FUNZIONI E GRAFICI In questa sezione si dà il significato intuitivo di funzione, si stabiliscono definizioni e terminologia, si descrive come una funzione può essere rappresentata graficamente e come se ne possono studiare le proprietà. 1 Funzioni 1.1 Introduzione Tutte le volte che si stabilisce un legame tra due quantità si dice che una è funzione dell altra. Consideriamo i seguenti esempi: ESEMPIO 1. Supponiamo di raccogliere i dati sul prezzo di un certo prodotto negli anni compresi tra il 2000 e il 2010. Possiamo riportare i dati in una tabella: o in un grafico: anno 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 prezzo 29,90 27,50 25,00 25,00 25,00 19,90 22,50 23,50 25,90 28,50 32,50 40 35 30 prezzo (euro) 25 20 15 10 5 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 tempo (anni) Leggendo i dati o il grafico, possiamo rispondere a domande del tipo: 1. Qual era il prezzo del prodotto nel 2006? (22,50 ) 2. In quale anno il prodotto costava 28,50? (nel 2009) 3. In quale anno il prezzo ha raggiunto il suo valore massimo, e in quale il minimo? (il minimo nel 2005, il massimo nel 2010) 4. In quali anni il prezzo è aumentato, in quali diminuito, in quali è rimasto costante? (tra il 2000 e il 2002 e tra il 2004 e il 2005 il prezzo è diminuito, tra il 2002 e il 2004 è rimasto costante, tra il 2005 e il 2010 è aumentato) 5. I dati ci dicono quanto costava il prodotto nel 1997? (no, perché i valori del prezzo si riferiscono solo agli anni compresi tra il 2000 e il 2010) 1
Per rispondere alle domande sfruttiamo il fatto che la tabella, o il grafico, fissano una corrispondenza precisa tra ogni ogni anno compreso tra il 2000 e il 2010, e il prezzo del prodotto in quell anno. Possiamo allora determinare il valore del prezzo in un determinato anno, o viceversa l anno in cui il prezzo ha avuto un certo valore; possiamo anche studiare l andamento del prezzo negli anni. Questa corrispondenza si chiama funzione. Possiamo quindi dire che i dati riportati mostrano il prezzo in funzione del tempo, espresso in anni. ESEMPIO 2. Consideriamo le misure di temperatura prese in tre diverse città, ogni due ore, nell arco di una giornata. Le riportiamo in un grafico: Leggendo il grafico, possiamo rispondere a domande del tipo: 1. In quale città la temperatura ha raggiunto il valore massimo, e in quale il minimo? (a Bari il massimo, a Milano il minimo) 2. Alle 12, in quale città faceva più caldo? Che temperatura c era? (A bari, c erano 16 C) 3. Qual è stato l intervallo di variabilità delle temperature a Milano? (le temperature a Milano sono comprese tra gli 8 e i 15 C) 4. A che ora a Bari c erano 14 C? (alle 8) 5. In quali ore, a Milano, la temperatura è aumentata, e in quali è diminuita? (tra le 2 e le 8 e tra le 16 e le 24 è diminuita, tra le 8 e le 16 è aumentata) 6. E possibile ricavare dal grafico la temperatura alle 7 del mattino? (no, perché le temperature sono state prese solo nelle ore pari, tra le 2 e le 24) Anche in questo esempio, possiamo rispondere alle domande perché il grafico mostra una corrispondenza ben precisa tra alcuni valori del tempo (solo le ore pari tra 2 e 24) e la temperatura misurata in ogni città, che ci permette di stabilire un preciso valore di temperatura per ogni valore di tempo, o viceversa, e individuare l andamento della temperatura al variare del tempo. In questo caso, abbiamo tre funzioni, la temperatura a Bari in funzione del tempo, la temperatura a Roma in funzione del tempo, la temperatura a Milano in funzione del tempo. In entrambi gli esempi, oltre ad avere una corrispondenza tra i valori di due quantità (prezzo e tempo nell esempio 1, temperatura e tempo nell esempio 2), abbiamo anche limitato i valori del tempo a un ben preciso insieme di valori (gli anni tra il 2000 e il 2010 nell esempio 1, le ore pari tre le 2 e le 24 nell esempio 2), ottenendo un ben determinato insieme di valori per il prezzo o la temperatura. 1.2 Definizioni e terminologia Dal punto di vista matematico, una funzione è una relazione tra due insiemi, detti dominio e codominio, tale che a ogni elemento del dominio, corrisponde uno e un solo elemento del codominio. Nell ESEMPIO 1, il dominio è l insieme dei valori del tempo in cui è stato monitorato il prezzo, cioè gli anni tra il 2000 e il 2010. In simboli, si scrive: D = {t N 2000 t 2010} 2
