FIGURES TABLES. Figura 1 striscia critica e linea critica =1/ Oct :10:32 BST Version 1 - Submitted to JLMS 2

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1 INDEX Itroduzioe...3 Riema Hypothei propota di oluzioe...4 Cogettura ulla molteplicità degli zeri - propota di oluzioe...0 Siti...3 Blog...3 FIGURES Figura tricia critica e liea critica =/...4 TABLES Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS

2 Itroduzioe I [6][] i è eamiata la toria dietro alla cogettura RH e oo tate itrodotte le celebri epreioi di Eulero: ( ) ( p ) p prime () E oto che Riema giue, col prolugameto aalitico, a due equazioi fodametali, l equazioe itegrale della zeta e l equazioe fuzioale che, ell ordie, qui ricordiamo: ( ) ( ) u du u i e C () Dove la fuzioe gamma è defiita come: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ( ) : t e t dt 0 0 t e t dt t Tutti gli zeri itrodotti dalla fuzioe gamma per =-,-4, oo chiamati zeri baali ; metre gli altri zeri oo oti come zeri o baali della fuzioe zeta di Riema. Richiamiamo brevemete quato affermao le due cogetture d iteree ell articolo. Berhard Riema RH - Riema Hypothei Per ogi zero o baale = +it i, allora =/ (o equivaletemete tutti gli zeri o baali di () vivoo ulla liea critica). Cogettura ulla molteplicità degli zeri o baali Tutti gli zeri o baali oo emplici ovvero co molteplicità. Soo proprio quete due ultime cogetture a cotituire gli ultimi baluardi che reitoo alla logica aalitica dimotrativa! Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 3

3 + Figura tricia critica e liea critica =/ La maggiore difficoltà ella rioluzioe della RH fiora è tata la compleità dell equazioe itegrale e dell equazioe fuzioale, difficili da maipolare o da fruttare per evideziare parte reale e parte immagiaria. Per idagare ella tricia critica è poibile, ivece, fruttare la erie di Dirichlet alterate (vedi [6]): o erie ( ) ( ) ( ( ) = +it, > ( ) ( ) ( ( ) = +it, 0 (4) Riema Hypothei propota di oluzioe Iiziamo a dimotrare alcui Lemmi. Lemma A Gli zeri della zeta di Riema o pooo tare i regioi per cui preeti olo laddove ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ma oo Dimotrazioe L equazioe immetrica fuzioale claica è eprea el eguete modo: Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 4

4 Dove = +it ( ) ( ) (5) Se prediamo il valore aoluto di etrambi i lati della (5) è: ( ) ( ) (6) E evidete che per tutti i umeri complei è: (7) Quidi e foe vero che: ( ) ( ) 0 (8) è evidete che almeo uo dei due termii della (8) arebbe divero da zero; ma dalla (5) e coeguirebbe che e uo dei termii è poitivo lo è ache l altro; per cui eu zero o baale i può avere i ua zoa i cui è vera la (8). ( ) Per cui gli zeri o baali oo per forza ituati i ua regioe per cui è vero che: Co queto il Lemma A è dimotrato. ( ) ( ) 0 ( ) (9) Lemma B La zeta di Riema è iiettiva e ella tricia critica eite ua ola retta critica Dimotrazioe Ipotizziamo per aurdo che eitao più rette critiche per diveri valori di, ulle quali potrebbero eere preeti zeri o baali. E chiaro che ogi retta critica itereca l ae reale i u olo puto, per cui il umero di liee critiche equivale al umero di iterezioi co l ae reale; di coegueza il valore di all iterezioe può eere otteuto riolvedo la (9) co = : ( ) ( ) (0) La (8) è fala per il cocetto di zero come oluzioe di u equazioe! La (9) ha i è il cocetto di immetria che codizioa ell attederi che gli zeri o baali poao tare ache a coppia ripetto alla retta critica. Per cui la (9) da ola potrebbe o eere covicete circa il fatto che gli zeri o baali oo ulla retta critica Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 5

5 ig. Roario Turco, prof. Maria Coloee Propota di dimotrazioe alle Ipotei di Riema e Cogettura molteplicità degli zeri Sommario I queto documeto gli autori ripredoo i lavori [6][][] e preetao ua propota di dimotrazioe dell ipotei di Riema e della cogettura ulla molteplicità degli zeri o baali della zeta di Riema. Abtract I thi paper the author cotiue the work [6] [] [] ad preet a propoal for a demotratio o the Riema Hypothei ad the cojecture o the multiplicity of o-trivial zero of the Riema zeta. Gli Autori rigraziao i da adeo tutti i lettori pazieti che darao u ritoro u quato letto. mailto:roario_turco@virgilio.it Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS

