LAVORO ED ENERGIA Fisica con elementi di matematica CdL Farmacia Corso (A - E) A.A. 2015/16

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1 LAVORO ED ENERGIA CdL Farmacia Corso (A - E) A.A. 015/16 1 Dott. Silvia Rainò Università di Bari silvia.raino@ba.infn.it silvia.raino@uniba.it Ufficio: Dipartimento IA di Fisica, R

2 LAVORO ED ENERGIA Finora abbiamo studiato la meccanica utilizzando concetti come posizione, velocità, accelerazione: Dipendenza dal tempo: r(t), v(t), a(t) È possibile una trattazione alternativa, svincolata dal tempo, utilizzando nuovi concetti come lavoro ed energia. La convenienza di uno o l altro approccio dipende dal particolare problema in esame.

3 LAVORO ED ENERGIA Consideriamo il moto di un oggetto vincolato a muoversi su una traiettoria prestabilita, ad esempio: Una locomotiva vincolata a muoversi sui binari 3

4 LAVORO ED ENERGIA Applichiamo (separatamente) 3 forze alla locomotiva: F 1, F, F 3. Le tre forze hanno lo stesso modulo ma formano angoli diversi con la direzione del moto. Con quale delle tre forze otteniamo una accelerazione maggiore? F 3 F 4

5 LAVORO ED ENERGIA Risposta: Con F 1, perché forma un angolo minore con la traiettoria. Non c è infatti nessun vincolo che ostacola l accelerazione F 3, invece, è completamente contrastata dalla reazione vincolare delle rotaie, che impediscono l uscita dai binari F 3 F 5

6 LAVORO ED ENERGIA Se F 1 è una forza costante che agisce su un corpo durante uno spostamento s, definiamo il lavoro L 1 compiuto dalla forza F 1 lungo lo spostamento s come il prodotto scalare: In una certa misura, il lavoro quantifica l «effetto» di una forza applicata ad un certo corpo, lungo uno spostamento del corpo sotto l azione della forza. 6

7 LAVORO ED ENERGIA Il lavoro di F 1 è superiore a quello di F ed F 3, dato che, anche se i moduli delle forze sono uguali, l angolo θ è inferiore (e cosθ è maggiore). In particolare: L 1 = F 1 s= F 1 scos(0 ) = F 1 s L 3 = F 3 s= F 3 scos(90 ) = 0 F 3 L 3 : nessun «effetto» sul treno! F 7

8 RICHIAMO DI MATEMATICA Prodotto scalare tra due vettori a = Proiezione del vettore a nella direzione di b L = F s= Fscosq = (Fcosq)s= F // s A compiere lavoro, cioè, è soltanto la componente della forza diretta lungo lo spostamento. 8

9 DEFINIZIONE DEL LAVORO DI UNA FORZA Consideriamo un punto materiale in moto su una traiettoria curvilinea e soggetto ad forza non costante: Caso più generico possibile! Come possiamo calcolare il lavoro? Che valori dobbiamo dare a F, e θ, che variano lungo la traiettoria percorsa, e come «orientiamo» s? 9

10 DEFINIZIONE DEL LAVORO DI UNA FORZA Dividiamo la traiettoria s in piccoli tratti rettilinei Δs i. Trasformiamo ogni tratto Δs i nel vettore Δs i, con: Modulo pari alla lunghezza del segmentino, Δs i ; Direzione tangente alle traiettoria in ogni punto; Verso da 1 ad N, cioè orientato secondo il verso di percorrenza della traiettoria 10

11 DEFINIZIONE DEL LAVORO DI UNA FORZA Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza, F 1, nel «primo» tratto, Δs 1 : L 1 = F 1 Ds 1 = F 1 Ds 1 cosq 1 1 Analogamente, possiamo calcolare L,, L i,, L N, usando i valori di F i e θ i relativi agli spostamenti Δs i 11

12 DEFINIZIONE DEL LAVORO DI UNA FORZA Il lavoro complessivo L è la somma di tutti i lavori «elementari» effettuati dalla forza lungo i vari tratti in cui abbiamo scomposto la traiettoria: N å i=1 N L TOT = L i = å (F i Ds i ) = F i Ds i cosq i i=1 N å i=1 Importante: s i e F i sono vettori! L, invece, è scalare! Si calcola il prodotto scalare tra il vettore F i nel tratto i-esimo e s i, e poi si esegue la sommatoria. 1

