Codici bifissi ed insiemi Sturmiani

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1 Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di Lure Specilistic in Mtemtic Codici ifissi ed insiemi Sturmini Studente Frncesco Dolce Reltore Prof. Antonio Restivo Anno Accdemico 2010/2011

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3 Für die Entwicklung der logischen Wissenschften wird es, ohne Rücksicht uf etwige Anwendungen, von Bedeutung sein, usgedehnte Felder für Spekultion üer schwierige Proleme zu finden. Per lo sviluppo delle scienze logiche è importnte trovre, senz lcun rigurdo sulle possiili ppliczioni, mpî cmpi di speculzione su prolemi difficili. Alex Thue Wir müssen wissen, wir werden wissen. Dvid Hilert

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5 Indice Introduzione viii 1 Nozioni preliminri Richimi lgerici Semigruppi, monoidi, gruppi, seminelli Morfismi Sottostrutture, quozienti, ideli Relzioni e congruenze Trsformzioni, zioni Genertori, grfo di Cyley Residuli, fttori Serie formli Prole, Linguggi, Codici Prole Ordine delle prole Prole infinite Plindrome Fttorizzzioni Linguggi Codici Prse ed interpretzioni Automi Automi, cmmini, linguggi riconosciuti Automi deterministici ed utomi completi Automi trim ed utomi semplici Automi minimli, monoide sintttico Automi invertiili, utomi di gruppo Insiemi fttorili Insiemi ricorrenti e prole ricorrenti Insiemi ricorrenti ed uniformemente ricorrenti Prole ricorrenti ed uniformemente ricorrenti Insiemi Sturmini v

6 vi INDICE Prole episturmine Insiemi Sturmini Codici prefissi in insiemi fttorili Codici ifissi in insiemi ricorrenti Prse Codici F-thin Nucleo, codice derivto Codici F-mssimli ifissi finiti Immgine e rngo di un prol Codici ifissi in insiemi Sturmini Crdinlità Periodicità Prole di ritorno Bsi di sottogruppi Gruppi Sintttici Gruppi di olonomi Rppresentzione di Schützenerger Gruppo fondmentle Relzioni di Green Gruppo di un codice ifisso Grdo di un gruppo sintttico Codici con nucleo vuoto Biliogrfi 99

7 Introduzione Tle tesi prende spunto dl lvoro di J. Berstel, C. De Felice, D. Perrin, C. Reutenur e G. Rindone rigurdnte lo studio dei codici ifissi in insiemi Sturmini in [1] e di risulti proposti d lcuni degli stessi utori nello studio dei gruppi sintttici in [12] e in [3] (nonché in [2] per un pnormic d insieme). L elorto è così suddiviso. Nel Cpitolo 1 sono contenute le nozioni preliminri. I tre mcrorgomenti che vengono ffrontti sono l Alger (Sezione 1.1), l Comintori delle Prole (Sezione 1.2) e l Teori degli Automi (Sezione 1.3). Sono qui presentti (ovvimente in mnier non esustiv) tutti gli rgomenti, e soprttutto tutte le notzioni, utili per sviluppre le nozioni dei Cpitoli successivi. Nel Cpitolo 2 si introducono i concetti di prole Sturmine, prole su un lfeto inrio non periodiche di complessità minim, e le prole episturmine, estensione l cso di lfeti finiti di crdinlità ritrri. Si riprendono nche i concetti di insiemi chiusi per prefissi e fttorili e si introducono quelli di insiemi ricorrenti, uniformemente ricorrenti e Sturmini. Questi formno un gerrchi discendente. Si ffront, quindi, lo studio insiemi prefissi contenuti dentro un insieme fttorile (Sezione 2.3) ed infine ci si concentr l cso di insiemi ifissi contenuti dentro insiemi ricorrenti (Sezione 2.4). Il Cpitolo 3 specilizz ncor di più i risultti del Cpitolo precedente studindo i codici ifissi dentro insiemi Sturmini. Qui sono presenti i principli risultti dell elorto, ovvero il Teorem dell Crdinlità (Teorem 3.1.3) ed il Teorem dell Bse Sturmin (Teorem 3.4.4) che crtterizz in termini di codici ifissi in insiemi Sturmini le si dei sottogruppi del gruppo liero. Infine il Cpitolo 4 è dedicto i gruppi sintttici. Alcuni dei risultti presenti rigurdno il grdo di un gruppo sintttico e sono ricvti d qunto dimostrto nel Cpitolo precedente. Vi è poi un ltro gruppo di risultti, rigurdnte i codici sintttici di codici con nucleo vuoto, che sfrutt le interpretzioni viste nel primo Cpitolo. vii

8 viii INDICE Un Congettur propost in form privt d C. Reutenur nel 2010, e postmi indipendentemente dl Prof. A. Restivo, ffermv che il Teorem dell Crdinlità (Teorem 3.1.3) fosse in un qulche senso invertiile, ovvero che fosse possiile dre un crtterizzzione delle prole Sturmine più generle di quell not. Il contro-esempio qui presentto (originle, con un semplificzione suggerit d D. Perrin) confut tle Congettur, lscindo però il prolem perto rispetto formulzioni più restrittive. Ringrzimenti. Mi è d oligo un ringrzimento l Prof. Antonio Restivo, reltore dell tesi, non solo per vermi indirizzto verso gli rgomenti dell tesi, m soprttutto per gli spunti di riflessione e i compiti per cs su congetture d dimostrre o confutre. Un ringrzimento v nche M. Dominique Perrin per i suoi suggerimenti semplifictori e per vermi ricordto che un mtemtico non serve costruire esplicitmente qulcos, st dimostrrne l esistenz. Grzie M. Jen-ÉricPinperlsudisponilitàecelerità nelrispondere lle mie richieste di iuto virtule. L stesur di un tesi prevede un lvoro sporco di scrittur e correzione. Per tle rgione ringrzio Lur Gimruno per i suggerimenti in GsTeXese ed Astrid Denro per i consigli estetici sull formttzione del documento. Infine un ringrzimento cloroso v Roerto Signorello che mi h iutto scovre errori/orrori tipogrfici in giro per queste pgine. V d sé che qulsisi eventule errore, si di contenuto che di form, è d imputre esclusivmente me. Frncesco Dolce Plermo, Mrzo 2012

9 Cpitolo 1 Nozioni preliminri Questo Cpitolo è dedicto lle nozioni silri di Alger (Sezione 1.1), Comintori delle Prole (Sezione 1.2) e Teori degli Automi (Sezione 1.3). L mggior prte degli rgomenti sono di livello elementre e sono qui riportti, oltre che per un utile ripsso, soprttutto per fissre l notzione. Per uno studio più pprofondito degli rgomenti si rimnd [10], [4] e [14]. 1.1 Richimi lgerici In quest Sezione si introducono le strutture lgeriche uste nell tesi semigruppi, monoidi, gruppi, seminelli ed ltre definizioni silri d esse legte. Di fondmentle importnz risulternno le nozioni di permutzione introdotte nell Sottosezione e quell di monoide e gruppo liero, nell Sottosezione Semigruppi, monoidi, gruppi, seminelli Si S un insieme. Un operzione inri su S è un funzione d S S in S. L immgine dell coppi (x, y) trmite quest funzione si dirà prodotto di x ed y e si denoterà come x y o, più spesso, come xy. Seguendo tle notzione l operzione inri srà dett moltipliczione. In lcuni csi si userà l notzione dditiv chimndo somm l immgine dell coppi (x,y) e denotndol x+y. Un operzione su S si dirà ssocitiv se per ogni x,y,z S si h (xy)z = x(yz). Srà dett invece commuttiv se per ogni x,y S si h xy = yx. Un coppi (S, ) è dett semigruppo se S è un insieme e è un operzione inri su S. Qundo non sussistono miguità sull operzione si dirà semplicemente che S è un semigruppo. Esempio

10 2 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI (N +, +) è il semigruppo degli interi positivi con operzione l usule somm di interi. (N + \{1}, ) è il semigruppo degli interi mggiori di 1 con operzione l usule prodotto di interi. All interno di un semigruppo vi sono degli elementi che godono di proprietà prticolri. Un elmento 1 di S è detto elemento neutro, o identità, dell operzione se per ogni x S risult x 1 = 1 x = x. È fcile dimostrre che se tle elemento neutro esiste esso srà unico. Chimeremo monoide un tripl (M,,1) dove (M, ) è un semigruppo ed 1èl elemento neutroperlsuoperzione. Anchein questocso, qundo non ci srnno miguità sull operzione e sull identità, diremo che M è un monoide. Esempio (N, +) è il monoide degli interi non negtivi con operzione l usule somm di interi ed elemento neutro 0. (N +, ) è il monoide degli interi non negtivi con operzione l usule prodotto di interi ed elemento neutro 1. Esempio PresounmonoideM,l insiemep(m)dituttiisottoinsiemi di M può essere dotto esso stesso dell struttur di monoide definendo come prodotto di due elementi X,Y M XY = {xy x X,y Y}. In tl cso l elemento neutro srà il singleton {1}. Se S è un semigruppo, si indicherà con S 1 il monoide dto d: S, nel cso S si già un monoide; S {1}, con 1 / S, se S non è un monoide, ed in tl cso l operzione di S si estenderà d S 1 definendo 1 s = s 1 = s s S 1. Esempio Il monoide dditivo N 1 +, h come supporto N + {0}. Esempio Considerimo B 2 il semigruppo dto delle mtrici 2 2 con elementi in {0,1} ed l più un 1. Il monoide B2 1 ottenuto considerndo nche l identità srà: {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} B =,,,,,

11 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 3 Ponendo 1 l mtrice identic, 0 l mtrice null, = ( ) ( ) ( , si ottiene = e = dunque essere riscritto come B 1 2 = {1,,,,,0}. ( ) e = ). Il monoide può Moltiplicndo gli elementi tr loro si ottengono le relzioni = = 0, = e =. Un elemento e di S è detto identità destr (risp. identità sinistr) di S se per ogni s S risult se = s (risp. es = s). Un elemento e di S è detto idempotente se e 2 = e. L insieme degli idempotenti di S di denot E(S). Osservzione Un elemento è un identità se e solo se è contempornemente identità destr e sinistr. Inoltre un identità destr(risp. sinistr) è necessrimente un idempotente. Un elemento 0 S è detto zero se per ogni s S si h 0 s = s 0 = 0. Anche in questo cso è fcile dimostrre che se un semigruppo possiede uno zero questo è unico. Inoltre è possiile dre l nozione di zero destro (risp. zero sinistro) per un elemento e S tle che se = e (risp. es = e). Se S è un semigruppo, si indicherà con S 0 il semigruppo dto d: S, nel cso S possegg già uno zero; S {0}, con 0 / S, se S non h zeri, ed in tl cso l operzione di S si estenderà d S 0 definendo 0 s = s 0 = 0 s S 0. Esempio Il monoide moltiplictivo N 0 +, h come supporto N + {0}. Un semigruppo srà detto nullo se possiede uno zero ed il prodotto di due qulsisi suoi elementi è zero. Per definire gli inversi isognerà porre prticolre ttenzione. Vi sono inftti due diverse definizioni di inverso: un clssic ed un ltr deole ust in teori dei Semigruppi. Si M un monoide. Dto un elemento x M, un elemento x di M si dirà inverso destro (risp. inverso sinistro) di x se xx = 1 (risp. x x = 1). Un inverso di x è un elemento x che è contempornemente inverso destro ed inverso sinistro. Dto un elemento x di un semigruppo S, un elemento x S si dirà inverso deole di x se xx x = x e x xx = x.

12 4 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Chirmente ogni inverso è un inverso deole, mentre il vicevers non sempre è verificto. Ad esempio, nel cso di un monoide finito si può dimostrre che ogni elemento h l più un solo inverso m può vere diversi inversi deoli. Un monoide (G,,1), o semplicemente G qundo srnno chiri operzione ed elemento neutro, tle che ogni suo elemento possiede un inverso è detto gruppo. In effetti è possiile dre un definizione equivlente più deole, in qunto è fcile vedere che un monoide è un gruppo se e solo se ogni suo elemento h un inverso destro ed un inverso sinistro. Nel cso di monoidi finiti l condizione si riduce ll esistenz del solo inverso destro (o del solo inverso sinistro). Si dimostr fcilmente che in un gruppo ogni elemento x h un unico inverso, che srà denotto come x 1. Esempio (Z, +) è il gruppo degli interi con operzione l usule somm di interi ed elemento neutro 0. (Q +, ) è il gruppo dei rzionli positivi con operzione l usule prodotto di interi ed elemento neutro 1. (Z/nZ, +) è il gruppo degli interi modulo n. Il numero di elementi in un semigruppo (risp. monoide, gruppo) è detto ordine del semigruppo (risp. del monoide, del gruppo). Esempio L ordine del gruppo Z/nZ è n. Un semigruppo (risp. monoide, gruppo) è detto commuttivo o Aelino se l su operzione è commuttiv. Esempio I semigruppi N + e N + \{1}, i monoidi N e N +, e i gruppi Z e Q + sopr definiti sono tutti Aelini. Il monoide P(M), con M monoide, invece, non è commuttivo. Un semigruppo S (risp. monoide) dotto di un relzione d ordine su S comptiile col prodotto, ovvero tle che per ogni x,y S e per ogni u,v S 1 si h l impliczione x y uxv uyv è detto semigruppo (risp. monoide) ordinto. Per enftizzre il ruolo di un relzione d ordine in un struttur lgeric S si userà l notzione (S, ). Esempio L ordine nturle degli interi non negtivi è comptiile con l ddizione, quindi N è un monoide ordinto.

13 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 5 Fin or imo studito strutture lgeriche con un sol operzione. Considerimo desso il cso in cui le operzioni presenti sino due. Un seminello è un qudrupl (T, +,, 0) tle che: (T, +,0) è un monoide commuttivo; (T, ) è un semigruppo; l moltipliczione è distriutiv rispetto ll ddizione, ossi per ogni s,t 1,t 2 T si h s(t 1 +t 2 ) = st 1 +st 2 e (t 1 +t 2 )s = t 1 s+t 2 s; per ogni s T si h 0s = s0 = 0. Anche in questo cso, qundo non vi srnno miguità sulle operzioni, diremo che T è un seminello. Nel cso in cui (T, +,0) si un gruppo Aelino, T srà detto nello. Nel cso nche l moltipliczione mmett un elemento neutro 1, e dunque (T, 1) si un monoide, il seminello (risp. nello) srà detto unitrio o con unità. Un seminello (risp. nello) è detto commuttivo se nche l moltipliczione è commuttiv. Esempio Preso un insieme X considerimo l insieme dei suoi sottoinsiemi P(X). Chirmente (P(X),, ) h un struttur di monoide commuttivo. Inoltre, seguendo qunto visto nell Esempio 1.1.3, P(X) può essere dotto dell struttur di monoide con operzione il prodotto di insiemi. Tle prodotto è distriutivo rispetto ll unione, ossi presi tre elementi L,L 1,L 2 P(X) si h: L(L 1 L 2 ) = LL 1 LL 2 e (L 1 L 2 )L = L 1 L L 2 L Dunque P(X) è un seminello unitrio Morfismi Un funzione tr due strutture lgeriche dello stesso tipo che preserv le operzioni è dett omomorfismo o, più semplicemente, morfismo. In prticolre un morfismo di semigruppi è un mpp ϕ d un semigruppo S d un semigruppo T tle che, per ogni s 1,s 2 S si i ϕ(s 1 s 2 ) = ϕ(s 1 )ϕ(s 2 ). Similmente un morfismo di monoidi è un morfismo di semigruppi ϕ d un monoide M d un monoide N tle che ϕ(1 M ) = 1 N.

14 6 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Anlogmente un morfismo di monoidi ordinti è un morfismo di monoidi ϕ che, in più, preserv l ordine, ovvero per cui si i l impliczione s 1 s 2 ϕ(s 1 ) ϕ(s 2 ). Infine un morfismo di gruppi è un morfismo di monoidi ϕ d un gruppo G d un gruppo H tle che per ogni s G si i ϕ(s 1 ) = ϕ(s) 1. Si dimostr fcilmente che ogni morfismo di semigruppi d un gruppo G d un gruppo H è nche un morfismo di gruppi. Un morfismo ϕ : S T è detto isomorfismo se esiste un morfismo ψ : T S tle che ϕ ψ = id T e ψ ϕ = id S. È noto che gli isomorfismo di sottogruppi (risp. monoidi, gruppi) sono tutti e soli i morfismi iettivi. Osservzione Qunto ppen detto non vle per i morfismi di monoidi ordinti. Considerrimo inftti due relzioni d ordine distinte e su uno stesso monoide M. L identità id M è un morfismo iettivo d (M, ) (M, ) pur non essendo un isomorfismo. In effetti, un morfismo di monoidi ordinti ϕ : M N è un isomorfismo se e solo se è un morfismo iettivo e per ogni x,y M si h l equivlenz tr x y e ϕ(x) ϕ(y). Due semigruppi (risp. monoidi, gruppi, monoidi ordinti) sono detti isomorfi se esistono due isomorfismi dll uno ll ltro. Un morfismo che v d un semigruppo (risp. monoide, gruppo, monoide ordinto) in se stesso srà detto endomorfismo. Un endomorfismo che è nche isomorfismo srà detto utomorfismo Sottostrutture, quozienti, ideli Alcuni sottoinsiemi di un struttur possono essere essi stessi dotti di struttr lgeric. Un sottoinsieme T di S è detto sottosemigruppo se è chiuso rispetto ll operzione, ovvero se per ogni s 1,s 2 T si h s 1 s 2 T. Tle ftto è esprimiile nche dll espressione TT T. Un sottoinsieme N M di un monoide M srà detto sottomonoide se è un suo sottosemigruppo e in più contiene l identità. Anlogmente un sottogruppo di un gruppo è un sottomonoide che contiene gli inversi di tutti i suoi elementi. Nel cso di sottogruppi useremo l notzione H G per indicre che H è un sottogruppo del gruppo G.

15 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 7 Esempio L insieme degli interi pri 2Z è un sottogruppo del gruppo dditivo Z, ovvero 2Z Z Osservzione Esistono monoidi contenuti in M che non sono suoi sottomonoidi, ovvero può cpitre che N M verifichi NN N m che si i 1 M 1 N. Esempio Considerimo il monoide M 2 (N) delle mtrici 2 2 d elementi in N, dotto dell usule moltipliczione rig per colonne, ed il suo sottoinsieme ) N = {( N è un monoide con identità ( ) N = 0 0 } N. ( ) = 1 M. Dunque N è un monoide pur non essendo un sottomonoide di M. Per ogni idempotente e di un monoide M, l insieme eme è un monoide contenuto in M. Esso è detto monoide loclizzto in e ed è il più grnde monoide contenuto in M d vere e come elemento neutro. Alcuni sottoinsiemi di un struttur possono vere un struttur più ricc. DtounmonoideM, l insiemedeglielementiinvertiili dim èungruppo detto gruppo delle unità di M. In generle un sottosemigruppo G di un semigruppo (risp. monoide) S è detto un gruppo in S se vi è un idempotente e G tle che G dotto dell operzione di S risulti un gruppo con identità e. Esempio Il singleton {1} formto dll sol identità è nlmente un gruppo in S per ogni semigruppo (risp. monoide) S. Il seguente risultto è un proprietà clssic dei gruppi in un monoide. Proposizione Sino M un monoide, G un gruppo in M ed m,n M due elementi tli che mn G. Allor ngm è isomorfo G. Dimostrzione. D mn G ricvimo l inclusione ngmngm ngm. L elemento e = n(mn) 1 m ngm è chirmente un idempotente e ngm è un monoide con e come elemento neutro. Inoltre, per ogni g G, l elemento h = n((mn) 1 g 1 (mn) 1 )m è l inverso di ngm. DunquenGm è un gruppo. Si verific fcilmente che l mpp f : G ngm dt d f(g) = n(mn) 1 gm è un isomorfismo tr i due gruppi. Riprenderemo nel Cpitolo 4 lo studio dei gruppi ll interno di un monoide.

16 8 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Osservzione Nel cso di gruppi finiti le strutture di sottosemigruppi e sottogruppi coincidono, ovvero ogni sottosemigruppo di un gruppo finito è un sottogruppo. È noto che i morfismi e gli inversi dei morfismi preservno le sottostrutture dei sottogruppi (risp. sottomonoidi, sottogruppi), ovvero se ϕ : S T è un morfismo di semigruppi (risp. monoidi, gruppi) ed S e T sono sottosemigruppi (risp. sottomonoidi, sottogruppi) rispettivmente di S e T, llor ϕ(s ) e ϕ 1 (T ) sono rispettivmente sottosemigruppi (risp. sottomonoidi, sottogruppi) di T e di S. Un sottomonoide N di un monoide M srà detto unitrio destr se è tle che u,uv M v M. Anlogmente si definisce l nozione di unitrio sinistr se u,uv M u M. Un sottomonoide N di un monoide M srà, invece, detto stile se, per ogni u,v,w M si h u,v,uw,wv N w N. Dto un grupppo G ed un suo sottogruppo H G chimeremo clssi lterli destre (risp. clssi lterli sinistre) di H gli insiemi dell form Hg = {hg h H} (risp. gh = {gh h H}) l vrire di g G. Si mostr fcilmente che due clssi lterli o sono disgiunte o coincidono. L indice [G : H] di un sottogruppo H G di un gruppo G è il numero delle clssi lterli destre disgiunte. Se K H G vle l formul [G : K] = [G : H][H : K]. (1.1) Dunque se H,K G sono due sottogruppi di indice d dello stesso gruppo e H K llor H = K. Sino S e T due semigruppi (risp. monoidi, gruppi, monoidi ordinti). T è detto essere un quoziente di S se esiste un morfismo suriettivo d S in T. Altri sottoinsiemi notevoli di un struttur sono gli ideli. Si S un semigruppo (risp. monoide). Un sottoinsieme R di S è detto idele destro se RS R, ovvero se per ogni r R e per ogni s S risult rs R. Simmetricmente, un idele sinistro è un sottoinsieme L di S tle che SL L. Un idele I è un sottoinsieme di S che è contempornemente idele destro e sinistro. Osservzione Equivlentemente si può definire idele di un semigruppo (risp. monoide) S un sottoinsieme I tle che per ogni s I e per ogni x,y S 1 si i xsy I, ovvero se SIS I. Osservzione Ogni intersezione di ideli (risp. ideli destri, ideli sinistri) è ncor un idele. L idele (risp. idele destro, idele sinistro) generto d un sottoinsieme R di un semigruppo (risp. monoide) S è il più piccolo idele (risp. idele

17 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 9 destro, idele sinistro) di S contenente R; questo è dto d S 1 RS 1 (risp. RS 1, S 1 R). Un idele è detto principle se è generto d un solo elemento. Osservzione L idele(risp. idele destro, idele sinistro) generto d un idempotente e è ugule SeS (risp. es, Se) nche se S non è un monoide. Inftti d e = eee si ottiene S 1 es 1 = SeS. È noto che i morfismi suriettivi e gli inversi dei morfismi preservno l struttur di idele (risp. idele destro, idele sinistro). Un idele I di un semigruppo S è detto minimle se per ogni idele non vuoto J di S si h l impliczione J I J = I. Un semigruppo h l più un idele minimle. Inftti sino I 1 ed I 2 due ideli minimli di un semigruppo S. Per l Osservzione I 1 I 2 è nch esso un idele e nlmente I 1 I 2 I 1. Dll minimlità di I 1 si ricv I 1 I 2 = I 1. Anlogmente si ottiene I 1 I 2 = I 2 e dunque I 1 = I 2. Vi sono due csi notevoli in cui sicurmente esiste un idele minimle: qundo S è finito e qundo S possiede uno zero. In quest ultimo cso un idele non vuoto I 0 tle che per ogni idele J I di S si i J = 0 o J = I è detto idele 0-minimle. Osservzione Mentre l idele minimle se esiste è unico, un semigruppo (risp. monoide) può vere più ideli 0-minimli. Esempio Si S = {0,,} il semigruppo con operzione xy = 0 per ogni x,y S. L idele minimle di S è {0}, mentre si {0,} che {0,} sono due ideli 0-minimli. Un gruppo in un monoide è contenuto in un unico idele, ovvero dti un monoide M, un suo idele I ed un gruppo G contenuto in M si h G I = o G I. Inftti, se x G I, llor per ogni g G si h g = x 1 xg I Relzioni e congruenze Si S un semigruppo (risp. monoide, gruppo). Un congruenz su S è un relzione di equivlenz stile su S, ovvero per ogni s,t S e per ogni u,v S 1, si h l impliczione s t = usv utv. Si può dotre l insieme delle clssi di equivlenz S/ di un struttur nturle di semigruppo (risp. monoide, gruppo) e l funzione che mnd ogni elemento s S nell su clsse di equivlenz [s] è dett proiezione cnonic ed è un morfismo d S in S/. Dimo di seguito due importnti esempi di congruenze.

