Lezione 2. Fisica Moderna modulo II Complementi di Fisica delle particelle elementari

Transcript

1 Lezione 2 Giulia Manca, Laboratoire de l Accélérateur Linéaire d Orsay (FR) Fisica Moderna modulo II Complementi di Fisica delle particelle elementari Lezioni per Tirocini Formativi Attivi (TFA), Marzo-Giugno 2015

2 2a Lezione La Fisica Quantistica Proprieta` ondulatorie della materia Principio di indeterminazione di Heisenberg Onde di probabilita` Principio di sovrapposizione Orbitali atomici Numeri quantici degli elettroni atomici Fermioni e bosoni Sommario March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 2

3 Fisica Moderna Fisica Moderna = crisi fisica classica (inizi 1900) Impossibile spiegare certi fenomeni con gli strumenti della fisica classica Radiazione corpo nero Stabilita` dell atomo Effetto fotoelettrico Necessarie nuove teorie : Teoria dei quanti (Planck) Relativita` (Einstein) Meccanica quantistica (Heisenberg, Schrodinger, Dirac) Dualismo onda-particella Confermate sperimentalmente!! May-June 2014 G.Manca, PAS Lecture I 3

4 Dualismo onda-particella (de Broglie) d. Le onde di de Broglie: elettroni interpretati come onde di materia Abbiamo visto che l onda elettromagnetica può essere interpretata come corpuscolo di energia pari a E = hν e zero massa a riposo. Nel 1924 Louis de Broglie propose che, se la radiazione elettromagnetica poteva essere interpretata come una particella, allora particelle dotate di massa, come gli elettroni, potevano in certe circostanze comportarsi come onde. Se per il fotone abbiamo: E hν p = = = c c possiamo per analogia associare alla particella dotata di massa m e momento p = mv una lunghezza d onda ( detta lunghezza d onda di de Broglie ) h λ λ = h = p Le λ degli oggetti macroscopici sono quasi nulle-> nessun effetto osservabile nella vita quotidiana h mυ Le λ delle particelle subatomiche sono grandi rispetto alle loro dimensioni e sono determinanti per i loro comportamenti March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 4

5 Elettrone come onda modello corpuscolare modello ondulatorio Elettrone onda stazionaria che deve richiudersi su se`stessa->la lunghezza dell orbita (2πr n ) deve essere un multiplo intero di λ elettrone : 2πr n =nλ ; Sostituendo λ=h/p, otteniamo la formula di Bohr : 2πr n p=nh La condizione di Bohr e` dovuta alla natura ondulatoria degli elettroni March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 5

6 Esperimento delle due fenditure (Young) sorgente di elettroni su una lastra con due fenditure; analizzando i segnali su una lastra fotografica posta dietro, si rivela che: si formano inizialmente singoli punti luminosi indicativi di un comportamento corpuscolare, dapprima diradati e dall'apparente distribuzione caotica aumentando man mano di numero, vanno a formare le frange di interferenza tipiche del comportamento ondulatorio Ciò dimostra inequivocabilmente l'esistenza del dualismo onda-corpuscolo, sia della materia che della radiazione elettromagnetica. Fondamentale: le figure di interferenza si palesano solo se non vengono posti strumenti per determinare da quale fenditura sia passato l elettrone! Se questo succede solo I casi a e b si osservano (interferenza distrutta) March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 6

7 Heisenberg e. Principio di indeterminazione di Heisenberg Consideriamo un elettrone di cui non si conosce la posizione ma di cui è noto il momento, sia in direzione che in verso. Per determinarne la posizione possiamo porre una fenditura di larghezza d perpendicolarmente alla sua direzione di moto e verificarne la posizione finale su uno schermo fluorescente posto ad una certa distanza. L incertezza sulla posizione sarà data dalla larghezza della fenditura x = d. Per la sua natura ondulatoria la particella sarà diffratta nel passaggio dalla fenditura. x Schermo Direzione di moto elettrone d = x y Pattern di diffrazione March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 7

8 Heisenberg (II) Prima di passare attraverso la fenditura la componente della quantità di moto lungo x è nota ( p x = 0 ) mentre non si conosce la posizione lungo x dell elettrone. Al passaggio dalla fenditura la componente p x del suo momento non è più sicuramente nulla, ma assume un incertezza p x perché la particella potrebbe stare muovendosi verso un punto appartenente alla figura di diffrazione. Dalla teoria della diffrazione il primo punto di intensità nulla si trova all angolo α tale che senα = λ/d. Poiché all elettrone è associata la lunghezza d onda di de Broglie λ = h/p, anche se non sappiamo esattamente dove l elettrone colpirà lo schermo, possiamo essere ragionevolmente certi che p x avrà valore tra 0 e psenα, cioè : h λ p x p senα = = λ d h d Schermo da cui otteniamo una relazione tra l incertezza sulla posizione e quella sul momento: x p x h x y x α p p x I minimo di diffrazione che è la formulazione del principio di indeterminazione di Heisenberg. March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 8

