Esempi di Circuiti P10-

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Giulio Maggio
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1 Esempi di Circuiti P10-5

Circuits Electrical circuit: continuous conducting path

devices and then back to the other terminal.

metal wire No electric field: Apply electric field

2 Circuits Electrical circuit: continuous conducting path from one terminal of the emf source to one or more devices and then back to the other terminal. Current in metal: microscopic view Consider a piece of metal wire No electric field: Apply electric field Random motion v~ 10 6 m/s Number of electrons moving to the left and to the right is equal. Net current I = 0 A drift: a preferred direction: like air molecules in a gentle breeze Net current I 0 4

3 Current in metal: drift velocity In electric field electrons have a nonzero average velocity called drift velocity: v D The drift speed is finite, because electrons collide with other electrons and with ions: for example, in copper it travels only ~40 nm between collisions Typical average drift speeds are < 1 mm/s Drift speed and current n - number of conduction electrons per unit volume Question: how does I relate to v D? Answer: 1. In time t, electrons move distance: v D t 2. Volume: Av D t 3. # of electrons: nav D t 4. Total charge that moves through cross-section: Q = enav D t Q 5. The magnitude of current in the wire: I = = enavd t This equation can be generalized for any type of charges For more than one type of charges total current is the sum of currents due to each charge type 5

4 Resistività elettrone in un conduttore: E e - Equazione del moto: m e dv/dt = q e E Per E > 0, ( v -> infinito) Analogia con la Gravità

5 Gravità -f v m g v Equazione del moto: m dv/dt = m g - f v "Frizione"cresce con v, limita la velocità max. v<v max ( m g = f v max )

6 Resistività e - Da dove proviene l' "attrito"? Metalli: Gli elettroni si muovono nel reticolo di atomi Interazioni con vibrazioni reticolari (Fononi) Interazioni con le impurezze

7 Modello classico: Drude e Lorentz, 1905 il problema: la legge di Ohm V=RI suggerisce una proporzionalità tra forza (campo elettrico) e velocità (intensità di corrente) moto viscoso conduzione elettrica nei metalli I V l S il modello: gli elettroni in un conduttore si comportano come un gas di particelle quasi libere che si muovono con velocità disordinata di agitazione termica in tutte le direzioni, secondo la distribuzione di Boltzmann (velocità termica v t ) in presenza di un campo elettrico gli elettroni vengono accelerati in direzione opposta al campo, acquistando una velocità media ordinata in questa direzione (velocità di deriva v d ) negli urti anelastici contro gli ioni del reticolo perdono l energia in più acquistata nell accelerazione e ripartono con l energia termica media (il che spiega l effetto Joule) la velocità media di deriva è quindi la velocità media acquistata sotto l azione del campo elettrico nel tempo medio τ fra un urto e il successivo (tempo di rilassamento)

8 <v>=0 <v>= v D > 0 E =0 E >0 Se E > 0: l'elettrone accelera tra un urto e l'altro In media: l'elettrone va nella direzione E con velocità media (velocità di drift)

9 v D Velocità di Drift Equazione del moto: m e dv/dt = q e E f v Per dv/dt = 0 -> v D = (q e E) / f Stato stazionario attrito

10 Con quale velocità si muovono gli electroni? Velocità agitazione termica: v th ~ 10 6 m/s v D ~ 10-3 m/s Attesa per l'accensione? t = 10m/v D = 10 4 s ~ 3 ore!?! No, t = 10m/c = 3*10-7 s Tutti gli elettroni iniziano a muoversi non appena E> 0

11 Corrente: Flusso di Cariche Corrente media I av : Carica Q che attraversa A nel tempo t I av Q = t Corrente Istantanea : limite di I av dq I = dt Unità: Coulombs/second = Ampere

12 "Verso" della Corrente E' il verso in cui fluisce una carica positiva oppure, il verso opposto, per una carica negativa

13 Densità di corrente J J: corrente/(unità di area) J I Iˆ A Î punta nel verso della corrente I ˆ = J nda = J da S S

14 Perchè la corrente fluisce? Se un campo elettrico è presente in un conduttore, le cariche si muoveranno dando origine alla corrente Notare che in tal caso, il conduttore non è più una superficie equipotenziale (e E interno 0)!

