p. 1/24 INFORMAZIONI Prossime lezioni Giorno Ora Dove 26/01 14:30 P50 28/01 14:30 Laboratorio (via Loredan) 02/02 14:30 P50

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p. 2/24 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno.

p. 2/24 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m?

p. 2/24 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m? Il problema della misura in presenza di errori accidentali va impostato in termini statistico-probabilistici.

p. 2/24 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m? Il problema della misura in presenza di errori accidentali va impostato in termini statistico-probabilistici. La teoria della probabilità si occupa della costruzione di modelli probabilistici (matematici) che descrivano i fenomeni aleatori/casuali. ( Es. funzione di densità di probabilità di un dado).

p. 2/24 Ricapitolando... A causa dell ineliminabile presenza degli errori accidentali, la ripetizione delle misure risultati diversi. Alcune misure più verosimili, altre meno. Come fare per arrivare a m ± m? Il problema della misura in presenza di errori accidentali va impostato in termini statistico-probabilistici. La teoria della probabilità si occupa della costruzione di modelli probabilistici (matematici) che descrivano i fenomeni aleatori/casuali. ( Es. funzione di densità di probabilità di un dado). La statistica si occupa di verificare l aderenza di un modello rispetto ai dati sperimentali. (Es. dato un certo dado, stabilire se è conforme alle previsioni probabilistiche o se è truccato).

p. 3/24 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo.

p. 3/24 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto.

p. 3/24 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Evento casuale: una o più modalità del fenomeno.

p. 3/24 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Evento casuale: una o più modalità del fenomeno. Spazio dei risultati S: insieme di tutte le possibili realizzazioni/modalità di un fenomeno.

p. 3/24 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Evento casuale: una o più modalità del fenomeno. Spazio dei risultati S: insieme di tutte le possibili realizzazioni/modalità di un fenomeno. Spazio degli eventi: insieme tutti i possibili sottoinsiemi di S, compresi tra 0 (evento impossibile) e S (evento certo).

p. 3/24 Elementi di teoria della probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia (degree of belief) che una qualsiasi affermazione risulti essere vera. Il grado di probabilità va da 0 a 1 per affermazioni che vanno dall impossibile al certo. Fenomeno casuale: fenomeno possibile ripetibile infinite volte ma con esito imprevedibile. Es. Lancio del dado, moneta, estrazione dei numeri al lotto. Evento casuale: una o più modalità del fenomeno. Spazio dei risultati S: insieme di tutte le possibili realizzazioni/modalità di un fenomeno. Spazio degli eventi: insieme tutti i possibili sottoinsiemi di S, compresi tra 0 (evento impossibile) e S (evento certo). Variabile casuale: variabile che associa in modo univoco un numero ad ogni realizzazione di un fenomeno casuale.

p. 4/24 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado

p. 4/24 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi

p. 4/24 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.}

p. 4/24 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari

p. 4/24 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari Variabile casuale: 1 se esce numero dispari, 0 se esce numero pari.

p. 4/24 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari Variabile casuale: 1 se esce numero dispari, 0 se esce numero pari. A causa delgi errori accidentali la misura di una grandezza fisica è un evento casuale.

p. 4/24 Elementi di teoria della probabilità Fenomeno casuale: lancio di un dado Spazio dei risultati: 6 elementi Spazio degli eventi: { uscita di un numero pari, uscita di un numero dispari, numero compreso tra 3 e 6, ecc.} Evento casuale: uscita di un numero dispari Variabile casuale: 1 se esce numero dispari, 0 se esce numero pari. A causa delgi errori accidentali la misura di una grandezza fisica è un evento casuale. Il risultato numerico di tale misura è una variabile casuale.

p. 5/24 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E.

p. 5/24 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro.

p. 5/24 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro.

p. 5/24 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro. dipendenti: il verificarsi di uno condiziona la probabilità dell altro.

p. 5/24 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro. dipendenti: il verificarsi di uno condiziona la probabilità dell altro. Eventi incompatibili: il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro.

p. 5/24 Classificazione degli eventi Evento complementare E: mancata realizzazione dell evento E. Eventi compatibili: il verificarsi di uno non esclude l altro. indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilità dell altro. dipendenti: il verificarsi di uno condiziona la probabilità dell altro. Eventi incompatibili: il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro. Evento complesso: verificarsi di due o più eventi simultaneamente (eventi compatibili) o verificarsi di uno solo dei possibili eventi elementari (eventi incompatibili).