9 Principio di Indeterminazione di Heisenberg Alcune coppie di quantità fisiche, come velocità e posizione, non possono essere misurate nello stesso momento entrambe con precisione arbitraria. Tanto migliore la precisione della misura di una delle due grandezze,tanto peggiora la precisione ottenibile nella misura dell'altra. Misurare la posizione di una particella provoca una perturbazione della sua velocità impossibile da prevedere e viceversa. In formule: Δp Δx h/2π =ħ dove Δx è l'incertezza sulla misura della posizione e Δp è quella sulla quantità di moto. Il limite inferiore del prodotto delle incertezze è proporzionale ad h. Esempio: per conoscere la posizione di un elettrone, questo dovrà essere illuminato da un fotone. Più bassa sarà la lunghezza d'onda del fotone, maggiore sarà la precisione con cui la posizione dell'elettrone viene misurata.. Tuttavia, a basse lunghezze d'onda il fotone trasporterà un'energia sempre maggiore, che assorbita dall'elettrone ne perturba sempre di più la sua velocità rendendo impossibile stabilire in contemporanea quale sia il suo valore. Al contrario, un fotone ad alta lunghezza d'onda perturberà poco la velocità dell'elettrone ma sarà in grado di determinare con poca precisione la sua posizione. March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 9

10 Concetto di misura In meccanica quantistica : impossibile conoscere lo stato di una particella senza perturbarlo in maniera irreparabile. Meccanica Classica -> sempre possibile concepire uno spettatore passivo in grado di conoscere ogni dettaglio di un dato sistema; MQ: privo di senso assegnare un valore ad una qualsiasi proprietà di un dato sistema senza che questa sia stata attivamente misurata da un osservatore. Una volta misurata e determinata con precisione una quantità di un sistema non si può in alcun modo determinare quale fosse il suo valore prima della misurazione. meccanica classica la conoscenza della posizione e della velocità di una particella in un dato istante permette di determinarne automaticamente la sua traiettoria passata e futura con certezza. meccanica quantistica la conoscenza della velocità di una particella ad un dato istante non è in generale sufficiente a stabilire quale fosse il suo valore nel passato. Inoltre acquisire la stessa conoscenza della velocità della particella distrugge ogni altra informazione sulla posizione rendendo anche impossibile il calcolo della traiettoria futura N.B. irrilevante per gli oggetti che ci circondano(incertezze >> di Δx,Δp) Gatto di Schrodinger March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 10

11 Funzione d onda Le particelle sono descritte da funzioni d onda (indicate con ψ, WF) che ne definiscono le proprieta` Intese come ampiezze di probabilita` L espressione ψ(x,y,z,t) 2 ΔV indica la probabilita` che in un istante t la particella si trovi nel volume ΔV, centrato nel punto x,y,z ed abbastanza piccolo -> ψ non deve variare nel suo interno In realta` ogni WF ha due componenti (come un numero complesso) che corrispondono alle due soluzioni dell equazione di Schrodinger ψ = (ψ 1,ψ 2 ). Se un sistema quantico e`definito da n WF (per esempio un esperimento di diffrazione da n fenditure) allora la WF si scrivera` come ψ = a 1 ψ a1 + a 2 ψ a2 + +a n ψ an. La misura fara` collassare la ψ ad uno degli stati fondamentali March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 11

12 Determinismo vs. Probabilismo Si puo` immaginare la ψ come una sovrapposizione di stati; la particella non e` in uno stato preciso, ma in una sovrapposizione di due stati diversi, ognuno con una certa probabilita`. Solo con la misura uno viene scelto rispetto all altro Finche`non effettuiamo la misura siamo in uno stato di ignoranza logica ->anche avendo piu`informazioni non potremmo avere la risposta deterministica March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 12

13 Pacchetto d onda La zona in cui ψ oscilla (e la probabilita` di trovarvi la particella e` diversa da zero) si chiama pacchetto d onda Prob=0 Prob 0 Prob=0 March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 13

14 Elettrone come pacchetto d onda Abbiamo già visto che l interpretazione moderna della natura ondulatoria delle particelle è che l intensità dell onda, misurata come quadrato della sua ampiezza, dà in ogni punto la probabilità relativa di trovare la particella in quel punto. Questa interpretazione è stata formulata da Max Born nel 1926: Se la funzione d onda associata all elettrone è y(r,t) allora y(r,t) 2 r èla probabilità relativa di trovare l elettrone nello spazio r al tempo t. Supponiamo ora di scrivere la relazione tra le proprietà corpuscolari e quelle ondulatorie dell elettrone: mv = E = h ν ; mv = p = h. λ Possiamo da queste immediatamente determinare la velocità dell onda per esempio calcolando il prodotto λ ν. Otteniamo: λν = h mv Da questo calcolo risulta che la velocità dell onda è solo la metà di quella dell elettrone!!! In cosa abbiamo sbagliato? March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II mv h 2 = 1 2 v.

