L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 1 Lice Scientific Statale G. Stampacchia Tricae Oggett: Cmpit di Fiica Clae 3-D\PNI Temp di lavr 60 minuti Tema: Mt di un priettile- Dinamica: mt di un itema di crpi u un pian inclinat e u un pian rizzntale. Prblema_1 Givanni e Ald gican al tir al piattell. Givanni lacia cadere il piattell dalla mmità di un mur alt 6m e Ald, cllcat ul pian rizzntale a ditanza d=4m dalla verticale del piattell, lancia cn una finda un alin puntand alla pizine ccupata dal piattell prima che quet ia laciat cadere. Ald lancia il alin nell itante in cui vede Givanni laciare cadere il piattell. Sapend che la velcità iniziale del alin cagliat cn la finda è di 40m/, cniderand il piattell cme puntifrme, dp aver adttat un pprtun itema di riferiment pazi-temprale e tracurand la reitenza dell aria, rilvere i queiti che egun. 1.1 Determinare l ampiezza dell angl α di lanci del alin. 1. Scrivere le leggi rarie per la velcità e la pizine del alin e del piattell nel riferiment adttat. 1.3 erificare che Ald riucirà a clpire il piattell. 1.4 Determinare l altezza ripett al pian rizzntale alla quale il alin clpice il piattell. 1.5 Determinare il temp intercr tra il lanci del alin e l impatt cn il piattell. 1.6 Scrivere nel itema di riferiment l epreine vettriale della velcità del alin nell itante dell impatt cn il piattell, preciandne il mdul e l ampiezza dell angl che frma cn il pian rizzntale. Secnda parte Cn le iptei decritte determinare il mdul minim della velcità cn cui deve eere lanciat il alin affinché Ald rieca a clpire il piattell mentre è in vl. Prblema_ Una macchina deve trainare due rimrchi A e di maa m A =350Kg e m =150Kg, legati tra lr cn un cav di acciai di maa tracurabile u una trada afaltata ulla quale il cefficiente di attrit vlvente è 0,005. La macchina trainante ha maa 100Kg. Il rimrchi A è agganciat direttamente alla macchina trainante. Tracurand la reitenza dell aria, rilvere i eguenti queiti..1 Il cnvgli inizialmente è ferm. La macchina eercita una frza F 1 ctante per tt ecndi che cnente al cnvgli di raggiungere la velcità di 10m/, quindi il cnvgli pregue cn velcità ctante. Determinare l accelerazine del cnvgli ed il lavr viluppat dal mtre della macchina nella fae di accelerazine nell iptei che il mt avvenga u un pian rizzntale.. Determinare la tenine cui è ttpt il cav di acciai durante la fae dell accelerazine e durante il mt rettiline unifrme..3 Determinare la ptenza viluppata dal mtre della macchina allrché il cnvgli ale u una trada inclinata di 5 ul pian rizzntale alla velcità di 4Km/h. Determinare le frze che agicn ul rimrchi A e la tenine del cav di acciai. Luigi Lecci:www.matematicaecula.it
L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 Sluzine Prblema_1 Cniderazini preliminari e celta del itema di riferiment. Il priettile ed il piattell durante il lr mt n ggetti all accelerazine di gravità g diretta ecnd la verticale della pizine ccupata da ciacun punt materiale ed rientata ver il ba. Il mt del alin i viluppa nel pian verticale π cntenente il vettre velcità iniziale. Dalle iptei fatte ulla direzine di i deduce che il pian π cntiene anche la pizine iniziale P del piattell e, piché anche il mt di quet ( caduta libera di un grave) i viluppa lung la verticale paante per P, i deduce che i due mti avvengn nel pian π. Per la decrizine del mt piam aumere un riferiment carteian xoy nel pian π cn l rigine O nel punt di lanci del alin, l ae delle acie dipt rizzntalmente ed rientat ver la verticale del piattell e l ae delle rdinate lung la verticale per O e dirett ver l alt (Fig. 1_). In quet riferiment ian (x ;y ) le crdinate della pizine del alin e (x P ;y P ) quelle del piattell durante il vl. Per la miura del temp fiiam t=0 nell itante in cui il piattell è laciat cadere. 