p. 6/24 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi:

p. 6/24 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari"

p. 6/24 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari"

p. 6/24 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari" 3. C = "la somma dei punti sia divisibile per tre".

p. 6/24 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari" 3. C = "la somma dei punti sia divisibile per tre". Gli eventi A e B sono incompatibili.

p. 6/24 Classificazione degli eventi: esempi Si abbiano due dadi identici, aventi le facce contrassegnate coi numeri da uno a sei. Scegliamo tre eventi possibili, conseguenti al lancio di entrambi: 1. A = "la somma dei punti sia pari" 2. B = "la somma dei punti sia dispari" 3. C = "la somma dei punti sia divisibile per tre". Gli eventi A e B sono incompatibili. Gli eventi A e C e gli eventi B e C sono compatibili.

p. 7/24 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili:

p. 7/24 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca

p. 7/24 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca 2. B = La seconda pallina estratta sia bianca

p. 7/24 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca 2. B = La seconda pallina estratta sia bianca Se la prima pallina bianca viene rimessa nell urna dopo l estrazione gli eventi A e B sono compatibili independenti.

p. 7/24 Classificazione degli eventi: esempi Da un urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline. Scegliamo 2 eventi possibili: 1. A = La prima pallina estratta sia bianca 2. B = La seconda pallina estratta sia bianca Se la prima pallina bianca viene rimessa nell urna dopo l estrazione gli eventi A e B sono compatibili independenti. Se la prima pallina bianca non viene rimessa nell urna dopo l estrazione gli eventi A e B sono compatibili dipendenti.

p. 8/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori.

p. 8/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili.

p. 8/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che:

p. 8/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1.

p. 8/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1. p(e) = 0 per eventi impossibili.

p. 8/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1. p(e) = 0 per eventi impossibili. p(e) = 1 per eventi certi.

p. 8/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ ASSIOMATICA o CLASSICA Definizione a priori. p(e) = n fav n tot rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento e il numero di casi possibili, purchè tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra 0 e 1. p(e) = 0 per eventi impossibili. p(e) = 1 per eventi certi. Osservazioni Utile per calcolare probabilità nei casi di eventi semplici con un numero finito di casi possibili (es. dadi, carte, ecc.) Contiene in sè una tautologia nell implicita definizione di equiprobabilità. È possibile stimare la probabilità di un evento a partire dalla simmetria del problema.

p. 9/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori.

p. 9/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove.

p. 9/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: p(e) lim N f(e) = lim N n E /N

p. 9/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N

p. 9/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N Le N prove possono essere effettuate sia ripetendo N volte successivamente lo stesso esperimento, sia effettuando simultaneamente N esperimenti identici.

p. 9/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N Le N prove possono essere effettuate sia ripetendo N volte successivamente lo stesso esperimento, sia effettuando simultaneamente N esperimenti identici. La definizione è utilizzabile solo nei casi in cui si disponga di un evento ripetibile o di un gran numero di eventi simili.

p. 9/24 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ EMPIRICA Definizione a posteriori. Frequenza relativa dell evento E: f(e) = n E N rapporto tra il numero n E di volte in cui l evento si è verificato e il numero totale N di prove. La probabilità empirica dell evento E: estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni p(e) lim N f(e) = lim N n E /N Le N prove possono essere effettuate sia ripetendo N volte successivamente lo stesso esperimento, sia effettuando simultaneamente N esperimenti identici. La definizione è utilizzabile solo nei casi in cui si disponga di un evento ripetibile o di un gran numero di eventi simili. La probabilità di un evento risulta essere una caratteristica unitamente dell evento e dell insieme degli N casi considerati, cioè del campione scelto.

p. 10/24 TEOREMA DI BERNOULLI LEGGE DEI GRANDI NUMERI Assumendo come definizione di probabilità quella assiomatica, è possibile dimostrare che al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento casuale converga verso la probabilità dell evento stesso.

p. 10/24 TEOREMA DI BERNOULLI LEGGE DEI GRANDI NUMERI Assumendo come definizione di probabilità quella assiomatica, è possibile dimostrare che al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento casuale converga verso la probabilità dell evento stesso. La convergenza va intesa in senso statistico, ossia aumentando il numero di prove diventa sempre meno improbabile che frequenza relativa differisca molto dalla probabilità dell evento.