che si legge il dominio è l insieme dei t appartenenti all insieme dei numeri naturali, tali che t è compreso tra 2000 e 2010. Bisogna specificare che i numeri considerati sono naturali, perché altrimenti si comprenderebbero anche i tempi frazionari, ad esempio t = 2002, 50, mentre noi stiamo considerando gli anni interi. Il codominio è l insieme dei valori del prezzo negli anni considerati, cioè i valori riportati nella seconda riga della tabella: C = {29, 90; 27, 50; 25, 00; 25, 00; 25, 00; 19, 90; 22, 50; 23, 50; 25, 90; 28, 50; 32, 50} Nell ESEMPIO 2, il dominio è l insieme degli orari in cui è stata fatta la misura, cioè i tempi interi e pari compresi tra 2 e 24: D = {t N 2 t 24, x pari} Questo è il dominio comune a tutte e tre le funzioni. Ogni funzione considera la temperatura in una città diversa, quindi ogni funzione avrà un codominio diverso. Ad esempio, per Bari il codominio è l insieme di tutti i valori di temperatura misurati a Bari: C = {12; 13.5; 14; 15; 16; 17; 18.25; 20; 22; 19.5} La proprietà fondamentale delle funzioni è che associano un solo valore agli elementi del dominio. Nell esempio, sono state definite tre funzioni, una per città, perché altrimenti a ogni ora avremmo dovuto associare tre valori di temperatura, e la risposta alla domanda che temperatura c era alle 9 non sarebbe stata univoca. Per indicare quale quantità è in funzione dell altra, si usa la scrittura f (x), che indica che la funzione f varia al variare dei valori di x. La x viene detta variabile indipendente e la f variabile dipendente. Per ogni valore x della variabile indipendente, il corrispondente valore f (x) della variabile dipendente si dice la sua immagine, mentre il valore, o i valori, della variabile indipendente corrispondenti a un valore della variabile dipendente si chiamano la sua controimmagine e si indicano con f 1 (x). Riassumendo, possiamo riscrivere le domande e le risposte degli esempi precedenti, usando la terminologia e la notazione delle funzioni. Nell ESEMPIO 1, possiamo scrivere il prezzo in funzione del tempo come p(t), e le domande diventano: 1. Qual è l immagine di 2006? (p(2600)=22,50 ) 2. Qual è la controimmagine di 28,50? (p 1 (28, 50) = 2009, che equivale a p(2009) = 28, 50) 3. Dove il prezzo ha un massimo, e dove un minimo? (p 1 (p max ) = 2010, p 1 (p min ) = 2005) 4. Dove la funzione è crescente, dove decrescente, dove costante? (p(t) è crescente in [2005; 2010], decrescente in [2000; 2002] e in [2004; 2005], costante in [2002; 2004]) 5. I dati ci dicono quanto costava il prodotto nel 1997? (no, perché 1997 non appartiene al dominio, 1997 / D) Nell ESEMPIO 2, possiamo definire tre funzioni, T Roma (t), T Bari (t), T Milano (t), e riscrivere le risposte così: 1. La funzione che assume valore massimo è T Bari ; la funzione che assume valore minimo è T Milano. 2. Il massimo tra T Bari (12), T Milano (12) e T Roma (12) è T Bari (12) = 16. 3. Il codominio di T Milano è incluso nell intervallo [8; 15]. 4. T 1 Bari (14) = 8. 5. La funzione T Milano è crescente in [8; 16], e decrescente in [2; 8] e in [16; 24]. 6. 7 non appartiene al dominio, quindi non ha immagine. 3
