Definizioni e formule notevoli

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1 Definizioni e formule notevoli Successioni e serie Successione geometrica (p. 3): 0 se q < 1, 1 se q =1, lim n qn = + se q>1, non esiste se q 1. Numero e (p. 3): ) n e = lim = n ( 1+ 1 n k=0 1 n! Serie geometrica (p. 7): 1 converge a 1 q k=0 q k se q < 1, diverge a + se q 1, è indeterminata se q 1 Serie di Mengoli (p. 7): 1 (k 1)k =1 k=2 Serie armonica generalizzata (p. 15): 1 { converge se α>1, k α diverge se α 1 k=1

2 528 Definizioni e formule Serie di potenze Raggio di convergenza (p. 49): { } R =sup x R : a k x k converge k=0 Criterio del rapporto (p. 51): lim a k+1 0 se l =+, k a k = l = R = + se l =0, 1/l se 0 <l<+ Criterio della radice (p. 51): 0 se l =+, k lim ak = l = R = + se l =0, k 1/l se 0 <l<+. Sviluppo in serie di una funzione analitica (p. 57): f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k k! k=0 Sviluppi in serie di potenze notevoli (p. 56 e 59): 1 1 x = x k, x ( 1, 1) k=0 1 1+x 2 = ( 1) k x 2k, x ( 1, 1) k=0 ( ) α (1 + x) α = x k, x ( 1, 1) k k=0 e x x k = k!, k=0 x R ( 1) k ( 1) k 1 log(1 + x) = k +1 xk+1 = x k, k k=0 k=1 x ( 1, 1) ( 1) k sin x = (2k +1)! x2k+1, k=0 x R ( 1) k cos x = (2k)! x2k, x R k=0

3 Definizioni e formule 529 Serie di Fourier Coefficienti di Fourier di una funzione f (p. 84): a 0 = 1 2π a k = 1 π b k = 1 π 2π 0 2π 0 2π 0 f(x)dx f(x)coskx dx, k 1 f(x)sinkx dx, k 1 c k = 1 2π 2π 0 f(x)e ikx dx, k Z Serie di Fourier di una funzione f C 2π (p. 87): f a 0 + (a k cos kx + b k sin kx) k=1 Identità di Parseval (p. 94): 2π 0 + k= + f(x) 2 dx =2πa π (a 2 k + b 2 k)=2π k=1 c k e ikx + k= c k 2 Onda quadra (p. 88): 1 se π <x<0, f(x) = 0 se x =0, ±π, 1 se 0 <x<π, f 4 π m=0 1 sin(2m +1)x 2m +1 Onda raddrizzata (p. 89): f(x) = sin x, Dente di sega (p. 89): f 2 π 4 π m=1 f(x) =x, x ( π, π), f 1 4m 2 cos 2mx 1 k=1 2 k ( 1)k+1 sin kx

4 530 Definizioni e formule Funzioni scalari Derivata parziale (p. 161): f(x 0 + Δx e i ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x i Δx 0 Δx Gradiente (p. 161): f(x 0 )=grad f(x 0 )= Differenziale (p. 166): df x0 (Δx) = f(x 0 ) Δx Derivata direzionale (p. 167): ( ) (x 0 ) x i 1 i n v (x 0)= f(x 0 ) v = x 1 (x 0 ) v x n (x 0 ) v n Derivata parziale seconda (p. 172): 2 f (x 0 )= ( ) (x 0 ) x j x i x j x i Matrice hessiana (p. 173): Hf(x 0 )=(h ij ) 1 i,j n con h ij = 2 f x j x i (x 0 ) Sviluppo di Taylor con resto di Peano (p. 177): f(x) =f(x 0 )+ f(x 0 ) (x x 0 )+ 1 2 (x x 0) Hf(x 0 )(x x 0 )+o( x x 0 2 ) Rotore in dimensione 2 (p. 212): rot f = x 2 i x 1 j Identità fondamentale (p. 215): rot grad f = ( f) =0 Operatore di Laplace (p. 218): n 2 f Δf =divgrad f = f = x 2 j j=1

