POLITECNICO DI MILANO Corso di Laurea in Ingegneria Civile Indirizzo Infrastrutture di Trasporto

Transcript

1 POLITECNICO DI MILANO Corso di Laurea in Ingegneria Civile Indirizzo Infrastrutture di Trasporto SPERIMENTAZIONE DI UN MODELLO DI STIMA AGGREGATA DELLA DOMANDA DI TRASPORTO: AGGIORNAMENTO DELLA MATRICE O/D DELLA REGIONE URBANA MILANESE IN USO AL CENTRO STUDI PIM Relatore: Prof. Ing. Roberto MAJA Correlatore: Ing. Mauro BARZIZZA Tesi di Laurea di: Matteo M. GAMBINO matr Alessandro PICCO matr Anno Accademico

2 INDICE PREFAZIONE... 3 RICHIAMI DI PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI... 4 INTRODUZIONE ALLA SIMULAZIONE DEI FLUSSI DI TRAFFICO... 4 Domanda... 5 Offerta... 7 Assegnazione... 9 AGGIORNAMENTO DI MATRICE FORMULAZIONE DEL PROBLEMA Modello di domanda Modello di offerta Bilancio equazioni / incognite Stimatori Aspetti applicativi Metodi Risolutivi e algoritmi di risoluzione Conclusione MODELLO CUBE VOYAGER - ANALYST NOTE SUL MODELLO DI SIMULAZIONE IN USO AL CENTRO STUDI PIM L offerta infrastrutturale: il grafo di rete stato di fatto La zonizzazione La domanda di spostamento attuale Il processo di assegnazione PIATTAFORMA CUBE-VOYAGER: APPLICAZIONE ANALYST Mathematical Background Processo di aggiornamento e Struttura del modello SCENARIO MANAGER dell interfaccia CUBE VOYAGER Gruppo di elaborazione matrice Prior, Screenline: Gruppo Loop di stima della matrice aggiornata: Gruppo assegnazione matrice stimata e generazione Report Gruppo analisi della matrice stimata e delle matrici generate nelle iterazioni di loop... 70

3 SPERIMENTAZIONE SUI PARAMETRI DI DIPENDENZA DEL PROCESSO PARAMETRI INIZIALI DI SCELTA Tipologie di assegnazione e Curve di deflusso Numero di iterazioni nel loop Analyst CONTEGGI DI TRAFFICO Screenline LIVELLI DI CONFIDENZA Definizione delle Macrozone Confidenza del dato relativo alla singola cella della matrice Confidenza dei Trip-End UTILIZZO DELLA MATRICE DEI COSTI (SKIM) REPORT DELLA REGRESSIONE LINEARE Report Report Errore Standard - se RISULTATI SCREENLINE Configurazione Screenline Configurazione Screenline Configurazione Screenline RISULTATI TEST SUL LIVELLO DI CONFIDENZA DELLA MATRICE Matrice confidenza unica bassa Matrice confidenza unica media Matrice confidenza unica alta Matrice confidenza ponderata RISULTATI TEST SUL LIVELLO DI CONFIDENZA DEI TRIP END Trip end confidenza unica alta Trip end confidenza unica bassa Trip end confidenza ponderata RISULTATI MATRICE COSTI ASSEGNAZIONE E VALIDAZIONE CONCLUSIONI BIBLIOGRAFIA, SITOGRAFIA E FONTI ALLEGATO: RILIEVI-ASSEGNAZIONE ALLEGATO: SCRIPT DEL MODELLO Pagina 2

4 PREFAZIONE Questo lavoro di tesi è frutto dell esperienza maturata durante lo stage, curricolare prima e non curricolare poi, al Centro Studi PIM sito a Milano. L oggetto di questo lavoro è lo studio del processo di aggiornamento di matrice datata, utilizzando conteggi di traffico e altre informazioni aggregate, e lo sviluppo di un modello di stima della matrice aggiornata automatizzato in cui sia possibile agire sui parametri di dipendenza del processo e studiarne le influenze. Il precedente lavoro di conversione del modello di simulazione dalla piattaforma Trips, precedentemente in uso, alla piattaforma Voyager è stato un buon punto di partenza per prendere dimestichezza con il linguaggio di programmazione del software e conoscere la sua logica di funzionamento. La necessità dell azienda di eseguire l aggiornamento della matrice di domanda del proprio modello di simulazione dei flussi di traffico ci ha permesso di partecipare attivamente alla realizzazione del modello stesso e di poterci avvalere del supporto di tecnici del settore, potendo quindi confrontare le nostre nozioni teoriche con la loro esperienza pratica sul campo. Lo stage ci ha dato modo anche di affrontare un problema che, di fatto, è caratterizzato da notevoli dimensioni per estensione del grafo, grandezza della matrice di domanda e disponibilità di dati. Questo ci ha permesso un ampia libertà di sperimentazione, spaziando dalla scelta e quantità dei dati di input da utilizzare alle diverse modalità di risoluzione legate al caso oggetto di studio proposte dal software, grazie alla quale è stato possibile indagare sia sulle meccaniche dell intero processo di aggiornamento, sia effettuare considerazioni critiche e valutazioni sui risultati ottenuti, al fine di ottenere un modello di simulazione che fosse in grado di rappresentare al meglio, in termini di flussi circolanti, la realtà della rete modellizzata. Il modello di aggiornamento è nato da una struttura base consigliata da Cube e si è successivamente evoluto, nel corso della sperimentazione della tesi, arricchendosi di tutta una serie di programmi di supporto che permettessero un livello di automazione e controllo sempre maggiori. Inizialmente si sono andati ad individuare il set di parametri e le scelte che massimizzassero la qualità del risultato, per fornire un risultato utile all azienda in tempi quanto più brevi. Successivamente si è affinato lo studio del processo e sperimentato la sua variabilità. Pagina 3

5 RICHIAMI DI PIANIFICAZIONE DEI TRASPORTI INTRODUZIONE ALLA SIMULAZIONE DEI FLUSSI DI TRAFFICO Il funzionamento delle reti di trasporto è un fenomeno che non obbedisce a leggi definibili in modo rigoroso come avviene nel mondo fisico (per reti di alimentazione idrica, elettrica, ecc), ma risulta influenzato sensibilmente da fattori economici, sociali, ambientali, ecc che ne complicano la descrizione e lo studio. Tali difficoltà possono essere superate attraverso l uso di una teoria adeguata, in grado appunto di descrivere il comportamento umano e formalizzare i processi aleatori. Raggiunto l assetto teorico è quindi possibile simulare qualsiasi rete di trasporto, cioè tradurre le caratteristiche fisiche e funzionali della rete in opportuni algoritmi matematici interconnessi, in grado di facilitare la rappresentazione quantitativa della distribuzione spaziale e temporale dei flussi di traffico sulla rete mediante l uso di mezzi di calcolo automatico e di conseguenza agevolare lo studio, ad esempio, della problematica della pianificazione di nuovi interventi infrastrutturali su reti più o meno complesse. La fase di pianificazione dei trasporti può essere definita come l insieme delle elaborazioni utili alla definizione ed analisi di scenari progettuali di intervento sul sistema dei trasporti e quindi sul territorio, l individuazione di politiche e strategie di intervento e l indirizzamento del sistema di trasporto stesso verso configurazioni ottimali. Questa si articola in diverse operazioni, quali: identificazione delle esigenze di mobilità attuali o future degli utenti e delle merci che il sistema deve soddisfare in una data area territoriale; quantificazione dei flussi di traffico sulla rete; analisi delle eventuali criticità di un sistema di trasporto esistente come premessa ad un suo potenziamento; individuazione delle soluzioni progettuali alternative finalizzate a soddisfare le esigenze di mobilità; quantificazione dei flussi di traffico che potranno ipoteticamente interessare le reti comprendenti le soluzioni di intervento future; analisi di fattibilità delle soluzioni individuate, comparazione delle alternative ed i relativi benefici; scelta dell alternativa più efficace. Pagina 4

6 Dalle considerazioni fatte in precedenza è possibile quindi stabilire che uno strumento fondamentale per la pianificazione stessa risulta essere la simulazione. Tale processo si articola in tre diverse operazioni, di seguito trattate in dettaglio, quali: analisi della domanda di trasporto, ovvero quantificazione dei flussi di domanda che interessano l area di piano e di studio; rappresentazione dell offerta, schematizzazione delle reti e dei servizi di trasporto attuali e futuri ed oggetto del processo di pianificazione in un dato contesto territoriale; interazione domanda/offerta (assegnazione), quantificazione dei flussi di traffico presenti sulla rete attuale e prevedibili sulla rete futura. Domanda La domanda di trasporto è un bisogno che deriva dalla necessità degli utenti di consumare beni e servizi in un luogo diverso da quello nel quale si trovano, e risulta dipendere dalle variabili socioeconomiche (SE), rappresentanti le diverse funzioni sparse sul territorio (quali residenza, occupazione, istruzione, servizi, ecc) e dalle caratteristiche dell offerta di trasporto. La rappresentazione della stessa avviene prima di tutto definendo la struttura del territorio, e quindi attraverso la formulazione di matrici Origine Destinazione, o matrici O/D. Facendo riferimento alla letteratura, gli elementi necessari per caratterizzare in modo esaustivo la domanda di trasporto, possono essere identificati con particolari elementi denominati segmenti di domanda, di seguito elencati: origine dello spostamento, indicato con O; destinazione dello spostamento, indicata con D; categoria di utente che compie lo spostamento, legata al motivo di spostamento; motivo dello spostamento: lavoro, studio, acquisti, svago, turismo, ecc; indicata con i; unità di tempo o fascia oraria in cui avviene lo spostamento, ad esempio la fascia di punta mattutina, la fascia di punta serale o la fascia di morbida pomeridiana, solitamente indicata con h; modalità di trasporto utilizzate per effettuare lo spostamento, indicata con m; percorso seguito, indicato con k; ricorrenza dello spostamento; frequenza dello spostamento; attualità: lo spostamento potrà essere attuale, potenziale o futuro. Pagina 5

7 La prima operazione da compiere, come già detto sopra, per poter analizzare la domanda di trasporto, è la suddivisione del territorio in aree o zone, la cui delimitazione condiziona la domanda stessa. Si avrà: area di piano, o area di intervento: porzione di territorio soggetta agli interventi progettuali oggetto della pianificazione; area di studio: porzione di territorio esterna all area di piano, ma che comunque resta influenzata dagli interventi stessi; zone OD: costituiscono le porzioni elementari del territorio dalle quali si suppone che abbiano origine e destinazione gli spostamenti che compongono la domanda di trasporto. Per quanto riguarda la formulazione della matrice O/D, è ormai assodato l uso di rappresentare le zone origine sulle righe e le zone destinazione sulle colonne. Ogni elemento, o cella della matrice, indica il numero di spostamenti relativo ad una data coppia O/D, in riferimento ai centroidi individuati sul grafo. Questi rappresentano i cosiddetti flussi di domanda, da non confondere con i flussi di traffico, determinati nella fase di assegnazione. La matrice, in riferimento ad una numerazione dei centroidi che proceda dall interno verso l esterno del grafo, può essere scomposta in quattro sottomatrici, proposte nella figura seguente, individuabili in: due matrici quadrate poste sulla diagonale principale, contenenti gli spostamenti interni all area di piano (INT) e quelli aventi origine e destinazione esterne, a cui appartengono gli spostamenti di attraversamento o di transito; la matrice situata a destra della matrice INT, contenente gli spostamenti uscenti USC; la matrice situata a sinistra della matrice INT, contenente gli spostamenti entranti ENT; Infine è possibile definire anche i cosiddetti margini della matrice (o TRIP END), corrispondenti ad una colonna contenente la somma di tutti gli elementi di ogni riga e che quindi esprime il totale degli spostamenti generati da ogni zona, e una riga, che contiene la somma di tutti gli elementi di una colonna, e che quindi rappresenta il totale degli spostamenti attratti da ogni zona. Pagina 6

8 Offerta L offerta si costituisce essenzialmente di due componenti fondamentali quali la componente fisica, rappresentata dal grafo della rete, e la componente funzionale, rappresentata dai costi (di arco e di percorso) e dalle funzioni di costo, descritte da relazioni matematiche che legano tra loro costi e flussi di trasporto degli archi o dei percorsi. Il grafo altro non è che uno schema grafico della rete in oggetto di studio a cui viene associata una banca dati in cui sono registrate tutte le caratteristiche fisiche, e funzionali, georeferenziate, relative ad ogni suo singolo elemento. Il grafo si compone di più elementi quali: nodi: georeferenziati, che possono rappresentare punti noti particolari della rete (quali intersezioni) o punti in cui si manifesta una variazione di una caratteristica fisica, funzionale o amministrativa di una infrastruttura e che quindi individuano la separazione tra due o più archi di caratteristiche diverse; archi: rappresentano il collegamento tra una coppia di nodi, e possono pertanto rappresentare un infrastruttura di trasporto, una linea di trasporto collettivo o accessi alla linea stessa; nodi centroidi: nodi fittizi, che rappresentano l origine e la destinazione di uno spostamento, e che possono essere classificati come centroidi di zona, di cordone od esterni; Pagina 7

9 archi connettori: archi fittizi, che realizzano il collegamento tra nodi centroidi (zone della rete) e nodi fisici di un grafo. Le funzioni di costo rappresentano il legame tra flusso (o flusso/capacità) e tempo (o velocità); queste possono essere classificate in funzioni separabili o non separabili rispetto all arco, a seconda che, rispettivamente, le variabili di costo di un arco dipendano esclusivamente dal flusso sull arco considerato, o dipendano anche dal flusso presente sugli altri archi. Il costo potrà essere espresso genericamente come: = ( ) oppure, più in dettaglio e in riferimento al costo d arco, come: = + Dove t a rappresenta il costo di attraversamento dell arco considerato, cm a il costo monetario dell arco a e e i coefficienti di reciproca sostituzione, utilizzati in modo da omogeneizzare i diversi valori ad un'unica grandezza rappresentante il costo, e quindi la disutilità per l utente. Di seguito viene riportato l esempio di una funzione di costo per un tratto di strada extraurbano, e descritto dalla relazione = + (1 + ( ). Per la rappresentazione dei costi di arco, spesso, si ricorre all uso delle curve di deflusso; queste, essenzialmente, rappresentano il legame tra flusso (o flusso/capacità) e velocità media di deflusso; il flusso è, come già accennato, d arco o di percorso: il primo rappresenta il numero di unità di trasporto (utenti, merci, ecc) che percorrono l arco considerato, il secondo rappresenta il numero di unità di trasporto che percorrono gli archi costituenti il percorso considerato, dal centroide di origine a quello di destinazione. Pagina 8

10 Dal punto di vista dell assegnazione è importante che la curva di deflusso possieda alcune principali caratteristiche quali: essere realistica, cioè la modellazione del tempo di viaggio dovrebbe essere veritiera; essere continua e differenziabile; permettere l esistenza di un campo di sovraccarico, cioè non dovrebbe generare tempi infiniti anche quando il flusso superi il valore della capacità. Se così non fosse si potrebbe avere un interruzione nella procedura di calcolo; essere facilmente trasferibile tra i diversi contesti; usando quindi parametri standard dell ingegneria del traffico quali: velocità a flusso libero, velocità, ecc.. Tra le diverse possibili curve, le più utilizzate, in quanto meglio rappresentanti il livello di congestione, sono le curve BPR, descritte dalla relazione = (1 + ( ) ). Il comportamento descritto da tali curve è necessario per poter garantire l esistenza e l unicità delle condizioni di equilibrio ottenibili con i modelli di assegnazione. Di seguito ne viene riportato un esempio: Assegnazione Per il caso oggetto di studio si è fatto riferimento alla sola modellazione del trasporto stradale privato. Una volta effettuati i processi di analisi della domanda e dell offerta, definita la rete di offerta ed aver effettuato le necessarie manipolazioni alla matrice, è stato possibile passare al modello di scelta del percorso e quindi, prima della calibrazione del modello di simulazione, all assegnazione della matrice O/D. Si è quindi stimato il valore di grandezze significative su tutta la rete quali: flussi di traffico sugli archi del modello di offerta, livelli di congestione, componenti del costo generalizzato (quali ad esempio tempi di percorrenza). Dalla teoria è noto che il processo di assegnazione risulta essere strettamente legato non solo all interazione domanda/offerta ma, come si può vedere nella tabella seguente, anche ad alcune altre caratteristiche quali le condizioni di congestione della rete (da cui dipendono sensibilità ed Pagina 9

11 elasticità della domanda), la tipologia del modello di scelta del percorso utilizzato, la tipologia delle funzioni di costo, la tipologia di utente (mono-classe, differenziazione rispetto solo alla coppia O/D, o multi-classe, in cui la differenziazione è funzione dello scopo di spostamento, categoria socioeconomica, tipologia veicolare ecc..) e la dinamica periodale. Tabella riassuntiva metodi di assegnazione Per quanto riguarda l interazione domanda/offerta, è necessario fare riferimento ai rispettivi modelli, dai quali è possibile determinare: le espressioni relative ai costi di percorso in funzione dei costi di arco additivi, dei flussi di percorso e dei costi di percorso non additivi, e l espressione dei flussi di percorso in funzione dei flussi di domanda e dei costi di percorso, oltre che la loro interazione. Da questo criterio di classificazione si possono identificare due metodi di assegnazione: di Equilibrio, in cui essenzialmente si stimano le possibili configurazioni di equilibrio raggiungibili dal sistema in funzione delle caratteristiche di deflusso degli archi; di processo dinamico, che consiste nello studio della successione dinamica di differenti stati ammissibili, variabili per numero di utenti, scelte di percorso, caratteristiche dell offerta ecc.. Il criterio di classificazione in funzione della tipologia delle funzioni di costo suddivide i metodi tra assegnazioni a reti non congestionate, in cui le funzioni di costo sono indipendenti dai flussi, e i metodi di assegnazione a reti congestionate, in cui si avrà dipendenza tra flussi e costi; le funzioni di costo, che come già detto in precedenza, rappresentano il legame tra flusso (o flusso/capacità) e tempo (o velocità). Infine, l ultimo criterio di classificazione, la dinamica periodale, riguarda la variabilità della domanda e dell offerta all interno del periodo temporale di riferimento della simulazione. L assegnazione può essere quindi di tipo intra-periodale o non intra-periodale: nel primo caso è necessario sviluppare il modello di domanda in modo opportuno per poter rappresentare la dipendenza dei flussi di percorso dai costi di percorso, simulare il comportamento di scelta dell orario di partenza (qualora la domanda fosse elastica su tale dimensione) o altre dimensioni di scelta, rappresentare la Pagina 10

12 dipendenza dei costi di percorso dai flussi di percorso nel modello di offerta. Nel secondo caso la domanda e l offerta di trasporto si manterranno pressoché costanti in un periodo di riferimento abbastanza ampio, e di conseguenza le fluttuazioni dei flussi di traffico potranno essere considerate trascurabili. Come è possibile vedere dalla tabella, una macro distinzione sui modelli di assegnazione viene fatta in base alla congestione della rete. Analizzando il caso di rete non congestionata è possibile stabilire che i costi d arco non sono dipendenti dai flussi d arco; l assegnazione a rete non congestionata può quindi essere utilizzata come punto di partenza per l analisi di reti congestionate, o comunque per l analisi delle stesse ma con bassi valori del rapporto flusso/capacità. Questo metodo di assegnazione può essere, a seconda dell approccio adottabile per la stima delle probabilità di scelta del percorso, di tipo probabilistico o deterministico (rispettivamente SNL, Stochastic Network Loading, o DNL, Deterministic Network Loading). La differenza principale tra i due metodi è individuabile nel fatto che, nel caso DNL, il percorso di costo minimo non deriva da un modello di utilità aleatoria (quali algoritmo di Monte Carlo o Dial rispettivamente per percorsi dipendenti e indipendenti tra loro) ma da un approccio deterministico tutto o niente; inoltre nell approccio deterministico, una volta individuato il percorso a costo minimo, il flusso di domanda viene assegnato tutto a quel percorso. Il limite più evidente è dato dal fatto che nel momento in cui esistano due o più percorsi caratterizzati da costo minimo uguale, al vettore dei costi può corrispondere uno o più vettori di flusso: si determina una corrispondenza uno a molti. Per il caso a reti congestionate, è possibile notare 4 diversi tipi di assegnazione: DUE (Deterministic User Equilibrium), SUE (Stochastic User Equilibrium), DDP (Deterministic Dynamic Process) ed SDP (Stochastic Dynamic Process). La prima distinzione viene fatta a seconda che si utilizzi un criterio di distinzione in base al raggiungimento dell equilibrio o in base alla dinamica periodale, quindi ancora una volta in base a che la scelta del percorso sia di tipo deterministico o stocastico. Analizzando la casistica relativa ai metodi di assegnazione all equilibrio è fondamentale effettuare una premessa. Per tale assegnazione non sono disponibili algoritmi a convergenza finita in quanto risulta generalmente espressa da modelli di punto fisso, ossia da sistemi di equazioni non lineari. L approccio di equilibrio allo studio delle interazioni domanda-offerta assume che una configurazione dei flussi di percorso h*, legata reciprocamente ai corrispondenti costi di percorso g*, sia rappresentativa dello stato assunto dal sistema. I flussi e i costi di percorso di equilibrio saranno definiti dal sistema di equazioni ottenuto combinando i due modelli di offerta e domanda come: = ( h ) + h = ( ) Pagina 11

13 Una equivalente formulazione dei modelli di equilibrio, questa volta in termini di variabili di arco, può essere espressa dal sistema di equazioni ottenuto combinando la mappa di assegnazione a reti non congestionate e le funzioni di costo: = ( ; ) = ( ) = ( ) I sistemi evidenziano che, nel caso di reti congestionate, i flussi di arco dipendono in modo non lineare sia dai costi di arco che dai flussi di domanda e di conseguenza l effetto di ciascuna coppia O/D non può essere valutato separatamente. Di seguito verranno ora analizzati i due modelli, SUE e DUE; in entrambi i casi, gli algoritmi per il calcolo dei flussi di equilibrio sono basati su equazioni ricorsive che, ponendo, generano una successione di vettori ammissibili di flussi d arco: = 1. Nonostante, come già detto, non sia garantita la soluzione del problema in un numero finito di passi, se al passo k venisse generato il vettore di flussi di equilibrio f k = f*, il resto della successione generata risulterebbe coincidente con il vettore di equilibrio stesso: =, =, > inoltre, nel caso in cui il vettore si ripeta ( = ), sarà possibile stabilire di aver generato il vettore di equilibrio. Sotto alcune ipotesi sulle funzioni di costo e sul modello di scelta del percorso si può dimostrare che la successione definita dalle equazioni ricorsive converge al vettore dei flussi di equilibrio, f*, assunto unico: lim = SUE Analizzando il modello SUE è possibile stabilire che si basa essenzialmente su un modello di scelta del percorso di tipo probabilistico, caratterizzato da una matrice di dispersione non nulla e non singolare e quindi in cui i flussi di arco e di percorso derivino dalla condizione seguente: ciascun utente sceglie il percorso di minimo costo di viaggio percepito ; in altre parole nessun Pagina 12