1.3 Generalizzazione In generale, quando non è necessario specificare il significato delle quantità correlate, si indica con x la variabile indipendente, con y la variabile dipendente, e con f la funzione. Per definire in modo completo una funzione bisogna stabilire dominio, codominio e corrispondenza, che vengono riassunte nella seguente scrittura: f : D C x y = f (x) Questa scrittura risulta comoda quando D e C non devono essere definiti a parte, ma sono insiemi noti, come R o N, e la corrispondenza è un espressione numerica.ad esempio, possiamo definire la funzione: f : R R x y = 2x + 1 che si legge la funzione f va da R a R e associa alla x l espressione 2x + 1 oppure f è una funzione reale di variabile reale di equazione y = 2x + 1. In questa scrittura c è tutto quello che serve per costruire una qualsiasi coppia di valori (x; y). Infatti, sappiamo che la variabile indipendente può assumere un qualsiasi valore reale, e per ogni numero reale possiamo calcolare la corrispondente immagine f (x) = 2x + 1. Ad esempio f (0) = 2 0 + 1 = 1, f (2) = 2 2 + 1 = 5, e così via. Allo stesso modo, possiamo determinare una controimmagine sostituendo alla y un qualsiasi valore reale e risolvendo l equazione y = 2x + 1. Ad esempio per trovare f 1 (3): cioè f 1 (3) = 1. 3 = 2x + 1 2 = 2x x = 1 Negli esempi precedenti invece, la relazione tra anni e prezzo, o tra ore e temperatura non poteva essere espressa da un espressione algebrica, ma solo data come elencazione delle coppie dei valori, in una tabella o mostrati in un grafico. L insieme di valori su cui calcolare le immagini può essere ridotto arbitrariamente. Ad esempio, a partire dalla stessa espressione dell esempio precedente, si può definire una funzione g: g : [0; 10] [1; 21] x y = 2x + 1 La funzione g è diversa dalla funzione f, perché hanno diversi dominio e codominio. Nel caso di g non si può calcolare l immagine dei numeri esterni all intervallo di valori compresi tra 0 e 10, né le controimmagini dei valori esterni all intervallo di valori compresi tra 1 e 21. Quindi, anche se è possibile calcolare 2x + 1 per x = 2, non esiste g( 2), mentre esiste f ( 2) = 3. Allo stesso modo, non esiste la controimmagine di 0, anche se l equazione 2x + 1 = 0 ha soluzione. Allo stesso modo si può definire la funzione: h : N N x y = 2x + 1 che è diversa dalle due precedenti, perché si può calcolare l immagine o la controimmagine solo di numeri nat- ( urali. Allora, anche se è possibile, dal punto di vista algebrico, calcolare 2x + 1 per x = 1 2, non esiste h 12 ), ( ) mentre esiste f 12 = 2. Inoltre, anche se 2 è un numero reale, che appartiene al codominio, non esiste la sua controimmagine h 1 (2) perché non è un numero naturale, essendo 1 2. 4
2 Grafici 2.1 Il piano cartesiano Il modo più conveniente per rappresentare graficamente le funzioni è utilizzare il piano cartesiano. E composto da due assi perpendicolari graduati, che consentono di rappresentare la corrispondenza tra un elemento del dominio e la sua immagine con un solo punto, che ha per coordinate i due valori. Le due coordinate si chiamano rispettivamente ascissa e ordinata, e il punto si indica con la scrittura P(x; y). Nell esempio iniziale, per indicare che a Bari alle 2 c erano 12 C, nel grafico c è un punto di coordinate 2 e 12. Se chiamiamo P tale punto, scriviamo P(2; 12), dove 2 è l ascissa e 12 l ordinata. Analogamente, possiamo dire che il punto Q(8; 14) appartiene al grafico della funzione T Bari, mentre il punto R(20; 16) no. Disegnare il grafico di una funzione significa quindi, fissati due assi cartesiani con le loro unità di misura, rappresentare tutti i punti che hanno per coordinate gli elementi del dominio e la loro immagine, cioè tutti i punti del tipo (x; f (x)). Negli esempi dell introduzione, i valori sono discreti e limitati, quindi è possibile rappresentare tutti i punti. Quando i valori del dominio sono continui, o comunque troppi per essere rappresentati tutti a mano, invece dei singoli punti si disegna una curva, che idealmente