13 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL LAVORO Consideriamo, per semplicità, un caso unidimensionale (solo asse x). Il grafico mostra l intensità della forza F x lungo lo spostamento x: F x F X,i Calcoliamo ΔL i = F x,i Δx i L i Area del rettangolo di base x i e altezza F x,i, approssimabile all area sotto la curva in x i x i x 13

14 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL LAVORO Calcoliamo L = Σ i ΔL i = Σ i (F x,i Δx i ) F x F X,i L i x i x 14

15 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL LAVORO F x Calcoliamo L = Σ i ΔL i = Σ i (F x,i Δx i ) Riducendo la larghezza degli spostamenti x i, otteniamo una approssimazione sempre migliore F X,i L i x i x 15

16 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEL LAVORO Il lavoro totale è l area compresa sotto la curva, lungo l intero spostamento del punto materiale F x L = Σ i ΔL i x 16

17 CASI (MOLTO) PARTICOLARI - 1 Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea Angolo generico θ F x 17

18 CASI (MOLTO) PARTICOLARI - Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea θ = 90 F x Moto di una particella carica in un campo magnetico Moto circolare uniforme, sotto l azione di forze centripete 18

19 CASI (MOLTO) PARTICOLARI - 3 Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea θ = 0 F x Lavoro motore (locomotiva, caduta verticale gravi) 19

20 CASI (MOLTO) PARTICOLARI - 4 Vettore forza = costante Traiettoria rettilinea θ = 180 F x Lavoro resistente (es. forze di attrito) 0

21 UNITÀ DI MISURA DEL LAVORO Il lavoro è il prodotto (scalare) di una forza per uno spostamento: L = F Ds= FDscosq Grandezza SCALARE (risultato di un prodotto scalare) Unità di misura Newton metro = N m = joule (J) Dimensioni [M L T - ] 1

22 ESEMPIO 1 Mediante una corda tesa secondo una direzione formante un angolo di 0 con la direzione orizzontale un bambino tira un giocattolo trascinandolo su un pavimento per 3 m. Se la forza del bambino è F = 10 N, quanto vale il lavoro da esso compiuto? L = 8. J

23 ESEMPIO (I) Una ragazza di 44 Kg scende verticalmente da un albero alto 10 m. Quanto vale il lavoro compiuto dalla forza peso? La forza che agisce sulla ragazza è la forza peso, che vale in modulo F = mg = 44 kg 9.8 m/s = 431. N Il lavoro compiuto nello spostamento h è: L = Fh = 431. N 10m = 431 J Cosa cambia se la discesa avviene in 0 s o in 1 minuto? 3

24 POTENZA (MECCANICA) La potenza, grandezza scalare, esprime il lavoro erogato nell unità di tempo: P = L Dt oppure P = F Ds Dt = F v Unità di misura: joule/secondo = J/s = watt (W) Dimensioni: [M L T -3 ] Se i motori di due macchine compiono lo stesso lavoro, ma uno impiega meno tempo, questo eroga una maggiore potenza 4

25 ESEMPIO (II) Una ragazza di 44 Kg scende verticalmente da un albero alto 10 m. Qual è la potenza media sviluppata durante la discesa, se questa dura 0 s? E se dura 1 minuto? Avevamo già trovato che il lavoro compiuto dalla forza peso vale: L = Fh = 431. N 10m = 431 J La potenza media sviluppata nella discesa è: P = L/Δt = 431 J / 0 s = 15.6 W 431 J / 60 s = 71.9 W Diversamente dal lavoro, la potenza dipende da Δt! 5

26 6

27 TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA Consideriamo un punto materiale di massa m, vincolato a muoversi su una traiettoria rettilinea per una distanza Δx, a causa di una forza F. Il punto materiale ha una velocità iniziale v 0 ed una velocità finale v 7

28 TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA Il lavoro compiuto dalla forza F per lo spostamento Δx vale: L = F Dx In un moto rettilineo uniformemente accelerato vale la seguente relazione tra spostamento, velocità ed accelerazione: v - v 0 = adx v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t + 1 at t = v- v 0 a v- v x = x 0 + v 0 0 a + 1 a æ v- v 0 ç è a ö ø v - v 0 = a(x- x 0 ) = adx 8

