Appunti Meccanica del volo due: sistemi ridotti. Dario Isola

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1 Appunti Meccanica del volo due: sistemi ridotti. Dario Isola 24 ottobre 2006

2 Capitolo 1 Il moto longitudinale 1.1 L analisi completa Partendo dalla equazione per il moto longitudinale linearizzata del velivolo: W c 1 c x/ α 0 0 u c x/u c x/α + q c 1 c x/q m 0 q 1 U 0 c 1 c z/ α 0 0 α 0 cos θ 0 u q 0 c 1 c m/ α I y1 0 + c z/u q c z/α c 1 c z/q sin θ 0 α q θ c m/u c m/α c 1 c m/q 0 = q θ c x/δt c x/δe { } = c z/δt c z/δe δt c m/δt c m/δe δ E 0 0 Il sistema si presenta nella forma [M]{ẏ} + [K]{y} = [D]{ δ} Mẏ + Ky = L δ δ che può essere epresso nella forma tipica del controllo imponendo che: ẏ = Ay + Bu A = M 1 K, B = M 1 L δ, u = δ. (1.1) Seguendo la strada classica della teoria del controllo, è possibile calcolare gli autovalori della matrice A ( di dimensioni n n 4 4) come: det (Iλ A) = 0 1

3 trovando gli n autovalori λ i, e i corrispondenti autovettori {ȳ i }, tali per cui: y(t) = n ȳ i e λt. i=1 Figura 1.1: I poli del sistema del moto longitudinale completo. Per il caso in considerazione, ovvero un aeroplano con configurazione standard, è possibile verificare che si ottengono sempre due coppie di autovalori complessi e coniugati (λ = a±i b) a parte reale negativa, il che significa naturalmente che il sistema è asintoticamente stabile e oscillante. Generalmente accade che: 2 autovalori C complessi e coniugati tali per cui λ è piccolo, il che significa un periodo corto e di piccola ampiezza, 2 autovalori C complessi e coniugati tali per cui λ è grande, il che significa un periodo lungo e di grande ampiezza, poco smorzato. Calcolando a questo punto gli autovettori associati ai due autovalori complessi e coniugati, si nota che sono naturalmente anch essi complessi e che il modulo della componente associata a u è quasi nulla, e che quindi, in un certo senso, la dinamica legata a u è trascurabile rispetto a quella delle altre variabili. In maniera identica si osserva che nel lungo periodo sono 2

4 q e α a poter essere trascurate rispetto alle altre, in questo caso avere piccoli α significa che l aeroplano sarà praticamente sempre tangente alla traiettoria. È possibile inoltre vedere che u e θ sono ortogonali (o quasi), e all aumentare del tempo essi ruotano attorno all origine mantenendosi tali: ciò significa che quando u ha un massimo o un minimo θ = Approssimazione di fugoide Figura 1.2: Il moto di fugoide Nella dinamica linearizzata del velivolo è possibile evidenziare la presenza di frequenze proprie molto basse, alle quali è associato un moto ondeggiante di lungo periodo (detto fugoide) in cui si assiste ad una oscillazione verticale dell aeroplano il cui periodo può durare minuti. Questa lenta oscillazione, in cui l apparecchio è sempre tangente alla traiettoria, non costituisce un reale pericolo poichè un semplice comando del pilota è in grado di interromperla, e per questo generalmente non viene controllata. Vediamo di fare alcune seplificazioni per potere evidenziare in maniera utilizzabile gli elementi che maggiormente intervengono a creare questo particolare fenomeno. Partendo da un sistema 4 4, con quattro autovalori, cerchiamo di ricondurci ad un sistema del second ordine del tipo: per cui λ 2 + 2ξω n λ + ω 2 n = 0 λ = ξω n ± i ω n 1 ξ2. 3

5 Per via di come è costruito l aeroplano è possibile fare alcune ipotesi: Prima Ipotesi: visto che α è sovrasmorzato posso dire che α = α = 0, il che mi permette di trascurare la dinamica di α, ovvero eliminare le sue colonne, e toglierlo quindi dalle incognite. 0 0 W c u x/u c 1 c x/q m 0 q 1 U 0 cos θ 0 0 I y1 0 q θ + q c z/u q c 1 c z/q sin θ 0 u c m/u c 1 c m/q 0 q =... θ Seconda Ipotesi: se diciamo che il moto di beccheggio è lento, si può scrivere che q = θ = 0, questo ci permette di trascurare completamente la riga relativa al moto di beccheggio (la terza), W 0 0 u c x/u c 1 c x/q m 0 q q θ + cos θ 0 u q c z/u q c 1 c z/q sin θ 0 q = θ inoltre permette di porre direttamente q = 0, così da utilizzare immediatamente l ulitma riga, che ci dice q = θ (facendola anche sparire). Andiamo a riorganizzare i termini nel seguente modo: [ m1 c 1 c x/q W 0 0 c 1 c z/q + ] { u θ } [ c x/u + c z/u q q ] { } cos θ 0 u q =... sin θ 0 θ Abbiamo così ottenuto un sistema 2 2 che permette di descrivere il moto longitudinale in maniera molto semplice, ma sono necessarie ulteriori ipotesi: 1. θ 0 = 0 2. w 0 = 0 3. c x/q c d/q = 0 4. c 1 c z/q 5. M 1 otteniamo l equazione rappresentativa del moto di fugoide: [ ] { } [ m1 0 u q ] { } cx/u 0 θ + u = L c z/u 0 θ δ δ 4