1.1 Determinare l ampiezza dell angl α di lanci del alin. Utilizzand i valri d (ditanza della verticale del piattell dall ae delle rdinate) ed h (altezza del mur), per l ampiezza dell angl α uite l uguaglianza h h tgα = α = arctg d d 6m α = arctg = arctg(0, 5) 14 '. 4m 1. Scrivere le leggi rarie per la velcità e la pizine del alin e del piattell nel riferiment adttat. Nel riferiment pazi-temprale adttat le cmpnenti della velcità del alin durante il vl n: d x = cα = ( quet valre i mantiene ctante); h y = y gt = gt. (1..1) Le leggi per le crdinate della pizine aunta dal alin n: 1 x = x t = cα t ; y = y t gt (1..) Per il mt del piattell è ufficiente crivere la legge della cmpnente della velcità lung l ae delle rdinate e quella dell rdinata della pizine. Si ha 1 Py = gt ; yp = h gt (1..3) 1.3 erificare che Ald riucirà a clpire il piattell. Il alin clpirà il piattell e nell itante in cui la ua acia arà uguale a d l rdinata arà uguale alla quta alla quale i trverà il piattell. Pnend nella prima equazine delle (1..) x =d i determina l itante in cui il alin paerà dalla verticale ulla quale i trva il piattell; tituend dett valre nell epreine Luigi Lecci:www.matematicaecula.it
L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 3 dell rdinata del alin i determina il valre di quet ultima. Piché nell te itante anche il piattell deve avere la tea quta, tituend il valre dell itante uddett nell epreine di y P (t) i dvrà ttenere l te valre dell rdinata del alin. Se ciò i verificherà il alin avrà clpit il piattell. x = d cα t = d d d t = = = cα d La quta alla quale i trva il priettile nell itante t trvat è: 1 y = y g = la quta alla quale i trva il piattell è h + h ( h ) + (1.3.1) ( ) + h = h ; 1 yp = h g = h (1.3.) Cme i vede i valri delle due qute n uguali, perciò il alin clpice il piattell. 1.4 Determinare l altezza ripett al pian rizzntale alla quale il alin clpice il piattell. Il valre della quta alla quale avviene l impatt è: ( + ) 9,81m 4 6 m yp = 6m 4,1m 40 m 1.5 Determinare il temp intercr tra il lanci del alin e l impatt cn il piattell. Il valre dell itante dell impatt i deduce dalla (1.3.1) tituend alle grandezze che vi cmpain i ripettivi valri. 4 + 6 m t = 0,6 40 m / 1.6 Scrivere nel itema di riferiment l epreine vettriale della velcità del alin nell itante dell impatt cn il piattell, preciandne il mdul e l ampiezza dell angl che frma cn il pian rizzntale. Dbbiam determinare i valri delle cmpnenti carteiane della velcità del alin nell itante t=0,6. Sappiam già che la cmpnente rizzntale rimane ctante; per la cmpnente verticale i deve tituire il valre indicat nella (1..1). d m 4m m x = = 40 38,81 61m h m 6m m m y = gt = 40 9,81 0, 6 = 3, 6 61m Il mdul della velcità del alin è m = x + y = 38,81 + 3, 6 1519, 3 m m 39 Ntiam che la cmpnente verticale della velcità del alin è pitiva, ciò indica che l impatt avviene mentre il alin è in alita. Il vettre velcità frma cn la direzine pitiva dell ae delle acie l angl acut β per il quale i ha y 3,6 tgβ = = 0, 0937 β = arctg(0,0937) 5 0' 38,81 x Luigi Lecci:www.matematicaecula.it
L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 4 Secnda parte Cn le iptei decritte determinare il mdul minim della velcità cn cui deve eere lanciat il alin affinché Ald rieca a clpire il piattell mentre è in vl. Rilvend il queit 1.3 i è vit che il alin i trva ulla verticale del priettile nell itante t1 = e che in dett itante il piattell ed il alin i trvan alla tea quta ripett al pian rizzntale. Ora è evidente che i ha l impatt tra il alin ed il piattell durante il vl e il valre della quta è pitiv. Ciò è anche equivalente ad imprre che t 1 ia