Appartenenza 3 interpretazione insiemistica rette/piani/spazio = insiemi di punti che vi appartengono

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1 Piano e spazio euclidei/1 Gli assiomi di Euclide Definizioni 1-3 e 5-6: nozione intuitiva di dimensione (definizione induttiva di Poincaré) Definizioni 4 e 7: come interpretare giace ugualmente? (non basta l uguaglianza della noz. com. 4 serve una nozione di direzione o minimalità) Definizione 23: rette parallele (non si può costruire l intersezione) (definizione equivalente basata sull equidistanza) Postulati 1-3: costruzioni di (segmenti) rette e cerchi Postulato 4: angoli retti 3 costruzione di movimenti rigidi Postulato 5: postulato delle parallele (costruzione intersezione), per ogni P /2 r esiste unica r 0 k r passante per P, somma angoli interni triangoli = angolo piatto Nozioni comuni: riguardano la nozione di misura (geometria) (4 3 misura e movimenti rigidi, 5 3 finitezza) Gli assiomi di Hilbert Appartenenza 3 interpretazione insiemistica rette/piani/spazio = insiemi di punti che vi appartengono Ordinamento (assiomi 9-12) 3 semirette e segmenti O 2 r 3 P Q, O non sta tra P e Q (rel. di equiv. su r {O}) 3 s, s 0 r semirette con origine O (classi di equiv.) P, Q 2 r 3 segmento bbbbbb P Q = {P, Q} [ {R 2 r R sta tra P e Q} 3 segmento orientato bbbbbd P Q (con gli estremi ordinati) Ogni retta r ammette due orientazioni opposte = ordini totali t.c. S sta tra R e T, R < S < T _ T < S < R, indotti dalla scelta P < Q o Q < P con P, Q 2 r (cf. ass. 12) = classi di equiv. [(P 1, P 2 )] della relazione di equiv. generata da (P 1, P 2 ) ' (P 1, P2) 0 ' (P1, 0 P 2 ) con P i, Pi 0 2 stessa semiretta da P j

2 Piano e spazio euclidei/2 Nota: orientazione su r 2 verso di percorrenza su r Assioma di Pash 3 semipiani, semispazi, angoli e triangoli r 3 P Q, bbbbbb P Q \ r =? con P, Q 2 (rel. di equiv. su r) 3, 0 semipiani con origine r (classi di equiv.) s, t semirette con la stessa origine O 3, 0,, 0 semipiani t.c. s e t 3 angoli st f : \ (convesso) e 0 [ 0 (concavo) 3 angoli orientati st l e ts l (con i lati ordinati) spazio 3 S, S 0 spazio semispazi con origine, semipiani con la stessa origine r 3 angoli diedri Ogni piano ammette due orientazioni opposte = classi di equiv. [(P 1, P 2, P 3 )] della relazione di equivalenza gen. da (P 1, P 2, P 3 ) ' (P1, 0 P 2, P 3 ) ' (P 1, P2, 0 P 3 ) ' (P 1, P 2, P3) 0 con P i, Pi 0 2 stesso semipiano uscente da P jp k Note: 1) P 1, P 2, P 3 2 non allineati, 2 3 (P 1, P 2, P 3 ) ' (P (1), P (2), P (3) ), sgn( ) = 1 2) orientazione su 2 orientazione angoli in O, P, Q 2 non allineati t.c. [(O, P, Q)] = orient. h P OQ convesso 3 P n h OQ, P OQ concavo 3 QOP n Lo spazio ammette due orientazioni opposte = classi di equiv. [(P 1, P 2, P 3, P 4 )] della relazione di equiv. gen. da (P 1, P 2, P 3, P 4 ) ' (P1, 0 P 2, P 3, P 4 ) ' (P 1, P2, 0 P 3, P 4 ) ' (P 1, P 2, P3, 0 P 4 ) ' (P 1, P 2, P 3, P4) 0 con P i, Pi 0 2 stesso semispazio uscente da P jp k P l Nota: P 1, P 2, P 3, P 4 non complanari, 2 4 (P 1, P 2, P 3, P 4 ) ' (P (1), P (2), P (3), P (4) ), sgn( ) = 1 P 1, P 2, P P i 2 i = semipiano con origine P j P k 3 1 \ 2 \ 3 triangolo (P 1, P 2, P 3 non allineati)