14 utente può ridurre il proprio costo percepito di percorso e quindi tutti rimangono sul percorso corrente. La differenza tra questo equilibrio stocastico e quello di Wardrop (secondo il quale: sotto condizioni di equilibrio, il traffico si assesta nelle reti congestionate in modo tale che nessun viaggiatore possa ridurre il proprio costo di viaggio cambiando percorso) è che nel modello stocastico non viene utilizzata una singola definizione di costo applicabile a tutti i guidatori, ma si suppone che ogni utente definisca individualmente il proprio costo di viaggio. È quindi possibile esprimere la possibilità di scelta dei percorsi come funzione dei costi di percorso e quindi di arco, secondo un modello di utilità aleatoria. I flussi di percorso F* risultanti potranno essere definiti, come già detto, da un modello di punto fisso, definito sull insieme dei flussi ammissibili di percorso S F, ottenuto combinando insieme il modello di offerta e il modello di domanda: h = ( h ) h h Un equivalente modello di punto fisso che adotta come variabili i flussi di arco f*, e dunque è definito sull insieme dei flussi ammissibili di arco S f, può essere ottenuto combinando insieme la funzione di assegnazione stocastica a reti non congestionate e le funzioni di costo-flusso ottenendo: = ( ( ); ) = ( ) In alternativa, esiste la possibilità di utilizzare anche modelli di punto fisso che adottino come variabili i costi di arco o di percorso. L esistenza e l unicità dei flussi e dei costi di equilibrio stocastico sono garantite rispettivamente dalla continuità e dalla monotonicità delle funzioni di costo, sotto ipotesi abbastanza generali sul modello di scelta del percorso che garantiscono la continuità e la monotonicità della funzione di assegnazione stocastica a reti non congestionate. È da notare come tali condizioni di esistenza ed unicità risultino solo sufficienti; possono infatti esistere delle funzioni di costo non continue e/o non monotone in corrispondenza delle quali esista comunque un unico vettore di equilibrio. In relazione a ciò, per quanto riguarda la continuità della funzione di assegnazione, è sufficiente che i modelli di scelta del percorso siano definiti da funzioni continue (a derivate parziali prime continue), come avviene per i modelli probabilistici solitamente utilizzati. Per garantire invece la monotonicità della funzione di assegnazione, è sufficiente che i modelli di scelta del percorso siano definiti da funzioni monotone non decrescenti delle utilità sistematiche (come risulta per i modelli probabilistici invarianti, con 0); questo quindi garantisce una funzione monotona non crescente rispetto ai costi di arco, che si traduce in una diminuzione del valore dei flussi all aumentare dei costi di arco stessi. Pagina 13

15 DUE Il modello di assegnazione DUE, di equilibrio deterministico, invece si ottiene essenzialmente applicando l approccio di equilibrio, per reti congestionate, nell ipotesi di scelta del percorso di tipo deterministico. I flussi di arco di equilibrio f*, o di percorso h*, e i corrispondenti costi c* e g* rispettivamente, possono essere definiti (anch essi come per il SUE) con un modello di punto fisso ottenuto applicando contemporaneamente il modello di offerta e il modello di domanda già visti in precedenza. In questo caso, come descritto nel caso a reti non congestionate, si avrebbero alcune complicazioni matematiche dovute alla correlazione uno a molti che potrebbero generarsi. Per tale ragione, per lo studio delle proprietà di equilibrio deterministico, si preferisce ricorrere a delle formulazioni indirette, basate sulla specificazione del modello deterministico di domanda e combinando il modello stesso con quello di offerta ottenendo la seguente espressione: (h ) (h h ) 0 h In termini di flussi di arco è possibile definire modelli equivalenti di disequazioni variazionali che si basano essenzialmente sui sistemi di disequazioni, per l assegnazione deterministica a reti non congestionate, combinati con le funzioni di costo di arco, ottenendo rispettivamente per il caso di assenza o presenza di costi additivi, le seguenti espressioni: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) + ( ) (h h ) 0 = h h Considerando la possibilità di non far figurare i flussi di percorso in modo esplicito, (rappresentando ( ) h come G NA e ( ) h come G NA *, = h ) sarà possibile rappresentare la seconda espressione in termini di flussi d arco f* e di costo totale non additivo G NA *, relativi all equilibrio deterministico come: ( ) ( ) + ( ) 0 [a] h L esistenza e l unicità dei flussi e dei costi di arco di equilibrio deterministico sono garantite rispettivamente dalle condizioni di continuità e dalla monotonicità delle funzioni di costo. In realtà queste condizioni risultano però solamente sufficienti, in quanto possono esistere delle funzioni di costo non monotone in corrispondenza delle quali esiste comunque un unico vettore di equilibrio. In riferimento all esistenza della soluzione, le disequazioni viste in precedenza per il modello considerato, hanno almeno una soluzione se le funzioni di costo, definite sull insieme non vuoto, compatto e convesso dei flussi ammissibili di percorso (S F ) o di arco (S f ), saranno continue. Pagina 14

16 L esistenza dei flussi di arco di equilibrio assicura invece l esistenza dei corrispondenti costi di arco (c*=c(f*)) e dei costi e dei flussi di percorso g* e h*. Per quanto riguarda l unicità della soluzione, la disequazione variazionale [a], che esprime l equilibrio deterministico in termini di flusso di arco, ha al più una soluzione se le funzioni di costo di arco sono strettamente crescenti rispetto ai flussi di arco. Se così non fosse, è possibile dimostrare che, ipotizzando per assurdo esistano due differenti vettori di flussi di arco d equilibrio corrispondenti a due vettori di flussi di percorso necessariamente diversi, sarebbe possibile ottenere una relazione in contrasto con l ipotesi di monotonicità (crescente) delle funzioni di costo. L unicità dei flussi di arco di equilibrio assicura l unicità dei relativi costi di arco e di percorso di equilibrio (c*= c(f*) e g*= T c*+g NA ), ma in generale non assicura l unicità dei flussi si percorso, in quanto possono esistere diversi vettori di flusso di percorso che determinano lo stesso vettore dei flussi di arco. La possibile non unicità dei flussi di percorso risulta però poco rilevante dal punto di vista pratico quando l obiettivo principale delle analisi di equilibrio nei sistemi di trasporto è la conoscenza dei flussi sugli archi. In caso contrario, quando è necessaria la conoscenza dei flussi di percorso, questa caratteristica dell assegnazione di equilibrio deterministico potrebbe creare inconvenienti. Pagina 15

17 AGGIORNAMENTO DI MATRICE Esistono molteplici fonti e metodi di stima della domanda, come ad esempio: Censimento ISTAT: con periodicità decennale, fotografa solo la mobilità sistematica; Indagini campionarie: periodiche e saltuarie, ad elevato costo e basso campionamento; Conteggi di traffico e utenza: economici ed automatizzati. L aggiornamento di matrice (ODCBE, origin-destination count based estimation) è un metodo per ottenere la stima di una matrice O/D, alternativo alla modellizzazione e alla osservazione diretta disaggregata, che consiste nell aggiornamento di una matrice non più attuale utilizzando i conteggi di traffico aggregati, più agevoli ed economici delle indagini disaggregate. Da un certo punto di vista, la stima della matrice O/D utilizzando i conteggi di traffico può essere considerata come il problema inverso rispetto a quello dell assegnazione. Infatti nell assegnazione si calcolano i flussi di arco a partire dalla matrice O/D, dal modello della rete e dal modello di scelta del percorso; al contrario, nel problema in esame si tratta invece di calcolare la matrice O/D a partire da flussi d arco rilevati, utilizzando il modello di rete e di scelta del percorso. I conteggi di traffico possono essere visti come il risultato della combinazione di una matrice di viaggio e di uno schema di scelta del percorso. Pertanto essi forniscono informazioni dirette circa la somma degli spostamenti tra le coppie OD che utilizzano gli archi conteggiati. Sono dati facilmente misurabili, inducono lievi perturbative al traffico (solo durante la posa degli apparecchi automatici), non richiedono il coinvolgimento degli utenti veicolari, sono discretamente costosi da eseguire (ma comunque non equiparabili ad indagini O/D) e i metodi di rilevazione automatica sono attualmente affidabili. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA Si consideri un'area di studio divisa in N zone interconnesse da una rete stradale composta da una serie di nodi e archi con determinate caratteristiche geometriche e funzionali (grafo). La matrice dei viaggi per quest'area comprende N 2 celle oppure (N 2 N) celle se i viaggi intrazonali possono essere trascurati. Pagina 16

18 Prima di risolvere il problema enunciato è necessario esprimere in modo formale la relazione esistente fra il vettore dei flussi osservati e i flussi di domanda O/D incogniti. Per fare ciò si deve definire il modello di domanda. Modello di domanda Il flusso f l, che nel periodo di riferimento utilizza l arco l della rete in esame, può essere espresso come somma dei flussi h k dei percorsi colleganti qualsiasi coppia OD che comprendono l arco stesso: = h [1] con δ lk (o α lk ) generico elemento della matrice di incidenza archi-percorso. I flussi di percorso, a loro volta, possono essere espressi come il prodotto del flusso di domanda O/D per la percentuale (frazione) di utenti che sceglie ciascun percorso: = h = [2] dove p ki è la percentuale rilevata del flusso di fra la i-esima coppia O/D che utilizza il percorso k. Le variabili introdotte (flussi d arco, flussi O/D, flussi di percorso e percentuali di scelta del percorso) indicano i valori veri relativi al sistema e al periodo di riferimento in esame. Pagina 17

19 L espressione [2] può essere scritta diversamente, in modo compatto, come: = [3] = ovvero: = [4] dove m li = δ lk p ki rappresenta la frazione del flusso d i che utilizza l arco l e m l il vettore colonna ottenuto ordinando tali coefficienti (p ki e quindi m li, sono i valori reali, la vera aliquota di utenti che nel periodo in esame utilizza rispettivamente un certo percorso o un certo arco). Utilizzando una notazione matriciale per considerare tutti i flussi d arco rilevati, la [4] diventa: = = = [5] Tutte le variabili introdotte si riferiscono agli archi per i quali sono disponibili conteggi di traffico (in numero pari a n l ), ai percorsi che li utilizzano e alle coppie O/D che utilizzano tali percorsi (in numero pari a n od ); pertanto, la matrice M, detta matrice di assegnazione, ha dimensioni (n l x n od ). La relazione [5] tra flussi di arco e vettore domanda O/D è detta relazione di assegnazione: Nel caso in cui esistano più percorsi possibili per ogni coppia O/D, gli elementi m ij di tale relazione non sono definiti in modo univoco e devono essere pertanto stimati dall'analista. I modelli di scelta del percorso e di assegnazione alle reti di trasporto forniscono dei metodi per ottenere delle stime delle frazioni p ki e delle stime delle frazioni m ij. Nel caso dei modelli di scelta del percorso preventivi, deterministici o probabilistici, le percentuali possono essere espresse come probabilità di scegliere ciascun percorso k che collega la i- esima coppia O/D in funzione del vettore g dei costi di percorso: = ( ) [6] Pagina 18

20 Modello di offerta Per rendere esplicita la dipendenza degli elementi della matrice di assegnazione dal modello di scelta del percorso e, attraverso questo, dai costi di arco c, la matrice può essere formalmente esplicitata come: = ( ) [7] Se si conoscono i costi di arco e di percorso è possibile calcolare, attraverso i modelli di scelta del percorso, una stima della matrice di assegnazione vera M. E' da attendersi che la stima si discosti dalla matrice di assegnazione vera a causa delle diverse approssimazioni insite nel modello di assegnazione (estrazione della rete, funzioni di costo, modello di scelta del percorso, ecc). Pertanto, sostituendo nell'equazione [5] si dovrà aggiungere un vettore e sim di errori derivanti dal modello di assegnazione, adottando un procedimento analogo a quello che si utilizza nella formulazione dei modelli di utilità probabilistica: = = + = + [9] dove E sim indica la matrice degli scarti fra la matrice di assegnazione vera e quella ottenuta con il modello di assegnazione ed e sim è il vettore degli scarti, o errori di assegnazione, fra il vettore dei flussi risultanti dal modello di assegnazione della domanda vera e quelli veri. In altri termini, se anche si conoscesse il vero vettore dei flussi di domanda d, la sua assegnazione alla rete produrrebbe un vettore di flussi v: = = ( ) che si discosterebbe dal vettore dei flussi di arco veri f ; tali scarti sono le componenti del vettore e sims : = + che contiene le approssimazioni e gli errori commessi durante le operazioni modellistiche di: rappresentazione della rete; definizione delle funzioni di costo; esecuzione del processo di scelta del percorso; esecuzione del processo di assegnazione. Pagina 19

21 Un'ulteriore causa di errore è connessa al conteggio dei flussi che, come tutte le misure, sono affetti da errori che dipendono ad esempio dalla tecnica utilizzata ( conteggi manuali, automatici,ecc. ). Inoltre, i conteggi sono di solito effettuati in diversi giorni, talvolta diversi per differenti archi della rete, mentre il vettore di domanda vero d rappresenta il valore medio dei flussi O/D su periodi di analoghe caratteristiche (ad esempio l'ora di punta del giorno feriale medio). In definitiva, il vettore dei flussi misurati si discosterà dal vettore f vero di un vettore e obs di errori di misura: = + [10] che, riassumendo, contiene le approssimazioni riguardanti: definizione della tecnica di misura; impostazione del campionamento ed esecuzione del processo di inferenza statistica; esecuzione di conteggi non contemporanei nelle varie sezioni di rilievo. Combinando le equazioni precedenti è possibile esprimere la relazione fra il vettore dei conteggi, la matrice di assegnazione e il vettore dei flussi di domanda O/D vero d come: = + + = ( ) + [11] dove il vettore degli scarti e è la somma algebrica dei vettori e sim e e obs. Di solito si assume che il modello di assegnazione e i conteggi siano degli stimatori corretti dei flussi veri, ovvero che il vettore e sia un vettore aleatorio a media nulla E(e) = 0. Le evidenze sperimentali ad oggi disponibili confermando tale ipotesi. Bilancio equazioni / incognite Le informazioni sulla domanda O/D contenute nei conteggi di traffico, rappresentate dal sistema di equazioni stocastiche, non sono sufficienti per stimare il vettore d: equazioni disponibili: sistema lineare dei flussi rilevati = elementi incogniti: elementi del vettore di domanda d presente in: = ( ) Pagina 20

22 Ciò risulta evidente in quanto, anche assumendo nullo il vettore degli errori e, il numero di equazioni indipendenti del sistema lineare è normalmente di molto inferiore al numero di elementi del vettore di domanda d da stimare. In altri termini, il numero di conteggi indipendenti e coerenti sono in genere minore del numero di coppie OD della matrice di domanda. Inoltre, poiché il vettore e è in generale non nullo, il sistema di equazioni lineari = potrebbe non ammettere alcuna soluzione. In definitiva, risulta evidente che le informazioni sul vettore d fornite dai conteggi devono essere combinate con quelle derivate da altre fonti per ottenere una stima univoca della domanda O/D incognita. Le informazioni aggiuntive possono essere di due tipi: informazioni campionarie o sperimentali derivanti da indagini dirette sulla domanda, oppure informazioni non sperimentali che rappresentano la conoscenza a priori dell'analista. Nel primo caso si può fare riferimento alla teoria classica dell'inferenza statistica mentre nel secondo caso si ricorre alla teoria della stima Bayesiana. I due metodi possono dare luogo a diversi stimatori che, tuttavia, sono rappresentabili in modo formalmente analogo. Infatti, indicando con d^ il vettore che rappresenta le informazioni iniziali sul vettore di domanda non mediate attraverso i flussi, il problema di stima della domanda O/D può essere posto in forma generale come: = ( 0) 1(, ) + 2( ( ), ) [12] dove x rappresenta il vettore di domanda incognito. Le due funzioni 1(, ^) e 2( ( ), ) possono essere considerate come due misure di distanza : _ 1( ) misura la distanza del vettore di domanda O/D incognito dalla stima a priori ; _ 2( ) misura la distanza del vettore dei flussi ( ), ottenuto assegnando il vettore alla rete, dal vettore dei conteggi di traffico. Si può dire quindi che si ricerchi il vettore che sia più vicino possibile al vettore stimato a priori e che contemporaneamente generi, una volta assegnato alla rete, i flussi ( ) più vicini a quelli misurati. In generale, la forma funzionale delle due funzioni z 1 e z 2 dipende dal tipo di informazioni disponibili (sperimentali e non sperimentali) e dalle leggi di probabilità associate a tali informazioni. Pagina 21

23 Stimatori Gli stimatori classici del vettore d possono essere ricavati nell'ambito della teoria della Massima Verosimiglianza (ML, Maximum Likelihood) o in quella dei Minimi Quadrati Generalizzati (GLS,Generalized Least Squares). Stimatori di Massima Verosimiglianza: Il metodo della massima verosimiglianza, in statistica, è un procedimento matematico per determinare uno stimatore. Esso consiste nel massimizzare la funzione di verosimiglianza, definita in base alla probabilità di osservare una data realizzazione campionaria, condizionatamente ai valori assunti dai parametri oggetto di stima. Gli stimatori di massima verosimiglianza d ML del vettore incognito d si ottengono massimizzando la probabilità di osservare i risultati delle indagini campionarie e i flussi contati sugli archi della rete. Sotto l'ipotesi, in genere accettabile, che le due probabilità siano indipendenti, lo Stimatore di Massima Verosimiglianza può esprimersi come: = ( ) ( ) + ( ) [13] dove: è il vettore di domanda incognito di dimensioni (n OD x 1) le cui componenti x od rappresentano il flusso di spostamenti fra la coppia O/D; è il vettore dei conteggi di domanda, di dimensioni (n OD x 1). la generica componente n od del vettore n rappresenta il numero di spostamenti osservati nel campione fra la coppia O/D; è il vettore dei flussi osservati o conteggio di traffico, di dimensione (n l x 1), di componenti ; ( ) è la funzione log-likelihood dei conteggi di domanda, ossia il logaritmo della probabilità di osservare il vettore campionario condizionata a (se è il vettore di domanda vero ); ( ^ ) è la funzione log-likelihood dei conteggi di traffico, ossia il logaritmo della probabilità di osservare il vettore dei conteggi condizionato a (se è il vettore di domanda vero ); S è l'insieme di ammissibilità del vettore di domanda, che di solito è assunto essere: = 0 Pagina 22

24 Gli stimatori di Massima Verosimiglianza possono essere quindi ottenuti risolvendo il problema di massimizzazione vincolata espresso dalla [13], una volta esplicitate le funzioni di log-likelihood ( ) e ( ). Ciò richiede la formulazione di ipotesi sulle leggi di probabilità dei conteggi di domanda e di traffico condizionate al vettore di domanda. Conteggi di traffico Per quanto riguarda i conteggi di traffico, si assume di solito che essi siano variabili aleatorie la cui media è fornita dai flussi ( ), ottenuti assegnando la domanda ; dalla [11], ciò implica che il vettore è a media nulla. Le leggi di probabilità più utilizzate sono quella di Poisson e la Normale Multivariata. Distribuzione di Poisson In teoria delle probabilità, la distribuzione di Poisson ( o poissoniana) è una distribuzione di probabilità discreta che esprime le probabilità di osservare il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se ne verificano un numero. Se si ipotizza che i conteggi di traffico su ciascun arco l siano indipendentemente distribuiti come variabili aleatorie di Poisson con media pari ai valori ( ), ovvero: = ( ) = ( ) = la probabilità di osservare il vettore (e quindi la funzione likelihood) è data dal prodotto delle probabilità di osservare le singole componenti: ( ) = ( ) ( ) (!) La funzione log-likelihood diviene quindi: ( ) = ( ) ( ) + [14] dove la costante indica termini della sommatoria che non dipendono dal vettore incognito di domanda e che quindi non sono rilevanti ai fini del problema di massimizzazione. Pagina 23

25 Normale Multivariata Se i conteggi di traffico sono distribuiti congiuntamente secondo una variabile aleatoria Normale Multivariata, con vettore media pari a ( ) e matrice di covarianze, la funzione di probabilità di osservare il vettore è proporzionale a: ( ) 1 2 ( ( )) ( ( )) e la funzione log-likelihood diventa ( ) = 1 2 ( ( )) ( ( )) + [15] Conteggi di domanda La funzione di log-likelihood dei conteggi di domanda dipende dal tipo di campionamento adottato. Si può supporre che tali indagini consistano nell'estrazione di un campione casuale semplice di n r spostamenti ricavati dai d r spostamenti in partenza da ciascuna origine r (per esempio compiendo una indagine campionaria sulle sezioni al cordone dell'area di piano). Si ottiene così un campionamento casuale stratificato per zona di origine che porta alla stima del numero degli spostamenti campionati da ciascuna origine per tutte le destinazioni, distribuito come variabile aleatoria Normale Multivariata (MVN): con = : = ; 0 ( ) = ( ) + Se il numero di spostamenti campionati in ciascuna origine è sufficientemente grande (qualche decina), la variabile multinomiale può essere ben approssimata con il prodotto di variabili di Poisson, una per ciascuna coppia O/D, con parametro pari alla media a o x od, dove a o è il tasso di campionamento in corrispondenza dell'origine o: = in questo caso le funzioni ( ) e ( ) ottenibili dall'analisi con variabile MVN possono essere approssimate da: Pagina 24

26 ( ) = ( )( )! ( ) = ( ( ) ) [16] + In definitiva, lo stimatore di Massima Verosimiglianza si ottiene sostituendo nell'espressione [13] le espressioni [14] o [15] per la funzione log-likelihood dei conteggi di traffico e [16] per la funzione log-likelihood dei conteggi di domanda. Stimatore GLS L'altro tipo di stimatore che si può adottare nell'ambito della teoria classica della statistica è quello dei Minimi Quadrati Generalizzati. Lo stimatore GLS fornisce una stima di un vettore di parametri incogniti, in questo caso il vettore dei flussi di domanda, a partire da un sistema di equazioni stocastiche lineari. Una possibile misura della distanza è costituita, per esempio, dalla espressione di z 1 e z 2 come misurazione degli scarti quadratici pesati in modo proporzionalmente inverso alla qualità delle informazioni contenute in d i^ e f i^: = ( ) ( ) ( ) + ( ( ) ( ) dove ( ) è la varianza degli scarti delle stime a priori rispetto ai valori veri; ( ) è la varianza degli scarti tra il flusso assegnato ( ) e il conteggio. Stimatori Bayesiani: Gli stimatori Bayesiani consentono di ottenere delle stime di parametri incogniti combinando informazioni sperimentali o campionarie con altre non sperimentali o soggettive. Nel caso particolare della stima della domanda OD, le informazioni sperimentali sono quelle relative ai conteggi di traffico mentre le informazioni non sperimentali possono essere relative a vecchie stime della matrice OD da aggiornare, a stime ottenute con dei modelli di domanda oppure a semplici aspettative dell'analista. Le stime suddette possono essere espresse con la seguente equazione: Pagina 25

27 = ( ) ( ) + ( ) con ( ) distribuzione di probabilità del vettore incognito rispetto alle ipotesi soggettive. La specificazione degli stimatori bayesiani dipende dalle ipotesi formulate sulle funzioni di probabilità L e g come variabili aleatorie multinomiali (VAM) o come variabili aleatorie di Poisson: o per quanto riguarda L, vale quanto detto in precedenza e possono essere utilizzate la equazione [14] per la distribuzione di Poisson e l equazione [15] derivante dall assunzione della variabile aleatoria Normale Multivariata. o formulando g come variabile aleatoria multinomiale (VAM) si ottiene: ( ) = ( ) + il cui termine ( ) è detto funzione di entropia. o formulando g come variabile aleatoria di Poisson si ottiene: ( ) = ( ) 1 + il cui termine ( ) 1 è detto funzione di informazione. Pagina 26

