Analisi del campo di moto intorno al profilo Joukowski

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1 ta Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Aerospaziale Corso di GASDINAMICA Docente: Prof. Amilcare POZZI Analisi del campo di moto intorno al profilo Joukowski Allievi: CIAMPA Donato Matr.: 347/447 MARROCCO Giuseppe Matr.: 347/658

2 Introduzione Questa tesina vuole avere, quale suo principale scopo, quello di descrivere il modo in cui si può affrontare lo studio di un campo di moto non viscoso. Attraverso l utilizzo di un software realizzato ad hoc per l applicazione presa in esame, mostreremo i risultati numerici ottenuti. Il software è stato realizzato con l ausilio di Matlab sviluppando la teoria analitica fornita dal corso di Gasdinamica. L elaborato fornirà brevi cenni della teoria alla base dell applicazione in esame e fornirà i risultati numerici, riporteremo i valori dei due particolari profili assegnati dal docente in modo da evidenziare i diversi risultati ottenuti. E stato assegnato lo studio del campo di moto intorno a due diversi profili Joukowski dalle seguente caratteristiche: Profilo Joukowski A: Dati Geometrici: - Corda Profilo 1m - Freccia Profilo 4% - Spessore Profilo 1% Dati Fisici: - Velocità asintotica 5 m/s - Angolo di incidenza 11 - Densità 1.5 Kg/m 3 Profilo Joukowski B: Dati Geometrici: - Corda Profilo 1m - Freccia Profilo 3% - Spessore Profilo 5% Dati Fisici: - Velocità asintotica 4 m/s - Angolo di incidenza 14 - Densità 1.5 Kg/m 3 Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe

3 Analisi preliminare del problema Facciamo le ipotesi di moto stazionario ed assenza di effetti dissipativi: il moto risulta così irrotazionale; aggiungiamo ora l ipotesi di fluido incomprimibile: il campo di velocità risulta anche solenoidale; possiamo, quindi, scrivere le equazioni seguenti: rotv divv = = Per la prima condizione risulta che il campo di moto deve ammettere un potenziale scalare, ovvero: V = gradϕ Sostituendo questo risultato nelle precedenti espressioni, la prima equazione è automaticamente soddisfatta ( il rotore di un gradiente è nullo ), mentre la seconda equazione ci fornisce un risultato importante, ovvero ci informa del fatto che il potenziale scalare del campo di velocità soddisfa l equazione di Laplace: ϕ = Analogamente, dalla seconda condizione si ricava che il vettore velocità deriva da un vettore A, ovvero: V = rot A Essendo il campo di moto che andiamo ad analizzare bidimensionale piano, è possibile porre A = ψ k, con k versore normale al piano del moto. Sostituendo nella prima espressione ( la seconda è automaticamente soddisfatta ), si ottiene un altro importante risultato, ovvero troviamo che la ψ, che chiameremo funzione di corrente ( nell ipotesi che il moto sia bidimensionale piano ), soddisfa l equazione di Laplace, proprio come il potenziale scalare φ: ψ = Ricordiamo allora che l equazione di Laplace è un equazione differenziale a derivate parziali del secondo ordine lineare ed ellittica, quindi per risolvere il nostro problema fluidodinamico retto da questo tipo di equazioni, abbiamo bisogno di imporre le giuste condizioni al contorno. Un problema retto da un equazione ellittica ha bisogno di condizioni imposte lungo una curva chiusa che costituisce la frontiera del nostro dominio; nel nostro caso il dominio è quella porzione di piano che si estende tra la frontiera del corpo e l infinito ( il campo di moto è esterno ), per cui le condizioni sono, indicando con r il vettore posizione con origine in un punto del corpo: Sul corpo: n gradϕ = V n = All infinito: gradϕ lim = ir Le funzioni che soddisfano l equazione di Laplace vengono dette armoniche. Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 3

