Complementi 2 - Le trasformazioni simmetriche ed antisimmetriche

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1 Complement - Le trasformaon smmetrche ed antsmmetrche [Ultmarevsone revsone5 5dcembre dcembre008] gn matrce A puo essere espressa come somma d una matrce smmetrca ed una matrce antsmmetrca: A = 1 HA +AT L + 1 HA AT L = E +Ω In questa Leone s studano separatamente le propreta delle trasformaon lnear rette da una matrce antsmmetrca e delle trasformaon lnear rette da una matrce smmetrca. (1) Le trasformaon antsmmetrche S consder la trasformaone lneare x = Ax, col suo assocato vettore spostamento u = x-x = (A-I)x ª Bx. La trasformaone lneare s dra antsmmetrca se la matrce B e antsmmetrca: u 1 u u 3 = 0 b 1 b 13 b 1 0 b 3 b 13 b 3 0 x = 0 a 1 a 13 a 1 0 a 3 a 13 a 3 0 Per llustrare le propreta geometrche dello spostamento u dovuto ad una trasformaone antsmmetrca s consder antutto la seguente: Prop. 1 - Sa x = Ax una trasformaone antsmmetrca. Il punto H, d coordnate Ha 3, a 13, a 1 L non subsce spostament. Dm. S ha mmedatamente: u 1 H u H u 3 H = 0 a 1 a 13 a 1 0 a 3 a 13 a 3 0 a 3 a 13 a 1 = a 1 a 13 +a 13 a 1 a 1 a 3 a 3 a 1 a 13 a 3 +a 3 a 1 x 0 = 0 0 La retta che congunge lorgne al punto H e costtuta da punt con coordnate Ha 3, a 13, a 1 L, e qund non subscono spostament. Essa e qund una dreone nvarante, ed suo punt restano fss a seguto della trasformaone. S consder ora un punto generco M, l cu spostamento MM e esprmble come: () (3) u 1 M 0 a 1 a 13 u M = a 1 0 a 3 u 3 M a 13 a 3 0 Calcolando l prodotto scalare tra l vettore M x a 1 x +a 13 a 1 a 3 = a 13 +a 3 x ed l vettore spostamento MM s ottene: M MM = u 1 M + x u M + u 3 M = H a 1 x +a 13 L +x Ha 1 a 3 L + H a 13 +a 3 x L = 0 (4) (5)

2 1 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb e qund due vettor sono ortogonal tra d loro. Analogamente, s puo calcolare l prodotto scalare tra l vettore H ed l vettore spostamento MM : H MM = a 31 u 1 M + a 13 u M + a 1 u 3 M = a 3 H a 1 x +a 13 L + (6) a 13 Ha 1 a 3 L +a 1 H a 13 +a 3 x L = 0 Il vettore spostamento e qund ortogonale al pano defnto da due vettor H ed M. Se nfne s calcola l prodotto vettorale tra H ed M s ottene un vettore le cu component sono propro le component del vettore spostamento MM : H M = det a 3 a 13 a 1 x Ha 13 a 1 x L +Ha 1 a 3 L +Ha 3 x a 13 L = In defntva, lo spostamento d un punto generco M dovuto ad una trasformaone antsmmetrca avvene nel pano formato dal raggo vettore M e dal vettore nvarante H, ed ha ampea fornta dal prodotto vettorale d quest due vettor:»mm» = HHL HML Sn φ dove f e langolo formato da due vettor, come llustrato n Fgura 1. Dalla stessa fgura, se MQ e la normale da M sullasse H, s potra scrvere QM = M Snf, e qund: (7) (8)»MM» = HHL HML Sn φ = HHL HML HQML HML = HHL HQML (9) H Q M α M φ α Fgura 1 - Lo spostamento dovuto ad una trasformaone antsmmetrca Se a e langolo formato da QM e QM, s potra scrvere:

3 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 13 e qund: Tan α = Cos α = HMML HQML = H = "############################### a 3 +a 13 +a 1 1 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 +Tan α = 1 "####################################### 1 +a 3 +a 13 +a 1 (10) (11) Accanto a questa rotaone, s ha un allungamento n dreone normale allasse H, defnto da: HQML HQML E MM = = HQML HQML HQML Cos α = 1 Cos α = "####################################### 1 +a HQML Cos α Cos α 3 +a 13 +a 1 1 (1) Poche sa langolo d rotaone a che lallungamento percentuale E MM dpendono solo da coeffcent della matrce A, ma non dalle coordnate del punto M consderato, s puo concludere che per effetto della trasformaone antsmmetrca tutt punt subscono una rotaone d ampea a, ntorno allasse della trasformaone, unta ad una dlataone clndrca ntorno alla stesso asse. Se pero langolo d rotaone e pccolo, s potra scrvere: E MM = 1 Cos α Cos α α α α (13) Le trasformaon smmetrche La trasformaone lneare x = Ax retta da una matrce A smmetrca s dce una trasformaone smmetrca. La sua mportana n Scena delle Costruon puo dffclmente essere sottostmata, n quanto molto frequente n anals della deformaone, della tensone, etc. Ga s e dmostrato che tale tpo d trasformaone ammette solo autosoluon real, e che gl autovettor d A sono ortogonal. Puo anche dmostrars un nteressante propreta d recprocta: Prop.1 - Sa x = Ax una trasformaone smmetrca. Se l vettore x e trasformato n un vettore x ed un vettore e trasformato n h, allora s ha x h = x Dm. - I due prodott scalar sono fornt da: e qund: x η = Ha a 1 +a 13 3 L + x Ha 1 1 +a +a 3 3 L + Ha a 3 +a 33 3 L ξ = 1 Ha 11 +a 1 x +a 13 L + Ha 1 +a x +a 3 L + 3 Ha 31 +a 3 x +a 33 L x η ξ = Ha 1 a 1 L + 3 Ha 13 a 31 L +x 3 Ha 3 a 3 L + x 1 Ha 1 a 1 L + 1 Ha 31 a 13 L + Ha 3 a 3 L Se la matrce A e smmetrca, s ha x h - x = 0 ð (14) (15) (16) S evnce anche dalla dmostraone precedente, che questa propreta d recprocta e caratterstca delle trasformaon smmetrche, nel senso che altre trasformaon non la rspettano.

4 14 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb Dalla propreta d recprocta dscende unaltra nteressante propreta delle trasformaon smmetrche: Prop. - Sa x = Ax una trasformaone smmetrca. Per essa, ogn dreone nvarante e una dreone prncpale. Dm. - S rcord che una dreone e nvarante se un punto appartenente ad essa s muove lungo la retta stessa, mentre una dreone, ed l pano ad esso ortogonale, sono prncpal se s trasformano n una retta ed un pano ancora ortogonal tra loro. Co premesso, sa un vettore lungo una dreone nvarante, che s trasforma nel vettore h ancora appartenente alla stessa retta, e sa P l pano ortogonale ad. Sa ora x e un vettore gacente nel pano P, e x l suo trasformato. Poche x e ortogonale ad h, ne segue che l loro prodotto scalare e nullo, x h = 0, e per la propreta d recprocta, anche l prodotto scalare tra e x e nullo, e qund x appartene anchesso al pano P. Ne segue lasserto, n quanto anche l pano P ortogonale alla dreone nvarante e nvarante. Se s consderano ora due vettor a e b, gacent nel pano P lungo le altre due dreon prncpal, e mmedato realare che due vettor trasformat a e b non possono ruotare, n quanto sarebbe volata la propreta d recprocta: e nfatt evdente dalla Fgura che a b e negatvo, mentre l prodotto scalare a b e postvo. Ne segue che anche le altre due dreon prncpal sono nvarant. ð β b a α Fgura - Una rotaone che vola la propreta d recprocta Una trasformaone per cu ogn dreone nvarante e una dreone prncpale s dce una trasformaone non-rotaonale. E possble dmostrare la: Prop.3 - Le trasformaon non-rotaonal sono le sole trasformaon a godere della propreta d recprocta

5 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 15 Dm - S consder una trasformaone generca x = Ax, e sano a e b due vettor gacent lungo due dreon nvarant, come rportato n Fgura 3. Ess s trasformano n due vettor a e b, ancora appartenent alle due dreon nvarant, scche s potra scrvere: e qund: α = λ 1 a β = λ b (17) α a φ b β Fgura 3 a β = λ a b = λ»a»»b»cosφ α b = λ 1 a b = λ 1»a»»b»cosφ (18) Poche n generale l 1 l e cos f 0, la propreta d recprocta non e rspettata. Se nvece fosse cos f = 0, le due dreon sarebbero anche prncpal, qund la trasformaone sarebbe smmetrca, e la propreta d recprocta sarebbe rspettata. ð Da queste tre proposon s puo dedurre che la smmetra della matrce mplca la condone d recprocta, che mplca a sua volta che lapplcaone e non-rotaonale. A loro volta, lessere non-rotaonale mplca la recprocta e qund la smmetra. à Dreon prncpal n una trasformaone smmetrca In questa seone s scrvera la trasformaone smmetrca da studare nella forma: ξ 1 ξ = ξ 3 1 +a 11 a 1 a 13 a 1 1 +a a 3 a 13 a 3 1 +a 33 x (19) Mentre n tal modo non s perde d generalta, e pero possble esprmere la terna d spostament nella forma:

6 16 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb u 1 u = u 3 a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 13 a 3 a 33 x (0) Come s e vsto, nelle trasformaon smmetrche le dreon nvarant sono anche dreon prncpal, ed esstono necessaramente tre dreon prncpal, ortogonal tra loro, atteso che le radc della equaone secolare devono essere real. Sano esse l 1 > l > l 3 tre autovalor della (0), e sano 1,, 3 tre ass cartesan orentat secondo le sue tre dreon prncpal. La Le component del vettore generco M secondo quest tre ass s esprmeranno come: ξ λ ξ = λ 0 ξ λ 3 ed l vettore spostamento MM sara esprmble come: x (1) u 1 u = u 3 λ λ λ 3 x () Come evdenato anche n Fgura 4, lo spostamento MM del punto M ha component che sono semplc allungament o accorcament lungo tre ass prncpal.delle proeon d M sugl ass stess X 3 X 3 λ 3 M M λ x X X λ 1 X 1 X 1 Fgura 4 - Le component d spostamento come semplc allungament ed accorcament rspetto agl ass prncpal I pan coordnat, nel sstema prncpale, sono pan prncpal ed nvarant. Nel caso, fnora non dscusso, n cu le radc non sono dstnte, e ancora possble trovare tre dreon prncpal ortogonal tra loro. Se ad esempo e l 1 = l > l 3, allora s calcola normalmente la dreone prncpale n corrspondena della radce l 3, po s dentfca l pano ortogonale ad essa, e due qualsas ass ortogonal gacent su questo pano possono assumers qual ass prncpal. Se nvece l 1 = l = l 3, allora una qualsas terna trortogonale d ass rsulta prncpale.

7 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 17 à Le component normal e tangenal d spostamento n una trasformaone smmetrca S consderno ora punt M appartenent alla sfera untara, ossa punt M le cu coordnate soddsfano lequaone: +x + = 1 (3) Per effetto d una trasformaone lneare smmetrca, l generco punto M della sfera s porta n M, venendo cos a defnre l pano MM. In questo pano, la proeone n = MN d MM sulla retta MN s dce la componente normale dello spostamento MM. Analogamente, l vettore t = MT e la proeone d MM sul pano tangente alla sfera n M, ed e defnta la componente tangenale dello spostamento. M N n α t T M Fgura 5 - Le component normal e tangenal d spostamento d un punto appartenente alla sfera untara Per calcolare la componente dello spostamento u = MM lungo la retta MN s consder che l punto M gace sulla sfera untara, e qund l vettore x = M ha lunghea untara. Ne segue che potra scrvers: n = x u = u 1 +x u + u 3 e ponendos n un rfermento prncpale: (4) n = λ 1 + λ x + λ 3 (5) La componente tangenale s ottene consderando che lo spostamento u e suddvso nelle due component normale e tangenale, e qund la sua ampea sara par a è!!!!!!!!!!!!!!! n + t. Ne segue: t = u n = λ 1 + λ x + λ 3 Hλ 1 + λ x + λ 3 L (6) Un nteressante studo grafco-analtco delle component normal e tangenal d spostamento e dovuto ad.mohr. S consderno le (3), (5) e (6) come tre equaon lnear nelle tre ncognte, x ed : λ 1 λ λ 3 λ 1 λ λ 3 x 1 x x = 3 1 n n +t (7)