inferire al temp neceari al alin a tccare il ul. Impnend che ia pitiv il valre della quta dell impatt i ha: yp = h > 0 > > h h m Stituend alla grandezze i valri nti i ricava >,367. Utilizziam ra cme termini per il cnfrnt l itante t 1 cn l itante t in cui il piattell tccherebbe il ul nella caduta libera dall altezza h. Dall equazine raria della pizine, 1 h yp = h gt, pnend y P =0 t = g La cndizine da imprre affinché avvenga l impatt durante il vl è h t 1 <t < > g h Cn i due metdi i ttiene, dunque, per il mdul della velcità iniziale del alin la tea limitazine. Apprfndiment - Perché il alin clpice il piattell? E pprtun ervare che il alin, lanciat cn la velcità indicata, e nn fe ggett all accelerazine di gravità eguirebbe un mt rettiline unifrme e piché punta alla pizine iniziale del piattell evidentemente nell itante t 1 paerebbe prpri da quel punt. La preenza dell accelerazine di gravità fa ì che il alin ed il piattell nell 1 te intervall di temp [0;t 1 ]() cendan di un egment di miura aluta y = gt1 e dunque, piché i lr mti inizian cntempraneamente, nell itante t 1 i trverann alla tea quta. Naturalmente, il mdul della velcità deve eere ufficiente a garantire che il alin ce la faccia ad attraverare la verticale del piattell.ediam perché. Dalla legge raria della quta del alin: 1 1 y = y t gt = enα t gt Luigi Lecci:www.matematicaecula.it
L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 5 enα i deduce che il alin tcca il ul nell itante t ' = alla ditanza dalla verticale g del punt di lanci (gittata) h enα =, in definitiva riulta hd xg =. + h ( ) Oerviam ra che < x h enα cα x c ' G = α t =, ed eend g d cα =, G ( ) + h hd hd = < = d. g ( ) g ( ) h Pertant, cn l iptei < il alin tcca il ul ad una ditanza dal h punt di lanci minre di quella alla quale i trva la verticale del piattell e dunque nn può avvenire l impatt. Luigi Lecci:www.matematicaecula.it
L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 6 Prblema_ Una macchina deve trainare due rimrchi A e di maa m A =350Kg e m =150Kg, legati tra lr cn un cav di acciai di maa tracurabile u una trada afaltata ulla quale il cefficiente di attrit vlvente è 0,005. La macchina trainante ha maa 100Kg. Il rimrchi A è agganciat direttamente alla macchina trainante. Tracurand la reitenza dell aria, rilvere i eguenti queiti..1 Il cnvgli inizialmente è ferm. La macchina eercita una frza F 1 ctante per tt ecndi che cnente al cnvgli di raggiungere la velcità di 10m/, quindi il cnvgli pregue cn velcità ctante. Determinare l accelerazine del cnvgli ed il lavr viluppat dal mtre della macchina nella fae di accelerazine nell iptei che il mt avvenga u un pian rizzntale.. Determinare la tenine cui è ttpt il cav di acciai durante la fae dell accelerazine e durante il mt rettiline unifrme..3 Determinare la ptenza viluppata dal mtre della macchina allrché il cnvgli ale u una trada inclinata di 5 ul pian rizzntale alla velcità di 4Km/h. Determinare le frze che agicn ul rimrchi A e la tenine del cav di acciai. Sluzine.1 Durante la fae di accelerazine la velcità paa da 0m/ a 10m/; cniderat che ciò i verifica in 8 il cnvgli i muve cn accelerazine di mdul 10 m / a = = = 1,5 m /. t 8 Calcl dell ptament in fae di accelerazine Tenend preenti le leggi del mt unifrmemente accelerat, il valre dell ptament S 1 è 1 1 m S1 = a t = 1, 5 (8 ) = 40 m Calcl dell intenità della frza viluppata dal mtre della macchina Il mtre della macchina durante la fae dell accelerazine deve viluppare la frza F 1 che deve vincere le frze di attrit che i ppngn al itema e imprimere all te l accelerazine a=1,5m/. La frza d attrit, cniderat che il mt avviene u un pian rizzntale, è data dal prdtt del pe cmpleiv del itema dei tre crpi per il cefficiente di