4 Consideriamo ora una funzione di variabile complessa f(z) ; essa si dice analitica se è derivabile in tutto il suo dominio, il che si verifica se e solo se la sua parte reale e quella immaginaria soddisfano le Condizioni di Cauchy-Riemann, ovvero: ϕ = ψ x y y ϕ = ψ x Questo tipo di funzioni è molto importante in quanto esse godono di alcune proprietà che ci possono essere utili: La parte reale e quella immaginaria sono entrambe armoniche e quindi soluzioni dell equazione di Laplace Una funzione di una funzione analitica è a sua volta analitica Per risolvere, dunque, un determinato problema retto dall equazione di Laplace, come avviene ad esempio nel nostro caso, basta determinare una funzione f ( z) = ϕ ( x, y) + iψ ( x, y), che diremo potenziale complesso la cui parte reale, o il cui coefficiente dell immaginario soddisfi le condizioni al contorno. Questa ricerca può non essere semplice, in quanto la curva che definisce il nostro dominio può crearci alcuni problemi, sia perchè in generale può avere una definizione complicata. Per semplificare il problema, allora, si può ricorrere alla tecnica delle trasformazioni conformi. Questa tecnica consiste nel trovare una funzione analitica Z(z) che trasformi conformemente il nostro dominio D in un secondo dominio, che chiameremo T (da trasformato ), in cui sia più agevole trovare la funzione f(z). Attraverso questa trasformazione l equazione di Laplace nelle variabili x ed y viene trasformata in una equazione di Laplace nelle variabili X ed Y. Nel nostro caso la tecnica illustrata determina due funzioni analitiche: Z(z) che trasforma il profilo in un cerchio F(Z) che definisce il potenziale complesso nel nuovo piano Applichiamo questa tecnica perché oltre a semplificare il dominio e il corpo stesso mantiene inalterate le condizioni al contorno rendendole valide in entrambi i piani. Ricordiamo che una importante caratteristica delle trasformazioni conformi è che queste consentono di stabilire ad arbitrio la corrispondenza tra tre punti; noi sfruttiamo questa particolare caratteristica per far corrispondere ai punti di ristagno sul profilo nel piano fisico con i punti B 1 (b,) e B (-b,). Studio del problema nel piano di comoda trattazione, trasformazione nel piano fisico Il potenziale complesso Il potenziale complesso di un moto con circolazione non nulla intorno ad un cerchio di raggio a e centro C in Z di una corrente di velocità con modulo V inclinata di un angolo α rispetto alla direzione orizzontale è espresso dalla funzione: iα α a e Γ Z Z F( Z) = V e ( Z Z ) + i log Z Z π a i Essa soddisfa l equazione di Laplace e le condizioni al contorno: - il corpo è linea di corrente - all infinito la corrente è imperturbata Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 4

5 Osserviamo che il valore del potenziale dipende da quello della circolazione, per cui al variare di questa esso assume infiniti valori e quindi il problema ammette infinite soluzioni: la condizione di Kutta ci consente di eliminare questa indeterminazione, fissando il punto di ristagno posteriore sul bordo di uscita. La condizione di Kutta ci dice che la velocità sul bordo di uscita è continua, in particolare è nulla per bordi aguzzi e finita per bordi a cuspide. Di seguito riportiamo le espressioni della funzione potenziale e della funzione di corrente: a ϕ = V R + cos R a ψ = V R sin R ( σ α ) Γ π Γ π R a ( σ α ) + log La velocità complessa Derivando l espressione del potenziale complesso ottengo la velocità complessa W c : W ( Z) = V e c con: ζ = ae i i α Γ A = 4πV a iα ( Z Z ζ 1)( Z Z ζ ) ( Z Z ) ( ia ± 1 A ) I punti di ristagno sulla circonferenza sono definiti come quei punti in cui la velocità complessa si annulla: nel caso in cui la quantità 1-A è non negativa questi punti si trovano sulla circonferenza, e sono individuati dalle espressioni: iσ Punto di ristagno anteriore: ζ = ae iσ1 Punto di ristagno posteriore: ζ 1 = ae Gli angoli σ i individuano la posizione angolare dei detti punti sulla circonferenza, e soddisfano le relazioni: Γ sin( α σ1) = 4πaV σ = α σ + π 1 Osserviamo che la prima relazione lega indissolubilmente il punto di ristagno anteriore alle grandezze cinematiche e geometriche del problema. Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 5

6 La funzione di trasformazione La funzione z(z) che ci consente di passare dal cerchio al piano fisico è, nel nostro caso: z = Ζ + b Ζ Che trasforma un cerchio in un profilo alare, detto di JOUKOSWKI. I parametri liberi ( valore di b, raggio e coordinate del centro del cerchio ) sono legati ai fattori geometrici del profilo. Il nostro è un profilo sottile, per cui valgono le seguenti relazioni: b =.5L a = b s L f f = b tan( σ 1 ) σ 1 = arctan b Con le informazioni che ricaviamo applicando le formule su scritte possiamo valutare i valori della circolazione e della posizione angolare del punto di ristagno posteriore sulla circonferenza: Γ = 4πaV sin σ = α σ + π 1 ( α σ ) 1 Relazioni che definiscono il cerchio generatore Il cerchio generatore nel piano trasformato è definito dalle equazioni parametriche: X Yc = X + a cosσ, σ = Y + a sinσ c σ σ + π Ove X ed Y sono le coordinate del centro: X = b a cosσ 1 Y = asenσ 1 Nel nostro caso abbiamo ricavato i seguenti valori e quindi abbiamo disegnato il cerchio generatore relativo. Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 6

