Trigonometria. Scopo della trigonometria. Teoremi fondamentali sul triangolo rettangolo

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1 Trigonometria Scopo della trigonometria Scopo della trigonometria piana è la risoluzione di un triangolo, cioè la determinazione dei suoi sei elementi, i tre lati e i tre angoli, quando se ne conoscano tre tra i quali almeno un lato. Conveniamo di denotare le lunghezze del triangolo ABC con a, b, c e le misure degli angoli dei vertici A, B, C con α, β, γ rispettivamente. Teoremi fondamentali sul triangolo rettangolo In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra il cateto opposto all angolo e l ipotenusa e il coseno è uguale al rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa. La tangente è uguale al rapporto tra il cateto opposto all angolo e il cateto adiacente e la cotangente è uguale al rapporto tra il cateto adiacente all angolo e il cateto opposto. Da queste definizioni si deducono le formule che esprimono i teoremi fondamentali sul triangolo rettangolo. Teorema I. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo acuto opposto al cateto stesso. Dim. Dalla definizione di seno abbiamo che: senβ = b a b = a senβ Teorema II. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il coseno dell angolo acuto ad esso adiacente. Dim. Dalla definizione di coseno abbiamo che: cosβ = c c = a cosβ a

2 Teorema III. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell altro cateto per la tangente dell angolo acuto opposto al primo cateto. Dim. Dalla definizione di tangente abbiamo che: tgβ = b c b = c tgβ Teorema IV. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell altro cateto per la cotangente dell angolo acuto adiacente ad esso adiacente. Dim. Dalla definizione di cotangente abbiamo che: ctgβ = c b c = b ctgβ Risoluzione dei triangoli rettangoli Abbiamo già detto che risolvere un triangolo rettangolo significa determinare i tre lati e i tre angoli conoscendo tre elementi tra i quali almeno un lato. Per ridurre gli errori di approssimazione, si cercherà, quando sia possibile, di calcolare gli elementi incogniti adoperando elementi dati e non elementi incogniti precedentemente trovati. Si presentano quattro casi: 1. Sono dati i due cateti. Sono dati l ipotenusa e un cateto 3. Sono dati un cateto e un angolo acuto 4. Sono dati l ipotenusa e un angolo acuto 1 caso. Dati i cateti b, c calcolare α, β, γ Applicando il teorema di Pitagora calcoliamo a: a = b + c

3 Dalla formula: tgβ = b c β = arctg b c Trovato β, si ha subito che γ = 90 β Esempio Risolvere il triangolo rettangolo conoscendo i cateti b = 0 e c = 0 6. a = b + c = = 300 = 40 tgβ = b c = = 1 3 = 3 3 β = arctg 3 3 β = 30 γ = 90 β = = 60 caso. Dati l ipotenusa a, e il cateto b calcolare c, β, γ Applicando il teorema di Pitagora calcoliamo c: Dalla formula: c = a b Trovato β, si ha subito che senβ = b a β = arcsen b a γ = 90 β

4 Esempio Risolvere il triangolo rettangolo conoscendo a = 4 e c = 3. a = a c = 16 1 = 4 = senγ = c a = 3 4 γ = arcsen 3 = 3 γ = 60 γ = 90 γ = = 30 3 caso. Dati il cateto b, e l angolo acuto β calcolare a, c, γ Conosciuto β, si ha subito che Poiché Infine γ = 90 β b = a senβ a = c = b ctgβ b senβ Esempio Risolvere il triangolo rettangolo di cui si conoscono il cateto b = 4 e il cosγ = 3 5. cosγ = 3 5 γ = arccos 3 5 β = π arccos 3 5

