Prof. Fausto Sacerdote - Topografia e cartografia digitale - Capitolo 4.3 Calcolo della probabilità e statistica

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1 APPENDICE - CALCOLO DELLA PROBABILITÀ E STATISTICA 1. Variabili aleatorie 1.1. Variabili 1D a valori in R - I risultati di ripetute misure di una stessa quantità non sono in generale tutti uguali, a causa di errori che sono presenti in ciascuna misura. A ciascuna operazione di misura corrisponde in generale un numero diverso, ma i valori ottenuti tendono ad addensarsi in un intervallo tanto più piccolo quanto più precise sono le misure. Il risultato di ciascuna misura non è prevedibile a priori, ma se si fa un numero molto elevato di misure si può prevedere che i loro valori si distribuiscono in modo piuttosto regolare (per esempio, la maggior parte di essi è contenuto in un piccolo intervallo, e si diradano sempre di più allontanandosi da tale intervallo. Questo comportamento, che si ripete quando si eseguono più serie di misure, mentre i singoli valori sono diversi da serie a serie, può essere descritto in un linguaggio matematico rigoroso introducendo il concetto di probabilità, che consente di associare ad ogni intervallo della retta reale un numero compreso fra 0 e 1 che indica la frazione del numero totale di misure che prevedibilmente cade in quell intervallo. La probabilità è definita a priori, e non ci si aspetta che i risultati la rispecchino esattamente, ma solo approssimativamente, e con un approssimazione tanto migliore quanto maggiore è il numero di ripetizioni della misura. Questi concetti, che sono qui espressi in maniera imprecisa, vengono rigorosamente precisati nell ambito della teoria della probabilità e della statistica (ad esempio, non solo si definisce la probabilità che il risultato di una misura cada in un certo intervallo, ma si può anche calcolare, in funzione del numero totale di ripetizioni della misura eseguite, la probabilità che il numero effettivo di misure che cadono in quell intervallo si discosti dal numero previsto più di una quantità fissata). Nei casi che saranno esaminati in seguito la probabilità per una quantità X (ad esempio la misura di una grandezza) può essere definita introducendo una funzione non negativa f X (x) (densità di probabilità - dp) tale che la probabilità che X cada in [a, b] è data da P {[a, b]} = b a f X (x)dx (1) La quantità X è detta variabile aleatoria (va). f X (x) può essere definita su tutto R anche se la probabilità di X limitato. In tal caso f X = 0 al di fuori di tale intervallo. Ovviamente è diversa da 0 solo in un intervallo f X (x)dx = 1 (2) Inoltre, poichè la probabilità che X cada in un intervallo tende a 0 al tendere a 0 dell ampiezza dell intervallo, P (X = x) = 0 per ogni singolo punto x. Questo non vuol dire che sia impossibile che il valore di una misura sia esattamente x ; vuol solo dire che, fissato in precedenza x ed eseguendo poi un numero finito di misure, in generale nessuna misura ha esattamente il valore x. La cosa non ha grandi conseguenze pratiche, poichè, quando si fa una misura, a causa della risoluzione finita dello strumento, non si determina mai un preciso numero reale, ma piuttosto un piccolo intervallo. Ad esempio, se si dice che la lunghezza di un segmento è1.013 m, si intende che essa è compresa fra m e1.014 m e che la risoluzione dello strumento è1mm. Se lo strumento avesse risoluzione maggiore, si userebbero più cifre decimali. NOTA: in teoria della probabilità esistono situazioni (non esaminate in questo contesto) in cui probabilità finite sono concentrate su singoli valori (si pensi ad esempio al lancio di un dado). Si parla allora di distribuzione di probabilità discreta. In questo caso non è possibile definire la funzione densità di probabilità. Si definisce funzione di distribuzione cumulativa (fdc) 1 1

