Gli stati di Einstein Podolsky Rosen (EPR)

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1 GLI STATI DI EINSTEIN ODOLSKY ROSEN (ER) 3 Introduzon Gl stat d Enstn odolsky Rosn (ER) La dscusson sul cosddtto roblma o aradosso ER è ancora arta ogg a quas sttant ann d dstanza coè dalla rma aarzon dl lavoro d Enstn odolsky Rosn []: snza scndr n dttagl matmatc ossamo sorr l gdanknrmnt nlla sua forma orgnal analzzando l sstma d du artcll mss da una sorgnt S con mulso total tot dstanza rlatva rl. L astto sorrndnt dlla quston s ha qund quando l du artcll sono sarat sazalmnt: doo un crto stant tmoral coè quando l rsttv funzon d onda non s sovraongono ossamo rtnr ch ogn msurazon su una dll du artcll non nflunz lo stato dll altra. S l sstma ha mulso total nullo tot dstanza rlatva fssata rl a la funzon d onda ( ) h matmatcamnt quvalnt ( ) ( ) d h uò ssr srssa n du mod dvrs ma Caso ( ) h d ψ ( ) u ( ) d ( ) h ( ) d δ Caso ( ) d h δ( ) δ( ) d φ ( ) υ ( ) d

2 GLI STATI DI EINSTEIN ODOLSKY ROSEN (ER) 3 Qund nl caso u ( ) è autofunzon dll orator momnto lnar corrsondnt all autovalor dlla artclla h ψ è autofunzon dll orator momnto lnar h r la artclla corrsondnt all autovalor. Qusto drva dall ots d consrvazon dl momnto lnar total. Così s una msura dl momnto dlla artclla vn rdotta a ( ) u ( ) ψ s uò assrr ch la artclla dà com rsultato ( ) ha momnto. Nl caso υ ( ) è autofunzon dll orator d oszon corrsondnt all autovalor r la artclla φ è l autofunzon (moltlcata r h ) dll orator d oszon r la artclla corrsondnt all autovalor. S una msura d oszon r la artclla rduc a ( ) υ ( ) dà com rsultato ( ) s φ s uò affrmar ch snza dsturbar n alcun modo la artclla la sua oszon è. In accordo con l crtro d raltà nl caso la grandzza nl caso la grandzza Q dvono ssr consdrat lmnt d raltà fsca. Ma com è noto dall assomatca dlla mccanca quantstca Q non commutano tra d loro qund è vtata la ossbltà d assgnar valor dtrmnat a oszon d mulso. In dfntva Enstn odolsky Rosn affrmano ch la mccanca quantstca non è una tora comlta coè ch non tutt gl lmnt d raltà sono rarsntat da un lmnto corrsondnt nlla tora ( lo stato non dà una dscrzon comlta d un sstma). r Enstn collaborator l du artcll ossdvano gà rma dlla msurazon valor dll mulso dlla oszon succssvamnt dtrmnat ma la mccanca quantstca non è n grado d rvdrl. L ntanglmnt ovvro l nsarabltà quantstca è l conctto fondamntal d tutt sstm ER d è una ntrnsca rortà d qust ultm ch rmtt d mmagazznar laborar comuncar nformazon n modo dcsamnt non classco. Qusta rortà è stata ossrvata n sstm mcroscoc con och oggtt qual lttron o foton andando a msurar r rm lo stato d sn r scond lo stato d olarzzazon. Rcordamo l arol d Schrödngr n mrto a qusta rortà d alcun sstm mcroscoc: Io consdro [l ntanglmnt] non uno ma l tratto ù carattrstco dlla mccanca quantstca qullo ch mon l suo comlto dstacco dall ln d nsro

3 GLI STATI DI EINSTEIN ODOLSKY ROSEN (ER) 3 classch. L ntanglmnt è orma utlzzato massccamnt n qul flon dlla fsca ch rguarda la quantum nformaton dlla qual l tltrasorto quantstco è l lmnto ù carattrzzant sbalordtvo. In qusto lavoro d ts voglamo mostrar l rortà gl fftt a volt nasttat n cu c s mbatt quando s ora con sstm ER o ntangld: non c soffrmrmo sugl astt concttual ch l artcolo dl 935 ha arto ch sono n gran art ancora snza rsosta ma c lmtrmo a mostrar tutta una sr d fftt ch mrgono quando s trattano qust sstm graz a dll smulazon numrch. C è una radcal dffrnza tra stat ER ntangld (stat nsarabl) o fattorzzabl (stat sarabl). N rm s manfstano tutt l rortà carattrstch dll ntanglmnt tra l dvrs comonnt dl sstma coè s ha la cosddtta nonsarabltà quantstca ovvro anch quando costtunt dl sstma sono lontanssm non ntragscono n alcun modo ss non ossono ssr conct com art sarat dl sstma cu aartngono. N scond nvc l dvrs art consrvano n qualch msura la loro ndvdualtà nl snso ch s comortano n modo ndndnt l una dall altra snza nflunzars rcrocamnt. Tralascando l sur fondamntal quston flosofch o ntrrtazon dlla mccanca quantstca ch sono sgut alla ubblcazon dll artcolo d hyscal Rvw (corrsondnza Bohr Enstn tora d Bohm con varabl nascost torma dsuguaglanz d Bll rnc d localtà sarabltà raltà) assamo alla dscrzon dl lavoro ch abbamo svolto. Samo artt da un sstma quantstco monodmnsonal molto smlc costtuto da du artcll dstngubl (rarsntat da du acchtt gaussan localzzat nllo sazo) ch vngono mss da una sorgnt ch s muovono n drzon oosta. Una dll du artcll s muov lbramnt n una drzon mntr l altra ntragsc con una barrra d otnzal osta ad una crta dstanza dalla sorgnt. Usualmnt s fanno srmnt s trattano sstm ER con varabl ch hanno un st dscrto d autovalor (sn o stat d olarzzazon) anch molto comlcat dal unto d vsta dlla ralzzazon srmntal. Nl nostro lavoro abbamo trattato un sstma ER nll varabl contnu d oszon momnto ch hanno uno sttro contnuo d autovalor. Nl rmo catolo abbamo calcolato l quanttà carattrstch dl sstma ER n oggtto all stant nzal snza la barrra d otnzal coè sttro funzon d onda global robabltà dll sngol artcll cc S è noltr alcato l crtro d sarabltà d L. Duan [] r dstngur tra sstm ch sono soggtt all corrlazon ER (stat nsarabl) qull n cu sono null (stat sarabl).

