I legami Un elettrone nel potenziale attrattivo del nucleo acquista un energia negativa, il che conduce a stati legati. Esisterà un minimo per l

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1 I legm Un elettrone nel potenzle ttrttvo el nucleo cqust un energ negtv, l che conuce stt legt. ssterà un mnmo per l energ per cu essternno stnze equlbro e energe equlbro nel sstem. L esstenz el mnmo erv ll combnzone ell componente colombn ttrttv el nucleo e quell ovut ll energ cnetc el moto elettronco. Se vvcnmo ue tom rogeno, s po osservre l formzone uno stto legto che convolge mbeue gl tom, coè s form un molecol rogeno. Cò vvene n vrtù el ftto che nche n questo cso esste uno stto legto. (legme chmco). L nsct un legme, eventemente, pene ll presenz un forz ttrttv, eve però essere presente nche un forz repulsv, n moo che l loro combnzone luogo un mnmo nell energ per certe stnz crtterstche e equlbro r.

2 Alcune conserzon: L energ el sstem molecolre tene zero per stnze molto grn, l lmte nfnte. A grn stnze l energ è negtv e gl tom s ttrggono A stnze molto pccole gl tom s respngono e l energ vent postv L somm quest ue comportment prouce un mnmo nell energ corrsponente un poszone equlbro che rppresent l stnz ntertomc ell molecol. Mtemtcmente l curv el potenzle, qun s può escrvere come l somm un termne repulsvo (postvo) e uno ttrttvo (negtvo): ( r) r A n r B m Dfferenzno quest ultm s ottene fclmente l energ legme c che è l mnmo ell curv: c B m ( r ) 1 m r n Perché l sstem s stble è necessro che c s negtv e qun che m s mnore n. In ntur sono present quttro tp legme: 1) l legme onco ) l legme metllco 3) l legme covlente 4) l legme vn er Wls

3 Il legme onco S trtt un legme che nsce ll nterzone elettrosttc tr gl tom. Il clssco esempo legme onco è l cloruro soo, ttorno uno one soo s trovno se on cloro ognuno posto un stnz. Quest confgurzone à un contrbuto energetco pr : Inoltre trovmo oc tom soo unstnz che proucono un contrbuto ll energ pr : e 6 4 e 4 1

4 Anno vnt trovmo ncor otto on stnz 3 e così v. Sommno tutt contrbut s trov un sere : e Quest somm v po vs per ue per non contre ue volte ogn copp on. ovvo che ogn somm penerà ll prtcolre struttur crstlln e s può esprmere n termn un costnte ett Melung. A esempo per l cso ell struttur cubc semplce M=1.748, qun l energ è: M e 4 Nel cso el cloruro soo =.8nm per cu =8.94 ev Questo vlore è crc l 1% pù grne quello trovto spermentlmente, cò è ovuto l ftto che n ogn struttur l legme non h m solo un crttere, esempo troveremo molecole con un percentule lt legme onco e un pccolo contrbuto ntur covlente.

5 Legme metllco Il metllo pù semplce è un metllo lclno monovlente n cu cscun tomo contrbusce con un solo elettrone vlenz ll nseme totle elettron. L struttur può essere penst come un nseme on fss crc postv e elettron lber muovers. possble noltre mmgnre che le forze che gscono sul sstem tenerlo legto nseme sno ntur elettrosttc con l fferenz rspetto l cso preceente che gl elettron sono lber muovers per tutto l solo. Cò mplc che le forze ttrttve sno present ppertutto e gl elettron s comportno come un spece coll che tene nseme l retcolo. Intutvmente quest conzone lsc trsprre l motvo per cu un metllo tpcmente è uttle e mlleble. Legme covlente I ue cs vst prm non possono spegre l motvo per cu l crbono e l slco s legno formre sol. Il slco può essere purfcto l punto che l su resstvtà è tlmente elevt over conserre gl elettron non pù lber muovers, mentre l crbono form strutture come l mnte che è l mterle pù uro conoscuto, per cu l legme eve essere molto forte e rezonle. Il cso pù semplce legme covlente è quello n cu ue tom rogeno s legno per formre l molecol, ue elettron restno n prossmtà ell molecol, n tl moo s complet lgusco esterno ognuno e uetom. A esempo l confgurzone elettronc el crbono, el slco e el germno è: C :1s S :1s Ge :1s,s,s,s, p, p 6, p,3s 6,3s,3p,3p 6,3 1,4s,4 p S osserv fclmente che tutt hnno un confgurzone elettronc estern con quttro elettron, qun ogn tomo tene legrs con ltr quttro tom per formre un legme tetrerco.

