Esercizi sulla Teoria della Similitudine

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1 Esercizi sulla Teoria della Similitudine Esercizio A Un compressore è stato progettato per lavorare in condizioni atmosferiche standard (0, ka, 5 C). La velocità di progetto è di 4000 R. Il compressore viene provato a pressione di aspirazione ridotta, un giorno in cui la temperatura atmosferica è di 0 C. -Calcolare la velocità di rotazione del compressore da tenere durante il test. Al punto della curva caratteristica per il quale la portata massica è normalmente di 58 kg/s, la pressione di ingresso durante il test è di 55 ka. -Calcolare la portata massica da tenere durante il test. Soluzione ato che il fluido evolvente è lo stesso in condizioni di progetto e di test, che il compressore è lo stesso nelle due situazioni, possiamo applicare la teoria della similitudine comprimibile e scrivere: ) T T 0 TEST 0 ROGETTO Corso di acchine A.A. 0

2 TEST T0( TEST) 9K ROG R T 88K 0( ROG.) ) m T 0 0 ROGETTO m T 0 0 TEST m TEST T0( ROG.) 0( TEST) kg 88K 55ka mrog. 58, kg / s T s 9K 0 ka 0( TEST) 0( ROG.). Corso di acchine A.A. 0

3 Esercizio B Una stessa pompa centrifuga di cui si conosce il diametro esterno 0,4 m, la velocità di rotazione pari a 570 R, la prevalenza in condizioni normali pari a 40 m e la portata volumetrica pari a 0, m /s, viene fatta funzionare ad una velocità di rotazione di 700 R, mantenendo le condizioni di similitudine di flusso. Come variano la portata e la prevalenza? Soluzione 0 700, 0, m / s 570 g g , 9 m 570 Il punto di funzionamento sul piano φ e ψ resta invariato, mentre il punto sul piano, si sposta. Esercizio C ue pompe centrifughe sono caratterizzate dall essere in similitudine di funzionamento; della prima si conosce il diametro esterno 40 cm, la velocità di rotazione pari a 570 R, la prevalenza in condizioni normali pari a 40 m e la portata volumetrica pari a 00 l/s. ella seconda si conosce il diametro esterno pari a 5 cm, la velocità di rotazione pari a 000 R. Corso di acchine A.A. 0

4 Si chiede di determinare la prevalenza della seconda pompa e la corrispondente portata volumetrica aspirata. Soluzione 0,4 m, 0,5 m, 0, m /s Imponendo l uguaglianza fra ψ e φ si ottengono le seguenti relazioni : l / s g g m Variabile I II 0.40 m 0.5 m 570 rpm 000 rpm 40 m 0.5 m 0.0 m /s 0.00 m /s Il punto di funzionamento sul piano φ e ψ resta invariato, mentre i piani, sono diversi poiché si tratta di due pompe di taglia diversa. Corso di acchine A.A. 0 4

5 Corso di acchine A.A. 0 5

6 Esercizio Un ventilatore opera a 750 giri/min, con 45. m s e sviluppa un carico di 5 mm di acqua, misurato da un manometro ad U pieno di acqua. Viene richiesto di costruire un ventilatore geometricamente simile ma più grande che sviluppa lo stesso carico alla stessa efficienza, ma ad una velocità di 440 R. Calcolare il flusso volumetrico del ventilatore più grande. Le turbomacchine che utilizzano fluidi comprimibili sono per molti aspetti simili alle pompe ed alle turbine idrauliche descritte precedentemente. La differenza principale consiste nella variazione di densità significativa che il fluido subisce dall ingresso all uscita della turbomacchina. Supponendo di poter trascurare la variazione di densità, assunzione lecita per i ventilatori, possiamo applicare la teoria della similitudine incomprimibile. g Δ m s Δp ρ gδ a 6. 8m s Un altro ventilatore in configurazione di progetto opera alle seguenti condizioni: 80 m /s. m Δp T 000a 0 s - 90kW ρ. kg m 6 Corso di acchine A.A. 0

7 Si variano le condizioni di funzionamento e la taglia (Simil. Geom.) nel seguente modo:.5ft0.76m 800 R 88.5 rad s - ρ 0.0slug / ft.85 kg m Verificare se le nuove caratteristiche di funzionamento possono essere dedotte dalla teoria della similitudine per garantire lo stesso livello di prestazioni. I valori dei principali gruppi adimensionali risultano: φ 80 0 (.) (.) ( 0) ξ ρ ( 0) (.) 5 5 ψ g ΔpT 000 φψ η T 0. ρ. ξ a cui si possono dedurre i seguenti valori di prestazione: φ ( 0.76) 7,45m s ( 88.5) ( 0.76) a Δ p T ρ ψ ( 88.5) ( 0.76) 56. kw ξρ η T Δp T Corso di acchine A.A. 0

