~m^~~ o ' (1) SULLA RISOLUZIONE DEL PROBLEMA DI NEUMANN IN UN CASO PARTICOLARE INTERESSANTE LA TEORIA DEL MOVIMENTO DEI GHIACCIAI

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1 MARIA TERESA VACCA SULLA RISOLUZIONE DEL PROBLEMA DI NEUMANN IN UN CASO PARTICOLARE INTERESSANTE LA TEORIA DEL MOVIMENTO DEI GHIACCIAI SUNTO - Con riferimento ai risultati di una recente nota del Prof. AGOSTINELLI sulla determinazione del profilo della sezione retta di un ghiacciaio si calcola la velocità in ogni punto interno alla sezione del canale nel caso in cui il profilo sia un arco di circonferenza, riconducendo il problema di NEUMANN relativo ad un segmento circolare al problema di DIRICHLET per il cerchio Studiando il moto di un ghiacciaio in un canale cilindrico di sezione qualsiasi, la cui superficie libera sia piana ed abbia la stessa inclinazione a del canale, il professor AGOSTINELLI ( 1 ) ha recentemente stabilito l'equazione differenziale del profilo della sezione retta del ghiacciaio. Tale equazione, riferita ad una coppia di assi cartesiani ortogonali con l'origine in un punto della superficie libera, l'asse x orizzontale ed appartenente alla superficie libera e l'asse y orientato verso l'interno del ghiacciaio, assume la forma (1) ~m^~~ o ' ( 1 ) C. AGOSTINELLI, SU un nuovo procedimento atto a determinare il profilo della sezione retta di un ghiacciaio, «Bollettino della Unione Matematica Italiana», serie III, A. XIII, n. 2, pp

2 134 dove v(y) è il coefficiente di attrito fra ghiaccio e parete del canale, variabile con la profondità y, C 0 è una costante arbitraria, y = -~ed inoltre ^% (2) y 0 = p0, essendo p la densità del ghiaccio, g l'accelerazione di gravità, Po la pressione atmosferica. Il profilo della sezione retta risulta un arco di circonferenza avente raggio R ed equazione X2 + (?y + }[W--Df=E 2 se, come è stato dimostrato nel lavoro precedentemente citato, si assume (3) 0o=WiZ 2 -^ E e (4) T+iLUi-i. y Wl /K 2 L 2 x ' dove vo è il valore di v per y=0 ed I è la semilarghezza del canale sulla superficie libera. L'unica componente non nulla della velocità del ghiaccio, quella secondo l'asse del canale, in ogni punto interno alla sezione è data allora da (5) «= P - ^ V con U(x,y) funzione armonica e con k 0 coefficiente costante di viscosità del ghiaccio. Sulla superficie libera si ha la condizione fj., essendo fi il

3 135 mentre sulla parete del canale deve essere dv v dn ~~ fi p ' - dove n è la normale al contorno orientata verso l'interno dell'area e p è la pressione idrostatica dovuta alla gravità, cioè (6) p=p 0 + ggco8a y. Il calcolo della velocità si effettua quindi attraverso la determinazione della funzione U, armonica e regolare nel campo cr della sezione retta, ossia risolvendo un problema di NEUMANN poiché risultano assegnati i valori della derivata normale al contorno. Infatti dalla (4) e dalla (6) si ottiene v vélo,, \ - V = 7^ -7 T (Vo+'QO cos a y) e per la (2) - v= y o?7ogff COSa = v opo * quindi dalla (5) si deduce che dv _du dy _.. v 0 p 0 K 0iJ dn dn oy dn //, y da cui dw dn /.,?/ Posto ^ = a.2 + ( 2/ + j/j52_ L 2 )* R 2

4 136 ed essendo allora F(x } y) = 0 l'equazione del profilo, si ha dy n -* dy dn J grad * y x n mod gradi' 7 con mod grad F =2}/x* + (y+fr* - L*)* = 2R, e quindi % _ V 4- P^2 2 per cui risulta W <2w i2^^ r ' >(?/ +VJS 2 -!/) Mediante la rappresentazione conforme del campo cr sopra un cerchio di raggio unitario si riconduce infine il problema di NEUMANN per il campo cr a quello di DÌRICHLET per il cerchio Indicati con A, B i punti estremi della linea libera sull'asse x, con s la lunghezza dell'arco di profilo contata a partire dall'estremo B e con M il punto dell'arco appartenente all'asse y, rappresentiamo conformemente sopra un cerchio di raggio unitario il campo or della sezione retta del ghiacciaio, costituito dal segmento circolare AOBMA, limitato dalla cordai/? e dall'arco BMA. Nel piano z = x + iy si ponga z -\- L = r ± e** 1, z L=z r 2 e^, da cui segue 1 8 ^ = log ^ - ^ - ^ ) - Poniamo ancora (8) t= + ii] = log^~ + Ì7i

5 137 deducendo quindi dalla relazione precedente = log, 97=^(^-¾. Sopra la corda AB si ha # 2 ~~^i ~ ^ c^ ^ = ^> e» detto # 0 > l'angolo che forma con l'asse ri.il raggio passante per il punto 5,v sopra l'arco BMA è # 2 #i = ^ + #o? 7t 71 Zi c i è *7 ^ # 0 > perciò- la (8) dà la rappresentazione conforme del segmento di cerchio <x del piano z = x + iy, sopra la striscia del piano = ^ + 177, com- 71 presa fra le rette 17 = 0 ed r) = #0 Z Ponendo ora * f n (9) ws=u+ iv = - -j- i ZI o invèrsamente C = logk- «0 f-* si ottiene la rappresentazione conforme della striscia del piano == +it), compresa fra le parallele all'asse, di equazione 71 77=0, e 77 = #o> su^ cerchio del piano w =u-\-iv, col centro nell'origine e di raggio unitario. La rappresentazione conforme del campo cr, considerato del piano z = x -f iy, sopra il cerchio a 2 -f t; 2 = 1 del piano w u -f i^ è in definitiva data dalla formula (10) w n I B+L 1+L. \.-L T-* e* 1 _il-( log +*+*) w. \ z-l I e 2 +¾

