che per definizione è legata all ascissa curvilinea dalla relazione differenziale

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1 Esercizio 464. Un problema di cinematica rigida sulle eliche cilindriche Rispetto ad un riferimento Oê 1 ê ê 3 un punto P si muove di moto uniforme lungo un elica cilindrica E di equazione parametrica: P φ O = r cos φ ê 1 + r sin φ ê + h π φ ê 3, φ R, in cui r e h sono rispettivamente il raggio ed il passo dell elica. Un secondo punto Q si muove a distanza costante da P per cui il sistema dei due punti risulta rigido. La velocità angolare istantanea del sistema P Q si assume proporzionale alla velocità istantanea di P, secondo un coefficiente scalare ω indipendente dal tempo. Si chiede di determinare: a l ascissa curvilinea, i versori tangente, normale e binormale, la curvatura e la torsione della traiettoria di P ; b la parametrizzazione della traiettoria di Q in termini della relativa ascissa curvilinea. Soluzione a Ascissa curvilinea, triedro di Frenet, curvatura e torsione dell elica cilindrica Ascissa curvilinea Per calcolare l ascissa curvilinea occorre determinare la derivata prima della parametrizzazione della traiettoria di P : dp dφ = r sin φ ê 1 + r cos φ ê + h π ê3 che per definizione è legata all ascissa curvilinea dalla relazione differenziale ds = dp dφ dφ = r + h dφ = k dφ 4π nella quale si è posto per brevità k = r + h 4π. L ascissa curvilinea risulta perciò proporzionale, come è lecito attendersi, alla variabile angolare φ: s = kφ a meno di una costante additiva arbitraria che si porrà uguale a zero per semplicità e senza perdita di generalità. Triedro di Frenet Il triedro di Frenet in un punto assegnato della curva è specificato completamente dai tre versori tangente, normale e binormale alla curva E nello stesso punto. Il versore tangente è definito da: ˆτ = dp / dp dφ dφ = 1 k r sin φ ê 1 + r cos φ ê + h π ê Stefano Siboni 48

2 La derivata di ˆτ rispetto all ascissa curvilinea si può esprimere indirettamente nella forma: dˆτ ds = dˆτ / ds dφ dφ = 1 k r cos φ ê 1 r sin φ ê = r k cos φ ê 1 sin φ ê dalla quale si deducono il versore normale ˆn = dˆτ / dˆτ ds ds = cos φ ê 1 sin φ ê 464. e la curvatura dell elica 1 ρ = r k nel generico punto considerato. Per il versore binormale si ha infine l espressione: ê 1 1 ê ê 3 ˆb = ˆτ ˆn = k r sin φ r cos φ h/π cos φ sin φ = 1 h k π sin φ ê 1 h π cos φ ê +r ê In conclusione, il triedro di Frenet è individuato dai versori ortonormali: ˆτ = 1 r sin φ ê 1 + r cos φ ê + h k π ê3 ˆn = cos φ ê 1 sin φ ê 1 h ˆb = k π sin φ ê 1 h π cos φ ê + r ê 3. Curvatura La curvatura dell elica è determinata dall equazione 464.3: 1 ρ = r k r = r + h π ed assume quindi un valore costante, indipendente dalla scelta del punto lungo la curva. Torsione La torsione 1/σ è definita dall equazione di Frenet-Serret: Nella fattispecie si ha, ricordando la 464.4, dˆb ds = dˆb / ds dφ dφ = 1 dˆb k = h dφ = dˆb ds = 1 σ ˆn. 1 h k π cos φ ê 1 + h π sin φ ê 1 cos φ ê k 1 sin φ ê = = h 1 π k ˆn π in modo che la torsione risulta 1 σ = h π k ed assume, al pari della curvatura, un valore costante lungo l elica E. Stefano Siboni 49

3 b Traiettoria del punto Q La velocità del punto Q è legata a quella del punto P sull elica dalla formula di Poisson dell atto di moto rigido Q P = ωp Q P in cui la velocità angolare è per ipotesi proporzionale alla velocità di P secondo un fattore scalare costante ω. La stessa relazione può esprimersi nella forma d dt Q P = ω P Q P, che fornisce l evoluzione nel tempo del vettore posizione Q P noto che sia il moto di P. Conviene proiettare il vettore Q P lungo i versori ortonormali del triedro di Frenet e scrivere Q P = α ˆτ + β ˆn + γ ˆb dove i coefficienti scalari α, β e γ sono funzioni del tempo da determinare. Posto s = st e ricordando le formule di Frenet-Serret, il primo membro della diventa d dt Q P = αˆτ + βˆn + γˆb + α dˆτ ds + β dˆn = αˆτ + βˆn + γˆb + [α 1ρ ˆn + β = α ṡ ρ β ˆτ + β + ṡ ρ α ṡ σ γ mentre per il secondo membro della stessa equazione vale ṡ = ds + γ dˆb ds 1 ρ ˆτ + 1 σ ˆb γ σˆb 1 ] ṡ = ˆn + γ + ṡ σ β ˆb ω P Q P = ωṡ ˆτ α ˆτ + β ˆn + γ ˆb = ωṡ β ˆb γ ˆn. Eguagliando il primo ed il secondo membro si ottiene così il sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine omogeneo e a coefficienti costanti: α ṡ ρ β = ossia β + ṡ ρ α ṡ σ γ = ωṡ γ γ + ṡ σ β = ωṡ β α = ṡ ρ β β = ṡ 1 ρ α + ṡ σ ω γ 1 γ = ṡ σ ω β. Stefano Siboni 41

4 La forma matriciale dell equazione ottenuta è la seguente: d dt 1 α α ρ β = ṡ 1 1 ρ σ ω β γ 1 σ + ω γ che riguardando le variabili α, β, γ come funzioni dell ascissa curvilinea s si riduce ad una equazione per la sola traiettoria: 1 α α d ρ β ds = 1 1 ρ σ ω β γ 1 σ + ω γ quale che sia la legge oraria st del moto di P sull elica E. Posto per brevità a = 1 b = 1 ρ σ ω e Ω = a a b, b l esponenziale della matrice sω si calcola facilmente nella forma: b + a cos a + b s a sin a + b s ab 1 cos a + b s a + b a + b a + b expsω = a sin a + b s cos b sin a a + b s + b s a + b a + b ab 1 cos a + b s b sin a + b s a + b cos a + b s a + b a + b a + b in modo che risulta e quindi: αs = b + a cos a + b s a + b αs βs = expsω α β γs γ α + a sin a + b s β + ab 1 cos a + b s γ a + b a + b βs = a sin a + b s α + cos a + b sβ + b sin a + b s γ a + b a + b γs = ab cos a + b s 1 a + b α b sin a + b s β + a + b cos a + b s a + b a + b γ Stefano Siboni 411

5 in termini delle coordinate α, β, γ del punto Q rispetto al triedro di Frenet in P che specificano la posizione relativa di Q e P. Il vettore Q P diventa allora: Qs P s = αs 1 [ s s r sin ê 1 + r cos ê + h ] k k k π ê3 + [ s ] s + βs cos ê 1 sin ê k k + γs 1 [ h s k π sin ê 1 h ] s ê k π cos + r ê 3. k D altra parte la parametrizzazione dell elica si riesprime facilmente in termini dell ascissa curvilinea s: s s P s O = r cos ê 1 + r sin ê + h s k k π k ê3 e basta sommarle membro a membro il vettore Qs P s dato da per ottenere l equazione parametrica della traiettoria di Q: s s Qs O = r cos ê 1 + r sin ê + h k k π + αs 1 [ s r sin ê 1 + r cos k k [ s ] s + βs cos ê 1 sin ê k k + γs 1 k cui corrispondono le componenti relative a Oê 1 ê ê 3 : s k ê3+ s k ê + h π ê3 ] + + [ h s π sin ê 1 h ] s ê k π cos + r ê 3, k s q 1 s = r cos r s s r k sin αs cos βs + h 1 s r r π k sin γs r s q s = +r sin + r s s r k cos αs sin βs h 1 s r r π k cos γs r q 3 s = h s π k + h 1 π k αs + r k γs s R Qualora per s = il punto Q giaccia nel piano normale all elica E in P, si ha α = e le componenti αs, βs, γ si riducono alla forma più semplice: αs = a sin a + b s β + ab 1 cos a + b s a + b a + b γ βs = cos a + b sβ + b sin a + b s γ a + b γs = b sin a + b s a + b β + a + b cos a + b s a + b γ. Stefano Siboni 41