18 10 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Esempio Si C S un sottoinsieme di un semigruppo (risp. monoide) S. L relzione di equivlenz C su S per cui s C t se e solo se per ogni x,y S 1 si i è un congruenz. xsy C xty C L congruenz definit nell Esempio è dett congruenz sintttic di C ed il semigruppo (risp. monoide) quoziente S/ C è detto semigruppo sintttico di C. Nel cso in cui C = S si ometterà l dizione di C. Esempio Siϕ : S T unmorfismodisemigruppi(risp. monoidi). L equivlenz ϕ su S definit d è un congruenz. s ϕ t ϕ(s) = ϕ(t) L congruenz definit nell Esempio è dett congruenz nuclere di ϕ e gode dell seguente en noto proprietà. Proposizione (Primo Teorem d Isomorfismo). Si ϕ : S T un morfismo di semigruppi (risp. monoidi, gruppi) e si π : S S/ ϕ l proiezione cnonic. Esiste un unico morfismo di semigruppi (risp. monoidi, gruppi) ϕ : S/ ϕ T tle che ϕ = ϕ π. Inoltre ϕ è un isomorfismo tr S/ ϕ e ϕ(s) Trsformzioni, zioni Un trsformzione (risp. trsformzione przile) su un insieme Q è un funzione (risp. funzione przile) d Q in se stesso. Un trsformzione iettiv è dett permutzione. Per indicre un trsformzione s su un insieme Q di crdinlità n si userà un mtrice 2 n in cui in ogni colonn compiono nelle due righe rispettivmente gli elementi di Q e le immgini ttrverso s. Nel cso di trsformzioni przili useremo il simolo nell second rig nel cso l immgine dell elemento corrispondente si l insieme vuoto. Esempio Si Q = {,,c,d,e}. L funzione ( c d e e d è un trsformzione totle su Q. )

19 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 11 L funzione ( c d e e d d è un trsformzione przile su Q. L funzione è un permutzione su Q. ( c d e c e d Se l insieme Q è ordinto e qulor non sussist miguità si scriverà soltnto l second rig. Esempio Ordinndo l insieme Q dell Esempio ponendo < < c < d < e possimo riscrivere le tre trsformzioni rispettivmente come (ed), (e dd) e (ced). Si Q un insieme e si S un semigruppo (risp. monoide, gruppo). Un zione destr di S suqèunfunzioneq S Q, denott (q,s) q s, tle che per ogni s,t S e per ogni q Q si i (q s) t = q (st). Un zione srà dett fedele se q s = q t q Q = s = t. Un semigruppo di trsformzioni (risp. monoide di trsformzioni, gruppo di trsformzioni) su Q è un semigruppo S dotto di un zione fedele di S su Q. Un monoide (risp. gruppo) di trsformzioni S su Q si dirà trnsitivo se per ogni p,q Q esiste un g S tle che p g = S. Dto S un semigruppo (risp. monoide) di trsformzione su Q, l relzione di equivlenz ) ) s t = q s = q t q Q è un congruenz su S. Tle zione induce un zione fedele sul semigruppo (risp. monoide) quoziente S/. Il risultnte semigruppo (risp. monoide) di trsformzione (Q, S/ ) è detto semigruppo (risp. monoide) di trsformzione indotto dll zione di S su Q. Esempio Ogni semigruppo S definisce nlmente un semigruppo di trsformzioni (S 1,S) dto dll zione fedele q s = qs. Il semigruppo di tutte le trsformzioni su un insieme Q si denot con T(Q), quello di tutte le trsformzioni przili con F(Q) e quello delle permutzioni su Q con S(Q). Quest ultimo è, in effetti, un gruppo ed è chimto gruppo simmetrico dell insieme Q.

20 12 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Nel cso prticolre Q = {1,2,...n} vengono uste nche le notzioni T n,f n ed S n. Tli semigruppi di trsformzioni sono di fondmentle importnz nello studio dei semigruppi. Vle inftti il seguente risultto. Proposizione Ogni semigruppo S è isomorfo d un sottosemigruppo di T (S 1 ). In prticolre, ogni semigruppo finito è isomorfo d un sottosemigruppo di T n per qulche n. Cyley h dimostrto un simile risultto per i gruppi. Teorem (Teorem di Cyley). Ogni gruppo G è isomorfo d un sottogruppo di S(G). In prticolre ogni gruppo finito è isomorfo d un sottogruppo di S n per qulche n. Dto G un gruppo di permutzioni su un insieme Q si definisce grdo di G l crdinlità di Q. Proposizione Sino G un gruppo di permutzioni trnsitivo su un insieme Q e p Q. Il sottogruppo H G di permutzioni che fissno p h indice Crd(Q). Dimostrzione. Per ogni q Q esisterà, essendo G trnsitivo, un elemento g q G tle che p g q = q. Per ogni ltro g G tle che p g = q si vrà p ggq 1 = p il che implic ggq 1 H d cui g H gq. Dunque ogni g G è in un clsse lterle H gq con q Q. Essendo tli clssi lterli due due disgiunte il loro numero è esttmente Crd(Q). Due gruppi di permutzioni G su un insieme R ed H su un insieme S srnno detti equivlenti se esiste un iezione β : R S ed un isomorfismo σ : G H tle che β(rg) = β(r)σ(g) g G,r R, (1.2) ovvero se il digrmm in Figur 1.1 è commuttivo per ogni g G. R g R β β S σ(g) Figur 1.1: G ed H, gruppi di permutzioni rispettivmente su R e su S, sono equivlenti. S

21 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 13 Un gruppo di permutzioni G srà detto regolre se tutti gli elementi g G\{1 G } sono privi di punto fisso, ovvero se q g = q per qulche q Q = g = 1 G. Proposizione Un gruppo di permutzioni trnsitivo e Aelino è regolre. Dimostrzione. Si g G un elemento vente un punto fisso p Q, ovvero tle che pg = p. Mostrimo che g = 1 G, ovvero che per ogni q Q si h qg = q. Poiché G trnsitivo esisterà un h G tle che p = qh. Dll Aelinità di G ricvimo q(hg) = q(gh) = (qg)h = qh ed essendo h è un permutzione ciò implic qg = q Genertori, grfo di Cyley Dto un sottoinsieme A di un semigruppo S, il sottosemigruppo di S generto d A è il più piccolo semigruppo di S contenente A. Esso si denot con A ed è ottenuto intersecndo tutti i sottogruppi di S contenenti A, ovvero considerndo tutti i possiili prodotti 1 2 n di elementi di A. In mnier simile, dto un monoide M ed un suo sottoinsieme A si definisce sottomonoide generto d X il sottosemigruppo generto d A con l ggiunt dell identità 1 S. Nel cso di un gruppo G, il sottogruppo generto d A G è definito nlgomente ed è formto d tutti i prodotti 1 2 n dove gli i sono o elementi di A o inversi di elementi di A. Un semigruppo (risp. monoide, gruppo) generto d un insieme A srà detto A-generto. Dto un monoide (risp. gruppo) A-generto M, si definisce grfo di Cyley destro di M il grfo che h per vertici gli elementi di M e per lti le triple (m,,m) con m M e A. In mnier nlog si definisce grfo di Cyley sinistro di M il grfo che h per vertici gli elementi di M e per lti le triple (m,,m) con m M e A. In Figur 1.2 è rppresentto il grfo di Cyley destro del monoide B 1 2 visto nell Esempio Un semigruppo (risp. monoide, gruppo) generto d un solo elemento è detto semigruppo ciclico (risp. monoide ciclico, gruppo ciclico). Ovvero S è ciclico se è dell form S = { n n N} con, nel cso S possegg un identità, 0 = 1. Se S è un semigruppo ciclico infinito (risp. monoide ciclico infinito, gruppo ciclico infinito) llor esso è isomorfo l semigruppo dditivo N + (risp. l monoide dditivo N, l gruppo dditivo Z).

22 14 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 1 0, Figur 1.2: Grfo di Cyley destro di B 1 2. NelcsoS siinveceungruppociclicofinito, sichimnoindice eperiodo di S i più piccoli interi positivi i e p tli che i+p = i. In tl cso il semigruppo S vrà i+p 1 elementi e srà dell form S = S i,p = {, 2,..., i 1, i,..., i+p 1 }. Il grfo destro di Cyley del monoide M i,p = Si,p 1, con i + p elementi è rppresentto in Figur i i+1 i+p 1 Figur 1.3: Grfo di Cyley destro di M i,p. Un struttur fondmentle nel nostro studio è quell del monoide liero. Dto un insieme A, detto se del semigruppo, il semigruppo liero è il

23 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 15 semigruppo A + ottenuto considerndo tutte le possiili conctenzioni non vuote di elementi di A. Il monoide liero A è il monoide (A + ) 1 con elemento neutro l prol vuot. Il gruppo liero A generto daèdefinitocomesegue. SiĀuninsieme in corrispondenz iunivoc con A e tle che A Ā =. Denotimo con : A Ā tle corrispondenz e con ā l immgine di ; possimo estendere l funzione d A Ā ponendo ā =. Si δ l relzione di equivlenz su ( A Ā) definit d uāv δ uv u,v ( A Ā) A Ā. Si ρ l chiusurriflessivetrnsitiv di δ. Lrelzione ρ è uncongruenz ed il monoide quoziente A = ( A Ā) / ρ è un gruppo. Inftti, per ogni A Ā si h ā ρ 1. Ciò mostr che le immgini dei genertori, e dunquetutti gli elementi di A, sono invertiili. Ogni elemento di A è un clsse di equivlenz di elementi di ( A Ā). Chimeremo ridotto il rppresentnte di lunghezz minim di un clsse di equivlenz. Esso è unico ed è crtterizzto dl non contenere come fttore ā per A Ā. Ovvero w = n+1 è ridotto se i+1 ā i per ogni 1 i n. Anche gli elementi del monoide liero A possono esser visti come elementi ridotti di A poiché non contengono lettere di Ā. Dunque A può essere pensto come sottomonoide di A. Chimeremo rngo di A il numero di elementi Crd(A) dell insieme A. Tutti gli insiemi genernti un gruppo liero di rngo k hnno lmeno k elementi. In tle mito useremo il termine se per indicre un insieme minimle di genertori per il gruppo. Si dimostr che tutte le si di un gruppo liero di rngo k hnno esttmente k elementi. Si H un sottogruppo di rngo n e di indice d del gruppo liero di rngo k. Allor vle l seguente formul dett formul di Schreier n = d(k 1)+1. (1.3) Nel cso di un gruppo generico G chimeremo rngo minimo di G l crdinlità di un insieme minimle di genertori per G. Dunque nel cso di gruppi lieri le nozioni di rngo e di rngo minimo coincidernno Residuli, fttori Si M un monoide e sino x,y M. Si definiscono gli insiemi x 1 y = {z M xz = y} e xy 1 = {z M x = zy}.

24 16 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Tle notzione è estes nche i sottoinsiemi X,Y M X 1 Y = x 1 y e XY 1 = xy 1. x X y Y x X y Y L insieme X 1 Y è detto residule sinistro di Y, mentre XY 1 è il residule destro di X. Dti tre sottoinsiemi X,Y,X M, vlgono le seguenti identità (XY) 1 Z = Y 1( X 1 Z ) e X 1( YZ 1) = ( X 1 Y ) Z 1. Di seguito useremo le più sintetiche notzioni XA ed A X l posto rispettimente di X (A + ) 1 e (A + ) 1 X. DtounsottoinsiemeX diunmonoidem sidefiniscel insiemedeifttori degli elementi di X, o più sinteticmente l insieme dei fttori di X F(X) = {m M u,v M : umv X}, ovvero l insieme F(X) = M 1 XM 1. Il complementre M \F(X) è spesso denotto come F(X) o F(X) c Serie formli Uno strumento molto utile in teori dei codici è lo studio delle serie formli (si ved [4]). Sino A un insieme e K un seminello. Un serie formle, o semplicemente serie, su A coefficienti in K è un funzione σ : A K. Per lo studio delle serie useremo l notzione (σ,w) l posto di σ(w). In tle mito, il vlore σ(w) viene denotto con (σ, w). L insieme di tutte le serie formli su A srà indicto con K A. Il supporto di un serie srà l insieme supp(σ) = {w A (σ,w) 0}. Denoteremo con K A l insieme delle serie σ K A supporto finito. Un elemento p di K A srà chimto polinomio. Se p 0, si definisce il grdo di p, e lo si denot con deg(p), l lunghezz mssim delle prole in supp(p). Il grdo del polinomio nullo lo si pone pri. Dte due serie σ,τ K A e dto k K, è possiile definire le serie σ +τ, στ e kσ ponendo: (σ +τ,w) = (σ,w)+(τ,w), (στ,w) = (σ,u)(τ,w), uv=w (kσ,w) = k(σ,w).

25 1.1. RICHIAMI ALGEBRICI 17 Nell second equzione l somm è finit, poiché scorre tr le 1+ w coppie (u,v) tli che w = uv. K A contiene due serie importnti, denotti con 0 e 1 e definite come (0,w) = 0 w A (1,w) = { 1 se w = 1, 0 ltrimenti. Si userà l scrittur comptt σ n per indicre il prodotto σσ σ (n volte) e si porrà σ 0 = 1. Con le operzioni su definite l insieme K A risult essere un seminello. L elemento (σ, 1) srà detto termine costnte dell serie σ. Denoteremo con σ e σ + le serie σ = n 0 σ n e σ + = n>0σ n. Notimo che σ = 1+σ + e che σ + = σσ = σ σ. Proposizione Si K un nello con unità e si σ K A un serie con termine costnte nullo. Allor 1 σ è invertiile e σ = (1 σ) 1. Dimostrzione. Per qunto visto sopr si h 1 = σ σ + = σ σ σ = σ (1 σ). Simmetricmente si h 1 = (1 σ)σ, d cui l tesi. Dto un insieme X A si definisce l serie crtteristic di X, e l si denot con X, l serie dt d (X,x) = { 1 se x X 0 ltrimenti. Qundo l insieme X = {x} è un singleton, si scriverà semplicemente x l posto di x. Dt quest notzione è possiile scrivere X = x Xx. Vedimo di seguito lcune proprietà delle serie crtteristiche Proposizione Sino X,Y A. Allor 0 se w / X Y (X +Y,w) = 1 se w (X Y)\(X Y) 2 se w X Y

26 18 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Dll Proposizione si deduce, in prticolre, che se Z = X Y llor X +Y = Z X Y =. Dti due insiemi X,Y A, il prodotto XY è detto non miguo se ogni prol w XY può essere scritt come w = xy con x X e y Y. Proposizione Sino X,Y A. Allor (XY,w) = Crd{(x,y) X Y w = xy}. h In prticolre, dll Proposizione si deduce che, dto Z = XY si Z = XY XY è non miguo. Dlle proposizioni viste si ricv il seguente fondmentle risultto. Proposizione Si X A +. Allor ((X),w) = Crd{(x 1,...,x n ) n 0, x i X, w = x 1 x 2 x n }. Dimostrzione. Per l definizione di (X), si h ((X),w) = k 0((X) k,w). Applicndo l Proposizione si ottiene d cui l tesi. ((X) k,w) = Crd{(x 1,...,x k ) x i X, w = x 1 x 2 x k }, 1.2 Prole, Linguggi, Codici In quest Sezione riprenderemo il concetto di monoide liero definito nell Sottosezione che qui srà definito monoide delle prole finite. Nell Sottosezione vedremo vrie possiilità per rendere tle monoide ordinto. Nell Sottosezione estenderemo le nozioni viste l cso infinito ( destr) e nell Sottosezione consideremo un clsse prticolre di prole. Il concetto di fttorizzzione srà introdotto nell Sottosezione Dopo ver introdotto nell Sottosezione i linguggi, ossi degli insiemi di prole, ci concentreremo nell Sottosezione su un prticolre clsse di essi, i codici, definiti dl ftto che ogni prol h un unic fttorizzzione in termini di suoi elementi. Infine nell Sottosezione ci concentreremo sui prse e sulle interpretzioni, rgomenti che svilupperemo poi nei Cpitolo 2 e 4.

27 1.2. PAROLE, LINGUAGGI, CODICI Prole Si A un insieme detto lfeto i cui elementi sono chimti lettere. Un prol finit w nell lfeto A è un sequenz finit di elementi di A dell form ( 1, 2,..., n ) con i A ed n N. Prese due prole u = ( 1, 2,... n ) e v = ( 1, 2,... m ) il prodotto, o conctenzione, di u e v è l prol uv = ( 1, 2,..., n, 1, 2,... m ). Tle prodotto h come identità l prol vuot 1, o ε, corrispondente ll sequenz vuot. Esso è inoltre ssocitivo. Per tle rgione si possono indicre le prole trmite semplice giustpposizione di lettere, ossi nell form w = n. Come già visto nell Sezione precedente (Sottosezione 1.1.6), l insieme di tutte le prole non vuote, denotto A +, dotto dell operzione di conctenzione è un semigruppo detto semigruppo liero. Aggiungendo l prol vuot come elemento neutro, ottenimo il monoide liero A. Tle monoide srà detto, ppunto, monoide delle prole (finite). Dt un prol w = n con i A, si definisce lunghezz di w, e l si denot con w, il numero n di lettere in w. Per definizione l lunghezz dell prol vuot 1 è 0. L funzione l : A N che ssoci w w è un morfismo di monoidi. Il sottoinsieme di A dto dlle prole di lunghezz n è denotto A n, ovvero A n = {w A w = n}. Dtunprolw = n, l interoièdettooccorrenz dellletter in w se i =. Il numero di occorrenze di un letter in un prol w si denot w. Sussiste, chirmente, l relzione w = A w. L insieme delle lettere che compiono in un prol w si indic con lph(w), ovvero lph(w) = { A w > 0}. Tle notzione si estende i sottoinsiemi X di A ponendo lph(x) = lph(x). x X Esempio Considerimo l prol w = nell lfeto A = {,,c,}. Si h w = 2, w = 3 e w c = 0. L lunghezz dell prol è w = 5 mentre lph(w) = {,}. Dt un prol w = 1 2 n, un intero p 1 è detto periodo di w se i = i+p per ogni i = 1,...n p. Il più piccolo periodo di w è detto il periodo di w.

28 20 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Un prol w A + è dett primitiv se non è potenz di lcun ltr prol di A +, ovvero se si h l impliczione w = u n con u A + = n = 1 e w = u Ordine delle prole Nell insieme delle prole è possiile definire delle relzioni d ordine, si przili che totli. L prim e più semplice relzione d ordine totle che si può dre su A è quell dt delle lunghezze, ponendo u v se e solo se u v. Si w = n A. L prol u è dett fttore di w se u = i i+1... j per 1 i j n. Ovvero u è un fttore di w se esistono due prole v,v A tli che w = vuv. Nel cso u w, ovvero se w = vuv con v e v non entrmi uguli ll prol vuot, si dirà che u è un fttore proprio di w. In prticolre se w = vuv con v,v A +, llor u srà detto fttore interno di w. L relzione essere fttore di è un relzione d ordine przile su A (totle se A = 1). L insiemedi tutti i fttori di unprolw èdenotto con F(w). Lnotzione si estende d un insieme X A denotndo con F(X) = x X F(x). Un prol u srà dett prefisso di w se u è un fttore sinistro di w, ovvero se esiste un v A tle che w = uv; nel cso v A +, u srà detto prefisso proprio di w. Anlogmente si definisce suffisso (risp. suffisso proprio), o fttore destro di w un prol u per cui esiste un v A (risp. A + ) tle che w = vu. Anche le relzioni essere prefisso di ed essere suffisso di sono relzioni d ordine przili su A (totle se A = 1). In prticolre riferendoci ll ordine prefisso scriveremo u v qundo u è un prefisso di v e u < v qundo u v e u v. Osservzione Se due prole w e w sono entrme prefisse di un prol u llor w e w sono comprili, ovvero si h w w o w w. Dto un insieme X diremo che un prol w è un prefisso per X se ess è prefiss di un prol x X. Un insieme P A srà detto chiuso per fttori (risp. chiuso per prefissi, chiuso per suffissi) se contiene tutti i fttori (risp. prefissi, suffissi) dei suoi elementi, ovvero se uwv P w P (risp. uv P u P, uv P v P). Dt un prol x A, indicheremo con F(x) l insieme di tutti i fttori di x.

29 1.2. PAROLE, LINGUAGGI, CODICI 21 Due relzioni d ordine totli di fondmentle impotnz sono l ordine lessicogrfico, ossi quello dei vocolri, e quello militre. In entrmi i csi supponimo di vere un ordine totle sull lfeto A. L ordine lessicogrfico, o lfetico, è definito ponendo u v se u è un prefisso proprio di v oppure se u = rs,v = rt, con, A, r,s,t A e <. Chirmente si userà l notzione u v se u v o u = v. Osservzione L ordine lessicogrfico è stile sinistr, ovvero u v wu wv. L ordine militre, o metrico-lessicle, ordin le prole prim in se ll lunghezz e poi in se ll ordine lessicogrfico, ovvero lo si definisce ponendo u < v se u < v o se u = v e u v. Osservzione L ordine militre è stile si sinistr che destr, ovvero se u v llor xuy xvy per ogni x,y A Prole infinite Molti dei concetti e delle definizioni espresse sin d or (e molte di quelle che esprimeremo in seguito) sono estendiili ll clsse delle prole infinite. Così come le prole finite sono stte definite come sequenze finite di lettere, è possiile definire le prole infinite ( destr) come le sequenze di lettere in A con indice in N. L insieme di tutte le prole infinite lo si denot con A N o A ω. L insieme di tutte le prole finite ed infinite ( destr) è denotto con A = A A ω. Esempio Si A. L prol infinit ω è l sequenz infinit (,,...). Il prodotto uv è definito per ogni u A e v A ω. Un prol finit w è dett fttore di un prol infinit u se u = xwy con x A e y A ω. Anche in questo cso l insieme F(w) srà l insieme di tutti i fttori dell prol w. Un prefisso (risp. suffisso) di un prol w A ω è un prol u A (risp. v A ω ) tle che esiste v A ω (risp. u A ) per cui si i w = uv. Anche l ordine lessicogfico si può estendere l cso infinito, ponendo u < v se e soltnto se u = wu,v = wv per qulche w A,, A, con < è u,v A ω. Un prol infinit x = 1 2 con i A è dett periodic se esiste un intero n 1 tle che i+n = i per ogni i 1. Srà dett definitivmente periodic seduncertopuntoinpoitutti isuoisuffissisonoperiodici, ovvero se x = uy con u A e y un prol infinit periodic. Il seguente risultto, dovuto Coven e Hedlund, è en noto (si ved [10, Teorem ]). Teorem (Coven e Hedlund, 1973). Si x A ω un prol infinit su un lfeto A di k lettere. x è definitivmente periodic se e solo se esiste un intero d 1 tle che x h l più d+k 2 fttori di lunghezz d.

30 22 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Nell Sezione 3.2 generlizzeremo tle risultto Plindrome Il rovescio di un prol w = n è l prol w = n n ottenut leggendo w d destr verso sinistr. In prticolre il rovescio dell prol vuot srà l prol vuot. Osservzione Per ogni coppi di prole u,v A si h ũv = ṽũ. Un insieme X di prole è detto chiuso per rovescio se contiene i rovesci di tutti i suoi elementi, ovvero se x X x X. Un prol plindrom è un prol w che coincide col proprio rovescio w. Se w è pri, llor w è plindrom se e solo se è dell form w = x x per x A ; se invece l su lunghezz è dispri l condizione necessri e sufficiente è w = x x per x A e A. L chiusur plindromic di un prol w è l più piccol prol plindrom che h w come prefisso ed è denott come w (+). L chiusur plindromic itert di un prol w è l prol Pl(w) definit ricorsivmente come Pl(1) = 1; Pl(u) = (Pl(u)) (+) u A A. Essendo Pl(u) un prefisso proprio di Pl(u), h senso definire l chiusur plindromic itert di un prol infinit x come il limitie delle chiusure plindromiche iterte dei prefissi di x. Definimo desso, per ogni letter A, il morfismo ψ d A in se stesso, detto morfismo elementre, come { se ψ () = ltrimenti. Tle notzione si estende nche lle prole u A definendo ψ u = ψ(u) dove ψ : A End(A ) è il morfismo d A nel monoide degli endomorfismi di A definito d ψ() = ψ per ogni A. Dunque dte tre prole u,v,w in A si h l relzione ψ uv (w) = ψ u (ψ v (w)). Si può dimostrre che tli morfismi elementri, che nel cso del monoide A sonodegli endomorfismi,definisconodegliutomorfisminelgruppoliero A. Usndo i morfismi elementri è possiile dre un form elegnte per l chiusur plindromic di un prodotto di due prole. L formul di Justin è l seguente: Pl(uv) = ψ u (Pl(v))Pl(u).

31 1.2. PAROLE, LINGUAGGI, CODICI 23 Tle formul può essere estes l cso in cui u si un prol in A e v si un prol infinit, ottenendo Pl(uv) = ψ u (Pl(v)) Fttorizzzioni Definimofttorizzzione diunprolw A unsequenz(u 1,u 2,...,u n ) con n 1, u i A + per 2 i n 1 e u 1,u n A tli che w = u 1 u 2 u n. Il contenuto di un sequenz α = (u 1,u 2,...u n ) di prole u i A è l prol c(α) = u 1 u 2 u n. Dt un fttorizzzione α = (u 1,u 2,...,u n ) denotimo con P(α) = {u 1,u 1 u 2,...,u 1 u 2 u n 1 }. Dte due fttorizzzioni α,β di w A diremo che β è più fine di α, e scriveremo α < β, se P(α) P(β). L relzione essere più fine di è un relzione d ordine przile. Il supremum di due fttorizzzioni α = (u 1, u 2,... u n ) e β = (v 1,v 2,...v m ) di un prol w, denotto con α β, è l unic fttorizzzione γ = (w 1,w 2,...w p ) di w tle che P(γ) = P(α) P(β). Esempio L prol h 8 fttorizzzioni distinte rppresentte in Figur 1.4 ordinte verticmente per finezz. (1,,,1) (1,,) (1,,1) (,,1) (1, ) (, ) (, 1) () Figur 1.4: Fttorizzzioni dell prol. Duefttorizzzioni α = (u 1,u 2,...u n )eβ = (v 1,v 2,...v m )diunprol wsonodettedicenti, seu 1 u 2 u i = v 1 v 2 v j (edunqueu i+1 u i+2 u n = v j+1 v j+2 v m ) peropportunii,j con 1 i n 1e1 j m 1. Ovvero α e β sono dicenti se P(α) P(β). Due fttorizzzioni non dicenti sono dette disgiunte.