6 Dalla (9) si deduce da cui ponendo 71 e -5--^0 138 & * = % (11) co =. 1 + W 1 w e tenuto conto della (8) si ricava cioè Si ha allora \ l0s z-=l +t *) * = ico. z+l,. /. ^ \ 1 # 0 e -* = e 2 co 2 n ed infine z + L -HI*- 1 -* 0 ) z-l (12),_. " 2 n = e 03 1 #,, 2 7T, ^ 2 1 >»» + e 2 n 2 co - e r«(f-+*») I-i (}-+*,) Sulla circonferenza AOBMA del piano w= u + iv, possiamo porre w= e i(p ottenendo quindi in luogo della (11) CO=lGtg% e dalla (12) in 1» 0 \. 1 i? 0 + * /3 e U a) ctgf 2 - ei(t"^)

7 139 cioè -*( +.*.) *' * «*gp - (13) Si ricavano allora le formule ctgl) 1 " 2 --! Y / \I_1 2 n ctg * +2 sen# 0 ctgf 2cos# 0 (ctgp 8 "*" + 1 \I-2- / \l-^2.-. ctg ->2sen^0 ctg 2 * +1 che esprimono le coordinate di un punto variabile sul contorno AOBMA del segmento di cerchio per mezzo delfàngolo fi vàriabile da 0 a 2ir. Per 0 ^ 9?^7r il punto descrive l'arco BMA, per 7T ^ <p ^ 2TT il punto descrive la corda AB Sostituendo nella condizione (7) al posto di y il valore ri TI fornito dalla seconda delle (13) si ha il valore di - - sopra l'arco dn BMA, espresso in funzione di <p. Poiché L = R cos & n si ricava y + VR* L 2 = R sen# 0 #n,, -. 1 #o ct g r 2 "+i + 2lct g r 2 - * 9. *0, v 1 *0 (ctg f) 1 " 2 " + 2 sem^o (ctgl) 8 " " + 1

8 140 e quindi djj_ dn 2fc 0 #cos 2 # 0 (ctg \---( j 2 " " sen# 0 "(cfcg ) 1 " 2; +l +2( ct.gf) 3 ""] "(ctg f) 1 "'* + 2 sentf 0 (ctg f)*~" +l' / M-2^2 / \ì_*» (ctg ) - +2send 0 (ctg ) V P sen^0 sen hi)"*- # (et,!)' " =--F(<p), per 0 < 9; < 7T, ^ dw = 0 per n<<p<27zf. Indicando con V la funzione armonica associata alla funzione U, legata cioè ad essa dalle condizioni di CAUCHY du dv du dv dx ~ dy ' dy ~ dx ' ed osservando che sul contorno del campo cr è otteniamo (U) dx dy dx dy ds dn dn ds ' dv du dy du dx du ds dy dn dx dn ~ dn Sul contorno AOBMA del campo o- devono dunque essere verificate le condizioni Poiché si ha ds =-Ì\ dv_ ds <rr ds = 0, per + y n dx =-/1 + </2 &: p- do dy dcp T 0 < cp < n per n < cp < 2TT.

9 141 e dalla (1), per la (3) e per la (4), si deduce essendo inoltre B n + f*== y+]/&-&' risulta e quindi segue che Inoltre si ha che ^ K dy, ds = ~ ~- dcp oc dcp ^ dv= F(cp) - ^ dcp=sg(cp) dcp, I dy J dn J dn AOBMA AOB BMA BMA e siccome l'integrale della derivata normale -- esteso a tutto dn il contorno della sezione è nullo ( 2 ), si deduce che n f du' n. x f du ds, A / -^ ds = 0, cioè -5. -jt- «a? = 0, J dn J\ dn dcp 7 ' Ì?M ^ 0 ed ancora per la (14) 7T f dv ds - n. /"' _,, x J2 d#, A Jws}**- 0 ' ossia 0 0 Si trova perciò che sarà j ^),.-^ ^- (15) jg(<p)ùp = I valori della funzione F sul contorno sono dati allora da G{cp)=! g(<p)d<p- + eóbt 0 ( 2 ) Vedere la nota (*) del lavoro precedentemente citato.

10 142 e ponendo la costante uguale a zero risulta per 0 < cp < n ed in virtù della (15) la funzione G(<p) si annulla per cp = 0 e per <p ir. Si può quindi assumere G (<p) = 0 per n < <p < 2n. Il nostro problema è così ridotto a determinare la funzione V armonica e regolare entro il cerchio di raggio unitario, essendo assegnati i valori al contorno v y=q{cp)=ì g(<p)d<p, per 0<9?<TT, o F= 0, per n<cp < 2n r è ridotto cioè al problema di DIRICHLET per il cerchio. Applicando la formula di POISSON si ottiene allora ossia 0 2n.J l + Q 2 -~2 6 cos((p' <p) V o ' dove p 2 = u 2 4- v 2 ed u e v si possono esprimere in'funzione di x e di y mediante la (10). Infine la funzione U è fornita dalla formula P(x,y) PQ(.X 0,VO)