CAPITOLO 5 CORRENTE ELETTRICA

CAPITOLO 5 CORRENTE ELETTRICA

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 2 Conduzione elettrica Materiali conduttori SOLIDI: Costituiti da un reticolo spaziale Ai vertici: ioni positivi All interno: movimento libero degli elettroni Parametro caratteristico per molti metalli: 29 elettroni Numero di portatori di carica n 10 m 3 Moto degli elettroni liberi in un conduttore metallico: Completamente disordinato e casuale Velocità media NULLA: v m = 1 N i v i = 0 NON esiste una direzione di moto preferenziale per gli elettroni

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 3 Conduzione elettrica Collegamento di due conduttori C 1 e C 2, a potenziali V 1 e V 2 diversi Condizione di equilibrio: conduttori allo stesso potenziale V Per raggiungere l equilibrio: Passaggio di elettroni dal conduttore a potenziale minore a quello a potenziale maggiore, sotto l azione del campo elettrico E (dovuto alla d.d.p. ΔV = V 2 V 1 ) Moto ORDINATO di elettroni in una certa direzione CORRENTE ELETTRICA Tale fenomeno è un esempio di CONDUZIONE ELETTRICA

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 4 Conduzione elettrica Occorre disporre di un dispositivo capace di MANTENERE UNA D.D.P., quindi un campo elettrico, tra due conduttori a contatto, o tra due punti dello stesso conduttore Così facendo il flusso di elettroni può durare per molto tempo GENERATORE DI FORZA ELETTROMOTRICE Cella o pila voltaica Energia chimica o meccanica trasformata in elettrica Simbolo nei circuiti Estremità A e B sono dette POLO POSITIVO e POLO NEGATIVO B + A

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 5 Corrente elettrica Si consideri una porzione di un conduttore dove sia presente un campo elettrico E, prodotto da un generatore di f.e.m., e si consideri il movimento di n + portatori di carica +e per unità di volume Movimento dovuto all azione della forza elettrica F = ee v D : velocità dei portatori sotto l azione della forza elettrica o VELOCITÀ DI DERIVA Lungo la direzione del campo

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 6 Corrente elettrica Si considerino Una supeficie cilindrica infinitesima di sezione Σ all interno del conduttore Si definisce quindi l INTENSITÀ DI CORRENTE come la quantità di carica q che transita attraverso Σ nel tempo Δt: i = lim Δt 0 Δq Δt = dq dt + + + + + + + Σ E v D

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 7 Corrente elettrica Si consideri quanta carica passa attraverso la superficie infinitesima dσ la cui normale u n formi un angolo con il campo elettrico E (e con la velocità di deriva v D ) in un intervallo di tempo Δt: Carica contenuta nel volume infinitesimo dτ = v D Δt dσ cos θ: Δq = n + e dτ Intensità di corrente: di = Δq Δτ = n + e v D dσ cos θ E + + + dσ + v D Δx = v D Δt u n E

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 8 Corrente elettrica Definizione di DENSITÀ DI CORRENTE Da cui: j = n + e v D di = j u n dσ Integrando si ottiene l INTENSITÀ DI CORRENTE: i = Σ j u n dσ Flusso del vettore densità di corrente attraverso la superficie Σ Se Σ è ortogonale a j (ovvero u n j), dunque a v D, e j ha lo stesso valore in tutti i punti di Σ, si ottiene: i = j Σ j = i Σ

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 9 Corrente elettrica Se i portatori sono negativi, allora + v + j = n e v In generale, quando vi sono più portatori di carica j = n + e v D n e v Il verso della corrente è PER CONVENZIONE quello stabilito dal movimento delle cariche POSITIVE v ev + E ev Unità di misura: Corrente: Ampere, simbolo A Densità di corrente: Ampere su m 2 1 Ampere = A m 2 1 Coulomb 1 secondo UNITÀ DI MISURA A

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 10 Esercizio 5.1 Un conduttore cilindrico di rame, avente sezione di area Σ = 4 mm 2, è percorso da una corrente di intensità i = 8 A. 1. Calcolare la velocità di deriva degli elettroni, sapendo che nel rame n = 8. 49 10 28 elettroni/m 3 Σ + j E B +

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 11 Corrente elettrica stazionaria Si considerino due sezioni Σ 1 e Σ 2 di un conduttore percorso da corrente di densità j Si calcolino le intensità di corrente attraverso queste due sezioni: i 1 = Σ 1 j 1 u 1 dσ 1 i 2 = Σ 2 j 2 u 2 dσ 2 CARICA ENTRANTE e USCENTE dal volume delimitato da Σ 1 e Σ 2 e dalla superficie laterale Σ l attraverso la quale non ho flusso di carica Se all interno del volume considerato la carica NON VARIA nel tempo i 1 = i 2 CONDIZIONE DI STAZIONARIETÀ

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 12 La legge di Ohm Relazione che lega la densità di corrente al campo elettrico all interno di un conduttore, in regime stazionario: j = σ E σ = CONDUCIBILITÀ o CONDUTTIVITÀ ELETTRICA. Forma equivalente: E = ρ j ρ = 1 σ = RESISTIVITÀ DEL CONDUTTORE Minore è ρ, ovvero MAGGIORE è σ, MAGGIORE è la densità di corrente che può circolare in un conduttore, a parità di campo elettrico!