3 Piano e spazio euclidei/3 P 0,..., P n 2 3 poligonale bbbbbbbb P 0 P 1 [ bbbbbbbb P 1 P 2 [... [ bbbbbbbbbbbbb P n 1 P n, aperta se P n 6= P 0, chiusa se P n = P 0, semplice se P i = bbbbbbbbbbbb P i 1 P i \ bbbbbbbbbbb P i P i+1 sole intersez. Prop. C poligonale chiusa semplice P 0,..., P n ) C = I(C) t E(C) con I(C), E(C) regioni tali che: P, Q 2 stessa regione, 9 poligonale tra P e Q in C, I(C) limitata e E(C) illimitata (contiene una retta) 3 P (C) = C [ I(C) poligono P 0,..., P n delimitato da C Dim. caso speciale: 8 i 9 i con origine P i 1 P i t.c. P j6=i 1,i 2 i I(C) = 1 \... \ n (regione convessa), E(C) = 1 0 [... [ n 0 caso generale: per induzione su n a partire da n = 3 P Q, 9 poligonale tra P e Q in C (relaz. di equiv.) classi di equivalenza sono al più due (verifica diretta) e almeno due (9 P i P j t.c. bbbbbbbb P i P j \ C = {P i, P j } 3 induzione) 3 I(C), E(C) classi di equivalenza Parallelismo 3 vettori geometrici bbbbbd P Q vettore applicato nel punto P (= segmento orientato) equipollenza = relazione di equiv. generata da bbbbbd P Q bbbbd RS con P Q k RS ^ P R k QS v = [ bbbbbd P Q] vettore libero (= classe di equipollenza di bbbbbd P Q) Per ogni punto P esiste unico punto Q tale che v = [ bbbbbd P Q] (2 teorema di Desargues: triangoli omologhi) Note: 1) l equipollenza nella retta dipende da quella nel piano 2) il teorema di Desargues dipende dal parallelismo nello spazio (oppure dagli assiomi di congruenza nel piano) Continuità 3 struttura vettoriale reale v = [ bbbbbd P Q], w = [ bbbbbd QR] 3 v + w = [ bbbbbd P R] (regola del parallelogrammo) 3 multipli e sottomultipli interi di vettori (teorema di Talete) 3 a v con a 2 R, come limite di multipli raz. (densità di Q in R)

4 Geometria 1 Piano e spazio euclidei/4 V = ({v = [ bbbbbd P Q]}, (v, w) 7! v + w, (a, v) 7! a v) spazio vettoriale reale dei vettori liberi Tra = { v : P 7! Q se v = [ bbbbbd P Q]} 5 (V, +) gruppo delle traslazioni del piano/spazio Dil C = {' C,a : P 7! Q con a 2 R {0} e [ bbbbbd CQ] = a [ bbbbbd CP ]} gruppo delle dilatazioni del piano/spazio con centro C Dil = {' trasf. del piano/spazio t.c. '(r) = r o k r 8 retta r} gruppo delle dilatazioni del piano/spazio A = {' trasf. del piano/spazio t.c. '(retta) = retta} gruppo delle a nità del piano/spazio Tra = {' 2 Dil ' = id _ ' senza centro} Dil (sottogr. normale) Dil C = {' 2 Dil '(C) = C} Dil (sottogruppo non normale) Tra, Dil A (sottogruppi normali) ' 2 DilC se '(C) = C Note: 1) ' 2 Dil ) ' 2 Tra se '(P ) 6= P per ogni P 2) ' 2 A ) ' rispetta la relaz. tra e '(piano) = piano ) '( bbbbbd P Q) = bbbbbbbbbbbbbbbbbbd '(P )'(Q), '( P n n OQ) = '(P )'(O)'(Q) 3) ' 2 A 3 ' : V! V definita ' ([ bbbbbd P Q]) = [ bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbd '(P ), '(Q)] ' (v + w) = ' (v) + ' (w) e ' (a v) = a ' (v) (applicazione lineare di spazi vettoriali reali) 4) ' 2 A, O punto fissato come origine, v = [ O'(O)] bbbbbbbbbbbd 2 V 3 ' O 2 A definita ' O (P ) = Q se ' ([ bbbbbd OP ]) = [ bbbbbd OQ] ) ' = v a ' O, cioè: '(P ) = ' O (P ) + v Per ogni P 1, P 2, P 3 e P1, 0 P2, 0 P3 0 triangoli (triple non allineate) esiste (unica nel piano) ' 2 A t.c. '(P i ) = Pi 0 per i = 1, 2, 3 Per ogni P 1, P 2, P 3, P 4 e P1, 0 P2, 0 P3, 0 P4 0 quadruple non complanari esiste unica ' 2 A (dello spazio) t.c. '(P i ) = Pi 0 per i = 1, 2, 3, 4