29 TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA Quindi, usando la II legge di Newton e sostituendo l espressione appena ricavata: L = F Dx = FDx = m v - v 0 = 1 mv - 1 mv 0 Definiamo l energia cinetica di un punto materiale di massa m e velocità v la quantità scalare (unità di misura, joule [J]): E k = 1 mv Possiamo allora scrivere il teorema dell energia cinetica come: L = 1 mv - 1 mv = E k, fin - E k,in = DE k 9

30 ENERGIA CINETICA Ovvero, il lavoro effettuato da una forza su un corpo ha l effetto di variare la sua quantità di energia cinetica. L energia cinetica è una forma di energia legata allo stato di moto di un corpo, e posseduta da tutti i corpi in movimento. Quantitativamente, l energia cinetica di un corpo di massa m che si muove a velocità v, è il lavoro necessario per portare tale corpo da velocità nulla alla velocità v. Osservazione In presenza di più forze agenti sul punto materiale, il teorema dell energia cinetica diviene: L TOT = L 1 + L L N = DE k 30

31 ENERGIA CINETICA Un corpo in possesso di una certa quantità di energia cinetica, è in grado di utilizzarla (o «spenderla») per effettuare lavoro su un altro corpo. Un martello che colpisce un chiodo perde la sua energia cinetica (si arresta), utilizzandola per compiere un lavoro sul chiodo (facendolo conficcare nel muro per una certa distanza). L energia cinetica dell acqua di un fiume può essere usata per mettere in movimento le pale di un mulino. Possiamo quindi definire l energia cinetica (e non solo, come vedremo) come la capacità di compiere un lavoro. 31

32 CALCOLO DEL LAVORO DI SPECIFICHE FORZE Calcoliamo il lavoro compiuto su un punto materiale da varie forze che abbiamo già esaminato: Forza peso Forza gravitazionale Forza elastica Forza di attrito 3

33 LAVORO DELLA FORZA PESO Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza peso su di un corpo di massa m che si sposta verticalmente da A a B: y L AB = P Dy= mgdy= mg(h -h 1 ) x 33

34 LAVORO DELLA FORZA PESO Quanto vale il lavoro se la traiettoria non è più verticale, ma è quella rossa in figura (A C B)? L AB = L AC + L CB = mg(accosq)+ mg(bccos90 ) = = mg(h - h 1 )+ 0 = mg(h - h 1 ) L AB = mg(h - h 1 ) x 34

35 LAVORO DELLA FORZA PESO In entrambi i casi, dunque, il lavoro compiuto dalla forza peso sul punto materiale non cambia: L AB = mg(h - h 1 ) x 35

36 LAVORO DELLA FORZA PESO Si può dimostrare che l espressione del lavoro resta la stessa anche nel caso di una generica traiettoria curvilinea: L AB = mg(h - h 1 ) (senza dimostrazione) x 36

37 LAVORO DELLA FORZA PESO x Osservazione: Il lavoro compiuto dalla forza peso sul corpo di massa m NON dipende dalla traiettoria, ma solo dalla posizione iniziale e da quella finale Più precisamente, dalla differenza di quota tra i due punti A e B: h h 1 Questo vale per qualunque corpo e per qualunque traiettoria! 37

38 ESERCIZIO Calcolare la velocità finale (modulo) di una pietra che cade da ferma dall altezza di 1 m Il teorema dell energia cinetica può spesso aiutare a semplificare la risoluzione di un problema! Infatti Dalla cinematica: y = y 0 +1/ at 0 = h-1/ gt t = (y/g) v = v 0 - gt v = -gt e sostituendo: v = -g (y/g) v =- (yg) v = m/s N.B. Teorema il segno meno L ed dà Eil verso del vettore velocità k : mgy = 1/ mv v = yg v = 4.43 m/s 38

39 CASO GENERALE: FORZA GRAVITAZIONALE L espressione della forza peso usata finora: F = mg è valida esclusivamente per casi che avvengono sulla superficie terrestre (o in sua prossimità). Come intuito da Newton, la forza peso è in realtà l espressione «locale» di una forza più generale, la forza gravitazionale, che si esercita tra due qualsiasi corpi dotati di massa e separati da una certa distanza. 39

