Fondamenti di ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI

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1 Fondamenti di ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI E. Del Re Università di Firenze Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Laboratorio di Elaborazione dei Segnali e Comunicazioni (LESC)

2 Elaborazione Numerica dei Segnali (ENS) Cosa è? Perché? Dove?

3 ENS Cosa è? L'elaborazione numerica dei segnali è la applicazione di una sequenza opportuna di operazioni aritmetiche o logiche (algoritmo) ad una serie numerica (es. cire binarie) che rappresenta (in modo esatto o suicientemente approssimato) un segnale (in genere originariamente analogico) Con lo scopo (elaborazione) di modiicarlo, di migliorarne la qualità o di estrarne delle inormazioni 3

4 Schema di principio della ENS Segnale analogico Rappresentazione numerica (Digitalizzazione) ENS Ricostruzione analogica o estrazione di inormazioni 4

5 ENS Perché? PRO Universalità, lessibilità, estesa gamma di (nuove) elaborazioni realizzabili Programmabilità (processori digitali, es. DSP) Precisione acilmente controllabile con il numero di bit usati Realizzazioni più acilmente riproducibili : HW dedicato (es. VLSI-Very Large Scale Integration) o logica programmabile (DSP- Digital Signal Processor; FPGA-Flexible Programmable Gate Arrays); trascurabili eetti termici e di invecchiamento Compatibilità maggiore con i sistemi già numerici (ad es. comunicazioni numeriche, dati,...) CONTRO Velocità di elaborazione: limitata dalla complessità algoritmica e dalla tecnologia Consumi di potenza (spesso, ma non sempre) superiori ad equivalenti soluzioni analogiche 5

6 ENS Dove? File multimediali: CD, DVD, MP3, JPEG, MPEG,. Tx/Rx cellulari; codiica audio, immagini e video; GPS; internet mobile TV digitale terrestre e satellitare (DVB) Applicazioni: telecomunicazioni, biomedica, sismica, disabili, automazione industriale, traico, sonar e radar, array di sensori, stime spettrali, etc....e in uturo... ovunque (pervasiva) 6

7 FENS Contenuto del corso Digitalizzazione dei segnali Sistemi discreti lineari tempo-invarianti Trasormata discreta di Fourier Progetto di iltri FIR Progetto di iltri IIR Realizzazione di sistemi di ENS Laboratorio con MATLAB I rierimenti ai Capitoli di rieriscono al testo: F.Argenti, L.Mucchi, E.Del Re, ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI. Teoria, esercizi ed esempi al calcolatore, McGraw-Hill,

8 Materiale didattico di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali Diapositive del Corso divise per Capitoli (pd) 8

9 Esempi di segnali Voce: qualità teleonica 0-4 khz qualità migliorata 0-7 khz Audio (es. musica): 0-0 khz Spettro elettromagnetico Biomedica: 0-00 Hz Sismica: Hz Nota: ENS applicata anche a segnali bidimensionali (immagini) e video 9

10 10

11 DIGITALIZZAZIONE DEI SEGNALI [Cap. 1] 11

12 Conversione analogico - digitale x a (t) Segnale analogico ( o tempo-continuo ) A/D ADC x(nt) Segnale numerico ( o digitale ) 1

13 Due operazioni: segnale tempocontinuo segnale tempodiscreto segnale numerico o digitale x a (t) T x c (nt) Q x(nt) Campionamento Quantizzazione 13

14 Campionamento in teoria può non introdurre degradazione sul segnale Quantizzazione introduce comunque un errore (errore di quantizzazione) 14

15 CAMPIONAMENTO IDEALE x a (t) x c (nt) = x a (nt) X a ( ) T = 1/ c X c ( ) Ideale: tempo istantaneo di chiusura dell'interruttore con passo di campionamento T (requenza di campionamento c = 1/T ) T 15

16 Relazioni tempo-requenza (Trasormata di Fourier) [Cap ] Segnale continuo j π t spettro X a ( ) = xa ( t) e dt (T.F. diretta) + x a ( t) = + X a ( ) e j π t d (T.F. inversa) x a (t) X a () t 16