28 Aspetti applicativi Come si è detto in precedenza, i diversi stimatori del vettore dei flussi di domanda O/D che combinano conteggi di traffico con altre informazioni possono essere espressi in una forma generale come il vettore, che risolve il problema di minimizzazione vincolata: = ( 0) (, ) + ( ( ), ) La scelta della forma funzionale fra le diverse possibilità dipende dalle informazioni disponibili sui flussi di domanda OD e quindi dal contesto di stima (classica o bayesiana) nel quale ci si trova. Lo stimatore GLS è robusto in quanto può essere adottato in entrambi i casi e, come stimatore classico, non richiede assunzioni esplicite sulla legge di probabilità, o verosimiglianza, dei conteggi di traffico e di domanda. Questa robustezza però è pagata in termini di proprietà statistiche, che sono meno soddisfacenti di quelle di altri stimatori nel caso in cui si conosca con precisione la legge di distribuzione dei conteggi. Vi sono in letteratura metodi per il confronto tra prestazioni dei vari stimatori, che possono essere misurate come distanza fra le stime d* ottenute nelle diverse specificazioni del modello e il vettore vero della domanda d assunto nella simulazione. (esempio distanza MSE) Metodi Risolutivi e algoritmi di risoluzione Il principale problema computazionale nella risoluzione del problema di aggiornamento di una matrice datata tramite l'utilizzo di conteggi, riguarda il calcolo della mappa di assegnazione ( ), ossia il calcolo della matrice di assegnazione. Gli elementi dipendono dalle probabilità di scelta del percorso, le quali a loro volta sono funzioni dei costi di percorso ed in definitiva dei costi di arco, come espresso formalmente dalle equazioni [7] e [8]. In generale, dato il modello di scelta del percorso, il calcolo della matrice di assegnazione in funzione del vettore c dei costi di arco può essere effettuato con semplici modifiche degli algoritmi di carico della rete. Nel caso di reti congestionate inoltre, i costi di arco dipendono dal vettore dei flussi di arco f; si pongono quindi due casi a seconda che il vettore dei costi di arco sia noto o meno. Costi di arco noti Se consideriamo una rete non congestionata o moderatamente congestionata, i costi di arco possono essere stimati a priori, indipendentemente dai flussi. Un altro caso si ha quando i costi di arco per reti congestionate vengono stimati direttamente, attraverso indagini dirette sulla rete (ad esempio con veicoli sonda o sistemi elettronici di autolocalizzazione dei veicoli), o indirettamente, Pagina 27

29 attraverso funzioni di costo e conteggi di flussi di traffico sugli archi congestionati ( = ( ) ). Se sono noti i costi di arco, è possibile ottenere una stima della matrice di assegnazione ( ) a prescindere dal vettore di domanda, e quindi d* può essere stimato applicando il modello: = ( ) 1(, ) + 2( ( ), ) [17] Tale modello è un problema di minimizzazione vincolata risolubile con vari algoritmi, in relazione ai vincoli che definiscono l'insieme S. Nella quasi totalità dei casi l'insieme di fattibilità S è definito da vincoli di non negatività delle componenti del vettore di domanda. Algoritmi per l assegnazione a reti non congestionate: Monte Carlo e Dial In riferimento al possibile utilizzo di particolari algoritmi, quali l algoritmo di Montecarlo o Dial, rispettivamente per i casi di percorsi dipendenti o indipendenti, ne verrà di seguito data una breve descrizione. Algoritmo di Monte Carlo L algoritmo di Monte Carlo, così chiamato in funzione della tecnica di campionamento dei residui aleatori, viene comunemente utilizzato nell ipotesi di scelta del percorso di tipo ed è un algoritmo esatto con convergenza finita a meno di errori numerici di stima. In realtà l algoritmo può essere utilizzato anche per differenti modelli di scelta assumendo che i risultati aleatori relativi ai percorsi siano distribuiti secondo una variabile multivariata, ricavata da variabili univariate indipendenti relative agli archi. In tale algoritmo, in particolare, dato un campione di vettori di costi percepiti di percorso, si assegna, per ciascun vettore di costi di percorso, il flusso di domanda di ogni coppia O/D al percorso di minimo costo percepito; la media dei flussi di percorso ottenuti per i differenti vettori del campione costituisce una stima non distorta dei flussi di percorso. Definiti: il vettore g dei costi sistematici dei percorsi; il vettore j-esimo dei residui aleatori dei percorsi in un campione di m vettori ottenuti come pseudo-realizzazioni di una variabile aleatoria multivariata normale con media nulla e matrice di varianza covarianza ; ε j MVN(0, ); il vettore j-esimo dei costi percepiti dei percorsi in un campione di m vettori ottenuti come pseudo-realizzazioni di una variabile aleatoria multivariata normale con media g e matrice di varianza-covarianza ; = + il vettore dei flussi di percorso ottenuti assegnando il flusso di domanda di ogni coppia O/D al percorso minimo rispetto ai costi di percorso R i ; h = h ( ) una stima non distorta del vettore dei flussi di percorso, ottenuta con un campione di m vettori di costi percepiti di percorso h m ; Pagina 28

30 si ottiene: h =, h / Da un punto di vista pratico, la stima dei flussi di percorso h, può essere ottenuta con le seguenti equazioni ricorsive fino a j=m, posto inizialmente j = 0 e h = 0: = + 1 ε j MVN(0, ) = + h = (( 1)h + h ( ))/ Per ciascuna coppia O/D, la media dei costi dei differenti percorsi minimi, ottenuti al variare dei vettori dei costi percepiti, costituisce una stima non distorta del valore della soddisfazione connessa alla scelta del percorso. In pratica l algoritmo procede finché una condizione numerica di arresto non è verificata; condizione che potrà essere rappresentata dal fissare un numero massimo di iterazioni j max o attraverso la verifica che la differenza tra le stime dei flussi di arco in due iterazioni successive sia inferiore ad una soglia preassegnata δ ( h h / h ). Algoritmo Dial L algoritmo Dial, utilizzato nel caso di un modello di scelta del percorso Logit Multinomiale, permette di determinare i flussi sugli archi relativi all assegnazione stocastica senza enumerare esplicitamente i percorsi. Questo algoritmo si basa sul calcolo iterativo dei pesi dei nodi e degli archi, per origine o, iniziando l esame dei nodi dall origine stessa e proseguendo per costo del percorso minimo crescente tramite le due seguenti relazioni: = exp, <, 0,, = (, ) ( ) Dove: w ij è il peso dell arco ij ; W j il peso associato al nodo j ; BS (j) è l insieme degli archi (i,j) incidenti nel nodo j ; Pagina 29

31 Z o,i rappresenta il costo del percorso minimo per raggiungere il nodo iniziale i partendo dall origine. Tale ordine di esame dei nodi assicura che sia possibile applicare le relazioni ricorsive viste sopra; in altri termini, nel momento in cui è necessario calcolare il peso w ij di un arco è già stato determinato il peso W i del nodo iniziale i, in relazione alla definizione di percorso efficiente (per percorso efficiente si intende quel percorso composto da archi percorrendo i quali ci si allontana dall origine, rispetto ai percorsi di minimo costo). Noti i pesi sui nodi e sugli archi, da ciascuna destinazione d si assegna a ritroso il flusso di domanda d od ai vari archi rispetto alle probabilità di uso degli archi fornite dalla relazione seguente: Pr (, )/ = / Data un origine o, per ciascuna destinazione d, il valore della soddisfazione connessa alla scelta del percorso sarà dato dalla variabile inclusiva relativa alla destinazione d, s od = Y d. Costi di arco non noti: Il vettore dei costi di arco c può non essere noto a priori, almeno in alcune sue componenti. Questo è il caso di reti congestionate per le quali non si dispone delle informazioni descritte precedentemente. Si configura quindi un problema di dipendenza circolare, in quanto è possibile ottenere delle stime dei flussi di arco ( ), e quindi dei costi di percorrenza dell'arco stesso ( ( )), assegnando il vettore di domanda d*, soluzione del problema [17], il quale a sua volta è stimato a partire dai costi e dai flussi di arco. Il problema di stima può essere formalizzato come un problema di punto fisso. Si indichi con = ( ) la soluzione del problema di stima [17] per una matrice di assegnazione nota : = ( ) = ( ) 1(, ) + 2(, ) Nel caso in cui il problema precedente ammetta un'unica soluzione, la relazione = ( ) può essere considerata come una funzione che associa a ciascuna matrice di assegnazione una stima corretta del vettore di domanda d. La matrice di assegnazione può essere espressa in funzione del vettore dei flussi di domanda. Infatti, combinando la relazione che lega la matrice di assegnazione ai costi di arco, = ( ), con le funzioni di costo ( ), e introducendo la relazione tra i flussi di arco e di domanda attraverso il modello di assegnazione, = ( ), si ottiene: = ( ( ( ) ) ) Pagina 30

32 Pertanto il problema ODCBE può essere definito con un modello di punto fisso ottenuto combinando le due funzioni = ( ) e = ( ( ( ) ) ) : = ( ( )) ossia: = ( ) 1(, ) + 2( ( ( ( ) ) ), ) [18] Alternativamente, il problema per reti congestionate può essere formulato come un problema di ottimizzazione bilivello. Ciò è possibile quando la mappa di assegnazione di equilibrio è espressa attraverso un modello di ottimizzazione (come per l'assegnazione SUE e DUE). In questo caso il problema può essere formalmente scritto come: = ( ) 1(, ) + 2( ( ), ) ( ) = ( ( )) ( ) [19] dove z( - ) è la funzione obiettivo corrispondente alla formulazione come problema ottimizzazione dell'assegnazione DUE o SUE, e si è esplicitamente indicata la dipendenza dell'insieme di ammissibilità dei flussi di arco dal vettore di domanda. L'approccio di ottimizzazione bilivello richiede che il problema di assegnazione possa essere espresso attraverso un problema di ottimizzazione, ovvero che soddisfi le proprietà matematiche necessarie (come funzioni di costo continue con Jacobiano simmetrico). Algoritmi per l assegnazione a reti congestionate: MSA e Frank-Wolfe I problemi [18] e [19] sono computazionalmente più complessi del problema [17] in quanto devono essere risolti simultaneamente il problema di ottimizzazione vincolata [17], che fornisce la stima della domanda, e il problema di assegnazione di equilibrio che fornisce i flussi e i costi di arco necessari per il calcolo della matrice di assegnazione. Il problema [18] può essere risolto utilizzando algoritmi iterativi di punto fisso, che risolvono alternativamente il problema della stima e quello dell assegnazione, mediando i risultati ottenuti fino a convergenza. Gli algoritmi utilizzati per la soluzione del problema possono essere diversi: Pagina 31

33 Algoritmo MSA Una possibile alternativa consiste nell utilizzo di un algoritmo che generi una successione di vettori ammissibili di flussi di arco, f k, a partire da una soluzione ammissibile del problema,, risolvendo una successione di assegnazioni stocastiche a reti non congestionate con i costi corrispondenti alla soluzione corrente, f k-1. La soluzione, x k dell assegnazione stocastica è, quindi, combinata con la soluzione corrente, f k-1, per determinare il nuovo punto, f k, secondo il metodo delle medie successive. Tale algoritmo viene definito anche algoritmo MSA, descritto dalle seguenti equazioni ricorsive : posto f 0 S f e k=0 k = k+1 c k = c(f k-1 ) k f SUN = f SUN (c k ) f k = f k-1 +1/k(f k SUN -f k-1 ) la soluzione f k, all iterazione k-esima, risulta essere quindi la media delle prime k assegnazioni stocastiche x k ; per quanto riguarda la soluzione iniziale, f 0 S f, questa può essere facilmente determinata ad esempio con un algoritmo per l assegnazione stocastica a reti non congestionate utilizzando i costi a flusso nullo, f 0 = f SUN ( c(f=0) ). La successione si arresta quando i flussi di assegnazione stocastica sono uguali alla soluzione corrente: f k SUN-f k-1 =0 in pratica l algoritmo si arresta quando una norma della differenza sopra definita, resa adimensionale, è inferiore ad una soglia di errore δ: / < oppure ( )/ < La convergenza in prossimità della soluzione può essere piuttosto lenta; questo è dovuto principalmente al fatto che il passo di spostamento µ k = 1/k diventa sempre più piccolo all aumentare del numero dell iterazione. Algoritmo Frank Wolfe Il calcolo dei flussi di arco di equilibrio deterministico può avvenire con diversi possibili algoritmi risolvendo modelli di disequazione variazionale o di ottimizzazione. Considerando un problema di ottimizzazione con funzione obiettivo non lineare e vincoli lineari (come di seguito riportato), la sua Pagina 32

34 risoluzione può avvenire attraverso l uso dell algoritmo di Frank-Wolfe. Tale algoritmo genera una successione di vettori ammissibili di flussi di arco f k a partire da una soluzione ammissibile f 0 S f dello stesso risolvendo una successione di problemi lineari che approssimano appunto il problema di ottimizzazione (in assenza di costi non additivi) descritto attraverso la: = ( ) = ( ) [b] La soluzione del problema lineare individua rispetto alla soluzione corrente una direzione lungo cui si minimizza la funzione obiettivo per poter determinare il nuovo punto f k. In particolare, per un dato punto f L S f la funzione obiettivo z(f) può essere approssimata con una funzione lineare z L (f) utilizzando la formula di Taylor arrestata al primo termine: ( ) ( ) = ( ) + ( ) Il problema di ottimizzazione sopradescritto potrà quindi essere approssimato da un problema con funzione obiettivo ( ) e vincoli lineari,. ( ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) In riferimento alla [b] è possibile notare come il gradiente della funzione obiettivo z(f), in un punto f L, risulta uguale al vettore dei costi di arco calcolato nel punto stesso ( ( ) = ( ) ). In relazione a ciò è quindi possibile scrivere che: ( ) ( ) Considerando ( ) come i flussi di arco di assegnazione deterministica corrispondenti ad un vettore di costi di arco c, calcolati con u algoritmo per l assegnazione deterministica a reti non congestionate, l algoritmo di Frank-Wolfe per il calcolo dei flussi di arco di equilibrio deterministico simmetrico con domanda rigida può essere descritto dal sistema di equazioni ricorsive: Posto c k =c (f k-1 ) k f DUN = f DUN (c k ) µ k =argmin µμ[0,1] Ψ(µ)=z(f k-1 +µ(f k DUN f k-1 )) [c] Pagina 33

35 f k = f k-1 + µ k (f DUN k f k-1 ) [d] è facile notare la somiglianza con il metodo MSA visto per il modello SUE, dal quale si discosta solo per il passo di spostamento, risultato di una ottimizzazione monodimensionale [c] piuttosto che funzione solo dell indice dell iterazione. Dalla [d] si nota inoltre come la soluzione f k sia alla iterazione k sia il risultato di una combinazione convessa delle prime k assegnazioni deterministiche a reti non congestionate, f k DUN. La soluzione iniziale può essere di facile determinazione, infatti è sufficiente l uso di un algoritmo di assegnazione deterministica a reti non congestionate, utilizzando i costi a flusso nullo. La successione si arresta se il prodotto tra il gradiente della funzione obiettivo e la direzione di spostamento è maggiore o uguale a zero: = ( ) 0 Nel momento in cui l algoritmo si arresta, la soluzione corrente è quella di equilibrio deterministico. Pagina 34

36 Conclusione Schematicamente, il processo di aggiornamento di matrice datata tramite conteggi può essere riassunto come segue: si acquisisce una serie di flussi di arco reali eseguendo una campagna di conteggi aggregati in corrispondenza di alcune sezioni stradali (screenline); la matrice da aggiornare viene assegnata al grafo della rete con il modello di domanda, ottenendo così una serie di flussi di arco non attualizzati ; il modello di aggiornamento confronta i flussi assegnati con quelli rilevati e ne evidenzia lo scostamento reciproco; successivamente, il modello di aggiornamento affina i flussi di domanda originari, cioè gli elementi della matrice originaria, minimizzando, con il metodo della massima verosomiglianza, lo scostamento tra i flussi rilevati e quelli ottenuti assegnando la matrice aggiornata; per compiere tale operazione, il modello di aggiornamento necessita di livelli di confidenza, cioè opportuni pesi formulati dall'analista, che attribuiscono un livello di affidabilità o credibilità ai flussi conteggiati e ai flussi di domanda contenuti nella matrice datata; il modello di aggiornamento può anche considerare i seguenti elementi indicati dall'analista per aumentare il numero delle informazioni che qualificano la situazione reale: ipotesi di evoluzione delle O/D totali attuali: per esempio, se si conosce l'aumento di popolazione subito da una zona O/D durante il periodo intercorso tra la data di costruzione della matrice originaria e la data attuale, si può aumentare analogamente il numero degli spostamenti totali originati da quella zona; flussi di domanda rilevati con indagini disaggregate: alcune OD particolarmente critiche possono essere determinate compiendo indagini mirate. (figura libro maja pg 162) Pagina 35

37 MODELLO CUBE VOYAGER - ANALYST NOTE SUL MODELLO DI SIMULAZIONE IN USO AL CENTRO STUDI PIM Il Centro Studi PIM dal 1995, nell ambito delle ricerche sulla mobilità, si avvale del modello di simulazione del traffico privato CUBE-TRIPS, ora CUBE-VOYAGER. Per la rete esistente e per lo scenario futuro di progetto, il Centro Studi PIM ha elaborato specifici grafi di rete e matrici degli spostamenti associate. Entrambi i pacchetti sono in continuo aggiornamento. L offerta infrastrutturale: il grafo di rete stato di fatto L attuale grafo PIM è georeferenziato in coordinate Gauss-Boaga, si estende da ovest verso est nella fascia territoriale compresa fra i fiumi Ticino e Serio, e da nord verso sud dalle città di Varese, Como, Lecco a quelle di Lodi e Vigevano. L offerta infrastrutturale (maglia autostradale, statale, provinciale e strade di ordine inferiore per i collegamenti di determinate aree urbanizzate) è rappresentata nel grafo da archi che riproducono i tratti stradali, caratterizzati in relazione a parametri tecnico-funzionali (lunghezza, velocità, capacità, curva di deflusso ed eventuale pedaggiamento) e da nodi che schematizzano le intersezioni. Nel corso degli anni le basi cartografiche e le foto satellitari via via disponibili, la conoscenza del territorio, i sopraluoghi e le ricerche specifiche hanno permesso di affinare progressivamente la classificazione degli archi, con riferimento a: tipologia di strada che rappresentano; ampiezza della sezione stradale; numero delle corsie per direzione di marcia. La rete è rappresentata utilizzando 32 tipologie d arco (link-type); ogni link-type raggruppa a sua volta strade che, pur appartenendo alla stessa tipologia, presentano velocità, capacità, larghezza delle corsie diverse. Pagina 36

38 Le zone sono connesse al grafo di rete mediante archi fittizi standardizzati, nel caso però la connessione al grafo di una zona esterna avvenga su due assi con caratteristiche prestazionali diverse (esempio autostrada o strada extraurbana a carreggiata semplice), allora anche gli archi fittizi vengono gerarchizzati attribuendo loro velocità e curva di deflusso proprie dell arco del grafo a cui si connettono. Le intersezioni a due livelli sono descritte con le rispettive rampe. Si sono inoltre raccolte informazioni in merito alla velocità di percorrenza (rete scarica e nell ora di punta del mattino) e ai tempi di percorrenza, che sono stati successivamente utilizzati per valutare l affidabilità del modello di simulazione nello scenario esistente, confrontandoli con i tempi di viaggio forniti dal modello. La zonizzazione La zonizzazione del grafo PIM presenta 785 zone. E stata ottenuta, in step successivi ed è caratterizzata da un maggior livello di disaggregazione territoriale, rispetto all entità comunale, per: la città di Milano suddivisa in 36 macro-aree (suddivisione insufficiente a descrivere il comportamento del traffico interno alla città, ma idonea a descrivere l accessibilità al capoluogo attraverso la maglia principale); Pagina 37

39 i 38 comuni di corona del capoluogo in 225 unità sub-comunali (sostanzialmente corrispondenti a quelle individuate da ATM nell indagine del 1995); le città di Legnano (2 macro-aree), Busto Arsizio (2 macro aree), Como (5 macro aree), Varese (5 macro aree), in conformità al grafo regionale. Per i restanti comuni delle provincie di Milano e di Monza Brianza e per 101 comuni delle province confinanti presenta una disaggregazione comunale; mentre per il resto del territorio, ogni zona aggrega 2 o più comuni, in relazione alle direttrici stradali e alla distanza dall area graficizzata. La domanda di spostamento attuale La domanda di spostamento è rappresentata da una matrice origine/destinazione (espressa in veicoli/equivalenti) relativa all ora di punta del mattino, di un giorno feriale tipo, ed è stata elaborata in step successivi [utilizzando: i dati dell indagine O/D effettuata da ATM nel 1995, la matrice Istat 2001, la matrice regionale (indagine O/D 2002), i dati di altre indagini O/D effettuate sulla rete autostradale e ordinaria]. La matrice viene progressivamente implementata ed attualizzata (sia per tenere conto degli spostamenti occasionali, operativi e connessi al trasporto delle merci, sia per aggiornare l entità degli spostamenti presenti alla soglia temporale attuale) utilizzando rilievi effettuati in Pagina 38

40 corrispondenza di screen-line sulle principali radiali di accesso alla rete stradale graficizzata ed indagini O/D (relative agli spostamenti occasionali). La matrice viene periodicamente sottoposta a verifiche di congruenza fra le realtà territoriali e l entità delle relazioni in origine/destinazione associate, e di confronto tra la simulazione dello stato di fatto ed i rilievi di traffico. Nei comuni disaggregati in più zone la ripartizione dei viaggi nelle sub-zone è stata effettuata in proporzione al peso della popolazione (per gli spostamenti in uscita) e degli addetti (per gli spostamenti in entrata). Il processo di assegnazione Il processo di assegnazione del traffico alla rete utilizzato dal modello è costituito dalla ricerca del percorso che rappresenta il minimo costo generalizzato per l utente: cioè quel costo dato dalla combinazione dei tempi di percorrenza degli archi, delle distanze e del costo dei pedaggi autostradali. Per simulare la presenza del pedaggio ad ogni arco che rappresenta il sistema autostradale gestito in sistema chiuso o aperto, è stato associato un extra costo, applicando il costo chilometrico effettivo per il sistema chiuso e il pedaggio chiesto all utenza per le tratte gestite in aperto (in corrispondenza dell arco che rappresenta la barriera o il casello). Sono state anche considerate le quote relative al sistema aperto che sono applicate in determinate barriere del sistema chiuso (Milano Ovest, Milano Sud, Milano Est, ecc) e che l utente paga unitamente alla tariffa della percorrenza nel sistema chiuso. Per le infrastrutture autostradali a pedaggio inserite nello scenario di progetto sono state adottate le tariffe contenute negli elaborati dei rispettivi progetti. Per quanto concerne il VET, cioè il valore economico del tempo per l utente, è considerato come valore 15,00 /h. Pagina 39