TEOREMA DI BERNOULLI LEGGE DEI GRANDI NUMERI Assumendo come definizione di probabilità quella assiomatica, è possibile dimostrare che al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento casuale converga verso la probabilità dell evento stesso. La convergenza va intesa in senso statistico, ossia aumentando il numero di prove diventa sempre meno improbabile che frequenza relativa differisca molto dalla probabilità dell evento. La legge afferma che ǫ piccolo a piacere esiste un intero M tale che per N > M lim N p( f(e) p(e) < ǫ) = 1 p. 10/24

p. 11/24 EOREMA DI BERNOULLI: un esempio Supponiamo di lanciare in aria una moneta e di considerare l evento casuale TESTA. Sappiamo che la probabilità assiomatica è p(t) = 0.5.

p. 11/24 EOREMA DI BERNOULLI: un esempio Supponiamo di lanciare in aria una moneta e di considerare l evento casuale TESTA. Sappiamo che la probabilità assiomatica è p(t) = 0.5. Passiamo all ambito sperimentale e consideriamo l andamento della frequenza relativa dell evento in funzione del numero di lanci.

p. 11/24 EOREMA DI BERNOULLI: un esempio Supponiamo di lanciare in aria una moneta e di considerare l evento casuale TESTA. Sappiamo che la probabilità assiomatica è p(t) = 0.5. Passiamo all ambito sperimentale e consideriamo l andamento della frequenza relativa dell evento in funzione del numero di lanci. Si nota che per N basso la frequenza presenta delle fluttuazioni mentre all aumentare del numero di lanci essa tende a stabilizzarsi attorno ad un valore prossimo a 0.5.

p. 12/24 OREMA DI BERNOULLI: considerazio In altri termini, maggiore è il numero di prove e meno frequentemente succede di osservare grandi scarti della frequenza dal valore della probabilità.

p. 12/24 OREMA DI BERNOULLI: considerazio In altri termini, maggiore è il numero di prove e meno frequentemente succede di osservare grandi scarti della frequenza dal valore della probabilità. La legge dei grandi numeri stabilisce il comportamento asintotico della frequenza relativa, mentre non dice nulla sulla probabilità di successo della singola prova (che resta sempre p).

p. 12/24 OREMA DI BERNOULLI: considerazio In altri termini, maggiore è il numero di prove e meno frequentemente succede di osservare grandi scarti della frequenza dal valore della probabilità. La legge dei grandi numeri stabilisce il comportamento asintotico della frequenza relativa, mentre non dice nulla sulla probabilità di successo della singola prova (che resta sempre p). Questa legge non dice che l osservazione di 10 teste aumenta la probabilità che venga croce all undicesima prova. Fraintendimento comune dei giocatori d azzardo (lotto), che scommettono sull evento che non si verifica da più tempo, convinti che, per questo fatto, esso si debba verificare.

p. 13/24 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica.

p. 13/24 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica. Probabilità dell evento complementare E Nota p(e), quanto vale p(e)? f(e) = N n N = 1 n N = 1 f(e) Passando al limite per N p(e) = 1 p(e) da cui p(e) + p(e) = 1

p. 13/24 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica. Probabilità dell evento complementare E Nota p(e), quanto vale p(e)? f(e) = N n N = 1 n N = 1 f(e) Passando al limite per N p(e) = 1 p(e) da cui p(e) + p(e) = 1 I due eventi E ed E si escludono mutuamente ed esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento.

p. 13/24 PROPRIETÀ DELLA PROBABILITÀ Si possono ricavare a partire da ciascuna delle due definizioni. Utilizziamo qui la definizione empirica. Probabilità dell evento complementare E Nota p(e), quanto vale p(e)? f(e) = N n N = 1 n N = 1 f(e) Passando al limite per N p(e) = 1 p(e) da cui p(e) + p(e) = 1 I due eventi E ed E si escludono mutuamente ed esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento. In un lancio di un dado qual è la probabilità che non esca il 4? p(4) = 1 p(4) = 1 1/6 = 5/6.