6 calcolando la matrice del sistema A tramite le relazioni (1.1), abbiamo: [ cx/u m A P H = 1 g ] c z/u 0 Figura 1.3: Linea continua: sistema del quart ordine. approssimazione fugoide. Linea tratteggiata: calcoliamone gli autovalori: det(iλ A P H ) = λ c x/u m c 1 z/u λ g e otteniamo l equazione caratteristica λ 2 λ c x/u ( cx/u g ) = 0 per cui: ω 2 P H = c x/u g 2 c Lg 5

7 m ma, ricordando che =, moltiplicando e dividendo per g e U 1/2ρ S 0 otteniamo: per cui: ω 2 P H = 2 1/2ρSc L mg g g ω P H = 2 g per quanto riguarda lo smorzamento, sappiamo che: ovvero: 2ξ P H ω P H = c x/u 2g c x/u ξ P H = 2 ξ P H = 2g 2 c D Abbiamo fatto uso delle seguenti relazioni per esprimere le forze espresse in assi corpo, con un sistema di riferimento in assi vento: Z = L = 1 2 ρu 2 0 Sc L c z/u = Z u 1 2 ρu 2 0 S = 2c L X = D = 1 2 ρu 2 0 Sc D c x/u = D u 1 2 ρu 2 0 S = 2c D 1.3 Approssimazione di corto periodo Dualmente al fugoide esiste un moto di corto periodo in cui non si ha una sostanziale variazione di velocità, ma dove incidenza e angolo di assetto cambiano velocemente. È una condizione decisamente pericolosa perchè non consente una risposta pronta da parte del pilota ed è pertanto necessario reprimerla meccanicamente (progettando in maniera oculata il sistema aerodinamico) oppure controllarla automaticamente. Le ipotesi che ci permettono di analizzare gli elementi più importanti sono: Prima ipotesi: si trascurano le variazioni di u e u, poichè il modulo della componente dell autovettore associato a u è piccolo Seconda ipotesi: si ignora la dinamica lungo x. 6

8 Eliminiamo quindi la prima riga e la prima colonna di ogni matrice. q c 1 c z/ α 0 0 α c z/α c 1 c z/q c 1 c m/ α I y1 0 q θ + sin θ 0 α c m/α c 1 c m/q 0 q = θ Facciamo anche le seguenti ipotesi: 1. θ 0 = 0 : così da poter trasformare il sistema da un 3 3 in c 1 c z/α 3. c z/q così da ottenere: [ ] { } 0 α + c 1 c m/ α I y1 q [ cz/α c m/α c 1 c m/q ] { } α = L q δ δ Figura 1.4: Confronto risposta libera. Linea tratteggiata: sistema del quart ordine. Linea continua: approssimazione di corto periodo. calcoliamo ancora A = M 1 K M 1 = 1 [ ] I y1 0 I y1 c 1 c m/ α per cui: 7

9 Figura 1.5: Confronto risposta impulsiva. Linea tratteggiata: sistema del quart ordine. Linea continua: approssimazione di corto periodo. A = c z/α 1 c 1 c m/ α c z/α +c m/α I y1 c 1 c m/ α I y1 + c 1c m/q I y1 calcoliamone gli autovalori come det (λi A) = 0, e utilizziamo le formule precedenti per ottenere che: c1 c z/α c m/q ω SP = I y1 c m/α ξ = 1 c 1 (c m/ α + c m/q ) + c z/α I y1 2 (c z/α c m/q c 1 ) c m/α si nota come quest ultimo dipenda da c m/ α e c m/q, e debba essere alto per avere un buono smorzamento che dipende dal rapporto volumetrico di coda. 8