32 24 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Diremo che unfttorizzzione α = (u 1,u 2,...,u m ) è n-periodic rispetto d un codice X se e solo se il numero di fttori non vuoti consecutivi u i con 2 i m 1 il cui prodotto è in X è costnte ed è pri d n. Formlmente α srà n-periodic rispetto d X se dti r,l con 1 l r m 1 si h u l+1 u l+2 u r X r l = n. Qulor non sussistno miguità si indicherà un fttorizzzione α = (u 1 u 2 u n ) di w semplicemente con w = u 1 u 2 u n Linguggi Dto un lfeto finito A, un sottoinsieme L di A è detto linguggio. In ltre termini un linguggio è un collezione, finit o infinit, di prole su un certo lfeto. Esempio Si A = {0,1}. L insieme {0 n 10 m n,m 0} è il linguggio delle prole in A contenenti un solo 1. Sui linguggi è possiile definire diverse operzioni. Oltre lle clssiche operzioni Boolene ossi unione, intersezione, complemento rispetto d A, differenz e differenz divis si può definire il prodotto di linguggi come già definito per gli insiemi nell Esempio Per qunto visto nell Esempio l insieme dei linguggi h un struttur di seminello. Per tle rgione spesso si us il simolo + l posto di e si denot il linguggio vuoto con 0 ed il linguggio {1} con 1. Un ltr convenzione è quell di denotre il singleton {w} semplicemente con w. Osservzione Se l lfeto A contiene lmeno due lettere, llor il seminello dei linguggi non è commuttivo. Dto un linguggio L, si definisce l su potenz n-sim L n come il prodotto di L per se stesso n volte, ovvero L 0 = 1, L n = L n 1 L Osservzione Nonostnte l notzione ugule isogn stre ttenti non confondere le potenze dei linguggi L 0 ed L 1 con i semigruppi e monoidi dotti di zero ed identità definiti nell sezione L str di un linguggio L, denott con L è l unione, denott come somm, di tutte le potenze di L, ossi L = n 0 Ln. L opertore più di un liguggio L è definito considerndo l unione delle potenze non negtive di L, ovvero L + = n>0 Ln. Ovvimente si h l uguglinz L = L + 1. Secondo qunto ppen definito si hnno le seguenti formule: 0 = 1 = 1 mentre 0 + = 0 e 1 + = 1.

33 1.2. PAROLE, LINGUAGGI, CODICI 25 Un linguggio è detto rzionle, o regolre, se è possiile ottenerlo prtire di linguggi 0 e con A usndo un numero finito di volte le operzioni unione, prodotto e str. Esempio Si A = {,}. Il linguggio L = (++) è rzionle. Si dimostr che i linguggi rzionli sono stili per morfismi, ossi se ϕ : A B è un morfismo ed L è un linguggio rzionle di A llor ϕ(l) srà un linguggio rzionle di B Codici Se prendimo un linguggio L ed un prol w L, per definizione esisternno delle prole u 1,u 2,...u n L tli che w = u 1 u 2...u n. Tle fttorizzzione (u 1,u 2,...u n ) di w srà dett essere un L-fttorizzzione. È utile spesso rppresentre un L-fttorizzzione come in Figur 1.5 u 1 u 2 u n w Figur 1.5: Un L-fttorizzzione di w Un sottoinsieme X di A è un codice su A se per ogni n,m 0 e per ogni x 1,x 2,...,x n, y 1,y 2,...,y m X si h l impliczione: x 1 x 2 x n = y 1 y 2 y m = n = m e x i = y i i = 1,...n. Ovvero X è un codice se ogni prol di X h un unic X-fttorizzzione. Osservzione Chirmente un codice non conterrà mi l prol 1. Inoltre ogni sottoinsieme di un codice è esso stesso un codice. In prticolre l insieme vuoto è un codice. Esempio Per ogni lfeto A, l insieme X = A è un codice. Più in generle, per ogni n N, l insieme X = A n è un codice, detto il codice uniforme su A delle prole di lunghezz n. Si dimostr, inoltre, che se X A è un codice llor srà un codice nche X n l vrire di n > 0. Esempio L insieme X = {,, } non è un codice poiché, d esempio, lprolw = hduex-fttorizzzione distinte: w = ()() = ()(). Un sottoinsieme X di A srà detto prefisso se nessun elemento di X è prefisso di un ltro elemento di X, ovvero se dti due elementi x,x X si h l impliczione x x x = x.

34 26 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Anlogmente si definisce suffisso un sottoinsieme X di A tle che nessun elemento di X è suffisso di un ltro elemento di X. Un insieme srà detto ifisso se è si prefisso che suffisso. È fcile dimostrre che ogni insieme X {1} prefisso (risp. suffisso, ifisso) è un codice. Per tle rgione ogni insieme prefisso (risp. suffisso, ifisso) X {1} srà detto codice prefisso (risp. suffisso, ifisso). Esempio I codici uniformi sono ifissi. Un codice X srà detto mssimle su A se nonècontenuto proprimente in nessun ltro codice su A, ovvero se X X con X codice = X = X. Si dimostr(si ved, d esempio, [4, Proposizione ]) che ogni codice X su un lfeto A è contenuto in un codice mssimle su A. Un codice X srà detto mssimle prefisso (risp. mssimle suffisso, mssimle ifisso) su A se non è contenuto proprimente in lcun ltro codice prefisso (risp. suffisso, ifisso) su A. Esempio I codici uniformi A n, con n N sono codici mssimli ifissi. Si X un codice prefisso (risp. suffisso). Il sottomonoide M = X generto d X è unitrio destr(risp. sinistr). Vicevers, ogni sottomonoide unitrio destr (risp. sinistr) di A è generto d un codice prefisso (risp. suffisso) (si ved [4]). Dto un sottogruppo H A del gruppo liero, il sottomonoide H A è unitrio destr e sinistr e quindi, per qunto ppen visto, generto d un codice ifisso. Un sottogruppo H A di A è detto positivmente generto se esiste un insieme X A che gener H. Proposizione Si H A un sottogruppo positivmente generto del gruppo liero A. Allor esiste un codice ifisso X che gener H. Dimostrzione. Se H è positivmente generto llor un insieme che lo gener è proprio H A. Tle H A è, per qunto già visto, generto d un opportuno codice ifisso X. Dunque X gener il sottogruppo H. Importnte nello studio lgerico dei codici è lo studio dell serie crtteristic X di un insieme X A (si ved Sottosezione 1.1.8). Ad esempio, si vede fcilmente che X A è un codice se e solo se ((X),w) 1 per ogni w A. Il seguente risultto è in [4, Proposizione 3.1.6]

35 1.2. PAROLE, LINGUAGGI, CODICI 27 Proposizione Si X un codice prefisso su A e si P = A \XA. Allor X 1 = P(A 1) e A = X P In prticolre l second equzione dell Proposizione precedente ci dice che, se X è un codice prefisso, ogni prol può essere scritt in un unic mnier come composizione di prole di X e di un prol incomprile per prefissi con X. Un risultto dule rispetto ll Proposizione vle nel cso X si un codice suffisso ed S = A \ A X. in tl cso si vrà A = SX e X 1 = (A 1)S Prse ed interpretzioni Si X A un insieme. Un prse di un prol w rispetto d X è un tripl (u,x,v) tle che u non h suffissi in X, x è un conctenzione di prole di X, v non h prefissi in X e uxv si un fttorizzzione di w (Figur 1.6). Formlmente (u,x,v) è un prse se si h w = uxv con u A \A X, x X e v A \XA. w u x v Figur 1.6: Un prse di w rispetto d X. Considerimo desso il cso in cui X A + si un codice. Sino P = XA ed S = A X gli insiemi rispettivmente dei prefissipropri e dei suffissi propri di X. Un interpretzione di un prol w A rispetto d X è un fttorizzzione w = uxv con u S, x X e v P. Osservzione Se X è un codice ifisso, ogni interpretzione di un prol w rispetto d X è nche un prse di w rispetto d X. Inftti in tl cso si vree A X A \A X e XA A \XA. Ricorrendo ll notzione dell Sottosezione 1.2.5, chimeremo interpretzione rispetto l codice X un fttorizzzione α = (u,x 1,x 2,...,x n,v) di w tle che u S, n 0, x i X e v P. Dunque un interpretzione α è un fttorizzzione con lmeno due termini: uno inizile, che indicheremo con s α, suffisso proprio di X ed uno finle, che indicheremo con p α. Come termine intermedio tr i due vi è un sequenz (x 1,x 2,...,x n ), eventulmente vuot, di prole di X che denoteremo con f α.

36 28 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Due interpretzioni di un prol w srnno dette dicenti se le fttorizzzioni corrispondenti sono dicenti (si ved Figur 1.7). Anlogmente si definisce il concetto di interpretzioni disgiunte. u x 1 x 2 v u y 1 y 2 v Figur 1.7: Due interpretzioni dicenti. Due interpetzioni α, β di un stess prol w sono dette connesse se w = uxv con u,v A e x X tli che u P(α) e ux P(β). Due interpretzioni α,β di w sono dunque connesse se e solo se esiste un interpretzione γ di w dicente si d α che β (si ved Figur 1.8). u x 1 x 2 v u y 1 y 2 v x Figur 1.8: Due interpretzioni connesse. Due interpretzioni dicenti sono sempre connesse. In generle, però, non vle il vicevers, come mostrto nel seguente Esempio. Esempio Sino A = {,} ed X = {,,,,}. L prol w = h due interpretzioni disgiunte, ovvero α = (,,) e β = (1,,, 1). Entrme sono però dicenti ll interpretzione γ = (1,, ), quindi connesse tr loro. Due interpretzioni di un stess prol che non risultno connesse srnno dette indipendenti. Poiché per qunto visto ogni interpretzione è un fttorizzzione, dto un insieme J di interpretzioni di un prol w è possiile considerre il supremumdi J. Essosràdellform(u 1,u 2,...u m ) esràtle che perogni k con 1 k m 1 esisterà un elemento di J che rffin l fttorizzzione (u 1 u k,u k+1 u m ). Aimo già definito nell Sottosezione il concetto di residule di un insiemex. NelcsodiuninsiemeformtodunsolprolX = {w} A srà equivlente scrivere u 1 {w} o u 1 w. Esso srà un sottoinsieme di A

37 1.2. PAROLE, LINGUAGGI, CODICI 29 di crdinlità l più 1. Nel cso u 1 w si non vuoto identificheremo tle insieme con l prol v tle che w = uv. Trsportndo il concetto di residule di un insieme lle sequenze, definiremno per ogni letter A ed ogni sequenz α = (u 1,u 2,...u n ) di prole u i A con n 1 l seguenz 1 α dt d 1 (u 2,u 3,...u n ) se u 1 = 1, 1 α = ( 1 u 1,u 2,...u n ) se u 1 A, ltrimenti. Dt un letter A ed un fttorizzzione α di un prol w A + si h che 1 α ed 1 w sono non vuote se e solo se w A. In tl cso 1 α srà un fttorizzzione di 1 w. Esempio Aimo già visto nell Esempio che l prol w = h 8 fttorizzzioni distinte (si ved Figur 1.4). L 4 fttorizzzioni distinte dell prol 1 w sono rppresentte in Figur 1.9. (1,,1) (1,) (,1) () Figur 1.9: Fttorizzzioni dell prol 1 () =. Interpretzioni e residuli sono legti di due seguenti risultti. Proposizione Sino A, w A un prol non vuot inizinte per ed α un interpretzione di w rispetto d un codice X. Se s α 1 o f α è non vuoto, llor 1 α è un interpretzione di 1 w. Dimostrzione. Si α = (s,x 1,x 2,...x n,p) con s A X, n 0, x i X e p XA. Se s 1 llor 1 α = ( 1 s,x 1,x 2,...,x n,p). Se s = q ed n 1 llor 1 α = ( 1 x 1,x 2,...,x n,p). In entrmi i csi l tesi è verifict. Proposizione Sino A, w A un prol non vuot inizinte per ed α,β due interpretzioni indipendenti di w rispetto d un codice X. Se s α 1 o f α è non vuoto, llor 1 α ed 1 β sono due interpretzioni indipendenti di 1 w

38 30 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Dimostrzione. Per l Proposizione sppimo che 1 α ed 1 β sono entrme interpretzioni di 1 w. Supponimo, per ssurdo, che 1 α ed 1 β sino connesse. Allor esistereero u,v A ed x X tli che 1 w = uxv con u P( 1 α) ed ux P( 1 β). Dunque si vree w = uxv con u P(α) ed ux P(β), contrddicendo l indipendenz di α e β. Considerimo desso un insieme J di n interpretzioni di un prol w rispetto d un codice X. Si σ = (u 1,u 2,...u m ) il supremum di J. Per ogni α J vremo w = sxp con s = s α, x = c(f α ) e p = p α. Per qunto visto in precedenz esisternno (e srnno unici) degli interi i,j con 1 i n e i j m 1 tli che s = u 1 u 2 u i, x = u i+1 u i+2 u j, p = u j+1 u j+2 u m. (1.4) Definimo le seguenti quntità λ(α,j) = i 1, µ(α,j) = j 1, ν(α,j) = m j 1. (1.5) Dunque λ(α,j),µ(α,j) e ν(α,j) rppresentno il numero di prole u k che compongono ciscuno dei tre termini dell interpretzione, non contndo le due prole estremli (eventulmente vuote). Un insieme J di n interpretzioni di un prol w rispetto d un codice X sràdetto ciclico seil suosupremum(u 1,u 2,...u m )èn-periodicorispetto d X. Proposizione Si J un insieme ciclico di n interpretzioni di un prol w rispetto d un codice X. Allor per ogni α J si vrà µ(α,j) 0(modn). Dimostrzione. Si σ = (u 1,u 2,...u m ) il supremumdi J. EssendoJ ciclico, σ, vist come fttorizzzione, è n-periodic. Dunque, ogni prol di X che ppre in c(f α ) è un prodotto di n elemento consecutivi non vuoti di σ. Proposizione Si J un insieme ciclico di n interpretzioni di un prol w rispetto d un codice X. Allor gli elementi di J sono due due disgiunti. Dimostrzione. Sino σ = (u 1,u 2,...u m ) il supremum di J ed α,β J due interpretzioni connesse. Poiché α è un elemento di J vremo s α = u 1 u 2 u i per un opportuno 1 i n 1. Dll Proposizione ricvimo che per ogni r tle che i r m 1 si h u 1 u 2 u r P(α) u i+1 u i+2 u r X r i(modn), d cui, sottrendo 1 d entrmi i memri, ottenimo u 1 u 2 u r P(α) r 1 λ(α,j)(modn).

39 1.3. AUTOMI 31 Essendoα,β connessi, perdefinizione, esisternnou,v A ex X tli che w = uxv con u P(α) e ux P(β). Possimo scrivere u = u 1 u 2 u l e x = u l+1 u l+2 u r per opportuni l,r. Perquntovistosoprsih,dunque,λ(α,J) l 1( mod n)eλ(β,j) r 1(modn). Essendo x X si h nche, per l Proposizione , r l 0(modn). Dunque ottenimo λ(α,j) λ(β,j)(modn) e d ciò λ(α,j) = λ(β,j). Anlogmente si dimostr che ν(α,j) = ν(β,j). Quindi α = β. Esempio SinoA = {,} unlfeto, X = {,,,} un codice su A e w = un prol di A. L insieme J = {(1,,,),(,,,),(,,,1)} è un insieme di interpretzioni per w. J è ciclico, inftti il suo supremum è l fttorizzzione 3-periodic (1,,,,,,,,,1) di w con m = 10 fttori. 1.3 Automi In quest Sezione introdurremo gli utomi, uno degli rgomenti principli dell informtic teoric nonché uno strumento importntissimo in comintori delle prole. Le nozioni silri comprirnno nell Sottosezione 1.3.1, mentre nelle Sottosezioni e si definirnno delle prticolri fmiglie di utomi, ossi gli utomi deterministici, gli utomi non migui, gli utomi completi, gli utomi trim e quelli semplici. Nell Sottosezione prleremo del concetto fondmentle di monoide sintttico. Infine, nell ultim Sottosezione definiremo gli utomi di gruppi che sfrutteremo poi nel Cpitolo Automi, cmmini, linguggi riconosciuti Un utom (finito) è un quintupl A = (Q,A,E,I,T) dove Q è un insieme (finito) chimto insiemedegli stti, A èunlfeto, E Q A Qèl insiemedeilti otrnsizioni edi et sonosottoinsiemi diqdettirispettivmente insiemi degli stti inizili e finli. Qundo non sussistono miguità sull lfeto e sull insieme delle trnsizioni, si scriverà più semplicemente A = (Q,I,T). Grficmente un utom viene rppresentto trmite un grfo etichettto e orientto con vertici gli stti ed rchi le trnsizioni. Gli stti inizili sono indicti trmite frecce entrnti mentre quelli finli con un doppio ordo. Esempio L utom rppresentto in Figur 1.10 h come insieme degli stti {1,2} ecometrnsizioni letriple(1,,2),(1,,1),(2,,1),(2,,2). Lo stto 1 è si inizile che finle.

40 32 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI 1 2 Figur 1.10: Un utom. Duetrnsizionif 1 = (p 1, 1,q 1 )edf 2 = (p 2, 2,q 2 )sonodetteconsecutive se q 1 = p 2. Un cmmino (finito) nell utom A è un sequenz (finit) c = (f 1,f 2,...f n ) di trnsizioni consecutive f i = (q i, i,q i+1 ) con 1 i n. L intero n è detto lunghezz del cmmino c, l prol w = 1 2 n è l etichett delcmminocmentregli sttiq 1 eq n+1 sonodetti rispettivmente origine e fine del cmmino. Per indicre un cmmino c con origine p, fine q ed etichett w useremo l notzione c : p w q o, più semplicemente, scriveremo p w = q. Qundo non esiste lcun cmmino con origine p ed etichett w scriveremo p w =. Per convenzione si consider, per ogni stto q Q un cmmino, detto cmmino nullo, di lunghezz 0 d q in se stesso con etichett l prol vuot 1, ovvero si pone q 1 = q. Un utom può esser visto come un multigrfo etichettto dotto di due prticolri sottoinsiemi di vertici, gli stti inizili e quelli finli. Il multigrfo vente come vertici gli stti q Q e come insieme di lti E è detto grfo sottostnte l utom. Un utom è detto fortemente connesso se il suo grfo sottostnte è fortemente connesso, ovvero se per ogni p,q Q esiste un cmmino c vente origine in p e fine in q. Un cmmino c : i t d uno stto inizile i I d uno stto finle t T è detto ccettto. L insieme delle etichette dei cmmini ccettti d un utom A è un linguggio su A detto linguggio riconosciuto d A ed è indicto con L(A). Dunque L(A) = {w A i w T per qulche i I}. Due utomi che riconoscono lo stesso linguggio sono detti equivlenti. Un linguggio L A è detto riconosciile se è riconosciuto d un utom finito, ovvero se esiste un utom finito A tle che L = L(A). Un generlizzzione degli utomi è dt di trnsduttori, in cui d ogni cmmino è ssocit un doppi etichett. Formlmente un trnsduttore (finito) è un sestupl T = (Q,A,B,E,I,T) dove Q è un insieme detto degli stti, I, T Q due suoi sottoinsiemi detti rispettivmente degli stti inizili e finli, A,B due lfeti detti rispettivmente di input e di output ed E Q A B Q l insieme delle trnsizioni. Estendendo l notzione degli utomi indicheremo un cmmino, ovvero un sequenz di trnsizioni consecutive, trmite l notzione c : p u v q con p,q Q stti rispettivmente inizile e finle, u A e v B etichette rispettivmente di input e di output.

41 1.3. AUTOMI 33 Anlogmente si estendernno i concetti di lunghezz di un cmmino, cmmino ccettto, etc. Un trnsduttore srà detto d input semplice se si h l impliczione (p,u,v,q),(p,u,v,q) E v = v. Un trnsduttore d input semplice definisce in mnier nturle un utom sull lfeto di input chimto utom di input, ottenuto considerndo solo le etichette di input. Un esempio di trnsduttore è mostrto in Figur Figur 1.11: Un trnsduttore Automi deterministici ed utomi completi Un utom A = (Q,I,T) è detto deterministico se I = {i} è un singleton di Q e se per ogni stto p Q e per ogni letter A esiste l più un unico q Q tle che (p,,q) è un trnsizione di A, ovvero se (p,,q),(p,,q ) E q = q. Nel cso l utom i come unico stto inizile i useremo l notzione A = (Q,i,T) invece di A = (Q,{i},T). Esempio L utom rppresentto in Figur 1.12 è deterministico Figur 1.12: Un utom deterministico. Proposizione Ogni utom finito è equivlente d un utom deterministico.

42 34 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI L Proposizione è en not e l su dimostrzione si s sull cosiddett costruzione dei sottoinsiemi (si ved [14]). Ess trsform un utom A = (Q,I,T) nell utom D(A) = (P(Q),I,F) dove P(Q) è l insieme delle prti di Q, F = {P Q P F } e le trnsizioni sono dte d P = {q Q p = q per qulche p P}. Tle costruzione converte un utom non deterministico vente n stti in un utom deterministico con l più 2 n stti. Un utom A = (Q,I,T) è detto non miguo se per ogni w A vi è l più un cmmino d p in q etichettto con w. Chirmente un utom deterministico è non miguo. Un utom A = (Q,i,T) è detto completo se per ogni stto p Q e per ogni letter A esiste lmeno uno stto q Q tle che (p,,q) è un trnsizione di A, ovvero se p Q, A si h p. Esempio L utom rppresentto in Figur 1.10 è si deterministico che completo Automi trim ed utomi semplici Unostto q Qèdetto ccessiile (risp. coccessiile) seesiste uncmmino c : i q con i I (risp. c : q t con t T) ovvero se esiste un w A tle che i w = q per qulche i I (risp. q w = t per qulche t T). Un utom in cui ogni stto è si ccessiile che coccessiile è detto trim. DtounutomAlprte trim diaèl utoma = (P, P I, P T) dove P è l insieme degli stti di A contempornemente ccessiili e coccessiili. Si può dimostrre che ogni utom deterministico è equivlente d un utom trim. Proposizione Per ogni codice X A + esiste un utom semplice non miguo che riconosce X. Dimostrzione. Sino A = (Q,I,T) un utom trim e non miguo tle d riconoscere X ed E il suo insieme delle trnzizioni. Considerimo l utom B = (Q ω,ω,ω), con ω / Q un nuovo stto, con trnsizioni quelle di E più le triple (ω,,q) tli che (i,,q) E per qulche i I, le triple (p,,ω) tli che (p,,t) E per qulche t T e le triple (ω,,ω) tli che (i,,t) E per qulche i I e t T. Si vede fcilmente che l prte trim di B, che denoteremo con A, è un utom semplice e non miguo che riconosce X. Osservzione L insieme delle etichette dei cmmini semplici in A è esttmente X.

43 1.3. AUTOMI 35 Un utom srà detto semplice se è trim e se h un unico stto inizile, un unico stto finle e questi due coincidono. Si A = (Q,i,i) un utom semplice. Un cmmino p w q è detto semplice se esso non è il cmmino nullo e se esso non pss per lo stto inizile. Ovvero, se w 1 e se per ogni fttorizzzione w = uv si h p u v r q con r i Automi minimli, monoide sintttico In mnier nlog qunto visto nell sottosezione definimo per ogni u A gli insiemi non vuoti u 1 X = {v A uv X} Per ogni insieme X A si dirà utom minimle di X l utom A(X) = { Q, X, T } che hcome insieme degli stti Q = {u 1 X u A }, come stto inizile X, come insieme degli stti finli T = {u 1 X u X} e come trnsizioni le triple (u 1 X,,(u) 1 X) con A. L utom minimle A(X) è trim e riconosce l insieme X. Si A = (Q,i,T) un utom. Denotimo con ϕ A il morfismo d A nel monoide T (Q) delle trsformzioni przili d Q in Q definito d pϕ A (w) = q per ogni q Q tle che p w = q. Il monoide M = ϕ A (A ) è detto monoide di trnsizione dell utom A. Esempio Il monoide di trnsizione dell utom dell Esempio h due elementi, immgini rispettivmente di e. Esso è il gruppo ciclico Z/2Z. Un utom è fortemente connesso se e solo se il suo monoide di trnsizione è trnsitivo. Il monoide di trnsizione dell utom minimle A(X) è detto monoide sintttico di X (si ved nche Esempio ). Si X A + un codice prefisso. L utom minimle di X è un utom semplice tle d riconoscere X. Vicevers si dimostr che ogni insieme riconosciuto d un utom semplice è un sottomonoide di A generto d un codice prefisso. Sino X A + un codice prefisso e P = XA l insieme dei suoi prefissi propri. L utom letterle di X è l utom semplice A = (P,1,1) con trnsizioni definite per p P ed A d p se p P, p = 1 se p X, ltrimenti. Si può verificre che tle utom riconosce X.