17 Segnale discreto X + j π nt c ( ) = xc ( nt ) e T.F. diretta n= (tempo-discreta) = + n= x c ( nt ) e j π F n = X c (F) F = T = requenza normalizzata c (è quella che conta nella ENS!) 17

18 x x c (nt) c 1/ ( nt ) = T = = T X 1/ T 1/ 1/ 1 0 X X c c c ( ) e ( F) e ( F) e j π nt j π F n j π F n d df df T. F. inversa X c ( ) n PERIODO T 1 T 1 T 1 F 18

19 Condizione suiciente: Osservazioni Dimensioni diverse per X a ( ) e X c ( ) X c ( ) non sempre esiste (serie non convergente) x c (nt ) n < ( serie assolutamente sommabile) X c ( ) periodica di periodo c = 1/T ovvero X c (F) periodica di periodo 1 19

20 Banda utile del segnale campionato: per deinizione quella compresa ra: c ovvero F 1 0

21 Teorema del campionamento Relazione ra X c ( ) e X a ( ) X c ( ) = 1 T + k= X a ( k c ) X c ( ) è la somma di un numero ininito di repliche dello spettro di x a (t), ciascuna traslata di un multiplo intero della requenza c 1

22 X a ( ) k=0 c k=1 c k= c X c ( ) N.B.: si sommano le unzioni complesse (non i moduli) N.B.: può presentarsi il enomeno detto aliasing o sovrapposizione spettrale (distorsione spettrale)

23 Esempio 1: 1 x a (t) x a t ( t) = a u( t), a < 1 a= t X a ( ) = 1 jπ ln a 3 1 X a () X a () arg(x a ()) a=

24 T =1 x c (n) 1 x c n ( n) = a u( n), a < 1 a=0.7 X F = 1 1 a e c ( ) jπf X c (F) X c (F) arg(x c (F)) a=0.7 n F 4

25 Esempio : 1 x a (t) x a t ( t) = a u( t), a < 1 a= X a () X a () arg(x a ()) t X a ( ) = 1 jπ ln a 5 a=

26 T =1 1 x c (n) x c n ( n) = a u( n), a < 1 a=0.9 X F = 1 1 a e c ( ) jπf X c (F) n X c (F) arg(x c (F)) a= F

27 Condizione di assenza di distorsione spettrale (condizione di Nyquist) 1) segnale limitato in banda B X ( ) = 0 per > B a ) c > B (requenza di Nyquist) (1 e ) repliche disgiunte in requenza c 7

28 X a ( )... -B B X c ( )... B c -B c c + B c Banda di guardia: c -B (necessaria in pratica) Se 1 o non sono entrambe veriicate: parziale o totale sovrapposizione delle repliche (distorsione spettrale dovuta al campionamento) 8

29 Esempio Segue dal teorema del campionamento che campionando a c i due segnali reali continui (sinusoidi): segnale continuo segnale discreto 1 c 1 c (mostrate solo le requenze positive) 1 3 9

30 Se 3 c = c dopo il campionamento le requenze e 3 sono indistinguibili Osservazione tutte le requenze oltre c / sono ribaltate nella banda utile 30

31 m s 1 1 = 3000, c = Sinusoide a requenza 1 =3000 Hz correttamente campionata a c =8000 Hz. Lo spettro risultante è corretto ms 1 1 = 5000, c = E. Del Sinusoide Re Fondamenti a requenza di 1 Elaborazione =5000 Hz campionata Numerica a c dei =8000 Segnali Hz. 31 La sinusoide appare ribaltata rispetto a c /.