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 13 La legge di Ohm Caso di un conduttore metallico cilindrico di lunghezza h e sezione Σ. Ai capi di questo tratto di conduttore vi sia una d.d.p. pari a V = V A V B. Si consideri il regime stazionario. i = j Σ = E ρ Σ E = i ρ Σ h Σ A j E BB +

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 14 La legge di Ohm Ricordando che V = Eh si ottiene ρ h V = Σ i Definiamo la RESISTENZA DEL CONDUTTORE ρ h R = Σ LEGGE DI OHM per i CONDUTTORI METALLICI V = R i Unità di misura della resistenza: 1 Ohm = 1 Volt/1 Ampere [Ω] UNITÀ DI MISURA W

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 15 La legge di Ohm Se il conduttore ha sezione variabile ρ dh dv = E ds = Σ i A E dh Σ i B Integrando lungo tutto il conduttore: V = A B E ds = R i + Dove si definisce la resistenza del conduttore: R = A B ρ dh R dipende solo dalla natura (ρ) e dalle dimensioni (Σ e h) del conduttore Σ UNITÀ DI MISURA di r W m

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 16 Potenza nei circuiti Si consideri una carica dq che si muova attraversando la differenza di potenziale V = V A V B Il lavoro compiuto per questo spostamento: dw = V dq = V i dt La POTENZA TRASFERITA risulta dunque: P = dw dt = V i Se il dispositivo è un conduttore, dunque vale la legge di Ohm, si trova: P = R i 2 = V2 R

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 17 Potenza nei circuiti Il passaggio di corrente attraverso un conduttore metallico per un tempo t comporta dunque un lavoro: W = 0 t P dt = Se la corrente è costante nel tempo: 0 t W = R i 2 t R i 2 dt Necessario per vincere la resistenza opposta dal reticolo cristallino Assorbito dal conduttore, la cui energia interna aumenta EFFETTO JOULE: Effetto di RISCALDAMENTO di un conduttore PERCORSO DA CORRENTE

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 18 Modello classico di conduzione Si ipotizza che gli elettroni si muovano attraverso un reticolo cristallino Ioni del metallo fissi nei vertici del reticolo Elettroni si muovono con un moto disordinato Interazioni elettroni reticolo serie di URTI Tra un urto e l altro: moto degli elettroni è libero con traiettorie rettilinee (moto rettilineo uniforme) Direzioni delle traiettorie dopo gli urti: completamente casuali Non si hanno flussi netti di carica E = 0

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 19 Modello classico di conduzione 1. Situazione priva di campi elettrici Si definiscono tra due urti consecutivi: Il tempo medio τ Il cammino libero medio l v D τ = l v Con v velocità degli elettroni nel metallo 2. Applicando un campo elettrico E Ciascun elettrone viene accelerato con a = F = e E m m Accelerazione opposta al campo!! Alle velocità casuali si sovrappone una componente di velocità detta di «deriva» (valore molto più piccolo della tipica v)

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 20 Modello classico di conduzione Si calcoli come varia la velocità tra due urti successivi Velocità v i : subito dopo un urto Velocità v i+1 : subito prima dell urto successivo Dunque: v i+1 = v i + aτ = v i Mediando su un gran numero di urti: e E m τ + ev v v + ev + E v D = 1 N i v i+1 = 1 N i v i e E m τ Poiché i v i = 0, si ottiene la VELOCITÀ DI DERIVA: v D = e E m τ

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 21 Modello classico di conduzione DENSITÀ DI CORRENTE j = n e v D = n e2 τ m E CONDUTTIVITÀ σ = n e2 τ m Grandezza tipica del materiale, intrinsecamente positiva E si ritrova così la LEGGE DI OHM: j = σ E Valida anche per portatori di carica positiva Il verso di non dipende dal segno del portatore

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 22 Esercizio 5.2 La resistività del rame alla temperatura t = 20 C è ρ = 1. 67 10 8 Ω m. Si calcolino: 1. Il valore del campo elettrico E necessario a mantenere in un conduttore di rame una densità di corrente j = 2 A mm 2. 2. Il tempo medio e il cammino libero medio fra due urti successivi. [e = 1. 6 10 19 C, n = 8. 49 10 28 elettroni/m 3, v F = 1. 58 10 6 m/s]

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 23 Resistori I conduttori ohmici sono caratterizzati da un determinato valore di RESISTENZA R I dispositivi inseriti come elementi circuitali aventi un determinato valore di resistenza sono detti RESISTORI e hanno il simbolo in figura I collegamenti di base tra questi elementi, come per i condensatori, sono quello IN SERIE e quello IN PARALLELO.