6 Ivece di utilizzare la cotiuazioe aalitica della zeta di Riema per Re()>0 faremo uo della erie alterate o erie di Dirichlet, vita ella (4): ( ) ( ) () Se eamiiamo la derivata prima della () è: l ( ) ( ) '( ) [ l ] 0 ( ) Ea è valida per tutti i valori ella tricia critica. Poichè la derivate prima è egativa, ciò idica che la fuzioe zeta è trettamete decrecete e che, quidi, la zeta di Riema è ua fuzioe iiettiva. L iiettività comporta che ad ogi valore del domiio (il valore ) corripode u valore (almeo uo e o più di uo) del codomiio (i valori di ); per cui affichè ia vera la (0) ciò può avveire olo per =/. Cotrariamete e foe ( ) ( ) Ma qui o troveremo zeri o baali come vito el Lemma A. Per trovare gli zeri o baali ( 3 ) è: Ora per trovare i valori di epreioe (): ( ) ( ) 0 per tutte le rette critiche ipotizzate, i potrebbe uare la eguete () Eamiiamo eparatamete le derivate prime ripetto a parte gamma, della () e poi ricompoiamo il tutto; per cui: dei due compoeti, parte pi greco e d d l 0 Qui emerge l iiettività u ella tricia critica. 3 gli zeri oluzioe di u equazioe, la (9) o la (0). Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 6

7 Ioltre è: d d Ache qui la fuzioe gamma è iiettiva u. [ ( )] 0 Ora e mettiamo iieme le due parti e criviamo: g( ) g ( ) Nel compleo, quidi, la derivata di g( ) è egativa e g è iiettiva e ciò può avveire olo per =/ per cui eite ua ola retta critica ella tricia critica, il che dimotra ache il Lemma B. Lemma C Gli zeri o baali della zeta di Riema, ituati i ua regioe per cui è vero che ( ) ( ) 0, oo gli tei di quelli per cui è vero che ()= (-) = 0 Dimotrazioe I precedeza co Lemma A e Lemma B abbiamo vito che eite ua ola retta critica e che gli zeri o baali pooo eere localizzati olo dove è vera la (9). Dalle (4) è evidete che: ( ) ( ) Dalla (3), attravero le (4), è: K( ) (3) ( ) ( ( ) ( K( ) (4) ( ( ) K( ) ( ) C( ) ( ) (5) ( La (5) è l equazioe fuzioale, che cercavamo. La (5) afferma che ella tricia critica fichè () (-) o ci pooo eere zeri ( 4 ); difatti e ella tricia critica, eclua la retta critica, ci foero degli zeri igificherebbe che ovuque 4 è equivalete alla (9) Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 7

8 ()= (-)=0; ma dalla (5) C() = 0/0 (idetermiate), il che è impoibile perchè C() è determiato (di fatti dipede da K()). Ioltre iamo icuri che gli zeri baali oo olo ella fuzioe () tramite K(); metre co () trattiamo gli zeri o baali. Riema Hypothei Tutti gli zeri o baali della zeta di Riema oo ulla retta critica Dimotrazioe della RH Il lemma A, Lemma B e Lemma C ci hao portati a cocludere che eite ua ola retta critica, che gli zeri o baali o pooo tare ovuque ella tricia critica e che è poibile per aalizzare gli zeri utilizzare l equazioe fuzioale (5). Il metodo che ueremo adeo i baa ul fatto che ua qualiai fuzioe complea di variabile complea è ricoducibile alla omma di due fuzioi complee di variabili reali (= +it) ; ioltre la fuzioe è aalitica( 5 ): () = u(,t) + i v(,t) (-) = u'(,t) + i v'(,t) (6) Gli zeri di () oo, difatti, legati agli zeri di u e v. I tal cao potremo aullare le igole fuzioi u e v per trovare gli zeri di ; difatti, el eguito, aulleremo prima la parte immagiaria e vedremo come, per queto, i emplifica la parte reale. Ifie vedremo dove e come i aulla ache la parte reale, il che ci porterà a delle cocluioi ugli zeri della e, di coegueza, della zeta di Riema attravero la (3) e (4). Le (6) oo eprimibili i forma trigoometrica i fuzioe delle variabili (,t), teedo preete le (4) e che: it it l (co l i l ) e t i t it Per cui è: u(, t) ( ) v(, t) ( ) u '(, t) ( ) v '(, t) ( ) co( tl ) i( tl ) co( tl ) i( tl ) (7) 5 Il che vuol dire ache che per ea oo vere le equazioi di Cauchy-Riema Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 8

