Ingegneria dei Sistemi Elettrici_5c

Ingegneria dei Sistemi Elettrici_5c Circuiti magnetici Nei problemi relativi ai circuiti elettrici si richiede di determinare la differenza di potenziale V e le correnti I nei diversi rami e elementi della rete elettrica dovute alla presenza di generatori di tensione e di corrente. Analogamente i problemi relativi ai circuiti magnetici riguardano la determinazione dei flussi magnetici Φ e intensità di campi magnetici H nelle diverse parti dei circuiti causate dalle correnti che circolano negli bobine avvolte intorno ai nuclei magnetici (amperspire). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 1

Circuiti magnetici Un circuito elettrico è un insieme opportunamente coordinato di materiali elettrici, avente lo scopo di stabilire un determinato andamento (o percorso) della corrente elettrica I, generata da una adeguata f.e.m. U ( forza elettro-motrice) analogamente un circuito magnetico è un insieme opportunamente coordinato di materiali magnetici, avente lo scopo di stabilire un determinato andamento (o percorso) del flusso magnetico indotto Φ generato da una adeguata f.m.m. NI (forza magneto-motrice) M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 2

Circuiti magnetici con percorsi delle linee di flusso principale che si svolgono nel ferro e nei traferri. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 3

Per esempio problemi relativi ai circuiti magnetici si hanno nei: Trasformatori Generatori Motori Relays Dispositivi di registrazione magnetica L analisi dei circuiti magnetici è basata su le due equazioni fondamentali generali della magnetostatica: B = 0 con H B M A = H J µ m = 0 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 4

Facendo l integrale superficiale della relazione: H = J e applicando il teorema di Stokes, si ottiene la legge della circuitazione di Ampere. Se NI sono le amperspire concatenate con un tubo di flusso di un circuito, applicando il teorema della circuitazione ad una linea l del vettore contenuta nel tubo, si ha: ( H) S ds = l H dl = S J ds = NI l H dl = NI f mm è chiamata forza magneto motrice (f.m.m.), si misura in [A] o [As] (amperspire) ed è analoga alla forza elettromotrice (fem) in un circuito elettrico. m m M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 5 = f

Convenzioni di segno: regola di Maxwell La corrente che circola in una spira crea un campo magnetico le cui linee di forza si chiudono su se stesse intorno alla corrente che le produce. La linea di forza che passa per il centro della spira è tangente all asse della spira. Il verso positivo nell asse dell induttore é quello in cui avanza una vite destrogira, che ruota nel verso positivo di percorrenza della corrente nella spira: B I + B I + I + I B B M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 6

Per un tubo di flusso di sezione elementare ds: B 1 dφ H d l = NI dl = NI ds = µ µ ds NI Se il tubo di flusso è di sezione finita S e se si può assumere B costante: 1 Φ dl = NI µ S dove 1 [ -1 R = dl H ] è la riluttanza magnetica e µ S 1 = [ H ] èla permeanza magnetica. R M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 7

Si noti l analogia con la relazione, valida per un conduttore metallico, che lega le grandezze del campo elettrico: 1 * I dl = E dove: R = * γs l * * l 1 γs * dl * [ Ω] è la resistenza e = è la conduttanza. G 1 R Tali relazioni sono analoghe a quelle ottenute per un circuito magnetico, che legano le grandezze del campo magnetico: 1 Φ µ S dl = NI 1 R = µ S dl [ -1 H ] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 8

Circuito elettrico Circuito magnetico S sezione circuito realizzato con materiale conduttore di resistività ρ S* sezione del toro magnetico realizzato in materiale ferromagnetico con permeabilità µ I + E NI l lunghezza del circuito l* lunghezza media della linea di forza Φ Legge di Ohm Legge di Hopkinson E=RI con R= (l*/s*) resistenza elettrica NI= R Φ con R= 1/µ (l/s) Riluttanza Magnetica M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 9

Se si può ritenere che tutto il flusso sia incanalato dentro il tubo di flusso di sezione S, la riluttanza diventa uguale a: 1 l R = dl = µ S S e la relazione precedente diventa: Φ R = NI I circuiti magnetici possono essere analizzati applicando gli stessi principi e legge validi per i circuiti elettrici, dove le grandezze corrispondenti sono quelle analoghe: Circuiti magnetici l µ Circuiti elettrici f mm = NI [As] E [V] φ [Wb/m 2] I [A] [H -1 ] R [Ω] R µ [H/m] σ [S/m] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 10