41 PIATTAFORMA CUBE-VOYAGER: APPLICAZIONE ANALYST Analyst permette di automatizzare le stime della matrice dei flussi di domanda Origine- Destinazione attuali utilizzando informazioni aggregate, quali conteggi di traffico (manuali o automatizzati) con livelli di confidenze, effettuati su alcune sezioni stradali (corrispondenti ad archi del grafo). Utilizza il metodo statistico della massima verosimiglianza ed un ottimizzatore permette di stimare con precisione il valore delle singole celle. Il processo di calcolo procede in auto-calibrazione. Il procedimento è caratterizzato dalle seguenti difficoltà matematiche: il problema è indeterminato: presenta infinite soluzioni possibili; i rilievi di traffico possono essere affetti da errori di misura e/o incongruenze: può non esistere soluzione esatta. E caratterizzato inoltre da una mole di dati notevole. Nel caso in oggetto, l aggiornamento della matrice O/D in uso al PIM prevede l utilizzo di: matrice O/D di Milano e Province limitrofe: 785x785 = elementi; sezioni di rilievo: in numero compreso tra circa 300 e 1200 Cube Analyst suggerisce l utilizzo dei seguenti passi: Passo 1: La Preparazione dei Dati L utente ha il controllo completo sulla tipologia e la quantità dei dati di input da usare nel processo di stima. In generale, più sono i dati, più accurata sarà la matrice stimata. Nel processo di stima possono essere introdotti dati provenienti da diverse fonti, come: matrici di spostamento esistenti, sia per l intera area di studio sia per una parte limitata. dati di traffico raccolti sia manualmente sia con strumenti automatici. dati di trip end, ottenuti da indagini ai parcheggi (grafi di piccole dimensioni) o da equazioni di trip generation. dati di matrici parziali, come indagini cordonali. Pagina 40

42 dati dei percorsi, calcolati da Voyager. Passo 2: La Qualità dei Dati Cube Analyst permette di gestire la qualità dei dati a disposizione. La variabilità nella qualità dei dati si traduce nella definizione dei livelli di confidenza, impostati dall utente per i vari input. Passo 3: Il Processo di Stima La matrice viene stimata dal software. Cube Analyst esegue un processo iterativo che, in modo automatico, porta alla definizione della matrice statisticamente più probabile in relazione all insieme di dati forniti in input. Passo 4: Il Controllo Qualitativo Il tipico approccio per la valutazione qualitativa della matrice stimata prevede le seguenti azioni: confrontare i risultati stimati con i dati di input. controllare la sensitività dei risultati alterando alcuni valori. analizzare i calcoli che hanno portato alla stima finale. Passo 5: Migliorare la Qualità della Matrice Se al termine delle fasi di stima e di analisi qualitativa la matrice stimata non risulta di qualità sufficiente, è possibile migliorare la qualità o la quantità (o entrambe) dei dati di input. Pagina 41

43 Mathematical Background La base del metodo computazionale utilizzato da Cube Analyst è una applicazione dell approccio statistico classico del metodo di Massima Verosimiglianza (ML, Maximum Likelihood). Le stime dei set di input sono ottenuti da funzioni di likelihood, che sono funzioni di distribuzione di probabilità associate ai dati di input dell'utente. I dati di output sono calcolati da una equazione di stima, che deve essere fornita al programma. Modello di stima La parte principale della stima è una equazione (modello di stima) i cui output, T ij, corrispondono ai valori delle celle della matrice (stimata aggiornata) di viaggi tra le zone i e j. La forma del modello di stima utilizzato da Cube Analyst è: = [I] dove: t ij è la Prior observation, il dato contenuto nella matrice datata tra le zone i e j; a i, b j, X k sono parametri del modello; R ijk è la probabilità di osservare i viaggi tra la zona i e j usando l arco di screenline k, le quali sono solitamente organizzate e perciò tale probabilità assume valori {0,1}. La produttoria in k implica il prodotto dei parametri X k su tutti gli archi corrispondenti alla screenline k. Nel caso in cui la matrice datata non contenga osservazioni per spostamenti tra coppie di origine-destinazione, ovvero che per determinate coppie ij si abbiano celle con valore nullo, il valore tij può essere calcolato da analyst da: = [II] nella quale: c ij indica il costo generalizzato dello spostamento tra la coppia origine-destinazione ij; α, β sono parametri del modello. La forma del modello di stima [I] è stata scelta in quanto è appropriata ed efficiente per la tipologia dei dati in input e conveniente in termini di calcolo. Essa però non ha natura comportamentale ed è Pagina 42

44 perciò adatta a stimare la matrice attuale ma non risulta idonea per una previsione di evoluzione della matrice stessa, per la quale avrebbe bisogno di ipotesi e assunzioni comportamentali. L equazione [II] è derivata dal modello gravitazionale, che introduce l assunzione che gli utilizzatori della rete preferiscano percorsi a costo generalizzato minore rispetto a quelli di costo maggiore ma comunque influenzati dal numero di viaggi generati ed attratti dalle zone. Ciò significa che informazioni sui costi generalizzati possono essere utilizzati per sopperire alla mancanza di dati nelle matrici datate, pur rimanendo un approccio poco efficiente alla stima della singola cella. Model Parameters La matrice stimata è completamente dipendente dal valore attribuito ai parametri del modello nel corso del procedimento di stima. Cube Analyst si occupa quindi di stabilire il più appropriato set di parametri per una stima corretta. Il processo di calcolo avviene quindi per la maggior parte nello spazio parametri nella ricerca dell ottimo set di parametri: ricerca del valore dei parametri del modello processo di ottimizzazione ; scelta del limite di calcolo e individuazione del miglior set funzione di valutazione. L ottimizzazione parte inizializzando tutti i parametri ad un valore unitario, a meno che non venga fornito un set di partenza (ad esempio da una applicazione precedente del software). La matrice inizialmente stimata è perciò identica alla matrice prior datata, supportata dalla matrice dei costi generalizzati di viaggio nel caso in cui sia nullo il valore della cella. L alto numero di parametri coinvolti nella stima della matrice aggiornata porta a operazioni di calcolo molto complesse ma che riconciliano le diverse tendenze della matrice elaborata nel suo processo per l adattamento agli input forniti dall utente. Per definizione infatti, solo ai e bj sono in numero il doppio del numero di zone presenti nella matrice. Può essere dimostrato che questi sono sufficienti a definire qualsiasi combinazione possibile di valori positivi delle celle della matrice. Quindi, se si elaborano parametri adatti al contesto di stima, l equazione [I] può fornire una matrice coerente a tutti i dati di input definiti dall utente, sotto la condizione che tali dati di input siano in primo luogo coerenti tra loro. Nel caso reale tale condizione è difficilmente realizzabile, perciò il processo tende a fornire la matrice che sia il più possibile verosimile, in relazione ai dati forniti dall utente. Pagina 43

45 In linea di principio, non ci sono particolari distinzioni matematiche tra i parametri (a i, b j, X k, α, β); la forma della funzione di stima però permette di associare tali parametri a differenti tipi di dati: a i, b j sono associati ai Trip ends o margini della matrice, ovvero gli spostamenti totali generati dalla zona i e attratti dalla zona j; X K è associato ai conteggi di traffico sulla screenline k; α, β sono associati ai costi generalizzati c; t ij (= N ij intesi come dati di input) informazioni dalla matrice datata. Tale associazione è utile all ottimizzatore in funzione delle differenti caratteristiche (e qualità) dei set di input. La ridondanza nominale dei parametri X k apportano al sistema dei gradi di libertà per gestire le incoerenze. Distribuzioni probabilistiche dei dati in ingresso Il metodo di Massima Verosimiglianza assume che ogni dato di input sia l'osservazione fatta su una distribuzione casuale di possibili valori avente una determinata funzione di densità di probabilità. E' infatti noto, ad esempio, che l'esecuzione di più conteggi di traffico su uno stesso arco della rete risulterà in un valore di veicoli transitanti nel periodo di rilievo diverso di volta in volta. La distribuzione di probabilità adottata dal software è la distribuzione di Poisson. Distribuzione di Poisson La funzione di densità di probabilità secondo Poisson è una distribuzione statistica tipica per dati che riguardano l'avvenimento di eventi in un periodo di tempo. Per quanto riguarda i conteggi, la distribuzione di Poisson è sensibile alle variazioni del dato in funzione del suo valore: essa riesce a rilevare l'importanza della variazione del 10% su una media di 5000 veic/h e al contempo rileva la poca significatività di una variazione della stessa percentuale su 50 veic/h. E' inoltre una buona scelta quando i valori della confidenza da attribuire ai dati è nota. Equazione Obiettivo di Massima Verosimiglianza Quando il software individua i valori dei parametri del modello, utilizza un criterio per determinare se i valori di T ij stimati siano sia corretti che migliori di altri set stimati. Questo criterio è fornito da un'equazione matematica chiamata funzione obiettivo, M, che per Cube Analyst ha la seguente forma: = h ( h) [III] Pagina 44

46 dove: h è il dato stimato; H è il dato osservato; λ H è il livello di confidenza associato al dato H. Questa equazione è frutto di una procedura statistica rigorosa, ovvero il Metodo della Massima Verosimiglianza. La teoria di Massima Verosimiglianza indica che i valori stimati più simili a quelli reali si ottengono quando M nell'equazione [III], che assume valori negativi, raggiunge il suo minimo. M infatti corrisponde alla funzione log-likelihood della teoria classica cambiata di segno, per questioni di comodità di calcolo. Il set di parametri del modello che minimizzano la funzione M vengono chiamati stimatori di massima verosimiglianza. A livello matematico, la teoria può essere espressa come la probabilità di osservare il dato stimato: ( = ) = ( ) [IV] dove: X è la variabile casuale; x è il dato osservato; η è il parametro o funzione di parametro. La funzione di likelihood è quindi definita come la produttoria delle probabilità di osservare ogni singolo evento: ( ) = ( ( ) ) [V] con x = ( x (1), x (2),, x (n) ) vettore delle osservazioni e θ generico parametro. Il processo di ottimizzazione consiste nella ricerca del valore di η che massimizza la funzione Lx(η). In accordo con la teoria sopra citata, possiamo quindi interpretare: H come x, dato osservato; h dato da stimare, quindi η. Pagina 45

47 Dal momento che si assume che la distribuzione più appropriata per le osservazioni sia quella di Poisson, possiamo scrivere la funzione di densità di probabilità: ( ) = ( )! [VI] dove λ è detto fattore di peso. E' possibile vedere che λx è una variabile aleatoria di Poisson di ragione λµ. λ è perciò un parametro di scala che definisce l'unità di tempo alla base del processo di Poisson. Una funzione di Massima Verosomiglianza può essere scritta come: (h) = ( h)! [VII] Prendendo il logaritmo della funzione: (h) = ( ) ( h) ( h) ( )! [VIII] con ( )! =. In riferimento all'equazione [V], considerando tutti i dati, la funzione di likelihood può essere scritta come: = (h) [IX] Per facilità di calcolo si minimizza la funzione M H, derivata dalla funzione L H : = h ( h) Riconducendosi così all'equazione [III] presentata inizialmente: [X] = = h ( h) [XI] Pagina 46

48 Funzione Obiettivo Il software permette l'utilizzo di più tipi di dati nel processo di stima, indicando con H e h diversi tipi di informazioni e relativi valori stimati: celle della matrice Prior: numero di viaggi con origine alla zona i e destinazione alla zona j: Osservato: H = N ij Stimato: h = T ij margini della matrice (Trip-end): numero totale di viaggi con origine alla zona i : Osservato: H = O i Stimato: h = G i = j T ij numero totale di viaggi con origine alla zona i : Osservato: H = D j Stimato: h = A j = i T ij Conteggi di traffico: numero di spostamenti passanti dall'arco appartenente alla screenline k : Osservato: H = Q k Stimato: h = V k = i j R ijk T ij (con R ijk che individua gli archi della screenline stessa) Sostituendo tali termini nell'equazione [XI] si ottiene la funzione obiettivo riportata di seguito, riportando per ogni termine la fonte del dato utilizzato: M = k λ g K (V k - Q k ln(λ g V k )) + (fonte conteggio screenline, λ g K confidenza conteggi) + i λ O i (G i - O i ln(λ O G i )) + (fonte margine di riga, λ O confidenza Trip-End origine) + i λ D i (A j - D j ln(λ D A j )) + (fonte margine di colonna, λ D conf. Trip-End destinazione) + ij λ N ij (T ij - N ij ln(λ N T ij )) + (fonte matrice Prior, λ N ij confidenza singole celle) + ij λ C ij ( T ij - t ij ) 2 (fonte matrice dei costi, λ C confidenza singole celle) [XII] con C ad indicare la sommatoria sulle celle che hanno valore nullo nella matrice datata e valore non nullo in quella dei costi. La stima del termine t ij, per ragioni inerenti al modello di stima, è trattata con il metodo dei minimi quadrati nella funzione obiettivo. Pagina 47

49 Applicazione del modello di stima La funzione obiettivo [XII] è usata per calibrare il modello di stima dei viaggi di matrice [I] della forma: = = dove = o = e = Si deriva perciò la funzione obiettivo secondo i vari parametri per trovare il punto di minimo di M: = h 1 h = h 1 h [XIII] (non definita per h = 0) Si pone quindi tale derivata a 0: = 0 I passi rimanenti sono quindi: calcolare T ij usando l'equazione [XII] e i valori dei parametri del modello; calcolare h tramite la tabella riportata a pagina seguente, per ogni set di input e dato stimato; calcolare per ogni set di input e dato stimato. Pagina 48

50 H h λ Q k V k g λ K N ij T ij N λ ij O i G i O λ i D j A j D λ i Sostituendo tali termini nella ricerca del minimo della funzione M indicata nella [XIII], si ottiene: = [XIV] dove: = [XV] (costante) = [XVI] (indefinito se T ij, O i, D j e A j sono nulli) La forma dell equazione [XVI] è direttamente riconducibile all uso della distribuzione di Poisson per descrivere i dati di input; L uso, ad esempio, di una distribuzione Normale avrebbe dato una forma differente e più complessa del termine ψ ij. Il significato di questo termine è duplice: l equazione contiene ogni tipo di dato di input e ogni dato stesso (ogni cella della matrice datata, ogni margine di matrice, ogni conteggio facente parte di ogni screenline, ecc.) cosicché tali dati vengano considerati contemporaneamente, e non in categorie separate; tutti i dati contribuiscono come rapporto tra osservazione e stima e come una combinazione lineare di dati di input, i cui pesi (fattore di peso) sono rappresentati dai termini λ (livelli di confidenza). Questo permette al software di trattare i livelli di confidenza λ come semplici fattori di peso, nonostante il termine λ derivi da considerazioni di natura statistica delle distribuzioni dei dati di input. Nell'equazione [XIV] si devono quindi sostituire i set di parametri del modello a θ. Pagina 49

51 Per risolvere il primo punto si parte differenziando T ij : = ( per ogni a i ) [XVII] = ( per ogni b j ) [XVIII] = ( per k S ij ) [XIX] = ln ( ) ( per ogni α i ) [XX] = ( per ogni ) [XXI] Si sostituiscono poi le equazioni dalla [XVII] alla [XXI] nell'equazione [XIV] e si utilizza un processo di ottimizzazione per scegliere i valori dei parametri che determinano T ij come quello che minimizza la funzione obiettivo [XI]. Processo di ottimizzazione Il processo di ottimizzazione parte attribuendo un valore di primo tentativo ai parametri θ (θ (0) ) che, senza una eventuale indicazione dall'analista è pari a 1. Pagina 50

52 L equazione [III] : = h ( h) è utilizzata, come già introdotto, per determinare se i valori stimati siano più corretto (più coerenti) con i dati di input, H. Il software incorpora un ottimizzatore per la modifica del set di parametri del modello così da minimizzare il più possibile il valore di M. Come visto prima, matematicamente si definisce la localizzazione del minimo con l annullamento del gradiente della funzione e quindi: = 0 come anche rappresentato dalla figura riportata sotto. In questa fase quindi il calcolo avviene nello spazio dei parametri. Il principio dell algoritmo di calcolo e ottimizzazione è, semplicemente, la modifica di ciascun parametro in termini di valore ( step ) e di direzione di ricerca (verso valori più alti o più bassi). L ottimizzatore assicura che gli aggiustamenti delle varie iterazioni di calcolo siano compiuti solo nel caso in cui il processo migliori il risultato. Questo approccio richiede perciò alcune caratteristiche dell ottimizzatore stesso: Efficienza nel determinare lo step ottimale in direzione e valore; Sensibilità nella distinzione di minimi locali e minimo assoluto (e perciò nella sicurezza che nessun altro step possa portare ad un risultato migliore); Identificazione del punto di minimo quando il calcolo è vicino ad esso (raggiungere un sufficiente grado di stabilità della convergenza alla soluzione ottimale). Ci sono molti possibili approcci per calcolare l ottima direzione e valore di step da utilizzare in tale ricerca, differenti per numero di iterazioni alla convergenza e difficoltà di calcolo richiesta. L informazione sulla direzione di ricerca (contenuta nel file gradient search matrix ) è ottenibile dalla approssimazione della matrice Hessiana della funzione M secondo i parametri θ, il cui grado di approssimazione dipende dal metodo utilizzato. La matrice Hessiana, per il software, descrive la relazione tra i parametri del modello ed effettivamente si può dimostrare che la matrice è essa stessa una approssimazione della matrice di varianza-covarianza. Pagina 51

53 I metodi utilizzati nel pacchetto Cube Analyst sono: Metodo del gradiente; Metodo di Newton; Metodo Quasi-Newton; Method of Scoring. La procedura standard del software prevede l utilizzo di una combinazione del Method of scoring e del metodo di Quasi-Newton. Il primo è utilizzato per calcolare l approssimazione della matrice Hessiana, che richiede un notevole sforzo di calcolo, mentre il secondo fornisce ulteriori affinamenti della soluzione, che al contrario necessita di un calcolo molto più leggero se la soluzione si trova già nella regione del valore ottimale. Cube Analyst quindi calcola gli stimatori di massima verosimiglianza θ generando una sequenza di valori stimati θ (k) da: ( ) = ( ) + ( ) dove dato da: θ < ξ k 1 è un valore adatto di lunghezza dello step, e ( ) denota un vettore di ricerca ( ) = Ξ (Η ) Per il metodo di realizzazione utilizzato da Cube, Ξ è uguale al valore atteso della matrice Hessiana. Può essere dimostrato che questa può essere rappresentata anche come dove indica il valore atteso, e = (Η ), che denota il vettore gradiente della funzione obiettivo M secondo i parametri del modello θ. La cella (i,j) della matrice è data da: = [XXII] Dall'equazione [XIV] possiamo quindi scrivere: = [XXIII] Pagina 52

54 che porta a: = [XXIV] Le cui espressioni di e sono riportate nelle equazioni dalla [XVII] alla [XXI]. Quando Ξ k è calcolata dal metodo Quasi-Newton, l'hessiana aggiorna il valore atteso, E[SS T ], usando la BFGS (formula di aggiornamento Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno). Pagina 53

55 Processo di aggiornamento e Struttura del modello Il processo di aggiornamento di matrice inizia elaborando i principali dati di input forniti, quali il grafo di rete e la matrice datata. Dopo un preliminare controllo sulla corrispondenza degli archi di grafo con quelli relativi ai rilievi, si forniscono le caratteristiche delle screenline e si calcolano i Trip- End della matrice datata, o Matrice PRIOR. Si assegna la Prior in un processo standard di assegnazione alla rete di offerta. Da questo processo si estraggono informazioni sul confronto tra flussi assegnati e flussi conteggiati su tali archi, sui percorsi generati e i loro costi generalizzati di percorrenza. Le informazioni ottenute vengono elaborate assieme alla matrice PRIOR completa di matrice di confidenza delle singole celle dal pacchetto Analyst, eventualmente insieme ai dati relativi ai trip-end e ai costi degli spostamenti. Il pacchetto modifica la matrice di domanda in un processo di aggiornamento, generando una matrice stimata di primo tentativo e individuando dei flussi stimati per la successiva assegnazione. La matrice viene riassegnata nuovamente alla rete di offerta, creando nuovi percorsi e nuovi volumi assegnati sugli archi, che possono anche essere diversi da quelli previsti nel processo di stima, dato che possono risultare sensibilmente diversi i percorsi calcolati. Per ottenere una matrice con una stima accettabile è necessario iterare il processo più volte, tramite la funzione LOOP. A seguito di tale processo si analizzano la matrice aggiornata e le matrici delle iterazioni intermedie, confrontandole con la matrice datata ed estraendo parametri che esprimono la qualità del risultato ottenuto. Tali parametri, quali il coefficiente di determinazione ( ) e l errore standard ( ), si ottengono tramite il calcolo della regressione lineare riferita al confronto tra i flussi conteggiati sulla rete e quelli stimati, ottenuti assegnando la matrice aggiornata alla rete. Si analizzano quindi la nuova matrice assegnata in relazione all assegnazione della matrice Prior, validandola attraverso il confronto dei flussi risultanti dalla simulazione con altri rilievi di traffico non utilizzati nel processo di aggiornamento. L interfaccia del software nel pacchetto Cube Voyager sviluppato prevede i seguenti dati di input e pacchetti di elaborazione dei dati: DATI DI INPUT: MATRICE DI DOMANDA DATATA (PRIOR) LIVELLI DI CONFIDENZA DELLA MATRICE PRIOR, TRIP-END E CONTEGGI RETE DI OFFERTA COMPLETA DI PEDAGGI, CURVE DI DEFLUSSO E PENALITA DI SVOLTA INFORMAZIONI SU TOTALE POPOLAZIONE/ADDETTI DELLE ZONE PARAMETRI DEL PROCESSO DI AGGIORNAMENTO Pagina 54

56 PACCHETTI: Gruppo visualizzazione dati di partenza: MATRICE DI DOMANDA PRIOR CON CONFIDENZE GRAFO DI OFFERTA Gruppo di elaborazione matrice Prior, Screenline: CREAZIONE DBF DELLA RETE ANALISI DELLA COERENZA RILIEVI-GRAFO INSERIMENTO SCREENLINE NEL GRAFO CREAZIONE TRIP END MATRICE PRIOR Gruppo Loop di stima della matrice aggiornata: LOOP ASSEGNAZIONE CON ITERAZIONI CALCOLO TRIP-END MATRICE CORRENTE MATRICE CONFIDENZA RELATIVA ALLA MATRICE DI DOMANDA CORRENTE STIMA DELLA MATRICE DI DOMANDA ANALYST Gruppo assegnazione matrice stimata e generazione Report : ASSEGNAZIONE CON ITERAZIONI CALCOLO GEH E INSERIMENTO NEL GRAFO CREAZIONE DATABASE ARCHI E ORGANIZZAZIONE ATTRIBUTI DI RETE ESTRAZIONE ED ELABORAZIONE REPORT VALIDAZIONE Gruppo analisi della matrice stimata e delle matrici generate nelle iterazioni di loop : CREAZIONE TRIP END MATRICE STIMATA DIFFERENZA TRA MATRICE PRIOR E STIMATA DIFFERENZE TRIP END PRIOR E STIMATA CONFRONTO MATRICE STIMATA CON POPOLAZIONE/ADDETTI COMPRESSIONE MATRICE E CONFRONTO PERCENTUALE Gruppo visualizzazione dati di output: MATRICE DI DOMANDA STIMATA GRAFO DI OFFERTA Pagina 55

57 Pagina 56

58 SCENARIO MANAGER dell interfaccia CUBE VOYAGER Sono state sviluppate le seguenti finestre di dialogo col programma, con le quali l utente può inserire tutti i parametri di input necessari al processo. Ad ognuno di questi parametri individuati per lo studio del comportamento del processo si è associata una chiave, ovvero una variabile a cui attribuire preliminarmente un valore (numerico, percorso di file, ecc ). Queste chiavi, illustrate nei paragrafi successivi, sono state raggruppate e ordinate come segue : Pagina 57