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 24 Resistori in serie Resistenze collegate IN CASCATA In regime stazionario: corrente uguale in tutti gli elementi A R 1 B R 2 C Si valutino le d.d.p. ai capi di ognuna V A V B = R 1 i V B V C = R 2 i V A V C = R 1 + R 2 i = R eq i A i + R eq C RESISTENZA EQUIVALENTE i R eq = R i + i Inoltre: P = R eq i 2 = P 1 + P 2

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 25 Resistori in parallelo In questo caso, tutte le resistenze hanno la stessa d.d.p. V = V a V B e sono percorse da due correnti i 1 e i 2, diverse se R 1 R 2 Per la condizione di stazionarietà: Pertanto: i = i 1 + i 2 Dove: i = V R 1 + V R 2 = V R eq A i 1 R 1 R 2 B 1 R eq = i 1 R i i i 2 i Inoltre: P = R eq i 2 +

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 26 Esercizio 5.3 Nella rete elettrica di resistori collegati come in figura, i valori delle resistenze sono R 1 = 3 Ω e R 2 = 9 Ω. Tra i terminali A e B è applicata una d.d.p. V = V A V B = 17. 4 V. 1. Calcolare la resistenza equivalente del circuito e la potenza spesa nel circuito stesso. R 1 R 2 A C D R 1 R 2 B F E R 1 R 2

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 27 Forza elettromotrice Legge di Ohm per i conduttori = Relazione tra l intensità di corrente con il campo elettrico prodotto da un generatore esterno V A V B = Considerando un CIRCUITO CHIUSO: A B E ds = R i E ds = R T i R T : resistenza TOTALE del circuito E ds: definizione di f.e.m. Per ottenere una corrente di intensità i è NECESSARIA la presenza nel circuito di una sorgente di f.e.m., ovvero di un campo elettrico la cui circuitazione NON SIA NULLA

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 28 Forza elettromotrice La sorgente di f.e.m. deve avere al suo interno FORZE DI NATURA NON ELETTROSTATICA, NON CONSERVATIVE, tali da determinare il moto continuo delle cariche 1. Campo elettrostatico E el dovuto alla presenza delle cariche ai poli Sempre diretto da A a B Sia nel conduttore che all interno del generatore 2. Campo di natura non elettrostatica E All interno del generatore CAMPO ELETTROMOTORE E el A E el + + + + E el E - - - - generatore B E el

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 29 Forza elettromotrice Integrando E lungo il circuito E d l = B A E d l = Ɛ Pari alla tensione tra B e A calcolata lungo una linea INTERNA al generatore Generatore di f.e.m. sfrutta Azioni meccaniche Reazioni chimiche Induzione elettromagnetica Altri meccanismi (celle solari, etc)

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 30 Nei generatori di f.e.m. ideali: No resistenze interne Forza elettromotrice Nei generatori di f.e.m. REALI: Qualunque batteria ha una RESISTENZA INTERNA r È normalmente indicata IN SERIE ad un generatore ideale R r Ɛ A B

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 31 Forza elettromotrice Nel caso del generatore REALE si trova che Ɛ = r + R i = R T i Ricordando che R T è la resistenza TOTALE del circuito La d.d.p. ai capi del resistore vale: ΔV = V A V B = R i = Ɛ r i Definizione OPERATIVA di f.e.m. Ɛ = ΔV a CIRCUITO APERTO (i = 0) Il lavoro fornito dal generatore viene DISSIPATO nelle resistenze del circuito In termini di potenza: Ɛ i = R T i 2

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 32 Esercizio 5.4 Nel circuito in figura si trova un generatore reale di f.e.m. Ɛ = 100 V e resistenza interna r = 10 Ω. Esso è collegato a tre resistori in serie di valori R 1 = 40 Ω, R 2 = 50 Ω e R 3 = 100 Ω. 1. Calcolare la d.d.p. ai capi di ciascun resistore e ai capi del generatore. Partitore resistivo r Ɛ i R 3 R 2 R 1

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 33 Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche Circuito con geometria più complicata = esempio di RETE ELETTRICA Elementi geometrici distintivi: 1. NODI PUNTO nel quale CONVERGONO almeno 3 CONDUTTORI 2. RAMI Componenti ATTIVI o PASSIVI che COLLEGANO due nodi Analisi delle reti elettriche 3. MAGLIE Determinati CAMMINI CHIUSI, costituiti da PIÙ RAMI Per risolvere questi circuiti si usano le LEGGI DI KIRCHHOFF