Per il teorema della circuitazione e l irrotazionalità del vettore induzione magnetica, sono deducibili i principi fondamentali per i circuiti magnetici, analoghi ai principi di Kirchhoff per le reti elettriche: * ** Φ = 0 NI = Hl = RΦ = per i nodi del c. m. per le maglie del c. m che affermano che : * la somma algebrica di tutti i flussi magnetici che attraversano un nodo in un circuito magnetico è nulla e che ** lungo un percorso chiuso in un circuito magnetico la somma algebrica delle amperspire è uguale alla somma algebrica dei prodotti delle riluttanze per i relativi flussi. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 11

Malgrado l analogia formale delle formule dei principi di Kirchhoff per i due circuiti, occorre sottolineare una importante differenza rispetto ai circuiti elettrici. Infatti nei materiali ferromagnetici la permeabilità è funzione della induzione: µ = f ( B ), mentre la conduttività γ è indipendente dalla densità di corrente J: 1 R = l µ S dl [ -1 H ] Riluttanza magnetica R 1 = l * γs [ Ω ] * dl Resistenza elettrica * M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 12

Quindi la formula ** ( II principio di Kirchhoff per le maglie) non può essere utilizzata per risolvere il problema inverso del calcolo del flusso corrispondente ad una certa f.m.m. NI, essendo µ indeterminato. Per risolvere il problema inverso : vengono calcolati una serie di valori della f.m.m., per prefissati valori del flusso ; si riportano le coppie dei valori in un grafico che rappresenta la caratteristica di magnetizzazione totale del circuito magnetico, che è specifica per ciascun circuito e può essere utilizzata: 1) per la risoluzione del problema diretto: noto il valore (NI) * determinare φ * (per interpolazione ); oppure 2) per la risoluzione del problema inverso: noto φ ** determinare (NI) **. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 13

Comportamento dei materiali magnetici I materiali magnetici possono essere grossolanamente classificati in tre gruppi principali in base al loro valore di permeabilità relativa µ r o della χ m suscettibilità magnetica. Un materiale si chiama: Diamagnetico se µ r 1 (χ m è un num. negativo molto piccolo), Paramagnetico se µ r 1 (χ m è un num. positivo molto piccolo), Ferromagnetico se µ r >> 1 (χ m è un num. positivo molto grande), Questa classificazione dipende 1. in parte dal momento di dipolo magnetico degli atomi del materiale e 2. in parte dalla interazione tra gli atomi. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 14

Il diagramma delle caratteristiche magnetiche dei diversi tipi di materiali elencati sarà: Diamagnetico se µ r 1 Vuoto se µ r = 1 [B = µ 0 H= 2 π 10-7 H = 1,256 10-6 H ] Paramagnetico se µ r 1 Ferromagnetico se µ r >> 1 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 15

Paramagnetismo Il paramagnetismo è la proprietà caratteristica di alcune sostanze che presentano permeabilità magnetica assoluta costante e poco maggiore di quella del vuoto (µ r poco maggiore di 1). Il paramagnetismo è dovuto principalmente ai momenti dei magnetici dovuti allo spin degli elettroni ( movimento rotatorio su se stessi). Le sostanze paramagnetiche vengono leggermente attratte da una calamita. Sono sostanze paramagnetiche: alluminio, platino, manganese, cromo, palladio oltre alle loro leghe e sali disciolti e gas come l ossigeno e l aria. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 16

Il paramagnetismo si riscontra in quei materiali che presentano condizioni di asimmetria per cui i loro atomi o le loro molecole manifestano un momento magnetico intrinseco. A causa dell'agitazione termica il momento magnetico medio è nullo, tuttavia sotto l'azione di un campo magnetico esterno si verifica un fenomeno di parziale orientazione delle molecole con la comparsa di un momento magnetico risultante concorde al campo esterno, ma comunque di piccola intensità. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 17

Diamagnetismo Il diamagnetismo è la proprietà della maggioranza delle sostanze conosciute di essere respinte, anziché attratte da una calamità. Sono diamagnetici: l oro, l antimonio e il bismuto, mercurio,argento bismuto,alcool etilico, rame, diossido di carbonio, azoto. Esso è principalmente dovuto al movimento orbitale degli elettroni all interno di un atomo e come tale è comune a tutte i materiali. In assenza di un campo magnetico esterno, le correnti microscopiche associate al moto degli elettroni nell'atomo danno luogo a momenti magnetici che si compensano, con il risultato che nella maggior parte dei casi l'atomo non presenta momento magnetico. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 18

