Sviluppo curato da: Francesca Caporale e Lia Di Florio Docente: prof. Quintino d Annibale a.s. 2003/2004

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1 Meccnc Legge d Newton e prncp d conervzone Lceo Scentco Tecnologco ESECZO TATTO DAL COMPTO FNALE DEL ANNO Svluppo curto d: Frncec Cporle e L D Floro cle LST A Docente: pro. Quntno d Annble.. /4 Teto Un bgl d rggo r cm con m m, Kg è collegt trmte un lo d m trcurble d un crrucol M,5 Kg ed cm. Lct lber d muover, l bgl mette l crrucol n rotzone e dopo un trtto d lunghezz h,5 m l lo gnc dll crrucol e contnu n cdut lber per h, m, tterrndo enz rmblzre u d un gud pot nclnt rpetto ll orzzontle d o. otolndo e rrv ll be dell gud dove contnu muover u d un pno prvo d ttrto prm d urtre n modo eltco l m d un econd bgl pot ul tem rotnte d gur con,m. Nell pote d poter trcurre l veloctà dell prm bgl dopo l urto, determnre: A) A - l ccelerzone dell bgl A - l tenone del lo A - l ccelerzone ngolre dell crrucol B) l veloctà dell bgl nel punto d tterrggo ull gud C) C - l veloctà nel punto ped dello cvolo C - determnre l punto C, nel co n cu trtte d un dco dell te m e teo rggo dell bgl C - determnre l, orz d ttrto tr bgl e cvolo(µ,) D) l veloctà ngolre del tem rotnte dopo l urto con l bgl ( trcur l m dell t che regge le due bgle) E) determnre l veloctà tngenzle delle bgle nell pote che le tee per eetto dell rotzone potno lungo l t portndo d un dtnz dl centro pr Svluppo Oervndo l degno e punt d ncognt, pomo dedurre come nel problem tutto ncentrto ttorno ll meccnc, e pù n prtcolre ll u prte dnmc. Per poter tudre l problem è convenente uddvderlo n prt dente, coì d olre c che c ntereno. Nell roluzone de vr quet c ervremo delle legg dell dnmc e dell conervzone dell energ, n orm lnere (d trlzone), che d ngolre(rotzone), n qunto c permettono un roluzone pù rpd e chr. Pgn d 5

2 Meccnc Legge d Newton e prncp d conervzone PUNTO A Μ Degnmo uno chem generle delle orze n goco. T -T Per poter clcolre l ccelerzone dell bgl c ervmo dell econd legge d Newton, vremo qund: F m m g T m () n quet equzone ono però preent due ncognte, l tenone e l ccelerzone. Dobbmo qund ervrc d un econd equzone, d porre tem con l prm. Prendmo n eme l econd legge d Newton, quet volt però nell u orm ngolre, d pplcre l dco. τ α () l momento dell orz pplct è dto d T, n qunto l dco gr n eno ntorro. l momento d nerz d un dco pno è dto d ½ M, e l ccelerzone ngolre è ugule quell tngenzle meno del rggo, qund α/. l () dvent: Semplchmo ottenendo: τ Andndo otture l T nell equzone (), vremo: T M () T M (4) M m g m (5) Pomo eguglre l ccelerzone dell bgl quell tngenzle del dco, n qunto l cord non ltt, qund due hnno un movmento multneo. Contnundo rà: m g m + M (6) cvndo rpetto d ottene: m g m + M, Kg 9,8 m, Kg +,5Kg 4, 8 m (7) Not l ccelerzone del tem, l tenone del lo ottene dll equzone (4) T M,5Kg 4,8m 6N Come pomo oervre d dt rcvt l ccelerzone dell bgl è mnore d g, ovvero d quell che vrebbe vuto e oe tt n cdut lber. Allo teo modo l tenone del lo è mnore dell orz peo eerctt dll bgl, ltrment quet ultm non rebbe mo. Per clcolre l ccelerzone ngolre del dco, bterà rcordre qunto detto prm, ovvero che e è pr quell tngenzle meno del rggo, qund: 4,8m,m α 4rd (8) PUNTO B Nel punto B vene rchet l veloctà dell bgl nel punto () d tterrggo ull gud (nell pote d non rmblzo) l punto B può eere rontto con le equzon del moto, con crter energetc, utlzzeremo gl ultm. Pgn d 5