10 Capitolo 2 Il moto latero-direzionale Consideriamo le equazioni linearizzate di equilibrio per un velivolo relative al moto latero-direzionale. b 1 c y/ β 0 0 β W c y/β b 1 c y/p m 0 1 b 1 c l/ β I x1 I xz1 ṗ + b 1 c y/r + β c l/β b 1 c l/p q 0 I xz1 b 1 c l/r + q 0 (I z1 I y1 ) p = b 1 c n/ β I xz1 I x1 ṙ c n/β b 1 c n/p + q 0 (I z1 I y1 ) b 1 c n/r + q 0 I xz1 r = a cui si aggiungono c y/δa c l/δa c n/δa c y/δr c l/δr c n/δr { δa δ R } + ψ sin θ 0 = r φ = p g cos θ 0 φ 0 0 Partendo dal sistema completo 5 5 per le variabili β, p, r, φ e ψ. Si può supporre che: 1. W 0 = 0 2. q 0 = 0 Guardando il sistema completo si può vedere come ψ non intervenga in nessun modo. La sua dinamica è quindi inutile ai fini della determinazione dello stato del sistema, ed è possibile calcolarla in un secondo momento; è possibile ricondursi ad un sistema 4 4 con 4 autovalori, che è possibile verificare essere sempre: 2 C Complessi e coniugati, legati al moto dutch roll, 9

11 1 R Reale, legato al moto a spirale, se è positivo è lentamente divergente, 1 R Reale, lgato al moto di rollio, con una radice negativa molto grande (molto smorzato). 2.1 Approssimazione rollio Figura 2.1: Confronto risposta libera. Linea tratteggiata: sistema del quart ordine. Linea continua: approssimazione di rollio. In questo caso ho forte variazione di p dove posso considerare il resto sostanzialmente nullo, ottenendo semplicemente: I xx1 ṗ = b 1 c l/p p con una dinamica del prim ordine non oscillatoria: λ = 1 τ = b 1 I xx1 c l/p molto smorzata, dove c l < 0 viene chiamato Dumping-in-roll, il sistema è p quindi asintoticamente stabile e la velocità con cui smorza l oscillazione può ritenersi direttamente proporzionale a questo coeffciente. 10

12 Figura 2.2: Confronto risposta libera. Linea tratteggiata: sistema del quart ordine. Linea continua: approssimazione di spirale. 2.2 Approssimazione spirale Qui si considera che p = β = 0, e si abbia solo un equazione d imbardata, tale per cui: { 0 = cl/β β + b 1 c l/r r algebrica ora sostituiamo, per ottenere: cosa posso dire di λ? I zz1 ṙ = c n/β β + b 1 c n/r r c n/β c l/r + c n/r c l/β I zz1 ṙ = b 1 r c l/β λ = b 1 I zz1 c n/β c l/r + c n/r c l/β c l/β c n/r : Dumping-in-jaw imbardata, < 0. c l/β : smorzamento rollio data una velocità laterale, effetto diedro, < 0. c n/β : effetto bandieruola (weathercock),> 0. c l/β : > 0. 11

13 vogliamo che l autovalore sia negativo c n/β c l/r + c n/r c l/β c l/β = e per farlo dobbiamo garantire che: c n/β c l/r > c n/r c l/β ( )( ) (+)(+) ( ) Il comportamento non è definito. Posso aumentare l effetto diedro per rendere λ sicuramente negativo, ma devo cambiare la geometria del velivolo. c n/β = (c n/β ) Γ + (c n/β ) + (c n/β ) F + (c n/β ) V (c n/β ) Γ < 0 : effetto diedro (instabilizzante). (c n/β ) > 0 : effetto freccia (stabilizzante). (c n/β ) F < 0 : (c n/β ) V > 0 : Effetto della coda (stabilizzante). c n/r = (c n/r ) w + (c n/r ) v < 0 c l/β = (c l/β ) Γ + (c l/β ) + (c l/β ) W F + (c l/β ) V < 0 Il termine (c l/β ) W F è dovuto alla interazione tra ala e fusoliera (instabilizzante). c l/r = (c l/r ) W + (c l/r ) V > Dutch-Roll Trascuro le variazioni di rollio φ = p = ṗ = 0, così da ottenere un semplice sistema 2 2: { ( b 1 c y/ β) β c y/β β + ( b 1 c y/r ) r = 0 b 1 c n/ β β + I z1 ṙ c n/β β b 1 c n/r r = 0 si ipotizza anche che: b 1 c y/β c n/ β 0 12

14 Figura 2.3: Il moto di Dutch-Roll otteniamo [ ] { } [ ] { } m1 0 β cy/β m + 1 b 1 c y/p β = 0 0 I z1 ṙ c n/β b 1 c n/r r rispettivamente A = M 1 = [ cy/β c n/β I z1 [ 1 ] I z1 ] 1 b 1 c y/p b 1 c n/r I z1 l equazione caratteristica assume la forma: ( λ c ) ( y/β λ b ) ( ) ( ) 1c n/r b1 c y/p cn/β 1 I z1 I z1 ovvero: ωdr 2 = 1 ( ) cn/r c y/β b 1 + c n/β ( c y/r b 1 I z1 ξ DR = b 1 2ω DR ( cy/r + c ) n/r I z1 13

15 Figura 2.4: Confronto risposta libera. Linea tratteggiata: sistema del quart ordine. Linea continua: approssimazione di Dutch-Roll. 14