15 Elettrone come pacchetto d onda Come descrivere un elettrone localizzato ( con x piccolo e p tale da soddisfare il principio di indeterminazione di Heisenberg) mediante il concetto ondulatorio? Sappiamo che un onda piana con lunghezza d onda λ e frequenza ν ha la forma: ϕ( x, t) = Asen( kx ωt) con k = 2π /λ e ω = 2πν. Questa onda si estende verso infinito in entrambe le direzioni spaziali, quindi non può rappresentare una particella localizzata, che invece deve essere caratterizzata da una funzione non nulla solo in unalimitata regione dello spazio ( x). Per rappresentare una particella localizzata dobbiamo sovraimporre onde piane con diversa lunghezza d onda, in modo da ottenere un pacchetto d onda. Mostriamo che il pacchetto d onda corrispondente ad una particella localizzata nella distanza x si ottiene sovrapponendo diverse onde piane con vettor d onda k diversi. Prof. Mara Bruzzi Cenni di Fisica Moderna 33 March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 15

16 Battimenti Per chiarire il concetto con un esempio semplice sovrapponiamo due onde con vettor d onda un po diversi: k 1 = (k + k) e k 2 = (k k). ϕ = ϕ + = sen [( k k ) x ( ω ω) t] + sen[ ( k + k ) x ( ω + ) t] 1 ϕ2 ω Utilizzando la formula trigonometrica di addizione otteniamo: ϕ = ϕ1 + ϕ2 = 2sen[ kx ωt] cos[ kx ωt] Il primo termine, 2sin[kx-ω t], oscilla con frequenza che è media delle due frequenze. Esso è modulato in ampiezza dal secondo termine, lentamente variabile nel tempo, che oscilla su una dimensione spaziale dell ordinedi π / k: distanza tra le quali le due onde, inizialmente in fase all origine, divengono completamente fuori fase. Ad un ulteriore distanza π / k, le onde torneranno ad essere tra loro sincronizzate. Perciò due onde con frequenza simile rompono l onda continua in una serie di pacchetti equispaziati (fenomeno del battimento). Sovrapposizione di due onde piane monocromatiche con frequenza simile March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 16

17 Elettrone onda-particella Torniamo ora al problema di descrivere un elettrone localizzato. Il pacchetto d onde è ottenibile sovrapponendo onde piane di vettori d onda diversi, con valore all interno dell intervallo k intorno a k. In questo caso le onde saranno fuori fase dopo una distanza dell ordine di π / k e non torneranno mai in fase in un altra regione dello spazio. Secondo la teoria dell analisi di Fourier, che qui non presentiamo, il pacchetto localizzato in x ècostituitodaondeaventik neldominio k tale che: x k ~ 2π Ora, poichè: k = 2π /λ e p = h/λ, allora p = h k / 2π = ħ k. Otteniamo: k = 2π p/ h e quindi: x p ~ h che è l espressione del principio di indeterminazione di Heisenberg. March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 17

18 Velocita` di fase e di gruppo Il concetto di pacchetto d onda risolve il paradosso della velocità dell onda, che sembra diversa da quella dell elettrone. Il punto è che le onde elettroniche, diversamente da quelle elettromagnetiche, hanno diversa velocità di fase e di gruppo. Velocità di Fase ω υ f = k Velocità di Gruppo υ = g dω dk E = hν = hω = 2π 2 p 2m = hk 2π 2 1 2m 2 hk Otteniamo la relazione: ω = 4 πm Da cui deriviamo velocità di fase e di gruppo : h hk Dove abbiamo usato: p = = λ 2π ω = = k dω hk p υ g = = = = υ dk 2πm m Perciò il pacchetto d onda viaggia alla velocità di gruppo, corrispondente alla velocità v dell elettrone interpretato come particella. υ f hk = 4πm p 2m 1 = υ 2 March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 18

