La geometria di Euclide

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1 La geometria di Euclide Gli Elementi di Euclide (in Greco Στoικεια) sono il primo vero testo organico di geometria della storia. É un opera creata da Euclide di Megara fra il IV e il III secolo prima di Cristo. É costituita da libri, i primi sei dei quali riguardano la geometria sul piano, seguiti da quattro sui rapporti fra grandezze e da altri tre sulla geometria solida. Il primo libro, che introduce l intero edificio euclideo, è costituito da: definizioni (sui concetti di punto, linea, superficie) 9 nozioni comuni postulati 8 teoremi problemi All indirizzo web UAB/Biblioteca/euclid p.pdf è disponibile la storica traduzione (del ) degli Elementi opera di Nicolò Tartaglia, grande matematico italiano dell epoca. All indirizzo aleph.clarku.edu/ djoce/java/elements/elements.html è presente una versione in Inglese dell Opera con hperlink e disegni molto ben eseguiti. Riportiamo qui alcune definizioni fondamentali, le cinque nozioni comuni e i cinque postulati. Alcune Definizioni (Diffinitiones). Punto è ciò che non ha parti.. Linea è lunghezza senza larghezza, i termini della quale sono punti.. La linea retta si estende fra due punti, che ne sono gli estremi.. La superficie è quella che ha solo lunghezza e larghezza, i termini della quale sono linee..... Le nove Nozioni Comuni (Communi Sententie). Cose uguali a una stessa cosa sono uguali fra loro.. Se a cose uguali aggiungiamo cose uguali, otteniamo ancora cose uguali (questo si usa nelle equazioni).

2 . Se a cose uguali sottraiamo cose uguali, i residui sono uguali.. Cose che coincidono sono uguali (il criterio generale di uguaglianza di Euclide).. Il tutto è più grande della parte..... I cinque Postulati (Petitiones). Per due punti passa una e una sola retta (qui Euclide intende un segmento!).. É possibile prolungare una retta (cioè un segmento!) da entrambe le parti.. Si può disegnare una circonferenza con qualunque centro e qualunque raggio.. Tutti gli angoli retti sono uguali.. Per un punto esterno a una retta passa una sola parallela alla retta data. Che cosa è un teorema? Si intende per teorema una proposizione corredata di dimostrazione logica. A differenza dei postulati, infatti, i teoremi vanno dimostrati. Un esempio celebre è il teorema di Pitagora, che è il penultimo, cioè la proposizione 7, o teorema, che recita così: In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all angolo retto è uguale alle somme dei quadrati costruiti sugli altri due lati. Esistono oltre diverse dimostrazioni di questo teorema, basate su costruzioni geometriche e argomentazioni logiche di vario genere.

3 Il Piano Cartesiano Vogliamo trasferire una figura geometrica, poniamo un triangolo, quello in figura, ad un nostro amico che abita negli Stati Uniti. Come possiamo fare? B A Possiamo fare una foto del triangolo e inviarla via , però:. Dovremmo scattare la foto da una direzione perfettamente perpendicolare al triangolo per evitare distorsioni.. L occupazione di spazio non è esattamente ideale (le foto pesano ). Ma c è un altro modo per effettuare il trasferimento. C B C A x

4 Disegniamo sul piano due assi, che chimaremo x ed, ad angolo retto fra loro, e decidiamo che unità di misura usare (la stessa per entrambi gli assi). In questo modo, abbiamo creato un sistema di riferimento ortogonale e isometrico. A questo punto, a ciascun punto possiamo assegnare due numeri: il primo per la x, o ascissa, il secondo per la, ordinata. Ad esempio, le coordinate del punto A, con questo riferimento, si scriveranno così: A(, ). Analogamente, scriveremo B(, ) e C(7, ). Se adesso mandiamo queste poche informazioni al nostro amico americano, egli sarà perfettamente in grado di ricostruire il nostro stesso triangolo. O no? In effetti, se l amico usa un unità di misura diversa, disegnerà un triangolo che ha la stessa forma (gli stessi angoli), ma non le stesse lunghezze. C A x Però, se nella specifichiamo la nostra scelta per l unità di misura ( cm), allora sarà facile ricostruire esattamente lo stesso triangolo (o meglio: un triangolo esattamente uguale al nostro). Lunghezza di un segmento - distanza fra due punti La lunghezza di un segmento AB di cui si conoscono gli estremi A e B si può calcolare facendo uso del teorema di Pitagora. Facciamo un esempio: troviamo la lunghezza del segmento AB se A = (, ) e B = (7, ) Osserviamo la figura. Approfittando delle direzioni degli assi, che sono fra ortogonali, è facile costruire il triangolo ACB, rettangolo in C, in cui il segmento AB di cui cerchiamo la lunghezza è l ipotenusa (perché opposto all angolo retto). Allora, applicando il teorema di Pitagora, B AB = AC + BC