5 Piano e spazio euclidei/5 Coordinate cartesiane (a ni) retta $ R: O, U punti distinti 3 P $ (P ) = x P = [ bbbbbd OP ]/[ bbbbbd OU] corr. biuniv. ordinata rispetto all orientaz. O < U (segmenti incommensurabili e completezza di R) piano $ R 2 : O, U x, U y non allineati 3 P $ (P ) = (x P, y P ) spazio $ R 3 : O, U x, U y, U z non compl. 3 P $ (P ) = (x P, y P, z P ) Coordinate 3 componenti dei vettori V $ R 1,2,3 : v = [ bbbbbd P Q] $ (v) = (Q) (P ) (v + w) = v + w e (a v) = a (v) (isomorfismo di spazi vettoriali reali) Rette $ equazioni/parametrizzazioni lineari r = P Q piano $ r spazio $ 8 < : x = xp + t (x Q x P ) y = y P + t (y Q y P ) 2 a x + b y = c x = x P + t (x Q x P ) y = y P + t (y Q y P ) z = z P + t (z Q z P ) 2 a1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 Congruenza 3 criteri cong. triangoli 3 bbbbbb P Q bbbbb RS ) bbbbbb P Q 5 bbbbb RS 3 per ogni P e r esiste unica r 0? r passante per P Congruenza 2 misura di segmenti e angoli bbbbbb OU unità misura 3 bbbbbb P Q = bbbbbd P Q/ bbbbbd P R con bbbbbb P R 5 bbbbbb OU, P R P Q st f = 2 st/giro f (misura naturale degli angoli: arco/raggio) bbbbbb P Q 5 bbbbbbbb P 0 Q 0, bbbbbb P Q = bbbbbbbb P 0 Q 0 e P h OQ 5 P 0h O 0 Q 0, P h h OQ = P 0 O 0 Q 0 piano orientato 3 giro positivo 3 misura angoli orientati Ang l st = 2 l st/giro positivo 2 R/2 Z (= per concavo e covesso) Note: 1) segmenti orientati si possono confrontare nella retta (3 misura nella retta orientata), ma non nel piano 2) angoli orientati si possono confrontare nel piano (3 misura nel piano orientato), ma non nello spazio