19 Orbitali atomici Atomici Una conseguenza del principio di indeterminazione di Heisenberg è che lo stato iniziale della particella non può mai essere completamente determinato, tale indeterminazione iniziale si riflette sugli stati successivi, bisogna quindi abbandonare il determinismo adottando invece leggi probabilistiche. Per esempio quindi l elettrone in un atomo non dovrà più essere visto come corpuscolo in orbita, ma sarà descritto mediante una funzione d onda Ψ(x,y,z,t) φ(x,y,z,t) tale che il valor medio del suo quadrato Ψ φ 2 dia la densità di probabilità di trovare la particella all istante t nell intorno del punto di coordinate x,y,z. z ϕ(r,θ,φ θ,φ) = ϕ n,l (r) ϕ l,m (θ,φ θ,φ) Ψ(r,θ,φ) =Ψ n,l (r) Ψ l,m (θ,φ) Fattore radiale Densità di Probabilità Fattore angolare Probabilità che l elettrone di trovi nella regione di spazio tra r ed r + dr: dp 2 = ψ 2 = ψ dv = ψ 2 x 4π r March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 19 2 dr φ θ r y dv deve essere abbastanza piccolo in modo che ψ non vari significativamente al suo interno

20 Esempi di alcuni orbitali atomici Conformazione di alcuni orbitali atomici ci n=3,l=0 : s m l =0 n=3,l=1: p m l =- 1,0,1 n=3,l=2 : d m l =- 2,- 1,0,1,2 Come delle nuvole sottili in cui l elettrone e` disperso. Stazionarie, cioe` ad una stessa distanza la probabilita`di trovare un elettrone non cambia nel tempo. Gli elettroni non ruotano intorno al nucleo->non irraggiano!! Gli orbitali possono avere diverse forme (Sommerfeld) a seconda dei valori del momento angolare che e` quantizzato. I numeri quantici sono: March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 20 n = numero quantico principale l = numero orbitale - varia tra 0 e (n-1) m l = numero magnetico s = spin (momento angolare intrinseco)=±1/2 ->Per ogni n, 2n 2 stati possibili; ->In ogni livello energetico non possono esistere due e - con gli stessi numeri quantici (PAULI) L elettrone ha anche un momento magnetico intrinseco µ s

21 Atomi con molti elettroni Elettroni tendono a riempire livelli energetici piu`bassi (livello fondamentale->energia minima) Determinante per elettroni esterni (effetto schermo) Eccezioni!! Alcuni elementi saltano livelli Numero di elettroni livelli esterni determina proprieta` chimiche elementi Esempi: Gas nobili : 8 elettroni livello esterno Metalli : 1 elettrone March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 21

22 Orbitali Atomo H Livelli energetici: linee o bande con altezza proporzionale all energia Differenza di energia tra un livello e l altro determina le uniche energie possibili in emissione o assorbimento di fotoni (frequenza quantizzata) March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 22

23 Riepilogo (I) Fisica classica in crisi inizi Particelle elementari (elettrone, fotone) doppia natura Effetto fotoelettrico -> particella Effetto diffrazione -> onda La carica e l energia non sono continue ma quantizzate Principio di Heisenberg inizio nuova percezione della fisica delle particelle -> non deterministica ma PROBABILISTICA (Meccanica Classica -> Quantistica!) Atomi: nucleo positivo al centro, carica negativa distribuita come una nuvola elettronica tutto intorno. Forma della nuvola dipende dai numeri quantici degli elettroni March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 23

24 Particelle Identiche in MQ Supponiamo di avere due particelle identiche in una scatola. In Meccanica Classica: possiamo pensare di seguire il moto di ogni particella e individuarne la traiettoria, senza disturbare il sistema. In Meccanica Quantistica non esiste il concetto di traiettoria, che presuppone la conoscenza simultanea della posizione e della velocità delle particelle. Supponiamo di considerare due particelle del tutto identiche, e di determinare con elevata precisione la loro posizione ad un certo istante t, trovando due posizioni r 1 e r 2. Supponiamo di ripetere la misura ad un successivo istante t, trovando delle posizioni r 1 e r 2. Siamo in grado di dire se la particella in 1 era quella che si trovava in r 1, oppure viceversa? La risposta è NO. PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che una misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due particelle In altre parole, il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni possibili. March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 24

25 Spin Dalla risoluzione della Funziona d onda per un sistema di due particelle si e` arrivati alla prova teorica dell esistenza di due tipi di particelle (associate a due tipi di funzioni d onda diverse): Fermioni : particelle con spin semi-intero Bosoni : particelle con spin intero Principio di esclusione di Pauli: due fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantico, al piu` possono coesistere due fermioni nello stesso stato energetico ma con spin opposto. Bosoni: possono coesistere nello stesso stato energetico anche in numero molto grande Questo e` l inizio di una classificazione delle particelle! March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 25

26 Modello Standard E` il modello teorico che classifica le particelle fondamentali che formano la materia e la natura delle forze che agiscono tra esse (e regolano gli eventi quotidiani che conosciamo) u Materia : quarks e leptoni (fermioni) u Mediatori di forza : bosoni March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 26

27 Riepilogo I March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 27

28 RiepilogoII March-June 2015 G.Manca, TFA Lecture II 28