5 B A C 7 8 x Ma è chiaramente AC = 7 =, e CB = =, quindi AB = (7 ) + ( ) = + = + = 9.8 In pratica, la lunghezza del segmento di cui conosciamo gli estremi sarà data dalla radice quadrata della somma dei quadrati dele differenze delle cordinate di tali estremi. In formule, se A = (x A, A ) e B = (x B, B ), Area di un triangolo AB = (x B x A ) + ( B A ) Il problema del calcolo dell area di un triangolo può essere facilmente risolto con diversi metodi. Inscrivendo il triangolo in un rettangolo Un primo modo per calcolare l area del triangolo ABC è quello di inscriverlo in un rettangolo. Infatti, è chiaro che l area del triangolo celesti ABC, sommata a quella dei triangoli rossi ADC, CEB, BF A, restituisce l area del rettangolo ADEF. Ma allora, possiamo cominciare dal calcolo dell area di ADEF : facile, è un rettangolo: Area ADEF = AD EF = =

6 F B E C A D 7 8 x Calcoliamo poi le aree dei tre triangoli rossi: Area ADC = Area CEB = AD DC CE EB Area BF A = BF F A quindi per l area del triangolo blu abbiamo = = = = = = 8 Area ACB = Area ADEF Area ADC Area CF B Area BF A = 8 = 8 Col teorema di Erone Secondo il teorema di Erone, l area di un triangolo di lati a, b, c si calcola mediante la formula A = p(p a)(p b)(p c) dove p = (a + b + c) è il semiperimetro del triangolo. Tornando al nostro triangolo ABC, ci occorrono le lunghezze dei tre lati: AC = (7 ) + ( ) = CB = (7 ) + ( ) = BA = ( ) + ( ) = Allora troviamo per il semiperimetro: p = + +

7 e applicando il teorema di Erone: A = che conviene calcolare numericamente con l aiuto della calcolatrice, ottenendo proprio 8. Occorre ammettere che, appena escono risultati con le radici, il metodo del rettangolo circoscritto è preferibile. Il vettore Definiamo vettore v del piano una coppia ordinata di numeri v x, v, chiamati sue componenti x ed, e scriviamo v = (v x, v ) Ad esempio, il vettore v = (, ) ha come componente x e come componente. I vettori sono usati in Matematica e in Fisica per rappresentare diverse entità. Da un punto di vista geometrico, il modo più immediato per comprendere il significato del vettore è quello di pensarlo come un ente adatto a rappresentare uno spostamento. Da questo punto di vista, riprendendo il triangolo dei nostri esempi precedenti, se applichiamo il vettore v = (, ) ai suoi tre vertici otteniamo un secondo triangolo, traslato rispetto al precedente. C v A v C x A B v B 7

8 Somma di vettori Dati due vettori v = (, ) e w = (, ), vogliamo definire la loro somma. Ci aspettiamo che ne esca un nuovo vettore, e appare sensato che si ottenga mettendo uno dietro l altro i due vettori addendi: dopo tutto, se un vettore realizza uno spostamento, la somma di due vettori darà lo spostamento complessivo. 7 v w v + w La cosa interessante è che il vettore somma si ottiene direttamente sommando componente per componente i due vettori addendi: Multiplo di un vettore v + w = (, ) + (, ) = ( +, ) = (, ) Che cosa significa moltiplicare un vettore per un numero (scalare) intero? Significa sommare tante copie di quel vettore quante sono indicate dallo scalare. Questo significa che, ad esempio, (, ) = (, ) = (, ) x 8

9 7 v v x e questo funziona per qualunque valore dello scalare. Così, se moltiplico il vettore (, 7) per lo scalare, ottengo (7, ) = ( 7, ) cioè il vettore opposto di quello dato, infatti: e graficamente 7 ( 7, ) + (7, ) = (, ) v( 7, ) v(7, ) La retta nel piano cartesiano Equazioni parametriche, cartesiane e esplicite della retta Troviamo le equazioni parametriche, cartesiana e esplicita della retta passante per il punto A(, ) e avente la direzione del vettore v(, ). x 9