40 CASO GENERALE: FORZA GRAVITAZIONALE Tale forza gravitazionale è attrattiva, si esercita sulla retta congiungente i centri di massa dei due corpi e, per due corpi di massa m 1 e m a distanza R, vale in modulo: F G F G = G m 1m R G = 6, N m / kg è detta costante di gravitazione universale 40

41 CASO GENERALE: FORZA GRAVITAZIONALE Confrontando le due espressioni di forza gravitazionale sulla superficie terrestre e forza peso (che sono, appunto, la stessa forza): F G = G M T m R T P = mg In generale, si può dimostrare che anche il lavoro della forza gravitazionale su un corpo di massa m, lungo uno spostamento Δs che va da r 1 ad r è indipendente dal percorso seguito. g = G M T R T r 1 r Dipende solo dalle distanze r 1 ed r 41

42 LAVORO DELLA FORZA ELASTICA Ricordiamo l espressione trovata per la forza elastica: F = k x u x x Il lavoro compiuto su un corpo che si sposta da A a B, a distanze x 1 ed x dal punto di riposo, si può calcolare come area sottesa dalla curva F(x) Interpretazione geometrica 4

43 LAVORO DELLA FORZA ELASTICA F = k x u x Area trapezio: (B+b) h/ L = -(kx + kx 1 )(x - x 1 ) = - 1 kx - 1 kx 1 x Anche nel caso della forza elastica il lavoro compiuto dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale. 43

44 RICHIAMO FORZA DI ATTRITO DINAMICO Un punto materiale si muove da i verso f, su una superficie orizzontale, in presenza di attrito, seguendo due percorsi differenti In entrambi i casi il punto materiale di massa m parte da i ed arriva in f, seguendo due percorsi diversi. Per un corpo che si muove su un piano, la forza di attrito vale: f d = μ d N = μ d mg, nella stessa direzione del piano e in verso opposto al moto ( Angolo tra forza e spostamento: 180 ). 44

45 LAVORO DELLA FORZA DI ATTRITO Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico nei due casi: L A = f A d = f A dcos180 = -m d mgd L B = f A (d+ h)+ f A h = f A (d + h)cos180 + f A hcos180 = = -m d mg(d+ h)- m d mgh = -m d mg(d + h) ¹ L A Nel caso della forza d attrito il lavoro compiuto dipende dal percorso, a parità di posizione iniziale e finale! 45

46 CONCLUSIONI Ci sono forze (la forza peso, la forza elastica) il cui lavoro NON dipende dal percorso effettuato dal punto materiale su cui esse agiscono, ma solo dal punto iniziale e finale dello spostamento. Per altre forze, invece (forza di attrito), il lavoro compiuto dipende anche dal percorso, anche a parità di punto iniziale e finale. Classifichiamo le forze in due categorie, in base a questa proprietà. 46

47 FORZE CONSERVATIVE Forza conservativa Il lavoro compiuto dalla forza è indipendente dalla traiettoria seguita, ma dipende solo dalla posizione iniziale e finale dello spostamento. Come abbiamo dimostrato, forza peso e forza elastica sono forze conservative. Le forze per cui non vale questa proprietà, come la forza di attrito, si dicono non conservative o dissipative. 47

48 ENERGIA POTENZIALE Per ogni forza conservativa si può introdurre una grandezza che permette di esprimere il lavoro della forza su un corpo in moto da una posizione iniziale A ad una posizione finale B tramite una differenza dei valori assunti da questa nuova grandezza in A e B. Tale grandezza è chiamata energia potenziale E p, definita come: L = ΔE p Lavoro della forza conservativa su un corpo = opposto della variazione dell energia potenziale del corpo 48

49 ENERGIA POTENZIALE L energia potenziale è una forma di energia «in potenza», ovvero legata alla capacità di un oggetto (o sistema) di trasformare tale energia in un'altra forma di energia, es. l energia cinetica, mediante l azione di un lavoro da parte di una forza conservativa. Energia potenziale Lavoro Energia cinetica E sempre legata alla presenza di una forza conservativa, e il suo valore dipende dalla posizione del corpo nello spazio 49

