Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione di angolo π seguita dalla riflessione attorno a x = 0 c) Riflessione attorno a x = 0 seguita dalla rotazione di angolo π d) Proiezione ortogonale sulla retta x = 0 e) Riflessione attorno alla retta x = 0 Quali delle matrici trovate risultano ortogonali? ( ) Soluzione a) ( 0 ) ( ) b) 0 = ( ) c) (0 ) ( ) = 0 d) La matrice è data dal prodotto uu t con u = Dunque la matrice è 5 5 4 e) La matrice è data da A I dove A è la matrice della proiezione ortogonale trovata in d) Si ottiene 4 5 4 Le matrici sono tutte ortogonali con l eccezione della proiezione ortogonale in d) Esercizio inoltre M e M 6 a) Scrivere la matrice canonica M della rotazione di angolo θ = π/; calcolare
b) La matrice 4 è la matrice canonica della riflessione attorno a una retta r passante 5 4 per l origine Determinare l equazione di r ( ) ( ) Soluzione a) M = Si ha M = M t = poiché M è ortogonale La matrice M 6 è associata alla rotazione di angolo 6 π = π Dunque M 6 = I b) La retta cercata coincide con l autospazio della matrice associato all autovalore La retta è dunque x = 0 Esercizio Scrivere le formula del cambiamento di coordinate da R = (O; x ) a R = (O ; X Y ) se la nuova origine O ha coordinate rispetto a R e gli assi X Y si ottengono ruotando gli assi x di un angolo θ = π Esprimere il cambiamento di coordinate inverso con un opportuna matrice T di ordine tale che x X = T Y Soluzione La matrice è T = 0 0 Esercizio 4 Diagonalizzare ciascuna delle matrici simmetriche seguenti trovando in ciascun caso una matrice ortogonale M e una matrice diagonale D tali che M t AM = D Possiamo fare in modo che M sia una rotazione (cioè M = )? 9 5 Soluzione a) Matrice : M = D = b) Matrice : M = 0 0 D = 9 0 0 0 c) Matrice : M = 0 D = 5 5 0 6 6 6 0 0
6 d) Matrice : M = D = 6 5 0 0 7 Cambiando (eventualmente) segno ad uno dei due vettori della base ortonormale di autovettori trovata è sempre possibile fare in modo che M sia una matrice ortogonale Esercizio 5 Determinare quali delle seguenti forme quadratiche sono definite positive e quali sono ( indefinite ) x a) q = x + + 4x x b) q = x + 9 + 6x x c) q = x + 5 + 4x x d) q = 6x + 6 x In ciascun caso determinare una rotazione degli assi in modo che nel nuovo riferimento (O; X Y ) x q assuma forma diagonale: q = λx + µy (usare il calcolo fatto nell esercizio precedente) x Soluzione a) q = X + Y Rotazione (di π/4) definita da M = nel X x senso che = M Y t q è indefinita x b) q = 0Y Rotazione definita da M = q è semi-definita positiva 0 x c) q = X + 6Y Rotazione: M = q è definita positiva 5 x d) q = 5X + 7Y Rotazione: M = q è definita positiva Esercizio 6 Ridurre a forma canonica la conica 5x x+5 4x 4 0 = 0 Determinare le coordinate del centro di simmetria (se la conica è a centro) e le equazioni degli assi Soluzione La matrice della conica è: 5 A = 5 con parte principale Q = 0 5 5
quindi A = 88 Q = 4 > 0 Gli autovalori di Q sono λ = 4 µ = 6 e per il teorema di riduzione la forma canonica è del tipo 4X + 6Y + p = 0 La conica è dunque un ellisse (eventualmente degenere o a punti immaginari) La matrice nel 4 0 0 riferimento (O ; X Y ) è A = 0 6 0 e applicando il teorema di invarianza ( A = A ) si 0 0 p ottiene p = Dunque la forma canonica è: 4X + 6Y = 0 ovvero X + Y = Il centro è C = ( ) Gli assi di simmetria sono paralleli agli autospazi della matrice Q e passano per il centro Dunque gli assi hanno equazione x + = 0 x = 0 Esercizio 7 Ridurre a forma canonica la conica x + 9 + 6x + 6x + = 0 Soluzione Matrici: A = 9 Q = Si