32 Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB ( reperibili a: Aliasing 3

33 Ricostruzione del segnale analogico y(nt) D/A DAC y a (t) 33

34 Idealmente: y c (nt) 1 c / iltro passa-basso ideale (analogico) y a (t) Y c ( ) Y a ( ) -B B c / c -B B Osservazione: Se y c (nt)=x c (nt) i campioni sono una rappresentazione equivalente del segnale analogico originario se le condizioni 1 e sono veriicate ( a meno del attore di scala 1/T ) 34

35 Formula di ricostruzione Per ottenere il segnale continuo dai suoi campioni: y a ( t) = + senπ ( t y ( nt ) c c π ( t n= c nt nt ) ) 35

36 RICHIAMI DEL CAMPIONAMENTO DI SEGNALI ALEATORI [per approondimenti App. A)] x a (t) segnale aleatorio x c (nt) ha la stessa densità di probabilità di x a (t) E segnali stazionari in senso lato E { x ( nt ) } = m media c { x ( nt) x ( nt mt) } r ( mt) = c c x + autocorrelazione x r x (mt) corrisponde al campionamento della autocorrelazione continua r(τ ) di x a (t) 36

37 Spettro di potenza G x ( ) di x c (nt) G x ( ) è la Trasormata di Fourier di r x (mt) Se G a ( ) è lo spettro di potenza di x a (t), cioè la trasormata di Fourier di r (τ ), si ha G x 1 ( ) = G ( k a c T k= Sequenze stazionarie ed ergodiche Quelle per cui coincidono le medie temporali e le medie di insieme ) 37

38 Sequenze a spettro bianco r x ( mt ) = r (0) δ ( mt x ) G x( ) = costante = rx (0) Potenza di una sequenza ( a media nulla) x { x ( nt ) } r (0) S = E = c x che coincide con la varianza σ x della sequenza 38

39 0.5 Esempio di segnale a spettro bianco x(n) n 0 db F 39

40 QUANTIZZAZIONE [Cap. 1.5] 40

41 Due operazioni: segnale tempocontinuo segnale tempodiscreto segnale numerico o digitale x a (t) T x c (nt) Q x(nt) Campionamento Quantizzazione 41

42 QUANTIZZAZIONE x c (nt) segnale tempodiscreto Q x(nt) segnale numerico o digitale 4

43 Quantizzazione uniorme x(nt) arrotondamento 3q q q q q 3q x c (nt) q passo di quantizzazione 43

44 Errore di quantizzazione e( nt ) = xc( nt ) x( nt ) x c ( nt ) = x( nt ) + e( nt ) ovvero e( nt ) q arrotondamento [ ] non usato in ENS 0 e ( nt ) < q troncamento 44

45 e(nt) : Modello dell errore di quantizzazione ( comunemente assunto) segnale aleatorio indipendente da x c (nt) e quindi da x(nt) densità di probabilità uniormemente distribuita: (arrotondamento) bianco valor medio: 0 arrotondamento [q/ troncamento ] varianza: q q = 1 q q e de q 1 σ e = 0 q 1 q e 45

46 Potenza dell errore di quantizzazione: = 1 N q 1 Ge( F) df = q 1 Densità spettrale di potenza: q Ge ( ) = ovvero Ge( F) = 1 q 1 46

47 Valutazione critica del modello Controesempi banali di non validità del modello Es.: - segnale costante - sinusoide con requenza sottomultipla della requenza di campionamento - onda quadra - molti segnali deterministici - ecc. 47

48 Si può supporre valido se il segnale è suicientemente complicato : per esempio se da campione a campione attraversa diversi livelli di quantizzazione ed in modo apparentemente non deterministico Modello adeguato nella maggior parte dei segnali di interesse Modello realistico e matematicamente trattabile 48

49 Rapporto segnale - rumore di quantizzazione B bit (compreso il segno): B livelli Dinamica quantizzatore (in uscita) SNR q = S N q = ( ± 1) q = Potenzadel segnale Potenza err. diquantizzazione B = S B = 3S = q /1 ( SNR ) = 6.0B q db Ogni bit aggiunto a aumentare SNR q di 6.0 db S db (db) 49

50 Esempi particolari Segnale sinusoidale (val. max = 1, S=1/) ( SNR q ) = 6.0B db Segnale gaussiano Semi-Dinamica quantizzatore: (db) 1 = 4σ = 4 S [ { } 5 Pr ob x ( nt ) > 4σ ] S c 1 = 16 ( SNR q ) db = 6.0B 7.7 (db) 50