6 Legme vn eer Wls Se l tomo h l gusco esterno completo nenche l legme covlente può spegre l formzone el solo. l cso sol gs rr che hnno l shell estern complet e tuttv solfcno bss tempertur. In quest cs s eve conserre l effetto el polo elettrco stntneo costtuto lle crche postv l centro e quelle negtve esterne. Questo polo stntneo ntergsce con gl ltr per re luogo un sstem che possee un mnmo nell energ e qun l gs solfc. Legm questo genere sono tpc nche molt sol orgnc. Conclumo osservno che n molt cs legm hnno un crttere msto onco e covlente e che nel cso pù generle srebbe necessro conserre l contrbuto ogn tpo legme nell vlutzone ell energ complessv. ventemente nell grn prte cs uno e tp prevle e llor s rà che l solo è purmente onco o covlente o metllco o vn eer Wls. Se nvece contrbut sono equvlent come nel cso lcun compost III-V e II-VI come l GAs e l CTe, s prl legme msto

7 Teor bne e sol: l moello Krong - Penney Il teorem Bloch c fornsce un nczone sulle crtterstche ell funzone on un prtcell n un potenzle peroco, l clcolo ell funzone on rchee tuttv l speclzzzone ell form el potenzle. Il moello Krong e Penney, pur escrveno l potenzle n mner puttosto grossoln, permette clcolre l energ ell elettrone n funzone el prmetro k che ppre nel teorem Bloch (spersone). Questo moello escrve l potenzle vsto gl elettron n un retcolo unmensonle come un successone peroc buche potenzle ltezz fnt. U( ) U b Il potenzle è peroco con peroctà =+b, l funzone on eve sosfre ll conzone: ( ) e ( ) con k

8 Scrvmo uefunzon on generche nelle ueregon b < < e <<: b Fe De Be Ae ) ( con ) ( m V m Nel peroo successvo, nvuto ll conzone <<+, veno scelto un opportuno coeffcente fse, l funzone on srà: Fe De Be Ae e ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

9 Come n molt cs gà vst s eve or mporre l conzone contnutà ell funzone on e ell su ervt prm ne punt scontnutà el potenzle. Così fceno s trov : b b b b Fe De Be Ae e Fe De Be Ae e F D B A F D B A Questo sstem mmette soluzon non bnl solo se l etermnnte e coeffcent è nullo, coè se: snh sn cosh cos snh sn cosh cos cos U U U m con : Osservmo che l coseno, tuttv, può ssumere vlor solo nell ntervllo compreso fr -1 e 1, e che n quest ultm espressone l energ compre ttrverso coeffcent,b,. Nell regone con <U, coè l ove trovmo stt legt, s ottene : snh sn ) ( cosh cos ) ( U m m U U U m m f

10 Quest funzone eve essere compres fr -1 e 1, vlor che frebbero cere l vlore ssunto quest funzone l fuor ell ntervllo ncto sono vett. nteressnte trovre l relzone fr e, coè tr e k, l che sgnfc vere l relzone spersone. Il problem n generle non h soluzon nltche semplc e qun vene vlutto numercmente clcolno l nseme e vlor che renono f ( ) 1 Gl ntervll energ che sosfno quest conzone sono ett bne permesse, mentre gl ntervll restnt sono ett bne probte. Le bne permesse sono seprte bne probte. Osservmo che l termne k ppre come rgomento el coseno, qun se corrspone vlor permess energ, lo srnno nche vlor corrsponent : k n come c s può spettre vst l peroctà el problem. I vlor pù pccol k permess sono nell ntervllo / questo ntervllo vlor ello spzo k và sotto l nome zon Brlloun. In corrsponenz ell estremo un bn l penenz k s può fclmente pprossmre con unosvluppo nsere potenze nell ntorno ell estremo, s trov: ( k) ( k) 1 ( k) k kk k k k k m*

11 Dove k è l vlore k per cu l bn h un mssmo o un mnmo mentre m* è l mss effcce: m* ( k) k Come s vee l mss effcce è legt ll curvtur ell bn, l concetto mss effcce è molto mportnte per le sue mplczon teorche e pplctve. Utlzzno l mss effcce s può trttre l comportmento un elettrone n un sstem peroco come se fosse lbero. L prtcell terrà conto el ftto che è soggett un potenzle peroco ttrverso l mss effcce. k k

12 Numero stt n un bn Consermo un crstllo monomensonle mensone L=n, vlor permess el vettore on un elettrone nell prm zon Brlloun sono quell che sosfno ll conzone : n k con L=N L n=..n N e N grne l vlore corrsponente l boro zon. Inoltre l punto L non eve essere conteggto poché è connesso con un vettore retcolo recproco. Qun l numero totle stt è propro N. S osserv che ogn cell prmtv contrbusce con un vlore npenente k cscun bn energ. Conserno lo spn, qun, bbmo N stt npenent n cscun bn energ. Se bbmo un solo tomo per ogn cell prmtv con un solo elettrone vlenz, l ultm bn srà occupt per metà e l mterle s comport come un metllo. Se gl elettron sono ue l bn srà pen e l mterle s comport come solnte. Se nell cell c sono ue o pù tom s eve tener presente l numero elettron sponbl per l vlenz e l numero tom nell cell prmtv.