44 36 CAPITOLO 1. NOZIONI PRELIMINARI Automi invertiili, utomi di gruppo Un utom semplice A = (Q,i,i) è detto invertiile se per ogni A l trsformzione przile ϕ A : p p definit nell Sottosezione precedente è iniettiv. Sotto tle ipotesi è possiile costruire l inverso dell utom A come l utom A 1 = (Q,i,i) vente lo stesso insieme degli stti, lo stesso stto inizile e finle e come trnsizioni q = p per ogni trnsizione p = q di A. Ogni utom invertiile è minimle (si ved [13]). L insieme riconosciuto d un utom invertiile è unitrio si destr che sinistr e, dunque, per qunto visto nell Sottosezione 1.2.7, è generto d un codice ifisso. Vi è un collegmento tr i codici ifissi e gli utomi invertiili, come mostrto nell seguente Proposizione (si ved [13]). Proposizione Si X A + un codice ifisso. Le seguenti condizioni sono equivlenti: (i) X = X A ; (ii) l utom minimle di X è invertiile. Un utom A = (Q,i,i) tle che per ogni A l funzione ϕ A () : p p è un permutzione su Q è detto utom di gruppo. Esempio L utom dell Esempio è un utom di gruppo poiché ϕ A (w) è un permutzione per ogni w A, essendo ϕ A () e ϕ A () permutzioni e l composizione di permutzioni ncor un permutzione. Si dimostr che, se Q è un insieme finito, un utom di gruppo è si invertiile si completo. Il monoide di trnsizione di un utom di gruppo è un gruppo di permutzioni su Q di grdo Crd(Q). Poiché l utom è trim, tle gruppo srà trnsitivo. Il seguente risultto è presente in [1, Proposizione 6.1.5]. Proposizione Si M un sottomonoide di A. Le seguenti condizioni sono equivlenti: (i) M è riconosciuto d un utom di gruppo con d stti; (ii) M = ϕ 1 (H) con H G un sottogruppo di indice d di un gruppo G e ϕ : A G un morfismo surgettivo; (iii) M = H A con H A un sottogruppo di indice d del gruppo liero A. Un codice ifisso Z tle che Z verific un delle condizioni equivlenti dell Proposizione è detto codice di gruppo e l intero d è detto il suo grdo. Il monoide di trnsizione dell utom minimle di Z è detto il gruppo di Z ed è denotto con G(Z).

45 1.3. AUTOMI 37 Osservzione Poiché un utom di gruppo è minimle, l utom di gruppo che riconosce Z è unico. Inoltre il grdo di Z è ugule si l grdo del gruppo di permutzioni G(Z) si ll indice [A : Z ]. Esempio L insieme X = è un codice di gruppo di grdo 2. Il sottomonoide X, formto dlle prole in {,} con un numero pri di, è inftti riconosciuto dll utom di gruppo dell Esempio Si A = (Q, i, T) un utom deterministico. Un cmmino generlizzto è un sequenz (p 0, 1,p 1, 2,...,p n 1, n,p n ) con i A Ā e p i Q tle che per ogni 1 i n si i p i 1 i = p i se i A e p i ā i = p i 1 se i Ā. L etichett del cmmino generlizzto è l elemento 1 2 n A. Un cmmino in un utom può esser visto come un prticolre cmmino generlizzto. Dto un utom A = (Q,1,1), l insieme delle etichette dei suoi cmmini generlizzti d 1 in 1 è un sottogruppo di A. Esso è detto sottogruppo descritto da. In tl cso il sottomonoide di A riconosciuto d Aècontenuto nel sottogruppo di A descritto d A. Esempio Si A = (Q,1,1) l utom con insieme di stti Q = {1,2} e trnsizioni 1 = 1 = 2 e 2 = 2 =. Il sottomonoide riconosciuto d A è {1} mentre il sottogruppo descritto d A è il gruppo ciclico generto d 1. Si può dimostrre che per ogni sottogruppo positivmente generto H di A, esiste ununicoutom invertiile AtlecheH èil sottogruppodescritto d A (vedi [1, Proposizione 6.1.4]). L utom invertiile A tle che H è il sottogruppo descritto d A è detto utom di Stllings del sottogruppo H.

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47 Cpitolo 2 Insiemi fttorili In questo Cpitolo riprenderemo il concetto di insieme fttorile ed introdurremo quelli di insieme ricorrente, uniformemente ricorrente (Sezione 2.1) e Sturmino (Sezione 2.2). Nell Sezione 2.3 ci si occuperà di codici prefissi contenuti dentro un insieme fttorile. L mggior prte dei risultti di tle Sezione sono estensioni di nozioni en note nel cso generle. Infine nell Sezione 2.4 specilizzeremo tli risultti l cso di codici ifissi ll interno di insiemi ricorrenti. 2.1 Insiemi ricorrenti e prole ricorrenti Di seguito studieremo un fmigli prticolre di insiemi fttorili: gli insiemi ricorrenti. Essi sono tli che per ogni coppi di prole u,v che vi pprtengono ne esiste un terz w per cui nche uwv vi pprtiene. Anche per le prole esiste un nozione di ricorrenz. Un prol è ricorrente se ogni suo fttore compre infinite volte. Vi è un profond relzione tr insiemi e prole ricorrenti. L Proposizione ci mostrerà, inftti, che gli insiemi ricorrenti sono tutti e soli gli insiemi dei fttori di un prol ricorrente. Un proprietà più forte dell ricorrenz è l uniforme ricorrenz. Un insieme srà detto uniformemente ricorrente se ogni suo elemento ppre come fttore di tutti gli elementi di lunghezz opportun. Anlogmente, un prol srà dett uniformemente ricorrente se il suo insieme dei fttori è uniformemente ricorrente Insiemi ricorrenti ed uniformemente ricorrenti Dto un insieme F A, l ordine destro (risp. sinistro) di un prol w rispetto d F è il numero delle lettere A tli che w F (risp. w F). 39

48 40 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI Un insieme F è detto essenzilmente destro (risp. sinistro) se è chiuso per prefissi (risp. per suffissi) ed ogni prol w F h ordine destro (risp. sinistro) positivo. Chirmente se F è essenzilmente destro (risp. sinistro), llor per ogni u F e per ogni intero n 1 esisterà un prol v di lunghezz n tle che uv F (risp. vu F). Un prol u F srà dett specile destr (risp. sinistr) se il suo ordine destro (risp. sinistro) è lmeno 2. Un prol specile destr srà strett se il suo ordine è esttmente pri l numero Crd(A) delle lettere dell lfeto A. Ricordimo che un insieme F è detto fttorile se contiene i fttori di tutti i suoi elementi. Un insieme F è detto essere ricorrente se è fttorile e se per ogni u,v F esiste un prol w F tle che uwv F. Un insieme ricorrente F {1} è si essenzilmente destro che essenzilmente sinistro. Esempio Si A = {,} e considerimo F l insieme delle prole in A che non presentino come fttore. Dunque F = A \A A. Tle insieme è ricorrente poiché, dti u,v F, sicurmente nche uv F. Un insieme F è detto essere uniformemente ricorrente se è fttorile, essenzilmente destro e se per ogni u F esiste un intero n 1 tle che u è un fttore di ogni prol in F di lunghezz n, ovvero se u è fttore di ogni prol w F A n per un opportuno n. Proposizione Un insieme uniformemente ricorrente è ricorrente. Dimostrzione. Sino u,v F e si n l intero tle che v è un fttore di ogni prol in F A n. Poiché F è essenzilmente destro, esiste un prol w di lunghezz n tle che uw F. Dunque v è fttore di w, ovvero si h w = rvs per opportune prole r,s. D cui si ricv che urw F. L impliczione invers dell Proposizione non vle, come mostrto nel seguente Esempio. Esempio L insieme F = A, con A = {,}, è nlmente ricorrente m non è uniformemente ricorrente in qunto F m, per ogni n 1, non è fttore di n F Prole ricorrenti ed uniformemente ricorrenti L insieme F(x) dei fttori di un prol infinit x A ω è un insieme fttorile ed essenzilmente destro. Un prol infinit x A ω è dett ricorrente se ogni suo fttore h un infinito numero di occorrenze in x, ovvero se per ogni u F(x) esiste un v F(x) tle che uvu F(x). Le nozioni di insieme ricorrente e di prol ricorrente sono strettmente correlte come fferm l seguente Proposizione.

49 2.2. INSIEMI STURMIANI 41 Proposizione Gli insiemi ricorrenti sono tutti e soli dell form F(x) per un opportun prol infinit x ricorrente. Dimostrzione. Considerimo un insieme ricorrente F = {u 1,u 2,...}. Essendo F ricorrente, presi u 1,u 2 F esisterà un prol v 1 F tle che u 1 v 1 u 2 F. Inoltre, presi u 1 v 1 u 2,u 3 F esisterà un prol v 2 F tle che u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 F. Procedendo in tl modo otterremo un prol infinit x = u 1 v 1 u 2 v 2 tle che F(x) = F. Tle x è ricorrente, inftti per ogni u F = F(x) esisterà un v F tle che uvu F. Supponimo desso che x si un prol ricorrente. L insieme F = F(x) è ricorrente. Sino, inftti, u,v F(x). Vi è dunque un fttorizzzione x = puy per opportuni p F e y A ω. Essendo x ricorrente, v srà un fttorenchediy, ovvero possimofttorizzre y = qvz peropportuniq F e z A ω. Dunque si h x = puqvz, ovvero uqv F, d cui l tesi. Similmente qunto visto sopr, un prol infinit x A ω srà dett uniformemente ricorrente se l insieme F(x) è uniformemente ricorrente. Anche in questo cso esistono prole infinite ricorrenti che non sono uniformemente ricorrenti, come mostrto nel seguente Esempio. Esempio Considerimo l prol infinit x ottenut conctenndo tutte le prole in A = {, } seguendo l ordine metrico-lessicle. Dunque x è l prol x = Tle prol, dett di Chmpernowne, è ricorrente poiché ogni fttore ppre infinite volte. Ess non è però uniformemente ricorrente poiché, essendo n un fttore di x per ogni n 1, si possono trovre due occorrenze consecutive dell letter distnz ritrri. 2.2 Insiemi Sturmini Di seguito introdurremo un prticolre fmigli di prole su un lfeto inrio, le prole Sturmine, e l loro estensione d lfeti con crdinlità ritrri, le prole episturmine. Esse sono le prole non periodiche di complessità minim. Un crtterizzzione degli insiemi di fttori di un prol episturmin strett, detto insieme Sturmino, srà dt nell Proposizione Prole episturmine Di seguito chimeremo sostituzione un morfismo di monoidi d A in se stesso. Si f : A A un sostituzione tle che vi si un letter A che veng mndt in un prol che i come prefisso proprio, ovvero tle

50 42 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI che f() A +. D tle ipotesi segue che le prole f n () per n 1 sono ognun un prefisso proprio dell successiv e che f n (). Denotimo con f ω () l prol infinit vente f n (), l vrire di n N, come prefissi. Ess srà dett un punto fisso di f. Esempio SiA = {,}. Ilmorfismo di Thue-Morse èlsostituzione f : A A tle che f() = e f() =. Il punto fisso f ω () di f è l prol x = Tle prol, dett prol di Thue-Morse, è uniformemente ricorrente. Inftti, né né sonofttori dix, dunquedueoccorrenze successive di, odi, sono seprte l più d due simoli. Ciò implic che nche due occorrenze del locco f n (), o di f n (), con n 1, sono seprti d l più due locchi. Poiché ogni fttore di x ppre in f k () o in f k () per un opportuno k, segue che tle fttore ripprirà in x dopo un distnz limitt. L insieme dei fttori di x è detto insieme di Thue-Morse. Un prol infinit w nell lfeto A = {,} srà dett prol Sturmin se per ogni n 0 vi sono esttmente n+1 fttori di w di lunghezz n, ovvero se n 0 si h Crd(F(x) A n ) = n+1. Esempio Il morfismo di Fioncci sull lfeto A = {, } è l sostituzione ϕ : A A definit d ϕ() = e ϕ() =. L prol di Fioncci f = è il punto fisso f = ϕ ω () di ϕ. Per dimostrre che f è Sturmin introducimo le prole finite di Fioncci f 1 =, f i = ϕ i () per i 0. Poiché f = ϕ(f), ess srà un prodotto di vri e. Quindi l prol non srà mi un fttore di f. Dunque i fttori di lunghezz 2 sono esttmente 3. Inoltre l prol non è mi un fttore di f = ϕ(f) in qunto, ltrimenti, quest sree un prefisso di un qulche ϕ(x) con x un fttore di f e ciò implicheree che x inizi con. Dunque i fttori di lunghezz 3 sono esttmente 4. Mostrimo desso che f h esttmente un fttore specile destr di lunghezz n per ogni n 0. Per prim cos notimo che dt un prol x, x e x non possono essere contempornemente in F(f). Dimostrimolo per induzione sull lunghezz di x. Aimo già visto l vlidità nel cso in cui considerimo l prol vuot. Supponimo desso, per ssurdo, che vi si un prol x tle che si x che x sino fttori di f. Non essendo in F(f) sicurmente x inizieràetermineràcon, ovvero sràdellformx = yperun opportun y F(f). Dunque si y che y srnno fttori di ϕ(f). D ciò ricvimo che esisterà un prol z F(f) tle che ϕ(z) = y. Quindi vremoy = ϕ(z) F(f); inoltre, poichéf noninizicone / F(f)

51 2.2. INSIEMI STURMIANI 43 vremo nche y = ϕ(z) F(f). Ovvero z,z F(f) con z ϕ(z) < x, contrddicendo l ipotesi induttiv. L prol f h l più un fttore specile destr per ogni lunghezz. Inftti supponimo, per ssurdo, che esistno due prole distinte u, v F(f) entrme fttori specili destr di f dell stess lunghezz e si x il più lungo suffisso comune d u e v. Dunque x,x,x,x F(f) contrddicendo qunto osservto prim. Per dimostrre che f h lmeno un fttore specile destr per ogni lunghezz usimo l seguente relzione. f n+2 = g n fn fn t n (n 2) (2.1) dove g 2 = 1 e per n 3 si h { se n è dispri, g n = f n 3 f 1 f 0 e t n = se n è pri. L Equzione 2.1 può essere dimostrt per induzione. Inftti f 2+2 = f 4 = 1 ()() e f 3+2 = f 5 = ()(). Si può poi dimostrre per induzione che ϕ(ũ) = ϕ(u) per ogni u e dunque che ϕ( f n t n ) = f n+1 t n+1. D ciò e dl ftto che ϕ(g n ) = g n+1 si ottiene l formul dell Equzione 2.1. Poiché l prim letter di f n è l oppost dell prim letter di t n, il fttore f n è specile destr per ogni n 2. Essendo un suffisso di un prol specile destr nch esso srà specile destr, ciò prov l esistenz di fttori specili destr per ogni lunghezz. Chimeremo insieme di Fioncci l insieme dei fttori di f. Le prole episturmine sono un estensione delle prole Sturmine per lfeti finiti con un numero ritrrio di lettere. Per definizione, unprol infinit x è episturmin se F(x) è chiuso per rovesci e se, per ogni n 1, F(x) contiene l più un prol di lunghezz n specile destr. Dll proprietà di chiusur per rovescio si ottiene che il rovescio dell prol specile destr è nche l unic prol specile sinistr di lunghezz n di x. Ricordimo inoltre che un suffisso (risp. prefisso) di un fttore specile destr(risp. sinistr) è ncor specile destr(risp. sinistr). Diremo che un prol episturmin x è strett se x h esttmente un fttore specile destr di lunghezz n, per ogni n 1 e se tle fttore u è stretto, ovvero se ua F(x). Si vede fcilmente che, nel cso di un prol episturmin strett su un lfeto A di k lettere, l insieme F(x) A n h esttmente (k 1)n+1 elementi per ogni n. Dunque, nel cso di lfeti inri, le prole episturmine strette sono proprio le prole Sturmine. Un prol episturmin x è dett stndrd se tutti i suoi fttori specili sinistr sono prefissi di x. Per ogni prol episturminxesiste un prol episturmin stndrd y tle che F(x) = F(y) (si ved [5]).

52 44 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI Esempio Considerimo l estensione dell prol di Fioncci, vist nell Esempio 2.2.2, d un lfeto ternrio A = {,, c}. Considerimo il morfismo ϕ : A A definito d ϕ() =, ϕ() = c e ϕ(c) =. L prol di Trioncci è il punto fisso ϕ ω () = cccccc Ess è un prol episturmin stndrd, come dimostrto in [8]. Un prol episturmin è uniformemente ricorrente (si ved [5]). Esempio L prol di Thue-Morse, vist nell Esempio 2.2.1, non è episturmin. Inftti ess h quttro fttori di lunghezz 2. Per le prole episturmine stndrd vi è un descrizione comintori en precis (si vedno, d esempio, [8] e [6]). Teorem Un prol infinit w è episturmin stndrd se e solo se esiste un prol infinit = 0 1,..., con i A, tle che w = lim n u n, dove l sequenz (u n ) è definit d u n = Pl( 0 1 n 1 ). Inoltre, w è episturmin strett se e solo se ogni letter ppre in infinite volte. L prol infinit del Teorem precedente è dett prol direttiv dell prol stndrd w. Il Teorem può essere rissunto dll equzione w = Pl( ). Come cso prticolre dell formul di Justin, si h u n+1 = ψ 0 n 1 ( n )u n. Le prole u n sono i soli prefissi di w plindromi. Esempio L prol di Fioncci x dell Esempio è un prol episturmin stndrd con prol direttiv () ω, ovvero x = Pl(() ω ) (si ved [6]). Quell di Trioncci dell Esempio h, invece, come prol direttiv (c) ω (si ved [8]) Insiemi Sturmini Un insieme F è detto Sturmino se è l insieme dei fttori F(x) di un prol episturmin strett x. Per qunto visto nell Sottosezione 2.2.1, un prol episturmin è uniformemente ricorrente, dunque un insieme Sturmino è un insieme uniformemente ricorrente. Inoltre ogni prol specile destr (risp. specile sinistr) in F è strett. Un crtterizzzione degli insiemi Sturmini è dt dll seguente Proposizione.

53 2.3. CODICI PREFISSI IN INSIEMI FATTORIALI 45 Proposizione Un insieme F è Sturmino se e solo se è uniformemente ricorrente e verific le due condizioni (i) è chiuso per rovescio, (ii) per ogni n 0 esiste esttmente un prol specile destr in F di lunghezz n e quest è strett. Dimostrzione. ( ) Si F = F(x) per qulche prol episturmin strett x. Allor le condizioni sono verificte per qunto visto nell Sottosezione precedente. ( ) Si F un insieme uniformemente ricorrente verificnte le condizioni (i) e (ii). Per ogni n 0 il rovescio ũ n dell unic prol specile destr u n di lunghezz n è un prol specile sinistr. Essendo tli ũ n un successione di prole ognun prefiss del successivo, esisterà un prol infinit x vente le ũ n come prefissi. Chirmente F(x) F. Per mostrre che x è episturmin strett verifichimo che F(x) è chiuso per rovescio. Si v F(x) F. Essendo F uniformemente ricorrente, esiste un intero m tle che v è fttore di tutte le prole di lunghezz m in F. In prticolre v srà fttore di u m. Dunque nche ṽ srà un fttore di ũ m e dunque ṽ F(x). Infine si v F. Essendo F uniformemente ricorrente, esisterà un intero m tle che v è fttore di tutte le prole di lunghezz m in F. In prticolre v srà fttore di ũ m F(x). Dunque nche v F(x), ovvero si h F F(x), d cui l tesi. 2.3 Codici prefissi in insiemi fttorili In quest Sezione studieremo i codici prefissi ll interno di un insieme fttorile. Come già visto nell Sottosezione 1.2.7, un codice prefisso è un insieme non vuoto X A + tle che i suoi elementi sino due due incomprili per l ordine prefisso. Esso è inoltre un codice, ovvero ogni prol in X mmette un unic fttorizzzione in elementi di X. Si F A un sottoinsieme di A. Un insieme X A si dirà denso destr in F o F-denso destr, se ogni u F è un prefisso di X. Un insieme X F si dirà completo destr in F, o F-completo destr, se X è denso destr in F, ovvero se ogni u F è un prefisso di X. Un codice prefisso X F srà detto mssimle prefisso in F, o F- prefisso mssimle, se non è proprimente contenuto in lcun ltro codice prefisso Y F. Anlogmente si definisce l nozione di F-mssimle suffisso.

54 46 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI Alcuni dei risultti clssici per i prefissi mssimli in A possono essere estesi l cso di codici F-mssimli. Proposizione Sino F A un sottoinsieme fttorile di prole ed X F un codice prefisso in F. Le seguenti condizioni sono equivlenti: (i) ogni elemento di F è comprile per prefisso con qulche elemento di X; (ii) X è un codice F-mssimle prefisso; (iii) XA è F-denso destr; (iv) X è F-completo destr. Dimostrzione. Mostrimo che (i) vle se e solo se vle (ii). ((i) (ii)) Supponimo, per ssurdo, esist Y X codice prefisso contenuto in F. Preso un elemento u Y \X l insieme X u srà prefisso e dunque x non srà comprile per prefisso con lcun elemento di x. ((ii) (i)) Vicevers se, per ssurdo, vi fosse un elemento u F non comprile per prefisso con ogni prol di X, llor X u sree un codice prefisso, contrddicendo l F-mssimlità di X. Notimo che in quest doppi impliczione non imo usto come ipotesi dell essere chiuso per fttori di F. Mostrimo desso l equivlenz tr le prime due condizioni e le ultime due. Per fr ciò srà superflu l ipotesi che X si un codice ifisso e sterà il suo essere non vuoto e contenuto in F. ((i) (iii)) Si u F. Per ipotesi esiste un elemento x X comprile per prefisso con u, ovvero tle che uv = xw per opportuni v,w A. Dunque XA è F-denso destr. ((iii) (iv)) Si u F e dimostrimo per induzione. Se u = 1 nlmente si h u = 1 prefisso di ogni prol di X. Supponimo desso u > 1. Essendo XA F-denso destr, si h uv = xw per opportuni x X e v,w A. Se u è un prefisso di X X llor non c è niente d provre. Altrimenti, se x è un prefisso proprio di u, si h u = xu per un opportuno u A. Essendo F fttorile si h u F e poiché x 1 risult u < u. Dunque, per ipotesi induttiv, u è un prefisso di X, d cui si ricv che nche u è un prefisso di X. Dunque X è F-denso destr, ovvero X è F-completo destr. ((iv) (i)) Si u F. Per ipotesi u è un prefisso di X dunque u è comprile per prefisso con qulche prol di X.

55 2.4. CODICI BIFISSI IN INSIEMI RICORRENTI 47 L Proposizione mmette un formulzione dule sostituendo prefisso con suffisso, destro con sinistro e XA con A X. Esempio L insieme X = {,} è un codice prefisso mssimle nell insieme di Fioncci poiché XA è F-denso destr. 2.4 Codici ifissi in insiemi ricorrenti Di seguito specilizzeremo qunto visto nell Sezione precedente, studindo il cso di codici ifissi ll interno di insiemi ricorrenti. Con il Teorem vedremo che qundo F è un insieme ricorrente, contrrimente l cso generle, vi è solo un numero finito di codici mssimli ifissi in F Prse Aimo introdotto nell Sottosezione l nozione di prse di un prol rispetto d un insieme X A. Mostrimo desso che, nel cso di codici ifissi, d ogni fttorizzzione corrisponde un prse. Proposizione Sino F un insieme fttorile ed X F un codice ifisso. Per ogni fttorizzzione w = uv di un prol w F esiste un prse (s,yz,p) di w con y,z X, u = sy e v = zp. Dimostrzione. Aimo visto nell Proposizione che possimo scrivere v = zp per opportuni z X e p P = A \ XA. Anloglmente, dl dule dell stess Proposizione, si h u = sy per opportuni y X ed s S = A \ A X. Dunque (s,yz,p) è un prse di w che soddisf le condizioni dell enuncito. Esempio L insieme X = {,} è un codice ifisso. L prol mmette due prse: (1,,1) e (,,). Dt un prol w A denotino con δ X (w) il numero di prse di quest rispetto d un insieme X. L funzione δ X : A N è dett enumertore di prse rispetto d X. L serie L X definit d (L X,w) = δ X (w), per w A, è dett indictore dell insieme X. Esempio Si X = A. Allor δ X (w) = 1. Esempio Si X =. Allor δ X (w) = w +1. Osservzione Possimo esprimere l serie L X in termini di serie crtteristiche. Inftti, ponendo P = A \XA ed S = A \A X, si ottiene l formul L X = SX P.

56 48 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI Un importnte crtterizzzione per l enumertore di prse nel cso di codici prefissi ll interno di insiemi fttorili è dt dll seguente Proposizione. Proposizione Sino F un insieme fttorile ed X F un codice prefisso. Per ogni prol w F, il vlore δ X (w) è pri l numero di prefissi di w privi di suffissi in X. Dimostrzione. Si u A \A X tle che w = uw. Essendo X un codice prefisso,possimofttorizzrew = xv peropportunix X ev A \XA. Ottenimo dunque il prse di w (u,x,v). Poiché ogni prse si ottiene in quest mnier, l enuncito è verificto. L Proposizione mmette un enuncito dule per i codici suffissi. Un Corollrio immedito dell Proposizione è il seguente (si ved nche Figur 2.1). Corollrio Si X un codice prefisso. Per ogni w A e A, si h δ X (w) = { δx (w) se w A X δ X (w)+1 ltrimenti (2.2) v x y u w w Figur 2.1: L funzione δ X determin X. Sino X,Y due codici prefissi. Se X Y llor un prol priv di suffissi in Y srà priv di suffissi nche in X. Dunque per ogni w si vrà X Y δ Y (w) δ X (w). (2.3) Osservzione Il risultto dell Proposizione lo si può ottenere nche dll Proposizione Inftti per l Osservzione si h L X = S X P, con P = A \ XA ed X codice prefisso. Dunque X P = A, d cui L X = SA (2.4) Proposizione Si X un codice ifisso ed L X l indictore di X. Allor si h 1 X = (1 A)L X (1 A). (2.5)

57 2.4. CODICI BIFISSI IN INSIEMI RICORRENTI 49 Dimostrzione. Essendo X un codice prefisso si h, per l Equzione 2.4, L X = SA. Moltiplicndo su entrmi destr per (1 A) ottenimo, per l Proposizione , L X (1 A) = S. Essendo X un codice suffisso si h, per il dule dell Proposizione , 1 X = (1 A)S. D cui, per qunto ppen visto, 1 X = (1 A)L X (1 A). L Proposizione ci dice che un codice ifisso X è determinto dl suoindictore L X edunquedll funzioneδ X. Vicevers, essendol formul 2.5 equivlente L X = A (1 X)A, l indictore L X, e dunque l funzione δ X, sono determinti dll insieme X. Nel cso dicodici ifissi, i dueesempi2.4.3 e2.4.4 sonoestremli. Inftti vle il seguente risultto (si ved [4, Proposizione 6.1.8]). Proposizione Si X A + un codice ifisso. Allor per ogni w A si h 1 δ X (w) w +1. In prticolre, δ X (1) = 1 e per ogni u,v,w A δ X (v) δ X (uvw). (2.6) Osservzione Se, nell Proposizione precedente, u,v A + sono prolenonvuote, llorldisuguglinzèstrett, ovveroδ X (v) < δ X (uvw). Dimo desso un crtterizzzione dell enumertore di prse per i codici ifissi (si ved [4, Proposizione ]). Proposizione Un funzione δ : A N è l enumertore di prse di un qulche codice ifisso se e solo se sono verificte le seguenti condizioni. (i) Per ogni A e w A 0 δ(w) δ(w) 1. (2.7) 0 δ(w) δ(w) 1. (2.8) (ii) Per ogni, A e w A δ(w)+δ(w) δ(w)+δ(w). (2.9) (iii) δ(1) = 1.