5 senγ = 1 cos γ senγ = senγ = 4 5 tgγ = senγ cosγ tgγ = 4 3 c = b tgγ c = 4 4 c = 3 3 b = a senβ a = b senβ a = b 4 a = cosγ 3 5 a = 40 4 caso. Dati l ipotenusa a, e l angolo acuto β calcolare b, c, γ Conosciuto β, si ha subito che γ = 90 β Il calcolo dei cateti avviene con le formule b = a senβ c = a cosβ Esempio Risolvere il triangolo rettangolo conoscendo a = 10 e β= 60. Conosciuto β, si ha subito che γ = 90 β γ = γ = 30 b = a senβ b = 10 sen60 b = 10 3 b = 5 3 c = a cosβ c = 10 cos60 c = 10 1 c = 5

6 Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli Area di un triangolo L area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati consecutivi per il seno dell angolo compreso. Sappiamo che l area di un triangolo è: S = 1 c h Ma h = b senα Quindi S = 1 c b senα Teorema della corda in una circonferenza In una circonferenza la misura di una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insistono su quella corda. Il triangolo ABC è inscritto in una semicirconferenza e pertanto è rettangolo in B. Per uno dei teoremi sui triangoli rettangoli visti in precedenza abbiamo: AB = r senθ = r sen(π θ)

7 Teoremi sui triangoli qualunque Teorema dei seni In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell angolo opposto è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. Per il teorema della corda, detta r la misura del raggio della circonferenza circoscritta abbiamo che: Essendo i tre rapporti uguali a r si ha: a = r sen α b = r sen β c = r sen γ a senα = b senβ = a senα = r b senβ = r c senγ = r c senγ Teorema di Carnot o del coseno In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell angolo che essi formano.

8 Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo CHB si ha: Per i teoremi relativi ai triangoli rettangoli si ha: Sostituendo i valori trovati nella (1), si ottiene Osservazione CB = CH + HB (1) CH = b senα AH = b cosα HB = c b cosα a = b sen α + (c b cosα) a = b sen α + c + b cos α b c cosα a = b sen α + c + b cos α b c cosα a = b (sen α + cos α) + c b c cosα a = b + c b c cosα Se il triangolo è rettangolo (α = 90 e cosα = 0) il questo teorema si riduce al teorema di Pitagora. Pertanto possiamo chiamare il teorema di Carnot teorema di Pitagora generalizzato. Risoluzione dei triangoli obliquangoli Anche per la risoluzione dei triangoli non rettangoli si hanno quattro casi: 1. Sono dati un lato e due angoli. Sono dati due lati e l angolo opposto ad uno di essi 3. Sono dati due lati e l angolo compreso 4. Sono dati i tre lati 1 caso. Dati il lato a e i due angoli β e γ (con β+γ < 180 ) calcolare b, c, α Conoscendo β e γ possiamo calcolare α

9 α = 180 (β + γ) I lati b e c si ricavano applicando il teorema dei seni Esempio a senβ a: senα = b: senβ b = senα a senγ a: senα = c: senγ c = senα Risolver il triangolo di cui si conosce a = 4, β = 60, γ = 45. Conoscendo β e γ possiamo conoscere α Per il teorema dei seni si ha α = 180 (β + γ) α = α = 75 a: senα = b: senβ 4: sen75 = b: sen60 b = a: senα = c: senγ 4: sen75 = c: sen45 c = 4 sen60 sen75 4 sen45 sen75 b = 1 6( 3 1) c = 4( 3 1) caso. Dati i due lati a e b e l angolo α calcolare β, γ, c Dal teorema dei seni si ha a: senα = b: senβ senβ = b senα a Determinato β e conoscendo α possiamo sapere γ b senα β = arcsen a (1) γ = 180 (α + β) Applicando ancora il teorema dei seni si determinerà c a: senα = c: senγ c = a senγ senα

