Misura del rapporto Q/V durante la fase di carica di un Condensatore.

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1 Misura del rapporto Q/V durante la fase di carica di un Condensatore. Torino, Gennaio 27. Liceo Scientifico G. Bruno Testato grazie alla collaborazione della classe 5E Lorenzo Galante Una delle cose che non avevo mai misurato direttamente in laboratorio è il rapporto tra la carica deposta su una delle armature di un condensatore e la tensione ai capi del condensatore. Su tutti i manuali di fisica delle scuole superiori che io conosca sta scritto che tale rapporto è costante e rappresenta la capacità C del condensatore. Certo ci si può arrivare per via teorica, ma la prova sperimentale non l ho mai fatta e non sapevo come farla. Qualche settimana fa, però ho iniziato a pensare se ci fosse un modo per misurare tale rapporto. Visto che la difficoltà nell avere una stima sperimentale di tale rapporto poggia interamente sulla determinazione della carica, mi sono concentrato sul modo per misurare la carica deposta su un condensatore. Il modo esiste, almeno secondo me, ed è il seguente. Lavoriamo con una fase di carica di un condensatore caricato con un generatore di tensione V. Realizziamo quindi un circuito di questo tipo (fig.a): R Condensatore Fig. a Una maglia costituita dalla serie di una resistenza R nota, un generatore di tensione nota (Vo) e un condensatore. Un circuito di questo tipo pone il condensatore in continua fase di carica, è tuttavia possibile con un semplice filo di rame cortocircuitare il condensatore come in figura b. Abbiamo adesso a disposizione un semplice modo per scegliere l istante di inizio della fase di carica: tenendo il filo di rame con le mani si crea il cortocircuito e appena si lascia andare il filo di rame, ha inizio la fase di carica. Vo R Fig. b Misura delle tensioni ai capi del Condensatore. Bisogna ora avere un modo per misurare le tensioni ai capi del condensatore che variano nel tempo. Visto che il lab. Physic@ del Liceo è dotato di computer con convertitori analogico digitali (ADC) è possibile acquisire la tensione del condensatore V(t), con una frequenza di campionamento a piacere (fino ad un massimo di 2kHz). Essendo il nostro circuito realizzato con una resistenza di 1KΩ e un condensatore di 1μF, la costante di tempo è τ = RC = 1 s. Ciò significa che la fase di carica sarà sufficientemente lenta e sarà sufficiente campionare con una frequenza di campionamento di 1Hz. Vo

2 Ecco la schermata del software Labview che permette allo studente sperimentatore di gestire l acquisizione dati durante l esperimento: La schermata permette di visualizzare anche il grafico ottenuto con i dati di tensione raccolti. Importante fare in modo che l acquisizione dei dati cominci nello stesso istante in cui, con il metodo del filo di rame che cortocircuita, si dà inizio alla fase di carica. Occorre far fare un po di prove ai ragazzi perché prendano confidenza con la tecnica adottata. Ecco alcune foto del circuito con cui abbiamo lavorato e dei computer con ADC che hanno permesso di acquisire i dati.

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4 Come misurare la carica ai capi del condensatore Ed ora l idea per misurare la carica a partire dai dati raccolti, ovvero a partire dalla tensione V(t) ai capi del condensatore. Se scriviamo l equazione di Kirchoff per la maglia del nostro circuito durante la fase di carica otteniamo V ir V ( t) = Equazione che ci permette di esprimete la corrente i(t) in funzione di quantità note (Vo è la tensione della pila che alimenta il circuito - la misuro -, R è la resistenza nota, V(t) è misurata durante l esperimento grazie all ADC) : V V ( t) i =. R Nota la corrente possiamo sapere istante per istante quanti Coulomb di carica sono deposti su una lamina del condensatore. Per capirlo basta pensare alla grandezza fisica i dt, che volendo dq dq possiamo anche esprimere come dt. rappresenta la quantità di carica che attraversa una dt dt sezione del filo del nostro circuito in un intervallo infinitesimo dt di tempo, è chiaro che se moltiplichiamo tale grandezza per dt otteniamo quanta carica è passata per una certa sezione del nostro circuito nell intervallo infinitesimo. Allora sommando i vari pacchetti infinitesimi di carica fluiti attraverso una sezione qualsiasi del nostro circuito dall inizio della fase di carica fino ad un certo istante t, arriviamo a sapere quanta carica si è deposta su un armatura del condensatore all istante t. In formule: Q( t) = t i dt = t V V ( t) V dt = t R R t V ( t) dt Si capisce bene come Q(t) sia la differenza di due termini: il primo facilmente valutabile, il secondo valutabile a patto di calcolare l area sottesa dalla curva delle tensioni (misurata) tra l istante e l istante t. Fortunatamente Labview permette la costruzione di un programma di acquisizione che calcola gli integrali definiti della funzione V(t) tra l istante iniziale e l istante t. Così, visto che abbiamo campionato con una frequenza di 1Hz e si acquisito dati per 1s, Labview si è calcolato in tempo reale 1 integrali definiti. A questo punto della faccenda abbiamo a disposizione due colonne ciascuna di 1 dati: V(t) e Q(t). Possiamo fare il loro rapporto per esempio esportando i dati su Excel. Ecco i grafici ottenuti:

5 Carica su un'armatura [C] Andamenteo della carica su un'armatura del condensatore durante la fase di carica.,7,6,5,4,3,2,1 5 1,6,5,4,3,2,1 Andamento della tensione ai capi del condensatore durante la fase di carica. 5 1 Andamento della corrente durante la fase di carica intensità di corrente [Amprere],1,8,6,4,2 5 1 Q/V [Farad] Rapporto (Carica su un armatura) / (tensione ai capi del Condensatore) al variare del tempo,12,1,8,6,4, Si vede che il rapporto Q/V si assesta su un valore costante che è la capacità del condensatore (1 mf). Resta da capire come mai il rapporto non risulti sempre costante. Il problema è aperto. Ad oggi, non avendo ancora avuto tempo di fare riflessioni, penso che inizialmente il rapporto non risulti allineato con la capacità del Condensatore a causa degli errori dovuti alla sincronizzazione dell inizio della fase di carica e dell acquisizione (nell istante in cui parte l acquisizione, devono verificarsi 2 fatti: 1. la tensione del C deve essere, 2. deve partire la fase di carica). Tali errori introducono un errore nella valutazione dell integrale definito che risulta molto importante nei primi

6 istanti dell esperimento, quando il valore dell integrale è ancora piccolo, meno importante nelle fasi avanzate quando il valore dell integrale è grande.