8 In accordo alla teoria della similitudine il rendimento rimane invariato nel processo di scalatura della macchina. Come verifica aggiuntiva si potrebbe considerare la variazione del Re tra prototipo e modello, usando come valore standard della viscosità cinematica ν0.0006ft /s.496x0-5 m /s. Si ottiene: (.) 7 0 em 0-5 R ν R ( 0.76) ep ν obbiamo adesso verificare che tali valori siano sufficientemente grandi da poter trascurare le differenze ai fini degli effetti viscosi del Re. er questo possiamo utilizzare l espressione per il calcolo del coefficiente di attrito di arcy-weirsbach: λ.0 log 0 ε Re λ Assumendo un valore di rugosità molto piccola e partendo da un valore di primo tentativo dedotto dal diagramma di oody pari a λ 0.08, per iterazioni successive si ottiene: odello (Re0 7 ): λ 0.0 λ 0.06 λ rototipo (Re0.7x0 7 ): λ λ λ λ λ el prototipo le perdite saranno leggermente inferiori per cui le prestazioni ed il rendimento potranno essere superiori. Il rapporto fra i fattori di attrito risulta: λ 4 /λ / (inv 0.7) Corso di acchine A.A. 0 8

9 Esercizio E Una pompa opera a 550 R ed ha le prestazioni mostrate in tabella e figura. Calcolare le nuove prestazioni della pompa se la velocità di rotazione viene portata a: ) 4000 R e a ) 000 R. er configurare le prestazioni di una pompa nel passaggio da una velocità di rotazione ad un'altra la teoria della similitudine stabilisce la variazione lineare di col rapporto delle velocità, e del carico con il quadrato di questo rapporto in condizioni di uguale efficienza. Le nuove prestazioni a 4000 rpm e 000 rpm possono pertanto essere calcolate dalle seguenti: 4000 f. la portata volumetrica scala linearmente con il rapporto delle velocità di rotazione 550 ( f ) f. 7 ( f ) f 4. I risultati relativi a 4000 Rsono tabulati in tabella ; le nuove curve di prestazione sono mostrate in figura.i risultati relativi a 000 R sono tabulati in tabella e figura. antendo ψ, φ e ξ si mantiene la stessa efficienza, η. Corso di acchine A.A. 0 9

10 (m) (kw) Tabella.restazioni a 550 R Fig restazioni a 550 R (m) 4000(kW) (dm) Tabella.restazioni a 4000 R Fig restazioni a 4000 R (m) 000(kW) (dm ) Tabella restazioni a 000R Fig restazioni a 000 R 0 Corso di acchine A.A. 0

11 Esercizio F Una turbina idraulica deve essere progettata per produrre 7 W girando a 9,7 R con un salto geodetico disponibile di 6,5 m. Un modello di una turbina con una potenza in uscita di 7,5 kw e con una prevalenza di 4,9 m deve essere testata in condizioni di similitudine dinamica. ) - Calcolare il rapporto di scala e la velocità di rotazione del modello. ) - Assumendo un'efficienza del modello di 0,88, calcolare il flusso volumetrico attraverso il prototipo Soluzione φ coefficiente di portata g ψ coefficiente di pressione ξ ρ 5 coefficiente di potenza ρ Re umero di Reynolds μ ξ ηt Rendimento ρg Δ φψ S ξ ψ / 5 / 4 ρ T ( g ) 5 4 6,66 ˆ g ηg ξ ηφψ η 5 ( ) ( ) Corso di acchine A.A. 0

12 p , 0, R 5 4 g g 0. 8 Flusso Volumetrico In condizioni di similitudine di flusso l'efficienza del prototipo e del modello sono le stesse, quindi: ηρ g ηρg m / s 0.88x000x9.8x4.9 considerando ancora 9.7 / 55 ( 0.8) m s Corso di acchine A.A. 0