10 Discussione Affinché il problema sia possibile deve essere Si possono distinguere tre casi 0 < senβ 1 0 < α + β < 180 b senα a 1 b senα a 1 ) b senα > a: il problema è impossibile in quanto il seno non può assumere valori superiori a uno ) b senα = a: in questo caso risulta senβ = 1, cioè β = 90 e il problema è possibile solo se α è acuto 3 ) b senα < a: dalla (1) si ottengono due valori β1 e β, supplementari tra loro (poniamo β1 uguale all angolo acuto e β = β1 uguale all angolo ottuso). Per decidere se entrambi gli angoli sono accettabili come soluzioni del problema, bisogna esaminare tre sotto casi: I) Sia b < a: deve risultare β < α e qualunque sia α, β deve risultare acuto. In questo caso è accettabile solo β1. II) Sia b = a: deve risultare α = β e se α 90 il problema è impossibile; mentre per α < 90 solo β1 = α è soluzione accettabile. III) Sia b > a: deve risultare β > α e se α 90 il problema è impossibile; mentre per α < 90 sia β1 che β sono soluzioni accettabili. Riassumendo Se α è acuto il problema può avere nessuna, una o due soluzioni Se α è ottuso il problema può avere nessuna o una soluzione Esempio 1 Risolvere il triangolo di cui si conoscono i seguenti elementi: a = 6 + ; b = ; α = 75 b < a implica che β < α = 75. Quindi se senβ < 1 il problema sarà possibile e avrà una sola soluzione dovendo β essere acuto. Calcoliamo senβ = b senα a ( 6 + ) senβ = 4 ( 6 + ) = senβ = β = 45 γ = 180 ( ) γ = 60

11 Dal teorema dei seni ricaviamo c = a senγ senα 3 c = c = 3 Esempio Determinare il perimetro del triangolo ABC di cui si conoscono i seguenti elementi: a = k 3; b = 6k; α = 30 Dai dati risulta che b > a e quindi β > α = 30. Pertanto β può essere sia acuto che ottuso Per il teorema dei seni abbiamo a: senα = b: senβ senβ = b senα a senβ = 6k 1 3 senβ = k 3 β 1 = 60 Β = 10 Abbiamo come soluzioni due triangoli. Il primo è un triangolo rettangolo con α = 30 ; β = 60 ; γ = 90 ; b = 6k; a = k 3 ; c ipotenusa c = 36k + 1k c = 48k c = 4k 3 Perimetro p = k 3 + 6k + 4k 3 p = 6k 3 + 6k p = 6k( 3 + 1) Il secondo triangolo è ottusangolo isoscele con α = 30 ; β = 10 ; γ = 30 ; b = 6k; a = c = k 3

12 C 4k 3 k 3 B k 3 A Perimetro p = 6k + k 3 + k 3 p = 6k + 4k 3 p = k(3 + 3) 3 caso. Dati i due lati a e b e l angolo compreso α determinare α, β, c Il terzo lato c si può determinare applicando il teorema di Carnot: c = a + b a b cosγ Gli angoli α e β si possono determinare applicando il teorema dei seni o il teorema di Carnot. Esempio Risolvere il triangolo di cui si conoscono i seguenti elementi: Per il teorema di Carnot si ha a = 3; c = 6 + ; β = 45 b = a + c a c cosβ b = ( 6 + ) Applicando il teorema dei seni si ha b = b = 8 b =

13 3 a: senα = b: senβ senα = senα = 3 α = 60 e α = 10 γ = 180 (α + β) γ = γ = 75 γ = 180 (α + β) γ = γ = 15 c > a implica che γ > α. Pertanto α = 10 e γ = 15 non sono accettabili. 4 caso. Dati i tre lati a e b e c determinare α, β, γ Gli angoli si possono ricavare applicando il teorema di Carnot cosα = b + c a b c cosβ = a + c b a c Esempio cosγ = a + b c a b Determinare gli angoli del triangolo di cui si conoscono i lati a = 6; b = 3 + 3; c = 3 cosα = b + c a b c cosβ = a + c b a c = (3 + 3) (3 + 3) (3 + 3) = = = α = 30 β = 105 cosγ = a + b c a b = 6 + (3 + 3) 1 6(3 + 3) = γ = 45