2 x F X (x) = f X (t)dt = P {X x} (3) Quindi f X (x) =(d/dx)f X (x). È facile vedere che F X (x) è non decrescente per ogni x. Nel caso di distribuzioni di probabilità discrete la fdc può essere ugualmente definita dalla (3) omettendo il termine intermedio. In corrispondenza dei valori in cui sono concentrate probabilità finite F X (x) presenta una discontinuità. ESEMPI: - distribuzione uniforme: dove in generale si definisce f X (x) = 1 b a I [a,b](x) (4) I A (x) = { 1 x A 0 x A (5) La probabilità di sottointervalli di [a, b] è in questo caso proporzionale alla loro lunghezza. - distribuzione normale (o gaussiana): f X (x) = 1 exp ( 1 (x a) 2 ) 2πα 2 α 2 (6) Questa dp è quella più frequentemente adottata per descrivere la distribuzione di misure affette da errori casuali. Si noti che essa è simmetrica rispetto ad a ; il parametro α indica quanto il picco è concentrato intorno ad a Generalizzazione a R n. Marginale e condizionata. - In modo analogo si procede quando si vogliono trattare contemporaneamente le misure di diverse grandezze scalari, che possono essere ordinate in un vettore di R n. In questo caso ha senso chiedersi qual è la probabilità che il vettore le cui componenti sono le misure delle grandezze prese in considerazione (variabile aleatoria n-dimensionale) appartenga ad un certo sottoinsieme A di R n, ad esempio un determinato quadrato o cerchio in R 2,edè possibile, nella maggior parte dei casi che saranno qui trattati, introdurre anche in questo caso una funzione densità di probabilità f X (x) =f X (x 1,..., x n ) (densità di probabilità congiunta - dpcg), tale che P {X A} = A f X (x)d n x (7) Spesso accade che si sia interessati a conoscere la distribuzione di probabilità di una singola componente X, indipendentemente dalle altre. Si introduce allora la densità di probabilità marginale (dpm) di X : f X (x )= dx 1... dx 1 dx dx n f X (x) (8) Si ha allora P {a X b} = 2 b a f X (x )dx (9) 2

3 che rappresenta la probabilità che la coordinata X appartenga all intervallo [a, b], mentre le altre sono arbitrarie. L insieme a cui appartiene il vettore X è ad esempio in dimensione 3 uno strato infinito limitato da 2 piani paralleli ad uno dei piani coordinati. In modo analogo si ottiene la dpm congiunta di un sottoinsieme delle componenti di X, {X 1,..., X m }, integrando la dpcg rispetto alle restanti componenti. Per introdurre il concetto di probabilità condizionale con la corrispondente densità, si considerino inizialmente per semplicità due sole quantità con dpcg f X (x 1,x 2 ), e si supponga di voler conoscere la probabilità che la componente X 1 appartenga ad un intervallo [a, b], quando si sappia che la componente X 2 appartiene all intervallo [c, d] (indicata con P {X 1 [a, b] X 2 [c, d] ). Si vuole cioè prevedere, qualora si eseguano ripetutamente misure della coppia di grandezze X 1 e X 2, e si selezionino quelle misure per cui X 2 sta nell intervallo [c, d], in quale frazione di queste misure X 1 sta nell intervallo [a, b]. È facile