6 Geometria 1 d(p, Q) = bbbbbb P Q distanza (metrica) euclidea d(, ) applicazione a valori in [0, 1) t.c. 1) d(p, Q) = 0, P = Q 2) d(p, Q) = d(q, P ) per ogni P, Q 3) d(p, Q) apple d(p, R) + d(r, Q) per ogni P, Q, R Piano e spazio euclidei/6 Congruenza 2 trasformazioni euclidee (movimenti rigidi) Iso = {' 2 A bbbbbbbbbbbbbbbbbbb '(P )'(Q) 5 bbbbbb P Q per ogni P, Q} gruppo delle isometrie del piano/spazio Sim = {' 2 A '( P h OQ) 5 P h OQ per ogni O, P, Q} gruppo delle similitudini del piano/spazio Tra Iso Sim = hiso [ Dili A (sottogruppi propri) Prop. bbbbbb P Q 5 bbbbbbbb P 0 Q 0, esiste ' 2 Iso t.c. bbbbbbbb P 0 Q 0 = '( bbbbbb P Q) st f 5 s g0 t 0, esiste ' 2 Iso t.c. s g0 t 0 = '( st)) f Dim. ( banale, ) segue da criteri congr. triangoli Prodotto scalare 2 lunghezze e ortogonalità (struttura euclidea) hv, wi = kvk kwk cos vw g 2 kvk = p hv, vi (e vw g = arccos(...)) Vettore libero v $ v/kvk versore (direzione, verso) e kvk (modulo) h, i : V V! R forma bilineare, simmetrica, definita positiva t.c. 1) hv, wi apple kvk kwk per ogni v, w e hv, wi = ± kvk kwk, v k w (± dipende dal verso) 2) hv, wi = 0, v? w (incluso v = 0 V o w = 0 V ) 3) ka vk = a kvk per ogni a 2 R 4) kv + wk apple kvk + kwk (proprietà triangolare) 5) kv + wk 2 = kvk 2 + kwk 2, v? w (teorema di Pitagora) 6) Iso = {' 2 A h' (v), ' (w)i = hv, wi per ogni v, w 2 V } Prodotto vettoriale/misto (nello spazio) 8 < v w? v, w v, w 2 V 3 v w 2 V definito da (v, w, v w) tripla positiva : kv wk = Area(v, w)

7 Piano e spazio euclidei/7 u, v, w 2 V 3 hu, v wi = ± Volume(u, v, w) 2 R prodotto vettoriale/misto bi/trilineare antisimmetrico t.c. 1) v w = 0, v, w sono allineati 2) hu, v wi = 0, u, v, w sono complanari 3) ' 2 Iso ) ' conserva prodotto vettoriale/misto Coordinate cartesiane ortogonali nel piano O, U x, U y tc. bbbbbbbb OU x, bbbbbbb OU y ortogonali e congruenti a bbbbbb OU 3 v = v x e x + v y e y con e x = [ bbbbbbbd OU x ], e y = [ bbbbbbbd OU y ] 3 hv, wi = v x w x + v y w y, kvk = p vx 2 + vy 2 3 d(p, Q) = p (x Q x P ) 2 + (y Q y P ) 2 Coordinate cartesiane ortogonali nello spazio O, U x, U y tc. bbbbbbbb OU x, bbbbbbb OU y, bbbbbbb OU z ortogonali e congruenti a bbbbbb OU 3 v = v x e x + v y e y + v z e z con e x = [ bbbbbbbd OU x ], e y = [ bbbbbbbd OU y ], e z = [ OU bbbbbbd z ] 3 hv, wi = v x w x + v y w y + v z w z, kvk = p vx 2 + vy 2 + vz 2 3 d(p, Q) = p (x Q x P ) 2 + (y Q y P ) 2 + (z Q z P ) 2 3 v w = ±(v y w z v z w y, v z w x v x w z, v x w y v y w x ) (segno: + se (e x, e y, e z ) tripla positiva, altrimenti) Hilbert: modello reale dello spazio spazio = R 3 (R costruito come completamento di Q), rette/piani = soluzioni di equazioni lineari congrenza = relazione di equiv. indotta da Iso Nota: modelli di geometrie non euclidee (ellittica e iperbolica) Klein: programma di Erlangen geometria = studio delle configurazioni a meno delle relazioni di equivalenza indotte da gruppi di trasformazioni Esempi: 1) classificazione dei triangoli (a ne, simile, euclidea) 2) baricentro = punto di intersezione delle mediane