14 Applicazioni della trigonometria Coefficiente angolare di una retta Consideriamo la retta passante per l origine di equazione y = mx. P y O α x H Consideriamo il triangolo rettangolo OPH. Per la definizione di tangente abbiamo che tgα = y x = m Si deduce che il coefficiente angolare di una retta passante per l origine è la tangente trigonometrica dell angolo che la retta forma con l asse delle x descritto in senso antiorario dalla semiretta positiva dell asse x per sovrapporsi alla retta data. Se la retta si trova nel I e III quadrante il suo coefficiente angolare è positivo essendo uguale alla tangente di un angolo acuto che sappiamo essere positiva. tgα = m > 0 Se la retta si trova nel II e IV quadrante il suo coefficiente angolare è negativo essendo uguale alla tangente di un angolo ottuso che sappiamo essere negativa. tgα = m < 0

15 Consideriamo ora una generica retta r non passante per l origine e parallela alla retta r passante per l origine. r P r y α O α x H Gli angoli α e α sono uguali perché corrispondenti e quindi tgα = tgα = m Possiamo dunque affermare che il coefficiente angolare di una qualsiasi retta, non parallela all asse y, è la tangente trigonometrica dell angolo che la retta forma con l asse delle x. Se la retta è parallela all asse delle x il coefficiente angolare è zero α = 0 tg0 = 0 m = 0 Se la retta è parallela all asse delle y il coefficiente angolare non esiste Esempio 1 α = 90 tg90 non esiste Scrivere l equazione della retta passante per il punto P(-1; 3) e formante un angolo di 10 con l asse x. La retta richiesta ha equazione y 3 = tg10 (x + 1) y 3 = 3(x + 1) y = 3x

16 Esempio Determinare il parametro k in modo che a retta di equazione Formi un angolo di 135. La retta data ha coefficiente angolare kx (k 1)y + 3 = 0 m = k k 1 con k 1 tg135 = 1 k k 1 = 1 k = 1 3 Angolo tra due rette Definiamo angolo tra due rette ciascuno dei due angoli acuti e opposti al vertice formati da due rette incidenti e non perpendicolari. Nel sistema di riferimento Oxy le rette r ed s di equazioni r y = mx + q s y = m x + q γ r s β O α

17 Ricordando le formule di addizione della tangente e ricordando che gli angoli supplementari hanno tangenti opposte si ha tgα tgβ tgγ = tg(α β) = 1 + tgα tgβ Osservazione m m tgγ = 1 + m m I. Nella formula è indifferente l ordine con cui si considerano i coefficienti angolari delle due rette. II. Se le rette sono parallele essendo m = m risulta tgγ = 0 III. Se le rette sono perpendicolari essendo 1 + mm = 0 la tgγ non esiste Esempio 1 Determinare l angolo γ tra le due rette di equazioni x 5y + 7 = 0 ; 3x + 7y 8 = 0 I coefficienti angolari delle due rette sono rispettivamente Esempio m = 5 e m = 3 7 tgγ = tgγ = 1 γ = 45 7 Determinare l equazione di una retta passante per P(3; 1) e formante un angolo di 45 con la retta di equazione y = x 1. La retta cercata avrà equazione Sappiamo inoltre che y 1 = m(x 3) Risolvendo otteniamo tg45 = m 1 + m m 1 + m = 1 m 1 + m = ±1 m = 3 m = 1 3 Il problema ha due soluzioni y 1 = 3(x 3) ; y 1 = 1 (x 3) 3