7 Figura 1 - Cerchio nel dominio di comodo - Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 7

8 Figura - Cerchio nel dominio di comodo - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 8

9 Figura 3 - Profilo Joukowski - Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 9

10 Figura 4 - Profilo Joukowski - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 1

11 Figura 5 - Profilo Joukowski Freccia Max - Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 11

12 Figura 6 - Profilo Joukowski Freccia Max - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 1

13 Linee di corrente Infine, desideriamo disegnare le linee di corrente intorno al profilo. Per farlo bisogna disegnare le curve definite dalla relazione: ψ ( X, Y ) = k Nel piano di comoda trattazione, e poi trasportarle nel piano fisico esplicitando la relazione: ψ ( X ( x, y), Y ( x, y) ) = k Nel piano trasformato la funzione di corrente è espressa dalla parte immaginaria della funzione potenziale complesso: ψ = a Γ R R π a ( R, σ ) V R sin( σ α ) + log Imponendo il passaggio di una linea di corrente per un particolare punto troviamo il valore della costante per quella particolare linea di corrente; esplicitando poi R in funzione di σ, troviamo l espressione di quella linea di corrente; definendo poi un troviamo il valore delle due linee di corrente successive ( una corrispondente al valore c+, l altra a c- ), che andiamo a disegnare ancora esplicitando una variabile in funzione dell altra, e così via La differenza tra i valori della funzione di corrente assunti in due punti A e B, rappresenta la portata volumetrica attraverso un qualsiasi arco di curva, compreso tra i due punti suddetti. Per costruire le linee di corrente, dunque, conviene scegliere un incremento costante, che ci darà anche un idea di come varia la velocità nel campo. Nel nostro caso abbiamo =. Ottenute le linee di corrente nel piano trasformato le trasportiamo come illustrato nel piano fisico. Osserviamo che, in particolare, la linea di corrente sul corpo corrisponde al valore =, e questa stessa linea di corrente è ortogonale al corpo ( circonferenza e /o profilo ) in corrispondenza del punto di ristagno. I risultati cui siamo giunti sono: Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 13

14 Figura 7 - Linee di corrente sul cerchio - Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 14

15 Figura 8 - Linee di corrente sul cerchio - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 15

16 Figura 9 - Linee di corrente sul Profilo - Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 16

17 Figura 1 - Linee di corrente sul profilo - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 17

18 Figura 11 - Linee di corrente particolare del punto di ristagno - Esercizio A Figura 1 - Linee di corrente particolare del punto di ristagno - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 18

19 Figura 13 Linee di corrente particolare del punto singolare - Esercizio A Figura 14 - Linee di corrente particolare del punto singolare - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 19

20 Modulo della velocità sulla circonferenza e sul profilo Per calcolare il modulo della velocità nel moto intorno al cerchio, nota la velocità complessa W c, si tiene presente che il modulo di un prodotto è esattamente uguale al prodotto dei moduli. Sul cerchio, per R=a, si ottiene: V c = σ σ1 σ σ V sin sin 4 I punti in cui la trasformazione non è conforme, se appartenenti al piano trasformato, devono essere punti di ristagno nel piano trasformato Z; infatti, essendo la velocità complessa sul profilo data da : w df df dz = = dz dz dz p = W c dz dz I punti di ristagno sono quei punti in cui si annulla la velocità complessa, come risulta analizzando l espressione della derivata Z (z); poiché gli unici due punti di ristagno si trovano sulla circonferenza di raggio a, allora i punti singolari devono coincidere entrambi con questi, in alternativa, uno solo coincide con un punto di ristagno, e l altro è interno al cerchio. Essendo b minore del raggio a, ed avendo scelto la circonferenza in modo che passi per il punto (b,), il quale coincide con il bordo di uscita del profilo, l unico punto che può essere interno alla circonferenza è (-b,). La condizione secondo cui il punto (b,) coincide con il punto di ristagno posteriore ( che per la condizione di Kutta si colloca al bordo di uscita ) consente di fissare il valore della circolazione in maniera univoca. Il modulo della velocità V p sul profilo è dato da: V p = V c H ( a, σ ) Con Η dz ( a, σ ) = = 1 b dz Ζ Per calcolare H si pone Z=re iθ con b 1 =b/r e si ottiene la seguente formula: Η = 4 1+ b1 b 1 cos θ Y + Rsinσ Dove θ = arctg e X + R cosσ b 1 = X + Y + R + b ( X cosσ + Y sinσ ) R Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe

21 Figura 15 - Profili di velocità sul profilo La scala a sinistra indica la velocità dimensionale, la scala a destra la velocità adimensionale- Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 1

22 Figura 16 - Profili di velocità sul profilo La scala a sinistra indica la velocità dimensionale, la scala a destra la velocità adimensionale - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe

23 Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 3 Profilo di pressione sulla circonferenza e sul profilo Noto il campo di velocità V p sul profilo possiamo calcolare il campo di pressione mediante l applicazione del teorema di Bernoulli: 1 cos 1 1 p p V p p C t V p V p ρ ρ ρ = = + = + La pressione viene valutata prima sulla circonferenza, poi con la trasformazione conforme viene riportata sul profilo. Osservando il profilo del coefficiente di pressione, troviamo che esso è massimo in corrispondenza del punto di ristagno, ed il suo valore è più elevato sul ventre che sul dorso. Per il ventre: Per il dorso: = V V o pv C pv 1 1 = V V C o pd pd Dove: H V V c p = ; = sin sin 4 1 σ σ σ σ V V o c ed Ζ Η = 1 b

24 Figura 17 - Coefficente di pressione lungo l ascissa curvilinea - Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 4

25 Figura 18 - Coefficente di pressione lungo l ascissa curvilinea - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 5

26 Figura 19 - Coefficente di pressione in coordinate cartesiane - Esercizio A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 6

27 Figura - Coefficente di pressione in coordinate cartesiane - Esercizio B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 7

28 Azioni aerodinamiche Le azioni esercitate dal fluido sul profilo in moto o in quiete si concretizzano in un sistema di sforzi superficiali agenti sulla superficie del corpo esposta al fluido. La risultante di tale sistema di forza può esser valutata calcolando l integrale delle forze di pressione. L azione aerodinamica agente sul corpo è : F = S ( p p ) nda Possiamo valutare questa quantità pennellando il profilo; scelto un numero N=63 pannelli in cui suddivido il corpo, la forza sul singolo pannello è df = ( p p ) nda Con da = l ds Proiettando sulle due direzioni coordinate si ottiene: dfx ( k) = dfy ( k) = Da cui, sommando: ( p p ) sin α ds = ( p p )( yk + 1 yk ) ( p p ) cosα ds = ( p p )( x x ) k + 1 k F x = N k = 1 N dfx ( k) Fy = dfy ( k) k = 1 Ricordando che la portanza è l azione aerodinamica ortogonale alla direzione della velocità, e la resistenza quella parallela, otteniamo: L = F sinα + F x D = F cosα F x y cosα y sinα A questo punto possiamo valutare i coefficienti aerodinamici: C C l d = = L.5ρV D.5ρV c c La portanza può essere calcolata anche applicando la formula di Kutta: L = ρ ΓV Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 8

29 Possiamo valutare l errore percentuale compiuto valutando la portanza con la pannellazione piuttosto che con la formula di Kutta, e troviamo che i due risultati sono pressoché identici, i quanto l errore percentuale è trascurabile. L errore percentuale viene valutato con la formula: ε = L k L L k p 1 Valori emersi dalla analisi appena eseguita ESERCIZIO A Dati geometrici: Lunghezza del profilo L=1 [m] Freccia del profilo f=.4 [m] Spessore del profilo s=.1 [m] Perimetro del profilo.437 [m] Parametro b=.5 [m] Angolo di portanza nullo σ 1 = Raggio della circonferenza a=.695 [m] Centro della circonferenza Xo= Yo=.1471 Dati del campo fluidodinamico: Velocità asintotica Vo= 5[m/s] Densità dell'aria ρ= 1.5[Kg/m 3 ] Angoli di attacco α=11 Temperatura ambiente T= 5 [C] Velocità del suono a_o= [m/s] Numero di Mach, M= <<1 Dati del campo per α = 11[ ] Vorticità Γ= [m /s] Punto di ristagno anteriore σ = Portanza L= [N/m] Forza normale N= [N/m] Coefficiente di portanza Cl= Coefficiente di forza normale Cn= Velocità al bordo d'uscita V u =44.77 [m/s] Angolo al bordo d'uscita α u = Confronto tra la forza aerodinamica calcolata in modo esatto e, la forza aerodinamica calcolata in modo approssimato al variare del passo Il tutto per α=11 : Fesatta= [N/m] Passo Dx=.3 Fapprox= [N/m] con un errore di.51511[%] Passo Dx=.6 Fapprox= [N/m] con un errore di.53545[%] Passo Dx=.9 Fapprox= [N/m] con un errore di.66437[%] Passo Dx=.1 Fapprox= [N/m] con un errore di.661[%] Passo Dx=.15 Fapprox= [N/m] con un errore di.714[%] Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 9