8 18 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb Il determnante della matrce de coeffcent e un determnante d Vandermonde, ed e fornto da Hl 1 - l LHl - l 3 LHl 3 - l 1 L. Se qund s pota che tre autovalor sano dstnt, esso e dverso da ero, e le equaon (7) possono rsolvers, a fornre: = x = t +Hn λ L Hn λ 3 L Hλ 1 λ L Hλ 1 λ 3 L t +Hn λ 3 L Hn λ 1 L Hλ λ 3 L Hλ λ 1 L (8) (9) = t +Hn λ 1 L Hn λ L Hλ 3 λ 1 L Hλ 3 λ L (30) Ldea d Mohr consste nel rportare nel pano (n,t) le component normal e tangenal dello spostamento d cascun punto della sfera untara. In va prelmnare s osserv che le (8-30) sono relaon che convolgono solo quadrat delle coordnate x, e che qund basta lmtars alla sfera untara contenuta nellottante postvo. Se s pota, come sempre, che sa l 1 > l > l 3, punt della sfera appartenent al pano prncpale X 1 - X sono caratterat dallessere = 0, (curva AB nella Fgura seguente) e qund loro spostament avranno component normal e tangenal legat dallequaone: X 3 C B 1 A 1 M β B X A D X 1 Fgura 6 - Lottavo della sfera untara consderato t +Hn λ 1 L Hn λ L = 0 che puo scrvers anche come: (31) t +Jn λ 1 + λ N = J λ 1 λ N (3) E questa lequaone d un cercho d centro C 3 = (0, λ 1+λ ) e raggo R = λ 1 λ. Analogamente, la curva BC e defnta da punt per cu = 0, ed suo punt hanno spostament le cu component normal e tangenal gaccono sul cercho d equaone:

9 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 19 t +Jn λ + λ 3 N = J λ λ 3 N (33) qund con centro C 1 = (0, λ+λ3 ) e raggo R = λ λ3.i tre cerch sono dsegnat n Fgura 7, e sono dett cerch prncpal d Mohr. t λ 3 C 1 C λ C 3 λ 1 n Fgura 7 -I tre cerch prncpal d Mohr S consder ora l generco punto D appartenente alla curva AB, le cu component d spostamento s troveranno qund rappresentate sul cercho d centro C 3. Esso e dentfcato dallangolo b che l suo raggo vettore forma con lasse X 1, ed avra coordnate D = Cos b, x D = Sn b, D = 0. Ne segue che le sue component d spostamento possono otteners, dalla (5) e (6) come: n D = λ 1 Cos β + λ Sn β = λ 1 + λ + λ1 λ Cos β (34) t D = λ 1 Cos β + λ Sn β Hλ 1 Cos β + λ Sn βl = λ 1 Cos β + λ Sn β λ 1 Cos 4 β λ Sn 4 β λ 1 λ Sn βcos β = λ 1 Cos β H1 Cos βl + λ Sn β H1 Sn βl λ 1 λ Sn βcos β = λ 1 Cos βsn β + λ Sn βcos β λ 1 λ Sn βcos β = Hλ 1 λ L J Sn β e qund lampea della componente tangenale d spostamento e par a: N (35) t D = ± λ 1 λ Sn β (36) In defntva, l punto D percorre larco AB, mentre l suo punto rappresentatvo d percorre l corrspondente cercho d Mohr.

10 0 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb t δ β λ C 3 λ 1 n Fgura 8 - Lmmagne sul cercho d Mohr del punto D rportato n Fgura 6 Quanto detto vale per le altre due curve AC e BC, e solo per esse. S consder nvece l generco parallelo, ad esempo quello d equaone = h, rappresentato n Fgura come la curva A 1 B 1, ed l generco merdano, ad esempo l merdano d equaone x = K, rappresentato n Fgura 6 come larco CD, e s vogla consderare la loro mmagne nel pano (n,t). Per l parallelo, s ha subto, dalla (30), che le component normale e tangenale d spostamento devono soddsfare lequaone: t +Hn λ 1 L Hn λ L = h Hλ 3 λ 1 L Hλ 3 λ L e qund devono appartenere ad un cercho d centro C 3 e raggo: (37) R = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% J λ 1 λ N +h Hλ 3 λ 1 L Hλ 3 λ L Analogamente, l merdano d equaone x = K ha mmagne, nel pano (n,t) d equaone: (38) t +Hn λ 3 L Hn λ 1 L = K Hλ λ 3 L Hλ λ 1 L t +Hn λ L Hn λ 3 L Hλ 1 λ L Hλ 1 λ 3 L (39) ossa ancora un cercho con centro sullasse orontale, che passera per le mmagn d C, ossa per l punto l 3, e d D, ossa d. Lmmagne del generco punto M sul pano (n,t) s ottene traccando cerch relatv al merdano ed al parallelo passante per esso, ed e possble dmostrare che essa appartene alla regone contenuta tra tre cerch prncpal, l cosddetto arbelo d Mohr. In partcolare, l merdano ha mmagne n un cercho d cu s conosce l centro ed l raggo, mentre l parallelo s trasforma n un cercho l cu centro appartene allasse orontale, che deve passare per l 3 e d. Lunca dffcolta potrebbe essere esprmere opportunamente langolo b che compare nelle (34) e (36). S osserv pero che M appartene alla sfera untara, e qund le sue coordnate assumono anche l sgnfcato d cosen drettor del vettore M. Dalla Fgura seguente e pertanto possble dedurre D = "############## l 1 + l = "############ 1 - l 3, e qund: Cos β = l 1 "############# 1 l 3 (40)