rendersi conto che P {X 1 [a, b] X 2 [c, d]} = P {X 1 [a, b],x 2 [c, d]} P {X 2 [c, d]} = b a dx 1 d c dx 2f X (x 1,x 2 ) dx 1 d c dx 2f X (x 1,x 2 ) (10) Si supponga ora che l intervallo [c, d] abbia un ampiezza molto piccola x 2 ( d = c + x 2 ). In tal caso l integrale sulla variabile x 2 può essere approssimato da una semplice moltiplicazione del valore della funzione integranda in x 2 = c per x 2. Di conseguenza, la (10) diventa P {X 1 [a, b] X 2 [c, c + x 2 ]} = b a dx 1f X (x 1,c) x 2 dx 1f X (x 1,c) x 2 = b a = dx 1f X (x 1,c) b dx 1f X (x 1,c) = a dx 1 f X (x 1,c) f X2 (c) (10) (nell ultimo passaggio si è usata la definizione (8) per il denominatore). La funzione integranda nell ultimo termine è detta densità di probabilità condizionale (dpcd): f X1 X 2 (x 1 x 2 )= f X(x 1,x 2 ) f X2 (x 2 ) (11) Questa definizione è facilmente generalizzabile a R n, quando si voglia introdurre la dpcd relativa ad un insieme di componenti {X 1,..., X m }, condizionata a valori fissati per le rimanenti: f X1,...,X m Xj 1,...,Xj n m (x 1,..., x m x j1,..., x jn m )= f X (x) f Xj1,...,X jn m (x j1,..., x jn m ) (12) Tornando al caso 2-dimensionale, si osservi che, se è possibile esprimere la dpcg nella forma f X1 X 2 (x 1,x 2 )= g(x 1 )h(x 2 ), allora g e h coincidono a meno di un fattore di proporzionalità con le marginali f X1 e f X2, e si può scrivere senz altro f X1X 2 (x 1,x 2 )=f X1 (x 1 )f X2 (x 2 ). Si vede allora dalla (11) che la dpcd relativa a X 1 coincide con la dpm, e non dipende da x 2. Si dice in tal caso che X 1 e X 2 sono indipendenti. Generalizzando al caso n-dimensionale, si dice che n variabili aleatorie X 1,..., X n sono tra di loro a due a due indipendenti se f X (x) =f X1 (x 1 )...f Xn (x n ). 3 3

4 1.3. Cambiamento di variabile - Sia X una va scalare e sia y = φ(x) una funzione reale. Si può allora definire la va Y che ad ogni estrazione x dalla va X (cioè ad ogni misura della grandezza X avente come risultato x ) fa corrispondere il valore y = φ(x). Si supponga inizialmente che φ(x) sia monotona crescente e continua. Allora l immagine dell intervallo [x, x + x] è l intervallo [φ(x), φ(x)+ y],dove,se x è piccolo e se φ(x) è derivabile, y può essere approssimato con φ (x) x. Per introdurre la dp di Y, si osservi che, ovviamente, D altra parte P {φ(x) Y φ(x)+ y} = P {x X x + x} (13) P {x X x + x} f X (x) x P {φ(x) Y φ(x)+ y} f Y (φ(x)) y f Y (φ(x))φ (x) x (14) Da (13) e (14) segue f Y (φ(x)) = f X(x) φ (x) (15a) ovvero f Y (y) = f X(φ 1 (y)) φ (φ 1 (y)) (15b) Queste formule sono facilmente generalizzabili al caso che φ(x) non sia monotona e diversi valori x (i) abbiano la stessa immagine y (cioè φ(x (i) )=y per i =1,..., ). Si ha allora f Y (y) = 1 f X (x (i) ) φ (x (i) ) (16) Ad esempio, se y = x 2,siha f Y (y) = f X( y) 2 y + f X(+ y) 2 y (17) È possibile anche una generalizzazione al caso n-dimensionale. In questo caso y = φ(x) è una funzione da R n a R n (cioè ogni componente di y è esprimibile in funzione delle componenti di x ). Come esempi si possono considerare le espressioni delle coordinate cartesiane in funzione delle coordinate polari nel piano ( R 2 ) o nello spazio ( R 3 ). Sia J φ (x) la matrice Jacobiana di φ (cioè quella matrice i cui elementi sono (J φ ) ij = φ i / x j ). Allora f Y (y) = 1 f X (x (i) ) det J φ (x (i) ) (18) 4 4

