Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica prova scritta del 3 luglio 28 Compito A ESERCIZIO. Si consideri la proiettività, f : P 3 (R P 3 (R, di matrice 3 3 A = 2 3 3 nel riferimento canonico {e,..., e 3 }. (a [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f. (b [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un omologia (speciale o non-speciale e si determinino in ogni caso asse e centro dell omologia. (c [3 punti] In P 3 (R si considerino gli elementi P, r e π, di equazioni cartesiane { X = X = π : X =, r : X =, P : X =. X 2 = Si determinino le matrici di tutte le proiettività di P 3 (R che hanno P, r e π come elementi uniti. Si caratterizzino quelle che li hanno come unici elementi uniti. Svolgimento. (a Il polinomio caratteristico di A è det(x A = (x + 3 4 e si ha A + 3 =, (A + 3 2 = (A 2 3 =. 2 2 2 Il polinomio minimo è quindi (x + 3 3. Scelta la base v = e + e 3, v = 2e 2, v 2 = e e 2, v 3 = e 3, la matrice di una soprastante di f, rispetto a tale base, è J = 3 3 3 3 da cui si vede che vi è una retta di punti uniti, r = σ v, v ed un fascio di piani uniti, di asse la retta s = σ v, v 2. Sul piano σ = σ v, v, v 2, resta indotta un omologia (necessariamente speciale, di asse r e centro nel punto P = σ v. Quindi sono unite tutte le rette del piano σ, passanti per P, ovvero r (a,b = σ v, av + bv 2 ( (b Non vi sono piani, diversi da σ, su cui resti indotta un omologia. Su tutte le rette unite resta indotta un omologia speciale di centro ed asse nel punto P = σ v. (c Le proiettività cercate hanno matrici del tipo a a a a 2 a 2 a 22 a 3 a 3 a 32 a 33 ( Le rette r ed s descritte sopra sono, rispettivamente, le rette r(, ed r (, di questo fascio.
2 MAURIZIO CANDILERA e FRANCESCO ESPOSITO con a a a 22 a 33 e determinate a meno di un fattore di proporzionalità (sono quindi i punti di un P 9 (R che stanno nel complementare dell unione di 4 iperpiani. Tra queste, quelle che hanno P, r e π come unici elementi uniti, soddisfano alle ulteriori condizioni: a = a = a 22 = a 33 ed a a 2 a 32 (perché?. ESERCIZIO 2. Su una retta proiettiva (reale, si consideri il riferimento {P, P, P } e, per ogni numero razionale, x, si indichi con P x il punto di coordinata affine x nel riferimento dato, ovvero l unico punto tale che (P, P, P, P x = x. (a [3 punti] Si mostri che, per ogni numero naturale, n, si ha (P, P n, P n, P n+ =, e (P, P /n, P /(n, P /(n+ = ; ove si è usata la convenzione / =, per n =. Si concluda che ogni punto P x, al variare di x in Q, è costruibile con la sola riga a partire dai punti del riferimento. (b [3 punti] Siano date nel piano affine due rette parallele, r ed s, ed una coppia di punti distinti, P e P, su r. Si descriva un procedimento che utilizzi solo la riga per dividere in tre parti uguali il segmento P P. (c [3 punti] Perché non si può usare il procedimento duale sui fasci di rette per dividere un angolo in tre parti uguali? Svolgimento. (a Sia n > e si osservi che si ha (P, P n, P n, P n+ = (, n, n, n + = (P, P /n, P /(n, P /(n+ = (, /n, /(n, /(n + =. ove l uguaglianza nella seconda riga si poteva dedurre da quella della prima, ricordando che la trasformazione x x si estende ad una proiettività della retta. Si verifica facilmente che le uguaglianze restano vere anche nel caso in cui n =. Poiché il quarto armonico dopo tre punti dati è costruibile con la sola riga, usando ricorsivamente quella costruzione e le relazioni stabilite sopra, è possibile costruire ogni punto del tipo P m/n con m < n. Ad esempio, si può costruire dapprima P m e poi determinare P m/n costruendo il punto di coordinata affine /n nel riferimento {P, P, P m }. Infine, per costruire P x con > x Q, è sufficiente osservare che (P, P, P x, P x = (,, x, x = per ogni x Q. 2 3 2 3 s r (b Avere le due rette parallele equivale ad avere in evidenza il punto improprio (P della retta r e quindi si possono usare i procedimenti descritti in precedenza per determinare i punti di coordinate affini /3 e 2/3 nel riferimento {P, P, P } su r. Un esempio di applicazione dei procedimenti del punto precedente si può vedere nel disegno qui a fianco, ove si sono usate le relazioni (,,, /2 =, (, /2,, /3 = e (/3,,, 2/3 =. (c Non è possibile perché la misura dell angolo non è una coordinata affine in un fascio di rette del piano (che relazioni ci sono?. ESERCIZIO 3. In P 2 (R, si consideri il fascio di coniche di equazioni al variare dei parametri omogenei (λ, µ. C (λ,µ : 2λX X + 4λX X 2 + µx 2 + 2µX X 2 2λX 2 2 =