18 EQUAZIONI PARAMETRICHE DELLE CONICHE Equazioni parametriche della circonferenza L equazione della circonferenza di centro C(x0; y0) e raggio r è (x x 0 ) + (y y 0 ) = r ( x x 0 r Ricordando la prima relazione fondamentale sen x + cos x = 1 E introducendo un parametro θ possiamo porre cosθ = x x 0 r senθ = y y 0 r ) + ( y y 0 ) = 1 r E da queste equazioni otteniamo le equazioni parametriche della circonferenza Esempio 1 { x = x 0 + rcosθ y = y 0 + rsenθ con θε[0, π) Scrivere le equazioni parametriche della circonferenza di equazione x + y + 4x 8y + 1 = 0 Per scrivere le equazioni parametriche abbiamo bisogno delle coordinate del centro e del raggio. C( ; 4); r = 19 Le equazioni richieste sono x = + 19cosθ { y = senθ con θε[0, π) Esempio Scrivere l equazione cartesiana del luogo di equazioni parametriche x = + 3cosθ { y = 1 + 3senθ con θε[0, π) Dalle equazioni sappiamo che coordinate del centro della circonferenza e la misura del raggio C(; 1) r = 3 L equazione della circonferenza ha equazione (x ) + (y 1) = 9 x + y 4x y 4 = 0

19 Equazioni parametriche dell ellisse Dall equazione canonica dell ellisse basta porre x a + y b = 1 cosθ = x a senθ = y b per avere le equazioni parametriche x = a cosθ { y = b senθ con θε[0, π) Equazioni parametriche dell iperbole L equazione canonica dell iperbole La possiamo anche scrivere come x a y b = 1 y b = x a 1 y = b ( x a 1) y = b ( x a a ) y = b a (x a ) y = ± b a x a y = ± b a x x x a y = ± b a x x a x y = ± b a x 1 a x (1)

20 Posto La (1) diventa a = cosθ x = a x cosθ y = ± b a a cosθ 1 cos θ y = ± b senθ y = b tgθ cosθ Il doppio segno è stato eliminato poiché tgθ assume sia valori positivi che negativi. Le equazioni parametriche dell iperbole sono a x = { cosθ y = b tgθ con θε[0, π) { π ; 3 π} Esempio Scrivere l equazione cartesiana del luogo di equazioni parametriche Trasformiamo le equazioni in un altra forma x = 1 + { cosθ cosθ + 3 senθ y = cosθ x 1 = 1 { cosθ y = + 3 senθ cosθ x 1 { y 3 = 1 cosθ = tgθ Elevando ambo i membri delle due equazioni al quadrato e sottraendo le due equazioni così ottenute membro a membro si ha l equazione richiesta (x 1) 4 (y ) { 9 = 1 cos θ = sen θ cos θ (x 1) 4 (y ) 9 = 1 sen θ cos θ (x 1) (y ) = 1 4 9

21 Distanza tra due punti separati da un ostacolo I caso Si voglia determinare la distanza tra due punti A e B separati da un ostacolo, ma entrambi accessibili. Fissiamo un punto C, distante da A e B rispettivamente b ed a e dal quale i due punti sono visibili. Misuriamo l angolo AC B = γ Del triangolo ABC conosciamo ora due lati e l angolo compreso. La distanza AB è calcolabile mediante il teorema di Carnot. x = a + b a b cosγ II caso I due punti sono visibili l uno dall altro, ma solo B è accessibile. Fissiamo un punto C, distante da B a e dal quale il punto A sia visibile. Misuriamo gli angoli l angolo AC B = γ e AB C = β. Applicando il teorema dei seni al triangolo ABC si ha x: senγ = a: sen[180 (β + γ)] x = a senγ sen(β + γ)