59 Pagina 58

60 Verranno ora illustrati i principali gruppi di pacchetti appositamente creati per supportare il pacchetto preimpostato Analyst. Il primo e ultimo gruppo sono semplici visualizzazioni del punto di partenza e di fine del procedimento e non verranno perciò trattati nella seguente presentazione. Gruppo di elaborazione matrice Prior, Screenline: Questo gruppo di pacchetti prepara il grafo di rete al processo di aggiornamento inserendo i dati di input necessari, previo controllo di coerenza attraverso l elaborazione del file database. Ricrea infine il file di rete preparato. Per quanto riguarda la matrice Prior, il pacchetto finale del gruppo estrae il margine di matrice. CREAZIONE DBF DELLA RETE Il grafo di rete, proveniente dai lavori di simulazione precedenti, viene ripulito da tutte quelle informazioni non inerenti al procedimento di aggiornamento. Viene estratto il database degli archi (tabella sottostante) in modo automatico, specificando di escludere i campi relativi ai conteggi di traffico precedenti in quanto questi non permetterebbero l inserimento di nuovi dati in merito. ANALISI DELLA COERENZA RILIEVI-GRAFO Come verrà specificato meglio in seguito (vedi capitolo SPERIMENTAZIONE SUI PARAMETRI DI DIPENDENZA DEL PROCESSO), i rilievi facenti parte delle screenline utilizzati nel processo vengono inseriti nel procedimento tramite un database dei rilievi. Questo database, definito dall utente, deve essere coerente con il grafo in termini di identificazione degli archi (nodo A e nodo B). Pagina 59

61 Se così non fosse, il programma andrebbe ad inserire dei nuovi archi tra i nodi specificati, anche se non adiacenti, portando all introduzione nel grafo di archi inesistenti. E necessario quindi effettuare un controllo di coerenza tra archi individuati nelle screenline e archi propri del grafo. Tale controllo verifica l esistenza nel grafo degli archi delle screenline e, in caso contrario, li elimina riscrivendo quindi il database dei rilievi e annotando in un file di testo a parte, i record eliminati (casella rossa). È possibile quindi verificare la corretta immissione dei dati prima di lanciare tutto il processo di aggiornamento di matrice. INSERIMENTO SCREENLINE NEL GRAFO Si inseriscono a questo punto le caratteristiche delle screenline nel grafo. Il programma, quando trova corrispondenza tra archi dei conteggi e archi del grafo, inserisce i valori di conteggio semplice dei veicoli (RIL_ORA), conteggio di veicoli equivalenti (RILEQ_ORA), quando disponibili, un informazione sul traffico giornaliero (RIL_TGM), il numero identificativo del conteggio nella configurazione della screenline (SCRN) e il relativo livello di confidenza (CONFIDENZA) nei campi corrispondenti del database. Su tutti gli altri archi del grafo imposta automaticamente tale valore a zero. I conteggi relativi alla validazione sono identificati tramite la combinazione di SCRN impostato a zero e RILEQ_ORA non nullo. Tramite questo blocchetto è possibile inoltre visualizzare le screenline sulla rete aprendo il file di output del grafo. CREAZIONE TRIP END MATRICE PRIOR Per l analisi finale della matrice stimata e per il processo di aggiornamento stesso è necessario calcolare i totali di riga e di colonna della matrice di domanda datata, ovvero i totali degli spostamenti generati ed attratti dalle singole zone. Si sommano quindi gli elementi sulla stessa riga della matrice PRIOR e della sua trasposta. Si predispongono poi i risultati in un particolare formato, in modo da poterlo utilizzare successivamente come dato di input al pacchetto Analyst, articolato nei seguenti campi: zona, totale trip end origine (totale di riga), totale trip end destinazione (dalla trasposta), confidenza dei trip end origine, confidenza dei trip end destinazione. Es: Zona T.E. origine T.E. destinazione Conf. T.E. origine Conf. T.E. destinazione Pagina 60

62 Gruppo Loop di stima della matrice aggiornata: Questo gruppo costituisce il fulcro dell intero processo, il nucleo essenziale per l aggiornamento della matrice datata. Esso prevede: LOOP In tale pacchetto si impostano il numero di iterazioni da assegnare a determinati pacchetti successivi, specificando quali saranno gli input che di volta in volta si devono aggiornare. La prima casella in alto a sinistra (viola) del cerchio rappresentante il pacchetto loop (arancione), indica l input al processo nella prima iterazione. La casella sotto (azzurra) indica quale output dei pacchetti ripetuti viene reimpostato come input nelle iterazioni successive: nel nostro caso tale input è la matrice di domanda stimata nelle iterazioni precedenti, creando quindi un processo di affinamento del risultato. La casella blu sulla destra invece indica il file contenente il risultato finale dell intero loop all ultima iterazione eseguita. Il loop si applica ai pacchetti dal numero 7 al numero 10, iterando così l assegnazione della matrice PRIOR (sostituita dalle stimate dei tentativi successivi), il calcolo dei trip end della matrice corrente, l aggregazione delle confidenze alla matrice e il processo di stima della matrice. ASSEGNAZIONE CON ITERAZIONI Il processo di assegnazione della matrice PRIOR (o delle successive matrici nel processo iterativo) è analoga a quello per la determinazione dei flussi simulati circolanti sulla rete, dal quale si estraggono però ulteriori informazioni sulle screenline individuate. Pagina 61

63 Il processo si articola in più fasi: Fase LINKREAD: Si definiscono le variabili da utilizzare nell assegnazione (nonostante il programma di per sé legga automaticamente le variabili standard). Prevede la dichiarazione degli archi appartenenti alle diverse screenlines attraverso i parametri SCRN,RILEQ_ORA,CONFIDENZA precedentemente inseriti nel database del grafo di rete. Fase I-LOOP: Il sistema crea i percorsi relativi ad ogni spostamento indicato nella matrice di domanda. L utente specifica quali variabili tenere in considerazione in tale processo ovvero quali caratteristiche fisiche, funzionali ed amministrative rientrano nel calcolo dei costi generalizzati, i volumi di traffico (se divisi in pesanti e leggeri) e le penalità di svolta da considerare. Per poter stimare in seguito l evoluzione dei valori nulli della matrice Prior si specifica, in questa fase, l estrazione della matrice dei costi di percorso in base ai parametri di costo generalizzato. Fase ADJUST: In questa fase si specificano i parametri della assegnazione, definiti in valore direttamente nello scenario manager: MAXITERS indica il numero massimo di iterazioni da compiere nella ricerca di convergenza; COMBINE indica il metodo di elaborazione dei risultati in relazione alle successive iterazioni, ovvero il peso da dare ad ogni soluzione iterativa nella soluzione finale; GAP specifica il limite, al quale fermare le iterazioni, della differenza tra due soluzioni consecutive. PDIFF e PDIFFVALUE indicano un ulteriore condizione di cessazione delle iterazioni: il limite viene indicato come la percentuale PDIFF di archi per i quali si osserva una variazione di volumi assegnati tra due iterazioni consecutive inferiori del valore PDIFFVALUE. Si definiscono inoltre le curve di deflusso per ogni tipologia di strada, ovvero la funzione per ricavare la velocità caratteristica del flusso degli archi in relazione alla loro tipologia (linkclass) e al flusso presente sull arco, e di conseguenza il tempo di percorrenza. Fase CONVERGE: In questa fase si possono indicare condizioni limite per l interruzione delle iterazioni prima del numero massimo di iterazioni dichiarate, all ottenimento di soluzioni già sufficientemente rappresentative, ovvero i valori di GAPCUTOFF e PDIFFCUTOFF. Pagina 62

64 CALCOLO DEI TRIP END DELLA MATRICE CORRENTE Si sommano gli elementi sulla stessa riga della matrice dell iterazione corrente e della sua trasposta. Si predispongono poi i risultati nel particolare formato di input al pacchetto ANALYST. MATRICE CONFIDENZA RELATIVA ALLA MATRICE DI DOMANDA CORRENTE In questa fase si accoppia alla matrice di domanda della corrente iterazione una matrice di confidenza delle sue singole celle, ovvero il peso in termini di affidabilità del dato e in termini di importanza dell informazione nella funzione obiettivo. Si crea quindi una matrice di lavoro da associare come sottomatrice alla matrice di domanda, i cui valori sono specificati nelle relative chiavi o inseriti manualmente direttamente nello script. Il pacchetto è preimpostato per poter agire direttamente su tutta la matrice, per aree di essa o per singole celle, in modo da poter definire interamente la matrice di confidenza. STIMA DELLA MATRICE DI DOMANDA ANALYST Il pacchetto Analyst svolge l aggiornamento della matrice in relazione ai conteggi definiti nelle screenline, andando ad aumentare o diminuire i viaggi specificati nella matrice in relazione ai valori dei conteggi, ai valori delle confidenze associate e alle specifiche relazioni matriciali. Per stimare anche i valori nulli della matrice Prior è necessaria l elaborazione della matrice dei costi relativi ai percorsi generati nell assegnazione della matrice di domanda dell iterazione corrente. Control Data: Pagina 63

65 Il pacchetto è già preimpostato con l algoritmo di aggiornamento della matrice e quindi non necessita di ulteriori istruzioni a tal proposito. Attraverso la maschera di Choose Option è possibile impostare il funzionamento del processo (File Selection, Re-starting Estimation, Node numbering system and Node labelling,part Trip data,hierarchic Hestimation). E possibile anche settare la memoria dedicata al calcolo ( Set Memory: MB) Tramite la finestra del control data è possibile scegliere le caratteristiche del processo, definendole in particolare in Choose Options : FILE SELECTION: TRIPM: indicare la presenza di una matrice Prior; COSTM: per utilizzare una matrice dei costi associata a quella degli spostamenti e nel processo di stima; SCRFIL: per utilizzare le screenline; TRPEND: per considerare l informazione dei margini di matrice. La prima e terza opzione sono caratteristiche fondamentali del processo stesso e devono essere sempre selezionate. La seconda e la quarta opzione sono facoltative e, ammettendo una buona qualità delle informazioni fornite alla macchina, possono migliorare la soluzione di stima anche dove il dato di partenza della matrice di domanda è mancante. Pagina 64

66 Le altre opzioni sotto disponibili sono impostate di default non selezionate e prevedono particolari accorgimenti nel processo da utilizzare in casi che esulano dall obiettivo di questa tesi. L unica opzione in questo caso selezionata è l utilizzo di particolari file ICP per la descrizione delle screenline e il confronto preliminare tra flussi conteggiati e flussi assegnati. I parametri di stima da utilizzare nel processo possono essere visualizzati in Set Parameters e sono solitamente già impostati. Gli unici parametri sui quali si agisce sono il primo, che deve essere coerente alla scelta fatta nella schermata precedente, e il DEC, da impostare a zero per considerare matrici di input e output con viaggi interi. TABLES: seleziona le matrici da considerare nel processo: 101: Matrice Prior; 102: Confidenza della matrice Prior; 103: Matrice dei costi degli spostamenti; 104: Confidenza della matrice dei costi. Nel print file di analyst sono visualizzati i flussi di traffico stimati sugli archi delle screenline assegnando la nuova matrice (ottenuti partendo però dal path file generato dall assegnazione della matrice PRIOR). Valori di tali flussi vicini ai valori dei conteggi sono un primo indizio sulla bontà dell aggiornamento della matrice, ma non sono sufficienti a garantirla. Se la matrice è di fatto molto vecchia e poco coerente con la rete (che ha subito una evoluzione), i valori dei flussi stimati potrebbero differire notevolmente da quelli ottenuti da una ulteriore assegnazione (in quanto i file dei percorsi della matrice Prior e della matrice stimata possono essere molto differenti). Pagina 65

67 Gruppo assegnazione matrice stimata e generazione Report ASSEGNAZIONE CON ITERAZIONI Il processo di assegnazione della matrice stimata è analoga a quello della matrice di PRIOR. Si verifica quindi, assegnando la nuova matrice, che i flussi assegnati siano simili ai valori dei conteggi utilizzati per le screenline. CALCOLO GEH E INSERIMENTO NEL GRAFO Il pacchetto confronta i flussi assegnati e i flussi derivanti dai conteggi di traffico. Il parametro GEH viene utilizzato per valutare la qualità della calibrazione del modello utilizzando i flussi assegnati e quelli rilevati attraverso la seguente formula: = Sebbene la sua forma matematica è simile a un test chi-quadrato, non è un vero parametro statistico. E piuttosto una formula empirica che si è dimostrata utile per diversi scopi di analisi del traffico. La formula GEH prende il nome da Geoffrey E. Havers, che lo ha inventato negli anni ' 70. La sua validità come criterio per l accettazione e la valutazione dei modelli di previsione di traffico in ambito urbano è riconosciuta nel manuale Highways Agency's Design Manual for Roads and Bridges (DMRB), Volume 12, Sezione 2. Pagina 66

68 Nel manuale vengono indicate delle linee guida per la valutazione della validità dei risultati, dalle quali si desume che si può ritenere buona calibrazione se il relativo parametro di confronto tra flussi assegnati e flussi rilevati assume valori compresi fra 0 e 5 per almeno l'85% degli archi (come indicato nella tabella 4.2 punto 5-i) del DMRB, Volume 12, Sezione 2) : Viene specificato inoltre che per valori di GEH compresi tra 5 e 10 è buona norma effettuare controlli mentre per GEH maggiori di 10 è molto probabile la presenza di problemi relativi al modello di domanda o all affidabilità del dato (quindi ad una semplice immissione errata dei dati o a un più complesso errore di calibrazione dei parametri del sistema). Utilizzando il parametro GEH si evitano alcuni inconvenienti riscontrabili quando si utilizzano le percentuali semplici per confrontare due insiemi di volumi, che nei sistemi di trasporto reale possono assumere valori contenuti in una vasta gamma. Ad esempio, un'autostrada potrebbe portare 6000 veicoli all'ora mentre una rampa di accesso all'autostrada stessa potrebbe portare solo 800 veicoli all'ora; in tale situazione non sarebbe possibile selezionare una singola percentuale di variazione accettabile per entrambi i volumi. Poiché la statistica GEH è non lineare, è possibile assumere invece un limite di accettazione unico basato sul GEH utilizzabile su una gamma piuttosto ampia di volumi di traffico, come evidenziato nel seguente grafico che mette in relazione la soglia percentuale del 5% e la soglia GEH di valore 5: Pagina 67

69 Essendo però il grafo PIM rappresentante una rete non urbana, utilizzeremo tale parametro solo in via indicativa, per una definizione di massima dei risultati ottenuti. In questo passaggio si inserisce l informazione del GEH direttamente nella rete: si individuano gli archi appartenenti alle screenline tramite il loro numero identificativo e su questi si calcola il parametro suddetto. Il valore così calcolato è direttamente inserito nella rete nel campo specificato, che assume valore nullo in tutti gli altri archi. CREAZIONE DATABASE DEGLI ARCHI E ORGANIZZAZIONE ATTRIBUTI DI RETE Si crea il database degli archi impostando i formati dei file in input e output al blocchetto, come visto in precedenza, per poter poi essere utilizzato come record file nel passaggio successivo. Per una migliore visualizzazione e più facile interpretazione della rete, si reimpostano i campi relativi ai parametri calcolati inserendo inoltre il risultato del calcolo di ulteriori parametri. ESTRAZIONE ED ELABORAZIONE REPORT Un primo report di rete è creato da questo pacchetto, relativamente al confronto tra flussi assegnati, partendo dalla matrice stimata, e i flussi conteggiati, inseriti come screenline. Si crea quindi un database riassuntivo elaborando il database degli archi della rete, selezionando solo i record relativi alle screenline tramite il loro numero identificativo (contenuto nel campo Pagina 68

70 SCRN). Si calcola la differenza in termini assoluti (DELTA_RILEQ) e percentuali (D_RIL_PERC) tra flussi assegnati (VOL_VOY) e conteggi (RILEQ_ORA). Si riportano anche le informazioni relative al parametro GEH e alle altre informazioni relative alle misurazioni. Nell ottica di automatizzare il più possibile la redazione dei report e la loro analisi, si sono calcolate le percentuali di archi sul totale delle screenline in cui il valore del parametro GEH fosse maggiore di 5 e di 10 e sono state riportate direttamente nell output in un file di testo. VALIDAZIONE Si ripropone lo stesso calcolo visto nel pacchetto ESTRAZIONE ED ELABORAZIONE REPORT per gli archi relativi ai conteggi destinati al processo di validazione, identificati tramite script dalla combinazione di SCRN=0 e RILEQ_ORA 0. Entrambi gli output dei due pacchetti di confronto vengono poi elaborati in un foglio di calcolo esterno alla piattaforma Cube Voyager per l estrazione dei parametri statistici di ed. Pagina 69

71 Gruppo analisi della matrice stimata e delle matrici generate nelle iterazioni di loop : CREAZIONE TRIP END MATRICE STIMATA Il programma prende in entrata la matrice risultante dall intero processo di loop e calcola il totale e i margini della matrice, sommando i valori degli spostamenti sulle righe e sulle colonne (utilizzando la trasposta per ottimizzare i tempi di calcolo). Inoltre, per il calcolo dei pesi delle relazioni tra le zone, si estrae il dato del totale degli spostamenti della matrice, salvandolo in un record file a parte. DIFFERENZA TRA MATRICE PRIOR E STIMATA Il pacchetto analizza le differenze in termini assoluti e percentuali tra la matrice datata di partenza e le matrici prodotte in ogni ciclo di loop del gruppo precedente, appositamente salvate separatamente per un maggiore controllo del processo. Si è implementato inoltre un controllo automatico sulle variazioni di ogni singola cella della matrice stimata, impostando dei valori limite Pagina 70

72 sia di incremento percentuale sia di incremento in valore assoluto rispetto alla matrice PRIOR. Le celle individuate vengono segnalate in un apposito file di testo (WARNING). Es. O D Incr PERC: O D Incr PERC: DIFFERENZE TRIP END PRIOR - STIMATA E CONFRONTO POPOLAZIONE/ADDETTI Il Trip-End è strettamente legato al dato di Popolazione / Addetti di ciascuna zona, essendo, come già visto, il totale dei flussi generati ed attratti. L analisi e il confronto dei Trip-End stimati con il dato di partenza può mettere in evidenza errori di costruzione della stima stessa in relazione all attribuzione o alla diminuzione eccessiva di viaggi, al fine di adattare la soluzione ai dati di input. Tale analisi permette inoltre di poter effettuare adeguate considerazioni relativamente ai valori di confidenza da attribuire ai Trip End stessi, in relazione alle discordanze rilevate. COMPRESSIONE MATRICI IN MATRICE 5x5 E 18x18, CONFRONTO PERCENTUALE L analisi della matrice stimata non può essere eseguito, ovviamente, nelle dimensioni originarie della matrice stessa. E necessario quindi comprimerla in una dimensione che permetta di evidenziare le informazioni essenziali anche visivamente all utente. Si è proceduto a dividere la matrice in gruppi di celle, creando delle macrozone omogenee Date le dimensioni originarie della matrice stimata, l analisi della stessa risulta essere di difficile realizzazione. In relazione a questo, si è deciso di effettuare una compressione della matrice in una matrice 5x5 e in una 18x18, che fossero coerenti con le ri-zonizzazioni effettuate sul grafo (successivamente trattata nell ambito di questa tesi) e che permettessero di evidenziare le informazioni essenziali ai fini dell analisi.il confronto percentuale tra le matrici compresse Prior e Stimata ha permesso una individuazione più celere delle macrozone che risultassero avere valori molto diversi tra loro. Si sono stabilite due soglie principali di variazione percentuale delle singole celle, che denotassero un incremento o diminuzione nettamente anomalo, quali il +500% e il -90%. Il risultato viene epurato da tutti quei casi che risultano inclusi nelle condizioni di incremento percentuale ma consistono in realtà in poche unità di scarto (es. 1 viaggio incrementato in 11 viaggi) in quanto non rilevanti per le zone del grafo. Sono state quindi scelte due ulteriori soglie, da applicare contemporaneamente alle due precedenti, relative all incremento assoluto della cella, poste a ± 100 veic.eq/ora. La procedura di controllo è stata articolata a gradini. Si è partiti dal caso più aggregato (5x5), individuando le macrozone più critiche. Di queste si sono analizzate le macrozone della matrice 18x18 evidenziate dai controlli e le relative celle disaggregate della matrice di partenza. Pagina 71

73 SPERIMENTAZIONE SUI PARAMETRI DI DIPENDENZA DEL PROCESSO PARAMETRI INIZIALI DI SCELTA Il programma necessita la definizione di numerosi parametri del processo di stima. Non potendoli testare tutti nell ambito di questa tesi, alcuni parametri sono stati quindi studiati preliminarmente e assunti nei valori ritenuti ottimali. Di seguito è presentata una breve descrizione degli stessi evidenziando le scelte effettuate. Tipologie di assegnazione e Curve di deflusso Nello specifico caso in esame, il software Cube Voyager, propone l utilizzo di cinque diversi metodi per l assegnazione quali: all equilibrio (EQUI) incrementale (SUM) per medie successive (AVE) per iterazioni successive (ITE) per medie pesate (WTD) Le differenze tra i diversi metodi sono riconducibili alle diverse modalità di combinazione dei volumi ad ogni iterazione. Nel processo di assegnazione AoN questa distinzione è praticamente ininfluente, in quanto utilizzando qualsiasi dei metodi sopra citati, si possono ottenere i medesimi risultati durante la prima iterazione. Al termine delle ulteriori successive iterazioni, teoricamente, tutti i metodi di assegnazione dovranno tendere ad una configurazione di equilibrio tra offerta e domanda. Il metodo all equilibrio (EQUI), proposto dal programma, risulta essere una derivazione dell algoritmo di Frank Wolfe precedentemente descritto. Pagina 72

74 In riferimento alla trattazione fatta, si richiamano di seguito i 5 passi fondamentali che lo descrivono: I. inizializzazione; si fissa un parametro di arresto ε. Si sceglie un punto iniziale fattibile x 1 e si pone a uno il contatore delle iterazioni, k=1; II. generazione della direzione fattibile. Si risolve il problema di programmazione lineare: = ( ) = Il problema equivale alla minimizzazione della approssimazione lineare di f(x) nel punto x k data da: ( ) = + ( ) Una volta eliminati i termini costanti. Esso può essere risolto con i semplici e ben noti algoritmi di ottimizzazione con vincoli e funzione obiettivo lineari. La direzione in discesa sarà: h = III. ricerca monodimensionale. Si cerca il valore del parametro θ che minimizza la funzione di una sola variabile ( + h ): = + h 0 1 IV. calcolo del nuovo punto, ottenuto come: = + h V. test di arresto. Se > ci si arresta; altrimenti si aggiorna il contatore delle iterazioni, k=k+1, e si ritorna al secondo punto. Tale algoritmo tende sempre a produrre piccole variazioni nei flussi e nei costi; tuttavia, è possibile dimostrare come esso converga alla soluzione corretta. La velocità di convergenza dipende dal livello di congestione della rete e dal parametro di dispersione: questo suggerisce un uso dell EQUI per reti poco o mediamente congestionate; analizzando i risultati dei test effettuati, si è notato in realtà, che per la rete presa in considerazione, tale metodo risulta essere il più efficace. In riferimento alla [d] (vista nella trattazione dell algoritmo di Frank-Wolfe) il software, per determinare il peso da applicare al volume di ogni iterazione stima un valore λ (µ k ) che varia tra zero e uno. Pagina 73