MATEMATICA 3 prova scritta del 3 luglio 28 Compito A 3 (a [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X 2 2X =. (b [3 punti] Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X =. Ponendo su questo piano l usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice ed equazione canonica per le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio. (c [3 punti] Si scriva l equazione di una curva, se esiste, contenente i centri di tutte le coniche a centro del fascio. Che relazioni ha tale curva con i punti base del fascio? Svolgimento. (a La generica conica del fascio ha matrice A (λ,µ = λ 2λ λ µ µ e det A = 2λ 3. 2λ µ 2λ Dunque vi è una sola conica degenere nel fascio, ovvero C (, : X (X + 2X 2 =. Tutte le coniche passano per l origine e sono tangenti alla retta r : X + 2X 2 = in quel punto. Le coniche C (, : X X + 2X X 2 X 2 2 = e C (, si intersecano nei punti base del fascio, che sono P = ( ( (molteplicità 3, e Q =. 2 Nel piano affine che si ottiene mandando all infinito la retta X 2 2X =, il fascio ha un punto base all infinito, P, e quindi le coniche non degeneri sono tutte iperboli ed uno degli asintoti coincide con la retta r. (b Nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X =, il tipo di conica è determinato dal segno di det = µ(2λ + µ. Quindi la situazione ( µ µ µ 2λ è descritta nel diagramma a fianco, ove la zona ombreggiata rappresenta i valori (λ, µ per cui si ottengono ellissi, mentre la zona bianca, rappresenta i valori per cui si ottengono iperboli. Le linee tratteggiate corrispondono alle due parabole del fascio. Una parabola non degenere è C (, : X X + 2X X 2 X2 2 =, ovvero x = (y 2 in coordinate affini. Dunque ha asse h : y =, vertice in (, equazione canonica 2Y = 2X 2. µ= µ 2λ+µ= L altra parabola ( è C (,2 : 2X X 4X X 2 +2X 2 +4X X 2 +2X2 2 =. Ha asse h : 3X +4X +4X 2 = 6, vertice in V = 5, equazione canonica 2Y = 4 2X 2. 3 ( x (c I centri sono i punti propri che sono soluzioni di uno (almeno dei sistemi lineari x x 2 { λx + µx + µx 2 = 2λX + µx 2λX 2 =, al variare dei parametri omogenei (λ, µ. Dunque, per tali valori delle X i, il sistema lineare omogeneo { λx + µ(x + x 2 = λ(2x 2x 2 + µx =, ha soluzioni non banali, per cui deve aversi x x (x + x 2 (2x 2x 2 = che è l equazione di una conica contenente i centri delle coniche del fascio. Anche questa conica è tangente in P alla retta r, ma non appartiene al fascio. λ
4 MAURIZIO CANDILERA e FRANCESCO ESPOSITO ESERCIZIO 4. In P 3 (R, si consideri la quadrica Q : X 2 6X X 3 + X 2 + 4X X 3 2X 2 2 + X 2 3 =. (a [3 punti] Si classifichi la quadrica in P 3 (R e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X =. Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l equazione canonica e gli assi di Q. (b [3 punti] Si determinino le equazioni di rette contenute nel supporto di Q. È vero che esiste un affinità che trasforma Q in un ellissoide? È vero che esiste una proiettività di P3 (R che trasforma Q in un ellissoide? (c [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi su Q. Si determini il luogo formato dai centri dei cerchi tagliati su Q. Che relazione ha questo luogo con il punto (improprio di intersezione delle due giaciture che tagliano cerchi su Q? Svolgimento. (a La quadrica ha matrice A = 3 2 2 3 2 e det A = 2, det A = 6. Si tratta quindi di una quadrica non degenere, a punti iperbolici (dato che vi sono dei punti reali e la sua restrizione al piano improprio è non definita e non degenere, quindi nello spazio affine è un iperboloide iperbolico. Il centro è il punto C = ( 2. Il polinomio caratteristico di A è det(a λ 3 = (λ + 2(λ + (λ 3 e quindi gli autovalori sono 2,, 3, che determinano le direzioni degli assi, ovvero ( ( ( P =, P 2 =, P 3 =. Gli assi hanno quindi equazioni affini { (x 2 + (z + = h : (x 2 (z + =, { y = h 2 : (x 2 + (z + =, { y = h 3 : (x 2 (z + =. Infine, l equazione canonica è X 2 + 2 Y 2 3 2 Z2 = nel riferimento ortonormale che ha gli assi della quadrica come assi coordinati. (b Con il completamento dei quadrati l equazione di Q si può scrivere nella forma Con il cambiamento di coordinate 6X 2 3 (X + 3X 3 2 + (X + 2X 3 2 2X 2 2 =. Y = X + (3 + 6X 3, Y = X (3 6X 3, Y 2 = X 2X 2 + 2X 3, Y 3 = X + 2X 2 + 2X 3, l equazione prende la forma Y Y + Y 2 Y 3 =, da cui si deducono con procedimenti standard le equazioni delle due schiere di rette su Q. Non possono esistere proiettività (reali che trasformino Q in un ellissoide perché la quadrica data ha punti iperbolici (sgn(2, 2 e nessuna proiettività reale può trasformarla in una quadrica a punti ellittici. Tanto meno possono esistere delle affinità. (c Le intersezioni tra Q e l assoluto sono le soluzioni del sistema X = Q H : X 2 + X2 2 + X3 2 =. X 2 + 4X X 3 2X2 2 + X3 2 =