6 La traiettoria di Q si avvolge attorno all elica percorsa da P come illustrato nella figura seguente: All aumentare di ω, ferme restando le altre costanti caratteristiche della curva, le spire della traiettoria di Q si distribuiscono più fittamente intorno ad E. Esercizio 465. Terna di Frenet Con riferimento al problema precedente, e con le stesse notazioni, si dimostri che se all elica E si sostituisce una curva biregolare qualunque, di parametrizzazione P s, e la velocità angolare del sistema rigido P Q si assume pari a ω = 1 σ ˆτ + 1 ρˆb ṡ allora il punto Q risulta in quiete nella terna di Frenet di E, intesa come terna mobile con origine nel punto variabile P s. Soluzione L espressione dell atto di moto rigido per il sistema P Q diventa in questo caso Q P = ω Q P Stefano Siboni 413

7 e per la presenza del fattore ṡ in ω si riduce all equazione differenziale in s: d ds Q P = D Q P 465. dove D = 1 σ ˆτ + 1 ρˆb è il vettore di Darboux della curva E in P s. Si ricorda che il vettore di Darboux soddisfa le relazioni, analoghe alle formule di Poisson, dˆτ ds = D ˆτ Posto allora, come nella 464.9, dˆn ds = D ˆn dˆb ds = D ˆb. Q P = α ˆτ + β ˆn + γ ˆb il primo membro della 465. diventa d ds Q P = mentre il secondo membro vale d ds α ˆτ + β ˆn + γ ˆb = dα dβ dγ ˆτ + ˆn + ds ds ds ˆb + α dˆτ ds + β dˆn ds + γ dˆb ds = = dα dβ dγ ˆτ + ˆn + ds ds ds ˆb + α D ˆτ + β D ˆn + γ D ˆb = = dα dβ dγ ˆτ + ˆn + ds ds ds ˆb + D α ˆτ + β ˆn + γ ˆb D Q P = D α ˆτ + β ˆn + γ ˆb e l equazione si riduce pertanto a dα dβ dγ ˆτ + ˆn + ds ds ds ˆb =. Si conclude che le componenti del vettore Q P sono costanti rispetto alla terna di Frenet, mobile lungo E, αs = α βs = β γs = γ s R. Stefano Siboni 414

8 Esercizio 466. Caratterizzazione delle curve biregolari di parametro arbitrario Si consideri una curva con parametrizzazione P ξ, di classe C e regolare su un intervallo reale I. Verificare che la curva risulta biregolare se e soltanto se le derivate P ξ e P ξ sono vettori linearmente indipendenti di R 3. Soluzione L ipotesi di regolarità della curva assicura che P ξ ξ I, per cui è sempre possibile introdurre una ascissa curvilinea 1 sξ = ξ ξ P ξ dξ ξ I come variabile indipendente in luogo di ξ. Ciò segue dal fatto che P ξ > ξ I e che ds/dξ = P ξ, per cui sξ è una funzione monotona crescente di ξ. Il versore tangente viene allora espresso nella forma ˆτξ = P ξ P ξ e la sua derivata rispetto ad s diventa dˆτ P ξ dξ = 1 d P ξ [ 1 d [P = ξ ] 1/ P ξ] = P ξ dξ P ξ P ξ dξ [ 1 = 1 [ P ξ ] 3/ P ξ P ξ P ξ + 1 ] P ξ P ξ P ξ = [ 1 = P ξ P ] ξ P ξ + P ξ P ξ P ξ dˆτ ds = 1 Per definizione, una curva è biregolare se in ogni suo punto risulta dˆτ/ds. È allora evidente che: i se per ogni ξ I i vettori P ξ e P ξ sono linearmente indipendenti, l espressione finale in deve risultare diversa da zero. Qualora non lo fosse si avrebbe infatti: P ξ P ξ P ξ P ξ + P ξ = ed esisterebbe quindi una combinazione lineare nulla dei due vettori con almeno un coefficiente diverso da zero quello di P ξ, che è pari a 1; ii per contro, se dˆτ/ds i vettori P ξ e P ξ devono essere linearmente indipendenti. In caso contrario sussisterebbe infatti una relazione del tipo P ξ = λξp ξ per una funzione scalare λξ opportuna, e ne deriverebbe quindi P ξ P ξ P ξ P ξ + P ξ = P ξ λξp ξ P ξ P ξ + λξp ξ =, in evidente contraddizione con l ipotesi. 1 dove ξ è un valore fissato di ξ in I Stefano Siboni 415

9 Esercizio 467. Asse centrale, centro e momento assiale di un sistema di vettori applicati paralleli con risultante non nullo In una terna cartesiana ortogonale destra Oê 1 ê ê 3 si considera il sistema S di vettori applicati: P 1, v 1 P, v P 3, v 3 P 4, v 4 con: Determinare del sistema S: P 1, 1, 1 v 1 = ê 1 + ê ê 3 P, 1, 3 v = ê 1 4 ê + ê 3 P 3,, v 3 = 3 ê ê 3 ê 3 P 4 3, 5, v 4 = ê 1 ê + ê 3. a l asse centrale, se definito, verificando il risultato; b il centro, se definito; c il momento rispetto all asse r di equazione parametrica x = 1ξ + 1, y = 3ξ, z = 4ξ + 3, ξ R, orientato secondo le ξ decrescenti. Soluzione a Asse centrale La determinazione dell asse centrale di S richiede il calcolo del risultante R, del momento risultante in O M O e del prodotto R M O. Risultante Il risultante è la somma dei vettori che costituiscono il sistema S e vale perciò 4 R = v i = ê 1 + ê ê 3 + ê 1 4 ê + ê 3 + i=1 + 3 ê ê 3 ê 3 + ê 1 ê + ê 3 = ê 1 + ê ê 3. Poichè R, è definito l asse centrale a del sistema di vettori applicati. Momento risultante in O Il momento risultante in O viene calcolato come somma dei momenti di ciascun vettore applicato rispetto allo stesso polo O: 4 M O = P i O v i = i=1 = ê ê 3 ê 1 + ê ê ê 1 + ê + 3 ê 3 ê 1 4 ê + ê ê 1 ê + ê 3 3 ê ê 3 ê ê 1 5 ê + ê 3 ê 1 ê + ê 3 = Stefano Siboni 416

10 = ê 1 ê ê ê 1 ê ê ê 1 ê ê = 3 ê 1 + ê ê ê ê + 6 ê 3 + ê 1 ê ê ê 1 1 ê 18 ê 3 + ê 1 ê ê 3 = 1 ê 1 ê 14 ê 3. = Prodotto vettoriale R M O / R Dalle espressioni precedentemente calcolate si ha il prodotto vettore: per cui: R M O = ê 1 + ê ê 3 1 ê 1 ê 14 ê 3 = ê 1 ê ê 3 = = 3 ê 1 4 ê 18 ê 3, R M O R = 3 ê 1 4 ê 18 ê 3 = 3 ê 1 4 ê 18 ê = 5 ê 1 4 ê 3 ê 3 Asse centrale L asse centrale è il luogo dei punti A individuati dai vettori posizione: A O = R M O R + α R α R. Sostituendo le espressioni precedentemente ricavate si ottiene allora: A O = 5 ê 1 4 ê 3 ê 3 + α ê 1 + ê ê 3 = = 5 αê αê + 3 αê 3 α R e l equazione parametrica dell asse centrale a assume la forma: x = 5 α y = 4 + α z = 3 α α R. Verifica che la retta ottenuta è effettivamente l asse centrale Basta verificare, come da definizione, che rispetto ad un punto qualsiasi di a il momento risultante di S risulta parallelo a R. Un punto C dell asse centrale si ottiene ponendo α = nella relativa parametrizzazione: C O = 5 ê 1 4 ê 3 ê 3 Stefano Siboni 417

