Negli limi anni sono sai svilppai diversi pacchei sofware specializzai nella modellizzazione e simlazione di paricolari classi di sisemi fisici come ad esempio SPICE per la simlazione di sisemi elerici ed eleronici DYMOLA per la simlazione di sisemi meccanici eleromeccanici LOGIC WORKS per la simlazione di sisemi logici ec. Per l analisi e la progeazione di sisemi di aomazione e conrollo viceversa l ambiene sofware più freqenemene ilizzao è il MATLAB/SIMULINK. Qeso a differenza di qelli precedenemene ciai non è orienao a paricolari classi di sisemi fisici bensì fa direamene riferimeno alla disponibilià di n modello maemaico del sisema oggeo di sdio. Nel segio verrà presenaa na ecnica molo semplice e avia generale per la simlazione di sisemi dinamici in ambiene MATLAB/SIMULINK. Essa è basaa s no schema salmene ilizzao per la realizzazione di sisemi dinamici di ci è assegnao n modello maemaico implicio i-s. Tale schema è cosiio da n soosisema pramene algebrico e da paricolari sisemi dinamici che sono l inegraore nel caso di sisemi conini ed il riardo nel caso di sisemi discrei. L inegraore è n sisema dinamico conino del I ordine descrio dalle eqazioni: o in maniera eqivalene dall nica eqazione ingresso-scia d Il riardo niario è n sisema dinamico discreo del I ordine descrio dalle eqazioni: o in maniera eqivalene dall nica eqazione ingresso-scia Vale il segene imporane rislao. Realizzazione di n sisema dinamico. Ogni sisema dinamico pò essere realizzao mediane n sisema algebrico rispeo ai soi ingressi F e n inegraore se conino n riardo niario R se discreo secondo lo schema realizzaivo di Fig... Sisema algebrico rispeo ai soi ingressi F f ' o R Figra. Schema realizzaivo di n sisema dinamico II-5

27 Siamo ora in grado di fare la segene: Osservazione. Lo schema realizzaivo di Fig.. pò anche essere sao per simlare facilmene n qalsiasi sisema come mosrao dai segeni esempi. Esempio.9 Simlazione di sisemi a empo conino. In ambiene MATLAB/SIMULINK per simlare n sisema a empo conino con de variabili di sao si pò ilizzare lo schema Simlin di Fig.. ove il blocco conrassegnao con rappresena n inegraore ed il blocco MATLAB fncion implemena le s fnzioni f ed del sisema. M MATLAB Fncion Dem s s Figra. Schema Simlin per simlare n sisema a empo conino Così se si vole simlare il sisema: sin g ove g è la fnzione di inerpolazione lineare a rai dei pni di ascisse [- ] e ordinae [- ] la MATLAB fncion a ci si pò dare il nome fsisc risla: % FSISC.m fncion v=fsisc T=; U=; U=3; X=4; X=5; d=[- ]; gd=[- ]; Xp=-*X-sinT*X + inerpdgdu + U; Xp=-X-*X+U; Y=X-X; Y=X+.*X; v=[y Y Xp Xp]'; rern II-6

28 Esempio. Simlazione di sisemi a empo discreo. Uno schema Simlin per simlare n sisema a sao veore empo discreo con de variabili di sao pò essere qello di Fig..3 ove il blocco conrassegnao con rappresena n elemeno di riardo ed il blocco MATLAB fncion implemena le fnzioni f ed z del sisema. :34 M MATLAB Fncion Dem z z Figra.3 Schema Simlin per simlare n sisema a sao veore empo discreo Così se si vole simlare il sisema: la MATLAB fncion a ci si pò dare il nome fsisd risla: % FSISD.m fncion v=fsisd =; U=; U=3; X=4; X=5; Xp=X/+U; Xp=X*X/+U; Y=X; Y=X; v=[y Y Xp Xp]'; rern II-7

29 Esempio. Simlazione di aomi a sai finii a empo discreo. La simlazione di aomi a empo discreo pò essere effeaa in maniera semplice ilizzando l arificio di codificare i simboli di ingresso... con i nmeri narali... e facendo cosa analoga per i simboli di sao... e di scia.... In al caso lo schema di simlazione pò essere qello di Fig..4. La MATLAB fncion dovrà semplicemene implemenare la corrispondenza ra ingresso presene sao presene scia presene sao prossimo deaa dalle abelle di definizione delle fnzioni f ed. Figra.4 Schema Simlin per simlare n aoma a empo discreo Così se si vole simlare il conaore modlo 3 dell Esempio.6 inrodcendo le segeni codifiche: Simbolo di ingresso i Ingresso codificao Simbolo di sao i Sao codificao 3 Simbolo di scia i Uscia codificaa 3 la MATLAB fncion a ci si pò dare il nome fsisa risla: % FSISA.m fncion v=fsisa TXP=[ ; 3; 3 ]; TY=[; ; 3]; % In qes esempio l scia dipende solo dallo sao U=; X=; Y=TYX; XP=TXPXU; v=[y XP]; rern E ineressane noare che per il caso in esame la fnzione sao prossimo pò essere anche scria direamene in forma algebrica ilizzando la fnzione mod del MATLAB. Una possibile scrira della MATLAB fncion fsisa è allora la segene: II-8

30 % FSISA.m fncion v=fsisa U=; X=; Y=X; XP=modX-+U-3+; v=[y XP]; rern Nel capiolo 5 sarà mosrao come ilizzando na codifica binaria e l algebra di Boole binaria è sempre possibile algebrizzare le fnzioni f ed. II-9