attrit vlvente. Quindi att att. att. att. F = F + F + F = ( m + m + m ) g µ aut rim. A rim. A att m F = (100 + 350 + 150) Kg 9,81 0, 005 83, 4N Applicand la ecnda legge della dinamica i evince che la differenza tra F 1 e la frza d attrit uguaglia il prdtt della mma delle mae dei tre crpi per l accelerazine. Dunque piam crivere att F1 F = ( m + ma + m ) a F 1 = ( m + ma + m ) ( g µ + a) = 1700 Kg (9,81 m / 0, 005 + 1, 5 m / ) = 08, 4N Calcl del lavr viluppat dal mtre in fae di accelerazine Piché il mtre applica la frza F 1 =08,4N per un tratt lung 40m, il lavr cmpiut è L1 = F1 S1 = 08, 4N 40m = 88336J. Calcl della tenine del cav di acciai Il cav d acciai è ggett alla tenine T che permette di imprimere l accelerazine al rimrchi. Queta frza deve vincere anche la frza d attrit che incntra il rimrchi. Dunque deve riultare Luigi Lecci:www.matematicaecula.it
L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 7 T F = m a T = m ( g µ + a) = 150 Kg (9,81 0, 005 + 1, 5) m / = 194,9N att. rim. Calcl della tenine durante il mt rettiline unifrme Durante quet mt il cav d acciai è ggett l alla tenine che erve per vincere la frza di attrit incntrata dal rimrchi. Infatti, quet prcede cn velcità ctante. Dunque T m g Kg m N ' = µ = 150 9,81 / 0, 005 = 7, 4.3 Occrre determinare la frza viluppata dal mtre della macchina. Nel mt ul pian inclinat, u ciacun crp, nella direzine del mt, agicn la frza d attrit e la cmpnente della frza pe del crp (parallela al pian inclinat). Il mdul della frza F cmpleiva che deve viluppare il mtre è dunque uguale alla mma delle frze d attrit cn la mma delle cmpnenti delle frze pe lung la direzine del mt. Cn α=5 i ha: P// = ( m + ma + m ) g enα ; Fatt. = µ ( m + ma + m ) g cα m F = P// + Fatt. = 1700Kg 9,81 ( en5 + 0, 005 c 5 ) 713, 6N Calcl della ptenza viluppata dal mtre La ptenza viluppata dal mtre in un cert intervall di temp per definizine è uguale al rapprt tra il lavr viluppat e la miura dell intervall di temp in cui tale lavr è tat cmpiut. Il valre della ptenza i può anche determinare direttamente mltiplicand il valre della frza applicata cn l intenità del mdul della velcità ( del cnvgli). Infatti, cniderat un tratt di trada di miura, il temp neceari a percrrerl cn velcità ctante di mdul è t= /; detta F la frza applicata ( dal mtre della macchina) nella direzine e nell te ver dell ptament, il lavr prdtt è Lavr = F = F t e quindi la ptenza viluppata è Lavr F t Ptenza = W = = = F t t Km 1000m W = 713, 6N 4 = 713, 6N 4 47,5Kw h 3600 Frze che agicn ul rimrchi A Sul rimrchi A agicn le eguenti frze: La fra F 1 trainante eercitata dalla macchina. La frza di attrit F att =µ m A g cα, parallela al pian del mt e diretta nel ver ppt all ptament del cnvgli. La cmpnente del pe del rimrchi lung la direzine del pian inclinat; il ver di queta frza è ppt al ver del mt (quindi ver la bae del pian): // PA = mag enα. La tenine T eercitata dal cav dvuta al tracinament del rimrchi da parte del rimrchi A. La tenine T è parallela al pian del mt e diretta dal rimrchi A al rimrchi. La frza di reazine vinclare eercitata dal pian d appggi in virtù della quale il rimrchi pggia ul pian. Relativamente alle frze che agicn ul rimrchi, fra i mduli delle cmpnenti lung il pian del mt uite la eguente relazine: // F F P T = 1 att. A 0 Calcl della tenine del cav La tenine T è la frza che permette la alita del rimrchi ul pian inclinat. Piché il mt avviene a velcità ctante, il mdul della tenine è uguale alla mma della frza Luigi Lecci:www.matematicaecula.it
L.Lecci\ 3D-\1-Gen-005 8 d attrit eercitata dalla trada cn la cmpnente della frza pe del rimrchi parallela al pian. Quindi: T = µ m g c 5 + m g en5 = m g ( µ c 5 + en5 ) 68,6N Luigi Lecci:www.matematicaecula.it