ha A = 00 Q = 0 Procedendo come nell esercizio precedente si vede che la conica è una parabola di equazione canonica 9 Y = ± 5 X (entrambi i segni vanno bene) Esercizio 8 Ridurre a forma canonica le seguenti coniche: a) x + + 4x + = 0 b) x + + 4x + 6x + 6 + 6 = 0 c) x + + x + x + = 0 Disegnare la conica c) nel riferimento (O; x ) Soluzione a) Iperbole di equazione canonica X + Y + = 0 b) Iperbole degenere X + Y = 0 c) Parabola degenere Y + r = 0 per un opportuno r R Risulta che la conica è una coppia di rette parallele: (x + + )(x + ) = 0 4
Esercizio 9 Ridurre a forma canonica e disegnare le seguenti coniche (non occorre applicare il teorema di riduzione basta completare i quadrati) a) x + 4 + x = 0 b) x + 4x 8 = 0 Soluzione a) Risulta x + 4 + x = (x + ) + 4 4 = 0 Con la traslazione { X = x + Y = la conica (ellisse) assume forma canonica X + 4Y 4 = 0 ovvero X 4 + Y = b) Completando i quadrati: x +4x 8 = (x+) (+) + e ponendo otteniamo la forma canonica La conica è un iperbole Esercizio 0 X Y + = 0 { X = x + Y = + Calcolare gli invarianti I I I e classificare ciascuna delle seguenti coniche a) x + x + + x + = 0 b) x + x + + x + + = 0 c) x + 6x + = 0 d) x + x + 8 = 0 e) x + x + + 4x = 0 f) x + x + x + = 0 g) 4x + 4x + + x + = 0 Soluzione Ricordiamo che I = tr Q I = det Q I = det A a) Risulta I = I = 4 I = 0 Poiché I < 0 e I = 0 la conica è un iperbole degenere b) I = 6 I = 8 I = 4 Poiché I > 0 la conica è un ellisse (eventualmente degenere o immaginaria) Ma I I > 0 dunque si ha un ellisse immaginaria c) I = I = 8 I = 4 Si ha I < 0 e I 0 dunque è un iperbole d) I = 6 I = 8 I = 64 Si ha I > 0 e I I < 0: ellisse e) I = I = 0 I = 4 Si ha I = 0 e I 0: parabola f) I = I = I = 0: ellisse degenere (punto) 5
g) Si ha I = I = 0: parabola degenere Esercizio Classificare la conica ax + bx + c = 0 al variare di a b c non tutti nulli a b 0 Soluzione La matrice della conica è A = b c 0 a b con parte principale Q = Si ha b c 0 0 0 A = 0 per ogni a b c (la conica è sempre degenere) e Q = ac b Dunque: ellisse degenere (punto) se ac b > 0 iperbole degenere (coppia di rette incidenti) se ac b < 0 retta contata due volte se ac b = 0 Infatti se ac b = 0 il rango della matrice A vale e per il teorema di riduzione la forma canonica è del tipo µy = 0 con µ 0 Esercizio Classificare la conica C k : x + k + 4x + x + = 0 al variare di k R Per quali valori di k la conica ha un centro di simmetria? Soluzione Un calcolo mostra che A = k+7 che si annulla solo quando k = 7 e Q = k 4 Dunque gli invarianti sono I = k + I = k 4 I = k + 7 Abbiamo il seguente schema: se k < 4 e k 7 : iperbole (I < 0 I 0) se k = 7 : iperbole degenere se k = 4: parabola se k > 4: ellisse (poiché I > 0 e I I < 0) La conica ha centro di simmetria per Q 0 cioè per k 4 Esercizio Classificare la conica γ k : x + 9 + kx + x + = 0 al variare di k R Determinare per quali valori di k la conica possiede un centro di simmetria C k = (x k k ) e calcolare lim k C k (se tale limite esiste) Soluzione Un calcolo mostra che A = k 0 Q = 9 k Invarianti: I = I = 9 k I = k 0 6
Si ha I > 0 per k ( ) e I > 0 per k > 5 Per k = ± abbiamo I = 0 e I 0 dunque una parabola Alla fine otteniamo il seguente schema: se k < : iperbole se k = ±: parabola se < k < : ellisse (I > 0 e I I < 0) se k > e k 5: iperbole se k = 5: iperbole degenere La conica ha centro di simmetria per Q = 0 cioè per k ± In tal caso le coordinate del centro sono: x k = k 9 9 k k = k 9 k Si vede facilmente che lim k (x k k ) = (0 0) l origine quando k ± Dunque il centro di simmetria tende verso 7