13 Esercizio G Considerare un Boeing 747 che viaggia alla velocità di 550 mi/h e ad un altezza standard di 8000 piedi, dove pressione e temperatura sono rispettivamente 4.6 lb/ft e 90 R. Un modellino di dimensioni pari ad un cinquantesimo viene provato in una galleria del vento in cui la temperatura è 40 R. Calcolare velocità e pressione di test in modo che lift e drag siano gli stessi del volo. Assumere μ ed a proporzionali alla radice della temperatura. Soluzione - si indicano con le condizioni di volo - si indicano con le condizioni richieste per le prove in galleria del vento Conversione al sistema internazionale: Velocità: 550 mi/h (885 km/h) 45.9 m/s ( mi 545 m) uota di volo: 8000 ft 58 m ( ft 0.05 m) ressione: 4.6 lb/ft 0.07 bar 0700 a Temperatura: 90 R 6.7 K (R 5/9 K) er avere gli stessi coefficienti di lift e drag il modello in scala ed il Boing reale devono essere in condizioni di similitudine dinamica, che nel caso di flussi esterni comporta l'uguaglianza dei numeri di ach e di Reynolds. C L f (a, Re) C f (a, Re) Corso di acchine A.A. 0

14 Esplicitando l'espressione del numero di ach nelle due condizioni possiamo scrivere: V V α ; V α a T a V T da cui si deduce la seguente relazione tra temperature e velocità: V T V V V T mi h T T 90 Esplicitando l'espressione del numero di Reynolds nelle due condizioni possiamo invece scrivere: ρ VL μ Re α ρ VL T ; Re ρ VL α ρ VL μ T da cui si deduce la seguente relazione tra i valori delle densità e le dimensioni caratteristiche di jet e modello: ρ VL T ρvl ρ T ρ L V L V T L T L 50 all'equazione di stato dei gas perfetti possiamo ricavare la pressione che deve essere mantenuta in galleria del vento per garantire le condizioni di similitudine: p ρrt ; p ρ RT 4 Corso di acchine A.A. 0

15 da cui: p p T ρ ρ T p 55. p 85lb ft 86 / 6atm. 6atm In definitiva la galleria del vento deve essere pressurizzata e fornire un velocità del flusso di ca. 60 m/s elevata per simulare le reali condizioni di volo in termini di a e Re. Comunque molte gallerie del vento non permettono la pressurizzazione che richiederebbe costi di impianto e di esercizio molto elevati. er garantire comunque le condizioni di similitudine si possono simulare separatamente le condizioni di uguale ach ed uguale Reynolds in gallerie diverse. I risultati ottenuti vengono correlati per ottenere valori plausibili di coefficiente di lift e drag. Corso di acchine A.A. 0 5

16 Esercizio ata la pompa avente come caratteristica di funzionamento quella mostrata in tabella ed inserita nel circuito mostrato in figura, determinare il punto di funzionamento del sistema. ) Supponendo di diminuire il numero di giri del 0% e successivamente di aumentarlo del 5% determinare i nuovi punti di funzionamento del sistema pompa circuito. B B 0.8 m L50 m A C 00 m Caratteristica della pompa Schema del Circuito Soluzione er determinare il punto di funzionamento del sistema pompa-circuito è necessario determinare la caratteristica di funzionamento del circuito; è possibile applicare l'equazione di Bernoulli tra i punti e : z + p c p c ( ) z AB ( ) ( * ) γ + g + + γ + g + Δ Corso di acchine A.A. 0 6

17 ella (*) rappresenta la prevalenza richiesta alla pompa per il funzionamento del circuito alla portata, mentre il termine Δ ( )rappresenta le perdite di carico complessive del circuito. AB Considerando che i punti e si trovano entrambi in condizioni atmosferiche e quindi a pressione ambiente e che la velocità nelle sezioni e può essere considerata trascurabile si ottiene la seguente espressione della caratteristica esterna. ( ) Δ + Δ ( ) AB in cui il termine di perdite di carico può essere espresso come la somma di contributi: ) le perdite di carico distribuite ΔL( ) nell 'intero tratto AB avente una lunghezza L50 m. ) le perdite di carico concentrate per imbocco nella sezione A Δ ( ) ; ) le perdite di carico concentrate nelle sezioni di sbocco ) er le perdite di carico distribuite in via preliminare si può assumere un coefficiente di attrito f0.085 costante (ff(re)) e calcolare le perdite distribuite con la classica relazione: A Δ L L U λ g 8L λ 5 π g.640 ) Le perdite di carico concentrate possono essere espresse dalla seguente relazione: Δ U β COC ( ) 8 β 4 g π g 7 Corso di acchine A.A. 0