Quando agisce all'esterno un campo magnetico, il moto degli elettroni viene perturbato e compare un debole momento magnetico che è opposto al campo esterno. In base a tale fenomeno si può affermare che il diamagnetismo é presente in tutte le sostanze, ma può essere mascherato da effetti predominanti. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 19

Ferromagnetismo Proprietà di alcune sostanze allo stato puro o in lega, di presentare, quando siano sottoposte all azione di un campo magnetico, permeabilità magnetica variabile e proporzionale al campo stesso (fenomeno dell isteresi). Sono materiali ferromagnetici: il ferro, il cobalto, il nichel e le leghe come le leghe nichel-ferro, acciaio fuso, lamiere di acciaio dolce, lamiera al silicio, numetal (lega con nichel, rame cromo e manganese). Studiando il reticolo cristallino si ha che quando i momenti elementari degli elettroni e degli atomi che compongono tali materiali presentano una orientazione privilegiata dovuta alla presenza di un campo magnetico, la somma di tutti i momenti elementari raggiunge valori notevoli. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 20

La maggior parte di essi presentano un campo magnetico residuo una volta cessato il campo magnetico esterno, e alcuni si trasformano in magneti permanenti (acciai al carbonio, al tungsteno, al cobalto al Ni-Co, Ferrite di Bario). Il comportamento ferromagnetico è strettamente legato alla temperatura. All aumentare della temperatura, aumenta l agitazione termica degli ioni, tutta la struttura cristallina si altera, i momenti magnetici non sono più orientati e il materiale passa allo stato paramagnetico. La temperatura caratteristica di questo passaggio è detta punto di Curiè (per il ferro vale 775 ) M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 21

Per determinare sperimentalmente la funzione B = f(h) si può operare su un provino toroidale: N 1 N 2 Provino Toroidale R G C G galvanometro balistico C convertitore A amperometro V generatore di tensione in c.c. R v resistenza variabile + V A R v I M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 22

Variando R varia la costante I 1 nelle spire N 1 e con l amperometro è possibile misurare I 1. Applicando il teorema della circuitazione lungo il cerchio direttore l 0 del provino di materiale ferromagnetico: l H 1 dl 0 = N I1 1 H 1 l 0 0 0 = N 1 I 1 H 1 = N 1I l 1 Per ciascun valore di I 1 si leggono negli strumenti i valori di I 1 e B 1 e si calcola H 1. Le prove vanno eseguite anche per I 1 = 0 per cui H 1 = 0 e invertendo le polarità della corrente con il convertitore, per ottenere valori negativi di I. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 23

Le grandezze magnetiche variano secondo l andamento riportato nel grafico: B [T] Br Hc H [As/m] Si noti che: quando la corrente I 1 = 0 H 1 = 0, ma B 1 0, ovvero B 1 = B r : è presente un magnetismo residuo; quando si annulla B (invertendo la corrente e aumentandola sino ad annullare B), H = H c. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 24

B r é l induzione residua H c è il campo necessario ad annullare il magnetismo residuo e si chiama forza coercitiva. I magneti permanenti sono caratterizzati da un elevato valore di induzione residua B r e di forza coercitiva H c. B Dall esame del grafico si comprende come µ = non è costante. H Infatti essendo µ = tgα nel primo e nell ultimo tratto della curva, µ è costante (andamento rettilineo); mentre in corrispondenza del ginocchio della curva di isteresi, µ (pendenza della curva) varia punto per punto. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 25

Per ottenere una determinata f m.m. si può utilizzare l energia elettrica fornita da un certo numero di spire N attraversate dalla corrente I: NI A oppure si può inserire nel circuito magnetico un tronco di magnete permanente (m.p.) in grado di fornire la f.m.m. richiesta. Tale f.m.m. impressa A è ceduta dal magnete permanente, che è stato sottoposto precedentemente ad un ciclo di isteresi e ha così accumulato energia magnetica. Occorre considerare tale energia con il segno negativo per tener conto del fatto che l energia è fornita dal sistema e non da un sistema esterno. La relazione NI = Φ R diventa: A = Φ R. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 26 S