11 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 1 X 3 M l 3 X l 1 β l D X 1 Fgura 9 - Le coordnate del punto M sulla sfera untara dventano cosen drettor del segmento M Lntero procedmento per ottenere le coordnate del punto m, mmagne del generco punto M sulla sfera untara, e rportato n Fgura 10 t m a 1 b 1 β λ 3 C 1 C λ C 3 λ 1 n Fgura 10 - Lmmagne m del punto M generco ottenuta come nterseone tra due cerch à La componente sferca e devatorca ìn una trasformaone lneare smmetrca S consder una trasformaone lneare smmetrca, ponendola nella forma x = (I+A)x. S supponga noltre d pors n un sstema d rfermento prncpale, n cu gl spostament sano esprmbl come:

12 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb u 1 u = u 3 λ λ λ 3 E talvolta convenente esprmere la matrce A come somma d due matrc: A = λ λ λ 3 = avendo defnto la meda delle tre radc: x λ m λ m λ m + λ λ 0 = A s +A d 0 0 λ 3 (41) (4) λ m = λ 1 + λ + λ 3 3 e, d conseguena: (43) λ 1 = λ 1 λ m λ = λ λ m λ 3 = λ 3 λ m Adottando la decomposone (4) lo spostamento u s esprme come somma d due component: u = u s +u d = λ m λ m λ m x + λ λ λ 3 x (44) (45) La prma alquota d spostamento avvene, per costruone, lungo la retta M, e qund corrsponde ad una dlataone sferca, estensone o contraone che sa: X 3 M M β x H1+λ m L X H1+λ m L X 1 H1+λ m Lx Fgura 11 - La dlataone sferca dovuta alla componente sferca dello spostamento La restante parte dello spostamento e caratterato da una matrce a tracca nulla, n quanto: λ 1 + λ + λ 3 = λ 1 λ m + λ λ m + λ 3 λ m = 0 (46)

13 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 3 ed e detta la parte devatorca dello spostamento. E nteressante notare che questa decomposone dello spostamento e faclmente rappresentata sul pano d Mohr: t λ m λ 1 λ λ 3 C 1 C C 3 λ λ 1 n λ 3 Fgura 1 - La decomposone dello spostamento n parte sferca e devatorca sul cercho d Mohr Sfruttando nfatt la propreta de cerch d Mohr e possble traslare lorgne dellasse vertcale d una quantta par a l m, per po utlare questo nuovo asse per calcolare le component devatorche dello spostamento. Le trasformaon smmetrche pane Sa P un pano prncpale d una trasformaone smmetrca, e sano X 1 ed X due ass d rfermento stuat nel pano P, mentre l tero asse X 3 e ortogonale al pano stesso. In una trasformaone smmetrca, l pano prncpale e anche un pano nvarante, e qund la dnamca su P puo essere studata n un contesto b-dmensonale. S consder allora la trasformaone: J ξ 1 ξ N = J 1 +a 11 a 1 a 1 1 +a N J x N scche gl spostament sono esprmbl come: (47) J u 1 u N = J a 11 a 1 a 1 a N J x N A seguto d una rotaone q del sstema d rfermento nuov ass X 1 da loro cosen drettor rspetto a vecch ass. Dalla Fgura 13 s legge: ed X (48) potranno essere dentfcat