5 Definizioni e formule 531 Funzioni vettoriali Matrice jacobiana (p. 208): ( i ) Jf (x 0 )= (x 0 ) x j Differenziale (p. 209): df x0 (Δx) =Jf (x 0 )Δx Divergenza (p. 211): 1 i m 1 j n div f = f = 1 x n x n = Rotore in dimensione 3 (p. 211): ( 3 rot f = f = 2 x 2 x 3 Rotore in dimensione 2 (p. 212): rot f = 2 x 1 1 x 2 Identità fondamentale (p. 215): div rot f = ( f) =0 = f 1 (x 0 ). f m (x 0 ) ) i + n j=1 j x j ( 1 ) ( 3 2 j + ) 1 k x 3 x 1 x 1 x 2 Derivata di una funzione composta Regola della catena (p. 219): J(g f)(x 0 )=Jg(y 0 ) Jf (x 0 ) Retta tangente ad una curva (p. 224): T (t) =γ(t 0 )+γ (t 0 )(t t 0 ), Lunghezza di una curva (p. 229): l(γ) = b a γ (t) dt t R Piano tangente ad una superficie (p. 246): Π(u, v) =σ(u 0,v 0 )+ σ u (u 0,v 0 )(u u 0 )+ σ v (u 0,v 0 )(v v 0 ) Vettore normale ad una superficie (p. 247): ν(u 0,v 0 )= σ u (u 0,v 0 ) σ v (u 0,v 0 )

6 532 Definizioni e formule Coordinate polari Trasformazione da coordinate polari a coordinate cartesiane (p. 238): Φ :[0, + ) R R 2, (r, θ) (x, y) =(r cos θ, r sin θ) Matrice jacobiana e suo determinante (p. 238): ( ) cos θ r sin θ JΦ(r, θ) =, det JΦ(r, θ) =r sin θ rcos θ Legami tra derivate parziali (p. 239): r = cos θ + sin θ, x y x = g sin θ cos θ, r θ r θ = r sin θ + x y r cos θ y = g cos θ sin θ + r θ r Cambiamento di variabili negli integrali doppi (p. 330): f(x, y)dxdy = f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ Ω Ω Coordinate cilindriche Trasformazione da coordinate cilindriche a coordinate cartesiane (p. 241): Φ :[0, + ) R 2 R 3, (r, θ, t) (x, y, z) =(r cos θ, r sin θ, t) Matrice jacobiana e suo determinante (p. 241): cos θ r sin θ 0 JΦ(r, θ, t) = sin θ rcos θ 0, det JΦ(r, θ, t) =r Legami tra derivate parziali (p. 242): r = cos θ + sin θ, x y θ = r sin θ + r cos θ, x y x = sin θ cos θ, r θ r y = cos θ sin θ +, r θ r Cambiamento di variabili negli integrali tripli (p. 339): f(x, y, z)dxdy dz = f(r cos θ, r sin θ, t) r dr dθ dt Ω Ω t = z z = t

7 Definizioni e formule 533 Coordinate sferiche Trasformazione da coordinate sferiche a coordinate cartesiane (p. 243): Φ :[0, + ) R 2 R 3, (r, ϕ, θ) (x, y, z) =(r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ) Matrice jacobiana (p. 243): sin ϕ cos θ rcos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ JΦ(r, ϕ, θ) = sin ϕ sin θ rcos ϕ sin θ rsin ϕ cos θ cos ϕ r sin ϕ 0 Determinante matrice jacobiana (p. 243): det JΦ(r, ϕ, θ) =r 2 sin ϕ Legami tra derivate parziali (p. 242): r = x ϕ = x θ = x sin ϕ cos θ + sin ϕ sin θ + y z cos ϕ r cos ϕ cos θ + r cos ϕ sin θ y z r sin ϕ r sin ϕ sin θ + r sin ϕ cos θ y x = cos ϕ cos θ sin ϕ cos θ + r ϕ r y = cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ + r ϕ r z = sin ϕ cos ϕ r ϕ r θ + θ sin θ r sin ϕ cos θ r sin ϕ Cambiamento di variabili negli integrali tripli (p. 339): f(x, y, z)dxdy dz = f(r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ) r 2 sin ϕ dr dϕ dθ Ω Ω