A = Φ R che si può esprimere nel seguente modo: Hl B l B fe fe fe fe mp fe H l =-H l H = - = = mp mp fe fe mp l µµ mp 0 r l µµ mp 0 r l mp H = cb mp si tratta della equazione di una retta passante per l'origine e con pendenza negativa. P B fe essendo c= costante µµ 0 r lmp l mp Tale retta, che esprime il teorema della circuitazione ci consente di determinare il punto di lavoro P del magnete, come intersezione della caratteristica del magnete permanente nel tratto della relativo alla smagnetizzazione (H negativo), e della retta: H = cb M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 27 mp l H mp

Condizioni al contorno per i campi magnetostatici Se il vettore B o H attraversa una superficie di separazione di due mezzi quando nessuno dei due é un conduttore perfetto, si ha una rifrazione delle linee di B o di H : α 1 H 1 µ 1 H 2 α 2 µ 2 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 28

Poiché B = 0, applicando il teorema della divergenza a un volume elementare V disposto in corrispondenza della interfaccia, B dv = B da = 0 V A e in modo analogo ai campi elettrostatici per la densità di corrente, si può dimostra che: B 1n =B 2n [T] e µ 1 H 1n = µ 2 H 2n [A/m] dove V è il volume racchiuso dalla superficie A elementare disposta in corrispondenza della interfaccia dei due materiali. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 29

La condizione al contorno per le componenti del campo magnetostatico è ottenuta dalla forma integrale della equazione: A = J 2 m H H d l = I [ A] Calcolando l integrale lineare lungo un percorso elementare che passi per entrambi i mezzi, si ottiene: H t1 -H t2 =J sm [A/m] Ossia la componente tangenziale del campo H è discontinua lungo una interfaccia, quando sono presenti correnti sulla superficie. C M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 30

H t1 -H t2 =J sm [A/m] Se la densità di corrente superficiale è uguale a zero, la componente tangenziale di H è continua attraverso il contorno di quasi tutti i mezzi fisici: H t1 -H t2 =0 [A/m] la componente tangenziale è discontinua solo quando il mezzo ha una interfaccia con un conduttore ideale perfetto, oppure un superconduttore (poiché nella interfaccia dal lato del conduttore interessato da correnti elettriche). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 31

Se: B 1n = B 2n [T] µ 1 H 1n = µ 2 H 2n [A/m] e H t1 -H t2 =0 [A/m] allora tan tanα α 2 = 1 µ 2 µ 1 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 32

tan tanα α 2 = 1 µ 2 µ 1 Se la densità di corrente J è nulla, il campo H attraversando una superficie di separazione tra due mezzi con permeabilità µ, forma un angolo α 2 con la normale alla superficie che diminuisce (α 2 < α 1 ) passando da un mezzo a permeabilità minore µ 1 ad un mezzo a permeabilità maggiore µ 2, ciò comporta che: µ 2 < µ 1 (ossia la direzione del campo tende ad avvicinarsi alla direzione della normale alla superficie in quel punto, passando in un mezzo a permeabilità più bassa). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 33

In particolare se il mezzo 1 é non è un materiale magnetico (come l aria) e il mezzo 2 é ferromagnetico (come il ferro) µ 2 >> µ 1, e per la relazione: tanα 2 µ = 2 α 2 sarà prossimo a 90. tanα µ 1 1 Ciò significa che per angolo arbitrario di incidenza del campo α 1, il campo magnetico nel mezzo ferromagnetico diventa quasi parallelo alla interfaccia. Se il mezzo 1 é ferromagnetico e il mezzo 2 é aria µ 2 >> µ 1, risulta α 2 sarà circa uguale a zero; cioé se il campo magnetico sorge da un mezzo ferromagnetico, le linee di flusso assumono nell aria una direzione quasi normale alla interfaccia. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 34

M B/µ 0 M M 0 B/µ 0 B H = M µ M B/µ 0 a) Campo magnetico preesistente B/µ 0 e campo campo magnetico prodotto dal corpo ferromagnetico M b) Campo risultante deviato dal campo indotto M M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 35

Induttanze e induttori Si considerano due spire chiuse poste in vicinanza l una rispetto all altra come riportato in figura: I 1 C 1 C 2 Se una corrente I 1 circola in C 1, un campo magnetico B1 si concatena con C 2, passando attraverso la superficie S 2 delimitata dal contorno C 2. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 36