50 ENERGIA POTENZIALE (FORZA PESO) Richiamo: lavoro compiuto dalla forza peso L AB = mg(h - h 1 ) x 50

51 ENERGIA POTENZIALE (FORZA PESO) Si può definire quantitativamente l energia potenziale associata alla forza peso come: E p = mgh h = quota rispetto a un livello «0» di riferimento (es. il suolo) Con tale definizione, infatti, possiamo scrivere il lavoro della forza peso tra il punto A iniziale (ad h ) ed il punto B finale (ad h 1 ) come L = ΔE p : L AB = mg(h - h 1 ) = mgh - mgh 1 = E p (A)- E p (B) = = -[E p (B)- E P (A)] = -DE p 51

52 ENERGIA POTENZIALE (FORZA ELASTICA) Per l energia potenziale elastica, possiamo scrivere: E p = ½ kx x = distanza dal punto di riposo Anche in questo caso, questa definizione ci permette di scrivere il lavoro compiuto dalla forza lungo uno spostamento da A (x 1 ) a B (x ) come L = ΔE p : L AB = 1 kx 1-1 kx = E p (A)- E p (B) = = -[E p (B)- E P (A)] = -DE p 5

53 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA Consideriamo un punto materiale su cui agiscono solo forze conservative. Se esso effettua uno spostamento da A (posizione iniziale) a B (posizione finale), valgono le seguenti relazioni per il lavoro compiuto lungo il moto: L AB = -DE p -DE p = DE k L AB = DE k -E p (B)+ E P (A) = E k (B)- E k (A) E k (A)+ E P (A) = E k (B)+ E p (B) 53

54 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA Ovvero, se definiamo energia meccanica la somma: E M = E k + E p (B) allora in presenza di sole forze conservative l energia meccanica si conserva lungo tutto lo spostamento: E M = E k + E p (B) = cost E p = somma di tutte le varie forme di energia potenziali presenti Più in generale, l energia meccanica del punto materiale resta costante nel tempo finché non intervengono forze non conservative ad alterare la situazione. 54

55 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA Se agiscono solo forze conservative, il lavoro di tali forze causa un aumento dell energia cinetica, ottenuto a spese della diminuzione di energia potenziale, o viceversa, in modo tale che la somma delle due energie resti costante. E p =0 E k =max E p =max E k =0 E p =max E k =0 E p =max E k =0 E p =0 E k =max 55

56 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA Alcuni esempi animati: 56

57 RIEPILOGO SU LAVORO ED ENERGIA Definizione di lavoro ed energia cinetica. Esistenza di forze conservative (es. la forza peso, la forza elastica) il cui lavoro NON dipende dal percorso effettuato ma solo dal punto iniziale e finale dello spostamento. Introduzione dell energia potenziale e della legge di conservazione dell energia meccanica. Per altre forze (es. forza di attrito) il lavoro esercitato sul punto materiale dipende anche dal percorso. 57

58 RIEPILOGO SU LAVORO ED ENERGIA In generale per qualsiasi forza, vale il teorema del lavoro e dell energia cinetica: L = ΔE K Per le forze conservative si può introdurre l energia potenziale: L = ΔE p In presenza di forze conservative l energia meccanica si conserva: E M = E K + E p = costante 58

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60 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA In presenza di forze non conservative l energia meccanica non si conserva, ma decresce nel tempo (viene cioè dissipata). Sia in presenza di forze conservative che non conservative vale comunque, invece, la relazione generale tra lavoro di una forza ed energia cinetica. L TOT = L 1 + L L N = DE k Lavoro totale sul punto materiale = somma del contributo dato dalle forze conservative e del contributo dato dalle forze non conservative 60

61 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA Indichiamo con: L C = forze conservative L NC = forze non conservative Il lavoro totale è: L TOT = L 1 + L L N = L C + L NC = DE k Solo per le forze conservative: L C = -DE P Quindi: L TOT = DE k = L C + L NC = -DE P + L NC = L NC = DE k + DE P = DE M Il lavoro delle forze non conservative (dissipative) è pari alla variazione di energia meccanica: L NC = DE M 61

62 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA Come l esempio precedente, ma con un tratto rettilineo con attrito, in cui l energia cinetica (e meccanica) viene dissipata: Cosa diventa l energia meccanica dissipata dalle forza non conservative? 6