11 per cui il momento risultante in C del sistema di vettori applicati diventa: M C = 4 P i C v i = i=1 = 5 ê ê + ê 3 ê 1 + ê ê ê ê + 6 ê 3 ê 1 4 ê + ê ê 1 + ê + 5 ê 3 3 ê ê 3 ê ê 1 ê + 5 ê 3 ê 1 ê + ê 3 = ê 1 ê ê 3 = ê 1 ê ê ê 1 ê ê = 7 ê ê + 13 ê ê ê ê ê 1 6 ê + 4 ê ê 1 3 ê 15 ê 3 = e, in quanto nullo, è certamente parallelo ad R. ê 1 ê ê b Centro I vettori applicati di cui si compone il sistema S sono tutti fra loro paralleli: v 1 = ê 1 + ê ê 3 = v 1 = f 1 v 1 v = ê 1 4 ê + ê 3 = v 1 = f v 1 v 3 = 3 ê ê 3 ê 3 = 3 v 1 = f 3 v 1 v 4 = ê 1 ê + ê 3 = v 1 = f 4 v 1 con R ed i coefficienti f 1, f, f 3, f 4 dati da: f 1 = 1 f = f 3 = 3 f 4 = 1. Il centro C del sistema di vettori applicati paralleli di risultante non nullo è perciò individuato da: C O = 4 1 f i i=1 4 f i P i O = i=1 = 1 ê ê 3 ê 1 + ê + 3 ê ê 1 ê + ê ê 1 5 ê + ê 3 = = ê ê ê 1 ê 6 ê ê 1 6 ê + 6 ê 3 3 ê ê ê 3 = 5 ê 1 4 ê 3 ê 3 Si osservi che l asse centrale è esprimibile nella forma A O = C O + α R = 5 ê 1 4 ê 3 ê 3 + α ê 1 + ê ê 3 = = 5 αê αê + 3 αê 3 α R. Stefano Siboni 418 =

12 c Momento rispetto all asse r La parametrizzazione dell asse r è data da: P ξ O = 1ξ + 1ê 1 + 3ξ ê + 4ξ + 3ê 3 ξ R con la derivata prima P ξ = 1 ê ê 4 ê 3. Ricordando che l asse deve intendersi orientato nel senso delle ξ decrescenti, il versore direttore di r risulta: ˆτ = P ξ P ξ = 1 ê ê 4 ê 3 1 ê ê 4 ê 3 = 1 ê ê 4 ê = 1 ê ê 4 ê Un punto B della retta orientata si ricava dalla parametrizzazione ponendo per esempio ξ = la scelta più semplice B O = P O = ê ê 3 Il momento risultante rispetto a B è immediatamente deducibile da M O, già calcolato, per mezzo della formula del cambiamento del polo: M B = M O + O B R = M O + R B O = ê 1 ê ê 3 = 1 ê 1 ê 14 ê = Il momento risultante rispetto all asse r vale pertanto: = 1 ê 1 ê 14 ê ê 1 + ê ê 3 = 16 ê 1 16 ê 3. M r = M Bˆτ = M B ˆτ = 16 ê 1 16 ê 3 1 ê 1 3 ê + 4 ê = = = Esercizio 468. Oscillatore armonico smorzato Un punto materiale P di massa m = 5 è vincolato a scorrere senza attrito lungo l asse orizzontale Ox = Oê 1 di una terna inerziale Oê 1 ê ê 3. Una molla ideale di costante elastica k = congiunge P con l origine O. Sul punto agisce inoltre una forza F = βê P βp, con β costante positiva. Determinare del sistema: a le equazioni pure del moto; b i valori della costante β per i quali i moti sono oscillatori smorzati; c per β =, la posizione e la velocità di P all istante t = 15π/4 qualora si abbia P O = 3 ê 1 e P = all istante t =. Stefano Siboni 419

13 Soluzione a Equazioni pure del moto L assenza di attrito assicura che l equazione pura del moto si ottiene proiettando lungo la direzione tangente ê 1 l equazione tratta dal postulato delle reazioni vincolari: m P = kp O + βê P β P + m g + Φ essendo m g il peso e Φ la reazione vincolare. Moltiplicando scalarmente membro a membro l equazione per il versore direttore ê 1 dell asse orizzontale Ox si ottiene allora: e poichè m P ê 1 = kp O ê 1 + βê P ê 1 β P ê 1 + m g ê 1 + Φ ê 1 P O = x ê 1 P = ẋ ê 1 P = ẍ ê1 m g ê 1 = Φ ê1 = mentre βê P ê 1 = βê ẋ ê 1 ê 1 = βẋ ê ê 1 ê 1 = βẋ ê ê 1 ê 1 =, l equazione pura del moto si riduce a mẍ = kx βẋ ossia a 5ẍ + βẋ + x =, che è l equazione differenziale del moto di un oscillatore armonico smorzato unidimensionale con costante di frizione β >. b Valori di β corrispondenti ai moti oscillatori smorzati La condizione necessaria e sufficiente per il regime oscillatorio smorzato è che il discriminante dell equazione caratteristica associata alla sia negativo. Nella fattispecie, si ha 5λ + βλ + = = β 4 5 = β 4 < e quindi i valori richiesti della costante β sono: < β < 4. Stefano Siboni 4

14 c Posizione e velocità di P all istante t = 15π/4 per assegnate condizioni iniziali Per β = l equazione pura del moto diventa con l equazione caratteristica di radici complesse coniugate: 5ẍ + ẋ + x = 5λ + λ + = λ 1, λ = ± = ± 36 ± 6i = = ± 3 5 i. La soluzione generale dell equazione del moto si scrive dunque: 3 3 xt = c 1 e t/5 cos 5 t + c e t/5 sin 5 t t R con la derivata prima ẋt = c 1 e t/5 [ 1 5 cos 3 5 t 3 5 sin 3 5 t ] + c e t/5 [ 1 5 sin 3 5 t cos 3 5 t ] t R in termini delle costanti reali arbitrarie c 1 e c, che vanno determinate sulla base delle condizioni iniziali. In questo caso l ipotesi P O = 3 ê 1 P = implica che debba aversi per cui: e quindi: x = 3 ẋ = 3 = x = c 1 = ẋ = 1 5 c c c 1 = 3 c = 1. La soluzione del problema di Cauchy è dunque 3 3 xt = 3e t/5 cos 5 t + e t/5 sin 5 t t R con la derivata prima ẋt = 3 e t/5 [ 1 5 cos 3 5 t 3 5 sin 3 5 t ] + e t/5 [ 1 5 sin 3 5 t cos 3 5 t ] t R. All istante t = 15π/4 si ha infine: 15π 3 x = 3 e 3π/ cos π + e 3π/4 sin = 3 e 3π/4 cos 4 π + e 3π/4 sin 4 π e 15π ẋ 4 = e 3π/4 [ π = = 3 e 3π/4 1 + e 3π/4 1 = 4 e 3π/4 [ = 3 e 3π/ cos 4 π 3 9 ] [ 5 sin 4 π + e 3π/ sin 4 π ] 5 cos 4 π = ] [ 1 = e 3π/ ] 1 = e 3π/4. 5 Stefano Siboni 41