58 50 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI Codici F-thin Si F A. Un insieme X F è detto thin in F, o F-thin, se esiste un prol di F che non è fttore di lcun prol di X. Esempio Si F = A. L insieme X = { n n n 1} è thin in A poichè, d esempio, non è fttore di lcun prol di X. Osservzione Se F è un insieme infinito ogni insieme finito X F è F-thin. Come già visto nell Sottosezione 1.2.2, un fttore interno di un prol x è un prol v tle che x = uvw per opportune prole non vuote u, w A +. Nel cso di un insieme X F con F un insieme fttorile di prole, denoteremo l insieme dei fttori interni di prole in X come H(X) = A XA = { w A A + wa + X }. I fttori interni di un prol sono, chirmente, fttori dell stess. Proposizione Si F un insieme fttorile essenzilmente destro ed essenzilmente sinistro. Un insieme X F è F-thin se e solo se F\H(X). Dimostrzione. ( ) Se X è F-thin esisterà un prol w F che non srà fttore di lcun prol di X. Dunque, in prticolre, ess non srà in H(X). ( ) Si w F \H(X) e sino, A tli che w F. Per costruzione w non srà fttore di lcun prol di X. Dunque X è F-thin. UncodiceifissoX F sràdettomssimle ifisso inf, of-mssimle ifisso, se non è contenuto proprimente in lcun ltro codice ifisso Y F. Esempio Sino A = {,} ed F = A \ A ()A l insieme delle prole senz il fttore. L insieme X = {,,,, } è un codice F-mssimle, come si può evincere dll Figur 2.2. Un crtterizzzione dei codici F-mssimli ifissi che sino nche F- thin è dt dl seguente risultto (si ved [1, Teorem 4.2.2]). Teorem Sino F un insieme ricorrente ed X F un insieme F-thin. Le seguenti condizioni sono equivlenti: (i) X è un codice F-mssimle ifisso; (ii) X è un codice prefisso F-completo sinistr;

59 2.4. CODICI BIFISSI IN INSIEMI RICORRENTI 51 Figur 2.2: Rppresentzione del codice F-mssimle X = {,,,, }. (iii) X è un codice suffisso F-completo destr; (iv) X è un codice F-mssimle prefisso ed F-mssimle suffisso. Il cso F = A è stto studito d Schützenerger nel 1961 (si ved [15]). Egli dimostrò che per gli insiemi thin (in A ) l essere mssimle ifisso equivlev d essere mssimle prefisso e mssimle suffisso. Esempio Si F =. L insieme X = {,,} è un codice F-mssimle prefisso ed F-completo sinistr. Esso non è però suffisso. Si F A un insieme fttorile. L F-grdo di un insieme X A, denotto con d F (X), è il numero mssimo di prse rispetto d X di prole di F, ovvero d F (X) = mx w F {δ X(w)}. Esso può essere finito o infinito. L A -grdo di un insieme X si chimerà semplicemente grdo di X, denotndolo con d(x). Osservzione Si osservi che d F (X) = d F (X F). Inoltre si vrà d F (X) d(x). L nozione di grdo di un insieme ci permette, nel cso di codici ifissi ll interno di insiemi ricorrenti, di crtterizzre i codici F-thin ed F-mssimli ifissi. Il seguente risultto è in [1, Teorem 4.2.8]. Teorem Sino F un insieme ricorrente ed X F un codice ifisso. L insieme X è F-thin ed F-mssimle ifisso se e solo se il suo F-grdo d F (X) è finito. In tle cso le prole di grdo mssimo sono quelle che non risultno fttori interni di X, ovvero H(X) = {w F δ X (w) < d F (X)}.

60 52 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI Esempio Si F l insieme di Fioncci. L insieme X = {,, } è un codice F-thin (poiché finito) ed F-mssimle ifisso. Il grdo di X è d F (X) = 2, inftti non è un fttore interno di X ed esso h due prse: (1,,1) e (,,). Esempio Si F l insieme di Fioncci. L insieme X = {,,,} è un codice F-mssimle ifisso di F-grdo 3. Inftti l prol h tre prse, ovvero (1,,), (,,) e (,1,), e F \ H(X). Dl Teorem segue un importnte relzione tr i codici ifissi mssimli e quelli F-mssimli. Corollrio Sino F un insieme ricorrente ed X A + un codice mssimle ifisso di grdo d. Allor l insieme Y = X F è F-thin ed F-mssimle ifisso. Inoltre d F (Y) d con uguglinz nel cso X si finito. Dimostrzione. Dll Osservzione ottenimo d F (Y) = d F (X F) = d F (X) d(x) = d. Dunque, vendo Y F-grdo finito, per il Teorem , X è F-thin ed F-mssimle ifisso. Inoltre, essendox finito, sràpossiiletrovreunprolw F \ H(X) (st sceglierne un di lunghezz mggiore di quell dell prol più lung di X). Tle prol vrà d prse, d cui si ottiene d F (Y) = d F (X) = d. Esempio L insieme X = è un codice mssimle ifisso di grdo 2, poiché / H(X) h due prse: (1,,1) e (,1,). Si F l insieme di Fioncci. Allor X F = {,,} è un codice F-mssimle ifisso di F-grdo 2. Un Esempio che mostr come nel cso di insiemi infiniti l disuguglinz si strett è il seguente. Esempio SinoA = {,}edf = uninsiemericorrente. L insieme X = è un codice ifisso di grdo 2 per qunto visto nell Esempio precedente. L intersezione Y = X F = {} h però F-grdo Nucleo, codice derivto Dto un insieme X definimo il suo nucleo K(X) l insieme delle prole di X che sono fttori interi di prole di X, ovvero K(X) = H(X) X. Il seguente risultto è in [1, Teorem 4.3.1].

61 2.4. CODICI BIFISSI IN INSIEMI RICORRENTI 53 Teorem Sino F un insieme ricorente ed X F un codice ifisso di F-grdo finito d 2. Ponimo H = H(X), K = K(X), G = (HA F) \ H e D = (AH F)\H. L insieme X = K (G D) è un codice ifisso di F-grdo d 1. Il codice X definito nel Teorem è detto codice derivto di X rispetto d F, o F-derivto. Esempio Sino F l insieme di Fioncci ed X = {,, } il codice ifisso di F-grdo 2 dell Esempio Aimo K = {}, H = {1,,}, Dunque il codice derivto è G = {,,,,}\{1,,} = {,,}, D = {,,,,}\{1,,} = {,,}. X = {} ({,,} {,,}) = {,}. Mostrimo desso come un codice F-thin ed F-mssimle ifisso si determinto dl suo F-grdo e dl suo nucleo. Lemm Sino F un insieme ricorrente ed X F un codice ifisso di F-grdo finito d. Si Y un insieme tle che K(X) Y X. Allor per ogni w H(X) Y, Inoltre, per ogni w F, δ Y (w) = δ X (w). (2.10) δ X (w) = min{d,δ Y (w)}. (2.11) Dimostrzione. PerquntovistonellSottosezione2.4.1L X = A (1 X)A. Dunqueperprovrel2.10èsufficientefrvederecheperogniw H(X) Y si h F(w) X = F(w) Y, dove F(w) è l insieme dei fttori di w. L inclusione F(w) Y F(w) X è nle. Mostrimo l inclusione invers. Certmente si vrà F(w) X F(w). Se w H(X) llor F(w) X K(X) Y e dunque l inclusione è verifict. Se w Y X llor nessun prefisso proprio o suffisso proprio di w srà in X poiché X è un codice ifisso. Dunque tutte le prole in (F(w) X)\{w} srnno in K(X), ovvero, si vrà F(w) X = {w} ( A wa X ) {w} K(X) Y, e quindi nche in questo cso l inclusione è verifict. Dll Equzione 2.10 ricvimo che per ogni w F si h δ X (w) δ Y (w). Sew F\H(X), sihδ X (w) = dperilteorem2.4.20edunquel Equzione è verifict. Se invece w H(X) llor, δ X (w) < d per il Teorem e, per l Equzione 2.10, δ X (w) = δ Y (w). Ciò prov 2.11.

62 54 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI Teorem Sino F un insieme ricorrente ed X F un codice ifisso di F-grdo finito d. Per ogni w F si h δ X (w) = min{d,δ K(X) (w)}. Dimostrzione. L formul segue immeditmente d 2.11 scegliendo Y = K(X) nel Lemm Per qunto visto nell Sottosezione 2.4.1, il Teorem precedente fferm che un codice ifisso X ll interno di un insieme F ricorrente e di F-grdo finito è determinto dl suo F-grdo e dl suo nucleo. Dimo desso un crtterizzzione dei nuclei dei codici ifissi di F-grdo finito. Teorem Si F un insieme ricorrente. Un codice ifisso Y F è il nucleo di un qulche codice ifisso di F-grdo finito d se e solo se sono verificte le due condizioni (i) Y non è un codice F-mssimle ifisso; (ii) mx{δ Y (w) w Y} d 1. Dimostrzione. ( ) Si X un codice F-thin ed F-mssimle iffiso di F-grdo d tle che Y = K(X) si il suo nucleo. L condizione (i) è verifict poiché Y X, vendo i due insiemi F-grdo diversi. Anche l condizione (ii) è verifict poiché, per l equzione 2.10, δ X (w) = δ Y (w) per ogni w Y e, essendo Y = K(X) H(X), per il Teorem , δ X (w) d 1. ( ) Si Y F un codice ifisso soddisfcente le condizioni (i) e (ii). Considerimo l funzione δ : A N definit d δ(w) = min{d,δ Y (w)}. Si può verificre che tle funzione verific le condizioni (i) (iii) dell Proposizione e dunque che esiste un codice ifisso Z tle che δ si il suo enumertore di prse. Si X = Z F. L funzione δ X è limitt su F poiché lo è δ, dunque, per il Teorem , X è un codice F-thin ed F-mssimle ifisso. Essendo Y un codice non F-mssimle ifisso, invece, l funzione δ Y diverge e dunque mx{δ(w) w F} = d, mostrndo che X h F - grdo d. Mostrimo, infine, che il nucleo di X è proprio Y.

63 2.4. CODICI BIFISSI IN INSIEMI RICORRENTI 55 Dll condizione (ii) e dl Teorem ricvimo Y H(X). Considerimo un prol w H(X). Sempre dl Teorem ricvimo che δ X (w) = δ Y (w). Per qunto visto nell sottosezione 2.4.1, questo implic che per ogni w H(X) si h (X,w) = (Y,w), ovvero che i fttori interni di X stnno in X se e solo se stnno in Y. Quindi K(X) = H(X) X = H(X) Y = Y. Esempio Si F l insieme di Fioncci. I codici F-mssimli ifissi di F-grdo 2 sono soltnto tre (Figur 2.3). Inftti, per il Teorem , i possiili nuclei sono,{} e {}. Figur 2.3: I tre codici F-mssimli ifissi di F-grdo 2, con F l insieme di Fioncci Codici F-mssimli ifissi finiti Nel cso di insiemi ricorrenti, il numero di codici F-mssimli ifissi finiti di F-grdo dto è limitto, come mostrto nel seguente Teorem. Teorem Sino F un insieme ricorrente e d 1. Vi è solo un numero finito di codici F-mssimli ifissi finiti X F di F-grdo d. Dimostrzione. Procedimo per induzione sull F-grdo. Il cso d = 1 è nle poiché vi è un solo codice F-mssimle ifisso di F-grdo 1, ovvero F A. Supponimo desso che i codici F-mssimli ifissi finiti di F-grdo d sino in numero finito. Ogni codice F-mssimle ifisso finito X F di F-grdo d+1 è determinto dl suo nucleo che è un sottoinsieme del suo codice derivto X. Poiché X è un codice F-mssimle ifisso finito di F-grdo d, per ipotesi induttiv vi srnno solo un numero finito di nuclei, d cui l tesi. Il numero dei codici F-mssimli ifissi di F-grdo d nel cso F si l insieme di Fioncci è mostrto nell tell per d 8.

64 56 CAPITOLO 2. INSIEMI FATTORIALI d Mentre nel cso clssico F = A, se Crd(A) 2, esistono codici mssimli ifissi infiniti per ogni grdo fissto (si ved [4, Teorem ed Esempio 6.4.7]), nel cso di insiemi uniformemente ricorrenti vle il seguente risultto. Teorem Si F un insieme uniformemente ricorrente. Ogni codice ifisso F-thin X F è finito. Inoltre ogni codice ifisso finito è contenuto in un codice F-mssimle ifisso finito. Dimostrzione. Si X un codice ifisso F-thin. Essendo X F-thin, esisterà un prol w F \H(X) e, poiché F è uniformemente ricorrente, esisterà un intero r tle che w è un fttore per ogni prol di F r = F A r. Le prole di X hnno lunghezz l più r +1. Inftti supponimo per ssurdo che esist un k r + 2 tle che F k X e si x F k X. Possimo fttorizzre x = pus con u F r H(X) e p,s prole non vuote. Essendo w un fttore di u, vremo w H(X), ottenendo un contrddizione. Dunque, poichè X h prole di lunghezz limit, esso è finito. Si X F un codice ifisso non F-mssimle e si d = mx x X {δ X (x)}. Per il Teorem X è il nucleo di un codice Z di F-grdo d + 1, F- mssimle ifisso ed F-thin e dunque, per qunto ppen visto, finito Immgine e rngo di un prol Dimo infine lcuni risultti che sfrutteremo nel Cpitolo 4. Sino F un insieme ricorrente ed X F un codice ifisso di F-grdo d. Si A = (Q,1,1) un utom semplice tle d riconoscere X. Per ogni prol w A denotimo con I(w) l immgine di w rispetto d A, ovvvero l insieme I(w) = {p w p Q}. Chimeremo rngo di w (rispetto ll utom A) il numero rnk(w) = Crd(I(w)). Osservzione Dt un prol w, l immgine I(w) ed il rngo rnk(w) sono uguli ll immgine ed l rngo (ovvero ll crdinlità dell immgine) dell funzione ϕ A (w). Osservzione Dte tre prole u,v,w A si h rnk(uwv) rnk(w). Il seguente Lemm ci d un crtterizzzione di I(w) per un prol w F con d prse rispetto d X. Lemm Sino F, X, A come sopr e w F un prol con δ X (w) = d. Allor rnk(w) = d. Inoltre I(w) è l insieme degli stti 1 p tli che (s,x,p) è un prse di w, ovvero I(w) = {1 p (s,x,p) è un prse di w, per un opportuno s}.

65 2.4. CODICI BIFISSI IN INSIEMI RICORRENTI 57 Per ogni r I(w) vi è un unico prefisso proprio p di X che è suffisso di w e tle che r = 1 p. Dimostrzione. Per ogni r I(w) esiste un unico p XA suffisso di w tle che r = 1 p. Inftti. Sino r I(w) e q Q tle che q w = r. Essendo A trim, in qunto semplice, esisternno due prole u,v A tli che 1 u = q e r v = 1. Dunque uwv X. Essendo δ X (w) = d, per il Teorem , w / H(X). Dunque esisterà un prse (s,x,p) di w tle che us,pv X. In prticolre, quindi, r = 1 p con p XA suffisso di w. Tle scelt di p è unic, ovvero che l relzione r (s,x,p) è un funzione. Supponimo inftti che esistno due prse di w (s,x,p) e (s,x,p ) con 1 p = 1 p. Allor esisterà un prol v A tle che pv,p v X. Tli p e p sono entrmi suffissi di w e quindi comprili per suffissi. M, essendo X un codice ifisso, ciò implic p = p e dunque (s,x,p) = (s,x,p ). Per dimostrre che I(w) = {1 p (s,x,p) è un prse di w} verifichimo che l funzione r (s,x,p) è iettiv. L iniettività è verifict poiché A è un utom deterministico. Si (s,x,p) un prse di w. Essendo X un codice F-mssimle ifisso, per il Teorem , esisternno due prole u,v A tli che us, pv X e quindi tli che 1 us = 1 x = 1 pv = 1. Dunque d cui r = 1 p I(w). (1 u) w = 1 usxp = 1 xp = 1 p. Per qunto ppen visto si h, in prticolre, rnk(w) = Crd(I(w)) = δ X (w) = d. Dl Lemm precedente ricvimo il seguente risultto. Proposizione Sino F, X, A come sopr e u F un prol con rnk(u) = d. Allor rnk(uv) = d per ogni v u 1 F. Dimostrzione. Per il Teorem , X è F-thin, dunque esisterà un prol w F \F(X) F \H(X) e, sempre per il Teorem , si vrà δ X (w). Si v tle che uv F. Allor, essendo F ricorrente, esisterà un prol t F tle che uvtw F. Anche uvtw vrà d prse e, per il Lemm , cià implic che rnk(uvtw) = d. Dunque, d = rnk(uvtw) rnk(u) = d, d cui l tesi.

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67 Cpitolo 3 Codici ifissi in insiemi Sturmini Il risultto principle dell Sezione 3.1 è il Teorem che ci permette di stilire l crdinlità di un codice F-mssimle ifisso nel cso F si un insieme Sturmino. L Sezione termin con un esempio sull non invertiilità del Teorem. Nell Sezione 3.2 è dt un condizione sufficiente ffinché un prol x si definitivmente periodic (Teorem 3.2.5). L dimostrzione sfrutt il Teorem dell Fttorizzzione Critic (Teorem 3.2.2). Nell Sezione 3.3 sono definite le prole di ritorno, un se del gruppo liero (Corollrio 3.3.3). Queste sono uste per dimostrrre il Teorem dell Bse Sturmin (Teorem 3.4.4) che crtterizz i codici F-mssimli ifissi di grdo d, per un insieme Sturmino F come tutte e sole le si di un sottogruppo di indice d del gruppo liero. D questo si ricv, tr le ltre cose, che per ogni insieme F Sturmino, F A d è un se del sottogruppo A d. Infine viene fornit un formul (Corollrio 3.4.8) per contre il numero di codici F-mssimli ifissi finiti di F-grdo d, qundo F è Sturmino. 3.1 Crdinlità Nell Sottosezione imo studito i codici F-mssimli ifissi finiti nel cso in cui F si un insieme ricorrente. Vedremo desso che nel cso l insieme F si Sturmino è possiile dre informzioni più precise sull crdinlità dei codici. Dimo due risultti preliminri. Lemm Sino F un insieme Sturmino, X F un codice ifisso finito di F-grdo d e P = XA l insieme dei prefissi propri di X. Esiste un prol u F specile destr tle che δ X (u) = d. Inoltre i d suffissi di u che sono in P sono tutte e sole le prole specili destr in P. 59

68 60 CAPITOLO 3. CODICI BIFISSI IN INSIEMI STURMIANI Dimostrzione. Poiché X è un insieme finito esisterà un intero n 1 mggiore delle lunghezze delle prole di X. Per l Proposizione vi srà un prol u di lunghezz n specile destr. Quest sicurmente non pprterrà d H(X) e dunque, per il Teorem si vrà δ X (u) = d. Dl duledell Proposizione sppimo cheuhesttmente d F (X) suffissi in P. Essendo u un prol specile destr nche tli suffissi srnno specili destr. Inoltre, essi sono i soli d vere quest proprietà poiché, per l Proposizione 2.2.7, per ogni n esiste un unic prol specile destr di lunghezz n e quest è proprio il suffisso di lunghezz n di u. Lemm Sino A un lfeto di k lettere, X A + un codice prefisso finito oppure X = {1} e P = XA l insieme dei prefissi propri di X. Se ogni prol p P h grdo d(p) = k o 1 llor Crd(X) = (k 1)Crd(Q X )+1, dove Q X = {p P d(p) = k}. Dimostrzione. Procedimo per induzione sull lunghezz mssim n delle prole di X. Se n = 0 l proprietà vle poiché simo nel cso X = {1} e P = Q X =. Supponimo desso n > 0. Distinguimo due csi. Se 1 / Q X, llor tutte le prole di X comincino con l stess letter A, ovvero X = Y. Tle insieme Y srà o un codice prefisso finito oppure l insieme {1}. In entrmi i csi si vrà Crd(Q X ) = Crd(Q Y ). Per ipotesi induttiv, dunque, Crd(X) = Crd(Y) = (k 1)Crd(Q Y )+1 = (k 1)Crd(Q X )+1. Se 1 Q X, potremo scrivere X = A X. Ponendo t = Crd(Q X ) si h Crd(Q X ) = 1+ At, d cui t = Crd(Q X ) 1. A Per ipotesi induttiv imo Crd(Q X ) = (k 1)t +1. Dunque Crd(X) = ACrd(X ) = A(k 1)t +k = (k 1)Crd(Q X ) (k 1)+k = (k 1)Crd(Q X )+1

69 3.1. CARDINALITÀ 61 Teorem (Teorem dell Crdinlità). Sino F un insieme Sturmino su un lfeto di k lettere ed X F un codice F-mssimle ifisso finito. Allor Crd(X) = (k 1)d F (X)+1. Dimostrzione. Si P = XA l insieme dei prefissi propri di X. Un elemento p P verific pa P X se e solo se è specile destr. Per il Lemm tli prole sono esttmente d F (X) e dl Lemm segue immeditmente l tesi. Esempio Tutti i codici F-mssimli ifissi finiti di F-grdo 2 nel cso F si l insieme di Fioncci hnno crdinlità 3. Aimo definito le prole Sturmine come le prole infinite venti, per ogni n, esttmente n + 1 fttori di lunghezz n + 1, ovvero tli che Crd(A n F(x)) = n + 1 n 0. Il seguente Corollrio permette di generlizzre tle risultto non solo d A n m nche qulsisi ltro codice mssimle ifisso finito di grdo n. Corollrio Sino x un prol Sturmin su A = {,} ed X A + un codice mssimle ifisso finito di grdo d. Allor Crd(X F(x)) = d+1. Dimostrzione. Essendo X un codice mssimle ifisso finito, per il Corollrio si h d = d F(x) (X F(x)). Dl Teorem si ricv dunque Crd(X F(x)) = (2 1)d F(x) (X)+1 = d+1. Il seguente Esempio mostr che non è possiile invertire il Corollrio e dunque nenche il Teorem Esempio Si x = f con f l prol di Fioncci definit nell Esempio Ovvero x =. Tle prol non è Sturmin poiché h 7 fttori di lunghezz 5. Poiché / F(f), si h z F(x) \ F(f) per ogni prefisso z di x di lunghezz z > 4. D ltr prte se z non è un prefisso di x oppure h lunghezz z 4 llor esso è un fttore di f. Ovvero F(x)\A + F(f). (3.1) Essendo F(f) F(f) F(f), per dimostrre l Equzione 3.1 è sufficiente provre che F(f) = F(f). Si z F(f). Se z non è un prefisso di f o di f, llor chirmente si vrà z F(f). È noto che ogni prefissodellprol difioncci èspecilesinistr. Dunqueg F(f)per ogni prefisso g di f. Supponimo, infine, che z = g per qulche prefisso g di f. Per qunto ppen visto e poiché F(x) è chiuso per rovescio, si h g F(f). Essendo F(f) essenzilmente destro, ogni prol di F(f)

70 62 CAPITOLO 3. CODICI BIFISSI IN INSIEMI STURMIANI h ordine destro lmeno 1, e poiché / F(f), si h g F(f), d cui z F(f). Mostrimo desso che esiste un fmigli {X d } d>0 di codici mssimli ifissi finiti con degx d = d, tli che Crd(F(x) X d ) = d + 1 per ogni d > 0. Si X d = A d per d 4. Per il Teorem ed il Teorem sppimo che esiste ed è unico il codice mssimle ifisso finito di grdo d e nucleo {}. Si esso X d per ogni d > 4. I codici così costruiti sono tli che X d A + = per ogni d > 0. Dll Equzione 3.1 e dl Teorem ricvimo, per ogni d > 0, Crd(F(x) X d ) = Crd(F(f) X d ) = d+1. Osservzione L prol x dell Esempio non è nenche ricorrente. Inftti se esistesse unprol v A tle che ()v() F(x), si vree F(f). Dunque esiste un prol non ricorrente ed un fmigli {X d } d>0 di codici mssimli ifissi con degx d = d, tli che x h esttmente d + 1 fttori di lunghezz d in X d per ogni d > 0. Non si conosce se il Corollrio si invece invertiile ggiungendo l ipotesi ggiuntiv che l prol si ricorrente. Congettur 1. Sino x un prol ricorrente ed {X d } d>0 un fmigli di codici mssimli ifissi finiti con degx d = d e Crd(F(x) X d ) = d+1 per ogni d > 0. Allor x è Sturmin. 3.2 Periodicità Nell Sezione imo dto l nozione di prol definitivmente periodic. Aimo visto, inoltre, che se un prol infinit x A ω, con A un lfeto di k crtteri, è tle che Crd ( A d F(x) ) d+k 2 per un opportuno d 1 llor ess è definitivmente periodic (Teorem 1.2.6). Vedimo desso un generlizzzione di tle risultto. Sino x A ω ed X un codice thin mssimle ifisso. Per ogni suffisso infinito y di x si h F(y) F(x) e dunque, per l Equzione 2.3, d F(y) (X) d F(x) (X). Un prol x è dett X-stile se d F(y) (X) = d F(x) (X) per tutti i suffissi y di x. Dt un prol x A ω, il suffisso y di x tle che d F(y) (X) si minimle è un prol X-stile. Esempio Sino X = ed x = ω. Il suffisso ω di x è un prol X-stile. Prim di proseguire enuncimo il Teorem dell Fttorizzzione Critic (si ved [9]).