8 534 Definizioni e formule Integrali multipli Integrazione per verticali (p. 319): ( b ) g2(x) f = f(x, y)dy dx Ω a g 1(x) Integrazione per orizzontali (p. 319): ( d ) h2(y) f = f(x, y)dx dy Ω c h 1(y) Integrazione per fili (p. 334): ( ) g2(x,y) f = f(x, y, z)dz dx dy Ω D g 1(x,y) Integrazione per strati (p. 336): β ( ) f = f(x, y, z)dxdy dz Ω α A z Cambiamento di variabili negli integrali multipli (p. 338):. f(x)dω = f ( Φ(u) ) det JΦ(u) dω Ω Ω Primo Teorema di Guldino (p. 343): vol(ω) =2πy G area(t )

9 Integrali su curve e superfici Definizioni e formule 535 Integrale curvilineo (p. 378): b f = f ( γ(t) ) γ (t) dt γ a Integrale di linea (p. 386): b f τ = f τ = f ( γ(t) ) γ (t)dt γ γ Integrale superficiale (p. 389): f = f ( σ(u, v) ) ν(u, v) du dv σ R a Integrale di superficie (p. 395): f n = f n = f ( σ(u, v) ) ν(u, v)dudv. σ σ R Teorema di Gauss o della divergenza (p. 402): div f = f n Ω Ω Ω Teorema di Green (p. 406): ( 2 x ) 1 dx dy = y Teorema di Stokes (p. 408): (rot f) n = f τ Σ Σ Ω f τ

10 536 Definizioni e formule Quadriche notevoli z Ellissoide y x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =1 x z Paraboloide iperbolico y z c = x2 a + y2 2 b 2 x z Paraboloide ellittico z c = x2 a + y2 2 b 2 x y

11 Definizioni e formule 537 z x y Cono z 2 c 2 = x2 a + y2 2 b 2 z x y Iperboloide a una falda x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 =1 z x y Iperboloide a due falde z 2 c 2 x2 a 2 y2 b 2 =1

12 Indice analitico Arco, 142 chiuso, 142 di Jordan, 142 estremi di, 142 lunghezza di un, 229, 231 meridiano, 148, 342 semplice, 142 Area, 315, 378, 389, 392 Ascissa curvilinea, 231 Autovalore, 118 Autovettore, 118 generalizzato, 483 Baricentro, 341, 384, 394 Base canonica, 114 Binormale, 234 Bordo, 252, 256 Bottiglia di Klein, 256 Calotta, 146, 245, 392, 400 S-ammissibile, 400 regolare, 245, 246 semplice, 246 Cambiamento di variabile, 235, 327, 329, 338 Campo, 131 conservativo, 215, 409 di tipo rotore, 215 irrotazionale, 215, 416 radiale, 419 solenoidale, 215 vettoriale, 162 Centro di curvatura, 233 di una serie, 46 Chiusura, 123 Cilindroide, 308, 322 Circuitazione, 387 Coefficienti di Fourier, 87 di una serie di potenze, 46 Componente, 256 connessa, 128 Convergenza assoluta, 18, 42 puntuale, 36, 42, 96 quadratica, 93 semplice, 20 uniforme, 37, 43, 98 Coordinate cilindriche, 241, 338 curvilinee, 235 polari, 238, 329 sferiche, 242, 339 Criterio del confronto, 2, 10 del confronto asintotico, 11 del rapporto, 3, 12, 51 della radice, 13, 51 di convergenza assoluta, 19 di Leibniz, 17 di Weierstrass, 44 integrale, 14