5 1.4. Media e varianza. Momenti. Matrice di covarianza. Teorema della media e propagazione della covarianza. - Media e varianza: indici che esprimono la localizzazione e la dispersione di una va. Analogia con i concetti di centro di massa e di momento di inerzia per masse distribuite. - Media ( in dim.1) - Generalizzazione a dim.n E{X} µ X = E{X i } = x i f X d n x = R n E{X} µ X è il vettore di componenti E{X i } - Teorema della media: se y = φ(x) E{Y } = yf Y (y)dy = xf X (x)dx (19) Dimostrazione semplice per φ(x) monotona crescente e derivabile: x i f Xi dx i (20) φ(x)f X (x)dx E{φ(X)} (21) yf Y (y)dy = La formula però è valida in generale. - Linearità della media y f X(φ 1 (y)) φ (φ 1 (y)) dy = φ(x) f X(x) φ (x) φ (x)dx = φ(x)f X (x)dx (22) E{αX + βy } = = α dx dy(αx + βy)f XY (x, y) = dx xf X (x)+β dyyf Y (y) =αe{x} + βe{y } (23a) e anche E{αφ(x)+βψ(x)} = = α dx(αφ(x)+βψ(x))f X (x) = dxφ(x)f X (x)+β dxψ(x)f X (x) =αe{φ(x)} + βe{ψ(x)} (23b) - Varianza (in dim.1) var{x} σx 2 = E{(X µ X ) 2 } = σ X = var{x} scarto quadratico medio - Matrice di covarianza (in dim.n) C X : 5 (x µ X ) 2 f X (x)dx (24) 5

6 ovvero, in forma vettoriale, (C X ) ij = E{(X i µ Xi )(X j µ Xj )} (25a) C X = E{(X µ X )(X µ X ) T } (25b) C X è evidentemente una matrice simmetrica. Gli elementi diagonali sono le varianze delle componenti. NOTA E{( i v i (X i µ Xi )) 2 } = ij (C X ) ij v i v j = v T C X v (26) Quindi, per ogni v R n, v 0, v T C X v > 0. Si dice allora che la matrice C X è definita positiva. Si prova facilmente che il determinante di una matrice def.pos. è positivo. ESEMPIO (in dim.1) Per la distr. normale (densità di prob. def. in (6)) µ X = a, σx 2 = α2. Si usa il simbolo N[a, α 2 ]. In particolare, per a = 0,α = 1 si ha una normale standardizzata. - Momenti (semplici): µ (n) = E{X n }. - Momenti centrali: µ (n) = E{(X µ X ) n }. NOTA: µ (1) =0; µ (2) = σ 2 ;se f X è simmetrica rispetto a µ X, i momenti centrali di ordine dispari sono nulli. OSSERVAZIONE: var{x} = E{(X µ X ) 2 } = E{X 2 } 2µ X E{X} + µ 2 X = µ (2) X µ2 X (27) - Coefficiente di correlazione fra X e Y. Posto σ XY = E{(X µ X )(Y µ Y )} si definisce coefficiente di correlazione ρ XY = σ XY /σ X σ Y. Poichè σx 2 σ2 Y σ2 XY = det C XY > 0, segue che ρ < 1. NOTA: siano X e Y indipendenti. Allora σ XY = (x µ X )(y µ Y )f XY (x, y)dxdy = dx(x µ X )f X (x) dy(y µ Y )f Y (y) =0 (27bis) dato che (x µ X)f X (x)dx = xf X(x)dx + µ X f X(x)dx = µ X µ X = 0. Quindi due va indipendenti sono anche incorrelate. Il viceversa non è però vero: basta osservare che, se ad esempio f XY (x, y) è simmetrica per cambio di segno di x e y, allora σ XY = 0. Per le distribuzioni normali, tuttavia, come si può vedere dalla (30), se le componenti del vettore X sono incorrelate, la loro matrice di covarianza è diagonale, e quindi la loro ddp congiunta si spezza nel prodotto delle ddp delle singole componenti, che risultano quindi indipendenti. - Propagazione della covarianza Se y = Ax + b, allora C Y = E{[(AX+b) (Aµ X +b)][(ax+b) (Aµ X +b)] T } = AE{(X µ X )(X µ X ) T }A T = AC X A T (28) 6 6