75 Passando al modello di assegnazione incrementale, l analista ha la possibilità di frazionare la matrice di domanda T in un numero di matrici n mediante una serie di fattori p n compresi tra zero ed uno, tale che n p n =1. Le matrici frazionate vengono quindi caricate, secondo una procedura incrementale, sugli alberi di minimo costo che di volta in volta vengono calcolati in base ai costi d arco provenienti dai precedenti flussi accumulati. L algoritmo può essere descritto come segue: viene selezionato un insieme iniziale di costi d arco correnti, solitamente in condizioni di flusso libero, e si pongono tutti i flussi Va=0 ; quindi si seleziona un insieme di fattori p n di frazionamento della matrice T dei viaggi tali che n p n =1 e si pone n=0 ; vengono costruiti gli alberi di minimo costo utilizzando i costi correnti; quindi si pone n = n+1; si carica la frazione di domanda T n =p n* T all albero di minimo costo con il metodo tutto o niente in modo da ottenere un insieme di flussi ausiliari Fa, che verranno successivamente sommati, su ogni arco, a quelli derivanti dalle iterazioni precedenti attraverso la: = + quindi viene calcolato un nuovo insieme di costi d arco correnti sulla base dei flussi V. Nel caso in cui non sia stata assegnata tutta la frazione di T si ritorna al secondo passo, in caso contrario il processo si arresta. Questo metodo presenta alcuni vantaggi interessanti, legati alla facilità di programmazione ed alla possibilità di interpretare i risultati come un accumulo di congestione nei periodi di punta. Di contro, anche se il numero di frazioni in cui è stata suddivisa la domanda risultasse molto ampio e di conseguenza con incrementi molto piccoli non è detto che l algoritmo stesso sia in grado di raggiungere l equilibrio del sistema. Lo svantaggio principale di tale tecnica incrementale è da attribuirsi al fatto che un flusso assegnato ad un arco non può più essere rimosso dallo stesso e assegnato ad un altro. Di conseguenza quindi, pensando per esempio a dei possibili archi con capacità limitata, se si assegnasse un valore di flusso superiore alla capacità stessa dell arco (per esempio già nelle prime iterazioni) le condizioni di equilibrio non potrebbero mai essere raggiunte. Inoltre la discrezionalità nella scelta dei pesi da parte dell analista suggerisce che tale metodo dia come risultato valori molto diversi a parità di dati di partenza, rendendolo quindi potenzialmente poco attendibile. Pagina 74

76 Il terzo metodo è un metodo attraverso il quale si cerca di sopperire ai problemi individuati nel caso precedente, dovuti alla eccessiva assegnazione di flusso ad archi con capacità ridotta. Attraverso l algoritmo MSA visto in precedenza nella trattazione del modello di assegnazione SUE, ed utilizzato in questo metodo, il flusso corrente viene assegnato come combinazione lineare dei flussi assegnati nelle precedenti iterazioni e del flusso ausiliario, determinato attraverso l assegnazione nell iterazione attuale. I passi determinanti di tale algoritmo, riconducibili alla trattazione vista in precedenza, possono essere descritti come segue: viene selezionato un insieme iniziale di costi d arco correnti, solitamente in condizioni di flusso libero, e si pongono tutti i flussi =0; quindi si pone n=0; vengono costruiti gli alberi di minimo costo utilizzando i costi correnti; quindi si pone n=n+1; si carica la matrice T all albero di minimo costo in modo da ottenere un insieme di flussi ausiliari F a ; viene calcolato il flusso corrente : = (1 ) +,con ϕ =1/k, compreso tra 0 e 1 quindi viene calcolato un nuovo insieme di costi d arco correnti sulla base dei flussi. Nel caso in cui non sia stata assegnata tutta la frazione di T si ritorna al secondo passo, in caso contrario il processo si arresta. In alternativa è possibile utilizzare l indicatore δ definito come: = ( ) Dove ( ) rappresenta l eccesso di costo di viaggio su un particolare percorso rispetto al minimo costo di viaggio per quella coppia ij (dove il costo calcolato viene determinato alla fine dell iterazione n considerata, ottenuti i flussi totali per ogni arco),e rappresenta la distanza tra il valore determinato alla n-esima iterazione e il valore di equilibrio. Infine come ultima alternativa è possibile stabilire un punto di arresto settando il numero massimo di iterazioni, andando comunque a calcolare, per ognuna di esse il valore di δ, in modo da conoscere quanto ognuna delle stesse si avvicini all equilibrio. In definitiva, questo metodo di assegnazione, può richiedere un elevato numero di iterazioni per il raggiungimento di una soluzione corretta; di conseguenza, risulta poco auspicabile l imposizione di un numero massimo di iterazioni da svolgere, in quanto la soluzione corretta potrà essere Pagina 75

77 raggiunta sia prima del limite, ma anche dopo (il che indurrà in questo caso un nuovo ciclo di iterazioni). Il quarto metodo di assegnazione, quello per iterazioni successive, utilizza un algoritmo di calcolo usato per ottenere l'approssimazione di una soluzione partendo dal problema iniziale attraverso un numero teoricamente infinito di passi. Questo metodo iterativo, partendo da una stima iniziale, passa attraverso approssimazioni successive che convergono alla soluzione esatta solo in senso limite. L ultimo metodo, infine, utilizza la cosiddetta media pesata o ponderata. Nella media aritmetica ponderata, i singoli valori, prima di essere sommati vengono moltiplicati per il relativo peso (ponderazione) a loro assegnato. Il peso di ciascun valore è in genere rappresentato dal numero di volte in cui i valori figurano (frequenza), ma può significare anche l'importanza (oggettiva o soggettiva) che il singolo valore riveste nella distribuzione. La divisione di conseguenza non viene fatta con il numero di valori, ma con la somma dei pesi. Nel modello considerato i pesi vengono attribuiti in funzione dell importanza data ad ogni iterazione dall analista; anche se tendenzialmente i pesi da attribuire possono avere i medesimi valori tra i diversi progettisti, questo induce una certa soggettività nella simulazione, che quindi può ritornare valori molto differenti a parità di dati di ingresso, ma con analisti diversi. Inoltre è da tenere in considerazione che l analista non solo ha la facoltà di attribuzione dei pesi, ma anche del numero di iterazioni che il modello deve effettuare. La valutazione potrà essere fatta solo all ultima iterazione, e quindi in conseguenza anche delle criticità viste precedentemente, questo metodo viene di rado utilizzato. Dal punto di vista dell assegnazione, elemento importante risulta essere la curva di deflusso. Questa rappresenta essenzialmente il legame tra flusso (o flusso/capacità) e velocità media di deflusso. Il ricorso all uso di queste curve è richiesto per poter effettuare la rappresentazione dei costi di arco. È fondamentale che tali curve di deflusso possiedano alcune principali caratteristiche quali: essere realistiche, cioè la modellazione del tempo di viaggio dovrebbe essere veritiera; essere continue e differenziabili; permettere l esistenza di un campo di sovraccarico, cioè non dovrebbero generare tempi infiniti anche quando il flusso superi il valore della capacità. Se così non fosse si potrebbe avere un interruzione nella procedura di calcolo; essere facilmente trasferibili tra i diversi contesti; usando quindi parametri standard dell ingegneria del traffico quali: velocità a flusso libero, velocità, ecc.. Pagina 76

78 Tra le diverse possibili curve, le più utilizzate, in quanto meglio rappresentanti il livello di congestione, sono le curve BPR, descritte dalla relazione = (1 + ( ) ) di cui di seguito ne viene dato un esempio grafico. Il comportamento descritto da tali curve è necessario per poter garantire l esistenza e l unicità delle condizioni di equilibrio ottenibili con i modelli di assegnazione. In realtà, nel lavoro di tesi affrontato, dovendo rispondere alle richieste effettuate dall azienda, si è preferito l utilizzo di curve di deflusso determinate sulla base di studi e analisi dei progettisti della stessa azienda. Tali curve infatti rappresentano in modo molto più pertinente il reale andamento e comportamento del flusso veicolare della rete in relazione alla tipologia stradale presente. Di seguito ne viene rappresentato un esempio Velocità [km/h] Rapporto Flusso/Capacità [%] Pagina 77

79 Numero di iterazioni nel loop Analyst Il numero di iterazioni all interno del loop Analyst è un valore importante da indagare in quanto influisce sia in termini di precisione del risultato ottenuto, sia di tempistiche nel processo di calcolo. All aumentare infatti del numero di iterazioni è possibile ottenere una migliore qualità della stima dei risultati; in realtà, raggiunto un determinato valore di tale numero, il vantaggio generato nell aumento di qualità dei risultati tende a vanificarsi, a fronte di un continuo aumento nelle tempistiche di calcolo.un primo valore testato è stato quello pari a due iterazioni in quanto VOYAGER (solo per questa applicazione) utilizza ancora la piattaforma TRIPS; in questo modo è stato possibile ricondurre il risultato a ciò che si otteneva attraverso la vecchia piattaforma, e in funzione di questo effettuare dei confronti tra i risultati; quindi si è passati all utilizzo di un secondo valore, pari a quattro iterazioni, indicato dagli esperti come il valore ottimale per tempi di calcolo e bontà del risultato. Infine si è optato per l uso di un terzo valore, pari ad otto iterazioni, attraverso il quale si è cercato di identificare il limitato incremento nella qualità dei risultati a fronte di un elevato incremento del tempo di calcolo.effettuati tutti i test necessari, avvalendosi dell ausilio di parametri calcolati nel modello o trattati e rielaborati all esterno della piattaforma VOYAGER (coefficiente di determinazione, il GEH e l errore standard ) si è verificato che il valore che meglio potesse soddisfare gli obiettivi prefissati in termini di qualità-tempo fosse, come già preannunciato dagli esperti del settore, quello relativo alle quattro iterazioni PRIMA CONFIGURAZIONE: LOOP ANALYST 2 ITERAZIONI SECONDA CONFIGURAZIONE: LOOP ANALYST 8 ITERAZIONI y = 0.949x R² = y = x R² = Volumi Assegnati Volumi Assegnati Rilievi ERRORE STANDARD:354, Rilievi ERRORE STANDARD:214,6 L utilizzo infatti di sole due iterazioni permetteva una riduzione consistente dei tempi di calcolo, ma di contro, si ottenevano dei valori bassi relativi al e valori alti di se, che ne pregiudicavano l utilizzo. Al contrario, per quanto riguarda le otto iterazioni, i valori di e se risultavano migliori rispetto al caso a quattro iterazioni; gli incrementi sono risultati però limitati in confronto alla potenza e al tempo di calcolo richiesti, e quindi necessariamente scartati. Pagina 78

80 CONTEGGI DI TRAFFICO Non tutti gli insiemi dei conteggi di traffico recuperabili su una rete di trasporto sono idonei alla stima di una matrice. Può capitare infatti che una certa combinazione di conteggi renda impossibile tale procedimento. Per determinare la bontà o meno dei dati in possesso dell'analista, è necessario analizzarli nella loro indipendenza e coerenza. Indipendenza Non tutti i conteggi di traffico contengono la stessa quantità di informazioni. Per esempio, se un conteggio risulta essere la somma di due conteggi in archi della rete ad esso adiacenti, questo porta ad avere informazioni ridondanti e solo due conteggi, tra quelli citati, risultano essere tra loro indipendenti e perciò utilizzabili ai fini della stima. Laddove si può scrivere una equazione di continuità del flusso del tipo flussi in entrata in un nodo uguali a flussi in uscita dal nodo stesso, i conteggi saranno legati da vincolo di dipendenza. In questo caso sarà sempre possibile descrivere un flusso di arco come una combinazione degli altri. Incoerenza Errori di misura e il fatto che spesso i conteggi di traffico sono ottenuti in diversi momenti (ore, giorni, settimane) portano a incoerenze nei flussi. In altre parole, è probabile che le relazioni attese di continuità del flusso non siano soddisfatte. Se conteggi su archi adiacenti ad un nodo, non collegato ad un centroide di zona tramite un connettore, non soddisfano la continuità al nodo stesso (livello di flusso di arco), le equazioni corrispondenti sarebbero incoerenti e nessuna matrice di viaggio potrebbe riprodurre in alcun modo questi flussi. La seconda fonte di incoerenza è la non-corrispondenza tra il modello di assegnazione al traffico (e quindi di scelta del percorso) adottato e i flussi osservati. In queste condizioni non esisterà matrice di viaggio in grado di riprodurre i flussi di arco osservati che utilizzano quel modello di scelta del percorso (livello di flusso di percorso). Come già descritto, per ridurre questo problema si ammettono termini di errore nelle equazioni o si eliminano le incoerenze a priori. Pagina 79

81 Screenline La scelta della posizione e del numero dei rilievi adottati nel processo di stima influisce sul risultato finale in termini di possibilità di realizzazione e sull accuratezza della stima stessa, come già spiegato in precedenza. In letteratura si possono trovare alcune indicazioni sulla scelta dell ubicazione delle screenline: Questo esempio, fornito dal servizio Help di Cube, mette in risalto le tipologie principali di screenline da individuare per l aggiornamento di matrice di un area urbana. Nel caso in oggetto, l area di studio è notevolmente più ampia e la matrice associata richiede quindi un approccio meno particolareggiato nel centro città (nel nostro caso di Milano) e più esaustivo nell ambito della penetrazione nel capoluogo e delle principali arterie di traffico presenti nel territorio. E tuttavia necessario precisare che l area metropolitana milanese (il Comune di Milano, i 38 comuni adiacenti, le province di Milano e Monza e Brianza e parte delle province confinanti) costituiscono l area centrale e più importante nelle simulazioni di traffico ed è quindi richiesta una maggiore definizione rispetto alle zone periferiche del grafo e alle altre provincie. Pagina 80

82 Scelta screenline : La scelta ottimale delle screenline e dei rilievi si pone l obiettivo di intercettare il maggior numero di percorsi tra le coppie O/D della rete lungo linee immaginarie (cordoni) passanti almeno su tutte le strade d ordine superiore e in quante più strade di livello inferiore possibile, in modo da descrivere efficacemente la tipologia di spostamento e creare uno strumento che intervenga in modo coerente sulla matrice aggiornata. E inoltre ottimale intercettare il minor numero di percorsi con ciascun conteggio, per massimizzare la precisione dell informazione fornita nella totalità dei percorsi. Il numero di rilievi e l estensione di una screenline rispecchia in generale il numero di possibili e ragionevoli percorsi colleganti le aree del grafo. Non è raro che sia sufficiente la definizione di un conteggio solo per collegare aree di tipo rurale. In questo caso la screenline può corrispondere a un solo arco della rete, anche se generalmente è costituita da un insieme di conteggi su archi distinti. Un fattore molto importante da considerare è la morfologia del territorio, sia in termini di elementi naturali sia in termini di infrastrutture presenti. Un utile tipo di screenline territoriale è ad esempio fornita da un fiume o una linea ferroviaria, nei cui scavalchi e sottopassi confluiscono tutti i percorsi transitanti sul territorio, intercettando così la totalità dei flussi, ottimizzando la ricerca di informazioni e minimizzando l errore di assegnazione associato alla scelta della screenline stessa. Si deve prestare particolare attenzione a non scegliere archi che siano percorsi in modo consecutivo lungo i principali spostamenti, in quanto il processo di stima andrebbe a concentrarsi sull adattamento dei due flussi adiacenti perdendo la visione globale degli spostamenti. Questo potrebbe influenzare molto la stima dei viaggi brevi a discapito di quelli lunghi, calcolando un numero di spostamenti generati dalle zone limitrofe ai conteggi non coerente con i reali flussi potenzialmente generabili, limitati superiormente in numero dalla popolazione residente nella zona stessa. Difficilmente è possibile individuare la totalità degli archi necessari a completare una screenline in sezioni di archi consecutivi in modo regolare. Se non è possibile trovare conteggi in una particolare zona di passaggio, è a volte possibile intercettare un numero sufficiente di altri conteggi che convoglino i loro flussi nell arco mancante, in modo da recuperare parte dell informazione necessaria. E inoltre possibile che, in base ai criteri utilizzati nella costruzione del grafo, alcuni archi siano in realtà la somma di più direttrici di traffico vicine ed equivalenti in termini di appetibilità di scelta nei percorsi. In questi casi è necessario prestare attenzione all assegnazione del conteggio ad un particolare arco e assegnare piuttosto la somma dei conteggi relativi alle direttrici. Pagina 81

83 Con riferimento al grafo del Centro Studi PIM e alla sua fascia oraria di simulazione (ora di punta del mattino), le relazioni di spostamento prevalenti risultano essere soprattutto radiali verso il capoluogo milanese. Si sono individuate quindi le seguenti Screenline, in relazione anche alla disponibilità dei dati raccolti: interna al sistema tangenziale milanese, al fine di calibrare correttamente la penetrazione in ingresso alla città; esterna al sistema tangenziale milanese, a cordone dei comuni di prima cintura ; perimetrale al grafo di rete. L utilizzo di screenline concentriche a Milano implica un trattamento uniforme del territorio in tutte le direzioni. Analizzando però l urbanizzato e i flussi di traffico sulla rete si è giunti alla conclusione che la particolare configurazione del hinterland milanese conferisca un peso maggiore, in termini di popolazione e spostamenti, alla zona Nord ed Est del capoluogo. Pagina 82

84 Si è quindi sperimentato l utilizzo di altre screenline, in modo da descrivere più efficacemente la disomogeneità del territorio in oggetto di studio: secante il grafo Est-Ovest a Nord di Milano, per calibrare le aree di intensa aggregazione più prossime al capoluogo; secante il grafo Nord-Sud a Est di Milano, che segue il corso del fiume Adda, per descrivere la diversa concentrazione e i diversi volumi di traffico delle aree ed Ovest ed a Est del fiume; Pagina 83

85 Infine si è anche provato a dare un sovrabbondanza di dati al processo di stima, ovvero tutti i dati disponibili e recenti nel database, identificati da archi di colore rosso nella figura seguente. I flussi di traffico utilizzati sono contenuti all interno della banca dati del Centro Studi Pim, si tratta di rilievi effettuati in occasione di lavori di aggiornamento ed elaborazione di Piani Urbani del Traffico o Studi di Fattibilità, o messi a disposizione dagli Enti gestori delle strade: Province di Milano e di Monza e Brianza (e relativi Comuni) Regione Lombardia; Provincia di Novara; Autostrade per l Italia; Autostrade Milano Serravalle Milano Tangenziali S.p.A. Nella banca dati del Centro Studi PIM, i dati sono organizzati sotto forma di database, comprensivi di shape file associato per l individuazione della posizione tramite la visualizzazione georeferenziata dei rilievi e del grafo. Pagina 84

86 Procedura di estrazione del conteggio Ogni sezione di rilievo è individuata sullo shape file tramite un codice della stazione e un simbolo di visualizzazione grafica georeferenziato, con database annesso. Con tale codice si selezionano i dati disponibili sui database dei conteggi, indicando il giorno (se possibile più giorni) del rilievo. Solitamente si selezionano da 1 a 3 giorni consecutivi centrali alla settimana in periodo scolastico (secondo la disponibilità, da Martedì a Giovedì) e relativamente lontani a giorni di vacanza (evitando settimane in cui ricadono feste di pochi giorni e mesi in cui vi sono i grandi esodi per le vacanze). Una volta estratto il dato si verifica la corretta interpretazione della direzione dei flussi di traffico, controllando il riferimento dato dalla fonte (es: ascendente rispetto alla chilometrica, discendente rispetto la chilometrica, carreggiata Nord, carreggiata Sud, ecc.). Con il dato di conteggio, la direzione dei flussi rilevati e la localizzazione del rilievo, si può infine compilare il database necessario all inserimento nel grafo di offerta delle screenline Database Screenline: Le informazioni da fornire al pacchetto Highway per l assegnazione delle matrici e il confronto tra flussi assegnati e flussi conteggiati sono richiamate, all interno dello script del pacchetto, dal database degli archi del grafo. A questo database si deve quindi unire un altro contenente tutte le informazioni dei conteggi utili non solo al mero calcolo ma anche all identificazione e all organizzazione dei conteggi stessi. La nostra scelta è stata quella di creare, dopo un vasto lavoro di raccolta dei dati, un database contenente i seguenti campi: A: nodo di partenza dell arco conteggiato; B: nodo di fine dell arco; RIL_ORA: valore relativo al flusso rilevato, espresso in veicoli/ora; RILEQ_ORA: valore espresso in veicoli equivalenti ottenuto applicando fattori moltiplicativi per i vari tipi di veicolo; RIL_TGM: valore rilevato di traffico giornaliero, mediato su più giorni. SEZIONE: nome attribuito alla sezione di rilievo contenente informazioni sul codice della strada, la località o la chilometrica, la direzione del senso di marcia, l anno di esecuzione del rilievo; SCRN: numero attribuito al singolo rilievo necessario alla sua identificazione nel processo di assegnazione HIGHWAY e nel processo ANALYST; CONFIDENZA: livello di confidenza associata al rilievo; SCRN_DIR: identificazione automatica (impostata tramite script) della direzione del rilievo rispetto al centro dell area di studio, ovvero di Milano, con l associazione ad un numero dispari o pari del campo SCRN un valore rispettivamente IN o OUT. Pagina 85

87 Confidenza associata ai conteggi: Il livello di confidenza associato ai conteggi rappresenta l affidabilità del dato in termini di rappresentazione della situazione reale dei flussi di traffico sulla rete in oggetto e rispetto agli altri conteggi. Indica il peso dell informazione associata al conteggio nella funzione obiettivo del processo di stima. Esso dipende evidentemente dal periodo di esecuzione del conteggio, in quanto il dato del flusso di traffico è in continua evoluzione nel tempo. Essendo però questo dato difficilmente disponibile su tutti gli archi che realizzano in modo ottimale un cordone e relativi all anno corrente, si ricorre in genere a dati risalenti ad anni passati, in un periodo ragionevolmente prossimo a quello attuale e comunque ancora ben rappresentativo della situazione. Dati selezionati nell ultimo triennio: Se non sono disponibili tali dati si considerano dati relativi al quinquennio o precedenti, considerati con il loro livello di confidenza opportunamente scelto più basso. Anno Rilievo: Confidenza Pagina 86

88 LIVELLI DI CONFIDENZA Definizione delle Macrozone Per definire le macrozone in cui suddividere il grafo, si parte analizzando la conformazione dell area di piano e le tipologie prevalenti di spostamenti presenti. E inoltre auspicabile avere una matrice di domanda ordinata in relazione alle macrozone da individuare, in cui zone vicine geograficamente siano effettivamente vicine anche in valore identificativo. Se non si dispone di una matrice ordinata, come difficilmente può essere una matrice aggiornata ed implementata nel tempo come quella del Centro Studi PIM, è possibile eseguire una rinumerazione andando a definire zona per zona nuovi numeri identificativi. In prima analisi, relativamente al grafo studiato al Centro Studi PIM e alla matrice correlata, si sono individuate 5 macrozone raggruppanti zone di caratteristiche omogenee: il comune di Milano; l insieme dei 38 Comuni dell area metropolitana a cordone di Milano; i Comuni della rimanente provincia di Milano e quelli delle province confinanti ad alto livello di dettaglio di matrice e grafo; le province esterne; le aree esterne all area graficizzata. Pagina 87