13 540 Indice analitico Curva, 141 anti-equivalente, 227 congruente, 227 coordinata, 236 derivabile, 223 di livello, 277 equivalente, 227 integrale, 441 lunghezza di una, 229 omotopa, 414 opposta, 228, 381 piana, 142 regolare, 224, 229 regolare a tratti, 224 semplice, 142, 229 sostegno di una, 142 Curvatura, 233 Decomposizione di Helmholtz, 217 Dente di sega, 94 Derivata direzionale, 163 parziale, 160, 163, 172, 175 Determinante, 118 Differenziale, 166, 209 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, 114 triangolare, 114 Divergenza, 211, 402 Elicoide, 148 Ellissoide, 148 Equazione differenziale a variabili separabili, 445 autonoma, 442 di Bernoulli, 452 di Riccati, 452 lineare, 448 non omogenea, 448, 494 omogenea, 447, 448, 491 ordinaria, 438 soluzione, 438, 440 Esistenza globale, 462 locale, 455 Esterno, 123 di una curva, 143 Estremo libero, 178 vincolato, 283, 285 Faccia, 256 Fenomeno di Gibbs, 97 Flusso, 395 Forma normale, 438 quadratica, 120, 181 Formule di Frenet, 235 di riduzione, 313, 319, 334, 336 Frequenza, 80 Frontiera, 123 Funzione C 1 a tratti, 98 analitica, 58 armonica, 218 continua, 133 continuaatratti,82 degli errori, 60 dente di sega, 94 derivata parziale, 162 di Bessel, 64 di classe C k, 175 di Liapunov, 467 di più variabili, 129 differenziabile, 165, 209 generalmente continua, 318 gradiente, 162 implicita, 269, 271, 273, 274 integrabile, 310, 317, 332, 346 lagrangiana, 289 limite, 36 lipschitziana, 170, 209, 457 localmente lipschitziana, 463 monotona a tratti, 96 onda quadra, 88, 97, 98 onda raddrizzata, 89, 98 periodica, 78 regolare a tratti, 96 regolarizzata, 82 scalare, 129 sviluppabile, 58 vettoriale, 130, 207 Gradiente, 161, 211 Identità di Parseval, 94, 100 Insieme G-ammissibile, 397 aperto, 123

14 Indice analitico 541 chiuso, 123 chiusura di un, 123 compatto, 126 connesso, 127 convesso, 127 di convergenza, 36, 42 di livello, 130, 277 esterno, 123 frontiera di un, 123 interno, 123 limitato, 126 misurabile, 315 normale, 334 orizzontalmente convesso, 318 semplice, 318, 334 semplicemente connesso, 414 stellato, 416 verticalmente convesso, 318 Integrale curvilineo, 378, 383, 386 di flusso, 394, 395 di linea, 386, 388 di superficie, 394 doppio, 307, 308 generale, 441 improprio, 345, 346 inferiore, 310 multiplo, 307, 331, 345 particolare, 475, 487 primo, 467 singolare, 445 superficiale, 389, 391 superiore, 310 triplo, 307, 331, 332 Integrazione per fili, 334 per strati, 336 Interno, 123 di una curva, 143 Intorno, 122 Lagrangiana, 289 Laplaciano, 218 Lemma di Riemann-Lebesgue, 94 Limite, 135, 139, 140 Linearizzazione, 471 Lunghezza, 229 Massa, 341, 384 Massimo, 179 Matrice, 116 definita, 120 determinante di una, 118 diagonalizzabile, 119 esponenziale, 483 hessiana, 173 identità, 117 indefinita, 121 inversa, 118 jacobiana, 208 minore di una, 117 non singolare, 118 norma di una, 117 normale, 117 ortogonale, 117 quadrata, 116, 117 rango di una, 117 semi-definita, 120 simile, 119 simmetrica, 117 trasposta, 117 Minimo, 179 Minore, 117 Misura, 315 Molteplicità algebrica, 119 geometrica, 119 Moltiplicatore di Lagrange, 287 Momento di inerzia, 341, 384, 394 Nastro di Möbius, 250, 256 Norma euclidea, 114, 117 infinito, 38 quadratica, 82 Normale, 233 Omotopia, 414 Onda quadra, 88, 97, 98 raddrizzata, 89, 98 Operatore di Laplace, 218 differenziale, 218 Orbita, 442 chiusa, 442 Ordine, 438 Orientazione, 228, 250