51 Esempi numerici: SNR q (db) B sinusoide gaussiano

52 Degradazione del rapporto segnale/rumore segnale + rumore segnale + rumore + err. quantizz. x c (nt) x(nt) Q S, N i S, N i, N q SNR i = S N i SNR uq = S ( N + N ) q i 5

53 Ipotesi: rumore ed errore di quantizzazione incorrelati 1 SNR uq = 1 SNR i + 1 SNR q degradazione Δ db =( SNR ) ( SNR ) i db uq db Dati SNR i e B, si determina ΔdB Dati SNR i e Δ si determina SNR db q e quindi B. 53

54 Esempio Segnale con un dato rapporto segnale-rumore SNR i Possiamo immaginare SNR i come generato da una equivalente ipotetica quantizzazione. Domanda: quanti bit aggiuntivi rispetto a questa ipotetica quantizzazione devo aggiungere nel quantizzatore eettivo per avere una degradazione di? Δ db 54

55 bit aggiuntivi rispetto all ingresso 3 0 Δ db

56 CONVERSIONE A/D DI SEGNALI PASSA-BANDA 1. Campionamento diretto Se la banda del segnale x a (t) è compresa ra k ( k+1) x x k intero si ha assenza di sovrapposizione spettrale delle repliche (assenza di distorsione spettrale) se si campiona il segnale alla requenza: c = x 56

57 Possiamo distinguere due casi c = x x a (t) Caso 1 : k dispari // // k x ( k +1) x x c (nt) Caso : k pari c / x c (nt) c / 57

58 Per questi tipi di segnali si può convertire alla requenza c = x, senza distorsione x a (t) A/D x c (nt) T = 1/ c x da scegliere in modo che la banda del segnale sia compresa ra due suoi multipli interi consecutivi (soluzione non univoca) 58

59 Osservazione Nel caso 1 (k dispari) la replica dello spettro in banda base è invertita rispetto a quella nella banda originaria Nel caso (k pari) la replica dello spettro in banda base non è invertita rispetto a quella nella banda originaria Se l inversione spettrale è un problema. 59

60 Segnale Inversione spettrale per segnali numerici. 1 Spettro di ampiezza x(nt) F Segnale Si invertono di segno i campioni dispari del segnale originale. Il relativo spettro risulta invertito. 1 Spettro di ampiezza ( in ver sio ne ) x (nt) = (-1) n x(nt) F 60

61 Formula di ricostruzione x a sen π ( t nt )/ ( t) = x ( nt ) c cos π ( t c 0 π ( t n T ) 0 + n= k + 1 = c c requenza di centro banda nt) 61

62 Ovvero: x c (nt) 1 x a (t) 1 iltro passa-banda ideale (analogico) = k 1 c = ( k + 1) c 6

63 . Campionamento delle componenti I e Q x a (t) B B 0-0 x a ( t) = a( t) cosπ 0 t b( t) senπ 0 a(t) componente I (in ase) b(t) componente Q (in quadratura) a( t) A( ) B = 0, per b( t) B( ) 0 t 63

64 x a (t) A. Metodo tradizionale cos π 0 t H( ) A/D a(nt) H( ) A/D b(nt) sen π 0t H( ) iltro passa-basso per c = 1/T = B B 64

65 Problemi: moltiplicatori identici (analogici) sinusoidi esattamente sasate di 90 (generate analogicamente) iltri (analogici) identici nei due rami due A/D sincroni 65

66 B. Metodo numerico cos π nt 0 ' H( ) Sottocampionam. al passo T a(nt) x a (t) A/D x c (nt ) c =1/T H( ) Sottocampionam. al passo T b(nt) sen π nt 0 ' c = 1/T = B H( ) iltro numerico passa-basso per B 66

67 Vantaggi: un solo A/D (anche se più veloce) sinusoidi (numeriche) esattamente sasate di 90 iltri identici (numerici) 67

68 C. Metodo con c = 1/T= 4 0 (migliorabile!) x c ( nt ) = a( nt ) cos π 0 n 4 0 b( nt ) sen π 0 n 4 0 nπ nπ = a( nt ) cos b( nt ) sen [ 1,0,-1,0] [0,1,0,-1] 68