15 Esercizio 469. Punto pesante vincolato ad una curva piana Un punto materiale pesante P, di massa m, è vincolato a scorrere lungo la curva di equazione: y = 1 + 4x x 1/4, 1, x posta nel piano coordinato Oxy il cui asse Oy è diretto verticalmente verso l alto. Determinare: a l equazione pura del moto e le relative posizioni di equilibrio nell ipotesi di curva liscia; b gli equilibri supponendo che la curva abbia un coefficiente di attrito radente statico µ s =.3. Soluzione a Equazione del moto ed equilibri in assenza di attrito Equazione pura del moto La parametrizzazione del punto P si esprime naturalmente in termini dell ascissa x: P x O = xê x + 4x ê 1 x 4, 1 con derivate prima e seconda: P x = ê x + 4 ê P x = x 3 ê definite nello stesso intervallo di x. L equazione pura del moto si ricava proiettando lungo la direzione tangente P x il postulato delle reazioni vincolari: m P = mg ê + Φ ossia mẍp x + mẋ P x = mg ê + Φ. Si ha allora: mẍp x P x + mẋ P x P x = mg ê P x + Φ P x e quindi, per l ipotesi di vincolo liscio, mẍ P x + mẋ P x P x = mg ê P x vale a dire, in virtù delle 469.1, [ mẍ ] x mẋ 1 x 3 x + 4 = mg 1 x + 4 x 1 4, 1. Stefano Siboni 4

16 Equilibri Gli equilibri corrispondono alle soluzioni statiche, costanti, della precedente equazione pura: = mg 1 1 x + 4 x 4, 1 e si riducono alla sola posizione x = 1/ l altra radice x = 1/ è esterna all intervallo di definizione dell ascissa. b Equilibri in presenza di attrito Se la curva vincolare presenta un coefficiente di attrito radente statico µ s, la condizione di equilibrio per il punto pesante vincolato al grafico di una funzione y = fx, essendo Oy l asse verticale, assume la forma ben nota f x µ s ; la pendenza della retta tangente al grafico della curva vincolare nel punto di equilibrio non deve discostarsi da per più di µ s. Nella fattispecie si ha la condizione, da soddisfare in x 1/4, 1, ossia la doppia diseguaglianza 1 x + 4 µ s µ s 1 x + 4 µ s che moltiplicata per la quantità positiva x si riduce a µ s x 4x 1 µ s x ed equivale al sistema di disequazioni: µ s x 4x 1 4x 1 µ s x ovvero a µ s x 4 µ s x Ricordando che nel caso considerato è µ s < 1 come avviene tipicamente il sistema 469. si può esprimere nella forma equivalente 1 x 4 + µ s x 1 4 µ s Stefano Siboni 43

17 dalla quale si deduce, escludendo i valori negativi di x, µs x x 1 4 µs. Le ascisse dei punti di equlibrio sono perciò tutte e sole quelle che soddisfano la doppia diseguaglianza 1 1 x 4 + µs 4 µs purchè ricomprese nell intervallo 1/4 < x < 1. Per µ s =.3 si ha x ossia, approssimativamente,.4848 x Si osservi che le soluzioni sono tutte accettabili, in quanto contenute nell intervallo 1/4, 1. Gli equilibri costituiscono un intorno dell equilibrio x =.5 già calcolato in assenza di attrito, come evidenziato nella figura seguente Il risultato era peraltro atteso sulla base del principio di sicurezza. Stefano Siboni 44

18 Esercizio 47. Punto materiale pesante su un elica cilindrica sollecitato elasticamente In una terna cartesiana ortogonale Oxyz, con l asse Oz diretto verticalmente verso l alto, un punto materiale pesante P di massa m è vincolato a scorrere lungo la curva E di equazione parametrica: x = R cos ξ y = R sin ξ z = h π ξ ξ R dove R e h sono due lunghezze caratteristiche è facile verificare che la curva in questione è un elica cilindrica con asse di simmetria Oz, raggio R e passo h. Una molla ideale di costante elastica k congiunge P con l origine O della terna di riferimento. Si chiede di determinare: a l equazione pura del moto nell ipotesi che la curva sia liscia; b gli equilibri e la soluzione generale dell equazione del moto sempre nell ipotesi di curva liscia; c gli equilibri in presenza di attrito, ipotizzando un coefficiente di attrito radente statico costante µ s lungo l intera curva; d l ascissa curvilinea della curva a partire dal punto ξ = e il triedro di Frenet della curva vincolare. Soluzione a Equazione pura del moto nel caso di vincolo liscio La curva vincolare E è descritta dalla parametrizzazione P ξ O = R cos ξ ê 1 + R sin ξ ê + h π ξ ê 3 ξ R Stefano Siboni 45

19 con derivata prima e derivata seconda P ξ = R sin ξ ê 1 + R cos ξ ê + h π ê3 P ξ = R cos ξ ê 1 R sin ξ ê. Il postulato delle reazioni vincolari permette di scrivere l equazione ovvero, essendo P = ξp ξ + ξ P ξ, m P = mg ê 3 k[p ξ O] + Φ m ξp ξ + m ξ P ξ = mg ê 3 k[p ξ O] + Φ. L equazione pura del moto si ottiene proiettando la relazione precedente lungo la direzione P ξ tangente al vincolo: m ξp ξ + m ξ P ξ P ξ = mg ê 3 P ξ k[p ξ O] P ξ 47.1 in virtù della condizione di vincolo liscio Φ P ξ =. Osservato che P ξ = R + h 4π e che P ξ P ξ = R cos ξ R sin ξ + R sin ξr cos ξ = mentre mg ê 3 P ξ = mg h π e k[p ξ O] P ξ = [ = k R cos ξ ê 1 + R sin ξ ê + h ] π ξ ê 3 [ = k R cos ξ R sin ξ + R sin ξ R cos ξ + h π ξ h π l equazione 47.1 si riduce a: [ R sin ξ ê 1 + R cos ξ ê + h ] = k h 4π ξ, π ê3 ] = m R + h h ξ = mg 4π π k h 4π ξ cioè m R + h h ξ + k 4π 4π ξ = mg h π. 47. Stefano Siboni 46

20 b Equilibri e soluzione generale nel caso di vincolo liscio Nell ipotesi di vincolo liscio, le posizioni di equilibrio vengono ricavate come soluzioni statiche costanti dell equazione del moto 47.. Si ha allora k h 4π ξ = mg h π e quindi l unica posizione di equilibrio individuata da ξ = mg h π 4π kh mg = π kh. La soluzione generale dell equazione 47. si può ricavare facilmente introducendo il cambiamento di variabile: ξ = ζ π mg kh in virtù del quale l equazione del moto diventa m R + h h ζ + k 4π 4π ζ = ed è riconoscibile come l equazione di un oscillatore armonico semplice unidimensionale di pulsazione h k ω = π m R + h 4π in modo che la soluzione generale risulta della forma ζt = c 1 cosωt + c sinωt t R con c 1 e c costanti reali arbitrarie. Nella variabile ξ la soluzione generale si scrive pertanto: ξt = c 1 cosωt + c sinωt π mg kh t R. Essa descrive un moto armonico semplice di pulsazione ω e ampiezza e fase arbitrarie, centrato sulla posizione di equilibrio ξ = πmg/kh. c Equilibri in presenza di attrito µ s costante Per lo stato di quiete in una posizione di equilibrio del sistema, il postulato delle reazioni vincolari prescrive la condizione: = mg ê 3 k[p ξ O] + Φ Stefano Siboni 47

21 dalla quale si ricava la reazione vincolare occorrente a realizzare lo stato di quiete in questione: Φ = mg ê 3 + k[p ξ O] = mg ê 3 + k R cos ξ ê 1 + R sin ξ ê + h π ξ ê 3 = = kr cos ξ ê 1 + kr sin ξ ê + mg + kh π ξ ê 3. Di questa reazione vincolare si devono determinare le componenti tangente e ortogonale alla curva vincolare, per poi fare uso della legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico. Il versore tangente alla curva in un punto generico di questa è dato da ˆτξ = P ξ R sin ξ ê 1 + R cos ξ ê + h = π ê3 P ξ R + h 4π per cui Φ ˆτ = mg + kh π ξ R + h 4π e la componente tangente alla curva della reazione vincolare vale Φ ˆτ ˆτ = mg + kh π ξ h π R + h 4π h π R sin ξ ê 1 + R cos ξ ê + h π ê3. La componente di Φ ortogonale alla curva è quella residua Φ Φ ˆτ ˆτ = kr cos ξ ê 1 + kr sin ξ ê + mg + kh π ξ ê 3 mg + kh π ξ h π R + h 4π che separando i vettori componenti diventa: Φ Φ ˆτ ˆτ = + + kr cos ξ + kr sin ξ R sin ξ ê 1 + R cos ξ ê + h π ê3 mg + kh π ξ mg + kh π ξ mg + kh π ξ mg + kh π ξ h π R sin ξ ê 1 + R + h 4π h π R + h 4π h 4π R + h 4π R cos ξ ê + ê 3 Stefano Siboni 48