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 34 Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche PRIMA LEGGE DI KIRCHHOFF o LEGGE DEI NODI La somma algebrica delle correnti che CONFLUISCONO in un nodo è NULLA i 5 i 1 Σ 0 k i k = 0 i 4 i 2 i 3 i 1 i 2 + i 3 i 4 + i 5 = 0

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 35 Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche SECONDA LEGGE DI KIRCHHOFF o LEGGE DELLE MAGLIE La somma algebrica delle differenze di potenziale in un circuito chiuso in un giro completo è NULLA Oppure La somma algebrica delle f.e.m. presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica delle d.d.p. ai capi dei resistori situati nei rami della maglia R k i k = Ɛ k k k

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 36 Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche CRITERI DA SEGUIRE per applicare le leggi di Kirchhoff 1. Scegliere arbitrariamente un verso di percorrenza per la maglia 2. a) Se nel ramo k-simo i k è concorde al verso scelto: R k i k ha segno POSITIVO 2. Se nel ramo k-simo i k è discorde al verso scelto: b) R k i k ha segno NEGATIVO 3. a) Se il generatore di f.e.m. viene percorso dal polo negativo al polo positivo dal suo interno Ɛ k ha ha segno POSITIVO 3. b) Se il generatore di f.e.m. viene percorso dal polo positivo al polo negativo dal suo interno Ɛ k ha ha segno NEGATIVO

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 37 Leggi di Kirchhoff per le reti elettriche Vanno sempre individuate le MAGLIE INDIPENDENTI nei circuiti. Il circuito in figura fornisce 1. Un equazione per il nodo in B i 2 = i 1 + i 3 2. Due equazioni delle maglie da mettere a sistema: Maglia B-A-D: Ɛ 1 = i 1 R 1 i 3 R 3 Maglia B-D-C: Ɛ 1 A + B + C i 1 R 1 R 3 i 3 R 2 i 2 D Ɛ 2 Ɛ 2 = i 3 R 3 + i 2 R 2

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 38 Corrente di spostamento Corrente: normalmente associata allo spostamento di cariche Situazione della carica/scarica del condensatore La carica q varia nel tempo Nel circuito scorre una corrente i t Tuttavia: Tra le armature del condensatore NON C È passaggio di carica Ipotizziamo una corrente i s non dovuta ad un moto di cariche che avviene tra le armature del condensatore i s deve risultare uguale a quella del resto del circuito i s deve essere dovuta al fatto che la carica (e quindi anche il campo elettrico) sia VARIABILE NEL TEMPO

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 39 Corrente di spostamento Corrente di spostamento i s = ε 0 dφ E dt Dovuta alla variazione nel tempo del flusso del campo elettrico E Introdotta da Maxwell per risolvere alcune incongruenze delle equazioni del campo elettromagnetico Densità di corrente di spostamento j s = i s Σ = ε de 0 dt

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 40 Definizioni generali Corrente Densità di corrente All interno di un conduttore: Corrente di spostamento i = i c + i s = i c + ε 0 dφ E dt j = j c + j s = j c + ε 0 de dt j = j c e i = i c All interno di un condensatore (in caso di dielettrico, si sostituisce ε 0 con ε) j = ε 0 de dt e i = ε 0 dφ E dt

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 41 Misure di corrente e di d.d.p. AMPEROMETRO Strumento che misura le correnti in un circuito Inserito IN SERIE al circuito Ha resistenza trascurabile rispetto a quelle del circuito in esame VOLTMETRO Strumento che misura le d.d.p. in un circuito Inserito IN PARALLELO al circuito tra i due punti di cui si vuole misurare la d.d.p. Ha resistenza molto maggiore del circuito in esame

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 42 Esercizio 5.5 I fusibili dei circuiti sono costituiti da un filo metallico progettato in modo da fondere, interrompendo il circuito, se la corrente che lo attraversa supera un certo valore. Supponiamo che il materiale usato per il fusibile fonda quando la densità di corrente supera il valore di j max = 440 A cm 2. 1. Che diametro deve avere il filo, di forma cilindrica, affinché limiti la corrente a i max = 0. 5 A?

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 43 Esercizio 5.6 Un filo di resistenza R = 6 Ω viene stirato sino ad allungarsi di 3 volte. 1. Qual è la nuova resistenza del filo nell ipotesi che resistività e volume del filo non siano cambiati?

Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2017-2018 44 Esercizio 5.7 Un elemento riscaldante viene fatto funzionare mantenendo una d.d.p. di ΔV = 75 V su un filo conduttore di sezione Σ = 2. 6 10 6 m 2 e resistività di ρ = 5 10 7 Ωm. 1. Se l elemento dissipa P = 5000 W, qual è la lunghezza del filo?