63 RIEPILOGO FINALE Teorema dell energia cinetica (sempre valido): L = ΔE K Per le forze conservative: L = ΔE p Forze conservative: l energia meccanica E M si conserva: E M = E K + E p = costante Forze non conservative dissipazione dell E M : L NC = ΔE M 63

64 ESERCIZIO 1 (I) Un punto materiale viene lanciato con velocità iniziale v 0 = 5 m/s su un piano inclinato rispetto all orizzontale di α = 30. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il punto materiale ed il piano inclinato è nullo, determinare a quale altezza h, rispetto all orizzontale, arriva il punto materiale. h = 1.8 m 64

65 v f =0 Dati iniziali: v i =5 m/s q=30 v i d h d =0 piano liscio q Soluzione Sul corpo agiscono solo forze conservative (forza peso, reazione del piano), si può applicare la conservazione dell energia meccanica: E m_in =E m_fin E k_in +E p_in = E k_fin +E p_fin 1 mv in 0 0 mgh 65

66 Dati iniziali: v i =5 m/s q=30 d =0 piano liscio v i q d h v f =0 1 mv in vin g 0 0 mgh (5m/s) 9.8m/s h 1.8m h=dsenq h 1. 8m d. 56m senq 1 66

67 ESERCIZIO 1 (II) Un punto materiale viene lanciato con velocità iniziale v 0 = 5 m/s su un piano inclinato rispetto all orizzontale di α = 30. Sapendo che il coefficiente di attrito tra il punto materiale ed il piano inclinato è μ d = 0., determinare a quale altezza h, rispetto all orizzontale, arriva il punto materiale. h = 0.95 m 67

68 Stesso problema precedente, MA ora il piano inclinato è scabro con coefficiente di attrito d =0. Dati iniziali: v i =5 m/s q=30 d =0. v i F A N mg h v f =0 q Soluzione: Le forze applicate al corpo sono: la forza peso forza conservativa la forza di attrito forza non conservativa la reazione del piano non produce lavoro (perpendicolare alla direzione del moto) 68

69 La forza di attrito non è conservativa non si può applicare il principio di conservazione dell energia meccanica Valutiamo il lavoro delle forze di attrito cioè il lavoro delle forze non conservative : L NC = F A d = - d Nd = - d (mgcosq)d μ Inoltre: d mgcos θ h senθ μdmgh tgθ L NC =E m E m = E m_fin -E m_in = (E k +E p ) fin - (E k +E p ) in = =(0+mgh)-(1/mv i +0) N v f =0 v i q F A mg h 69

70 Si è trovato: L NC μ d mgh tgθ Da L NC =E m risulta: E mgh 1 m mv i μdmgh tgθ mgh 1 mv i gh μ tgθ 1 d 1 vi h v i g1 μd tgθ 0.95m N v f =0 v i q F A mg h 70

71 ESERCIZIO Un blocco di massa m =.0 kg è spinto da una molla compressa avente una costante elastica k = 784 N/m. Dopo essersi distaccato dalla molla il blocco si muove su un piano orizzontale, con un coefficiente di attrito dinamico μ= 0.5, per una distanza s = 8.0 m. Determinare: La massima energia cinetica del blocco; Di quanto era compressa inizialmente la molla. E k,i = 39. J x = 0.3 m F el 71

72 ESERCIZIO 3 Un blocco di massa m = 3.00 kg è appoggiato contro una molla su un piano inclinato con pendenza verso l alto di Il coefficiente di attrito tra blocco e piano inclinato è μ d = La molla, avente costante elastica K = 3.9 N/cm, è compressa di 10 cm e il blocco si trova all inizio della salita. In seguito la molla viene lasciata libera. Se non ci fosse attrito a che altezza arriverebbe il blocco? In presenza di attrito, calcolare quanto spazio percorre il blocco sul piano inclinato prima di fermarsi. h = 6.67 cm d = 10.6 cm 7

73 Inizialmente immaginiamo che il blocco di massa m non ci sia. La molla è a riposo. Indicando con x lo spostamento dalla posizione a riposo, in questo caso si ha: x =0 Sappiamo che l energia potenziale elastica della molla quando viene spostata dalla posizione di equilibrio vale: 1 Ep_molla k x Perciò, in assenza del blocco, la molla NON possiede energia potenziale che può essere trasformata in lavoro. La molla possiede energia potenziale elastica quando viene spostata dalla posizione di equilibrio (x 0) 73