71 3.2. PERIODICITÀ 63 Dt un coppi di prole finite non entrme vuote (u,v) (1,1) considerimo l insieme R(u, v) delle prole non vuote comprili per prefissi con v e comprili per suffissi con u, ossi l insieme R(u,v) = { r A + A u A r va ra }. Tle insieme è non vuoto poiché vi pprtiene l prol r = vu. Chimimo ripetizione dell coppi (u, v) l minim lunghezz rep(u, v) delle prole di R(u,v). Teorem (Teorem dell Fttorizzzione Critic). Per ogni prol w A +, il vlore mssimo di rep(p,s), per ogni possiile fttorizzzione w = ps con p,s A +, è il periodo di w. Un fttorizzione (p,s) di un prol w tle che rep(p,s) è il periodo di w è dett critic. Il Teorem fferm, dunque, che ogni prol h un fttorizzzione critic. Di seguito ci srnno utile nche i seguente risultti. Lemm Sino X un codice thin mssimle ifisso ed x un prol X-stile. L prol x h un numero infinito di fttori con d F(x) (X) prse rispetto d X. Inoltre tli fttori di x potrnno essere scelti prefissi. Dimostrzione. Per ogni fttorizzzione x = uy conu A ey A ω vremo y X-stile, ovvero d F(y) (X) = d, quindi y vrà un fttore w F(y) F(x) con d prse. Inoltre scegliendo tle w come prefisso di y vremo che uw è un prefisso di x con d prse. Lemm Sino x A ω un prol infinit ed n 1 un intero tle che il periodo di un numero infinito di prefissi di x si l più n. Allor x è periodic. Dimostrzione. Si x = 0 1 con i A. Avendo un numero infinito di prefissi di x periodo l più n ve ne srà un infinità di essi che vrnno periodo ugule, si esso p. Per ogni i 0 vi è un prefisso di x di lunghezz mggiore di i+p di periodo p. Dunque i = i+p, d cui l tesi. Simo desso pronti per dimostrre l generlizzzione nnuncit prim. Teorem Sino X un codice thin mssimle ifisso ed x A ω un prol X-stile. Se Crd(X F(x)) d F(x) (X), llor x è definitivmente periodic. Dimostrzione. Sino P = A \ XA ed S = A \ A X e ponimo d = d F(x) (X).

72 64 CAPITOLO 3. CODICI BIFISSI IN INSIEMI STURMIANI L insieme X F(x) è finito poiché, per ipotesi e per l Osservzione , Crd(X F(x)) d d(x). Si n l mssim lunghezz delle prole in X F(x). Considerimo un fttorizzzione x = uwvz con u,w,v A +, z A ω tli che u, v > n e δ X (u) = δ X (v) = d. Tle scelt è possiile perché, essendo x e vz prole X-stili, per il Lemm 3.2.3, esse vrnno un numero infinito di prefissi con d prse rispetto d X. Mostrimo desso che, per ogni fttorizzzione w = ps, si h rep(p,s) n. Dll Equzione 2.6 sppimo che δ X (up) = δ X (sv) = d, dunque vi sono d suffissi p 1 = 1,p 2,...,p d di up che sono in P e d prefissi s 1 = 1,s 2,...,s d di sv che sono in S. Poichè nche upsv h d prse, per ogni 2 i d vi è esttmente un 2 j d tle che p i s j X. Inftti per ogni p i vi è, per costruzione, un prefisso s di sv tle che p i s X. M tle s è ppunto uno degli s j. Possimo dunque rinumerre gli s j in modo che s 1 = 1 e per 2 i d si i x i = p i s i S. Essendo X un codice mssimle ifisso ed up,sv prole sufficientemente lunghe, esistono x 0,x 1 X rispettivmente un suffisso di up ed un prefisso di sv (Figur 3.1). v p s v u x i v x 0 x 1 Figur 3.1: Le d+1 prole x 0,x 1,...,x d. Poiché Crd(X F(x)) d, due delle d+1 prole x 0,x 1,...x d srnno uguli. Se x 0 = x 1 llor proprio x 0 = x 1 X F(x) srà un ripetizione di (p,s) di lunghezz l più n per costruzione. Dunque rep(p,s) n. Se x 0 = x i con 2 i d llor s i si prefisso di sv si suffisso di x 0 e quindi di up. Dunque rep(p,s) s i p i s i = x i n. Se x i = x 1 con 2 i d vle un rgionmento nlogo quello ppen mostrto. Se x i = x j con 2 i < j d supponimo p i < p j. Si vrà p j = p i t e ts j = s i perun opportunot A +. Tle t srà si suffissodi p j e quindi di up, si prefisso di s i e quindi di sv. Dunque rep(p,s) t n. Rissumendo, per ogni fttorizzzione w = ps si h rep(p,s) n. Per il Teorem dell Fttorizzzione Critic il periodo di w srà l più n. Quindi un numero infinito di prefissi di y hnno periodo l più n. Per il Lemm y è periodic, d cui l tesi.

73 3.3. PAROLE DI RITORNO 65 Corollrio Si x A ω un prol infinit. Se esiste un codice X mssimle ifisso finito di grdo d tle che Crd(X F(x)) d, llor x è definitivmente periodico. Dimostrzione. Ogni prol sufficientemente lung di X h d prse, quindi d F(x) (X) = d ed x è X-stile. Dll ipotesi Crd(X F(x)) d segue, per il Teorem 3.2.5, l tesi. Osservzione A d è un codice mssimle ifisso di grdo d. Quindi il cso k = 2 del Teorem segue dl Corollrio Esempio Si X = { 3, 2, 2 2,, 2,, 2, 2, 3 } il codice mssimle ifisso finito mostrto in Figur 3.2. Si x A ω tle che X F(x) = { 2,,} (i nodi in neretto in Figur 3.2). Essendo un fttore di x potremo scrivere x = uy per opportuni u A e y A ω. L prim letter di y è poiché, ltrimenti, si vree 2 X F(x); l second letter di y è poichè, ltrimenti, si vree 2 X F. D quest rgomento ricvimo che x = u() ω per un opportun prol u A. Figur 3.2: Rppresentzione del codice mssimle ifisso X = { 3, 2, 2 2,, 2,, 2, 2, 3 }. In neretto X F(x). 3.3 Prole di ritorno Sino F un insieme fttorile ed u F. Definimo gli insiemi R F (u) = Γ F (u)\γ F (u)a +, e R F(u) = Γ F(u)\A + Γ F(u),

74 66 CAPITOLO 3. CODICI BIFISSI IN INSIEMI STURMIANI dove Γ F (u) = {z F uz A + u F} e Γ F (u) = {z F zu ua+ F}. Nel cso F = F(x) si l insieme dei fttori di un prol infinit x, gli insiemi Γ F (u) e R F (u) sono detti rispettivmente l insieme delle prole di ritorno destre e l insieme delle prole di primo ritorno destre di u in x. Anlogmente Γ F (u) e R F (u) sono rispettivmente gli insiemi delle prole di ritorno sinistre e delle prole di primo ritorno sinistre di u in x. Si h un semplice relzione tr R F (u) e R F u, ossi ur F (u) = R F(u)u. (3.2) Le prole nell insieme definito nell Equzione 3.2 sono dette prole di ritorno complete (si ved [8]). Esempio Si F l insieme di Fioncci. Gli insiemi delle prole di primo ritorno destre e sinistre sono dte nell Tell 3.3. u 1... R F (u)... R F (u)... UnprolxèSturminseesoloseperogniu F(x)sihCrd(R F (u)) = 2 (si ved [8]). Inoltre vle il seguente risultto (si ved [8]) che leg il Teorem e le prole di ritorno. Proposizione Sino s un prol episturmin stndrd su A, = 0 1 l su prol direttiv e (u n ) l sequenz dei suoi prefissi plindromi. Allor (i) Le prole di primo ritorno sinistro di u n sono le prole ψ 0 n 1 () con A. (ii) Per ogni u F(s) esistono n 0 e z A tli che le prole di primo ritorno sinistro di u sono le prole zyz 1 l vrire di y R F (u n). D quest Proposizione segue il seguente Corollrio. Corollrio Si F un insieme Sturmino. Per ogni u F, gli insiemi R F (u) sono un se del gruppo liero A.

75 3.4. BASI DI SOTTOGRUPPI 67 Dimostrzione. Si s un prol episturmin strett stndrd tle che F = F(s). Dl punto (i) dell Proposizione sppimo che R F (u n) è l immgine di A trmite l utomorfismo ψ 0 n 1 e dunque un se del gruppo liero su A. Dl punto (ii) dell stess Proposizione ricvimo che nche R F (u) è un se, in qunto immgine trmite l utomorfismo di coniugzione per z di R F (u n) per opportuni z A e n 0. Qunto mostrto nel Corollrio vle nche per gli insiemi R F (u). Inftti per l Equzione 3.2 gli insiemi R F (u) e R F (u) sono coniugti nel gruppo liero, ovvero esiste un utomorfismo, l coniugzione trmite u, che mnd il primo nel secondo. 3.4 Bsi di sottogruppi Prim di proseguire imo isogno di lcuni risultti preliminri. Il seguente Lemm è dimostrto in [1, Proposizione 6.6.1]. Lemm Sino F un insieme Sturmino ed X F un codice F- mssimle ifisso finito. Allor X F = X F. Lemm Sino F un insieme Sturmino ed X F un codice F- mssimle ifisso finito. Ogni clsse lterle destr del sottogruppo H generto d X contiene l più un prefisso proprio di X specile destr. Dimostrzione. Si Q l insieme dei prefissi propri di X che sono specili destr e sino p,q Q tli che Hp = Hq. D p Hq ricvimo che esisterà un prol u F tle che p = uq. Dunque Huq = Hq, d cui Hu = H, ovvero u H. Per il Lemm si h u X F = X F X. Essendo p un prefisso proprio di X si h necessrimente u = 1, d cui p = q. Lemm Sino F un insieme Sturmino, d 1 un intero ed X F un codice F-mssimle ifisso di F-grdo d. Sino P l insieme dei prefissi propri di X, Q P l insieme delle prole in P che sono specili destr ed H il sottogruppo generto d X. Allor l insieme è un sottogruppo di A. V = {v A Qv HQ} Dimostrzione. Chirmente 1 V. Ogni v V definisce un permutzione su Q, ovvero possimo pensre V S(Q). Inftti se p,q Q sono tli che pv,qv Hr per un opportun prol r Q, llor rv 1 Hp Hq. Per qunto visto nell Sottosezione ciò implic Hp = Hq e dunque, per il Lemm 3.4.2, p = q.

76 68 CAPITOLO 3. CODICI BIFISSI IN INSIEMI STURMIANI Gli inversi di elementi di V stnno ncor in V. Inftti, poiché ogni v V definisce un permutzione su Q, per ogni q Q esiste un p Q tle che pv Hq. Dunque qv 1 Hp, ovvero nche v 1 V Infine V è chiuso rispetto l prodotto. Inftti dti v,w V si h l cten di inclusioni Qvw HQw HQ e dunque vw V. Simo desso in grdo di provre il seguente risultto Teorem (Teorem dll Bse Sturmin). Sino F un insieme Sturmino e d 1 un intero. Un codice ifisso X F è un se di un sottogruppo di indice d di A se e solo se esso è F-mssimle ifisso finito di F-grdo d. Dimostrzione. ( ) Sino X un codice F-mssimle ifisso di F-grdo d e P, Q, H e V come nel Lemm Dunque V A. Per il Lemm esiste un prol u specile destr tle che δ X (u) = d e i cui d suffissi che sono in P sono in Q. Per il Teorem , tle prol u non srà in H(X). Mostrimo che l insieme R F (u) delle prole di primo ritorno di u è contenuto in V. Inftti, sino q Q ed y R F (u). Per definizione di R F (u) si vrà uy F. Poiché q è un suffisso di u, qy srà un suffisso di uy e dunque nche qy F. Allor, essendo X un codice F-mssimle, esisterà un prol r P tle che qy X r. Tle r è un elemento di Q. Inftti, per l Formul 3.2 esisterà un prol y tle che uy = y u. Per cui r è suffisso di y u e se, per ssurdo, si vesse r > u si vree u H(X), in contrddizione con qunto detto sopr (Figur 3.3). Dunque r è un suffisso di u e quindi r Q u q u y Figur 3.3: Un prol y R F (u). Essendo X Q per ipotesi, si h qy X r HQ. Ovvero y V, d cui R F (u) V. V è un sottogruppo di A (per il Lemm 3.4.3) che contiene R F (u) e poiché, per il Corollrio 3.3.3, il gruppo generto d R F (u) è A, imo V = A. r

77 3.4. BASI DI SOTTOGRUPPI 69 Dunque per ogni w A si h Qw HQ. In prticolre, essendo 1 Q, si h w HQ per ogni w A, ovvero A = HQ. Dl ftto che Crd(Q) = d e che le clssi lterli Hq l vrire di q Q sono due due disgiunte, ricvimo che H è un sottogruppo di indice d di A, ovvero che [A : X ] = d. Dll Formul di Schreier 1.3 e dl Teorem dell Crdinlità (Teorem 3.1.3) ricvimo che un se di X è proprio X. ( ) Si X F un codice ifisso se del gruppo H = X A con indice [A : H] = d. Dll Formul di Schreier 1.3 si h Crd(X) = (k 1)d + 1 con k = Crd(A). Il cso k = 1 è nle; supponimo quindi k 2. Per il Teorem esisternno un intero d 0 ed un codice Y F-mssimle ifisso di F-grdo d con X Y. Dll prim prte dell dimostrzione sppimo che Y è un se di un sottogruppo K = Y A con indice [A : K] = d. D X Y otterremo H K, d cui ricvimo, per l Formul 1.1 che d è un multiplo di d. Per il Teorem dell Crdinlità (Teorem 3.1.3) si h Crd(Y) = (k 1)d +1 e dunque, essendo X Y, (k 1)d+1 (k 1)d +1, ovvero d d. Quindi d è un multiplo di d con d d, ovvero d = e e, dunque, X = Y. Osservzione Dl Teorem dell Bse Sturmin discende, in prticolre, il Teorem dell Crdinlità già visto nell sezione 3.1. Inftti sino F un insieme Sturmino su un lfeto A di k lettere ed X un codice F- mssimle ifisso finito di F-grdo d. Per il Teorem 3.4.4, il sottogruppo X del gruppo liero A h rngo Crd(X) ed indice d. Dunque per l Formul di Schreier 1.3 si h Crd(X) = (Crd(A) 1)+1. Corollrio Sino F un insieme Sturmino e d 1 un intero. L insieme di prole in F A d è un se del sottogruppo A d di A. Dimostrzione. L insieme A d è un codice mssimle ifisso, l insieme F A d è un codice ifisso finito e, per il Corollrio , F-mssimle ifisso di F- grdo d. Dunque F A d è, per il Teorem un se del sottogruppo A d. Nell Sottosezione si è definito il concetto di codice di gruppo. Un codice di gruppoz, ossi un sottomonoide tle che Z = H A per qulche sottogruppo H A di indice d del gruppo liero, è un codice mssimle ifisso di grdo d (si ved [1, Proposizione 6.1.5]). Il seguente Corollrio mostr che ogni sottogruppo di A di indice finito h un se contenut in ogni insieme Sturmino F.

78 70 CAPITOLO 3. CODICI BIFISSI IN INSIEMI STURMIANI Corollrio Si F un insieme Sturmino e considerimo l funzione che mnd i sottoinsiemi X F nei sottogruppi X A. Vi è un iezione tr l insieme dei codici F-mssimli ifissi di F-grdo d e quello dei sottogruppi di A di indice d. In prticolre il sottogruppo X vrà come se proprio il codice ifisso X. L iezione invers ssoci d ogni sottogruppo H A del gruppo liero l insieme Z F con Z il codice di gruppo che è genertore minimle del sottomonoide H A di A. Dimostrzione. Si X un codice F-mssimle ifisso di F-gdo d. Se X è finito llor, per il Teorem 3.4.4, si h X A sottogruppo di indice d. Vicevers, sino H A è un sottogruppo di indice d e Z il codice di gruppo tle che Z = H A. Per il Corollrio , l insieme X = Z F è un codice F-thin ed F-mssimle ifisso di F-grdo d < d. Inoltre per il Teorem X è finito. Dunque, dl Teorem ricvimo che X è un sottogruppo di A di indice d. Dll cten di inclusioni X = Z F Z Z = H A H ricvimo che X è un sottogruppo di H e, per l Formul 1.1, si h che d è un multiplo di d. Dunque d = d ed X = H. Si, infine, X uncodicef-mssimleifissodif-grdod. Peril Teorem 3.4.4, H = X è un sottogruppo di indice d di A. Sino Z il codice di gruppo tle che Z = H A ed Y = Z F. Allor X Y poiché Z un codice mssimle ifisso si h X Z e per costruzione X F. M llor X = Y, essendo X F-mssimle ifisso. Dunque le due funzioni sono l un l invers dell ltr. Dl Corollrio ricvimo, in prticolre, che ogni sottogruppo di A di indice finito è positivmente generto. Il Teorem dell Bse Sturmin ci permette, inoltre, dto un insieme Sturmino, di contre i codici F-mssimli ifissi finiti. Inftti Hll h dto un formul per il numero di sottogruppi di indice d nel gruppo liero di rngo k (si ved [7, Teorem 5.2]). Corollrio Si F un insieme Sturmino su un lfeto di k lettere. Il numero N d,k di codici X F F-mssimli ifissi finiti di F-grdo d è dto ricorsivmente d N 1,k = 1 e d 1 N d,k = d(d!) k 1 ((d 1)!) k 1 N i,k. i=1 Nel cso k = 2, d esempio, l formul è d 1 N d,2 = dd! (d 1)!N i,2. i=1

79 Cpitolo 4 Gruppi Sintttici Un ruolo fondmentle nell descrizione di monoidi finiti è dt dllo studio dei gruppi contenuti dentro questi (si ved Sottosezione 1.1.3). Un prte importnte dell teori degli utomi è reltiv proprio llo studio dei gruppi contenuti nel monoide sintttico. Dto un monoide di trsformzioni M su un insieme finito Q, definito d un insieme finito di genertori, è in generle non nle lo studio dei gruppi contenuti in M. Di seguito considereremo il cso in cui i monoidi di trsformzioni sono prticolri monoidi sintttici (si ved l Sottosezione 1.3.4), ovvero monoidi di trnsizione di utomi minimli che riconoscono il sottomonoide generto d un codice prefisso X. Nell Sezione 4.1 si definirnno i gruppi di olonomi ed i gruppi sintttici e si esporrnno due diversi metodi per clcolre l insieme di genertori di un gruppo di olonomi. Nell Sezione 4.2 studieremo le relzioni di Green, uno strumento fondmentle in Teori dei Semigruppi. Nell Sezione 4.4 si enuncierà l Congettur del rngo (Congettur 2) propost d D. Perrin e mostrimo si che ess è vlid nel cso di lfeti inri(teorem 4.4.1) si che ess non può esser migliort (Teorem 4.4.5). Infine nell Sezione 4.5 mostreremo come per un prticolre clsse di codici prefissi tutti i gruppi sintttici propri sono ciclici, finiti e regolri. 4.1 Gruppi di olonomi Sino Q un insieme finito ed M un monoide di trsformzioni su Q. Per ogni sottoinsieme I Q definimo lo stilizztore di I come l insieme St(I) = {m M mi = I}. L restrizione di St(I) ll insieme I, che indicheremo con St(I) I, è un gruppo di permutzioni detto gruppo di olonomi di M reltivo d I. Esso srà denotto con Group(I). 71

80 72 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Ricordimo l definizione dt nell Sottosezione di gruppo in un monoide. Si M un monoide. Un gruppo in M è un sottosemigruppo di M che è isomorfo d un gruppo. In generle l elemento neutro di un gruppo in M non è 1 M, m solo un idempotente del monoide. Diremo che un gruppo in M è mssimle se non è contenuto proprimente in lcun ltro gruppo in M. Per ogni idempotente e M vi è un unico gruppo mssimle in M contenente e. Esso è denotto con G(e). Proposizione Sino M un monoide di trsformzioni su Q e G un gruppo in M. Tutti gli elementi di G hnno l stess immgine I. L restrizione degli elementi di G ll loro immgine comune è un rppresentzione fedele di G come gruppo di permutzioni su I. Dimostrzione. Sino g, h G. Mostrimo che essi hnno l stess immgine. Si k l inverso di g in G. Allor h = hkg, d cui ricvimo che h = (1 (hk)) g Mg. Anlogmente siottieneg Mh. DunqueMg = Mh. Chimimo I l immgine comune degli elementi di G. G è un gruppo di permutzioni su I. Inftti si e l elemento neutro di G. Per ogni p I si q Q tle che qe = p. Allor pe = qe 2 = qe = p. Dunque e è l identità nche su I. Inoltre ogni g G possiede un inverso k e tle elemento è tle che gk = kg = e. Dunque g è un permutzione su I per ogni g G. Infine mostrimo che l rppresentzione di G come gruppo di permutzioni su I è fedele. Sino g,g G tli che l loro restrizione su I è l stess, ossi g I = g I. Allor per ogni p Q si h pg = p(eg) = (pe)g = pg = (pe)g = p(eg ) = pg, poiché pe I. Dunque g = g. Il gruppo di permutzioni formto dlle restrizioni delle funzioni di G rispetto ll immgine comune è dett rppresentzione cnonic di G. L rppresentzione cnonic del gruppo G(e) è denott con G e. Tle rppresentzione è fedele per l Proposizione Per ogni insieme I Q esiste un idempotente e M tle che I Qe, inftti st scegliere e = 1 M. Diremo che un idempotente e M ricopre esttmente l insieme I se I Qe e qe è minimle per tle proprietà. Osservzione Ogni idempotente e ricopre esttmente l insieme Qe. Osservzione Si e un idempotente che ricopre esttmente un insieme I. Allor e St(I). Inftti, essendo I Qe, possimo scrivere ogni i I come i = qe per un opportuno q Q. Dunque ie = qe 2 = qe = i, d cui, in prticolre, Ie = I. Il seguente Lemmmostr come perogni insiemei il gruppodi olonomi di M reltivo d I si ottiene come restrizione d I di un gruppo in M. Lemm Sino Q un insieme finito, M un monoide di trsformzioni su Q, I Q ed e M un idempotente che ricopre esttmente I. Allor Group(I) è l restrizione d I del gruppo H = G(e) St(I).

81 4.1. GRUPPI DI OLONOMIA 73 Dimostrzione. Dto un elemento di H St(I), l su restrizione d I è, per costruzione, in Group(I). Vicevers mostrimo che ogni elemento di Group(I) è ottenuto come restrizione d I di un elemento di H. Sino m St(I) e considerimo l elemento g = eme. Essendo M finito esisterà un intero n tle che h = g n è un idempotente. Esso pprtiene St(I), poiché per l Osservzione e St(I) e quindi nche g = eme ed h = g n sono elementi di St(I). Dunque I Qh. D ltr prte, però, h Me d cui Qh Qe. Dll minimlità di Qe ricvimo Qh = Qe e quindi h = e. Il sottomonoide generto d g è perciò un gruppo ciclico contenente e, il che implic che g G(e) e dunque g H. Ciò mostr che m I = g I, d cui l tesi. LseguenteProposizionecimostrche, dtounmonoidem, ognigruppo di olonomi reltivo ll immgine di un idempotente è isomorfo d un gruppo mssimle in M. Proposizione Sino Q un insieme finito, M un monoide di trsformzioni su Q, e M un idempotente ed I = Qe. llor Group(I) = G e. Dimostrzione. Dto un g G(e) si h, per l Proposizione 4.1.1, Ig = Ie = Qe 2 = Qe = I, ovvero G(e) St(I). Per il Lemm Group(I) = (G(e) St(I)) I = G(e) I, che è, per definizione, G e. Dto un utom A definimo un gruppo di olonomi di A un gruppo di olonomi del monoide di trnsizione ϕ A (A ). Sino A un utom, I Q e w A tle che ϕ A (w) St(I). Allor ϕ A (w) I è un permutzione pprtenente Group(I). Ess srà dett permutzione su I definit d w. Esempio Si A = ({1,...5},1,1) l utom rppresentto in Figur 4.1. L elemento ϕ A ( 3 ) è un idempotente che ricopre esttmente l insieme I = {1,2,3}. ComesipuòvederenchedllFigur4.2idueelementi ϕ A () e ϕ A () sono entrmi in St(I). Group(I) contiene le permutzioni (123) e (23) definite rispettivmente d e. Dunque Group(I) = S 3. Sino X un codice prefisso, A = A(X ) l utom minimle di X ed M = ϕ A (A ) il monoide di trnsizione di A. Un gruppo sintttico di X è un gruppo di olonomi di M reltivo ll immgine di un idempotente di M. Dunque, per l Proposizione 4.1.5, un gruppo sintttico di X srà del tipo Group(I) con I = Qe, dove Q è l insieme degli stti di A ed e è un idempotente di M.