15 542 Indice analitico Parametrizzazione, 246, 248 anti-equivalente, 248 equivalente, 248 Parseval, identità di, 94, 100 Partizione, 308 Piano osculatore, 233 tangente, 165, 246 Poligonale, 127 Polinomio caratteristico, 118, 478, 492 di Taylor, 176 trigonometrico, 81 Potenziale, 215, 416 Problema ai valori iniziali, 441 di Cauchy, 441 Prodotto alla Cauchy, 21 esterno, 115 scalare, 82, 114 Pseudo-derivata, 97 Punto centro, 502 critico, 180, 497 di minimo, 179 di accumulazione, 125 di equilibrio, 497 di estremo, 179 di frontiera, 122 di massimo, 179 di sella, 184 esterno, 122 fuoco, 502 interno, 122 isolato, 125 nodo, 501 regolare, 180 sella, 502 stazionario, 180, 497 Raggio di convergenza, 49, 51 di curvatura, 233 spettrale, 119 Rango, 117 Regione, 128 Regola della catena, 219 Resto di Lagrange, 176 di Peano, 177 di una serie, 9, 15, 17 Risonanza, 488, 494 Rotore, 211, 405 Scarto quadratico, 85 Serie a termini positivi, 9 armonica, 11, 15, 18 assolutamente convergente, 18 binomiale, 53, 60 centro di una, 46 coefficienti di una, 46 condizionatamente convergente, 20 convergente, 5 derivata, 55 derivazione per, 44, 55 di Fourier, 77, 87, 99 di funzioni, 42 di Maclaurin, 58 di Mengoli, 7 di potenze, 46 di segno alterno, 16 di Taylor, 58 divergente, 5 esponenziale, 46, 59 geometrica, 6, 43 indeterminata, 5 integrazione per, 43, 56 numerica,4,5 prodotto di, 21 raggio di una, 49, 51 resto di una, 9, 15, 17 semplicemente convergente, 20 somma di una, 5, 42 telescopica, 8 termine generale, 5 Sezione meridiana, 342 Sistema autonomo, 498 conservativo, 466 dissipativo, 467 fondamentale, 473 hamiltoniano, 469 lineare, 472 non omogeneo, 475, 487 omogeneo, 472, 479, 483 ortonormale, 83, 114

16 Indice analitico 543 Soluzione attrattiva, 498 di equilibrio, 497 di un equazione differenziale, 438, 440 globale, 442 massimale, 459 stabile, 497 stazionaria, 497 uniformemente attrattiva, 498 Somma,5,42 inferiore, 309 superiore, 309 Sostegno, 146 di una curva, 142 di una superficie, 146 Spazio delle fasi, 442 Spigolo, 256 Stabilità, 496 linearizzata, 506 Successione convergente, 1, 36 delle ridotte, 4 delle somme parziali, 4 di funzioni, 36 divergente, 2 geometrica, 3 indeterminata, 2 numerica, 1 Superficie, 146, 245 bordo di una, 252, 256 cartesiana, 147 chiusa, 255 di livello, 277, 281 di rotazione, 148, 393 elicoidale, 148 esterna, 256 interna, 256 orientabile, 250, 256 regolare, 245, 246 regolare a pezzi, 256 semplice, 146, 246 sferica, 148 topografica, 147 Sviluppo di Taylor, 176, 177 Teorema del confronto, 2 del rotore, 405 della divergenza, 402 della media, 324 di sostituzione, 3 di Abel, 50 di Cauchy, 458 di Dini, 274 di Fermat, 180 di Gauss, 402 di Green, 405 di Guldino, 343, 393 di Jordan, 143 di Lagrange, 169 di Pappo, 343 di Peano, 455 di Schwarz, 173 di Stokes, 407 di Weierstrass, 179 Terna destrorsa, 116, 237, 402 Toro, 151, 255, 344 Traiettoria, 442 Verso di attraversamento, 250 di percorrenza, 228, 401 Versore, 114 binormale, 234 normale, 247, 251 tangente, 232 versore normale, 398 Vettore, 113 binormale, 234 normale, 233, 247 ortogonale, 114 tangente, 225, 232 torsione, 234 Vincolo, 286 Volume, 322, 342