MATEMATICA 3 prova scritta del 3 luglio 28 Compito A 5 Il fascio di coniche determinato da Q ed H sul piano improprio contiene la conica { X = 2(X + X 3 2 X 2 2 = che si spezza nel prodotto di due rette reali che danno quindi le giaciture dei piani che tagliano cerchi sulla quadrica. Si han quindi i due fasci di piani (paralleli di equazioni affini τ t : 2x + y + 2z = t e σ s : 2x y + 2z = s, al variare di s e t in R. I luoghi dei centri sono due rette per il centro di Q contenute nel piano polare del punto di intersezione tra le due giaciture (perché? Scrivere l equazione delle due rette!.
Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica prova scritta del 3 luglio 28 Compito B ESERCIZIO. Si consideri la proiettività, f : P 3 (R P 3 (R, di matrice 3 2 3 2 A = 2 3 2 3 nel riferimento canonico {e,..., e 3 }. (a [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f. (b [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un omologia (speciale o non-speciale e si determinino in ogni caso asse e centro dell omologia. (c [3 punti] In P 3 (R si considerino gli elementi P, r e π, di equazioni cartesiane { X2 = X = π : X 3 =, r : X 3 =, P : X 2 =. X 3 = Si determinino le matrici di tutte le proiettività di P 3 (R che hanno P, r e π come elementi uniti. Si caratterizzino quelle che li hanno come unici elementi uniti. ESERCIZIO 2. Su una retta proiettiva (reale, si consideri il riferimento {P, P, P } e, per ogni numero razionale, x, si indichi con P x il punto di coordinata affine x nel riferimento dato, ovvero l unico punto tale che (P, P, P, P x = x. (a [3 punti] Si mostri che, per ogni numero naturale, n, si ha (P, P n, P n, P n+ =, e (P, P /n, P /(n, P /(n+ = ; ove si è usata la convenzione / =, per n =. Si concluda che ogni punto P x, al variare di x in Q, è costruibile con la sola riga a partire dai punti del riferimento. (b [3 punti] Siano date nel piano affine due rette parallele, r ed s, ed una coppia di punti distinti, P e P, su r. Si descriva un procedimento che utilizzi solo la riga per dividere in tre parti uguali il segmento P P. (c [3 punti] Perché non si può usare il procedimento duale sui fasci di rette per dividere un angolo in tre parti uguali? ESERCIZIO 3. In P 2 (R, si consideri il fascio di coniche di equazioni C (λ,µ : 2λX X + 2λX X 2 + 2µX 2 + 2µX X 2 λx 2 2 = al variare dei parametri omogenei (λ, µ. (a [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X 2 2X =. (b [3 punti] Al variare di (λ, µ, si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X =. Ponendo su questo piano l usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice ed equazione canonica per le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio. (c [3 punti] Si scriva l equazione di una curva, se esiste, contenente i centri di tutte le coniche a centro del fascio. Che relazioni ha tale curva con i punti base del fascio?
ESERCIZIO 4. In P 3 (R, si consideri la quadrica Q : 2X X 2 6X X 3 + 2X 2 + 2X X 3 X 2 2 + 2X 2 3 =. (a [3 punti] Si classifichi la quadrica in P 3 (R e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X =. Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l equazione canonica e gli assi di Q. (b [3 punti] Si determinino le equazioni di rette contenute nel supporto di Q. È vero che esiste un affinità che trasforma Q in un ellissoide? È vero che esiste una proiettività di P3 (R che trasforma Q in un ellissoide? (c [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi su Q. Si determini il luogo formato dai centri dei cerchi tagliati su Q. Che relazione ha questo luogo con il punto (improprio di intersezione delle due giaciture che tagliano cerchi su Q?