Si definisce il flusso mutuo Φ 12 : Φ12 = B d s S 2 [ Wb] Dalla fisica si sa che una corrente variante nel tempo i 1 (e quindi un flusso variante Φ 12 ) produce una forza elettromotrice o tensione in C 2, calcolabile con la legge della induzione elettromagnetica di Faraday : 2 e dφ = dt **************************************************************** Nota: Il flusso Φ 12 esiste anche quando I 1 è una corrente costante in regime permanente, ma in questo caso Φ 12 =0, per cui la f.e.m. indotta è nulla. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 37

In base alla legge di Biot-Savart, B 1 é direttamente proporzionale a I 1, quindi anche Φ 12 sarà proporzionale a Φ 12 : Φ 12 =L 12 I 1 dove L 12 è chiamata mutua induttanza tra le spire C 1 e C 2, e si misura in henry. Se C 2 ha N 2 spire il flusso concatenato Λ 12 dovuto a Φ 12 è: Φ 12c = N 2 Φ 12 per cui l espressione generalizzata del flusso concatenato sarà: Φ 12c =L 12 I [Wb] 1 e la mutua induttanza tra i due circuiti sarà pari al flusso magnetico concatenato con un Φ 12c circuito per unità corrente che circola nell altro: L12 = I 1 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 38

Nelle espressioni del flusso è implicito che la permeabilità del mezzo non cambi con la corrente, ossia che il mezzo sia lineare. La definizione più generale di L 12 è: dφ L 12c 12 = [H] di 1 Una parte del flusso magnetico prodotto da I 1 si concatena solo con la bobina C 1, e non con la bobina C 2. Il flusso totale concatenato con C 1 dovuto alla corrente I 1 è: Φ 11c = N 1 Φ 11 > N 1 Φ 12 da cui, l autoinduttanza della spira C 1, per un mezzo lineare, è definita come il flusso magnetico concatenato per unità di corrente nella spira stessa: Φ L 11 dφ L 11c 11 = c [H] 11 = [H] I1 di M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 39 1

Analogamente si possono definire L 21 : dφ L 21c 21 = [H] di 2 Una parte del flusso magnetico prodotto da I 2 si concatena solo con la bobina C 2, e non con la bobina C 1. Il flusso totale concatenato con C 2 dovuto alla corrente I 2 è: Φ 22c = N 2 Φ 22 > N 2 Φ 21 da cui, l autoinduttanza della spira C 2, per un mezzo lineare, è definita come il flusso magnetico concatenato per unità di corrente nella spira stessa: L 22 Φ = I 22c 2 [H] dφ L 22c 22 = [H] di 2 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 40

L autoinduttanza per una spira o un circuito dipende dalla forma geometrica e dalla natura fisica del materiale del conduttore con il quale è stata realizzata la spira o il circuito, e dalla permeabilità del mezzo. In un mezzo lineare l autoinduttanza non dipende dalla corrente nella spira o nel circuito. Essa esiste indipendentemente dal fatto che la spira o circuito siano aperti o chiusi, e sia che siano posti in prossimità di un altro circuito o spira oppure no. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 41

Un conduttore disposto secondo una certa forma (come un filo conduttore avvolto intorno ad un nucleo) per fornire una certo valore di autoinduttanza, è chiamato induttore. Come il condensatore è in grado di immagazzinare energia elettrica, analogamente un induttore è in grado di immagazzinare energia magnetica. Per induttanza si intende l autoinduttanza di un induttore. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 42

La procedura generale per determinare l autoinduttanza di un induttore (analoga a quella per la determinazione della capacità di un condensatore) è la seguente: 1. Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla geometria dell induttore (coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche); 2. Assumere il valore della corrente I nel filo conduttore; 3. Determinare B in funzione della corrente per mezzo della legge della circuitazione di Ampere, se esistono condizioni di simmetria : B d l = µ I, C altrimenti la legge di Biot-Savart: o B = µ oi 4π C' d l' a 2 R r [ T ] M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 43

4. Calcolare il flusso concatenato con ciascuna spira, Φ, nota B attraverso l integrazione: Φ = B d s dove S è l area sulla quale B esiste e si concatena con la corrente stabilita. S 5. Calcolare il flusso concatenato Φ c moltiplicando il flusso Φ per il numero delle spire: Φ c =N Φ. ( se le spire sono tutte uguali e perfettamente serrate, altrimenti occorre sommare i flussi che si concatenano con ciascuna spira). 6. Determinare quindi L come rapporto tra il flusso concatenato e la corrente: Φ c L= I M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_ 5c 44