forme. GH G.H. Hardy

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1 Il bello della matematica Il matematico, come il pittore e il poeta, è un creatore di forme. GH G.H. Hardy Renato Betti Politecnico di Milano San Pellegrino,

2 (Galileo: La matematica è il linguaggio con cui Dio ha scritto l universo) (Pitagora) Mysterium Cosmographicum (Keplero 1596)

3 Matematica applicata all estetica Φ =

4 La successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..

5 Estetica della matematica Quali sono i più belli? (D. Wells, 1988) iπ Eulero: e +1 = 0 V - E + F = 2 I ponti di Königsberg

6 Estetica della matematica Quali sono i più belli? (Pristem, 1992) Cantor : l insieme dei numeri reali non è numerabile Gödel : l aritmetica non è completa Ippaso da Metaponto: la diagonale del quadrato non è commensurabile con il lato

7 I solidi platonici terra aria fuoco etere (modello di universo) acqua

8 I numeri

9 Gli enunciati. G. Desargues, 1636: Teorema dei triangoli omologici

10 Le costruzioni C.F. Gauss, 1796: Costruzione del 17-gono regolare con riga e compasso Teorema. Il poligono regolare con un numero primo p di lati è costruibile con riga e compasso se e solo se p = 2 2 n +1

11 Bellezza matematica = sorpresa? Teorema di Morley Teorema di Napoleone

12 Bellezza matematica = sintesi? Il teorema dei 4 colori Una dimostrazione senza parole La media geometrica non supera la media aritmetica

13 (G.H. Hardy, Apologia di un matematico, 1940) Il matematico, come il pittore e il poeta, è un creatore di forme. Se le forme che crea sono più durature delle loro è perché le sue sono fatte di idee. Il pittore crea forme con i segni ed il colore, il poeta con le parole Il matematico invece non ha altro materiale con cui lavorare se non le idee. Quindi le forme che crea hanno qualche probabilità di durare più a lungo, perché le idee si usurano meno delle parole

14 Aristotele (Metafisica XIII.3.107b) Quelli che affermano che le scienze matematiche non parlano della bellezza sono in errore. Le maggiori forme di bellezza sono ordine, commensurabilità, precisione. 1. Commensurabilità - struttura 2. Ordine - algoritmo 3. Precisione i - dimensionei

15 1. Commensurabilità

16 Il tema del sole (neolitico superiore) La vera bellezza è una deliberata, parziale, rottura di simmetria (proverbio Zen) (Saqqara, 25 sec. a.c.)

17 Quanta simmetria ha una figura? Le simmetrie di una figura piana sono le isometrie T del piano che lasciano inalterata la figura: T(F) = F

18 τ σ I numeri misurano quantità. La misura della simmetria deve tener conto della struttura che ha l insieme delle trasformazioni. Gruppo di isometrie F F

19 Esempi B in geometria D O C A in cristallografia

20 in chimica NaCl

21 in fisica (invarianza delle leggi) Gruppo di Galileo Gruppo di Lorentz

22 in algebra Le funzioni simmetriche elementari (formule di Viète): Il gruppo di Galois di un equazione algebrica èil gruppo delle permutazione delle radici α 1, α 2,,α n che conservano tutte le loro espressioni algebriche vere (e quindi è il gruppo di simmetria di queste espressioni).

23 Rosoni, fregi e mosaici

24 Rosoni Maya Egitto pre-dinastico Alhambra di Granada

25 Fregi (paleolitico)

26

27 I gruppi cristallografici piani o gruppi dei mosaici o gruppi di carte da parati o arabeschi Egitto Cnosso

28 Mosaici dell Alhambra di Granada

29 E in altri spazi? M.C. Escher: Simmetria p3 nel piano iperbolico

30 Nelle altre dimensioni? Teorema: un sottogruppo finito di rotazioni dello spazio è un gruppo ciclico oppure diedrale oppure il gruppo di simmetria rotazionale di un solido regolare (tetraedro, ottaedro, icosaedro). Teorema: esistono 230 gruppi cristallografici in tre dimensioni (219 classi di isomorfismo diverse) Il gruppo mostro, il più grande dei gruppi semplici finiti, ha circa = = (~10 e rappresenta un gruppo di rotazioni dello spazio a dimensioni

31 2. Ordine Chiave k T m c m Cifratura Decifrazione R I La sicurezza di un sistema crittografico dipende solo dalla segretezza della chiave ( Principio di Kerckhoffs ) )

32 Enigma Alan Turing ( )

33 Scambio delle chiavi a a N N a b a b N N b b N N

34 La chiave pubblica (1976) canale simmetrico T R canale asimmetrico T R funzioni a trabocchetto T m c m cifratura decifrazione R I

35 N o cifre Primalità Fattorizzaz sec. 24 min sec. 4 ore sec. 74 anni min anni sett anni Fonte: D.E. Knuth, 1982 Aritmetica modulare: a b (mod n) a b = kn ( k Z) Teorema di Eulero-Fermat (1750): MCD( m, n) = 1 m ϕ ( n ) 1 (mod n)

36 3. Precisione (00) (01) (10) (11) (00 0) (01 1) (10 1) (11 0) x + x + x =

37 Codici correttori d errore (000 00) (011 10) (101 01) (110 11) x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x4 + x5 = 0

38 Codici correttori d errore alfabeto F 2 ={0, 1} F q (q = p n ) i F 5 F q m (m = lunghezza del codice) spazio F 2 5 distanza di Hamming F m q è uno spazio metrico Teorema. Nella trasmissione di un codice la cui minima distanza è d è possibile: k - rivelare errori se e solo se: d k +1 k - correggere errori se e solo se: d 2 k +1

39 Conclusione Quelli che affermano che le scienze matematiche non parlano della bellezza sono in errore. (Aristotele) Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle Le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale. Al mondo non c è un posto permanente per la matematica brutta. (G.H. Hardy) Il bello della matematica è l astrazione: la capacità di immergersi nel mondo immaginario della teoria e riemergere a spiegare ciò che è reale. Grazie per l attenzione