22 e quindi: Φ Φ ˆτ ˆτ = + + kr cos ξ + kr sin ξ mg + kh π ξ mg + kh π ξ mg + kh π ξ R R + h 4π h π R sin ξ ê 1 + R + h 4π h π R + h 4π ê 3. Il modulo quadrato della componente ortogonale di Φ diventa allora: Φ Φ ˆτ ˆτ = = k R cos ξ + mg + kh π ξ = k R sin ξ + + mg + kh π ξ mg + kh π ξ R 4 R + h 4π e si semplifica in h 4π R sin ξ R + h 4π h 4π R cos ξ R + h 4π R cos ξ ê + + kr cos ξ mg + kh π ξ kr sin ξ mg + kh h π R sin ξ + R + h 4π h π ξ π R cos ξ + R + h 4π Φ Φ ˆτ ˆτ = k R + = k R + mg + kh π ξ mg + kh π ξ R h 4π R R + h 4π R + h 4π. + mg + kh π ξ R 4 R + h 4π = In modo analogo viene calcolato il modulo quadrato della componente di Φ tangente al vincolo: h Φ ˆτ ˆτ = Φ ˆτ = mg + kh π ξ 4π. R + h 4π Stefano Siboni 49

23 La legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico porge così la condizione di equilibrio: Φ ˆτ ˆτ µ s Φ Φ ˆτ ˆτ che equivale a Φ ˆτ ˆτ µ s Φ Φ ˆτ ˆτ e quindi a mg + kh π ξ h 4π R + h 4π µ s k R + mg + kh π ξ R R + h 4π Eliminando i denominatori, la diseguaglianza precedente si riduce a mg + kh π ξ h 4π µ s R e riportati a primo membro i termini in ξ diventa Si devono distinguere due casi: mg + kh π ξ h 4π µ sr [k R + h + mg + kh ] 4π π ξ µ sr k R + h 4π i se h /4π µ sr, vale a dire µ s h/πr la condizione 47.4 risulta sempre soddisfatta, essendo negativo o nullo il primo membro e positivo il secondo, per cui tutte le configurazioni del sistema sono di equilibrio. Da notare che la condizione ricorre per tutti i valori sufficientemente elevati del coefficiente di attrito radente statico; ii se viceversa è h /4π > µ s R, ossia µ s < h/πr, l equilibrio ricorre per tutti i valori del parametro ξ tali che ovvero, equivalentemente, mg + kh µ sr k R + h π ξ 4π h 4π µ sr kh mg + π ξ µ s Rk R + h 4π h π µ sr Stefano Siboni 43

24 Come ci si aspetta, la disequazione 47.5 rappresenta un intorno della configurazione ξ = πmg/kh, l unico equilibrio ammesso dal sistema nel caso di curva E liscia per il quale il primo membro di 47.5 si annulla. d Ascissa curvilinea e triedro di Frenet Come esercizio puramente geometrico, calcoliamo l ascissa curvilinea di E a partire dal punto ξ =, la curvatura e l espressione del triedro di Frenet, cioè dei versori tangente, normale e binormale in funzione del parametro ξ R. Ascissa curvilinea a partire da ξ = L ascissa curvilinea lungo E a partire dal punto ξ = è data, per definizione, dall integrale sξ = ξ P ξ dξ = ξ R + h 4π dξ = R + h 4π ξ. Esiste quindi una relazione di semplice proporzionalità diretta fra l ascissa curvilinea ed il parametro ξ. Versore tangente a E in P ξ Il versore tangente alla curva in un generico punto P ξ di questa è già stato calcolato in precedenza. Si richiama qui di seguito il risultato: ˆτξ = P ξ P ξ = R sin ξ ê 1 + R cos ξ ê + h π ê3 R + h 4π. Versore normale a E in P ξ La curvatura 1/ρ ed il versore normale ˆn sono dafiniti dalla relazione Nella fattispecie si ha: dˆτ ds = 1 ρ ˆn. per cui: dˆτ ds = 1 dˆτ P ξ dξ ξ = 1 R + h 4π R 1 ρξ = R R + h 4π = R + h 4π R cos ξ ê 1 R sin ξ ê R + h 4π cos ξ ê 1 sin ξ ê e ˆnξ = cos ξ ê 1 sin ξ ê. = Stefano Siboni 431

25 Si osservi che il versore normale punta verso l asse del cilindro di giacitura dell elica; più precisamente verso il centro della circonferenza ottenuta sezionando il cilindro con un piano passante per P ξ ed ortogonale all asse del cilindro stesso. Versore binormale a E in P ξ La definizione del versore binormale porge l espressione: R sin ξ ê 1 + R cos ξ ê + h ˆbξ = ˆτξ ˆnξ = π ê3 R + h 4π = = 1 R + h 4π 1 R + h 4π ê 1 ê ê 3 R sin ξ R cos ξ h/π cos ξ sin ξ cos ξ ê 1 sin ξ ê = = h π sin ξ ê 1 h π cos ξ ê + R ê 3. Esercizio 471. Punto materiale su un paraboloide ellittico fisso, sotto l azione della forza peso e di una sollecitazione elastica Un punto materiale P, di massa m, è vincolato a restare sulla superficie S un paraboloide ellittico di equazione z = x + 4y x, y R rispetto alla terna di riferimento inerziale Oxyz che ha l asse Oz diretto verticalmente e orientato verso l alto. Una molla ideale di costante elastica k collega P con l origine O della terna di riferimento. Stefano Siboni 43

26 Si chiede di: a scrivere le equazioni pure del moto del sistema qualora la superficie si possa assumere liscia; b determinare gli equilibri del sistema, sempre nell ipotesi di superficie liscia; c caratterizzare gli equilibri del sistema nel caso in cui gli attriti non siano trascurabili e il coefficiente di attrito statico µ s possa considerarsi costante lungo tutta S. Soluzione a Equazioni pure del moto nel caso di superficie liscia La superficie S è il grafico della funzione z = x + 4y, per cui la sua parametrizzazione naturale assume la forma P x, y O = x ê 1 + y ê + x + 4y ê 3, x, y R, con le derivate parziali prime P x x, y = ê 1 + x ê 3 P y x, y = ê + 8y ê 3 ed il vettore normale P P x, y x, y = x y ê 1 ê ê 3 1 x 1 8y = x ê 1 8y ê + ê che risultando sempre non nullo assicura la regolarità della superficie vincolare. Per un qualsiasi moto possibile P t = P [xt, yt], con xt e yt funzioni C del tempo, la velocità e l accelerazione istantanea sono date dalle relazioni: P = P x ẋ + P y ẏ = ê 1 + x ê 3 ẋ + ê + 8y ê 3 ẏ P = ê 1 + x ê 3 ẍ + ê + 8y ê 3 ÿ + ẋ ê 3 + 8ẏ ê 3. Il postulato delle reazioni vincolari conduce all equazione m P = mg ê 3 kp O + Φ 471. in cui la reazione vincolare è sempre normale alla superficie vincolare in qualsiasi posizione P x, y il punto materiale possa occupare, per cui: P x x, y Φ = P y x, y Φ = x, y R. Stefano Siboni 433