comprende tutti i punti. Ad esempio: f : R R x y = 2x + 1 Il modo più semplice per disegnare il grafico è calcolare le coordinate di un numero sufficiente di punti, in modo da costruire in modo preciso il grafico. Calcoliamo ad esempio le immagini di 8 numeri: x -3-2 -1 0 1 2 3 4 y -5-3 -1 1 3 5 7 9 riportiamo i punti sul grafico e tracciamo la linea continua che passa per i punti trovati: Si può notare che i punti risultano disposti su una retta. Per espressioni più complesse può essere necessario calcolare le coordinate di molti più punti, per avere un idea dell andamento del grafico. Ci sono casi in cui l equazione y = f (x) della funzione ha una forma nota, quindi se ne conosce la forma del grafico. In questi casi non è necessario calcolare le coordinate di un gran numero di punti, ma solo di alcuni fondamentali per costruire il grafico. Nei prossimi paragrafi sono descritti in dettaglio i grafici delle funzioni lineari e quadratiche. 5
2.2 Le funzioni lineari e la retta Le funzioni lineari Una funzione lineare è una funzione che ha come equazione un espressione lineare, cioè in cui la variabile indipendente compare al massimo al primo grado. Tutte le funzioni lineari hanno come grafico una retta, e viceversa, cioè tutte le rette sono grafico di una funzione lineare. Allora, tutte le volte che si deve disegnare il grafico di una funzione lineare, basta determinare le coordinate di due punti e tracciare la retta che passa per questi due punti. La scelta dei valori della x con cui calcolare le corrispondenti ordinate è arbitraria, quindi è conveniente scegliere numeri comodi per fare i calcoli. Tipicamente si presentano due casi: 1) Funzione definita su tutto R: f : R R x y = 3x 5 è comodo prendere come valori 0 e 1: x 0 1 y -5-2 2) Funzione definita su un dominio limitato: f : [1; 3] [ 2; 4] x y = 3x 5 in questo caso è conveniente calcolare la funzione agli estremi: x 1 3 y -2 4 in questo caso la linea che costituisce il grafico deve essere compresa tra i due punti estremi, perché la funzione non esiste al di fuori del suo dominio. Una volta disegnato il grafico limitato al dominio, si può ricavare il codominio osservando in quale intervallo dell asse y risulta limitato il grafico; in questo caso è l insieme C = {y R 2 y 4} che si può scrivere anche come [ 2; 4]. Una funzione lineare esprime una relazione tra due quantità che viene detta di linearità. Il significato è che si mantiene costante il rapporto tra l incremento di una quantità e quello dell altra. Nell esempio del paragrafo precedente, si può notare che avanzando di una colonna in tabella, la x aumenta sempre di 1, e la y sempre di 2. Se si salta una colonna, si vede che per ogni incremento della x di 2 unità, la y aumenta di 4, mantenendo il rapporto tra i due incrementi sempre a 2. Questo permette di semplificare i calcoli in molte situazioni. Ad esempio, se dobbiamo pagare il 5% di interesse ogni anno su un prestito di 12000, sappiamo che per ogni anno l interesse da pagare è I = 0, 05 12000 = 600. Se abbiamo calcolato gli interessi da pagare dopo 15 anni, I(15) = 600 15 = 9000, nel caso in cui prolunghiamo il prestito di un anno, non dobbiamo ricalcolare l interesse, cioè calcolare I(16) = 600 16 = 9600, basta aggiungere 600 alla cifra già calcolata, cosa che si può fare agevolmente anche a mente. 6