18 in cui U 4 π possiamo quindi determinare: e β è il coefficiente di perdita concentrata che vale 0.5 per l'imbocco ed.0 per lo sbocco in un serbatoio; Δ A ( ) 0.5 ( 0.8) 8 π Considerando un divergente allo sbocco (B-) per ridurre la perdita di carico abbiamo: U U B B fissato B ed esplicitando la perdita in funzione di si ottiene : da cui: Δ AB Δ B 4 B ( ) π g ( ) Δ ( ) + Δ ( ) + Δ ( ).755 A B 4 B L e quindi la caratteristica esterna sarà: ( ) Δ + Δ ( ) AB In figura è mostrato l'andamento delle caratteristiche interna ed esterna del circuito; 8 Corso di acchine A.A. 0

19 [m] Curve caratteristiche p [m] c [m] [dm/s] [m] Curve caratteristiche: dettaglio del punto di funzionamento p [m] c [m] [dm/s] Curve Caratteristiche del circuito e della pompa; dettaglio del punto di funzionamento Il punto di intersezione può essere individuato tramite l intersezione di due rette ottenute con interpolazione lineare delle caratteristiche interne ed esterna tra i punti e : E 0dm 08,68m 00,0m 7576dm E 06,8m 00.6m con le seguenti espressioni: + E 75. ( ) ( 00) E E per la caratteristica esterna e 9 Corso di acchine A.A. 0

20 + ( ) 9.9 ( ) per la caratteristica della pompa e determinandone l'intersezione: ( E E ) ( ) ( ) ( ) E E E ( ) 0 + ( ) dm [dm/s] p [m] c [m] Caratteristiche interne ed esterna: valori tabellati Riduzione del 0% del numero di giri In base alla similitudine possiamo scrivere che f Corso di acchine A.A. 0

21 ( f) f ;. ( f) f 0 4 Si possono ricalcolare le prestazioni della pompa Curve caratteristiche [m] p - 00 [m] c [m] p - 70 [m] [dm/s] f 0,700 f 0,490 f 0,4 [dm/s] p[m] [W] 0 5,7 6,4 50 5, 7, ,5 9, , 0,77 48,54, ,8 4,6 89 8,8, ,0,59 Corso di acchine A.A. 0 Caratteristica interna con numero di giri ridotto ed esterna al grafico si osserva che la pompa non è in grado di fornire la prevalenza necessaria a vincere il dislivello tra i due serbatoi, per cui si deduce che in queste condizioni il regolare funzionamento non può essere garantito.

22 Corso di acchine A.A. 0 Aumento del 0% del numero di giri Sempre in base alla similitudine possiamo scrivere:. f ( ) 69. f f ; ( ) 97. f f Il punto di intersezione delle caratteristiche esterne ed interne si sposta e può essere calcolato interpolando linearmente tra i punti e e mettendo a sistema le due relazioni ottenute: m m dm E m m dm E ( ) ( ) dm E E E + + ( ) ( ) ( ) ( ) m E E E E E 78 8.

23 Curve caratteristiche [m] p - 00 [m] c [m] p - 0 [m] [dm/s] f,00 f,690 f,97 [dm/s] p[m] [W] 0 80,9 4, ,78 50, ,70 59, ,56 68, ,4 75, ,5 9, ,9 88,7 6407,05 87,07 Caratteristica esterna ed interna con numero di giri aumentato al 0% Corso di acchine A.A. 0

24 isposizione di due pompe in serie [dm/s] p [m] c [m] p - serie [m] Curve caratteristiche Curve caratteristiche: dettaglio del punto di funzionamento [m] p [m] c [m] p - serie [m] [m] p [m] c [m] p - serie [m] [dm/s] [dm/s] uovo punto di funzionamento: ca. 0, 7.9 m /s 4 Corso di acchine A.A. 0

25 isposizione di due pompe in parallelo [dm/s] p [m] c [m] - parallelo [dm/s] Curve caratteristiche 0 Curve caratteristiche: dettaglio del punto di funzionamento p [m] 09.5 p [m] [m] c [m] - parallelo [dm/s] [m] 09 c [m] - parallelo [dm/s] [dm/s] [dm/s] uovo punto di funzionamento: ca. 09, 6.5 m /s 5 Corso di acchine A.A. 0

26 Esercizio I ati,,. qual è il primo passo da fare quando si vuole progettare una pompa nuova? Soluzione Si calcola la velocità specifica: s ( g) 4 Si ricerca quindi se tra le macchine esistenti ne esiste una caratterizzata dalla stessa velocità specifica al suo punto di massima efficienza e che abbia caratteristiche compatibili con la nuova macchina che deve essere progettata. Se tale macchina viene trovata, il problema si riduce ad una semplice operazione di scalatura della taglia e della velocità in accordo con le equazioni: ; g g per ottenere le prestazioni prestabilite. Corso di acchine A.A. 0 6