27 Le equazioni pure del moto si ottengono allora proiettando la 471. lungo i vettori tangenti e linearmente indipendenti P/ x, P/ y: ossia, eseguiti i calcoli, m P P x x, y = mg ê 3 P P x, y kp O x, y x x m P P y x, y = mg ê 3 P P x, y kp O x, y y y m [ 1 + 4x ẍ + 16xy ÿ + ẋ + 8ẏ x ] = mg x k [ x + xx + 4y ] m [ 16xy ẍ y ÿ + ẋ + 8ẏ 8y ] = mg 8y k [ y + 8yx + 4y ] e quindi: m [ 1 + 4x ẍ + 16xy ÿ + 4xẋ + 4ẏ ] = mgx kx [ 1 + x + 4y ] m [ 16xy ẍ y ÿ + 16yẋ + 4ẏ ] = 8mgy ky [ 1 + 8x + 4y ] b Equilibri nel caso di superficie liscia Gli equilibri del punto materiale sulla superficie liscia si identificano con le soluzioni statiche delle equazioni pure del moto 471.3, e soddisfano perciò il sistema di equazioni algebriche non lineari: = mgx kx [ 1 + x + 4y ] = 8mgy ky [ 1 + 8x + 4y ] che può riformularsi equivalentemente come [ mg kx k ] x + 4y [ 8mg ky k x + 4y ] = =. Siccome le espressioni entro parentesi quadre assumono comunque segno positivo, la sola soluzione del sistema è dunque x, y =, che individua l unica configurazione di equilibrio del punto vincolato l origine O. c Caratterizzazione degli equilibri nel caso di superficie scabra Nel caso che la superficie abbia un coefficiente di attrito radente statico µ s, l individuazione degli equilibri deve essere ottenuta applicando la definizione: si calcola la reazione vincolare occorrente a mantere il punto in quiete nella configurazione di prova P x, y, se ne Stefano Siboni 434

28 determinano le componenti normale e tangente alla superficie, e si impone infine che dette componenti verifichino la legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico. Per lo stato di quiete nella generica posizione P x, y il postulato delle reazioni vincolari impone che sia soddisfatta l equazione = mg ê 3 k[p x, y O] + Φ dalla quale si deduce l espressione della razione vincolare Φ = mg ê 3 + k[p x, y O] = mg ê 3 + kx ê 1 + ky ê + kx + 4y ê 3 = = kx ê 1 + ky ê + [mg + kx + 4y ]ê 3 Componente normale della reazione vincolare Il versore normale alla superficie nella posizione considerata viene ottenuto normalizzando il vettore normale 471.1: ˆnx, y = x ê 1 8y ê + ê 3 x ê 1 8y ê + ê 3 = x ê 1 8y ê + ê 3 4x + 64y + 1 in modo che Φ ˆn = kx x + ky 8y + mg + kx + 4y 1 + 4x + 64y = kx 8ky + mg + kx + 4ky 1 + 4x + 64y e la componente normale di Φ risulta Φ ˆn ˆn = mg kx 4ky 1 + 4x + 64y x ê 1 8y ê + ê 3. Componente tangente della reazione vincolare La componente di Φ tangente alla superficie è quella residua: Φ Φ ˆn ˆn = kx ê 1 + ky ê + [mg + kx + 4y ]ê 3 + mg kx 4ky 1 + 4x + 64y x ê 1 + 8y ê ê 3 che evidenziando i vettori componenti lungo le direzioni coordinate diventa: Φ Φ ˆn ˆn = kx + x mg kx 4ky 1 + 4x + 64y ê ky + 8y mg kx 4ky ê 1 + 4x + 64y + + [mg + kx + 4y + mg + kx + 4ky ] 1 + 4x + 64y ê 3 Stefano Siboni 435

29 ossia [ k Φ Φ ˆn ˆn = mgx mg + 1 k 1 + 4x + 64y mg x 4 k ] mg y ê 1 + [ k + mgy mg k 1 + 4x + 64y mg x 4 k mg y] ê + + mg [ 1 + k mg x + 4y 1 1 k 1 + 4x + 64y mg x 4 k ] mg y ê 3. Caratterizzazione degli equilibri La condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio è data dalla legge di Coulomb-Morin: ed equivale a essendo: e: 1 m g Φ ˆn = Φ Φ ˆn ˆn µ s Φ ˆn ˆn 1 m g Φ Φ ˆn ˆn µ 1 s m g Φ ˆn 1 1 k 1 + 4x + 64y mg x 4 k mg y [ 1 m g Φ Φ k ˆn ˆn = x mg x + 64y 1 k mg x 4 k ] mg y + [ k + y mg k 1 + 4x + 64y mg x 4 k ] mg y + [ k mg x + 4y 1 1 k 1 + 4x + 64y mg x 4 k mg y]. Posto per brevità λ = k/mg, la condizione di equilibrio diventa pertanto: x [λ + + y [λ + + ] 1 λx 4λy x + 64y x + 64y 1 λx 4λy [ 1 + λx + 4λy ] x + 64y 1 λx 4λy µ 1 s 1 λx 1 + 4x + 64y 4λy ] La disequazione è certamente soddisfatta per x, y =,, riducendosi in tal caso a µ s. Poichè il primo ed il secondo membro sono funzioni continue delle variabili Stefano Siboni 436

30 x, y, la soluzione di è un sottoinsieme chiuso di x, y R contenente il punto x, y =, nel proprio interno. Detto sottoinsieme dipende dalla scelta dei coefficienti µ s e λ e può perciò indicarsi con il simbolo Eµ s, λ. La figura seguente mostra le frontiere degli insiemi Eµ s, λ per µ s =.9 e λ =,.7,.5, indicate rispettivamente con I, II e III: Le frontiere sono curve chiuse di forma approssimativamente ellittica. Si può dimostrare che per λ = cioè per k = e al variare di µ s le frontiere sono ellissi di centro O e con gli assi di simmetria Ox e Oy. Esercizio 47. Punto materiale pesante vincolato a una superficie Rispetto alla terna inerziale Oxyz, con l asse verticale Oz diretto verso l alto, un punto materiale pesante P di massa m è vincolato a muoversi sulla superficie scabra S che costituisce il grafico della funzione z = fx, y, di classe C in x, y R. Il coefficiente di attrito radente statico di S sia una funzione assegnata µ s x, y della posizione. Viene richiesto di caratterizzare: a le posizioni di equilibrio del punto; b gli equilibri qualora sia µ s costante, discutendo il caso particolare di fx, y = x 3 + 3x y xy + y 3 + xy ; c gli equilibri per µ s costante e fx, y polinomio di secondo grado di x, y. Soluzione a Equilibri nel caso generale La parametrizzazione della superficie assume la forma P x, y O = x ê 1 + y ê + fx, y ê 3, x, y R, con le derivate parziali prime P x x, y = ê 1 + f x x, y ê 3 P y x, y = ê + f y x, y ê 3 Stefano Siboni 437

31 ed il vettore normale Posto per brevità P P f x, y x, y = x y x x, y ê 1 f y x, y ê + ê 3. R = f x x, y + f y x, y + 1 ed omessa l indicazione esplicita degli argomenti x, y, il versore normale alla superficie si riduce quindi a ˆn = 1 f R x ê1 f y ê + ê 3. Per mantenere il punto in quiete in una posizione P x, y occorre applicare una reazione vincolare: Φ = mg ê 3 la cui componente normale alla superficie si scrive Φ ˆn = mg ê 3 ˆn = mg 1 R 47.1 mentre quella tangente vale Φ Φ ˆn ˆn = mg ê 3 mg R = mg [ f R = mg R f x ê1 f y ê + ê 3 = x ê1 + f ] y ê + R 1 ê 3 = { f x ê1 + f [ f y ê + x f ] + ê 3 }. y 47. La condizione di equilibrio diventa allora Φ Φ ˆn ˆn µ s Φ ˆn ossia, elevando al quadrato ambo i membri della diseguaglianza, e sostituendo le relazioni m g R Φ Φ ˆn ˆn µ s Φ ˆn { f f [ f f ] } x y x y diseguaglianza che è immediato semplificare in µ m g s R, f f [ f f ] [ f f ] µ s x y x y x y Stefano Siboni 438