69 n pari a( nt ) = ( 1) x( nt ) + / - n x a (t) A/D c = 1/T T n dispari -/ + n+ 1 b( nt ) = ( 1) x( nt ) 69

70 x a (nt) n a(nt) n pari n b(nt) n dispari n 70

71 Realizzazione Si deve convertire il segnale x a (t) ad una requenza intermedia 0 e poi campionarlo a c =4 0 a(nt) b(nt) 0 c c =4 0 sottosequenza pari a segni alterni sottosequenza dispari a segni alterni 71

72 Osservazioni 1. I e Q correttamente campionate a ' c 1 c = = = 0 T B. I e Q non allineate temporalmente (ma possono diventare allineate con un operazione di interpolazione) 7

73 c = 4 0 è troppo grande? Soluzione: generalizzazione (usata in pratica) È suiciente scegliere una c = 4 0 / ( k + 1), k intero c > B 73

74 CONVERSIONE A/D CON CAMPIONAMENTO REALE [Cap. 1.4] Due contributi: 1. Aliasing o ripiegamento dello spettro. Tempo non istantaneo di campionamento (aperture time del S/H) 74

75 1. Ripiegamento dello Spettro e Filtro di antialiasing segnale da campionare x a (t) A/D x(nt) t Filtro di antialiasing Il iltro di antialiasing limita la banda del segnale in modo da ridurre la distorsione spettrale Filtro di antialiasing = passa basso non ideale 75

76 G a ( ) Densità spettrale di potenza c / S/ D/ 76

77 Distorsione spettrale introdotta dal campionamento In generale 1 D c( ) = G a( k c ) = < T k 0 c Se veriicate le condizioni 1) e ) di assenza di sovrapposizione spettrale D c ( ) = 0 Altrimenti ( ) 0 D c 77

78 Si può deinire un rapporto segnale/distorsione di campionamento: S = D Potenza del segnale utile Potenza della distorsione S = c T / 0 G a ( ) d D = c / 0 D c ( ) d = T c / G a ( ) d 78

79 Esempio: Procedura alternativa e più semplice di valutazione e controllo della distorsione introdotta dal campionamento. Supponiamo che dopo un iltro di antialiasing di Butterworth di ordine N e di requenza di taglio t si abbia: G G a ( ) = 10Log 1 + ( db) Dopo il campionamento G t N N c c 3 t c ( / ) 10Log ( db) ( / ) a ( db) c c < dove il termine 3 è dovuto al ripiegamento spettrale della prima replica (supposta prevalente) Si può scegliere c o N in modo che: (per un preissato a) 79

80 Rapporto c / t N=1 G c ( c / ) db Relazione ra il livello dello spettro a c / e la requenza di campionamento normalizzata alla requenza di taglio del iltro al variare dell ordine N di decadimento dello spettro di ingresso (di tipo Butterworth). Generalmente c > t (3 10 t ) 80

81 . Tempo di campionamento non istantaneo x a (t) x c (nt) T p(t) 1 τ τ P ( ) = senπ τ π τ 0 t x ' c ( nt ) = 1 τ nt + τ / x a nt τ / ( t) dt invece di x c (nt) [ x ] a ( t) p( t t = nt = ) 81

82 Si campiona un segnale con spettro X a ( ) P( ) P( ) [invece di X a ( )] X a ( ) B X c ( ) 1 τ τ c 8

83 Conclusione Il campionamento di un segnale mediante un impulso di durata non nulla può essere trattato come il campionamento ideale del segnale iltrato dallo spettro dell impulso di campionamento. Conclusione valida per qualsiasi P( ) Se τ << Τ eetti trascurabili Altrimenti se ne deve tenere conto 83

84 OSSERVAZIONE Questo eetto è più sensibile per il campionamento di segnali in alta requenza. 84

85 Nel caso di impulso rettangolare lo spettro del segnale campionato viene distorto da una unzione Altrimenti si compensa la distorsione con un iltro con risposta nella banda utile del segnale del tipo 1 P( ) P ( ) = senπ τ π τ spesso trascurabile se τ è piccolo. π τ =, senπ τ B 85