La retta Dall equazione alle proprietà. Abbiamo già visto che data un equazione lineare, cioè del tipo y = mx + q, il suo grafico è una retta, cioè tutti i punti le cui coordinate (x; y) verificano l equazione, stanno su una retta. Quando l equazione è in questa forma, si dice che è in forma esplicita, perché rende evidenti le proprietà della retta. Infatti m si chiama coefficiente angolare ed è legato alla pendenza della retta: maggiore è m, maggiore è la pendenza della retta rispetto all asse x, cioè la retta tende a essere più verticale. Inoltre se m > 0 la retta è crescente, mentre se m < 0 è decrescente. q si chiama intercetta oppure ordinata all origine, perché è l ordinata del punto con cui la retta interseca l asse y. Ad esempio, considerando il grafico precedente dell equazione y = 3x 5, il coefficiente angolare è m = 3, che significa che per un incremento unitario della x, la y aumenta di 3. L intercetta è q = 5, che è l ordinata del punto in cui la retta interseca l asse y, come si vede dal grafico. Un caso particolare è quello delle rette con m = 0, ad esempio y = 4. Secondo questa equazione, per qualunque valore di x la y vale sempre 4, quindi i punti sulla retta hanno tutti ordinata 4, come i punti A e B nella figura di sinistra. La retta risultante è quindi parallela all asse x. In generale, tutte le equazioni del tipo y = k hanno come grafico una retta parallela all asse x. Una retta può essere espressa anche in forma implicita, cioè con un equazione del tipo ax + by + c = 0. Ad esempio l equazione y = 3x 5 è equivalente a 3x y 5 = 0. Se un equazione viene data in forma implicita, bisogna metterla in forma esplicita per individuare coefficiente angolare e intercetta. La forma implicita è utile per esprimere le equazioni delle rette che non si possono scrivere in forma esplicita. Queste sono tutte le rette parallele all asse y, che hanno equazione del tipo x = k. Nella figura in alto a destra è mostrato l esempio della retta di equazione x = 6; tutti i punti appartenenti a questa retta hanno in ocmune l ascissa, che è 6, come si vede per i due punti mostrati, A(6; 4.5) e B(6; 1). Il coefficiente angolare permette di stabilire quali rette sono parallele o perpendicolari tra loro. Infatti, tutte le rette con lo stesso m hanno la stessa inclinazione, quindi sono parallele tra loro. Due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari m 1 e m 2 legati dalla relazione m 1 m 2 = 1. Ad esempio, in figura sono mostrate due rette, a e b, parallele tra loro, infatti hanno entrambe coefficiente angolare m = 3. La terza retta, c, è perpendicolare a entrambe, infatti avendo m = 3 1 è verificata la condizione 3 = 13 1. 7
Dai punti all equazione. Se non si conosce l equazione di una retta, ma si hanno le coordinate di almeno due punti, si può ricavare l equazione sfruttando la prorietà di linearità. Se si considera la retta in figura, si vede che il coefficiente angolare m = 2 corrisponde al fatto che per ogni incremento unitario della x, la y diminuisce di 2. Questo significa che, presi due punti qualunque sulla retta, il rapporto tra l incremento della y e quello della x è costante e uguale a -2. Presi ad esempio i punti A(2; 1) e B(0.5; 4), il coefficiente angolare è dato da: m = y A y B x A x B = 1 4 2 0.5 = 3 1.5 = 2 Analogamente, presi i punti A(2; 1) e P(4; 3), si ritrova lo stesso coefficiente: m = y P y A x P x A = 3 1 4 2 = 4 2 = 2 Si vede che questo rapporto è costante per ogni coppia di punti che appartengono alla retta. Considerando il punto A e un generico punto P(x; y), si ha l equazione generale, valida per ogni punto appartenente alla retta: y 1 x 2 = 2 Quella scritta è quindi l equazione cercata, che si può mettere in forma esplicita moltiplicando a sinistra e destra per il denominatore: y 1 = 2 (x 2) y 1 = 2x + 4 y = 2x + 5 Un metodo alternativo per ricavare l equazione della retta è sfruttare il fatto che l equazione cercata è nella forma y = mx + q; allora trovare l equazione equivale a cercare i valori dei due coefficienti m e q. I valori cercati sono quelli per cui le coordinate dei punti noti A e B verificano l equazione, cioè usando i dati dell esempio precedente: { 1 = m 2 + q 4 = m 12 + q risolvendo il sistema si trovano i coefficienti e si può scrivere l equazione della retta passante per A e per B. Riassumendo, per trovare l equazione di una retta passante per due punti di coordinate note, si può scrivere l equazione: y y A = y B y A x x A x B x A oppure risolvere il sistema: { y A = y B = m x A + q m x B + q 8