89 In conseguenza della disaggregazione del territorio, e dopo aver effettuato una ri-zonizzazione del grafo (in modo che i numeri di zona fossero progressivi da Milano verso l esterno), si è optato per la definizione di un numero di livelli di confidenza che fosse dipendente dal numero di macrozone individuate, e che decrescesse all allontanarsi dal Comune di Milano. In totale è stato possibile definire un numero di macrozone pari a 18, in funzione delle 5 suddivisioni viste precedentemente, più un ulteriore suddivisione in funzione delle caratteristiche del territorio in termini di omogeneità e peso della zona negli spostamenti globali, di dettaglio di rappresentazione e livello di urbanizzazione del territorio. Si è infatti notato che la parte più esterna dell area di piano sul confine della zona graficizzata non contiene la stessa la quantità di informazioni inerenti le infrastrutture e il livello di dettaglio della matrice di domanda. Questa semplificazione modellistica influisce di conseguenza sulla precisione nella determinazione dei flussi che risulta essere minore; inoltre, come già accennato, il territorio risulta essere urbanizzato in modo diverso tra i quadranti Nord-Est e Sud-Ovest. La suddivisione ha permesso inoltre di poter analizzare il comportamento del modello, sull intero territorio, al variare delle confidenze. Senza questa suddivisione infatti, considerando il numero di zone di partenza, l analisi della matrice aggiornata sarebbe stata di difficile realizzazione. Pagina 88

90 Confidenza del dato relativo alla singola cella della matrice L attribuzione di un livello di confidenza alle diverse celle della matrice permette di esprimere e di considerare nel calcolo di stima la bontà residua dell informazione contenuta nella matrice Prior. Questo parametro non dipende tanto dalla datazione della matrice e del dato contenuto ma agisce principalmente sulla risposta del modello in termini di scostamento del risultato dal dato di partenza. Si va quindi ad influire sulla variabilità concessa al dato stimato della cella corrispondente e alla possibilità di cambiare, anche radicalmente, le proporzioni in termini di viaggi delle zone della matrice stimata rispetto alla Prior. Si è sperimentato inizialmente l attribuzione di un unico valore a tutte le celle della matrice O/D, valutando l uso di diversi livelli di confidenza: un valore molto basso, ad esempio pari a 10, può essere utilizzato quando la matrice è considerata ormai poco rappresentativa della situazione attuale nella distribuzione dei pesi delle zone in relazione ai viaggi totali di matrice. In questo caso il risultato ottenuto, in termini di qualità del fitting tra flussi conteggiati utilizzati e flussi simulati assegnando la matrice aggiornata, appare molto buono ma è evidentemente condizionato dalla facilità di modifica della matrice, concessa al programma. Il pericolo che si corre è quello di avere come risultato una matrice completamente diversa da quella di partenza, trovata adattando i soli flussi sulla rete nel modo più semplice. In questo caso deve essere effettuato un controllo relativo al dato stimato, per verificarne la coerenza con le caratteristiche della zona. Un possibile mezzo di controllo è il confronto degli spostamenti stimati con il dato di popolazione e addetti relativo alle singole zone, come spiegato successivamente. O/D PROV ANELLO MILANO 38_COMUNI ESTERNO MILANO PROVINCE MILANO _COMUNI PROV MILANO ANELLO PROVINCE ESTERNO Pagina 89

91 un valore medio, scelto pari a 50 in relazione alla confidenza minima attribuito ai rilievi più datati utilizzati, in modo da attribuire un importanza non trascurabile al valore datato della matrice, lasciando comunque una buona libertà di modifica al programma. O/D PROV ANELLO MILANO 38_COMUNI ESTERNO MILANO PROVINCE MILANO _COMUNI PROV MILANO ANELLO PROVINCE ESTERNO un valore di confidenza pari a 75, più vicino al valore attribuito ai rilievi appartenenti al medesimo anno della matrice O/D (2007), che definisca quindi implicitamente la ancora buona affidabilità della matrice (determinabile in base al periodo, ai dati e ai metodi utilizzati nella sua iniziale realizzazione) e la necessità di solo affinamento del dato già in possesso. O/D PROV ANELLO MILANO 38_COMUNI ESTERNO MILANO PROVINCE MILANO _COMUNI PROV MILANO ANELLO PROVINCE ESTERNO Assegnare diversi valori di confidenza alle celle (o gruppi di celle) è un procedimento complesso sia in termini progettuali, sia in termini realizzativi. Come già descritto, prevede la definizione di macrozone di livello di dettaglio e completezza del dato omogenea a cui attribuire uno stesso Pagina 90

92 livello di confidenza. La configurazione di tali livelli di confidenza è stata affrontata, per il caso della matrice PIM, sulla suddivisione della matrice in 5 macrozone, ottenendo quindi 25 livelli distinti: Alla zona centrale dell area di piano è stata attribuita una confidenza di 80, molto alta, in quanto il livello di affidabilità del dato, per costruzione della matrice prior, era molto alto. E stato considerato ancora molto affidabile il dato delle zone della Provincia di Milano, attribuendo un valore di 75. Si è deciso inoltre che le zone descritte con maggior dettaglio delle provincie limitrofe, divise dalle zone più esterne, avessero una confidenza ancora abbastanza alta, pari a 60. Le zone esterne infine sono state settate a 50. O/D PROV ANELLO MILANO 38_COMUNI ESTERNO MILANO PROVINCE MILANO _COMUNI PROV MILANO ANELLO PROVINCE ESTERNO La scelta di questi valori è stata compiuta nell ottica di mantenere il più possibile alto il livello di confidenza della matrice in modo da non permettere al modello di modificare eccessivamente il valore di singole celle sparse, utilizzate per gestire erroneamente l aggiunta e la diminuzione di viaggi vicino alle screenline. Si è cercato quindi di indurre il modello a considerare una modifica più lieve di vaste zone, lasciando più libertà di azione nelle aree esterne, dove l informazione contenuta in matrice è meno dettagliata ed esaustiva. Pagina 91

93 Confidenza dei Trip-End Per quanto riguarda i Trip-End, ovvero i margini della matrice, si sono sperimentate diverse configurazioni mantenendo la confidenza della matrice come la configurazione ottimale derivante dalle considerazioni precedenti. Il programma necessita la realizzazione di un particolare formato per l attribuzione dei livelli di confidenza dei Trip-End: Columns Type Content 1-10 Integer Zone Number Real Generations Unse Real Attractions Integer Confidence Level for Generations Integer Confidence Level for Attractions In prima analisi si è andati ad attribuire un valore che fosse superiore a quello utilizzato per la matrice, ma comunque uguale per tutti i Trip End, sia in origine che in destinazione. Questa scelta è stata fatta in funzione della considerazione che il totale degli spostamenti generati e attratti dalle zone può avere, come dato, un attendibilità e una reperibilità maggiore rispetto ai valori di ogni singola cella, indicanti la ripartizione ad esempio di questi spostamenti verso o da tutte le zone disponibili: O/D PROV ANELLO MILANO 38_COMUNI ESTERNO Trip End MILANO PROVINCE generati MILANO _COMUNI PROV MILANO ANELLO PROVINCE ESTERNO Trip end attratti Pagina 92

94 Per completare l indagine sulla valenza dell input Trip End nel processo di stima si è testata la risposta del sistema a valori di confidenza dei Trip End molto bassi per tutte le origini e destinazioni, come nel caso che si può verificare quando il margine della matrice non è altro che la mera somma delle informazioni disaggregate delle singole celle: O/D PROV ANELLO MILANO 38_COMUNI ESTERNO Trip End MILANO PROVINCE generati MILANO _COMUNI PROV MILANO ANELLO PROVINCE ESTERNO Trip end attratti In una seconda fase si è invece andati ad attribuire valori diversi di confidenza in merito alle variazioni temporali delle entità. Si sono andate quindi a ricercare queste informazioni soprattutto per le zone centrali dell area di piano, di importanza primaria nell ambito delle simulazioni, per le quali il Centro Studi PIM ha realizzato vari Studi di Fattibilità e Piani Urbani del Traffico. Si è quindi studiata una configurazione specifica per la matrice del Centro Studi PIM: O/D PROV ANELLO MILANO 38_COMUNI ESTERNO Trip End MILANO PROVINCE generati MILANO _COMUNI PROV MILANO ANELLO PROVINCE ESTERNO Trip end attratti Si è cercato di mantenere il livello di confidenza del Trip End abbastanza basso, in quanto l informazione della matrice PIM scaturisce dalla sola somma dei viaggi in matrice. In relazione anche al dato di confidenza della matrice, si è cercato di controllare l operato del modello in modo Pagina 93

95 da non modificare eccessivamente i pesi di ciascuna macrozona, lasciando il totale dei viaggi comunque modificabile. UTILIZZO DELLA MATRICE DEI COSTI (SKIM) Per implementare la matrice dei costi nel processo di stima è necessario cambiare molte impostazioni del catalogo su cui non è possibile agire tramite chiavi e numerosi script e si è quindi realizzato un catalogo Analyst di stima a parte, di forma e visualizzazione uguale al precedente. Confrontandolo con i tempi classici di stima senza la matrice skim, ci si accorge dell entità del peso di tale elemento all interno del processo stesso. Infatti, utilizzando la matrice skim (assieme a prior, conteggi e trip end), i tempi di calcolo diventano molto lunghi: il processo medio di stima della matrice dura circa 6 ore contro i 50 minuti della durata media del processo con i soli dati di input prior, conteggi e trip end. Questo è dovuto fondamentalmente a due motivi: il primo è che nel caso di utilizzo della matrice di skim il numero di iterazioni (>400) necessarie al raggiungimento dei parametri obiettivo aumentano, contro le circa 40 del processo standard; il secondo è dato dalla matrice Hessiana, la cui elaborazione (molto più complessa che in precedenza) rappresenta una componente importante del tempo di calcolo. L introduzione della matrice dei costi nel processo di stima permette la definizione dei flussi anche di quelle celle il cui contenuto risulti essere inizialmente nullo. Questo può avvenire in quanto il programma, durante il processo di assegnazione della matrice dell iterazione corrente nel loop, estrae il costo generalizzato del migliore percorso tra le coppie O/D e lo tiene in considerazione durante ogni singola iterazione del processo Analyst, memorizzando l informazione nell apposita matrice dei costi inserita come input nel pacchetto. Alla matrice dei costi deve essere applicata una matrice, delle stesse dimensioni, del livello di confidenza relativo al dato, che indica il peso di questo termine nella funzione obiettivo. Essendo lo scopo principale quello di stimare le celle della matrice Prior in partenza nulle, si è pensato di attribuire ai costi dei percorsi relativi a coppie O/D non nulle (in termini di viaggi) della matrice Prior (e successivamente delle matrici delle iterazioni correnti) un livello di confidenza pari a 0 e alle altre (quelle indagate) un livello di confidenza non nullo ma relativamente basso, in modo da limitare l attribuzione dei viaggi nel processo di stima ponendo tali parti complessivamente di poco rilievo nella funzione obiettivo di stima. Il problema principale nell utilizzo di tale matrice è da ricercarsi nel fatto che, nonostante si possa agire sulla totalità della matrice assegnando viaggi anche dove inizialmente non venivano attribuiti, esiste la possibilità che i flussi vengano attribuiti in maniera errata a determinati percorsi per il solo motivo di risultare più vantaggiosi di altri e quindi che tali modifiche non rappresentino in maniera corretta la realtà. Ad esempio, considerando l attribuzione di viaggi ad una relazione O/D in precedenza nulla, è necessario controllare che non sia eccessiva in relazione ai dati di popolazione / addetti e che sia, in ultima analisi, verosimile. Pagina 94

96 APPLICAZIONI E RISULTATI REPORT DELLA REGRESSIONE LINEARE Report Per verificare le ipotesi concernenti i parametri del modello si ricorre alla regressione lineare e all estrazione del coefficiente di determinazione elaborando il report creato dal modello. In statistica, il coefficiente di determinazione, (più comunemente ), è una proporzione tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato. Non esiste una definizione concordata di. Nelle regressioni lineari esso è semplicemente il quadrato del coefficiente di correlazione: = = 1 con: = ( ) è la devianza spiegata dal modello (Explained Sum of Squares); = 2 =1 è la devianza totale (Total Sum of Squares); = = ( ) è la devianza residua (Residual Sum of Squares); dove: sono i dati osservati; è la loro media; sono i dati stimati dal modello ottenuto dalla regressione. Pagina 95

97 Se l' è prossimo ad 1 significa che i regressori predicono bene il valore della variabile dipendente in campione, mentre se è pari a 0 significa che la stima risulta poco significativa. Il non può essere utilizzato per affermare che: una variabile sia statisticamente significativa; i regressori siano causa effettiva dei movimenti della variabile dipendente; ci sia una distorsione da variabile omessa; sia stato scelto il gruppo dei regressori più appropriato. Il, o coefficiente di determinazione, è una misura della bontà dell'adattamento (fitting) della regressione lineare stimata ai dati osservati. Euristicamente, il misura la frazione della variabilità delle osservazioni che si è in grado di spiegare tramite il modello lineare. E necessario considerare che: il non misura se effettivamente sussista una relazione (di qualsiasi tipo) tra le e i regressori, ma soltanto fino a che punto un modello lineare consenta di approssimare la realtà dei dati osservati; un modello non lineare, ad esempio, potrebbe meglio rappresentare la relazione tra variabile dipendente e regressori, e presentare un buon potere esplicativo, anche in presenza di un prossimo allo zero. (È possibile dimostrare che aggiungere regressori al modello non può che incrementare il valore assunto dal ; ciò non significa che il modello sia migliore, nel senso che meglio catturi i fattori che concorrono a spiegare la variabile dipendente, ma soltanto che il fitting è stato reso artificialmente migliore. Al fine di correggere la misura di bontà del fitting indicata, in maniera da penalizzare un modello caratterizzato da un gran numero di regressori, certi pacchetti statistici riportano un R² corretto, definito come: = (1 ) Pagina 96

98 È evidente che, al crescere del numero di repressori, 2 in generale decresce, correggendo l'artificiale incremento dell'r². Si può inoltre dimostrare che 2 aumenta, aggiungendo un regressore, soltanto se il valore della statistica t associata al coefficiente di tale regressore (si veda oltre) è maggiore di 1, così che il valore dell'r² corretto è legato alla significatività delle variabili aggiuntive.) Report Errore Standard - se Per avere informazioni anche sulla dispersione del risultato delle stime effettuate durante il processo di aggiornamento, oltre alla determinazione del parametro si è proceduto al calcolo ed all analisi anche dei valori inerenti l errore standard. L'errore standard di una misura viene definito come la stima della deviazione standard dello stimatore. È dunque una stima della variabilità dello stimatore, cioè una misura della sua imprecisione. Se lo stimatore è la media campionaria di n campioni indipendenti con medesima distribuzione statistica, l errore standard sarà: = dove σ è la deviazione standard della popolazione. Nel caso della regressione, utilizzata per la determinazione del parametro, se lo stimatore è un qualunque coefficiente β j dell'equazione di regressione, allora il suo errore standard sarà: = dove S è la radice quadrata della varianza del campione in esame e C jj sarà l'elemento sulla diagonale di ( ) corrispondente al β j. Pagina 97

99 RISULTATI SCREENLINE La scelta della configurazione ottimale di Screenline si è basata essenzialmente sull analisi di diversi parametri quali il, l errore standard, il GEH e il risultato del controllo di individuazione delle relazioni con incremento (o decremento) eccessivo dei viaggi. In questa fase non si sono presi in considerazione i Trip end e la matrice dei costi, si è adottato un livello di confidenza della matrice Prior unico (50) per tutti i test effettuati, in modo da avere risultati confrontabili tra loro in termini di peso della scelta dei rilievi e in cui gli altri parametri non introducessero ulteriori variabilità. Configurazione Screenline 1 Il primo test si è basato sull analisi dei dati risultati derivati dall uso della prima configurazione di screenline, ovvero le tre screenline concentriche a Milano. Dati di input: 296 archi con conteggio suddivisi in: o Screenline Viola: conteggi dall 1 al 107 (perimetrale al grafo) o Screenline Arancione: conteggi dal 108 al 199 (esterna al sistema tangenziale milanese) o Screenline Verde: conteggi dal 200 al 296 (interna al sistema tangenziale milanese) Pagina 98

100 Di seguito viene rappresentato il grafico relativo al confronto dei dati stimati e dati di input e le informazioni dei diversi parametri indagati. Si può notare l entità del e dell errore standard, da confrontare successivamente con quelli relativi alle altre alternative: CONFIGURAZIONE SCREENLINE: 1 IPOTESI y = x R² = Volumi Assegnati Rilievi ERRORE STANDARD: 319,7 Parametri di Report: = ; = 319.7; GEH >5 per il 47% degli archi; GEH >10 per il 23% degli archi; 26 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Prior e Stimata: Pagina 99

101 Configurazione Screenline 2 Il secondo test si è basato sull analisi dei risultati derivati dall uso dello scenario relativo alle cinque screenline. Dati di input: 370 archi con conteggio suddivisi in: o Screenline Viola: conteggi dall 1 al 107 (perimetrale al grafo) o Screenline Arancione: conteggi dal 108 al 169 (esterna al sistema tangenziale milanese) o Screenline Blu: conteggi dal 170 al 181 (dorsale Est-Ovest) o Screenline Gialla: conteggi dal 182 al 273 (dorsale Nord-Sud) o Screenline Verde: conteggi dal 274 al 370 (interna al sistema tangenziale milanese) Da questa analisi ci si è accorti di un miglioramento della qualità dei valori ottenuti. Come è possibile vedere anche dal grafico, di seguito riportato, sia il che l errore standard risultano essere migliori rispetto alla prima configurazione (innalzamento del valore ed abbassamento dell errore standard). Si verifica un lieve aumento del numero di relazioni con un incremento (o decremento) importante dei viaggi e di archi con GEH alto, da verificare caso per caso per accertarsi della verosimiglianza della modifica. Pagina 100

102 CONFIGURAZIONE SCREENLINE: 2 IPOTESI y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 293,9 Rilievi Parametri di Report: = ; = 293.9; GEH >5 per il 42% degli archi; GEH >10 per il 19% degli archi; 30 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Prior e Stimata: Pagina 101

103 Configurazione Screenline 3 Nel terzo scenario, come visto in precedenza, si sono inseriti tutti i valori dei rilievi elaborati per il grafo dell azienda, estratti durante il processo di cernita dei conteggi migliori per la stima. Dati di input: 1277 archi con conteggio suddivisi in: o Screenline Viola: conteggi dall 1 al 107 (perimetrale al grafo) o Screenline Arancione: conteggi dal 108 al 169 (esterna al sistema tangenziale milanese) o Screenline Blu: conteggi dal 170 al 181 (dorsale Est-Ovest) o Screenline Gialla: conteggi dal 182 al 273 (dorsale Nord-Sud) o Screenline Verde: conteggi dal 274 al 370 (interna al sistema tangenziale milanese) o Screenline Rossa: conteggi dal 371 al 1277 (conteggi sparsi sull area graficizzata) I risultati ottenuti hanno permesso un analisi critica dell utilizzo di un numero eccessivo di rilievi. Infatti, guardando anche il grafico seguente, si è notato come il andasse ad abbattersi in maniera consistente rispetto agli altri due casi già analizzati e l errore standard andasse ad alzarsi. Il valore assoluto rimane alto ma, prendendo in considerazione il report restituito dal programma relativo all incremento eccessivo dei viaggi delle relazioni O/D, si è notato come il numero delle relazioni stesse fosse aumentato in maniera più che sensibile. Pagina 102

104 CONFIGURAZIONE SCREENLINE: 3 IPOTESI y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 333,7 Rilievi Parametri di Report: = ; = 333.7; GEH >5 per il 41% degli archi; GEH >10 per il 15% degli archi; 87 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Prior e Stimata: Pagina 103

105 Dall analisi della differenza tra le matrici compresse stimata e prior si è anche notato che il comportamento delle prime due configurazioni è abbastanza simile mentre la terza porta a una eccessiva e radicalmente diversa modifica dell intera matrice, con forti dislivelli e cambiamenti di tendenza. Nell immagine seguente sono mostrate le tabelle delle differenze, in termini assoluti, tra matrice Prior e Stimata e il listato degli elementi sospetti per notevoli incrementi, da controllare singolarmente e confrontare con i dati di popolazione e addetti. E possibile notare come le prime due matrici in alto e i rispettivi incrementi sottostanti sono sostanzialmente simili e mostrano come le prime due configurazioni di screenline abbiano agito sulla matrice di domanda in modo concorde in segno e simile in valore assoluto, come meglio mostrato dai confronti percentuali proposti di seguito, soprattutto nella fascia più interna di Milano (sottomatrice 1-2/1-2). screenline 1 screenline 2 Pagina 104

106 La seconda configurazione di screenline sembra inoltre attenuare alcune modifiche sulle relazioni tra le macrozone centrali del grafo e alzare lievemente le relazioni da e per l esterno, inducendo a pensare che la maggior quantità di dati abbia dato meno libertà al modello di adattare la matrice con modifiche troppo marcate nelle zone centrali. Risulta essere discorde solo nella coppia O/D di macrozone 4/3, riferita agli spostamenti dalla provincia di Milano all anello di province lombarde maggiormente definite nel grafo, dove sono localizzati i rilievi aggiunti. Analizzando e confrontando le differenze tra prior e stimata si è notato che, come è anche evidente dal confronto percentuale nella tabella sottostante, la terza configurazione di screenline ha indotto il modello a implementare modifiche completamente diverse in gran parte della matrice. Molte macrozone infatti hanno modifiche discordi rispetto alle due configurazioni precedenti (9 relazioni su 25), e le modifiche concordi presentano dislivelli notevoli, come nella relazione 1-4 (in azzurro, variata del 40% rispetto alle due precedenti). screenline 3 Seppur caratterizzata da parametri di e non invalidanti, le numerose celle della matrice con modifiche molto importanti e le considerazioni sulle variazioni espresse sopra possono essere sufficienti per reputare poco attendibile la modifica apportata dal modello alla matrice Prior utilizzando la terza configurazione di screenline, verificando quindi la contro produttività dell inserimento di una eccessiva mole di dati di input, come suggerito in letteratura, se non supportata da un ragionamento finalizzato ad eliminare i dati ridondanti e incoerenti. In relazione a quanto visto, si è quindi stabilito che la configurazione ottimale di screenline per l aggiornamento della matrice del Centro Studi PIM fosse la seconda, caratterizzata da parametri lievemente migliori e studiata appositamente per l area di piano in questione. Sono riportate, a titolo di esempio, anche le variazioni sulle matrici compresse in dimensioni 18x18, dove si può notare con maggior dettaglio le modifiche apportate alla matrice dal processo con i diversi input. Anche ad una indagine sommaria è chiara la estraneità del terzo caso, dove le modifiche in valore massimo e minimo (celle rosse e blu) sono posizionate in zone completamente diverse dalle prime due e soprattutto attribuendo a realtà modeste elevati viaggi in entrata o uscita. Pagina 105

107 Screenline 1 Screenline 2 screenline 3 Pagina 106

108 RISULTATI TEST SUL LIVELLO DI CONFIDENZA DELLA MATRICE Matrice confidenza unica bassa CONFIDENZA MATRICE UNICA: 10 y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 226,8 Rilievi Parametri di Report: = ; = 226.8; GEH >5 per il 35% degli archi; GEH >10 per il 15% degli archi; 110 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Prior e Stimata: Pagina 107