3 Meccnc Legge d Newton e prncp d conervzone Nel trtto -, L vrzone dell energ cnetc è ugule l lvoro tto dll orz peo meno quello tto dll tenone del lo : K U (9) m v h Th L T () -T o h Che pplct tr punt - ( ) e rolvendo rpetto dvent: Th m 6N,5m v gh 9,8,5m,9 m m,kg () Nel Trtto - conderndo l tem olto, pomo pplcre l prncpo d conervzone dell energ meccnc : E m Em K U g () m m ( h ) h () Avendo poto U, n qunto condermo l punto d ltezz zero, ed ndndo d eplctre vlor delle dvere energe e rolvendo rpetto ottenmo: m m + gh,9 + 9,8,m,7m (4) g h PUNTO C C)-Per clcolre l veloctà ped dello cvolo c ervmo del prncpo d conervzone dell energ meccnc pplcto tr punt -. Dobbmo clcolrc, nnnztutto, l ltezz dello cvolo, rcorrendo ll trgonometr, ovvero: h ltgβ,5m tg, 9m premettmo che n queto co l energ cnetc dell bgl che rotol ullo cvolo non è olo d trlzone, m nche d rotzone, qund: E E m m K + + (5) U K U Avremo U, e condermo terr lo cvolo. Andndo or eplctre vlor delle energe n goco ottenmo: m h m + + (6) en() l,5m N co() h l momento d nerz d un bgl è pr /5 mr, noltre l veloctà tngenzle è legt quell ngolre dll relzone: (7) r Andndo emplcre ed otture nell 6, ottenmo: N.B.: l bgl per h5 cm, vggerà con ccelerzone pr d 4,8 m/ eendo ttccto l lo e, uccevmente per h cm con ccelerzone pr g n qundo lbero dl lo e qund n cdut lber. l ncremento dell cnetc, è dovuto ll dmnuzone dell energ potenzle Pgn d 5

4 Meccnc Legge d Newton e prncp d conervzone Andndo d eplctre : m + h m + r + gh + mr + gh + ( + mr mr ) (8) gh + gh + 9,8m,9m +,7 m,4m (9) mr mr 5mr 5 C)- Se oe tto preente un dco con le tee crttertche dell bgl, l unc crttertc che rebbe vrt nel clcolo dell veloctà ped dello cvolo, rebbe tt l uo momento d nerz nel rotolmento, ovvero: mr pertnto l (9) rebbe: gh + gh + 9,8m,9m +,7 m (),m mr mr mr L veloctà n queto co è mnore, eendo l momento d nerz gore, qund nche l energ cnetc d rotzone rà mnore cpto d quell d trlzone. C)-l tto che l bgl rotol ullo cvolo, gnc che r e è preente ttrto. Tornndo ll ultmo chem delle orze propoto, notmo come l orz normle del peo ul pno non quell gà clcolt, m un u componente. Dll legge d Newton nelle orme: F m () τ α () en() N τ eplctndo l (): dll () en(θ ) m () α (4) co() ottuendo l (4) nell h: en( θ ) m (5) emplcndo e rolvendo rpetto d g en( θ ) (6) ( + ) g en( θ ) m + m rcordndo che /5m (er) ottene: g en( θ ) g en( θ ) 5 g en( θ ) (7) m m 5 dll (4): 5 g en( θ ) m m en( θ ),kg 9,8 en(), 68N Pgn 4 d 5

5 Meccnc Legge d Newton e prncp d conervzone PUNTO D Nel momento dell urto l bgl poede qunttà d moto ed energ cnetc: P m,kg 4,m 4, N (8) K m (9) noltre eendo l urto completmente eltco oltre conervr l q. d moto conerv nche l energ cnetc, qund: m n cu l econdo membro rppreent l energ cnetc rotzonle del tem bgle-t, l cu momento d nerz è: Andmo or otture ed emplcre ottenendo: m m m r + m m m,4m,4rd,m α t PUNTO E n queto co pomo ruttre l prncpo dell conervzone del momento ngolre: dl τ () dt Queto n qunto neun orz etern e, qund neun momento gce n quet e ul tem rotnte (t bgle). Sppmo che: Sottuendo nell (4) h: L L () () dove m m m m ( ) m4 emplcndo e rolvendo rpetto d ottenmo:,4rd,85rd () 4 4 A queto punto pomo clcolre l veloctà tngenzle:,85rd,m,7m (4) / F.Cporle - L. D Floro Lo teo potev eere rolto con l prncpo d conervzone del momento ngolre conderndo l tem Ser t con bgle m L L m m Pgn 5 d 5