22 Distanza tra due punti entrambi inaccessibili (problema di Snellius matematico olandese) Vogliamo determinare la distanza tra due punti A, B inaccessibili ma visibili. Fissati due punti D e C ad una distanza a, si misurano gli angoli α, β, γ e δ. Applicando il teorema dei seni al triangolo ACD otteniamo a senα AC : senα = a: sen(α + γ) AC = sen(α + γ) Applicando lo stesso teorema al triangolo BCD otteniamo a senβ BC : senβ = a: sen(β + δ) BC = sen(β + δ) Del triangolo ACB conosciamo, ora, i lati AC e BC e l angolo tra loro compreso. Applicando il teorema di Carnot determiniamo la distanza incognita AB. Esercizi Una bellissima principessa è intrappolata in una torre con un unica finestra all altezza di 10 metri; inoltre la torre è circondata da un fossato largo 5 metri. Quanto deve essere lunga la scala per arrivare esattamente alla finestra? Immaginiamo di essere in spiaggia, a mezzogiorno. Siccome fa molto caldo, vogliamo piantare l ombrellone in modo che produca più ombra possibile. L unica cosa che possiamo cambiare è l angolo che il palo dell ombrellone forma con il terreno. Come lo piantiamo? E perché? Supponiamo di essere degli astronomi, e aver osservato una grossa e pericolosa cometa in orbita intorno alla Terra. Se tale cometa orbitasse a km dalla superficie terrestre, sarebbe un enorme problema per le telecomunicazioni, in quanto potrebbe scontrarsi con i satelliti. Dalle

23 osservazioni effettuate si è dedotto solo che tale cometa percorre in un minuto una distanza di 00 km e che, dal nostro punto di vista, in un minuto si sposta nel cielo di 0,4 gradi. I satelliti sono al sicuro? Problemi di topografia/astronomia: 1. Due osservatori, posti alla distanza di 00 m sullo stesso piano orizzontale, a quota 800 m sul livello del mare, vedono la cima di una montagna sotto gli angoli rispettivamente di 45 6'37" e 30 '49". Tenendo presente che le letture precedenti vengono fatte nello stesso piano verticale, qual è l'altezza della montagna sul livello del mare?. Il terreno adiacente ad una torre AB di piede inaccessibile è inclinato. Due osservatori sono posti in due punti P e Q distanti 15 m, tali che = 58 3'18", = 4 45'30" e = 40 4'38"; inoltre l'angolo sotto cui viene visto da P il piede A della torre rispetto al piano orizzontale è 18 5'36". Calcolare l'altezza della torre. 3. Da due punti A e B, distanti 50 m, è visibile, ma non accessibile, un punto P, tale che = 50 3'1" e = 80 40'37". Trovare la distanza. 4. Da due punti A e B, non visibili l'uno dall'altro ma accessibili, è visibile ed accessibile un punto P tale che = 70 m, = 85 m ed = 60 45'. Calcolare la distanza. 5. Due punti A e B, posti sullo stesso meridiano terrestre, individuano su questo un arco di lunghezza 111 km. Sapendo che A e B hanno latitudine rispettivamente 30 e 40, trovare il raggio terrestre (supposta la Terra di forma sferica). 6. Due osservatori A e B sono posti su uno stesso meridiano terrestre, rispettivamente alle latitudini di -39 3' e 50. Mentre l'osservatore A vede la Luna al suo orizzonte, l'osservatore B la vede al suo zenit. Sapendo che il raggio medio della Terra è 6371 km, trovare la distanza Terra-Luna. 7. Una scala, appoggiata ad una parete, è inclinata di 70 sul piano del pavimento; quando la linea d'appoggio sul pavimento s'allontana di 30 cm dalla parete, l'angolo d'inclinazione diventa di 6. Calcolare la lunghezza della scala. 8. Due paletti, uno lungo 10 cm e l'altro 10 cm, sono disposti uno dietro l'altro, alla distanza di 4 m, da una stessa parte di un fossato. Un osservatore, situato dall'altra parte del fossato, li vede sotto lo stesso angolo. Calcolare la distanza dell'osservatore dal primo paletto e l'angolo sotto cui egli vede entrambi. 9. Nella figura è rappresentata una torre «pendente». C e D sono due punti giacenti nel medesimo piano orizzontale del piede B della torre. Note le distanze =c e = d e gli angoli di visuale = γ, = δ, risolvere le seguenti questioni: a. determinare la formula che dà l'altezza verticale della torre; b. calcolare l'altezza verticale AH della torre e la lunghezza del fianco AB per c = 4 m, d = 50 m, γ = 39 50', δ = 8 1'.