109 Matrice confidenza unica media CONFIDENZA MATRICE UNICA: 50 y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 293,9 Rilievi Parametri di Report: = ; = 293.9; GEH >5 per il 42% degli archi; GEH >10 per il 19% degli archi; 28 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Prior e Stimata: Pagina 108

110 Matrice confidenza unica alta CONFIDENZA MATRICE UNICA: 75 y = 0.957x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 322,9 Rilievi Parametri di Report: = ; = 322.9; GEH >5 per il 32% degli archi; GEH >10 per il 11% degli archi; 14 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto Pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Matrice Prior e Stimata: Pagina 109

111 Matrice confidenza ponderata CONFIGURAZIONE MATRICE PONDERATA y = 0.953x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 308,5 Rilievi Parametri di Report: = ; = 308.5; GEH >5 per il 43% degli archi; GEH >10 per il 21% degli archi; 17 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto Pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Matrice Prior e Stimata: Pagina 110

112 Attribuire il valore di confidenza alla matrice, come già detto, corrisponde a dire al programma quanto il numero di viaggi tra le zone sia attendibile o meno e quindi, di conseguenza, di mantenere o variare le relazioni all interno della matrice. All aumentare di tale valore di confidenza quindi si avrà che il modello tenderà a modificare in misura minore i viaggi iniziali. Prendendo in considerazione uno ad uno i parametri visti sopra, all aumentare della confidenza della matrice si può notare come: il tenda a diminuire il proprio valore, mantenendo comunque valori tutti superiori allo 0,9 e quindi tutti potenzialmente idonei; il valore dell errore standard e del GEH tendano ad aumentare; il numero di messaggi di warning tenda a diminuire. Tra questi è da notare che l entità del (pari a 0.97) nella prima ipotesi è tendente all unità e viene raggiunto in quanto la bassa confidenza consente al programma di rielaborare tutte le relazioni all interno della matrice in modo da soddisfare i valori di input derivanti dalle screenline. In realtà, come può essere rappresentato dall elevato numero di warning, è molto frequente l attribuzione eccessiva di viaggi a singole coppie O/D, che porta ad un disequilibrio delle proporzioni tra le zone della matrice. Infatti si potrà assistere ad un incremento dei viaggi su alcuni percorsi, solitamente brevi e di basso costo generalizzato, al solo fine di far corrispondere i flussi assegnati a quelli rilevati. Risulta quindi evidente come alti valori del parametro siano una condizione necessaria ma non sufficiente a garantire una buona qualità della stima e possono essere frutto della potenza di calcolo del programma e del grado di libertà concessa nella modifica della matrice Pior. Al contrario, bassi valori di questo parametro sono sintomo in modo inequivocabile della presenza di errori o lacune nella struttura del modello o nei dati di partenza del processo, che invalidano quindi il risultato della stima. Al fine di evidenziare in maniera più esaustiva, rispetto ai parametri già precedentemente indagati, il comportamento del modello, si analizzano le matrici risultanti dai vari processi tramite la differenza del numero di viaggi nelle matrici stimate e prior delle singole macrozone e il confronto del relativo dato percentuale, in modo da evidenziare le differenze tra i risultati e le criticità in funzione dei dati di input inseriti. Confidenza unica 10 Confidenza unica 50 Pagina 111

113 Confidenza unica 75 Confidenza ponedrata Analizzando la matrice relativa al caso di bassa confidenza unica si può notare come il modello tenda a soddisfare i dati di input relativi alle screenline, dando poca importanza alle relazioni O/D della Prior. In questo caso infatti la maggior parte delle celle della matrice considerata, confrontata con le altre due ipotesi, evidenziano variazioni molto più marcate. Si prenda ad esempio il caso indicato dalla cella azzurra (2-2) nei confronti percentuali: nell ipotesi di valore di confidenza basso si assiste ad una variazione percentuale rispetto alla Prior del 21%, mentre nelle tre restanti ipotesi, il valore si aggira attorno all 10%. Nei tre restanti casi, quindi, si assiste ad una generale e coordinata variazione del numero di viaggi sia in termini di segno che quantità. Confidenza unica 10 Confidenza unica 50 Confidenza unica 75 Confidenza disaggregata Pagina 112

114 Questo, avvallato inoltre da test su ulteriori valori di confidenze qui non riportati, ha quindi permesso di considerare poco controllabile e di conseguenza poco attendibile il caso a confidenza bassa, il quale non permette una realistica trattazione delle relazioni tra le diverse zone, soprattutto per matrici le cui proporzioni in termini di viaggi sono ancora abbastanza coerenti alla realtà. Confrontando infine le matrici inerenti i pesi di incidenza delle varie zone, si è notato come il modello tenda in generale a mantenere i medesimi pesi di quelli calcolati dopo la compressione della matrice Prior, concentrando principalmente le differenze nelle macrozone al di fuori di Milano e della cerchia dei comuni limitrofi, soprattutto nel caso di bassa confidenza di matrice. Confidenza unica 10 Confidenza unica 50 Confidenza unica 75 Confidenza disaggregata La presenza di sensibili variazioni nei pesi delle zone rispetto al totale sarebbe stato un campanello d allarme per il processo. Il fatto che non ci siano grandi differenze in questo tipo di controllo tra le diverse ipotesi indica essenzialmente che il modello si è comportato in modo tale da mantenere circa i medesimi pesi che si avevano nella matrice Prior, nonostante le modifiche apportate abbiano generato differenze anche sensibili, in termini assoluti, dei viaggi. La matrice di livelli di confidenza disaggregati, che tiene conto in maniera diversa dei diversi livelli di affidabilità del dato, presenta variazioni coerenti con la tendenza vista per i due casi a confidenza unica media ed alta, con valori di incidenza molto simili a quelli determinati con la Prior, buoni valori di, del (errore standard), del GEH e basso numero di warning. Pagina 113

115 RISULTATI TEST SUL LIVELLO DI CONFIDENZA DEI TRIP END Trip end confidenza unica alta CONFIDENZA TRIPEND UNICA: y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 302,4 Rilievi Parametri di Report: = ; = 302.4; GEH >5 per il 46% degli archi; GEH >10 per il 22% degli archi; 13 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto Pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Matrice Prior e Stimata: Pagina 114

116 Trip end confidenza unica bassa CONFIDENZA TRIPEND UNICA: y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 286,9 Rilievi Parametri di Report: = ; = 286.9; GEH >5 per il 45% degli archi; GEH >10 per il 22% degli archi; 16 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq /ora Confronto pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Prior e Stimata: Pagina 115

117 Trip end confidenza ponderata CONFIDENZA TRIPEND: PONDERATA y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 296,6 Rilievi Parametri di Report: = ; = 296.6; GEH >5 per il 45% degli archi; GEH >10 per il 22% degli archi; 13 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq /ora Confronto Pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Matrice Prior e Stimata: Pagina 116

118 Andando ad effettuare un analisi dei risultati ottenuti è possibile vedere come le differenze tra i diversi livelli di confidenza indagati non abbiano modificato le proporzioni in termini di viaggi tra le macrozone, ad indicare quindi che il processo apporta lievi modifiche in relazione alla totalità degli spostamenti di matrice. Sono di seguito riportate le matrici dei pesi delle macrozone stimate: confidenza 90 confidenza 10 confidenza ponderata Un analisi più approfondita, in grado di fornire qualche informazioni più significativa, può essere effettuata con il confronto tra le matrici create nel controllo implementato nel programma. Da questa analisi è stato infatti possibile notare come al variare della confidenza dei Trip End si avesse un comportamento nei valori delle matrici coerente con ciò che si era previsto durante la trattazione delle confidenze stesse. Nel caso di livello di confidenza ai Trip End alta, in sostanza, si è assistito ad una redistribuzione dei viaggi della matrice Prior lungo le righe e le colonne. Si è infatti notato che i margini e il totale della matrice delle differenze assolute Prior- Stimata, calcolati in automatico, sono in tale caso i più bassi rispetto agli altri livelli. Questi infatti indicano la somma della variazione su righe e colonne e intuitivamente, portano l informazione della variazione del totale delle righe e colonne. Questa deduzione è confermata anche dall analisi delle differenze percentuali su ciascuna macrozona, dove la matrice a confidenza 90 possiede i valori più vicini allo zero. Emblematico è il caso della prima colonna nelle matrici delle differenze assolute: si vede infatti che la variazione margine è nettamente maggiore nel caso a confidenza bassa, con valore di differenze della coppia 1-1 molto basso. Di contro, nel caso a confidenza alta, il margine di matrice risulta di molto diminuito a fronte di una variazione decisamente maggiore di viaggi nella coppia sopra citata, come in un tentativo di compensazione. Confidenza 90 Confidenza 10 Confidenza ponederata Pagina 117

119 Nel caso di confidenza dei Trip End bassa, invece, il programma non ha ritenuto di primaria importanza il concordare i nuovi margini di matrice con i dati di input. confidenza 90 confidenza 10 confidenza ponderata Si può notare come le differenze percentuali siano in quasi tutti i casi maggiori rispetto alle altre, sia nelle diminuzioni che negli aumenti, rendendolo, come prevedibile, il caso meno cautelativo. E facile notare come il caso di confidenza ponderata, studiato appositamente per la matrice del Centro Studi Pim dopo queste considerazioni, risulti essere una mediazione tra i due estremi di alta e bassa confidenza caratterizzata da buoni parametri statistici, i cui messaggi di Warning sono stati verificati con esito positivo dal confronto con le informazioni di popolazioni / addetti. Pagina 118

120 RISULTATI MATRICE COSTI UTILIZZO MATRICE DEI COSTI y = x R² = Volumi Assegnati ERRORE STANDARD: 301,8 Rilievi Parametri di Report: = ; = 301.8; GEH >5 per il 37% degli archi; GEH >10 per il 13% degli archi; 18 Warning di celle con variazione maggiore di (+500% / -90%) e di 100 veic.eq/ora Confronto Pesi, in termini di viaggi, delle macrozone sull intera matrice tra Matrice Prior e Stimata: Pesi Prior Pesi Stimata Pagina 119

121 Analizzando i soli parametri statistici di confronto tra dati osservati e stimati dopo il processo di stima, come, e GEH, si potrebbe pensare che il risultato della stima, utilizzando anche la matrice dei costi dei percorsi, sia equiparabile, se non migliore, del caso di partenza del test (Matrice e trip end con confidenze ponderate, caso base). Andando però ad indagare più dettagliatamente le modifiche apportate sulle macrozone della matrice di domanda per ottenere questo risultato, si può subito notare come le due soluzioni siano sicuramente non equiparabili. Pesi caso base Pesi Stimata Analizzando la matrice compressa dei pesi dei viaggi nelle relazioni tra le macrozone della matrice e confrontandola con quella del test precedente si possono notare numerose variazioni nelle relazioni che, seppur di pochi punti percentuali, indicano forti differenze in termini assoluti, che possono essere meglio identificate confrontando le due matrici sottostanti. Caso base Stimata E evidente come le modifiche apportate con il processo testato siano notevoli su quasi tutte le relazioni delle macrozone e, a volte, siano in netto contrasto con il caso base. In tutte le relazioni si verificano esasperazioni degli aumenti e diminuzioni del caso base, spesso riconducibili all introduzione di numerosi viaggi dove la matrice Prior era inizialmente nulla, compensati da diminuzioni delle altre celle. Confrontando ad esempio la colonna 2 si può notare una anomala attribuzione di quasi viaggi, bilanciata da una diminuzione notevole su tutte le altre relazioni della colonna, al fine di riportare la variazione del margine della matrice a livelli simili. Pagina 120

122 Analogamente nella riga 5, la relazione 5-4 bilancia, con una diminuzione di più di viaggi, la variazione del margine di riga 5. Tali modifiche possono essere meglio individuate nella compressione 18x18 sottostante. Caso base Stimata Le variazioni percentuali massime (celle rosse) e minime (celle blu) delle relazioni tra macrozone rispetto a quelle Prior sono, nei due casi, completamente diverse sia in posizione che in valore. Caso base Stimata Pagina 121

123 Per interpretare questo risultato ci si è rivolti anche al supporto tecnico di Cube Voyager. Ne è risultato che l impiego della matrice dei costi è sconsigliato per modelli con grafo a grande scala, come quello del Centro Studi PIM, ma può essere utile per modelli più semplici a scala comunale (microsimulazione) Infatti, con una matrice di domanda molto vasta, le celle nulle possono essere molte, in termini assoluti, e questo può indurre il programma a creare troppe relazioni nuove, sulla base dei soli percorsi, per collimare meglio il dato stimato rispetto al dato di input. Queste modifiche vanno a sbilanciare notevolmente la matrice di domanda e ad incrementare sensibilmente i tempi di calcolo e di assegnazione, rendendo la soluzione ottenuta non accettabile. Pagina 122

124 ASSEGNAZIONE E VALIDAZIONE Dopo lo studio dei comportamenti del processo al variare dei numerosi dati di input nelle successive fasi di definizione del processo stesso, si è ottenuta una combinazione di parametri e scelte idonea al caso pratico in oggetto, ovvero l aggiornamento della matrice relativa alla domanda di trasporto attuale del Centro Studi PIM. Come già accennato nella presentazione dei parametri, si sono scelti come definitivi i seguenti: configurazione SCREENLINE 2, con relativi livelli di confidenza studiati sulla datazione dei conteggi; sottomatrice di confidenza della matrice Prior del caso ponderato, studiata sull affidabilità e sul dettaglio del dato di partenza, più alta nelle zone centrali del grafo e più bassa nelle zone di confine; utilizzo dei Trip End (margini della matrice) come dato di input; livelli di confidenza dei Trip End del caso ponderato, più alta per le origini e destinazioni delle zone centrali del grafo; Non si è utilizzata l informazione dei costi di percorso per il processo di stima in quanto dato di input non adatto alla grandezza della matrice di domanda e del grafo (si rimanda al cap. RISULTATI MATRICE COSTI, pagina precedente). Il processo risulta essere caratterizzato quindi dagli stessi parametri del caso di studio sul livello di confidenza ponderato dei Trip End e si rimanda al capitolo APPLICAZIONE E RISULTATI per la visione del risultato del processo e delle differenze rispetto alla matrice Prior. Una volta effettuata la stima della matrice aggiornata, si verifica che il risultato ottenuto sia accettabile in quanto, come già visto per i casi di confidenze eccessivamente basse, i soli parametri statistici non sono sufficienti a garantire che la soluzione trovata sia una buona soluzione. Infatti è possibile che, per ottenere flussi assegnati molto simili ai rilievi utilizzati come dato di input, il programma modifichi eccessivamente la matrice di domanda e crei una situazione di flussi assegnati non più rispondente alla realtà. Come primo passo si utilizzano rilievi, diversi da quelli utilizzati nel processo di stima, per effettuare un controllo sulla rispondenza dei volumi simulati con i dati di traffico misurati, ovvero la validazione. Si sono individuati altri 50 rilievi, distribuiti nel grafo, in aggiunta a quelli utilizzati nel processo di stima per verificare che i volumi di traffico siano coerenti e verosimili. Pagina 123

125 Per questo confronto si sono estratti conteggi datati 2010, posizionati come mostra l immagine seguente. Per verificare in modo statistico le differenze tra rilievi e flussi assegnati dalla matrice stimata si sono estratti i parametri di e, ottenendo buoni risultati VALIDAZIONE y = x R² = Volumi Assegnati Rilievi ERRORE STANDARD: Pagina 124

126 In seguito si analizza l assegnazione della matrice stimata al grafo di rete stato di fatto, verificando quindi che la simulazione dia un risultato equiparabile al sistema del traffico relativo all ora di punta del mattino di un giorno feriale tipo. Le variazioni nella simulazione della matrice di domanda aggiornata devono poter essere giustificabili da effettivi cambiamenti della rete o della domanda. A questo proposito si possono effettuare test sulle informazioni fornite dalle simulazioni, come ad esempio verificare la verosimiglianza dei tempi medi di percorrenza di determinati spostamenti conosciuti o la scelta di particolari percorsi tra coppie O/D o ancora la velocità media di percorrenza degli archi della rete. Rete assegnata da matrice Stimata Si è inoltre individuato un parametro relativo allo scarto medio tra flussi assegnati e rilevati (utilizzati come Screenline), pari complessivamente al 6% (5% relativo ai soli rilievi più recenti e 2,96% trascurando 3 rilievi con conteggio poco significativo). Per un numero limitato di archi si sono registrati scostamenti maggiori alla media (Tabella riportata in Allegato 1), in molti casi di utilizzo di rilievi non relativi all ultimo anno (considerati quindi con confidenza molto bassa e poco indicativi) e in alcuni casi di rilievi aggiornati. Analizzando questo risultato con il comportamento della rete nell ora di punta del mattino si è notato che gli scostamenti superiori alla media possono essere accettati in quanto, se si analizzano i flussi relativi all ora di punta del mattino in una medesima sezione stradale, in diverse giornate per più periodi dell anno, si osserva una Pagina 125

127 consistente variabilità dei flussi di traffico relativi all ora di punta del mattino a fronte anche di limitate variazioni del traffico giornaliero. A tal proposito, con riferimento alla banca dati del Centro Studi PIM, è stato analizzato il rilievo di traffico effettuato dalla Provincia di Milano (settore Sistema della Viabilità) sulla SP28 Vigentina relativo ai primi otto mesi dell anno (rilievo sperimentale per monitorare la variabilità dei flussi nel lungo periodo). Dall analisi dei dati (vedi tabella e grafici successivi) è emerso una forte variabilità del traffico in relazione a fattori ambientali (come l orario di alba e tramonto). Escludendo le feste, i giorni di sabato e domenica, nelle ore di punta del mattino il flusso di un giorno feriale medio può possedere un grado di variabilità di circa il 20% del flusso stesso pur mantenendo pressoché invariato il traffico giornaliero (variazione 2-6%). Se ne deduce quindi che il flusso dell ora di punta non è una misura fisica, assoluta, ma è una variabile stocastica, caratterizzata da una varianza in certi casi molto elevata e da una forte stagionalità. Fluttuazione ora di punta SP28 dir. Milano Pagina 126

128 Fluttuazione ora di punta SP28 dir. Pavia Situazione analoga è emersa dall analisi dei rilievi sul Sistema Tangenziale Milanese (banca dati del Centro Studi PIM, fonte Milano Serravalle Milano Tangenziali S.p.A.), come riportato nella tabella sottostante. Considerando quindi una variazione come significativa se di entità superioree al 20% - 25%, il 74% di tutti gli archi con conteggio (anche datati) utilizzati nel processo di aggiornamento della matrice rientrano nella variazione presa come riferimento (se si prendono in esame i conteggi relativi all ultimo triennio la percentuale sale al 78% e se si accetta uno scostamentoo del 25% si raggiunge l 87%). Nei casi restanti di variazione superiore alla soglia adottata si è provveduto ad una analisi del dato sulla rete assegnata, verificando che la variazione in termini assoluti di veicoli equivalenti fosse di poco conto rispetto alla capacità della strada stessa e al contesto locale e quindi ininfluente nella totalità della simulazione. Più indicativo quindi sulla qualità della stima è, come già accennato in precedenza, il controllo sull assegnazione della matrice stimata al grafo, su cui si possono effettuare diverse prove sulle informazioni fornite dalla simulazione, ovvero verificare la verosimiglianza della scelta, da parte del modello di assegnazione, di particolari percorsi tra coppie O/D, i tempi medi di percorrenza di tali spostamenti o ancora la velocità media di percorrenza degli archi della rete. Pagina 127

129 Ogni percorso è caratterizzato dal suo costo generalizzato, cioè l insieme di tutti i fattori di disutilità percepiti dall utente, come la distanza, il tempo di percorrenza, il costo monetario associato (eventuale pedaggio). In particolare, il tempo di percorrenza dipende a sua volta anche dai flussi presenti sulla rete, che incidono sulla velocità raggiungibile attraverso le curve di deflusso. Si studia quindi l equilibrio che si instaura sul grafo tra flussi, percorsi e velocità. Per indagare la verosimiglianza della scelta dei percorsi effettuata in sede di assegnazione della matrice stimata al grafo, si sono studiate le principali tipologie di spostamento effettuabili sulla rete in condizione congestionata (30 iterazioni di calcolo nel processo di assegnazione) e scarica (1 iterazione). Particolare attenzione si è prestata al comportamento del modello circa l utilizzo della rete principale (autostrade e superstrade) e della rete secondaria (extraurbana ed urbana), in relazione a specifiche O/D e alla penetrazione al capoluogo milanese. Sono riportate nelle pagine seguenti le immagini relative ai principali percorsi indagati. Analizzando le immagini relative alla scelta dei percorsi a rete scarica (prima iterazione del processo di assegnazione) si verifica la correttezza delle caratteristiche geometriche e funzionali del grafo, in modo da poter poi analizzare, a rete carica, l influenza della sola matrice di domanda in tale processo. Si è appurata quindi la correttezza di utilizzo della rete, verificando l uso di percorsi ragionevoli e verosimilmente utilizzati dall utenza anche negli spostamenti da zone opposte al capoluogo milanese. Si è quindi verificato che la matrice stimata dal processo di aggiornamento non causi, una volta assegnata alla rete, squilibri nei flussi circolanti nel grafo e quindi anomalie ingiustificate nella scelta dei percorsi, a causa della variazione dei costi generalizzati degli stessi. I percorsi indagati risultano, anche a rete congestionata, verosimili per scelta dell itinerario e tempo di percorrenza, come descritto in seguito. Pagina 128

130 Iterazione 1: percorsi da Sud-Ovest Milano a Nord-Est Milano, Milano Centro, ed Est Milano Iterazione 30: percorsi da Sud-Ovest Milano a Nord-Est Milano, Milano Centro, ed Est Milano Pagina 129

131 Iterazione 1: percorsi da Est Milano a Legnano, Sud-Ovest Milano, Nord Milano Iterazione 30: percorsi da Est Milano a Legnano, Sud-Ovest Milano, Nord Milano Pagina 130

132 Sono di seguito riportati ulteriori percorsi di lunga percorrenza. Iterazione 30. Percorsi: MONZA-LECCO (verde), VARESE-COMO (rosso), BERGAMO-VARESE (azzurro), MALPENSA-LODI (viola), LODI-BERGAMO (grigio). Pagina 131

133 Un altro elemento per verificare la coerenza tra la realtà e la distribuzione dei flussi di traffico stimata dal modello di simulazione è la velocità media di percorrenza della rete nella sua totalità e per tipologia. Mediante uno script di calcolo è stata effettuata l elaborazione dei parametri forniti in output dal modello, ossia veicoli equivalenti km e veicoli equivalenti ora, ottenendo di conseguenza la velocità media di percorrenza per : ALL_NET, tutta la rete PRINC_NET, rete stradale principale (autostrade, tangenziali e superstrade) SEC_EX_NET, rete secondaria extraurbana URB_NET, rete secondaria urbana La tabella sottostante riassume le velocità medie di ogni categoria descritta. Le velocità sul grafo assegnato risultano essere verosimili rispetto alla situazione attuale della rete. Per conoscenza diretta, attraverso interviste ad amici e dipendenti del Centro Studi PIM e da informazioni raccolte da servizi apparsi su alcuni quotidiani si sono infine raccolti i tempi di viaggio medi e sono stati raffrontati con quelli forniti dal modello, analizzando la situazione di rete congestionata, ritrovando una buona corrispondenza e verosimiglianza. Pagina 132