82 74 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Figur 4.1: Un utom con gruppo d olonomi S 3. {1,2,3} {1,4,5} {1,2,5} Figur 4.2: Azione delle lettere sui 3-sottoinsiemi di Q. Di seguito esponimo due diversi metodi per clcolre l insieme di genertori di un gruppo d olonomi, e quindi in prticolre di un gruppo sintttico. Il primo consiste nel clcolre l rppresenztione si Schützenerger del monoide di trsformzione. L second us il concetto di gruppo fondmentle Rppresentzione di Schützenerger Sino Q un insieme finito, M un monoide di trsformzioni su Q, e M un idempotente ed I = Qe. Considerimo l fmigli di sottoinsiemi di Q I = {J Q Im = J, Jm = I per opportuni m,n M}. Per ogni J I ponimo m J,m J gli elementi di M tli che Im J = J, Jm J = I, con em J m J = e, e ponendo, in prticolre, m I = m I = e. Si dimostr che è sempre possiile scegliere degli m J,m J di tl sort. Osservzione Per ogni J I si h Jm J m J = J. In effetti vle un risultto più forte: l restrizione di m J m J J è l identità su J. Inftti per ogni j J esisterà un i I tle che j = im J. Dunque jm J m J = im J m J m J = iem J m J m J = iem J = im J = j.

83 4.1. GRUPPI DI OLONOMIA 75 Per ogni J,K I edm M tli chejm = K considerimolrestrizione (m J mm K ) I. Tle elemento srà, per costruzione, in Group(G) e verrà denotto (J, m, K). Dti J,K,L I e m,n M tli che Jm = K e Kn = L llor vle l formul (J,m,K)(K,n,L) = (J,mn,L). Inftti, per ogni i I si h i(j,m,k)(k,n,l) = im J mm K m Knm L = im Jmnm L = i(j,mn,l). L seguente Proposizione è un cso prticolre di un risultto noto (si ved [4, Proposizione 9.2.1]). Proposizione Sino Q un insieme finito, I Q un suo sottoinsieme, M un monoide di trsformzioni su Q ed S un insieme di genertori di M. Le permutzioni (J,m,K) = m J mm K I l vrire di m S, e J,K I tli che Jm = K, formno un insieme di genertori del gruppo Group(I). Dto un monoide di trsformzioni M ed un suo idempotente e M definimo l rppresentzione di Schützenerger di M reltiv d e l funzione µ : M Mt(I,I) che ssoci d un elemento m M l mtrice qudrt con elementi in Group(I) 0 definit d { (J,m,K) se Jm = K µ(m) J,K = 0 ltrimenti. QundoM èilmonoideditrnsizionediunutoma, lrppresentzione di Schützenerger può essere vist come un trnsduttore, come mostrto nel seguente Esempio. Esempio Si A l utom dell Esempio Come già visto l elemento ϕ A ( 3 ) è un idempotente che ricopre esttmente l insieme I = {1,2,3}. L insieme I è composto di tre elementi I, J = {1,4,5} e K = {1,2,5}. Notimo che e I = J, J 2 2 = I e ( 2 2 )() J = 1 J I = K, K 2 = I e ( 2 )() K = 1 K. Possimo dunque scegliere m J = ϕ A (),m J = ϕ A( 2 2 ),m K = ϕ A () e m K = ϕ A( 2 ). L rppresentzione di Schützenerger di ϕ A (A ) reltiv ll idempotente ϕ A ( 3 ) può esser rppresentt trmite il trnsduttore dell Figur 4.3. Per l Proposizione 4.1.8, un insieme di genertori di ϕ A (A ) è dto d (123),(23). Inftti (I,,I) = 3 3 I = (123), (I,,J) = I = (1), (J,,K) = 2 I = (1), e (K,,I) = 3 I = (23). Ciò è coerente con qunto già visto nell Esempio

84 76 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI (123) (1) (1) {1,2,3} {1,4,5} {1,2,5} (23) Figur 4.3: Rppresentzione di Schützenerger di ϕ A reltiv ll idempotente ϕ A ( 3 ) Gruppo fondmentle Sino A un utom su un insieme finito Q di stti, M il monoide di trnsizione di A, e M un idempotente, I = Qe ed I = {J Q Im = J, Jm = I per opportuni m,n M}. Si G il grfo etichettto con vertici gli elementi di I e lti elementi dell insieme E = {(J,,K) J,K I, A con J = K}. Osservzione Il grfo G così definito è un grfo fortemente connesso. Se f = (J,,K) è un lto di G, chimeremo lto inverso di f, il lto f 1 = (K,ā,J). Il grfo vente gli stessi vertici di G e per lti i lti inversi di quelli di G srà detto grfo inverso di G. Anlogmente qunto già visto nell Sottosezione 1.3.5, definimo cmmino generlizzto in G un sequenz di lti consecutivi con etichette in A Ā. Le etichette dei cmmini generlizzti srnno elementi del gruppo liero A, ossi clssi di equivlenz di cmmini generlizzti con rppresentnte minimle un cmmino semplificto, cioè l cui etichett non contiene fttori del tipo ā con A Ā. I cmmini generlizzti d I d I vengono detti nche lcci con se in I. Generlizzndo l nozione di sottogruppo descritto dll utom dell Sottosezione 1.3.5, definimo gruppo fondmentle rispetto l punto I l insieme H dei lcci con se in I. È en noto che H è un gruppo liero e che un su se può essere ottenut come segue. ConsiderimoT E unospnningtreedelgrfog conrdicei. Essendo G fortemente connesso, per ogni J I vi srà un unico cmmino p J in T d I J. È en noto che l insieme X = {p J fp 1 K f = (J,,K) E \T}. è un se di H, chimt l se di Schreier reltiv T. Anlogmente considerimo S E tle che S 1 si uno spnning tree del grfo inverso G con rdice I. Per ogni J G vi srà un unico cmmino q J in S d J in I. Fissimo T ed S e ponimo p J e q J l vrire di J I come sopr.

85 4.1. GRUPPI DI OLONOMIA 77 Lemm Sino Y = {p J fq K (J,,K) E\T} ed Y = {p J fq K (J,,K) E}. Allor Y = Y. Dimostrzione. Chirmente Y Y. Dimostrimo l inclusione invers mostrndo, per induzione sull lunghezz di q K, che p J fq K Y nche qundo f = (J,,K) T. Essendo T un lero, sicurmente K I e dunque q K è un cmmino non vuoto. Si g = (K,,L) il primo lto di q K. L insieme dei cmmini in S è chiuso per suffissi, quindi potremo scrivere q K = qq L. Anlogmente, essendo T un lero, si vrà p K = p J f. Per ipotesi induttiv p K qq L Y, e poiché p J fq K = p K qg L l tesi è dimostrt. Proposizione L insieme Y = {p J fq K f = (J,,K) E \T} è un se di H. Dimostrzione. Si X l se di Schreier di H reltiv T. Chirmente Y H = X. Provimo che X Y. Per fr ciò mostrimo che per ciscun f = (J,,K) E \T si h p J fp 1 K Y. Ciò è vero se q K è vuoto, poiché p J f X Y. Altrimenti, essendo S chiuso per prefissi, possimo scrivere q K = gq L con g = (K,,L). Dunque p J fq K = p J f(p 1 K p K)gq L = (p J fp 1 K )(p Kgq L ), d cui p J fp 1 K = (p J fq K )(p K gq L ) 1 Y poiché p J fq K Y per definizione e p K gq L Y per il Lemm Dll Proposizione segue che per ogni scelt dell coppi (T, S), Y è un insieme di genertori per Group(I), come mostrto nel seguente Corollrio. Corollrio Le restrizioni d I delle etichette degli elementi di Y generno Group(I). Dimostrzione. Per qunto visto nell Proposizione , le etichette degli elementi di Y formno il sottomonoide St(I). Dunque l loro restrizione d I form il gruppo Group(I). Osservzione Per come imo definito Y ogni elemento ppre un sol volt. Inftti supponimo esistno due lti f = (J,,K) ed f = (J,,K ) con p J fq K = p J f q K e p J prefisso proprio di p J. Allor f srà un lto del cmmino p J e dunque srà in T contrddicendo l scelt di f E \T. Esempio Considerimo l utom dell Esempio 4.1.6, l idempotente ϕ A ( 3 ) e l insieme I = {1,2,3} d esso ricoperto. Il gruppo H è generto d H = (I,,I),(I,,I). Il gruppo Group(I) è generto d ϕ A () I = (123) e ϕ A () I = (23).

86 78 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI 4.2 Relzioni di Green Definimo di seguito le relzioni di Green per un monoide M (si vedno [4] e [14]). Esse furono introdotte d J.A. Green nel 1951 e rppresentno un generlizzzione dell nturle divisione tr interi l cso non commuttivo dei semigruppi (e dunque dei monoidi). Ricordimo che un relzione srà dett preordine se ess è riflessiv e trnsitiv, un ordine (przile) se è un preordine ntisimmetrico ed un equivlenz se è un preordine simmetrico. Se K è un preordine, l relzione K, o K, definit d x K y x K y e y K x è un equivlenz dett relzione di equivlenz ssocit d K. Si, di seguito, M un monoide. Definimo le quttro relzioni di preordine R, L, J e H come segue m R n m = nu per qulche u M, m L n m = un per qulche u M, m J n m = unv per qulche u,v M, m H n m R n e m L n. Come già detto, tli relzioni possono essere considerte come un genrlizzzione non commuttiv dell nozione di prodotto tr interi. Ad esempio, si vrà m R n se m è un multiplo destro di n, nel senso che si può ottenere m moltiplicndo n destr per un opportuno elemento di M. Si possono riformulre le definizioni dte in termini di ideli. Ovvero m R n mm nm, m L n Mm Mn, m J n MmM MnM, m H n mm nm e Mm Mn. L connessione tr i quttro preordini è rppresentt nel digrmm in Figur 4.4. m R n m H n m J n m L n Figur 4.4: Connessione tr i preordini R, L, J e H. Le equivlenze ssocite lle quttro relzioni di preordine sopr definite sono dette relzioni di Green e sono denotte rispettivmente con R, L, J e H. Dunque si h

87 4.2. RELAZIONI DI GREEN 79 mrn mm = nm, mln Mm = Mn, mjn MmM = MnM, mhn mm = nm e Mm = Mn. Osservzione Anlogmente qunto visto nel digrmm in Figur 4.4, si h, vedendo le relzioni come sottoinsiemi di M M, R J, L J e H = R L. Proposizione Le due relzioni di equivlenz R e L commutno, ovvero RL = LR. Dimostrzione. Dimostrimo che dti m, n M tli che mrln llor si vrà mlrn. L impliczione invers srà simmetric. Si p M tle che mrp e pln. Allor, per definizione, esisternno u,u,v,v M tli che p = mu, m = pu, n = vp e p = v n. Si q = vm. Allor qrn, inftti q = vm = v(pu ) = (vp)u = nu e n = vp = v(mu) = (vm)u = qu. Inoltre mlq, inftti m = pu = (v n)u = v (nu ) = v q e q = vm per definizione. Dunque mlqrn, d cui l tesi. Poichè per l Proposizione le due relzioni R e L commutno, possimo definire l relzione di equivlenz D = RL = LR. Osservzione Vedendo le relzioni come sottoinsiemi di M M si h H R,L D J. Possimo rppresentre l connessione tr le cinque relzioni di Green trmite il digrmm in Figur 4.5 Si può dimostrre che, nel cso di monoidi finiti, D = J. Le D-clssi possono essere rppresentte trmite uno schem detto sctol delle uov come in Figur 4.6. Le R-clssi contenute dentro l D-clsse sono rppresentte trmite le righe, mentre le L-clssi trmite le colonne. I qudrti ottenuti dlle intersezioni tr R-clssi ed L-clssi sono le H-clssi. L presenz di un idempotente ll interno di un H-clsse è indict trmite un sterisco. L form regolre delle H-clssi nell Figur 4.6 è dt dll seguente Proposizione (si ved [4, Proposizione ]).

88 80 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI mrn mhn mdn mjn mln Figur 4.5: Connessioni tr le relzioni R,L,J,D e D. L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 L 6 R 1 R 2 R 3 R 4 Figur 4.6: Un D-clsse contenente lcuni idempotenti. Proposizione Dt un D-clsse, le H-clssi contenute in esse hnno tutte l stess crdinlità. Denoteremo con L(m) (risp. R(m), D(m), H(m)) l L-clsse (risp. R- clsse, D-clsse, H-clsse) dell elemento m M. Con tle notzione si vrà H(m) = R(m) L(m) e R(m),L(m) D(m). Lemm Sino M un monoide ed e M un idempotente. Allor H(e) è il gruppo delle unità del monoide eme. Dimostrzione. ( ) Si m H(e). Esisternno degli elementi u,u,v,v M tli che e = mu, m = eu, e = vm, m = v e. Allor m = eu = e 2 u = e(eu ) = em = e(v e) = (ev )e 2 = e(v e)e = eme eme e, in prticolre, me = em = m. Inoltre m è invertiile si destr che sinistr in M, inftti e m(eue) = (me)(ue) = mue = (mu)e = e 2 = e (eve)m = (ev)(em) = evm = e 2 = e. Dunque m pprtiene l gruppo delle unità di eme.

89 4.2. RELAZIONI DI GREEN 81 ( ) Si m eme un elmento invertiile si destr che sinistr in M. Allor esisternnou,v M tli che mu = vm = e. EssendoeMe M si h, per qunto visto prim, me = em = e. Dunque mhe. Il monoide eme è chimto monoide loclizzto in e. Essoèil più grnde monoide contenuto in M vente e come elemento neutro. Il Lemm precedente permette di ricvre un importnte proprietà sulle H-clssi. Proposizione Un H-clsse di un monoide M è un gruppo se e solo se ess contiene un idempotente. Dimostrzione. In ogni gruppo l identità è, nlmente, un idempotente. Vicevers, se H è un H-clsse contenente un idempotente e, llor H = H(e) è un gruppo per qunto visto nel Lemm Per ogni idempotente e M, dunque H(e) è un gruppo. L seguente Proposizione mostr che H(e) = G(e), ovvero che H(e) è l unico gruppo mssimle in M contenente e. Proposizione Ogni gruppo G in M è contenuto in un H-clsse. Dimostrzione. Si G M un gruppo con identità e. Per ogni s G esisterà un elmento t G inverso di s. Dunque si vrà s = se, e = st, ed s = es, e = ts. Dunque she per ogni s G, d cui G H(e). Si può dimostrre che tutti i gruppi mssimli in M contenuti in un D-clsse, che per qunto ppen visto sono dell form H(e) con e D un idempotente, sono tr loro isomorfi (si ved [14]). Ognuno di essi è detto gruppo di Schützenerger di D. Il seguente risultto è noto come Lemm di Clifford e Miller (si ved [4, Proposizione ]). Lemm (Clifford e Miller). Sino M un monoide ed m,n M. Allor mn R(m) L(n) R(n) L(m) contiene un idempotente. Studimo desso un importnte fmigli di D-clssi. Proposizione Sino M un monoide e D un su D-clsse. Allor le seguenti condizioni sono equivlenti: (i) D contiene un idempotente; (ii) ogni R-clsse di D contiene un idempotente;

90 82 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI (iii) ogni L-clsse di D contiene un idempotente. Dimostrzione. Le impliczioni (ii) (i) e (iii) (i) sono nli. Dimostrimo soltnto l impliczione (i) (ii). L impliczione (i) (iii) srà nlog. Sino e D un idempotente ed R un R-clsse di D. L H-clsse H = L(e) R è non vuot poiché, per l Proposizione 4.2.4, Crd(H) = Crd(R(e) H(e)) 1. Presoun elemento n H, si h, essendo H L(e), nle e dunque n = ve e e = v n per opportuni v,v M. Si m = ev. Allor mn = e, inftti mn = (ev )n = e(v n) = e 2 = e. Quindi, essendo e = mn e m = ev si h mre. D ciò ricvimo che e = mn R(m) L(n) e dunque, per il Lemm di Clifford e Miller, che R(n) L(m) contiene un idempotente. Dll inclusione R(n) L(m) R(n) = R ottenimo l tesi. Un D-clsse soddisfcente un delle condizioni equivlenti dell Proposizione è dett regolre. Considerimo desso il cso in cui M si un monoide di trsformzioni su un insieme finito Q. In tl cso le rppresentzioni cnoniche dei gruppi H(e) sono dei gruppi di permutzioni equivlenti (si ved [4, Proposizione 9.1.9]). Anche i gruppi di Schützenerger potrnno esser visti come gruppi di permutzioni. Ricordimo che dt un funzione przile m M, l equivlenz nuclere m è l equivlenz przile definit per p,q Q d p m q pm = qm (si ved Esempio ). Se mln llor m ed n hnno l stess immgine. Se mrn llor m ed n hnno l stess equivlenz nuclere. Se mhn llor m ed n hnno l stess immgine l stess equivlenz nuclere. Il vicevers in generle non è vero m vle nel seguente cso notevole. Proposizione Sino Q un insieme finito, M un monoide di trsformzioni su Q ed e,m M con e idempotente. Allor H(e) = H(m) e ed m hnno l stess immgine e l stess equivlenz nuclere. Dimostrzione. ( ) Se e ed m sono H-equivlenti llor essi hnno l stess immgine I e l stess equivlenz nuclere ρ. ( ) Sino Qe = Qm = I e ρ l equivlenz nuclere di e ed m. Mostrimo che m ed e sono H-equivlenti. Essendo e l identità su I si vrà me =

91 4.3. GRUPPO DI UN CODICE BIFISSO 83 m. Per ogni p Q si h pe 2 = pe e dunque p ρ pe. Ciò implic pem = em p Q e dunque, essendo l zione fedele, em = m. L restrizione m I è un permutzione, poiché se p,q I sono tli che pm = qm llor p = pe = qe = q. Esisterà dunque un intero k > 0 tle che m k i srà l identità su I. Si h l uguglinz m k = e. Inftti per ogni p Q si h pe = (pe)m k = p(em)m k 1 = pm k. Rissumendo si h m = me, e = m k 1 m, m = em ed e = mm k 1, d cui l tesi. 4.3 Gruppo di un codice ifisso Sino, di seguito, F un insieme ricorrente, X F un codice ifisso di F-grdo d ed A = (Q,1,1) un utom semplice tle d riconoscere X. Come già visto nell Sottosezione 2.4.5, dt un prol w A, l immgine ed il rngo di w sono rispettivmente I(w) = {p w p Q} e rnk(w) = Crd(I(w)). Proposizione L insieme di elementi di ϕ A (F) di rngo d è contenuto in un D-clsse regolre del monoide di trnsizione ϕ A (A ) di A. Dimostrzione. Sino u, v F due prole di rngo d. Essendo F ricorrente, esisterà un prol w F tle che uwv F. Ponimo m = ϕ A (u), n = ϕ A (v), p = ϕ A (wv) e q = mp = ϕ A (uwv). Di seguito mostreremo che D(m) = D(n) e che tle D-clsse è regolre. Per prim cos dimostrimo che mrq. Essendo F ricorrente esisterà un t F tle che uwvtu F. Si z = wvtu. Per l Proposizione , rnk(uz) = d e poiché I(uz) I(z) I(u) si vrà I(uz) = I(z) = I(u), e quindi, in prticolre, che ϕ A (z) I(u) è un permutzione. Dunque, essendo I(u) finito, esisterà un intero k > 0 tle che e = ϕ A (z) k è l identità su I(u). Allor mrq, inftti m = me = ϕ A (u)ϕ A (z k ) = ϕ A (uwv)ϕ A (tuz k 1 ) = qϕ A (tuz k 1 ) e q = ϕ A (uwv) = ϕ A (u)ϕ A (wv) = mp. Anlogmente mostrimo che qln. Si z = tuwv. e poiché I(vz ) I(z ) I(v) si vrà I(vz ) = I(z ) = I(v) e quindi, in prticolre, che ϕ A (z ) I(v) è un permutzione. Dunque, essendo I(u) finito,

92 84 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI esisterà un intero k > 0 tle che e = ϕ A (z ) k è l identità su I(v). Allor qln, inftti n = ne = ϕ A (v)ϕ A (z k ) = ϕ A (vz k 1 t)ϕ A (uwv) = ϕ A (vz k 1 t)q e q = ϕ A (uwv) = ϕ A (uw)ϕ A (v) = ϕ A (uw)n. Si h inoltre nlp, inftti n = ne = ϕ A (v)ϕ A (z k ) = ϕ A (vz k 1 tu)ϕ A (wv) = ϕ A (vz k 1 tu)p e p = ϕ A (wv) = ϕ A (w)ϕ A (v) = ϕ A (w)n Rissumendo si h mrqln, ovvero D(m) = D(n) e q = mp R(m) L(n) = R(m) L(p). Dl Lemm di Clifford e Miller ricvimo che R(p) L(m) contiene un idempotente. Ovvero l D-clsse di ϕ A (u) e ϕ A (v) è regolre. Il gruppo di Schützenerger dell D-clsse di ϕ A (A ) contenente gli elementi di ϕ A (F) di rngo d è un gruppo di permutzioni di rngo d. Tle gruppo non dipende dll scelt dell utom semplice A tle d riconoscere X (si ved [4, Proposizione 9.5.1]). Esso è detto F-gruppo del codice X e lo si denot con G F (X). Osservzione Un F-gruppo di un codice X F è un gruppo sintttico di X. Seguendo l notzione di [4] denoteremo il gruppo del codice X, per ogni codice X, il gruppo G(X) = G A (X). Si dimostr che, ponendo K l D- clsse degli elementi di rngo d, i gruppi G e sono, per ogni idempotente e K, gruppi di permutzioni equivlenti tr loro. Ognuno di essi srà detto gruppo di Suschkevitch di ϕ A (A ). 4.4 Grdo di un gruppo sintttico Ricordimo dlle Sottosezioni e che, dto un gruppo di permutzioni G su un insieme Q, l ordine di G srà l su crdinlità, il grdo di G l crdinlità dell insieme Q e diremo che G è trnsitivo se per ogni p,q Q esiste un elemento g G tle che pg = q e che G è regolre se l identità è l unico elemento del gruppo vente un punto fisso. Il rngo minimo di un gruppo G è, per qunto visto nell Sottosezione 1.1.6, l minim crdinlità di un insieme di genertori di G. Dominique Perrin h formulto nel 1981 l seguente Congettur (si ved [11]).

93 4.4. GRADO DI UN GRUPPO SINTATTICO 85 Congettur 2 (Congettur del rngo). Sino X un codice ifisso finito e G un gruppo di permutzione trnsitivo di grdo d e rngo minimo k. Se G è un gruppo sintttico di X, llor Crd(X) (k 1)d+1. L disuguglinz nell Congettur 2 è legt ll Formul di Schreier. Inftti se X è un se di un sottogruppo di indice d del gruppo liero A con Crd(A) = k, llor, per l Formul 1.3 si h Crd(X) = (k 1)d+1. Lo stesso Perrin h dimostrto nel 2003 con Giuseppin Rindone che l congettur vle nel cso k = 2. Per dimostrre tle risultto introducimo il concetto di gruppo specile (si ved [12]). Dto un codice prefisso X su un lfeto inrio, un gruppo sintttico G di X srà detto specile se il sottomonoide ϕ 1 A (G) è ciclico ovvero, per qunto visto nell Sottosezione 1.1.6, generto d un solo elemento. Un gruppo sintttico specile è ciclico mentre non vle, in generle, il vicever. Teorem Sino X A un codice prefisso e G un gruppo sintttico di X non specile di grdo d. Allor Crd(X) d+1. Dimostrzione. Considerimo l insieme dei d-sottoinsiemi di Q I = {I Q Crd(I) = d} e si I I l insieme fissto d G. Poiché ϕ 1 A (G) non è ciclico, esisternno due prole u,v A tli d non essere potenze di un stess prol e per cui si i I u = I v = I. Prendendo, se necessrio, potenze pproprite di u e di v possimo supporre che {u,v} si un codice prefisso. Si r A il prefisso comune più lungo di u e v. Si vrà dunque u = rs,v = rt per opportuni, A, s,t A con. Considerimo il d-sottoinsieme J = I r (si ved Figur 4.7). Esso è tle chej,j = I I. DunqueI èformtodinsiemididstti pdell utom sintttico tli d vere lmeno due trnsizioni uscenti, p p. Quindi, l insieme dei prefissi di X è rppresentile d un lero vente lmeno d nodi con lmeno due figli. Ciò implic che esso vrà lmeno d+1 foglie, ovvero Crd(X) d+1. s I r J t Figur 4.7: Azione sui d-sottoinsiemi di Q. Osservzione Un form più deole del Teorem precedente, ossi Crd(d) d, è stt provt per l prim volt d Schützenerger nel 1979 (si ved[16]) usndo ipotesi più generli: prendendo un insieme X ritrrio non necessrimente codice prefisso.

94 86 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Il grdo di un gruppo sintttico specile non è limitto in termini di crdinlità di X. Inftti per ogni n 1 il codice X = { n } h come gruppo sintttico Z/nZ. Nello stesso rticolo in cui proponev l congettur ([11]), Perrin h dimostrto che ogni gruppo di permutzioni trnsitivo è un gruppo sintttico di un codice ifisso. Di seguito mostreremo un risultto più forte: ogni gruppo di permutzioni trnsitivo di grdo d e generto d k elementi è un gruppo sintttico di un prticolre codice ifisso vente (k 1)d+1 elementi. Ciò implicherà che l disuguglinz nell Congettur 2 non può essere migliort. Per fr ciò imo isogno del seguente risultto preliminre. Lemm Sino Z A un codice di gruppo di grdo d ed F un insieme Sturmino. Allor l insieme X = Z F è un codice F-mssimle ifisso di F-grdo d e G F (X) = G(Z). Dimostrzione. Il ftto che X si un codice F-mssimle ifisso di F-grdo segue direttmente dl Corollrio Sino A = (Q,1,1) l utom minimle di X ed I(w) l immgine di ϕ A (w) l immgine di w rispetto d A. Sino u F un prol tle che δ X (u) = d ed I = I(u). Per il Lemm si h rnk(u) = d e dunque Crd(I) = d. Considerimo l insieme Y = R F (u) delle prole di primo ritorno di u. Esso è, per il Corollrio 3.3.3, un se del gruppo liero A. Per ogni y Y {z F uz A + u F}, l restrizione ϕ A (y) I, che indicheremo con χ(y) è un permutzione di I. Inftti d uy A + u ottenimo I(uy) I(u) = I e d uy F ottenimo, per l Proposizione , Crd(I(uy)) = d. Dunque I(uy) = I(u) = I. Per ogni permutzione χ(y) esiste un intero k > 0 tle che χ(y) k è l identità su I. Srà dunque possiile trovre un elemento e ϕ A (Y + ) idempotente, tle che χ(e) = (1) I. D ciò e dll definizione di Y ricvimo che ogni elemento sufficientemente lungo di ϕ 1 A (e) Y vrà u come suffisso. In prticolre l immgine di e è contenut in I, ovvero ϕ A (A )e I. Per qunto ppen visto si h ϕ A (u)e = ϕ A (u) e e ϕ A (A u), ovvero elϕ A (u), e dunque edϕ A (u). Quindi e pprtiene ll D-clsse di ϕ A (A ) contenente gli elementi di rngo d in ϕ A (F). Si G = H(e) = G(e) il gruppomssimle in ϕ A (A ) contenente e. Esso è per definizione, meno di equivlenze, G F (X). Estendendo l notzione possimo indicre con χ(y) l restrizione di ϕ A (y) ll insieme I per ogni y Y.