32 Per scrivere quest ultima diseguaglianza in una forma più semplice conviene introdurre la notazione f f ξ = + x y in modo da riesprimere la 47.3 come cioè ed infine ξ + ξ µ sξ ξξ + 1 µ sξ + 1 ξ µ sξ + 1, dove il polinomio in ξ a primo membro ammette la radice negativa ξ = 1 e quella positiva ξ = µ s. È allora evidente che tale polinomio assume valori non positivi soltanto nell intervallo ξ [ 1, µ s ]; considerato che per definizione deve essere ξ, si conclude che la disequazione 47.4 è soddisfatta se e solo se ξ [, µ s], e che perciò la condizione di equilibrio 47.3 equivale semplicemente a f x x, y + f y x, y µ s x, y La diseguaglianza ottenuta fornisce la completa caratterizzazione delle posizioni di equilibrio del punto P sulla superficie S. Ovviamente, fra gli equilibri si devono sempre annoverare i punti critici di f, dove risulta µ s e la normale a S è diretta verticalmente. Se µ s x, y è una funzione continua in R, l insieme delle posizioni di equilibrio viene allora individuato da: Ω = { x, y R : f f } x x, y + y x, y µ s x, y e si identifica con l immagine inversa del sottoinsieme chiuso di R: attraverso la funzione continua di R in R: ϕ : x, y R, ] f x x, y + f y x, y µ s x, y R e costituisce perciò 1 un sottoinsieme chiuso di R. I punti in cui la funzione ausiliaria ϕ assume segno negativo sono tutti punti interni di Ω, come conseguenza del teorema di permanenza del segno delle funzioni continue: se ϕx, y < per x, y R opportuno, esiste un intorno sferico di x, y nei cui punti x, y è ancora ϕx, y <. Nell interno di 1 Una proprietà fondamentale delle funzioni continue è che l immagine inversa continua di un chiuso è chiusa Stefano Siboni 439

33 Ω vanno ricompresi anche tutti i punti critici x, y di f nei quali sia µ s x, y >, avendosi infatti ϕx, y = µ s x, y <. Da notare infine che, in generale, Ω può risultare non connesso. b Equilibri nel caso di µ s costante Nel caso che il coefficiente di attrito radente statico sia costante la condizione di equilibrio 47.5 si riduce a: f f x x, y + y x, y µ s ed individua l insieme Ωµ s delle posizioni di equilibrio che costituisce un sottoinsieme di R. È evidente che al crescere di µ s l insieme Ωµ s diventa sempre più ampio, nel senso che vale l inclusione: µ s < µ s = Ωµ s Ωµ s. Se la curva vincolare è il grafico della funzione: fx, y = x 3 + 3x y xy + y 3 + xy si hanno le derivate parziali prime: f x x, y = 3x + 6xy y + y e la condizione di equilibrio f y x, y = 3x 4xy + 3y + x 3x + 6xy y + y + 3x 4xy + 3y + x µ s. Ovviamente, la disequazione ottenuta è troppo complessa perchè se ne possano ricavare esplicitamente le soluzioni. È però possibile investigare la struttura dell insieme Ωµ s degli equilibri per via numerica. La figura seguente mostra l andamento del grafico di fx, y in un intorno del punto x, y =, : Stefano Siboni 44

34 I punti critici della funzione f corrispondono ai punti di S nei quali il piano tangente risulta perfettamente orizzontale e si ricavano risolvendo il sistema di equazioni algebriche non lineari: 3x + 6xy y + y = 3x 4xy + 3y + x =. Benchè la soluzione di questo sistema non sia affatto semplice, si può però notare che: i una soluzione ovvia si ha per x, y =,, che quindi è un punto critico di f; ii in prossimità di x, y =, esiste un secondo punto critico di f, del quale è possibile fornire una stima numerica usando ad esempio il comando fsolve di Maple T M x, y = , In prossimità di x, y =,, in particolare entro il quadrato chiuso x, y [ 7.5, 4.] [ 1.5,.7] illustrato nella figura seguente, per µ s = si hanno quindi due sole configurazioni di equilibrio, corrispondenti ai due punti critici di f: x, y =, x, y = , Per µ s positivo ma abbastanza piccolo l insieme delle posizioni di equilibrio consta di due piccole isole disgiunte, ciascuna delle quali rappresenta un intorno di uno dei due punti critici. All aumentare di µ s le isole si accrescono fino a che, in corrispondenza di un valore critico di µ s valutabile intorno a.37899, le due isole si toccano in un punto e danno luogo ad un insieme connesso. Ulteriori incrementi di µ s definiscono un unico insieme connesso di equilibri, di estensione via via più ampia. La figura mette in evidenza i contorni degli insiemi di equilibrio che corrispondono ai sottoelencati valori di µ s : µ s =.1, ,.37899, , 1, Stefano Siboni 441

35 e associati, nell ordine, ai seguenti valori di µ s: µ s =.1,.6,.1375,.5, 1,. I contorni sono marcati con numeri interi da 1 a 6, in ordine crescente di µ s. Ciascun insieme di equilibrio è dunque incluso nei precedenti. c Equilibri nel caso di µ s costante e fx, y polinomio di secondo grado Nel caso che S sia il grafico di un polinomio di secondo grado delle variabili indipendenti x e y, la funzione fx, y può esprimersi nella forma fx, y = ax + by + cxy + dx + ey con a, b, c, d, e costanti reali arbitrarie, delle quali a, b, c non simultaneamente nulle. Le componenti del gradiente di f sono ovviamente f f x, y = ax + cy + d x x, y = cx + by + e y per cui f f + = 4ax + cy + d + 4cx + by + e x y e la condizione di equilibrio 47.5 diventa ax + cy + d + cx + by + e µ s con µ s costante. Per questo tipo di superficie e µ s costante è possibile individuare una caratterizzazione completa degli insiemi di equilibrio. A questo scopo conviene distinguere tre diversi casi. i Caso ab c Se ab c la funzione f ammette uno ed un solo punto critico, identificabile con l unica soluzione del sistema lineare: { ax + cy + d = 47.7 cx + by + e = ossia con x = 1 ab c d e c b = ce bd ab c y = 1 ab c a c d e = cd ae ab c in corrispondenza della quale il primo membro della 47.6 si annulla e la disequazione è certamente soddisfatta. Per µ s = detto punto critico rappresenta l unica posizione di equilibrio del sistema. Nel caso che l attrito radente non sia trascurabile µ s > la condizione di equilibrio 47.6 individua un dominio ellittico chiuso del piano x, y R. Per convincersene, basta introdurre il cambiamento di varibili x, y R ξ, η R Stefano Siboni 44

36 definito dalla trasformazione affine composizione fra una trasformazione lineare ed una traslazione ξ = ax + cy + d η = cx + by + e 47.8 che è certamente invertibile in tutto R grazie alla condizione ab c. In virtù di questo cambiamento di coordinate la condizione 47.6 si riduce a ξ + η µ s /4 ed individua tutti e soli i punti ξ, η del disco circolare di centro ξ, η =, e e raggio µ s /. L inversa della trasformazione 47.8 mappa tale disco circolare in dominio ellittico chiuso. In effetti la parte quadratica del polinomio a primo membro in 47.6 risulta a x + c y + acxy + c x + b y + cbxy = a + c x + b + c y + a + bcxy e può esprimersi nella forma matriciale x y a + c a + bc a + bc b + c x y = x y A x y dove la matrice di rappresentazione A è reale, simmetrica e definita positiva, avendo determinante e traccia positivi deta = a + c b + c a + b c = a b + c 4 abc = ab c > tra = a + c + b + c = a + b + c > per via della condizione ab c. I due autovalori positivi di A assicurano che l insieme di equilibrio sia una regione ellittica chiusa, in quanto tutte le curve di livello fx, y = costante > sono delle ellissi. A titolo di esempio si consideri il caso di fx, y = x + 3y + xy per il quale risulta evidentemente: a = b = 3 c = 1 ed è dunque soddisfatta la condizione ab c = 3 1 = 7. La forma quadratica fx, y ha autovalori di segno opposto, causa il determinante negativo della relativa matrice di rappresentazione. La superficie vincolare è allora il paraboloide iperbolico di seguito Stefano Siboni 443