7 In particolare, in dim.1 σax+b 2 = a2 σx 2. NOTA: si ha anche C YX E{[(AX + b) (Aµ X + b)](x µ X ) T } = AC X (29) Si noti che C YX non è simmetrica e che C YX = CXY T. Se y = φ(x) (in dim.1) è una funzione non lineare, non c è in generale una relazione semplice fra E{X} e E{Y }. Se però X è molto concentrata intorno alla sua media, nell intervallo in cui F X (x) è significativamente diversa da 0 φ(x) può essere approssimata con la sua linearizzazione φ(µ X )+φ (µ X )(x µ X ). Si può quindi applicare il teorema della media e la propagazione della covarianza alla forma linearizzata ed ottenere buone approssimazioni di µ Y e σy 2. È possibile dare una generalizzazione a dim.n (Qui non viene scritta esplicitamente) Distribuzione normale in dim. n f X (x) =(2π) n/2 (det C) 1/2 exp[ 1 2 (x a)t C 1 (x a)] (30) dove C è una matrice simm. def. pos.. Caso particolare: C = I,a =0: f Z (z) =(2π) n/2 exp[ 1 2 zt z]=(2π) n/2 exp[ 1 zi 2 ]= 2 i i (2π) 1/2 exp[ 1 2 z2 i ] (31) ovvero le componenti di Z sono normali standardizzate indipendenti. In tal caso si dice che Z è una normale standardizzata in dim. n. Media e matr. di cov. di una normale in dim. n: µ X = a,c X = C. Cenno di dimostrazione: - si opera la decomposizione C = HH T (è sempre possibile) - si introduce la va Z = H 1 (X a) - si verifica che Z è normale standardizzata (usando la regola di cambiamento di variabile) - si giunge al risultato applicando la linearità della media e la propagazione della covarianza. Si possono provare i seguenti risultati: - la somma di 2 normali è una normale. Più in generale, applicando una trasformazione lineare (anche fra spazi di dim. diversa) ad una normale, si ottiene ancora una normale - le marginali e le condizionate di una normale sono normali. In dim. 2 si ha ( (x µ X ) T C 1 1 (x1 µ 1 ) 2 (x µ X )= 1 ρ 2 12 σ1 2 (x 1 µ 1 ) (x 2 µ 2 ) 2ρ 12 + (x 2 µ 2 ) 2 ) σ 1 σ 2 σ2 2 (32) L equazione (x µ X ) T C 1 (x µ X )=cost. (33) 7 7

8 è l equazione di un ellisse nel piano x 1 x 2, con gli assi paralleli agli assi coordinati se ρ 12 = 0 in (32), e rappresenta una curva di livello per la dp. Il fatto che un asse dell ellisse sia molto più piccolo dell altro significa che nella direzione corrispondente la va è molto più concentrata che nella direzione ortogonale, e quindi si ha una precisione molto più elevata. Cambiando la cost. a secondo membro si ottengono ellissi tutte simili fra loro e orientate nello stesso modo. Esse possono essere caratterizzate ad esempio indicando la probabilità che la va cada al loro interno. 2. Stimatori. Correttezza e consistenza. Problema: disponendo di estrazioni da variabili aleatorie, trarre da questi dati informazioni riguardanti le distribuzioni di probabilità (ad es., sulla media o la varianza, più in generale su parametri che compaiono nelle densità di probabilità). Si cerca di costruire funzioni dei valori estratti (dette statistiche), i cui valori approssimano (nel senso che hanno elevata probabilità di essere vicini) quantità calcolabili a priori utilizzando le distribuzioni di probabilità. Esempio: se da una stessa distribuzione di prob. si eseguono n estrazioni indipendenti x i (campione bernoulliano), la quantità m = n 1 i x i (detta media campionaria) approssima la media µ X. Per chiarire bene in quale senso, bisognerebbe in generale conoscere la distrib. di prob. della va M = n 1 i X i, dove le X i sono tutte ugualmente distribuite e indipendenti. Tuttavia in questo caso, indipendentemente da tale distrib., si può subito dire che E{M} = n 1 i µ X = µ X ; σm 2 = n 2 i σ2 X = σ2 X /n. Il fatto che lim n σm 2 = 0 prova che, quanto più il campione è numeroso, tanto più elevata è la probabilità che M sia effettivamente vicino a µ X. Una statistica usata per approssimare il valore di una quantità a priori q è detta stimatore di q ; il valore ottenuto in base alle estrazioni disponibili è detto