14 4 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb l 11 = Cos HX 1, X 1 L = Cos H π θl = Cos θ l 1 = Cos HX, X 1 L = Cos I π π θm = Sn θ l 1 = Cos HX 1, X L = Cos I π θm = Sn θ l = Cos HX, X L = Cos H π θl = Cos θ (49) e qund nel nuovo sstema d rfermento la matrce A della trasformaone lneare ha element a = l l m a m : X X X 1 Fgura 13 - La rotaone del sstema d rfermento n un contesto bdmensonale θ X 1 a 11 = a 11 l 11 +a l 1 + a 1 l 11 l 1 = a 11 Cos θ + a Sn θ + a 1 SnθCosθ = a 11 +a + a 11 a Cos H θl + a 1 Sn H θl a = a 11 l 1 +a l + a 1 l 1 l = a 11 Sn θ + a Cos θ a 1 SnθCosθ = a 11 +a a 11 a Cos H θl a 1 Sn H θl = a 11 l 11 l 1 +a l 1 l +a 1 Hl 11 l +l 1 l 1 L = a 1 Ha a L SnθCos θ +a 1 HCos θ Sn θl = a 11 a Sn H θl + a 1 Cos H θl La rotaone f per cu a 1 s annulla fornsce la posone degl ass prncpal: (50) ossa: = a11 a a 1 Sn H φl + a 1 Cos H φl = 0 (51) φ = 1 ArcTanA a 1 E a 11 a (5)

15 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 5 X P M 1 β φ P X 1 Fgura 14 - La rotaone del sstema d rfermento fno a gungere agl ass coordnat Il calcolo degl autovalor l 1 e l puo condurs analtcamente, rsolvendo lequaone secolare: ossa: Det J a 11 λ a 1 a 1 a λ N =0 (53) con radc: λ Ha 11 +a L λ +a 11 a a 1 = 0 λ 1, = a 11 +a ± 1 a 11 +a ± $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% I a 11 a M +a 1 "################################################################## Ha 11 +a L 4 a 11 a +4 a 1 = (54) (55) Equvalentemente, valor d l 1 e l possono leggers dal cercho d Mohr relatvo a fasc d pan che s appoggano allasse prncpale X 3. Assegnato un punto generco M sul cercho untaro, come ndcato n Fgura 14, esso e dentfcato dallangolo b che l segmento M forma con lasse prncpale 1. Per ottenere lmmagne m sul cercho prncpale d Mohr basta ruotare lasse orontale el doppo d b, ottenendo le component normal e tangenal dello spostamento d M. Sceglendo nvece, sul cercho untaro, l punto P appartenente allasse X 1, la sua mmagne nel pano d Mohr s ottene ruotando lasse orontale del doppo dellangolo f, mentre lmmagne del punto P appartenente allasse X e stuata n posone smmetrca rspetto al centro del cercho prncpale d Mohr.

16 6 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb t n p m C 3 β l d b l φ 1 t n p Fgura 15 - Il cercho d Mohr relatvo a pan che s appoggano allasse X 3 Per un punto generco M sul cercho untaro s puo scrvere: M = x = Cos β Snβ 0 e qund la componente normale d spostamento e fornta da: n = x u = u 1 +x u + u 3 = Ha 11 Cosβ +a 1 SnβL Cosβ +Ha 1 Cosβ +a SnβL Snβ = a 11 Cos β +a Sn β + a 1 SnβCosβ = a 11 +a + a 11 a Cos H βl +a 1 Sn H βl Lampea della componente tangenale s ottene come: t = u n = Ha 11 +a 1 x L + Ha 1 +a x 11 +a 1 x L +Ha 1 +a x L x D = a 11 a Sn H βl +a 1 Cos H βl e dopo qualche passago s gunge a: (56) (57) (58)»t» = a 11 a Sn H βl +a 1 Cos H βl (59) Lmmagne del punto P s ottene ponendo b = 0, e qund l punto p sul cercho d Mohr avra coordnate Ha 11, a 1 L, mentre lmmagne del punto P s ottene per b = p/, e qund p avra coordnate Ha, a 1 L. Sfruttando questa crcostana, l cercho d Mohr puo essere costruto a partre dalla sola conoscena de tre element a 11, a ed a 1 della trasformaone: - s rportano le mmagn del punto P, a 11 postva verso destra ed a 1 postva verso l basso, ottenendo l punto p, detto polo della trasformaone.

17 Complement - Le trasformaon antsmmetrche e smmetrche.nb 7 - s rportano le mmagn del punto P, a postva verso destra ed a 1 postva verso lalto, ottenendo l punto p detto antpolo della trasformaone - congungendo p e p s ottene l dametro del cercho, mentre lnterseone del segmento pp con lasse n e l centro C 3 del cercho. Grafc