p. 14/24 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE Consideriamo il risultato di un esperimento che comporti il verificarsi di 2 eventi simultanei (detti E, F ). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di essi a partire dalla probabilità che si verifichi ciascuno di essi. Si hanno 4 possibili risultati: E F si verifica E e si verifica F n 11 freq. ass. E F si verifica E e non si verifica F n 12 E F non si verifica E e si verifica F n 21 E F non si verifica E e non si verifica F n 22

p. 14/24 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE Consideriamo il risultato di un esperimento che comporti il verificarsi di 2 eventi simultanei (detti E, F ). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di essi a partire dalla probabilità che si verifichi ciascuno di essi. Si hanno 4 possibili risultati: E F si verifica E e si verifica F n 11 freq. ass. E F si verifica E e non si verifica F n 12 E F non si verifica E e si verifica F n 21 E F non si verifica E e non si verifica F n 22 n 11 + n 12 + n 21 + n 22 = N numero totale di prove

EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE Consideriamo il risultato di un esperimento che comporti il verificarsi di 2 eventi simultanei (detti E, F ). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di essi a partire dalla probabilità che si verifichi ciascuno di essi. Si hanno 4 possibili risultati: E F si verifica E e si verifica F n 11 freq. ass. E F si verifica E e non si verifica F n 12 E F non si verifica E e si verifica F n 21 E F non si verifica E e non si verifica F n 22 n 11 + n 12 + n 21 + n 22 = N numero totale di prove Le frequenze relative sono date da: f(e F) = n 11 /N f(e F) = n 12 /N f(e F) = n 21 /N f(e F) = n 22 /N f(e) = (n 11 + n 12 )/N = f(e F) + f(e F) f(f) = (n 11 + n 21 )/N = f(e F) + f(e F) p. 14/24

p. 15/24 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE La frequenza dell evento complesso somma logica E + F verificarsi di E o di F o di entrambi è data da: f(e + F) = (n 11 + n 12 + n 21 )/N = (n 11 + n 12 + n 21 + n 11 n 11 )/N = (n 11 + n 12 )/N + (n 11 + n 21 )/N n 11 /N = f(e) + f(f) f(e F)

p. 15/24 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE La frequenza dell evento complesso somma logica E + F verificarsi di E o di F o di entrambi è data da: f(e + F) = (n 11 + n 12 + n 21 )/N = (n 11 + n 12 + n 21 + n 11 n 11 )/N = (n 11 + n 12 )/N + (n 11 + n 21 )/N n 11 /N = f(e) + f(f) f(e F) Utilizzando la definizione di probabilità empirica, passando al limite N p(e + F) = p(e) + p(f) p(e F) la probabilità totale di due eventi E e F, è pari alla somma delle singole probabilità p(e) e p(f) diminuita della probabilità della loro intersezione (verificarsi simultaneamente).

p. 15/24 EGGE DELLA PROBABILITÀ TOTALE La frequenza dell evento complesso somma logica E + F verificarsi di E o di F o di entrambi è data da: f(e + F) = (n 11 + n 12 + n 21 )/N = (n 11 + n 12 + n 21 + n 11 n 11 )/N = (n 11 + n 12 )/N + (n 11 + n 21 )/N n 11 /N = f(e) + f(f) f(e F) Utilizzando la definizione di probabilità empirica, passando al limite N p(e + F) = p(e) + p(f) p(e F) la probabilità totale di due eventi E e F, è pari alla somma delle singole probabilità p(e) e p(f) diminuita della probabilità della loro intersezione (verificarsi simultaneamente). Equivale a calcolare l unione di due insiemi.

p. 16/24 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale

p. 16/24 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti.

p. 16/24 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti. ESEMPI

p. 16/24 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti. ESEMPI Ottenere T o C nel lancio di una moneta: p(t oc) = p(t) + p(c) = 1 2 + 1 2 = 1

p. 16/24 PROBABILITÀ TOTALE Se gli eventi E e F sono incompatibili (p(e F) = 0) p(e + F) = p(e) + p(f) Legge della probabilità totale Equivale al caso di due insiemi disgiunti. ESEMPI Ottenere T o C nel lancio di una moneta: p(t oc) = p(t) + p(c) = 1 2 + 1 2 = 1 Estrarre da un mazzo di 52 carte un Q o una carta di fiori: p(qo ) = p(q) + p( ) p(q ) = 4 52 + 13 52 1 52 = 4 13

p. 17/24 PROBABILITÀ TOTALE Estrarre una sfera bianca o nera da un urna con a sfere bianche, b sfere nere, c sfere di altri colori: p(bianca onera) = p(bianca) + p(nera) = a a + b + c + b a + b + c

p. 17/24 PROBABILITÀ TOTALE Estrarre una sfera bianca o nera da un urna con a sfere bianche, b sfere nere, c sfere di altri colori: p(bianca onera) = p(bianca) + p(nera) = a a + b + c + b a + b + c Si lanciano due dadi e si indicano con E l evento "il primo dado dà 6", con F l evento "il secondo dado dà 6". L evento "almeno un dado dà 6" è l unione di due eventi compatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno 6"). La probabilità di ottenere almeno un 6 è quindi: 1 6 + 1 6 1 36 = 11 36

p. 18/24 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Nel caso di eventi compatibili dipendenti, è utile definire la probabilità condizionata che si verifichi un evento, essendosi verificato l altro: p(e F) probabilità di E dato F, cioè la probabilità che si verifichi E essendosi verificato F.