24 Problemi di fisica: 1. Una imbarcazione si sposta sotto l'azione di due spinte, una dovuta al funzionamento del suo motore e l'altra al vento. La velocità provocata dall'azione del motore è di m/s, quella provocata dal vento è di 0.8 m/s e le due velocità formano tra loro un angolo di 7 45'. Determinare con quale velocità si sposta l'imbarcazione, calcolandone l'intensità e l'inclinazione rispetto alla direzione del vento.. Una forza di 49,6 N, applicata ad un punto materiale, ne provoca lo spostamento di 74 cm. Sapendo che il lavoro che essa compie è di 4 J, determinare l'ampiezza dell'angolo tra la direzione della forza e quella dello spostamento. 3. Sopra un piano inclinato liscio di lunghezza l = 1 m e altezza h = 4 m è posto un cubo di ferro di massa m =,8 kg. Determinare quale forza parallela al piano inclinato è necessaria per mantenere in equilibrio il cubo. Calcolare poi l'intensità della reazione vincolare e l'ampiezza dell'angolo di inclinazione del piano. 4. Una palla da biliardo, che si muove su un piano orizzontale con velocità v di modulo 1,50 m/s, urta una seconda palla di massa uguale, inizialmente ferma, rimbalzando (nel piano del biliardo) in una direzione che forma un angolo di 60 con la direzione di incidenza e con velocità v1 = 0,66 m/s (si veda figura). Trovare direzione e modulo della velocità assunta dopo l'urto dalla palla urtata. Per risolvere il problema si tenga presente il teorema di conservazione della quantità di moto. 5. Un corpo sul quale agisce una forza F di intensità 5 N si trova in equilibrio su un piano inclinato. L'angolo di inclinazione del piano sia α = 30. Determinare il peso del corpo, la sua massa e l'accelerazione cui sarebbe soggetto se la forza F valesse invece 3N.

25 6. Il sistema di due pesi in figura si trova in equilibrio. Essendo noto che P, = 0 N, α = 60 e β = 30, si calcoli il peso P1 e la forza cui è sottoposta la carrucola. 7. Una forza F = 0 N è applicata ad un corpo per un tratto orizzontale lungo L = 50 m. Si calcoli il lavoro fatto dalla forza nel caso in cui: a. forza e spostamento siano di uguale direzione e verso; b. forza e spostamento siano ortogonali tra loro; c. forza e spostamento siano paralleli e di verso opposto; d. l'angolo tra forza e spostamento sia pari ad α; in quest'ultimo caso si tracci un grafico del lavoro compiuto in funzione dell'angolo. 8. Un corpo scivola lungo un piano inclinato di altezza h che forma un angolo α con l'orizzontale, secondo una traiettoria formante un angolo β con il fondo del piano inclinato. Il corpo ha una massa m e il coefficiente di attrito vale μ. Si calcoli, in funzione delle variabili date, il lavoro fatto dalle forze di attrito nello scivolamento del corpo. 9. Durante una prova per sperimentare misure di sicurezza, due auto vengono lanciate una contro l'altra in un urto a 90. Le velocità e le masse delle due auto sono, rispettivamente: v1 = 7 km/h, m1 = 500 kg, v = 36 km/h, m = 1000 kg. Se l'urto è completamente anelastico, trovare la velocità del sistema dopo l'urto e calcolare la frazione di energia meccanica che viene persa nella collisione. Bibliografia: N. Dodero P. Baroncini R. Manfredi: Elementi di matematica 3 Ghisetti & Corvi editore