74 In generale, il lavoro compiuto dalla forza elastica della molla nello spostamento fra la posizione iniziale e la posizione finale è: L p_ molla = E p_in - E p_ fin = 74 ( ) = x = 1 k Dx in - Dx fin Rispetto al sistema di riferimento scelto (asse x), le due posizioni x in, x fin >0. Se avessimo effettuato una compressione della molla, sempre rispetto al sistema scelto, x in, x fin <0

75 Torniamo alla soluzione dell esercizio. In presenza del blocco la molla viene compressa di x=10cm rispetto alla lunghezza a riposo. Dati iniziali: =30 m=3 kg K=3.9 N/cm x=10 cm 75 Il blocco comprime la molla NO ATTRITO! L energia meccanica si conserva

76 Se l energia meccanica si conserva: E m E k E p costante E m_in E m_fin 76 STATO INIZIALE STATO FINALE Nell istante iniziale e finale l energia cinetica è nulla E k =0 perché il corpo è FERMO, perciò E m E p_in E p_fin

77 Ora valutiamo quanto vale l energia potenziale nello stato iniziale e nello stato finale STATO INIZIALE STATO FINALE 77 elastica Ep_in E p_fin gravitazionale E p_in 1 k x E p_fin mgh

78 STATO INIZIALE STATO FINALE 78 Ep_in E p_fin h k Δx mg 39 N m 0. 1m 3kg9. 8 m s 1 k Δx mgh m 6. 67cm ATTENZIONE alle conversioni da centimetri a metri!!! Le unità di misura devono essere UNIFORMI!

79 Determiniamo ora lo spostamento del blocco sul piano in presenza di attrito! Dati iniziali: =30 m=3 kg K=3.9 N/cm x=10 cm d =

80 80 Come prima nell istante iniziale e finale il corpo è fermo, quindi l energia cinetica è nulla E k =0. Ma ora c è ATTRITO!!! Vale la formula: L attr E m E m_ fin E m_ in

81 81 Energia iniziale e finale sono le stesse del punto precedente: stato iniziale: energia potenziale elastica E p_elast =1/kx stato finale: energia potenziale gravitazionale E p_grav = mgh La forza di attrito è data da Ove R N mg cosα A R d N A μ mgcos α d

82 8 L attr Valutiamo quindi il lavoro delle forze di attrito: As Ascos180 μdmg cosα s Il segno è negativo perché attrito e spostamento sono OPPOSTI!

83 83 Si ha quindi: in m fin m attr E E L d Δx k 1 - mgh s cosα mg μ Poiché h=ssen d Δx k 1 senα - mgs s cosα mg μ

84 84 In definitiva vale: mgs senα μ d mg cosα s 1 k Δx s mg k Δx senα μ d cosα cm

85 ESERCIZIO 4 Un punto materiale di massa m = 100 g è posto su un piano inclinato senza attrito alla quota di 4 metri. Dopo essere scivolato sul piano inclinato il punto materiale percorre un tratto rettilineo AB di lunghezza L = 10 m, per poi salire su un altro piano inclinato, entrambi senza attrito. Calcolare: La velocità del punto materiale nel punto A e nel punto B; L altezza massima raggiunta dal punto materiale sul secondo piano inclinato; Se il tratto rettilineo ha un coefficiente di attrito dinamico μ d, determinarne il valore che fa fermare il punto materiale a distanza d = 8 metri dal punto A. 1. v(a) = v(b) = 8.9 m/s. h = 4 m 3. μ d = 0.5 h A L B 85

86 Dati iniziali: m=100 g h=4 m L=10 m Determinare: v A =? v B =? h max =? Sul corpo agiscono solo: forza peso (freccia rossa) forza conservativa reazione del piano (freccia verde) non compie lavoro perché perpendicolare allo spostamento NON vi sono attriti La forza peso è una forza conservativa e il lavoro compiuto dipende SOLO dalla posizione iniziale (y 0 ) e dalla posizione finale (y A ) 86