p. 18/24 PROBABILITÀ CONDIZIONATA Nel caso di eventi compatibili dipendenti, è utile definire la probabilità condizionata che si verifichi un evento, essendosi verificato l altro: p(e F) probabilità di E dato F, cioè la probabilità che si verifichi E essendosi verificato F. Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti: p(e F) = p(e) p(f E) = p(f)

p. 19/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e ef).

p. 19/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e ef). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi.

p. 19/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e ef). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F)

p. 19/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e ef). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F) Analogamente, la frequenza di F dato E: f(f E) = n 11 /(n 11 + n 12 ) = (n 11 /N) N/((n 11 + n 12 ) = f(e F)/f(E)

p. 19/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e ef). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F) Analogamente, la frequenza di F dato E: f(f E) = n 11 /(n 11 + n 12 ) = (n 11 /N) N/((n 11 + n 12 ) = f(e F)/f(E) Da cui si ricava: f(e F) = f(f)f(e F) = f(e)f(f E).

p. 19/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Si vuole calcolare la probabilità che entrambi i 2 eventi E ed F si verifichino, ovvero p(e ef). Equivale a calcolare l intersezione di due insiemi. Calcoliamo la frequenza di E dato F : f(e F) = n 11 /(n 11 + n 21 ) = (n 11 /N) N/(n 11 + n 21 ) = f(e F)/f(F) Analogamente, la frequenza di F dato E: f(f E) = n 11 /(n 11 + n 12 ) = (n 11 /N) N/((n 11 + n 12 ) = f(e F)/f(E) Da cui si ricava: f(e F) = f(f)f(e F) = f(e)f(f E). Passando al limite N : p(e F) = p(f)p(e F) = p(e)p(f E)

p. 20/24 PROBABILITÀ COMPOSTA: esempi Estrarre 2 carte di fiori da un mazzo di 52 carte: p( )ep( ) = p( ) p( ) = 13 52 12 51

p. 20/24 PROBABILITÀ COMPOSTA: esempi Estrarre 2 carte di fiori da un mazzo di 52 carte: p( )ep( ) = p( ) p( ) = 13 52 12 51 I primi tre estratti al lotto siano 3 numeri assegnati: p(n 1 en 2 en 3 ) = p(n 1 ) p(n 2 n 1 ) p(n 3 n 2 n 1 ) = 1 90 1 89 1 88

p. 21/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti p(e F) = p(e) p(f) Legge della probabilità composta

p. 21/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti p(e F) = p(e) p(f) Legge della probabilità composta Avere in 2 lanci di una moneta entrambi T: p(t et) = p(t) p(t) = 1 2 1 2. In generale in n lanci: p(t et...) = ( ) n 1. 2

p. 21/24 PROBABILITÀ COMPOSTA Se gli eventi E ed F sono compatibili indipendenti p(e F) = p(e) p(f) Legge della probabilità composta Avere in 2 lanci di una moneta entrambi T: p(t et) = p(t) p(t) = 1 2 1 2. In generale in n lanci: p(t et...) = ( ) n 1. 2 Ottenere 5 in 3 lanci successivi di un dado: p(5e5e5) = p(5) p(5) p(5) = 1 6 1 6 1 6 = 1 216.

p. 22/24 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che:

p. 22/24 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13

p. 22/24 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4

p. 22/24 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52

p. 22/24 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13

p. 22/24 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13 Si estraggono due carte, determinare la probabilità che siano entrambe assi se a) la prima è rimessa nel mazzo; b) non è rimessa nel mazzo

p. 22/24 ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13 Si estraggono due carte, determinare la probabilità che siano entrambe assi se a) la prima è rimessa nel mazzo; b) non è rimessa nel mazzo a) p(e ef) = p(e) p(f E) = p(e) p(f) = 4/52 4/52 = 1/169 0.00592 0.6%