37 illustrato nell intorno dell unico punto critico x, y =, : e le regioni di equilibrio, al variare di µ s, sono tutti domini ellittici concentrici aventi eguali assi di simmetria: con centro nel punto critico x, y =,. Nel caso sia invece si ha chiaramente fx, y = x + 3y + xy a = b = 3 c = 1 per cui la condizione ab c = 3 1 = 5 è ancora soddisfatta. La forma quadratica fx, y appare però ora definita positiva in quanto la sua matrice di rappresentazione presenta determinante e traccia positivi: det = 5 tr = 5. Stefano Siboni 444

38 La superficie S è pertanto un paraboloide ellittico, il cui andamento in prossimità dell unico punto critico x, y =, viene descritto nella figura seguente: Anche in questa circostanza, al variare di µ s, gli insiemi di equilibrio sono regioni ellittiche chiuse di comune centro x, y =, e con gli assi di simmetria coincidenti vedi figura. ii Caso ab c = e ae cd = Qualora i coefficienti della superficie vincolare soddisfino le condizioni ab c = e ae cd = le equazioni del sistema 47.7 sono linearmente dipendenti, avendosi ad esempio: 1 a = λc c = λb d = λe per uno scalare λ appropriato. Il sistema ammette dunque una infinità di soluzioni, corrispondenti ai punti della retta cx + by + e = 1 il caso in cui risulti, reciprocamente, c=λa, b=λc, e=λd si tratta in modo del tutto analogo Stefano Siboni 445

39 che definiscono altrettanti punti critici di f. Per µ s = questi punti sono i soli equilibri del sistema. Qualora si abbia µ s >, basta osservare che ax + cy + d + cx + by + e = = λcx + λby + d + cx + by + e = = [λcx + by + d] + cx + by + e = = λ cx + by + d + λdcx + by + cx + by + e + ecx + by = = λ + 1cx + by + λd + ecx + by + d + e e la condizione di equilibrio 47.6 assume perciò la forma λ + 1cx + by + λd + ecx + by + d + e µ s/4, certamente soddisfatta lungo la retta cx + by = e dei punti critici di f, dove il primo membro si annulla. Quella ottenuta è una disequazione di secondo grado nella variabile ausiliaria X = cx + by e può esprimersi come λ + 1X + λd + ex + d + e µ s/4 con il polinomio a primo membro che ammette due radici reali distinte: X ± = λd + e ± λ + 1 µ s / λ + 1 poichè il relativo discriminante risulta strettamente positivo: = 4λd + e 4λ + 1d + e µ s /4 = = 4 [ λd + e λ + 1d + e µ s/4 ] = = 4 [ λ d + e + λde λ d λ e d e + λ + 1µ s /4] = = 4 [ λde λ e d + λ + 1µ s/4 ] = = 4 [ λe d + λ + 1µ s/4 ] = = 4 [ λ + 1µ s /4]. La disequazione di equilibrio è dunque soddisfatta se e soltanto se X X X + e caratterizza le posizioni di equilibrio come tutte e sole quelle che appartengono alla striscia X cx + by X +, Stefano Siboni 446

40 contenente la retta cx + by + e = e a questa parallela. Un caso di questo tipo ricorre per fx, y = 4x + y + 4xy 47.9 dal momento che i coefficienti a = 4, b = 1, c =, d =, e = verificano le relazioni: ab c = 4 1 = ae cd = 4 =. La forma quadratica 47.9 ha un autovalore nullo e uno positivo, per cui la superficie vincolare è il cilindro parabolico, di generatrice parallela al piano Oxy, evidenziato con il reticolo nella figura seguente: come peraltro evidente dall identità fx, y = 4x + y + 4xy = x + y. I punti critici della f sono tutti e soli quelli della retta di equazione x + y = 47.1 in corrispondenza dei quali si ha equilibrio anche nel caso di superficie liscia. Al crescere di µ s > le regioni di equilibrio sono delle strisce chiuse delimitate da rette parallele a 47.1: {x, y R : [4x + y] + [x + y] µ s } ossia { x, y R e quindi { x, y R } : x + y µ s : µ s x + y µ } s, Stefano Siboni 447

41 come la figura sottoriportata mette in evidenza: La linea in neretto è la retta 47.1, l insieme degli equilibri per µ s =. iii Caso ab c = ma ae cd Se infine i coefficienti della quadrica soddisfano ab c = e ae cd, si ha che i vettori a, c e c, b sono linearmente dipendenti, mentre c, b e d, e risultano linearmente indipendenti. Per un λ opportuno si avrà perciò a = λc c = λb d λe. Nella fattispecie il sistema 47.7 non ammette alcuna soluzione, in modo che la funzione f non presenta alcun punto critico. D altra parte, posto come prima cx + by = X, la condizione di equilibrio assume ancora la forma precedente: λ + 1X + λd + ex + d + e µ s /4, con il polinomio quadratico a primo membro che si annulla nei punti X 1, X = λd + e ± λe d + λ + 1µ s /4 λ + 1 purchè il coefficiente di attrito statico sia sufficientemente grande: µ s 4λe d λ + 1. In tal caso l insieme di equilibrio va identificato con la striscia X 1 cx + by X. Stefano Siboni 448

42 A titolo di esempio, le condizioni qui esaminate ricorrono per fx, y = 4x + y + 4xy + x in quanto i coefficienti a = 4, b = 1, c =, d = 1, e = soddisfano i requisiti prescritti: ab c = 4 1 = ae cd = 4 1 =. La parte quadratica 4x + y + 4xy della funzione fx, y è come prima semidefinita non definita positiva, ma nella fattispecie non esiste alcun punto critico e la superficie S ha l aspetto di un cilindro parabolico con la generatrice non parallela al piano Oxy vedi figura. Per un generico µ s la regione di equilibrio è individuata dalla diseguaglianza che posto ξ = y + x assume la forma 4x + y y + x µ s 4 ξ ξ µ s 4 e dopo semplici manipolazioni algebriche si riduce a 5ξ + 4ξ + 1 µ s 4. La disequazione ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante del polinomio quadratico a primo membro ha segno non negativo: = 16 1 µ s 4 = 4 + 5µ s Stefano Siboni 449

43 ossia per µ s / 5. In tal caso le soluzioni in ξ sono i valori ricompresi nell intervallo 4 5µ s 4 1 ξ 4 + 5µ s 4 1 cui corrisponde la striscia di equilibri { 4 5µ s 4 1 y + x 4 + } 5µ s 4 1 nel piano Oxy. Trova così conferma l affermazione che le regioni di equilibrio presentano in Oxy la stessa struttura del precedente caso ii, pur risultando definite soltanto per µ s / 5. La figura mostra le regioni di equilibrio per valori crescenti di µ s, a partire da µ s = / 5 retta in neretto L esistenza di un µ s critico per il sussistere di equilibri è imputabile alla pendenza non nulla della retta generatrice del cilindro parabolico S. Esercizio 473. Oscillatore armonico smorzato Un punto materiale P di massa unitaria è vincolato a scorrere senza attrito lungo l asse orizzontale Ox = Oê 1 di una terna inerziale, soggetto a una resistenza viscosa con costante di frizione. Una molla di costante elastica k collega P all origine O. Determinare: a le equazioni pure del moto del punto e i valori di k per i quali si hanno moti oscillatori smorzati; b posizione e velocità di P all istante t = π/ qualora si abbia k = 5 e P O = 3ê 1, P = ê 1 all istante t =. Stefano Siboni 45