15 Legge di Ohm microscopica E= ρ J o J = σ E ρ 1 σ ρ e σ dipendono solo dalle proprietà microscopiche del materiale, non dalla sua forma.

16 Visione microscopica A v D * dt E a v D -q L b I = dq/dt = 1/dt * (Carica che attraversa A) = 1/dt * q * n q *(A v D dt) = q n q A v D = q n q v D A Cariche/Volume Volume

17 A v D * dt E I = q n q v D A a v D -q L b Velocità Area Velocità * Area: Flusso! Def: J = q n q v D Densità di Corrente ([J] = A/m 2 ) Charges/Volume I = J A

18 A v D * dt E v D -q b a L J = q n q v D come dipende dal campo E? Ricordiamo: v D = (q e E) / f -> J = q 2 n q /f E J = 1/ρ E; ρ = f /(q 2 n q ) costante

19 Un conduttore realizza dunque un tubo di flusso per il vettore densità di corrente. Nei metalli si hanno solo portatori a carica negativa (elettroni). Nel caso di conduttori bipolari quali i semiconduttori si dovrà tenere conto anche dei portatori di carica positive (buche) MODELLO DRUDE-LORENTZ In questo modello si fa l ipotesi che gli ioni di un metallo possono essere considerati fissi e che nello spazio tra di essi gli elettroni di conduzione compiono moti molto rapidi e completamente casuali negli urti elettrone-ione, tali da perdere memoria del loro stato di moto precedente alla collisione. Si assume inoltre che le collisioni tra elettroni possano essere trascurati rispetto a quelle tra elettroni e ioni (elettroni perfettamente liberi di muoversi all interno del conduttore). Applicando un campo elettrico esterno ogni elettrone subisce un accelerazione nel verso opposto a quello del campo e continuerebbe ad accelerare se non ci fossero le collisioni che equivalgono ad una forza di smorzamento (tipo attrito) che si oppone al loro moto ed è proporzionale alla velocità di deriva degli elettroni. Supponendo che la variazione media della quantità di moto in una collisione sia: -mv dove m è la massa dell elettrone e v la velocità di deriva, e indicando con τ c il tempo medio tra due collisioni, la forza di smorzamento può essere rappresentata come

20 mv Fs τ c La seconda legge della dinamica dà: F ee mv m dv τ dt c oppure equivalentemente dv m m v ee dt τ c La velocità di deriva si sovrappone alle velocità termiche casuali. Integrando si ha: v dv ( ee / m v / τ ) 0 c 0 e quindi t dt t v v d 1 exp( τc ee con vd τ c m Dove v d è la velocità di deriva ( o drift) limite alla quale tende l elettrone per t τ c. Per t=τ c l elettrone raggiunge la velocità v 0. 62v c d Si può perciò definire un tempo caratteristico rilassamento τ τ tale che c τ di

21 e vd τ E dove v d è la velocità di deriva media degli m elettroni. La densità di corrente 2 ne τ J nevd E m cioè c è proporzionalità tra J ed E. 2 ne τ J E σ E oppure E ρ J m La costante di proporzionalità σ è la conducibilità e l inverso ρ è la resistività del mezzo.

23 Nel caso di un conduttore omogeneo ed isotropo di lunghezza L e sezione costante S ai capi del quale si applica una d.d.p. V, si ha: J V I JS ; E L σ E che combinate assieme danno la legge di Ohm in forma microscopica: I S V σ L L V ρ I RI S Dove R che dipende dalla natura del mezzo e dalla sua geometria prende il nome di resistenza elettrica e nel caso di materiali omogenei ed isotropi, flussi di corrente costanti e perpendicolari alla sezione del conduttore è data da: R L ρ. S Generalmente tensione e corrente non sono linearmente proporzionali (materiali non-ohmici). Per essi dv R (resistenza differenziale). di

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