86 a) prima del campionamento (compensazione analogica) x a (t) 1 P( ) A/D reale x c (nt) Filtro analogico (può essere incluso nel iltro di antialiasing) b) dopo il campionamento (compensazione digitale) x a (t) A/D reale 1 P( ) x c (nt) Filtro numerico (è suiciente nella banda del segnale di ingresso) 86

87 CONVERSIONE D/A - RICOSTRUZIONE REALE Conversione digitale - analogica (D/A) x (nt) Formatore d impulsi x imp (t) Filtro passa-basso (0, c /) x a (t) τ nt nt+t t nt nt+t t x [ x ( nt ) δ ( t nt )] q ( ) + ( t ) = t = imp n 87

88 q(t) = 1 Q( ) senπ τ = τ e π τ jπτ 0 τ t 88

89 X c ( ) Q( ) c c X imp ( ) 1 τ τ X a ( ) c c 89

90 Distorsione che può essere compensata come nel caso del campionamento non istantaneo COMPENSAZIONE ANALOGICA Includere la unzione 1/Q( ) nel iltro analogico passa-basso di ricostruzione COMPENSAZIONE DIGITALE Far precedere al blocco ormatore di impulsi (e quindi al convertitore D/A) un iltro numerico con risposta in requenza 1/Q( ) 90

91 OSSERVAZIONE Eetto più sensibile per la ricostruzione di segnali in alta requenza con iltri passa-banda 91

92 Tradeo Campionamento-Quantizzazione Esempio 1 Con un A/D a B bit quale è il max livello di aliasing sopportabile? Il rapporto segnale/errore di quantizzazione è (SNR q ) db = 6.0 B S db (db) La risposta in ampiezza del iltro di antialiasing (p.e. Butterworth con 0 db in banda passante) deve essere c H < ( SNRq ) db db 9

93 Esempio Con un A/D a B bit e tempo di apertura τ, quale è la max estensione in requenza del segnale da campionare? Supponiamo che nel tempo τ il segnale non debba variare più di ½ LSB (Least Signiicant Bit) ½ LSB = q/ = -B La max variazione nel tempo τ di un segnale x a (t) con una estensione in banda ino ad una requenza max può essere stimata approx dalla max variazione alla requenza max e non deve superare ½ LSB: Δx a dxa ( t) = τ = π dt Di conseguenza: c > max max τ B max ( B+ 1) π τ 93

94 Considerazioni inali sulla Conversione A/D La codiica dei livelli quantizzati deve essere atta associando a ciascun livello il numero binario proporzionale al valore (ampiezza) del livello stesso (codiica lineare) Quantizzazione uniorme + codiica lineare = quantizzazione lineare L elaborazione numerica dei segnali richiede una quantizzazione lineare 94

95 Per esempio nella codiica internazionale PCM della voce a 64 kbit/s questo non è vero: la quantizzazione è di tipo logaritmico. Se si deve elaborare il segnale vocale PCM occorre prima transcodiicarlo in una quantizzazione lineare 8 bit PCM bit quant. lineare 95

96 Quantizzazione segnale vocale PCM x Q y = (x) Q approssima le seguenti leggi: legge A (Europa) Ax y =, 0 x 1+ log A A = log Ax 1 =, x 1+ log A A 1 A 1 legge µ (Nord America) y = log log 1 ( 1+ μ x) ( + μ) µ = 100 o 5 (a seconda della gerarchia PCM) 96

97 Caratteristica della legge A 97

98 Rappresentazioni binarie più usate Virgola issa modulo e segno complemento a Virgola mobile 98

99 Caratteristiche delle rappresentazioni binarie Traboccam. con moltiplic. Traboccam. con somme Virgola issa razionaria Virgola issa intera Virgola mobile NO SI Improbabile SI (spesso ininluente) SI SI NO SI Improbabile Errore nelle moltiplic. Errore nelle somme NO NO SI Dinamica moderata moderata enorme Realizzazione semplice semplice complessa Generalmente in virgola issa si usa la rappresentazione razionaria perché non ha traboccamento nelle moltiplicazioni 99