95 4.4. GRADO DI UN GRUPPO SINTATTICO 87 Per ogni y Y, eϕ A (y)e ed e hnno l stess immgine e l stess equivlenz nuclere, dunque, per l Proposizione , H(eϕ A e) = H(e), d cui, in prticolre, eϕ A e G. Dll uguglinz ϕ A (y) I = (eϕ A (y)e) I ricvimo che χ : Y G è un morfismo. Tle morfismo è surgettivo. Inftti, essendo Y un se del gruppo A per il Corollrio 3.3.3, per ogni ϕ A (w) I G, possimo scrivere w = y ε 1 1 yε 2 2 yεn n per opportuni n 0, y i Y ed ε i { 1,+1}. Essendo G un gruppo finito, per ogni y Y si vrà χ(y) 1 χ(y ). Dunque χ(w) = χ(y 1 ) ε 1 χ(y 2 ) ε2 χ(y n ) εn χ(y ), per ogni ϕ A (w) G, ovvero G = χ(y ). Sino B = (R,1,1) l utom minimle di Z e G = ϕ B (A ). Allor G è un gruppo di permutzioni equivlente G(Z). Per dimostrre l tesi srà dunque sufficiente mostrre che G e G sono gruppi di permutzioni equivlenti. Per fr ciò definimo l funzione β : I R come segue. Sino P = XA l insieme dei prefissi propri di X ed S l insieme degli elementi di P che sono suffissi di u. Per il Lemm , per ogni i I esisterà un unico q S tle che i = 1 q. Ponimo β(i) = 1ϕ B (q). Mostrimo che tle funzione è iettiv. Sinoq,t S tliche1ϕ B (q) = 1ϕ B (t)esupponimo q t. Essendo q,t comprili per suffissi vremo t = vq per un opportuno v F. D 1ϕ B (t) = 1ϕ B (v)ϕ B (q) = 1ϕ B (q) e dl ftto che ϕ B (q) è un permutzione ricvimo 1ϕ B (v) = 1, ovvero v Z. Rissumendo v Z F X e dunque v = 1 e q = t. Dunque β è iniettiv. Poiché Crd(R) = Crd(I) = d, lfunzioneènchesuriettiv, dunque iettiv. Verifichimo desso che per ogni i,j I e per ogni y Y vle l doppi impliczione iϕ A (y) = j β(i)ϕ B (y) = β(j) (4.1) Provimo per prim cos l vlidità di 4.1 per y Y. Dl Lemm sppimo che i = 1 q e j = 1 t per oppportuni q,t S. Allor iϕ A (y) = j 1ϕ A (qy) = 1ϕ A (t) qy X t. Inoltre qy, in qunto suffisso di uy con y R F (u) è un elemento di F. Dunque qy X t qy Z t e nlogmente qunto visto sopr qy Z t β(i)ϕ B (y) = β(j).

96 88 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Mettendo insieme le doppie impliczioni precedenti ottenimo proprio l Formul 4.1. Mostrimo desso che se y,z Y verificno 4.1 per ogni i,j I, llor nche yz verific l doppi impliczione. ( ) Supponimo che dti i,j I si i iϕ A (yz) = j. Essendo ϕ A (y) I,ϕ A (z) I permutzioni esisterà un unico k I tle che iϕ A (y) = k e kϕ A (z) = j. Poiché y e z verificno l Formul 4.1, vremo β(i)ϕ B (y) = β(k) e β(k)ϕ B (z) = β(j), d cui β(i)ϕ B (yz) = β(j). ( ) Vicevers, supponimo che β(i)ϕ B (yz) = β(j). Essendo β un iezione tr I ed R, esisterà un unico k I tle che β(k) = β(i)ϕ B (y). Tle k srà dunque tle che β(k)ϕ B (z) = β(j). Per l Formul 4.1 si vrà, quindi, iϕ A (y) = k e kϕ A (z) = j, d cui iϕ A (yz) = j. Dll Formul 4.1 ricvimo che è possiile definire un morfismo α : G G tle che α : g ϕ B (y) dove y Y è tle che g = χ(y) = ϕ A (y) I. Mostrimo che tle morfismo è iettivo. Il morfismo α è iniettivo. Inftti se α(g) = α(g ), sino y,y Y tli che g = χ(y) e g = χ(y ). Allor si vrà ϕ B (y) = ϕ B (y ) e per l 4.1 ciò implicherà χ(y) = χ(y ), ovvero g = g. Il morfismo α è suriettivo. Inftti, essendo Y un se del gruppo liero A per il Corollrio 3.3.3, per ogni A, possimo scrivere = y ε 1 1 yε 2 2 yεn n, per opportuni n 0, y i Y ed ε i { 1,+1}. Dunque ϕ B () = ϕ B (y 1 ) ε 1 ϕ B (y 2 ) ε2 ϕ B (y n ) εn = α(g ε 1 1 gε 2 2 gεn n ) con g i = χ(y i ). Essendo, nlmente, ogni elemento di G prodotto di lettere in A, segue che α è suriettivo. Infine si vede fcilmente dl digrmm in Figur 4.8, che l iezione β e l isomorfismo α verificno l equzione 1.2. y 1 q 1 qy I g I β β 1ϕ B (q) ϕ B (y) 1ϕ B (qy) R α(g) Figur 4.8: L iezione β : I R e l isomorfismo α : G G del Lemm Illustrimo l dimostrzione del Lemm trmite il seguente Esempio. R

97 4.4. GRADO DI UN GRUPPO SINTATTICO 89 Esempio Sino F l insieme di Fioncci e Z il codice di gruppodto d Z = ϕ 1 (0,0) con ϕ : {,} (Z/2Z) (Z/2Z) l funzione definit d ϕ() = (1,0) e ϕ() = (0,1). L utom di gruppo che riconosce Z è rppresentto in Figur 4.9. Intersecndo Z con l insieme di Fioncci ottenimo il codice F-mssimle X = Z F = { 2, 2,, 2,}. L utom minimle di X è rppresentto in Figur Si u = F. Ess h rngo 4 e l su immgine è I = I(u) = {1,2,4,8}. L insieme delle prole di primo ritorno di u è Y = {,} e le permutzioni ottenute per restrizione d I sono χ() = (14)(28) e χ() = (18)(24). L iezione β è definit d β(1) = (0,0), β(2) = (0,1), β(3) = (1,0) e β(4) = (1,1) Figur 4.9: Un utom di gruppo Figur 4.10: Autom minimle del codice F-mssimle di F-grdo 4 ottenuto dell Esempio Simo desso pronti d enuncire il seguente risultto.

98 90 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Teorem Ogni gruppo di permutzioni trnsitivo di grdo d generto d k elementi è un gruppo sintttico di un codice ifisso vente (k 1)d+1 elementi. Dimostrzione. Si G un gruppo di permutzioni trnsitivo di grdo d e si Z un codice di gruppo su un lfeto di A di k lettere tle che G(Z) = G. Sino F A un insieme Sturmino ed X = Z F. Per il Teorem dell Crdinlità 3.1.3, tle insieme vrà crdinlità Crd(X) = (k 1)d+ 1. Applicndo il Lemm otterremo proprio G = G F (X), ovvero l tesi. 4.5 Codici con nucleo vuoto In quest Sezione ci concentreremo sui gruppi sintttici di codici con nucleo vuoto. Vi sono due csi notevoli di codici prefissi con nucleo vuoto: i codici semforo ed i codici infissi. Un codice semforo è un insieme dell form X = A S \A SA + per un qulche insieme non vuoto S A, detto insieme dei semfori per X. L terminologi è giustifict dl ftto che un prol è in X se e solo se ess termin con un semforo, m nessuno dei suoi prefissi propri termin con un semforo. Dunque, leggendo un prol d sinistr verso destr, l pprire di un semforo indicherà che è stt lett un prol del codice. Esempio Sino A = {,} ed S =. Allor l insieme X = A \ A A + = è un codice semforo. Un codice semforo è un codice mssimle prefisso (si ved [4, Proposizione 3.5.1]), dunque completo destr. Vicevers si può dimostrre che un insieme X A è un codice semforo se e solo se verific un delle seguenti condizioni (si ved [4, Proposizione e Proposizione 3.5.6]): (i) X è prefisso e A X XA ; (ii) X è completo destr e X A XA + =. Dll condizione (ii) ricvimo, in prticolre, che i codici semforo hnno nucleo vuoto. Inftti K(X) = X H(X) = X A + XA + X A XA + =. Chimeremo codice infisso un insieme X A tle che nessun prol di X è fttore di un ltr prol di X. Un codice infisso è dunque, per costruzione, un codice ifisso e con nucleo vuoto. Esempio L insieme X = {,,,,,,, } rppresentto in Figur 4.11 è un codice infisso.

99 4.5. CODICI CON NUCLEO VUOTO 91 Figur 4.11: Il codice infisso X = {,,,,,,,}. Riprendimo desso l nozione di interpretzione vist nell Sottosezione Lemm Si X A + un codice con nucleo vuoto. Ogni insieme di interpretzioni indipendenti di un prol w rispetto d X è ciclico. Dimostrzione. Dimostrimo il Lemm per induzione su w. Ilcso w = 0èovviopoichélprolvuothlpiùun interpretzione, ovvero (1, 1), che verific nlmente l proprietà. Si w 1 e supponimo che l proprietà si verifict per tutte le prole di lunghezz l più w 1. Si J = {α 0,α 1,...α n 1 } l insieme delle interpretzioni indipendenti di w ordinto in modo tle che s αi è un prefisso proprio di s αi+1 per ogni 0 i n 2. Considerimo i tre possiili csi. Si s α0 1. Si l prim letter di w. Applicndo l Proposizione ottenimo che J = { 1 α α J} è un insieme di n interpretzioni indipendenti di 1 w. Per l ipotesi induttiv J srà ciclico ed il suo supremum µ = (u 1,u 2,...,u m ) srà n-periodico. L sequenz ν = (u 1,u 2,...,u m ) è il supremum di J e poiché ν è n-periodico, J srà ciclico. Sino s α0 = 1 e f α0 non vuoto. Allor, nlogmente l cso precedente, J = { 1 α α J} è un insieme ciclico di n interpretzioni indipendenti di 1 w con supremum µ = (u 1,u 2,...,u m ). L sequenz ν = (1,u 1,...,u m ) è il supremum di J. Verifichimo che ν è n-periodico.

100 92 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Essendo µ n-periodico si h, per 1 l r m 1, l doppi impliczione u l+1 u l+2 u r X r l = n. Rimne dunque d verificre solo il cso estremle, ossi che u 1 u 2 u r X r = n. È qui che useremo l ipotesi del nucleo vuoto. Provimo che se u 1 u 2 u r X llor r n. Essendo X un codice con nucleo vuoto, nessun prol x X potrà essere un prefissoproprio, di s αi A X per 1 i n 1. Dunqueperr n 2 si h, tenendoconto dell Equzione 1.4, u 1 u 2 u r = s αr / X. Anche il cso estremle è d escludere. Se inftti si vesse u 1 u 2 u n 1 = s αn 1 X, llorα 0 edα n 1 sreeroconnesse in qunto entrme dicenti γ = (1,s αn 1 f αn 1,p αn 1 ). Provimo che se u 1 u 2 u r X llor r n. Essendo J ciclico si h u 2 u 3 u n 1 X e dunque u 2 u 3 u n 1 è il primo termine di f α1. Inoltre, essendo µ un fttorizzzione, u i 1 per ogni 2 i m 1. Il ftto che X i nucleo vuoto ci grntisce che se u 1 u 2 u r X sicurmente non si potrà vere r > n+1. Anche il cso r = n+1 è d escludere. Se inftti si vesse u 1 u 2 u n+1 X, llor α 0 ed α n 1 sreero connesse in qunto entrme dicenti γ = (1,s α1 f α1,p α1 ). Il cso r = n è, invece, possiile poiché u 1 u 2 u n è il primo termine di f α0 e dunque è in X. Sino, infine, s α0 = 1 e f α0 l sequenz vuot. Dunque w = p α0. Inoltre le sequenze f αj sono vuote per ogni 1 j n 1. Inftti, se così non fosse, i termini di f αj, l vrire di j, sreero prefissi propri di p α0 y per un opportun y A + tle che p α0 y X e dunque in K(X). Quindileintepretzioni sonodeltipoα j = (s αj,p αj ), sihp αj = {s αj } per ogni 1 j n 1 è il supremum di J è (u 0,u 1,...u n 1,u n ) con u 0 u 1 u j = s αj per 0 j n 1 ed u n = p αn 1. Per provre che tle fttorizzzione è n-periodic mostrimo che s αj = u 0 u 1 u αj / X per ogni 0 j n 1. Il cso j = 0 è nle poiché, per ipotesi, s α0 = 1. Si 1 j n 2. Se, per ssurdo, s αj X llor esso sree un fttore proprio di zs αn 1 per un opportun z A + tle che zs αn 1 X, contro l ipotesi di K(X) =. Infine, se s αn 1 = u 0 u 1 u n 1 fosse un elemento di X, llor α 0 ed α n 1 sreero entrmi dicenti γ = (1,s αn 1,p αn 1 ) e dunque connesse.

101 4.5. CODICI CON NUCLEO VUOTO 93 Sostituendo nel Lemm l ipotesi di indipendenz con l più deole ipotesi di disgiunzione tr le interpretzioni, l tesi non è più verifict, come mostrto nel seguente Esempio. Esempio Considerimo il codice X = {,,,, } dell Esempio EssohnucleoK(X) =. Comegiàvisto, J ={(,,), (1,,,1) } è un insieme di interpretzioni disgiunte di w =. Il supremum di J è l fttorizzzione (1,,,,,1) che non è 2-periodic in qunto X è un prodotto di tre termini di tle fttorizzzione. Tornimo desso llo studio dei gruppi sintttici. Proposizione Sino X A + un codice, A un utom semplice e non miguo che riconosce X e G un gruppo tle che G ϕ A (X ). Allor G ϕ A (X ) è un sottogruppo di G. Dimostrzione. È un risultto noto che il sottomonoide ϕ A(X ) è stile. Sino u G ϕ A (X ), 1 G l elemento neutro di G e v l inverso di u in G. D u1 G = 1 G u = u e d uv = uv = 1 G ricvimo rispettivmente che 1 G e v sono elementi di ϕ A (X ). Dunque G ϕ A (X ) G. Sino X un codice ed A un utom semplice e non miguo tle d riconoscere X. Si può dimostrre che ϕ A (A \ H(X)) è un idele. D ciò si ricv che per ogni gruppo G contenuto in ϕ A (A ) si h l doppi impliczione G ϕ A (A \H(X)) G ϕ A (A \H(X)). Nel cso X si un codice prefisso e G un gruppo sintttico di X, diremo che G è proprio se G ϕ A (A \ H(X)) o equivlentemente, per qunto ppen visto, se esiste un prol w H(X) tle che ϕ A (w) G. Osservzione Un gruppo proprio non è, in generle, trnsitivo. Di seguito ci srà utile il seguente Lemm. Lemm Sino X A + un codice, A = (Q,1,1) un utom semplice e non miguo tle d riconoscere X, G un gruppo contenuto in ϕ A (A \ H(X)) ed I l immgine comune degli elementi di G. Per ogni g G, w ϕ 1 A (g) \H(X) e q I esiste un unic interpretzione α q di w tle che esistno dei cmmini q sαq 1 e 1 pαq qg che sino semplici o nulli. Inoltre l insieme J = {α q q I} è formto d interpretzioni indipendenti. w Dimostrzione. Considerimo un cmmino q qg con g,w,q come d ipotesi. Essendo A trim, esisternno f,h A tli che 1 f f e qg h 1.

102 94 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Poiché w / H(X), esisterà un interpretzione α q di w tle che q sαq 1 e 1 pαq qg sono o semplici o nulli. Tle interpretzione srà unic. Inoltre le interpretzioni α q, l vrire di q I, sono tr loro indipendenti. Supponimo, inftti, vi sino due stti p,q I tli che esistno u,v A e x X con w = uxv, u P(α p ) e ux P(α q ). Allor vi srnno due cmmini p u 1 xv pg e q ux 1 v qg il che implic l esistenz di un u x v cmmino p 1 1 qg (si ved Figur 4.12). Ovvero pg = qg. Essendo g un permutzione su I, ciò forz p = q. p pg u x v q x 1 qg Figur 4.12: Le interpretzioni α p ed α q sono indipendenti. Lemm Sino X A + un codice con nucleo vuoto ed A = (Q,1,1) un utom semplice e non miguo che riconosce X. Ogni gruppo contenuto in ϕ A (A \H(X)) è ( meno di isomorfismi) tle che l su intersezione con ϕ A (X ) è non null. Dimostrzione. Si G ϕ A (A \ H(X)) un gruppo. Escludimo il cso nle in cui G si composto dll sol relzione vuot, per cui non vi sree null d provre. Considerimo un elemento w ϕ 1 A (1 G)\H(X). Essendo 1 G diverso dll relzione vuot, esso fisserà lmeno un elemento q Q. Poiché A è trim, esisternno delle prole u,v A tli che 1 u q v e q 1, d cui ricvimo uwv X. Non essendo w un fttore interno di X, esisternno delle prole t,z A tli che w = tz con ut,zv X. t Dunque si vrnno i cmmini q 1 e 1 z q, ovvero zt X. Per l Proposizione , l insieme ϕ A (z)gϕ A (t) è un gruppo isomorfo G. Inoltre l su intersezione con ϕ A (X ) è non vuot poiché ϕ A (z)1 G ϕ A (t) = ϕ A (zt) ϕ A (z)gϕ A (t) ϕ A (X ). Dunque possimo ssumere che G ϕ A (X ). Simo desso pronti dre il seguente risultto. Teorem Sino X A + un codice con nucleo vuoto ed A = (Q,1,1) un utom semplice e non miguo che riconosce X. Ogni gruppo contenuto in ϕ A (A \H(X)) è un gruppo ciclico finito e regolre. Dimostrzione. Si G ϕ A (A \ H(X)) un gruppo. Per il Lemm possimo supporre che G ϕ A (X ).

103 4.5. CODICI CON NUCLEO VUOTO 95 Dll Proposizione ricvimo che G ϕ A (X ) G. Ciò implic, in prticolre, che 1 G ϕ A (X ) e dunque 1 G I, con I l immgine comune degli elementi di G. Si w ϕ A (1 G ) \ H(X). Per il Lemm 4.5.7, w h un insieme J = {α q q I} di interpretzioni indipendenti tli che q sαq 1 e 1 pαq q sino cmmini semplici o nulli. Ponimo, per semplicità, s q = s αq, f q = f αq, x q = c(f q ) e p q = p αq (si ved Figur 4.13). q q s q x q p q Figur 4.13: Le interpretzioni α q con q I. Essendo le interpretzioni due due disgiunte, l funzione q s q è iniettiv. Dunque I è un insieme finito e così lo è G. Ponimo I = {1,2,...,n} ed ordinimo gli stti in modo che s i si un prefisso proprio di s i+1 per ogni 1 i n 1. Per ogni 1 i n si vrà w = s i x i p i, con x i = c(f i ). Dimostrimo che tutti gli elementi di G sono potenze dell permutzione σ = (12 n). Si γ = (v 1,v 2,...,v l ) il supremum di J. Poiché s 1 = p 1 = 1 si h v 1 = v l = 1. Per ogni 1 i j l 1 si h s i = v 1 v 2 v i, x i = v i+1 v i+2 v j, p i = v j+1 v j+2 v l. (4.2) Dl Lemm ricvimo che J è ciclico e dunque γ è n-periodico. Inoltre, per l Equzione 1.5 e l Proposizione , j 1 l 2 0(modn). (4.3) Considerimo un elemento g G. Per ogni prol z ϕ 1 A (g) si h ϕ A (wzw) = g. Per il Lemm l prol wzw h un insieme K = {β i 1 i n} di interpretzioni indipendenti tli che i cmmini i s β i p βi 1 e 1 ig sino semplici o nulli. Possimo dunque decomporre w z il cmmino i i ig w ig come i s 1 x 1 i p i z 1 i ig s ig 1 x ig 1 p ig ig. Dunque l sequenz (s i,x i p i zs ig x ig,p ig ) è un interpretzione di wzw.

104 96 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI s 1 x i p i zs ig x ig p ig w z w Figur 4.14: Un interpretzione di wzw. s Dll unicità di β i e dl ftto che i cmmini i i p ig 1 e 1 ig sino semplicionulli, ottenimoches βi = s 1, c(f βi ) = x i p i zs ig x ig ep βi = p ig (si ved Figur 4.14). In prticolre si h p i zs ig X per ogni i I. Il supremum di K srà dell form δ = (v 1,v 2,...,v l 1,u 1,u 2,...,u m,v 2,v l ) perqulchem > 0equlcheu i,u 2,...,u m A + tlichez = u 1 u 2 u m. Inftti i primi l 1 termini di γ coincidono coi primi l 1 termini di δ, mentre il termine di posto l di γ è 1 / A + e per questo non è presente in δ. Anlogmente per gli ultimi l 1 termini di γ che coincidono con gli ultimi l 1 termini di δ mentre non ppre v 1 = 1 sinistr di v 2. Per l Equzione 4.2 si h dunque, per ogni 1 i n, p i zs ig = v j+1 v j+2 v l 1 u 1 u 2 u m v 2 v 3 v ig. Dunque, poiché c(f βi ) = x i (p i zs ig )x ig, ottenimo µ(β i,k) = µ(α i,j)+ν(α i,j)+m+λ(α ig,j)+µ(α ig,j). Essendo, per l Proposizione , µ(α i,j) µ(α ig,j) 0(mod n), si ottiene µ(β i,k) l j 1+m+ig 1(modn). Dll n-periodicità di δ ricvimo, inoltre, che l j 1 + m + ig 1 0(modn). Per qunto già visto nell Equzione 4.3 si h l 2(mod0) e i j(modn), e quindi i+m+ig 0(modn). Dunque ig i m(modn). Poiché già vle per ogni 1 i n, possimo concludere che g = σ m. Dunque G è incluso nel gruppo ciclico σ. Poiché ogni sottogruppo di un gruppo ciclico e regolre è nch esso ciclico e regolre, l tesi è verifict.

105 4.5. CODICI CON NUCLEO VUOTO 97 Dl Teorem precedente ricvimo il seguente notevole risultto. Corollrio Sino X A + un codice finito con nucleo vuoto ed A un utom semplice e non miguo tle d riconoscere X. Ogni gruppo in ϕ A (A ) è ciclico e regolre. Dimostrzione. Poiché X è finito, l idele ϕ A (A \ H(X)) contiene tutti i gruppi diversi d 1 e ϕ A (A ). L tesi segue dunque dl Teorem Il Corollrio può essere riformulto, nel cso di codici prefissi, nel seguente Teorem. Teorem Si X A + un codice prefisso con nucleo vuoto. Ogni gruppo sintttico proprio di X è un gruppo ciclico, finito e regolre. Esempio L insieme X = {,,,} è un codice infisso. L utom minimle A di X è rppresentto in Figur Il monoide di trnsizione ϕ A (A ) contiene gruppi ciclici di ordine 1, 2 e 3. Ad esempio, ϕ A () contiene il ciclo (134), mentre ϕ A () contiene (12) Figur 4.15: L utom minimle A(X ), con X = {,,,}. Notimocheperogniprolw ( )sihϕ A (w) St({1,2}) e w definisce un gruppo ciclico di ordine 2 (si ved Figur 4.16). Ciò nonostnte l insieme ( ) è un sottomonoide che non solo non è ciclico, m non è nenche finitmente generto. 3 {3,4} {1,5} {1,2} {1,4} {1,3} {2,5} Figur 4.16: Azione di A sui 2-sottoinsiemi rggiungiili d {1,2}.

106 98 CAPITOLO 4. GRUPPI SINTATTICI Esempio Il codice X = {,,,,,,, } dell Esempio è infisso. L utom minimle di X è rppresentto in Figur Il monoide di trnsizione ϕ A (A ) contiene gruppi ciclici di grdo 1, 2, 3 e 4. Ad esempio, ϕ A () contiene il ciclo (123), mentre ϕ A () contiene l permutzione (1 6)(2 3) , Figur 4.17: Un codice infisso di grdo 4 ed ordine 2. Considerimo il gruppo G contenente ϕ A (). Esso è un gruppo non trnsitivo di grdo 4 ed ordine 2. Inftti, l elemento neutro di G è e = ϕ A () ed il suo insieme di punti fissi è {1,2,3,6}. G è composto dll identità (1) e dll permutzione (1 6)(2 3).

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