4 GLI STATI DI EINSTEIN ODOLSKY ROSEN (ER) 3 Nl scondo catolo abbamo trattato l sstma dll du artcll assm alla barrra d otnzal rfacndoc al classco roblma d una sngola artclla con barrra. Abbamo così ottnuto dll quazon da utlzzar nlla smulazon numrca ch gnra la funzon d onda comlssa dl sstma ad un dtrmnato stant: ossamo così rarsntar l voluzon tmoral d avr la fondamntal comlssa ch vrrà utlzzata n tutt l smulazon sgunt. Nl trzo catolo l sstma è stato studato dal unto d vsta dllo sazo dll coordnat coè calcolando l dnstà d robabltà a tm dvrs ma sorattutto mostrando la dffrnza tra stat sarabl nsarabl: analogo è stato fatto nl catolo quattro solamnt ch abbamo orato nllo sazo dgl muls calcolando gl sttr. Il catolo cnqu è ddcato alla msura d è qullo dov maggormnt s manfstano l corrlazon ER: abbamo nfatt ch orando una msura d oszon sulla artclla ch ncd contro la barrra (s vdrà n sguto ch la barrra non è un rqusto fondamntal) l altra rsnt d qusta orazon anch s l funzon d onda dll du artcll non hanno sovraoszon. Qusto non avvn ngl stat sarabl dov l du artcll s comortano n manra dl tutto ndndnt. Abbamo o mostrato ch qust atto d msura fa n modo ch doo un crto tmo la dstrbuzon d robabltà dlla artclla ch vagga lbra s sdo n du rofl gaussan. Nl caso d sstma snza barrra la msura su una artclla n artcolar oszon m uò rallntar acclrar arrstar o addrttura far nvrtr l moto dll altra. D sguto abbamo analzzato l crtro d sarabltà dl rmo catolo alla luc dll smulazon numrch anch snza barrra d otnzal trovando dll dscranz con qullo ch c s asttrbb dalla tora coè ch l crtro r alcun stat non è una condzon suffcnt bnsì ncssara (cosa oltrtutto gà fatta notar da. Slatr nll artcolo [3]). Abbamo nfn scrtto una dsuguaglanza d Bll r l sstma ER adattando qulla trovata da J.F. Clausr n []; la vrfca al calcolator ha msso n vdnza ch ssa è smr vrfcata. Non samo n grado d affrmar s qusto sa dovuto ad una non corrtta trasoszon al nostro sstma nll varabl contnu dlla dsuguaglanza d Bll trovata da Clausr o s ffttvamnt non s ha ma una volazon da art dll du artcll nllo stato nsarabl. Nll andc abbamo rortato dttagl d calcol lstat d rogramm n Fortran dll smulazon numrch d cnn alla artclla lbra d alla barrra d otnzal.

5 CAITOLO. UNO STATO ENTANGLED IN OSIZIONE E MOMENTO Catolo Uno stato ntangld n oszon momnto. Esrsson matmatca d uno stato ER nll varabl contnu d oszon momnto Samo artt da uno stato a quadrato sommabl con sttro rottato n sottosaz dll du artcll ch è d to gaussano. Faccamo l sgunt notazon nl aragrafo coordnata dlla artclla mulso dlla artclla aramtr dll gaussan ( > > ) coordnata nzal dlla arclla mulso nzal dlla artclla N calcol dov abbamo nsrto l smbolo ( ) ntndamo d avr utlzzato la formula nota r l ntgral gaussano b - a b a d a > b C ( ) - a Lo sttro dl sstma ER all stant nzal ha l srsson ( t ) ( ) ( ) ( ) la funzon d onda corrsondnt nllo sazo dll coordnat sarà la anttrasformata d Fourr fˆ [ ( t ) ] 5

6 CAITOLO. UNO STATO ENTANGLED IN OSIZIONE E MOMENTO () () d d d d d d t La dnstà d robabltà d trovar all stant nzal la artclla n oszon ndndntmnt dalla oszon dlla artclla sarà () d d t d t analogamnt la robabltà d trovar la artclla n oszon ndndntmnt da qulla dlla artclla sarà () d d t d t 6

7 CAITOLO. UNO STATO ENTANGLED IN OSIZIONE E MOMENTO Calcolando la radc quadrata dll ultm du quanttà aggungndo un trmn d fas ho l funzon d onda d artclla sngola t t Nl nostro sstma quantstco non dobbamo trattar l roblma dlla ndstngubltà n quanto l du artcll n sam non sono ma dntch avndo smr larghzz dll gaussan dffrnt > > Trasformamo scondo Fourr l funzon d onda d artclla sngola all stant nzal r ottnr l dstrbuzon sttral nllo sazo d momnt () d d t [ ] () [ ] d d t 7

8 CAITOLO. UNO STATO ENTANGLED IN OSIZIONE E MOMENTO Rloghamo l quanttà carattrzzant l sstma ER n sam (.8) (.7) (.6) (.5) (.) (.3) (.) (.) 8