87 Il lavoro compiuto dalla forza peso dipende SOLO dalla posizione iniziale (y 0 ) e dalla posizione finale (y A ): L Peso mgy0 mgy A E Inoltre, vale il teorema del lavoro e dell energia cinetica L Peso E k 1 mv A 1 P mv 0 87

88 Poiché non ci sono attriti, l energia meccanica si conserva: E v A =? M0 E MA EkO EpO EkA EpA 1 1 mv0 mgy 0 mva mgy 0 mgh 1 mv A mgh 1 mv A v A 0 A gh 8.85m / s 88

89 Anche nel tratto AB NON vi sono attriti: l energia meccanica si conserva E v B =? MA E MB Osserviamo che y A =y B, quindi l energia potenziale rimane invariata. Ne consegue: 1 1 EkA EkB mva mvb va v B 89

90 Quello applicato non è l unico metodo per dimostrare che v A =v B. Si potrebbero applicare le leggi della cinematica: moto rettilineo uniforme notando che non vi sono accelerazioni nella direzione x Si potrebbe anche applicare la seconda legge della dinamica: non vi sono forze che agiscono nella direzione x, quindi il moto tra A e B è rettilineo uniforme. TUTTI I METODI SONO LEGATI FRA LORO 90

91 Sul secondo piano inclinato NON vi è attrito. Anche ora si conserva l energia! E h fin =? MB E Mfin Applichiamo ancora la conservazione dell energia meccanica: 1 h mv B mgh fin fin vb 4m g h fin h 91

92 d=8m d =? D Ora c è attrito sul piano! L energia meccanica NON si conserva!!! E M E k E p NON è costante!!! Ricordiamo che il lavoro delle forze di attrito (non conservative) è uguale alla variazione dell energia totale. Nel percorso tra A e il punto finale D a distanza d=8m L attr E M E MD E MA E E E E kd pd ka pa 9

93 d=8m d =? L attr E Mfin E MA L energia totale in A vale: E MA E Nel punto finale: L attr ka E Mfin E Poiché in questo caso: E pa Mfin E F 1 mva 0 E E MA attr kfin 1 pfin 0 mva μ d R N 1 0 L attr = F attr d = F attr dcos180 = = (m d mg)d(-1)= - m d mgd μ d mg mv A

94 L L 1 attr mv A attr μ d mgd Mettendo tutto assieme: 1 mv μ A μ va gd d mgd d. 0 5

95 ESERCIZIO 5 Un corpo di massa M = 50 kg viene trascinato a v costante per L = 10 m lungo un piano orizzontale da una forza F inclinata di 45 rispetto all orizzontale. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è μ d = 0.4, calcolare il modulo di F e il lavoro speso da essa. Quanto vale il lavoro della forza di attrito? F = 198 N W F = 1400 J W A = 1400 J 95

96 Dati iniziali: M = 50 kg v = cost a =0 d = 10m θ = 45 μ = 0.4 y O x F attr N mg Per il II principio della dinamica: F+mg+F attr +N=ma v=cost a=0 che, proiettata sugli assi x e y diviene: F+mg+F attr +N=0 Fcos45 -F attr =0 Fsen45 +N-mg=0 F attr =μ d N Fcos45 -m d N=0 N=mg-Fsen45

97 Sostituiamo l espressione di N trovata con la seconda equazione nella prima: N=mg-Fsen45 y O x F attr N Fcos45 -m d (mg-fsen45 )=0 mg Fcos45 +m d Fsen45 =m d mg F(cos45 +m d sen45 )=m d mg m F= d mg cos45 +m d sen45 = 0.4*50kg*9.8m/ s 1/ (1+ 0.4) =198N

98 y Il lavoro della forza F è, per definizione: L F = F d = Fdcos45 = O x d =198N 10m 1 =1400J Il lavoro della forza di attrito è invece: L A = F attr d = F attr dcos180 =-m d Nd F attr 180 d Ricordiamo che: N=mg-Fsen45 =50kg 9.8m/s -198N 1 = 350N L A = -m d Nd = N 10m= -1400N

99 ESERCIZIO 6 Un proiettile di massa m=0kg viene sparato verso l alto da un cannone con velocità iniziale di 00 m/s. Supponendo che non ci siano attriti, calcolare: a. l energia totale del proiettile nel punto di massima altezza b. L altezza massima raggiunta 99

100 ESERCIZIO 7 100