ESERCIZI Si consideri un mazzo di 52 carte. Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: 1. Sia un asso p(1) = 4/52 = 1/13 2. Sia un picche p( ) = 13/52 = 1/4 3. Sia un 10 di picche p(10 ) = 1/52 4. Non sia nè un 4 nè un picche p(4 + ) = 1 p(4 + ) = 1 (p(4) + p( ) p(4 )) = 1 (1/13 + 1/4 1/52) = 1 4/13 = 9/13 Si estraggono due carte, determinare la probabilità che siano entrambe assi se a) la prima è rimessa nel mazzo; b) non è rimessa nel mazzo a) p(e ef) = p(e) p(f E) = p(e) p(f) = 4/52 4/52 = 1/169 0.00592 0.6% b) p(e) p(f E) = 4/52 3/51 = 1/221 0.00452 0.4%. p. 22/24

p. 23/24 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali.

p. 23/24 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali. p(almeno 2 cifre uguali) = 1 p(tutte cifre diverse) = 1 (10/10 9/10 8/10 7/10) = 1 0.504 = 0.496

p. 23/24 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali. p(almeno 2 cifre uguali) = 1 p(tutte cifre diverse) = 1 (10/10 9/10 8/10 7/10) = 1 0.504 = 0.496 L apertura di una porta è comandata dal segnale congiunto di due fotocelle. Se ciascuna fotocella ha un inefficienza del 3% (probabilità di non rivelare l avvicinarsi di una persona), qual è la probabilità che la porta non si apra quando si avvicina una persona?

p. 23/24 ESERCIZI Determinare la probabilità che un numero di 4 cifre, in base 10, abbia almeno 2 cifre uguali. p(almeno 2 cifre uguali) = 1 p(tutte cifre diverse) = 1 (10/10 9/10 8/10 7/10) = 1 0.504 = 0.496 L apertura di una porta è comandata dal segnale congiunto di due fotocelle. Se ciascuna fotocella ha un inefficienza del 3% (probabilità di non rivelare l avvicinarsi di una persona), qual è la probabilità che la porta non si apra quando si avvicina una persona? p(nonsi apra) = 1 p(si apra) = 1 (p(fc1) p(fc2)) = 1 [(1 0.03) (1 0.03)] = 1 (0.97 0.97) = 0.0591

p. 24/24 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato?

p. 24/24 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? (3.6 10 3 ) (5.645 10 2 ) = 20 10

p. 24/24 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? (3.6 10 3 ) (5.645 10 2 ) = 20 10 2.3 + 4.760 + 60.2356 = 67.3

p. 24/24 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? (3.6 10 3 ) (5.645 10 2 ) = 20 10 2.3 + 4.760 + 60.2356 = 67.3 9.8 + 80.76 + 6.07510 = 96.6

p. 24/24 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? (3.6 10 3 ) (5.645 10 2 ) = 20 10 2.3 + 4.760 + 60.2356 = 67.3 9.8 + 80.76 + 6.07510 = 96.6 356.88 54.3790 = 302.50

p. 24/24 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? (3.6 10 3 ) (5.645 10 2 ) = 20 10 2.3 + 4.760 + 60.2356 = 67.3 9.8 + 80.76 + 6.07510 = 96.6 356.88 54.3790 = 302.50 Trovare le dimensioni della costante di gravitazione universale G in funzione delle dimensioni delle grandezze fondamentali nel S.I. Si ricorda che la forza di gravitazione è data da: F = G m 1 m 2 r 2

p. 24/24 Esercizi Con quante cifre significative si deve riportare il risultato? (3.6 10 3 ) (5.645 10 2 ) = 20 10 2.3 + 4.760 + 60.2356 = 67.3 9.8 + 80.76 + 6.07510 = 96.6 356.88 54.3790 = 302.50 Trovare le dimensioni della costante di gravitazione universale G in funzione delle dimensioni delle grandezze fondamentali nel S.I. Si ricorda che la forza di gravitazione è data da: F = G m 1 m 2 r 2 I seguenti valori sono il risultato di calcoli numerici: 127.3 14.26 3.07 10 6 1123.1 21.007 83.03 10 3. Si sa che l errore relativo su ogni valore è il 1%. Tenendo conto che l incertezza sull errore è il 30% dell errore, esprimere il valore vero usando l appropriato numero di cifre significative per il miglior valore e l incertezza.