13 Sostnz tpo gp gp (ev) Sostnz tpo gp gp (ev) Dmnte nretto 5.48 ZnS retto 3.85 S nretto 1.17 InP retto 1.4 Ge nretto.74 InAs retto.4 α-sn retto. GP nretto.35 GAs retto 1.5 GSb retto.81

14 Un ultm conserzone c vene l cso n cu l eformzone elle bne rel port non solo vere un mnmo ssoluto ell bn conuzone c per k, m rttur port questo mnmo energ nferore quell el mssmo ell bn conuzone c < v. In questo cso, nonostnte che le bne sno stnte nel grfco, esse sono sovrpposte l punto vst purmente energetco. Se nche l numero elettron sposzone per l conuzone fosse pr, e coè suffcente rempre un numero estto bne llo zero ssoluto, s vrebbe un rempmento przle ell bn conuzone nche K, n un sort prncpo e vs comuncnt, perché l strbuzone Ferm-Drc, che govern l strbuzone elettronc con l tempertur, pene solo e non k, per cu stt ll meesm energ vrnno l meesm occupzone. Il mterle, nonostnte un confgurzone elettronc solnte o tutt'l pù semconuttore, s comport qun come un metllo.

15 Trnszon Interbn Le propretà ottche un crstllo semconuttore sono strettmente legte ll struttur elle bne elettronche. Il problem ell ervzone tl propretà può essere ffrontto con un pprocco semclssco, n cu l cmpo elettrco esterno è trttto clsscmente mentre gl elettron Bloch nel solo sono trttt quntstcmente. Gl elettron, noltre, sono consert npenent, coè s suppone che l rzone provoch l trnszone un sngolo elettrone lscno nlterto lo stto egl ltr. Al prmo orne l probbltà per untà tempo che un perturbzone rmonc el tpo He ω nuc un trnszone fr lo stto nzle > energ e lo stto fnle f> energ f è t ll regol oro Ferm: P f f H f Qun ll elemento mtrce pene l probbltà che un elettrone comp un trnszone fr lo stto occupto v ell bn vlenz con vettore on k e energ v e lo stto vuoto c ell bn conuzone con vettore on k f e energ c. Per l legge conservzone ell mpulso crstllno n un mezzo peroco l elemento mtrce che compre nell ultm equzone è verso zero solo se: k f = k + q + h

16 con h generco vettore el retcolo recproco. I vettor k permess sono ell orne π/ con 1Å, qun per tpche energe e foton ell orne 1 ev (λ 1 4 Å), q = π / λ << k. Inoltre k f e k sono rott ll prm zon Brlloun, qun: k f k = k s vee qun che le trnszon ottche, coè che possono essere notte un cmpo rzone, sono tpo retto, coè evono vvenre per lo stesso vlore k

17 Trnszon nrette sstono e semconuttor l cu struttur elettronc è crtterzzt l ftto che l mssmo ell bn vlenz e l mnmo ell bn conuzone cono n punt fferent ell prm zon Brlloun. In questo cso le trnszon ottche fr gl estrem elle bne (trnszon nrette) srebbero probte ll conservzone ell mpulso crstllno. Tuttv cò non cce e le trnszon nrette possono vvenre grze ll nterzone egl elettron con le vbrzon retcolr (nterzone elettrone-fonone); se nell trnszone ntervene un fonone momento q, nftt, l regol selezone v mofct n: k f k + q L nterzone elettrone-fonone è un effetto elle vbrzon retcolr che, provocno lo spostmento egl tom ll loro poszone equlbro, etermnno nche un vrzone el potenzle elettronco. L Hmltonn perturbzone che escrve l trnszone nrett, pertnto, è t : H =H rzone +H fonone In fgur è schemtzzto un processo ssorbmento nretto n cu un elettrone trnssce llo stto occupto v ell bn vlenz con vettore on k e energ v llo stto vuoto c ell bn conuzone con vettore on k f e energ c, pssno llo stto ntermeo τ un bn conuzone vrtule; urnte tle processo vengono ssorbt un fotone energ (h/ω e un fonone energ (h/ω q e momento q = k f k.

18 Anche n questo cso s può trttre l Hmltonn come un perturbzone penente l tempo, m è necessro spngers l secono orne. Il processo n slt luogo ll ssorbmento fotonco che prouce l presenz porttor n bn conuzone e n bn vlenz nott ll rzone. Applcno un cmpo elettrco, qun, s otterrebbe un trsporto elettrco (fototrsporto o trsporto foto-notto). Su questo meccnsmo bs l funzonmento e sensor ottc come fotoo e fotoresstor che trovno molteplc pplczone nell moern tecnolog. utle osservre che l processo nverso, coè l rcombnzone un copp elettrone lcun e l emssone un fotone, n un semconuttore gp nretto è ecsmente poco probble: l conservzone el vettor on e l over convolgere un fonone nel processo rene estremmente lungo l tempo rcombnzone e, ne ftt vet l rcombnzone (rtv) che vvene nvece ttrverso ltre stre, soltmente convolgeno lvell ovut lle mpurezze sempre present nel mterle (trnszone non rtv).