9 Ora per avere v=0 e v =0 è eceario che ia: K, i(t l )=0 t k,,,3,... k 0,,,... l Itereate otare che t,k può dar luogo ad ifiite coppie di valori al variare di (,k). Per tale valore di t,k le parti reali u e u i emplificao perchè è per cui le (7) divetao: co(t,k l ) = (-) k u(, t ) ( ) k u '(, t ) ( ) k k k ( ) ( ) (8) Quad è che le erie epreo dalle (8) pooo covergere a zero?e il queito chiave degli ultimi pai della dimotrazioe, che egue il metodo epoto precedetemete. Tra i vari teoremi che i pooo coiderare ulle erie eite il eguete Teorema: Sia a ua erie alterate di termie geerale ifiiteimo e ia a a allora la erie coverge e S S a. Nel Teorema co S i itede la omma ifiita della erie e S la omma olo dei primi termii. Se itediamo elle (8) S S = u - u abbiamo a che fare co erie alterati co termii ifiiteimi poichè è al deomiatore e quado erie delle (8) covergoo a zero; cioè riuciamo a trovare che: u u ( ) u ' u ' ( ) abbiamo u ifiiteimo; per cui le due Allora al tedere di all ifiito le due erie tedoo a zero, ovvero: Da qui e coegue che : lim u u 0 lim u ' u ' 0 lim u u lim u ' u ' 0 lim lim 0 ( ) ( ) lim lim 0 lim lim- per cui =/ ( ) ( ) Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 9

10 La covergeza a zero delle due erie, comporta che i due valori e -, al tedere di all ifiito, i icotrao a ½ quidi, la covergeza avviee ulla retta critica a =/. Ora poichè l aullameto di u e v idividua gli zeri o baali, iamo arrivati alla cocluioe che gli zeri o baali tao ulla retta critica a =/. ll procedimeto o ci ha portato a eua cotraddizioe ma alla coferma che E olo ulla retta critica che pooo tare gli zeri o baali della zeta di Riema. CVD Cogettura ulla molteplicità degli zeri - propota di oluzioe Cogettura ulla molteplicità degli zeri o baali Tutti gli zeri o baali oo emplici ovvero co molteplicità. Richiamo teorico A Sappiamo che: Tale epreioe ci coete di crivere: ( ) ( p ) p prime l ( ) l( p ) p prime p prime k p k k (9) I (9) abbiamo applicato l itegrazioe di Newto legata all epreioe: x 3 x x x... Se la precedete epreioe è itegrata per x e i cambia ego per avere (-x) al umeratore, allora otteiamo: log( x) x x x x... Itroduciamo ora la fuzioe di vo Magoldt (ache chiamata fuzioe lambda): Per cui è: ( ) k (0) log p, if p, p prime, k 0, otherwie l ( ) ( ) ( ) log log () Da cui derivado ulteriormete: '( ) ( ) ( ) () Richiamo teorico B Dato u poliomio di grado qualiai e co variabile reale o complea, la ricerca delle radici è Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS 0

11 poibile effettuarla iterativamete co vari metodi; ad eempio: Metodo iterativo Metodo di Newto Metodo di Sturm e Teorema relativo etc. Nel proieguo faremo uo olo del metodo di Newto (vedi [0]). Ricordiamo che e ua fuzioe f(z) ammette ua radice eprimere per le fuzioi meromorfiche f : modo: tale che f( )=0 allora è poibile ua mappa di Newto N f (z) el eguete Nf ( z) z f ( z) f '( z) (3) Ora è oto che:. Se è uo zero emplice di f(z) allora f( )=0 e N f ( )= e N f ( )=0 e ioltre N z O z f ( ) (( ) ), z. Se è uo zero multiplo di f(z) allora f( )=0 e N f ( )= e N f ( ) < e ioltre Nf ( z) C z, 0 < C <, z I geerale e foimo itereati ai valori delle radici, arebbe poibile partire da u valore z 0 proimo ad e,co varie iterazioi, i arriverebbe ad u -eimo termie tale che Nf ( ) =. Tuttavia alla dimotrazioe o erve trovare effettivamete i valori delle radici ma olo di poter dire qualcoa ulla molteplicità di tali radici; da qui ace la ucceiva dimotrazioe. Dimotrazioe della cogettura Nel cao della zeta di Riema la (3) diveta: La (4) attravero la () diveta: N ( z) z ( z) '( z) (4) Da qui è: N ( z) z ( ) z (5) Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS

12 Powered by TCPDF ( La (6) diveta: N ( ) ( ) (6) perchè ( ) N ( ) (7) dove per la fuzioe di vo Mogoldt ella (6) vale la (0); ioltre abbiamo ua ommatoria di fuzioi di vo Mogoldt, per cui o è ullo il termie otto il umeratore della (6). Ioltre al ecodo membro della (6) ci oo olo cotati per cui è ache: N ' ( ) 0 (8) La radice è u umero compleo ella (7)per cui i può itedere co il modulo. Per cui dai richiami A e B viti prima poiamo affermare, attravero il metodo di Newto ulla ricerca delle radici che: Tutti gli zeri o baali della zeta di Riema oo emplici ovvero co molteplicità. CVD Oct 5 06 :0:3 BST Verio - Submitted to JLMS