stima. Si osservi che uno stimatore è una va, in quanto funzione di va, mentre la stima è un numero, in corrispondenza ad ogni estrazione. Uno stimatore Q di q è detto corretto se E{Q} = q (ad esempio, la media campionaria). Si consideri ora per un campione bernoulliano la statistica S 2 = n 1 i (X i M) 2 (varianza campionaria), da utilizzare come stimatore della varianza σx 2. Per verificare se è corretto bisogna calcolare E{S2 }. Tenendo conto che (X i M) 2 =(X i µ X + µ X 1 X ) 2 =(X i µ X ) 2 2(X i µ X )( 1 X µ X )+ n n +( 1 X µ X ) 2 =(X i µ X ) 2 2(X i µ X ) 1 (X µ X )+ 1 n n n 2 [ (X µ X )] 2 si ottiene [ ] E{S 2 } = 1 E{(X i µ X ) 2 } 2 E{(X i µ X )(X µ X )} + 1 n n n 2 E{ (X µ X )(X l µ X )} = i l = 1 [nσ 2X 2n n nσ2x + 1n ] 2 n n σ2 = σx(1 2 1 n ) σ2 X (34) Quindi S 2 non è uno stimatore corretto di σ 2. Si osservi però che lim n E{S 2 } = σx 2 ; inoltre, si può provare (con calcoli molto laboriosi) che lim n σs 2 = 0. Di conseguenza, si può concludere anche 2 in questo caso che per un campione numeroso S 2 ha elevata probabilità di essere prossimo a σx 2,edè quindi ragionevole utilizzarlo come stimatore di σx 2. Uno stimatore che ha le proprietà viste sopra per S2 è detto consistente. 8 8

9 Si osservi inoltre che la statistica [n/(n 1)]S 2 =(n 1) 1 i (X i M) 2 è uno stimatore corretto di σx 2 ; essa è detta varianza campionaria corretta. Gli esempi visti non esauriscono ovviamente l illustrazione delle proprietà degli stimatori, nè indicano regole generali per costruirli. Viene qui indicata una procedura per ottenere, partendo da un insieme di dati (non necessariamente campione bernoulliano) che ammette una densità di probabilità congiunta (funzione di verosimiglianza) dipendente da un parametro a, uno stimatore di a : si calcola il valore di a (se esiste) che massimizza la funzione di verosimiglianza (stimatore di massima verosimiglianza). Non è però detto a priori che gli stimatori di max. ver. abbiano particolari proprietà (siano ad esempio corretti o consistenti). Ad esempio, M e S 2 sono entrambi stimatori di max. ver.; come si è già visto, M è corretto, mentre S 2 non lo è. Si noti che per un campione bernoulliano la funz. di ver. è il prodotto n volte della stessa dp, in virtù dell indipendenza delle estrazioni. 3. Verifica di ipotesi 3.1. Test parametrici - si assume noto il tipo di densità di prob. (ad es. gaussiana), dipendente da uno o più parametri; l ipotesi da verificare è che una parte o tutti i parametri assumano determinati valori. Il procedimento generale consiste nell usare una particolare statistica, la cui distribuzione di prob. è completamente nota quando i parametri assumono i valori ipotizzati, e nell individuare un insieme di valori (in genere un intervallo) in cui il valore empirico di quella statistica ha un elevata probabilità di cadere. Si decide allora di accettare l ipotesi se, in corrispondensa dei valori estratti, il valore di quella statistica cade in quell insieme, di rifiutarla in caso contrario. Naturalmente si corre sempre il rischio (indicato con α e detto livello di significatività del test) di rifiutare l ipotesi quando essa è verificata. NOTA 1: Se si vuole verificare un ipotesi su una parte soltanto dei parametri ed il valore dei rimanenti non è noto, bisogna utilizzare statistiche che non dipendono dai parametri sconosciuti. NOTA 2: Non sempre è facile, anche quando sia noto il tipo di dp dei dati, dedurre