30 Valori emersi dalla analisi appena eseguita ESERCIZIO B Dati geometrici: Lunghezza del profilo L=1 [m] Freccia del profilo f=. [m] Spessore del profilo s=.5 [m] Perimetro del profilo.136 [m] Parametro b=.5 [m] Angolo di portanza nullo σ 1 = -.98 [ ] Raggio della circonferenza a=.596 [m] Centro della circonferenza Xo= Yo=.1377 Dati del campo fluidodinamico: Velocità asintotica Vo= 4[m/s] Densità dell'aria ρ = 1.5[Kg/m 3 ] Angoli di attacco α=[14 ] Temperatura ambiente T= 5 [C] Velocità del suono a_o= [m/s] Numero di Mach M= <<1 Dati del campo per α= 14[ ] Vorticità Γ = [m /s] Punto di ristagno anteriore σ = Portanza L= [N/m] Forza normale N= [N/m] Coefficiente di portanza Cl= Coefficiente di forza normale Cn= Velocità al bordo d'uscita Vu= [m/s] Angolo al bordo d'uscita α u = Confronto tra la forza aerodinamica calcolata in modo esatto e, la forza aerodinamica calcolata in modo approssimato al variare del passo Il tutto per α=14 : Fesatta= [N/m] Passo Dx=.3 Fapprox= [N/m] con un errore di.53784[%] Passo Dx=.6 Fapprox= [N/m] con un errore di.5393[%] Passo Dx=.9 Fapprox= [N/m] con un errore di.54564[%] Passo Dx=.1 Fapprox= [N/m] con un errore di.59537[%] Passo Dx=.15 Fapprox= [N/m] con un errore di 1.418[%] Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 3

31 Figura 1 - Errore percentuale al variare del passo - Esercizo A Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 31

32 Figura - Errore percentuale al variare del passo - Esercizo B Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 3

33 Conclusioni Non è proponibile un vero e proprio confronto tra i due esercizi. I dati geometrici efisici di partenza sono differenti. Mostrando contemporaneamente i risultati delle due applicazioniabbiamo voluto sottolineare i diversi risultati ottenuti e quindi la buona funzionalità del software da noi realizzato.dall osservazione dei grafici ottenuti con l'utilizzo del nostro software, abbiamo verificato come al variare di freccia e spessore del profilo, il centro del cerchio di comoda trattazione si spostiin base alle condizioni imposte sia dalla Condizione di Kutta che dalle costanti utilizzate per la trasformazione stessa. Si può inoltre notare come, indipendentemente dalle caratteristiche geometrichedel profilo, all'aumentare dell'angolo d'attacco il punto di ristagno anteriore (esempio A α = 11 ) indietreggi verso il bordo d'uscita (esempio B α=14 ). Negli zoom si può inoltre notare come le tangenti alla linea di corrente e al profilo siano perpendicolari tra di loro. Un altro confronto possibile è dato dalle velocità del fluido intorno al profilo. Tenendo sempre presente che le velocità asintotiche sono diverse, tale confronto si può effettuare al picco di espansione, dove il caso A con una Vo=5[m/s] ha una velocità di circa 16[m/s], mentre nel caso B, con una Vo di 4[m/s], il flusso accelera fino alla velocità nel picco di circa 3[m/s]. Terminando il confronto tra le velocità possiamo notare che un profilo più sottile, pur avendo un'angolazione maggiore e una velocità minore presenta un decremento inferiore della velocità nel punto di uscita. Infatti, per la condizione di Kutta, la velocità di uscita per profili Jouwkowski non si annulla e presenta un decremento percentuale rispetto alla velocità asintotica del 7.57% (Vu= [m/s]) contro un decremento del 1.56% (Vu=44.77[m/s]). L'ultimo confronto che si può effettuare è tra i coefficienti di pressione; si può notare come il picco di depressione aumenti all'aumentare dell'inclinazione (-Cp =1 nel caso A e -Cp = 5 nel caso B) e come la portanza diminuisca con una variazione di angolo d'attacco e velocità asintotica. In conclusione possiamo affermare che, pur effettuando il confronto tra due profili della stessa famiglia, ma di diverso spessore e curvatura, abbiamo potuto notare che il software da noi approntato per risolvere il moto intorno al profilo ha verificato le nostre aspettative in merito ai risultati. Allievi: Ciampa Donato Marrocco Giuseppe 33