10 r v OA A(, ) x Usiamo la relazione che si traduce nel nostro caso in cioé OP = OA + λ v (x, ) = (, ) + λ(, ) x = + λ = + λ che sono le equazioni parametriche della retta data. Per ottenere l equazione cartesiana, eliminiamo λ fra le due equazioni: λ = x = + x x = Se vogliamo l equazione in forma esplicita, risolviamo rispetto a : = x Appartenenza di un punto a una retta Come possiamo verificare se il punto Q(, ) appartiene o meno alla retta del paragrafo precedente? Sostituiamo al posto della x e al posto della e vediamo che succede:

11 = + λ = + λ λ = λ = Otteniamo due valori diversi di λ, quindi il punto Q non appartiene alla retta. r R x Q Proviamo col punto R(7, ): 7 = + λ = + λ λ = λ = Otteniamo lo stesso valore per il parametro λ: il punto R appartiene alla retta. Proviamo gli stessi punti con l espressione cartesiana della retta. Per quanto riguarda il punto Q, sostituendo le sue coordinate otteniamo x = ( ) = + = = che non è vero: è confermato che il punto Q non appartiene alla retta. Vediamo il punto R(7, ): x = 7 = = = che funziona! Quindi il punto R(7, ) appartiene alla retta. In simboli: R r ma Q / r. Il simbolo si legge appartiene a, il simbolo / si legge non appartiene a.

12 Un altro esercizio interessante può essere il seguente: data la retta r di equazioni parametriche x = + λ = λ e il punto H(t, ), qual è il valore di t H(, ) affinché sia H r? Sostituiamo l ascissa e l ordinata del punto nelle equazioni della retta: r 7 x t = + λ t = + λ = λ λ = t = Retta per due punti Quindi il punto cercato è H(, ). Ricordiamo i primi due postulati di Euclide: essi stabiliscono che esiste sempre la retta per due punti. Quindi, se ci vengono dati due punti, ad esempio A(, ) e B(, ), dovremmo essere in grado di scrivere le equazioni della retta per essi. Infatti, osserviamo il grafico OA r A(, ) v B(, ) x Possiamo ricondurre questo problema al precedente, prendendo come vettore v il vettore AB, che ha componenti AB = (, ), come si può vedere dal grafico, o, più correttamente, come si vede sottraendo l ascissa di A dall ascissa di B: =, e l ordinata di S dall ordinata di B: =. Allora le equaioni parametriche della retta per AB sono x = + λ = λ

13 L equazione cartesiana si ottiene, al solito, eliminando il parametro λ fra le due equazioni: x = + λ λ = x x + = = λ = (x ) e in forma esplicita (slope-intercept form): = x + Dall equazione esplicita a quella cartesiana Il passaggio da equazione esplicita a equazione cartesiana è immediata. Ad esempio: = x x = Dall equazione esplicita a quelle parametriche Anche il passaggio da equazione esplicita a forma parametrica è molto semplice: è sufficiente porre una delle incognite (conviene la x) uguale al parametro λ. Ad esempio: x = t = x = t Rette verticali e rette orizzontali L equazione di una retta verticale è sempre del tipo x = k dove k è l ascissa comune di tutti i punti della retta. Ad esempio, la retta di equazione x = rappresenta tutti i punti di ascissa. Analogamente, l equazione = k rappresenta una retta orizzontale. Come esempio, vediamo la retta orizzontale =.

14 = x = x Intersezione fra rette Misuriamo la proiezione: il prodotto scalare Rette parallele Cataloghiamo i quadrilateri Perpendicolarità e prodotto scalare L area del triangolo con b h Un ulteriore metodo per calcolare l area del triangolo (e del parallelogramma) Applicazioni al moto dei corpi L equazione oraria

15 Triangoli rettangoli C a e b A c H d B f = c + d Nei triangoli rettangoli valgono i seguenti notevoli teoremi: Teorema (primo di Euclide) Ciascun cateto è medio proporzionale fra l ipotenusa e la proiezione del cateto sull ipotenusa. f : a = a : c a = f c f : b = b : d b = f d Dim: La dimostrazione si ottiene osservando che i triangoli ABC e ACH sono simili, quindi AB : AC = AC : AH. Teorema (di Pitagora - vale anche l inverso) La somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell ipotenusa: a + b = f Dim: Si dimostra dal teorema precedente, infatti, sommando le relazioni sopra ottenute, abbiamo a + b = fc + fd = f(c + d) = f Teorema (secondo di Euclide) L altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa c : e = e : d e = c d Dim: Infatti, per la similitudine tra ACH e BCH, si ha AH : CH = CH : BH