Intersezione tra due rette. In alcuni problemi può essere utile conoscere le coordinate del punto di intersezione tra due rette. Conoscendo l equazione delle due rette, si verifica che esiste un punto di intersezione controllando che i due coefficienti angolari siano diversi, quindi si imposta il sistema: { y = m 1 x + q 1 y = m 2 x + q 2 Questo vale sia per equazioni date in forma esplicita, sia implicita. Infatti, la soluzione del sistema è la coppia di valori che rende vera entrambe le uguaglianze, cioè proprio le coordinate del punto che appartiene a entrambe le rette, cioè del punto di intersezione. Nell esempio in figura, le due rette a e b hanno equazioni a : x + y = 3 e b : y = 7 5 x 3 7. Per stabilire se si intersecano, basta osservare che il coefficiente angolare di a è m a = 1 (l equazione in forma esplicita è a : y = x + 3) e quello di b è m b = 7 5. Essendo m a = m b, le die rette non sono parallele. Per trovare il punto di intersezione, si risolve il sistema: { x + y = 3 y = 7 5 x 3 7 che ha per soluzione x = 2 e y = 1. Allora il punto P(2; 1) è l intersezione delle due rette. Infatti, sostituendo le coordinate alle due equazioni si ottengono in entrambi i casi uguaglianze vere. 9
2.3 Le funzioni quadratiche e la parabola Le funzioni quadratiche Una funzione quadratica è una funzione che ha come equazione un polinomio di secondo grado, cioè un espressione del tipo f (x) = ax 2 + bx + c. Tutte le funzioni quadratiche hanno come grafico una parabola. La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto (il fuoco) e una retta (la direttrice). La curva risultante ha un asse di simmetria e un vertice. Nel nostro caso, l asse di simmetria è sempre parallelo all asse y, e il vertice è il massimo o il minimo della funzione. Ad esempio, il grafico dell equazione y = 2x 2 4x 3 è: Si vede che la parabola è simmetrica rispetto alla retta di equazione x = 1, e ha vertice nel punto V(1; 5), che in questo caso è il punto più basso del grafico. In generale, tutte le volte che si deve disegnare il grafico di una funzione quadratica, bisogna determinare le coordinate del vertice e di almeno altri due punti, per completare qualitativamente il grafico. Il vertice si trova calcolando la sua ascissa x V = 2a b, e trovando la sua ordinata come immagine dell ascissa. Gli altri punti interessanti sono le intersezioni con gli assi, quindi si calcola f (0) e si cercano i valori della x per cui la funzione si annulla, cioè si risolve l equazione f (x) = 0. Come per la retta, nel caso in cui la funzione sia definita su un intervallo limitato, è conveniente calcolare la funzione agli estremi del dominio. Ad esempio, per disegnare il grafico dell equazione y = 2x 2 6x + 1, si calcola l ascissa del vertice: x V = 2a b = 6 4 = 2 3, e quindi l ordinata: f ( 3 ) 2 = 11 2. In x = 0 la funzione vale f (0) = 1, corrispondente al punto C nel grafico. La funzione si annulla in x = 3, 16 e in x = 0, 16, che sono soluzione dell equazione 2x 2 6x + 1 = 0, e corrispondono ai punti A e B nel grafico. Non essendo indicato un dominio limitato, non c è bisogno di limitare il grafico a un intervallo particolare. Confrontando l ultimo grafico con il precedente, si può osservare che il vertice è il minimo se il coefficiente del termine quadratico è positivo, mentre è il massimo quando è negativo. Si dice che per a > 0 la parabola ha la concavità verso l alto, cioè, a partire dal punto più basso che è il vertice, la curva si sviluppa verso l alto; per a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso, cioè, a partire dal punto più alto che è il vertice, la curva si sviluppa verso il basso. 10