17 Collana Unitext - La Matematica per il 3+2 a cura di F. Brezzi (Editor-in-Chief) P. Biscari C. Ciliberto A. Quarteroni G. Rinaldi W.J. Runggaldier Volumi pubblicati. A partire dal 2004, i volumi della serie sono contrassegnati da un numero di identificazione. I volumi indicati in grigio si riferiscono a edizioni non più in commercio A. Bernasconi, B. Codenotti Introduzione alla complessità computazionale 1998, X+260 pp. ISBN A. Bernasconi, B. Codenotti, G. Resta Metodi matematici in complessità computazionale 1999, X+364 pp, ISBN E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli dinamici discreti 2002, XII+354 pp, ISBN S. Bosch Algebra 2003, VIII+380 pp, ISBN S. Graffi, M. Degli Esposti Fisica matematica discreta 2003, X+248 pp, ISBN S. Margarita, E. Salinelli MultiMath - Matematica Multimediale per l Università 2004, XX+270 pp, ISBN

18 A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica (2a Ed.) 2000, XIV+448 pp, ISBN , 2004 ristampa riveduta e corretta (1a edizione 1998, ISBN ) 13. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed.) 2004, X+262 pp, ISBN (1a edizione 2002, ISBN ) 14. S. Salsa Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni 2004, XII+426 pp, ISBN G. Riccardi Calcolo differenziale ed integrale 2004, XII+314 pp, ISBN M. Impedovo Matematica generale con il calcolatore 2005, X+526 pp, ISBN L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2005, VIII+396 pp, ISBN S. Salsa, G. Verzini Equazioni a derivate parziali - Complementi ed esercizi 2005, VIII+406 pp, ISBN , ristampa con modifiche 19. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I (2a Ed.) 2005, XII+448 pp, ISBN (1a edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN ) 20. F. Biagini, M. Campanino Elementi di Probabilità e Statistica 2006, XII+236 pp, ISBN X

19 21. S. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia 2006, VIII+178 pp, ISBN A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.) 2006, X+306 pp, ISBN S. Leonesi, C. Toffalori Un invito all Algebra 2006, XVII+432 pp, ISBN X 24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo Aritmetica, Crittografia e Codici 2006, XVI+518 pp, ISBN A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 2006, XIV+452 pp, ISBN (1a edizione 2000, ISBN ) (2a edizione 2003, ISBN ) 26. M. Abate, F. Tovena Curve e superfici 2006, XIV+394 pp, ISBN L. Giuzzi Codici correttori 2006, XVI+402 pp, ISBN L. Robbiano Algebra lineare 2007, XVI+210 pp, ISBN E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Esercizi di finanza matematica 2007, X+184 pp, ISBN A. Machì Gruppi - Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 2007, XII+349 pp, ISBN

20 31. Y. Biollay, A. Chaabouni, J. Stubbe Matematica si parte! A cura di A. Quarteroni 2007, XII+196 pp, ISBN M. Manetti Topologia 2008, XII+298 pp, ISBN A. Pascucci Calcolo stocastico per la finanza 2008, XVI+518 pp, ISBN A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica (3a Ed.) 2008, XVI+510 pp, ISBN P. Cannarsa, T. D Aprile Introduzione alla teoria della misura e all analisi funzionale 2008, XII+268 pp, ISBN A. Quarteroni, F. Saleri Calcolo scientifico (4a Ed.) 2008, XIV+358 pp. ISBN C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I (3a Ed.) 2008, XIV+452 pp, ISBN S. Gabelli Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois 2008, XVI+410 pp, ISBN A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (4a Ed.) 2008, XVI+558 pp, ISBN C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica II 2008, X+544 pp, ISBN