da esso la forma della dp della statistica. La situazione in generale èpiù semplice nel caso di distribuzioni gaussiane. Spesso accade di dover ricorrere a dp approssimate (valide, ad es., per campioni molto numerosi). NOTA 3: Esistono anche altre famiglie di test (non parametrici), ad esempio test per verificare l appartenenza di una distrib. di prob. ad una certa famiglia. ESEMPIO: estrazioni indipendenti da una gaussiana N[µ, σ 2 ]. Si suppone noto σ 2, e si fa l ipotesi H 0 : µ = µ. È naturale usare come statistica la media campionaria M, la cui dp è N[µ, σ2 /n] (n=numero dei valori estratti) e, fissato α, in assenza di motivazioni specifiche in senso contrario, prendere come intervallo di accettazione di H 0 un intervallo simmetrico intorno a µ : µ a α <m< µ + a α,dove m è il valore empirico di M e a α è determinato in modo che il livello di significatività sia proprio α. NOTA: Il fatto che m cada nell intervallo sopra indicato consente di accettare ipotesi diverse da H 0 allo stesso livello di significatività, ovvero tutti i valori µ tali che m a α <µ<m+ a α (intervallo fiduciario) vengono accettati. Mentre, come si è visto, è facile valutare la prob. di commettere l errore di rifiutare l ipotesi quando è vera, in generale èpiùdifficile determinare la prob. di commettere l errore opposto, cioè di accettare l ipotesi quando è falsa, perchè in questo caso non è individuata una precisa dp. Può però accadere di formulare un ipotesi alternativa H 1 semplice: ad es., nel caso sopra esaminato, µ = µ. Si possono fare allora le seguenti osservazioni:. la prob. β di accettare H 0 quando è vera H 1 può anche essere molto elevata, se µ e µ sono vicine e se σ 2 è grande;. non c è più ragione di prendere un intervallo simmetrico: se ad es. µ µ, a parità di α, β viene minimizzata scegliendo come insieme di accettazione di H 0 la semiretta <m< µ + b α ; 9 9

10 . fissati µ, µ, α, β è tanto più piccolo quanto più numeroso è il campione estratto Densità di probabilità più usate. χ 2 n (chi quadro a n gradi di libertà): f X (x) =C n e (x/2) x (n/2) 1. distrib. F λ,ν di Fisher con parametri λ, ν :. distrib. t ν di Student a ν gradi di libertà: x (λ 2)/2 f X (x) =C λ,ν (λx + ν) (λ+ν)/2 f X (x) =C ν (1 + x2 ν ) (ν+1)/2 -se Z i, i =1,,n sono Gaussiane standardizzate indipendenti, allora la va Y = n i=1 Z2 i ha distrib. χ 2 n. Segue che, se Y n, Y m hanno rispettivamente distrib. χ 2 n, χ 2 m ; e sono fra loro indip., allora W = Y n + Y m ha distrib. χ 2 n+m ; -se Z è Gauss. stand., X = W 1/2,Wdistribuita come χ 2 ν,e Z e W sono fra loro indipendenti, allora Y = νz/x ha distrib. t ν ; -se W λ ha distrib. χ 2 λ e W ν ha distrib. χ 2 ν,e W λ,w ν sono fra loro indip., allora Y =(W λ /λ)/(w ν /ν) ha distrib. F λ,ν. Segue che Z =1/Y ha distrib. F ν,λ. NOTA1: tutte queste ddp sono tabulate NOTA2: si può verificare che lim ν t ν = Z (nel senso che, se X ν è una successione di va con distrib. t ν e Z è Gauss. stand., P (a X ν b) P (a Z b) ; nello stesso senso lim ν F λ,ν = χ 2 λ. - Si può provare che, se Y è un vettore aleatorio n-dim con dp congiunta Gaussiana e C è la sua matrice di covarianza, allora (Y EY) T C 1 (Y EY) ha distribuzione χ 2 n. Infatti, essendo C simmetrica definita positiva, è sempre possibile scrivere C = H 2, H simmetrica definita positiva. Posto Z = H 1 (Y EY), evidentemente (Y EY) T C 1 (Y EY) =Z T Z,e Z è gaussiana standardizzata, ovvero EZ =0,C Z = H 1 CH 1 = I