IL FITTING DI DATI Interpolazione e Smoothing di dati PROBLEMA REALE MODELLO MATEMATICO METODO NUMERICO ALGORITMO SOFTWARE La prima fase del processo di risoluzione di un problema mediante calcolatore consiste nella descrizione del problema mediante un Modello Matematico
Spesso le informazioni sul problema consistono di un insieme finito di dati (Es. valori di una funzione in un insieme discreto di punti, misure sperimentali, indagini statistiche, ) PROBLEMA costruire un modello che descriva i dati in modo attendibile
ESEMPIO 1 : valutare l andamento della crescita della popolazione italiana dal 1921 al 1981. Anno 1921 1931 1951 1961 1971 1981 Popolazione 37.404 40.582 47.159 49.904 53.745 56.336 Si può pensare di unire i punti a due a due.. MODELLO ATTENDIBILE
ESEMPIO 2: calcolare il valore di sin(x) per x = 1 rad (1 rad = 57 29 58 ) supponendo di avere una tavola che fornisce i valori di sin(x) se l argomento e espresso in gradi 0.83867=sin(57 ) < sin(1rad) < sin(58 )=0.84805 0.994837 1.012291 I punti sono talmente vicini. che quasi coincidono
.. localmente possiamo unirli con un segmento di retta MODELLO ATTENDIBILE sin(58 o ) sin(1rad) sin(57 o ) 0.83867=sin(57 ) < sin(1rad) < sin(58 )=0.84805 ESEMPIO 3: calcolare la costante elastica di una molla. Per piccoli spostamenti x dalla posizione di equilibrio della molla vale la F = - K x (Legge di di Hooke )) F è la forza necessaria per estendere la molla di un segmento x. x 2.5 5 10 17.5 22.5 30 32.5 37.5 42.5 (spostamento in cm) F (forza in kg) 0.68 1.8 2.99 5.30 7.8 8.53 8.9 9.43 9.6
Ci aspettiamo un modello lineare.ma i punti non sono allineati MODELLO NON ATTENDIBILE Invece MODELLO ATTENDIBILE
ESEMPIO 4:Mediante un apparecchiatura detta spirometro viene misurata la quantità di ossigeno consumata da un individuo in movimento. v (in Km/h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 O (oss. in lit/h) 19 20 20.5 21.5 22 23 23 25.5 24 Oss. velocità Considerazioni sulla natura fisica del fenomeno fanno presumere che l andamento sia lineare ma Oss. velocità..congiungendo i punti a due a due si ottiene un MODELLO NON ATTENDIBILE
Invece una retta che non passa per i punti Fornisce un MODELLO ATTENDIBILE ESEMPIO 5 Traiettoria di una pallottola Una pallottola è sparata vero l alto dalla sommità di un edificio alto 100 m. Dopo 10 sec. dal lancio la pallottola raggiunge la massima altezza a 590. Disegnare la traiettoria della pallottola.
ESEMPIO 5 (cont.) La traiettoria della pallottola è una parabola tale che passi per il punto di coordinate (0, 100) (punto iniziale); passi per il punto di coordinate (10,590) (punto di massima altezza); Abbia la massima altezza nel punto di coordinate (10,590) (la derivata prima in questo punto è nulla). ESEMPIO 6: Misurando lo spazio percorso da un grave dopo t secondi se viene gettato da una certa altezza si può stimare l accelerazione di gravità, g, in quel posto della terra s(t)=s 0 +v 0 t+1/2 g t 2 t ( in sec) 0 1 2 3 4 5 s ( in cm) 65 131 113 89 51 7
Unendo i punti a due a due MODELLO NON ATTENDIBILE Ci aspettiamo l andamento di una parabola. ma i punti non appartengono ad una parabola Un MODELLO ATTENDIBILE si riesce ad ottenere se si richiede che la curva si scosti il meno possibile dai punti
Dagli esempi Censimento Pallottola sin(x) Molla Spirometro Accelerazione gravità si costruisce una curva che passa per i punti assegnati si costruisce una curva che non passa per i punti assegnati Modello INTERPOLANTE Modello APPROSSIMANTE IN GENERALE Interpolazione Approssimazione Modello che assume trascurabile l errore nei dati Modello che assume non trascurabile l errore nei dati
Problema generale di INTERPOLAZIONE Dati n punti distinti (x i,y i ) i=1,..,n si vuole costruire una funzione f(x) tale che nei nodi (x i ) i=1,..n soddisfi a certe condizioni, dette Condizioni di interpolazione Le condizioni di interpolazione sono, in generale, vincoli che la funzione intepolante f(x) (e/o le sue derivate) deve soddisfare nei nodi (x i ) i=1,..n Problema generale di APPROSSIMAZIONE Dati n punti distinti (x i,y i ) i=1,..,n si vuole determinare una funzione f(x) tale che nei nodi (x i ) i=1,..n non assuma i valori (y i ) i=1,..n ma si scosti poco da essi